সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক 3. সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল খোঁজা: পদ্ধতি, LCM খোঁজার উদাহরণ। তিন বা ততোধিক সংখ্যার LCM বের করা

LCM - সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক। একটি সংখ্যা যা সমস্ত প্রদত্ত সংখ্যাকে অবশিষ্ট ছাড়াই ভাগ করবে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রদত্ত সংখ্যা 2, 3, 5 হয়, তাহলে LCM=2*3*5=30

এবং যদি প্রদত্ত সংখ্যা 2,4,8 হয়, তাহলে LCM =8

GCD কি?

GCD হল সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক। একটি সংখ্যা যা একটি অবশিষ্ট না রেখে প্রদত্ত প্রতিটি সংখ্যাকে ভাগ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

এটা যৌক্তিক যে যদি প্রদত্ত সংখ্যাগুলি মৌলিক হয়, তাহলে gcd একের সমান।

এবং যদি প্রদত্ত সংখ্যা 2, 4, 8 হয়, তাহলে GCD 2 এর সমান।

আমরা এটিকে সাধারণ ভাষায় বর্ণনা করব না, তবে একটি উদাহরণ সহ সমাধানটি দেখাব।

দুটি সংখ্যা 126 এবং 44 দেওয়া হয়েছে। GCD খুঁজুন।

তারপর যদি আমাদের ফর্মের দুটি নম্বর দেওয়া হয়

তারপর GCD হিসাবে গণনা করা হয়

যেখানে min হল pn সংখ্যার সমস্ত ঘাতের সর্বনিম্ন মান

এবং NOC হিসাবে

যেখানে max হল pn সংখ্যার সকল ঘাতের সর্বোচ্চ মান

উপরের সূত্রগুলি দেখে, আপনি সহজেই প্রমাণ করতে পারেন যে দুই বা ততোধিক সংখ্যার gcd একটির সমান হবে, যখন প্রদত্ত মানগুলির কমপক্ষে এক জোড়ার মধ্যে তুলনামূলকভাবে মৌলিক সংখ্যা থাকে।

অতএব, 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 এর মতো সংখ্যার জিসিডি কোন কিছু গণনা না করেই সমান হয় এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া সহজ।

সংখ্যা 3 এবং 7 হল coprime, এবং তাই gcd = 1

এর একটি উদাহরণ তাকান.

তিনটি সংখ্যা 24654, 25473 এবং 954 দেওয়া হয়েছে

প্রতিটি সংখ্যা নিম্নলিখিত কারণগুলির মধ্যে পচে যায়

অথবা, যদি আমরা এটি একটি বিকল্প আকারে লিখি

অর্থাৎ এই তিনটি সংখ্যার জিসিডি তিনটির সমান

ঠিক আছে, আমরা একইভাবে এলসিএম গণনা করতে পারি এবং এটি সমান

আমাদের বট আপনাকে দুই, তিন বা দশের যেকোনো পূর্ণসংখ্যার GCD এবং LCM গণনা করতে সাহায্য করবে।

আসুন সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল সম্পর্কে কথোপকথন চালিয়ে যাই, যা আমরা "LCM - সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক, সংজ্ঞা, উদাহরণ" বিভাগে শুরু করেছি। এই বিষয়ে, আমরা তিন বা ততোধিক সংখ্যার জন্য LCM খুঁজে বের করার উপায়গুলি দেখব, এবং আমরা কীভাবে একটি ঋণাত্মক সংখ্যার LCM খুঁজে বের করা যায় সেই প্রশ্নটি দেখব।

Yandex.RTB R-A-339285-1

GCD এর মাধ্যমে Least Common Multiple (LCM) গণনা করা হচ্ছে

আমরা ইতিমধ্যে সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল এবং সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করেছি। এবার আসুন জেনে নিই কিভাবে GCD এর মাধ্যমে LCM নির্ণয় করা যায়। প্রথমে, আসুন ধনাত্মক সংখ্যার জন্য এটি কীভাবে করা যায় তা বের করি।

সংজ্ঞা 1

আপনি LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) সূত্রটি ব্যবহার করে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের মাধ্যমে সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল খুঁজে পেতে পারেন।

উদাহরণ 1

আপনাকে 126 এবং 70 নম্বরের LCM খুঁজে বের করতে হবে।

সমাধান

ধরা যাক a = 126, b = 70। সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) এর মাধ্যমে সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল গণনার সূত্রে মানগুলি প্রতিস্থাপন করা যাক।

70 এবং 126 নম্বরের gcd বের করে। এর জন্য আমাদের দরকার ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, তাই GCD (126 , 70) = 14 .

আসুন এলসিএম গণনা করি: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630।

উত্তরঃ LCM(126, 70) = 630।

উদাহরণ 2

68 এবং 34 নম্বর খুঁজুন।

সমাধান

এই ক্ষেত্রে GCD খুঁজে পাওয়া কঠিন নয়, যেহেতু 68 34 দ্বারা বিভাজ্য। আসুন সূত্রটি ব্যবহার করে সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক গণনা করি: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68।

উত্তরঃ LCM(68, 34) = 68।

এই উদাহরণে, আমরা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a এবং b-এর সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজে বের করার জন্য নিয়মটি ব্যবহার করেছি: প্রথম সংখ্যাটি দ্বিতীয় দ্বারা বিভাজ্য হলে, সেই সংখ্যাগুলির LCM প্রথম সংখ্যার সমান হবে।

সংখ্যাগুলিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করে LCM সন্ধান করা

এখন আসুন LCM খুঁজে বের করার পদ্ধতিটি দেখি, যা সংখ্যাকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে পরিণত করার উপর ভিত্তি করে।

সংজ্ঞা 2

সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল খুঁজে পেতে, আমাদের বেশ কয়েকটি সহজ পদক্ষেপ করতে হবে:

• আমরা যে সংখ্যাগুলির জন্য আমাদের LCM খুঁজে বের করতে হবে তার সমস্ত মৌলিক গুণনীয়কগুলির গুণফল রচনা করি;
• আমরা তাদের ফলাফল পণ্য থেকে সমস্ত প্রধান কারণ বাদ;
• সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলি নির্মূল করার পরে প্রাপ্ত গুণফল প্রদত্ত সংখ্যাগুলির LCM-এর সমান হবে।

সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল খুঁজে বের করার এই পদ্ধতিটি সমতা LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) এর উপর ভিত্তি করে। আপনি যদি সূত্রটি দেখেন তবে এটি পরিষ্কার হয়ে যাবে: a এবং b সংখ্যার গুণফল এই দুটি সংখ্যার পচনে অংশগ্রহণকারী সমস্ত কারণের গুণফলের সমান। এই ক্ষেত্রে, দুটি সংখ্যার gcd প্রদত্ত দুটি সংখ্যার ফ্যাক্টরাইজেশনে একই সাথে উপস্থিত সমস্ত মৌলিক গুণনীয়কের গুণফলের সমান।

উদাহরণ 3

আমাদের দুটি সংখ্যা 75 এবং 210 আছে। আমরা তাদের নিম্নলিখিত হিসাবে ফ্যাক্টর করতে পারেন: 75 = 3 5 5এবং 210 = 2 3 5 7. আপনি যদি দুটি মূল সংখ্যার সমস্ত গুণকের গুণফল রচনা করেন, আপনি পাবেন: ২ ৩ ৩ ৩ ৫ ৫ ৫ ৭.

যদি আমরা 3 এবং 5 উভয় সংখ্যার সাধারণ কারণগুলি বাদ দেই, তাহলে আমরা নিম্নলিখিত ফর্মের একটি গুণফল পাব: ২ ৩ ৫ ৫ ৭ = ১০৫০. এই পণ্যটি 75 এবং 210 নম্বরের জন্য আমাদের LCM হবে৷

উদাহরণ 4

সংখ্যার LCM খুঁজুন 441 এবং 700 , উভয় সংখ্যাকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করা।

সমাধান

চলুন শর্তে প্রদত্ত সংখ্যার সমস্ত মৌলিক গুণনীয়কগুলি খুঁজে বের করা যাক:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

আমরা সংখ্যার দুটি চেইন পাই: 441 = 3 3 7 7 এবং 700 = 2 2 5 5 7।

এই সংখ্যাগুলির পচনে অংশ নেওয়া সমস্ত কারণের গুণফলের ফর্ম থাকবে: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. আসুন সাধারণ কারণ খুঁজে বের করা যাক। এটি 7 নম্বর। চলুন এটি মোট পণ্য থেকে বাদ দেওয়া যাক: 2 2 3 3 5 5 7 7. দেখা যাচ্ছে এনওসি (441, 700) = 2 2 3 3 5 7 7 = 44 100.

উত্তরঃ LOC(441, 700) = 44,100।

সংখ্যাগুলিকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে পচিয়ে LCM বের করার পদ্ধতির আরেকটি সূত্র দেওয়া যাক।

সংজ্ঞা 3

পূর্বে, আমরা উভয় সংখ্যার সাধারণ কারণগুলির মোট সংখ্যা থেকে বাদ দিয়েছি। এখন আমরা এটি ভিন্নভাবে করব:

• আসুন উভয় সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টর হিসাবে বিবেচনা করি:
• প্রথম সংখ্যার মৌলিক গুণনীয়কের গুণফলের সাথে দ্বিতীয় সংখ্যার অনুপস্থিত গুণনীয়ক যোগ করুন;
• আমরা পণ্যটি পাই, যা দুটি সংখ্যার কাঙ্খিত LCM হবে।

উদাহরণ 5

আসুন 75 এবং 210 নম্বরে ফিরে আসি, যার জন্য আমরা ইতিমধ্যে পূর্ববর্তী উদাহরণগুলির একটিতে LCM সন্ধান করেছি। আসুন সেগুলিকে সাধারণ কারণগুলিতে বিভক্ত করি: 75 = 3 5 5এবং 210 = 2 3 5 7. গুণনীয়ক 3, 5 এবং 5 সংখ্যা 75 অনুপস্থিত কারণ যোগ করুন 2 এবং 7 সংখ্যা 210। আমরা পাই: 2 · 3 · 5 · 5 · 7।এটি 75 এবং 210 সংখ্যার LCM।

উদাহরণ 6

84 এবং 648 সংখ্যার LCM গণনা করা প্রয়োজন।

সমাধান

আসুন শর্ত থেকে সংখ্যাগুলিকে সরল কারণগুলিতে নির্ণয় করি: 84 = 2 2 3 7এবং 648 = 2 2 3 3 3 3. গুণনীয়ক 2, 2, 3 এবং গুণনীয়ক যোগ করা যাক 7 সংখ্যা 84 অনুপস্থিত ফ্যাক্টর 2, 3, 3 এবং
3 সংখ্যা 648। আমরা পণ্য পেতে ২ ২ ২ ৩ ৩ ৩ ৩ ৭ = ৪৫৩৬।এটি 84 এবং 648-এর সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক।

উত্তরঃ LCM(84, 648) = 4,536।

তিন বা ততোধিক সংখ্যার LCM বের করা

আমরা যত সংখ্যার সাথে কাজ করছি না কেন, আমাদের ক্রিয়াকলাপের অ্যালগরিদম সবসময় একই থাকবে: আমরা ক্রমানুসারে দুটি সংখ্যার LCM খুঁজে পাব। এই ক্ষেত্রে একটি উপপাদ্য আছে.

উপপাদ্য ঘ

ধরা যাক আমাদের পূর্ণসংখ্যা আছে a 1 , a 2 , … , a k. এনওসি m kএই সংখ্যাগুলি ক্রমানুসারে m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k−1, a k) গণনা করে পাওয়া যায়।

এখন দেখা যাক কিভাবে সুনির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানে উপপাদ্য প্রয়োগ করা যায়।

উদাহরণ 7

আপনাকে 140, 9, 54 এবং চারটি সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক গণনা করতে হবে 250 .

সমাধান

আসুন স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দিই: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250।

চলুন শুরু করা যাক m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) গণনা করে। 140 এবং 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4 সংখ্যার GCD গণনা করতে ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম প্রয়োগ করা যাক। আমরা পাই: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260। অতএব, m 2 = 1,260।

এখন একই অ্যালগরিদম m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) ব্যবহার করে গণনা করা যাক। গণনার সময় আমরা m 3 = 3 780 পাই।

আমাদের যা করতে হবে তা হল m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) গণনা করা। আমরা একই অ্যালগরিদম অনুসরণ করি। আমরা পাব m 4 = 94 500।

উদাহরণ শর্ত থেকে চারটি সংখ্যার LCM হল 94500।

উত্তরঃ NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, গণনাগুলি সহজ, তবে বেশ শ্রম-নিবিড়। সময় বাঁচাতে, আপনি অন্য উপায়ে যেতে পারেন।

সংজ্ঞা 4

আমরা আপনাকে কর্মের নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম অফার করি:

• আমরা সমস্ত সংখ্যাকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে বিভক্ত করি;
• প্রথম সংখ্যার গুণনীয়কগুলির গুণফলের সাথে আমরা দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল থেকে অনুপস্থিত গুণনীয়কগুলি যোগ করি;
• পূর্ববর্তী পর্যায়ে প্রাপ্ত পণ্যটিতে আমরা তৃতীয় সংখ্যার অনুপস্থিত কারণগুলি যোগ করি, ইত্যাদি;
• ফলাফলের গুণফলটি শর্ত থেকে সমস্ত সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক হবে।

উদাহরণ 8

আপনাকে 84, 6, 48, 7, 143 পাঁচটি সংখ্যার LCM খুঁজে বের করতে হবে।

সমাধান

চলুন, পাঁচটি সংখ্যাকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করি: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13। মৌলিক সংখ্যা, যা 7 নম্বর, মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে গুণিত হতে পারে না। এই জাতীয় সংখ্যাগুলি তাদের পচন প্রধান কারণগুলির সাথে মিলে যায়।

এখন 84 নম্বরের মৌলিক গুণনীয়ক 2, 2, 3 এবং 7 এর গুণফল ধরা যাক এবং তাদের সাথে দ্বিতীয় সংখ্যার অনুপস্থিত গুণনীয়ক যোগ করি। আমরা 6 নম্বরটিকে 2 এবং 3 তে পচিয়ে দিয়েছি। এই কারণগুলি ইতিমধ্যেই প্রথম সংখ্যার গুণফলের মধ্যে রয়েছে। অতএব, আমরা তাদের বাদ দিই।

আমরা অনুপস্থিত গুণক যোগ করা অবিরত. আসুন 48 নম্বরে যাওয়া যাক, যার মৌলিক গুণনীয়কগুলির গুণফল থেকে আমরা 2 এবং 2 নিই। তারপর আমরা চতুর্থ সংখ্যা থেকে 7 এর মৌলিক গুণনীয়ক এবং পঞ্চম সংখ্যার 11 এবং 13 এর গুণনীয়ক যোগ করি। আমরা পাই: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048। এটি মূল পাঁচটি সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক।

উত্তরঃ LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048।

ঋণাত্মক সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজে বের করা

নেতিবাচক সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজে পেতে, এই সংখ্যাগুলিকে প্রথমে বিপরীত চিহ্ন সহ সংখ্যা দ্বারা প্রতিস্থাপিত করতে হবে এবং তারপরে উপরের অ্যালগরিদমগুলি ব্যবহার করে গণনা করা উচিত।

উদাহরণ 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) এবং LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888)।

আমরা যদি তা মেনে নিই তাহলে এ ধরনের কাজ জায়েজ কএবং − ক- বিপরীত সংখ্যা,
তারপর একটি সংখ্যার গুণিতক সেট কএকটি সংখ্যার গুণিতকের সেটের সাথে মেলে − ক.

উদাহরণ 10

ঋণাত্মক সংখ্যার LCM গণনা করা প্রয়োজন − 145 এবং − 45 .

সমাধান

এর সংখ্যা প্রতিস্থাপন করা যাক − 145 এবং − 45 তাদের বিপরীত সংখ্যায় 145 এবং 45 . এখন, অ্যালগরিদম ব্যবহার করে, আমরা এলসিএম (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 গণনা করি, পূর্বে ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করে GCD নির্ধারণ করেছি।

আমরা পাই যে সংখ্যার LCM হল − 145 এবং − 45 সমান 1 305 .

উত্তরঃ LCM (− 145, − 45) = 1,305।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

কিভাবে LCM গণনা করতে হয় তা বোঝার জন্য, আপনাকে প্রথমে "একাধিক" শব্দটির অর্থ নির্ধারণ করতে হবে।

A এর গুণিতক একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা যা একটি অবশিষ্ট ছাড়া A দ্বারা বিভাজ্য এইভাবে, 5 এর গুণিতক সংখ্যাগুলিকে 15, 20, 25 ইত্যাদি বিবেচনা করা যেতে পারে।

একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার সীমিত সংখ্যক ভাজক থাকতে পারে, কিন্তু অসীম সংখ্যক গুণিতক রয়েছে।

স্বাভাবিক সংখ্যার একটি সাধারণ গুণিতক হল একটি সংখ্যা যা তাদের দ্বারা বিভাজ্য একটি অবশিষ্ট না রেখে।

কিভাবে সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজে বের করতে হয়

সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল (এলসিএম) (দুই, তিন বা তার বেশি) হল ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা যা এই সমস্ত সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য।

LOC খুঁজে পেতে, আপনি বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন।

ছোট সংখ্যার জন্য, যতক্ষণ না আপনি তাদের মধ্যে সাধারণ কিছু খুঁজে পান ততক্ষণ পর্যন্ত এই সংখ্যাগুলির সমস্ত গুণিতকগুলিকে একটি লাইনে লিখে রাখা সুবিধাজনক। একাধিক কে বড় অক্ষর K দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, 4 এর গুণিতকগুলি এভাবে লেখা যেতে পারে:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

সুতরাং, আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে 4 এবং 6 সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক হল 24 নম্বর। এই স্বরলিপিটি নিম্নরূপ করা হয়েছে:

LCM(4, 6) = 24

এখন উভয় সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক লিখুন। আমাদের সংস্করণে এটি দুই এবং পাঁচ। তবে, অন্যান্য ক্ষেত্রে এই সংখ্যা এক, দুই বা তিন অঙ্ক বা তারও বেশি হতে পারে। পরবর্তীতে আপনাকে ডিগ্রি নিয়ে কাজ করতে হবে। প্রতিটি ফ্যাক্টরের জন্য ক্ষুদ্রতম শক্তি চয়ন করুন। উদাহরণে এটি দুই থেকে দ্বিতীয় শক্তি এবং প্রথম থেকে পাঁচটি।

অবশেষে, আপনাকে কেবল ফলাফল সংখ্যাগুলিকে গুণ করতে হবে। আমাদের ক্ষেত্রে, সবকিছু অত্যন্ত সহজ: দুই বর্গকে পাঁচ দিয়ে গুণ করলে 20 সমান হয়। এইভাবে, 20 সংখ্যাটিকে 60 এবং 80 এর জন্য সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক বলা যেতে পারে।

বিষয়ের উপর ভিডিও

দয়া করে নোট করুন

মনে রাখবেন যে একটি মৌলিক গুণনীয়ক হল এমন একটি সংখ্যা যার মাত্র 2টি ভাজক রয়েছে: একটি এবং সংখ্যাটি নিজেই।

দরকারী উপদেশ

এই পদ্ধতির পাশাপাশি, আপনি ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমও ব্যবহার করতে পারেন। এর সম্পূর্ণ বিবরণ, জ্যামিতিক আকারে উপস্থাপিত, ইউক্লিডের বই "এলিমেন্টস" এ পাওয়া যাবে।

সম্পর্কিত নিবন্ধ

প্রাকৃতিক ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ তখনই সম্ভব যদি তাদের একই হর থাকে। একটি একক হরকে নিয়ে আসার সময় গণনাগুলিকে জটিল না করার জন্য, হরগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ ভাজক খুঁজুন এবং গণনাটি সম্পাদন করুন।

আপনার প্রয়োজন হবে

• - সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে ফ্যাক্টর করার ক্ষমতা;
• - ভগ্নাংশের সাথে অপারেশন করার ক্ষমতা।

নির্দেশনা

ভগ্নাংশের যোগ লিখ। তারপর, তাদের সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক খুঁজুন। এটি করার জন্য, ক্রিয়াগুলির নিম্নলিখিত ক্রমটি সম্পাদন করুন: 1. মৌলিক সংখ্যার প্রতিটি হর কল্পনা করুন (একটি মৌলিক সংখ্যা, একটি সংখ্যা যা শুধুমাত্র 1 দ্বারা বিভাজ্য এবং নিজেই অবশিষ্টাংশ ছাড়াই, উদাহরণস্বরূপ 2, 3, 5, 7, ইত্যাদি)।2। তাদের ডিগ্রী নির্দেশ করে যে সমস্ত সহজ লেখা আছে সেগুলোকে গোষ্ঠীভুক্ত করুন। 3. এই সংখ্যাগুলিতে প্রদর্শিত এই মৌলিক গুণকগুলির প্রতিটির বৃহত্তম শক্তিগুলি বেছে নিন। 4. লিখিত ক্ষমতা গুণ করুন।

উদাহরণস্বরূপ, 15, 24 এবং 36 হর সহ ভগ্নাংশের সাধারণ হর একটি সংখ্যা হবে যা নিম্নরূপ গণনা করা যেতে পারে: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2 এই সংখ্যার সমস্ত মৌলিক ভাজকের সবচেয়ে বড় শক্তি লিখ: 2^3 3^2 5=360।

প্রতিটি দ্বারা সাধারণ হরকে ভাগ করুন এবং ভগ্নাংশের হর যোগ করুন। ফলাফল সংখ্যা দ্বারা তাদের লব গুণ করুন. ভগ্নাংশের সাধারণ লাইনের নীচে, সর্বনিম্ন সাধারণ লভ্যাংশ লিখুন, যা সর্বনিম্ন সাধারণ হরও। লবটিতে, ভগ্নাংশের হর দ্বারা বিভক্ত সর্বনিম্ন সাধারণ গুণকের ভাগফল দ্বারা প্রতিটি লবকে গুণ করার ফলে যে সংখ্যাগুলি আসে তা যোগ করুন। সমস্ত লবের যোগফল এবং সর্বনিম্ন সাধারণ হর দ্বারা ভাগ করলে কাঙ্খিত সংখ্যা হবে।

উদাহরণস্বরূপ, 4/15, 7/24 এবং 11/36 এর জন্য এটি করুন। সর্বনিম্ন সাধারণ হর খুঁজুন, যা হল 360। তারপর 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10 ভাগ করুন। সংখ্যা 4, যা প্রথম ভগ্নাংশের লব, 24 (4 24=96), সংখ্যা 7 কে 15 (7 15=105), 11 সংখ্যাটি 10 ​​(11 10=110) দ্বারা গুণ করুন। তারপর এই সংখ্যা যোগ করুন (96+105+110=301)। আমরা 4/15+7/24+11/36=301/360 ফলাফল পাই।

সূত্র:

• কিভাবে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা খুঁজে বের করতে হয়

পূর্ণসংখ্যা হল বিভিন্ন ধরনের গাণিতিক সংখ্যা যার দৈনন্দিন জীবনে অনেক প্রয়োগ রয়েছে। কোন বস্তুর সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা - আবহাওয়ার পূর্বাভাস ইত্যাদির বার্তাগুলিতে অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা ব্যবহার করা হয়। GCD এবং LCM হল বিভাগ অপারেশনের সাথে যুক্ত পূর্ণসংখ্যার স্বাভাবিক বৈশিষ্ট্য।

নির্দেশনা

ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম বা বাইনারি পদ্ধতি ব্যবহার করে GCD গণনা করা সহজ। a এবং b সংখ্যাগুলির gcd নির্ধারণের জন্য ইউক্লিড অ্যালগরিদম অনুসারে, যার মধ্যে একটি শূন্য নয়, সংখ্যাগুলির একটি ক্রম রয়েছে r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, যেখানে r_1 ভাগের অবশিষ্টাংশের সমান দ্বিতীয় দ্বারা প্রথম সংখ্যা। এবং অনুক্রমের অন্যান্য সদস্য পূর্ববর্তী সদস্যকে পূর্ববর্তী সদস্য দ্বারা ভাগ করা থেকে অবশিষ্টাংশের সমান, এবং উপান্তর উপাদানটি অবশিষ্টাংশ ছাড়া শেষের দ্বারা ভাগ করা হয়।

গাণিতিকভাবে, ক্রমটি এইভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
যেখানে k_i একটি পূর্ণসংখ্যা ফ্যাক্টর।
GCD (a, b) = r_n.

উদাহরণ।
GCD (36, 120) খুঁজুন। ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম অনুসারে, 120 থেকে বিয়োগ করুন একটি সংখ্যা যা 36 এর গুণিতক, এই ক্ষেত্রে এটি 120 – 36*3 = 12। এখন 120 থেকে 12-এর গুণিতক একটি সংখ্যা বিয়োগ করুন, আপনি 120 – 12* পাবেন 10 = 0. অতএব, GCD (36, 120) = 12।

GCD খোঁজার জন্য বাইনারি অ্যালগরিদম শিফট তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে। এই পদ্ধতি অনুসারে, দুটি সংখ্যার gcd এর নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) জোড় a এবং b এর জন্য
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) জোড় a এবং বিজোড় b এর জন্য (বিপরীতটি GCD (a, b) = GCD (a, b/2))
বিজোড় a > b এর জন্য GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b)
বিজোড় b > a এর জন্য GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a)
এইভাবে, gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd (15 - 9)/2=3 , 9) = 4*3 = 12।

দুটি পূর্ণসংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল (LCM) হল ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা যা একটি অবশিষ্ট না রেখে উভয় মূল সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য।
GCD ব্যবহার করে LCM গণনা করা যেতে পারে: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b)।

LCM গণনা করার দ্বিতীয় উপায় হল সংখ্যার প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে ক্যানোনিকাল ফ্যাক্টরাইজেশন:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
যেখানে r_i মৌলিক সংখ্যা, এবং k_i এবং m_i হল পূর্ণসংখ্যা ≥ 0।
LCM একই মৌলিক গুণনীয়ক আকারে উপস্থাপন করা হয়, যেখানে সর্বাধিক দুটি সংখ্যাকে শক্তি হিসাবে নেওয়া হয়।

উদাহরণ।
LCM খুঁজুন (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80।

আসুন অন্তত সাধারণ মাল্টিপল খুঁজে বের করার তিনটি উপায় দেখি।

ফ্যাক্টরাইজেশন দ্বারা খোঁজা

প্রথম পদ্ধতি হল প্রদত্ত সংখ্যাগুলিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে গুণিত করে সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজে বের করা।

ধরা যাক আমাদের সংখ্যাগুলির LCM খুঁজে বের করতে হবে: 99, 30 এবং 28। এটি করার জন্য, আসুন এই সংখ্যাগুলির প্রতিটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করি:

কাঙ্খিত সংখ্যাটি 99, 30 এবং 28 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে এতে এই ভাজকগুলির সমস্ত মৌলিক গুণনীয়ক অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। এটি করার জন্য, আমাদের এই সংখ্যাগুলির সমস্ত মৌলিক গুণনীয়কগুলিকে সর্বাধিক সম্ভাব্য শক্তিতে নিয়ে যেতে হবে এবং তাদের একসাথে গুণ করতে হবে:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

এইভাবে, LCM (99, 30, 28) = 13,860 13,860 এর কম অন্য কোন সংখ্যা 99, 30, বা 28 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

প্রদত্ত সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজে বের করতে, আপনি তাদের মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে গুণনীয়ক করুন, তারপর প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়ক নিন যেখানে এটি প্রদর্শিত হচ্ছে সবচেয়ে বড় সূচক সহ এবং সেই গুণনীয়কগুলিকে একসাথে গুণ করুন।

যেহেতু তুলনামূলকভাবে মৌলিক সংখ্যার সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক নেই, তাই তাদের সর্বনিম্ন সাধারণ গুণফল এই সংখ্যার গুণফলের সমান। উদাহরণস্বরূপ, তিনটি সংখ্যা: 20, 49 এবং 33 তুলনামূলকভাবে মৌলিক। সেজন্য

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340।

বিভিন্ন মৌলিক সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজে বের করার সময় একই কাজ করা আবশ্যক। উদাহরণস্বরূপ, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231।

নির্বাচন দ্বারা অনুসন্ধান

দ্বিতীয় পদ্ধতি হল নির্বাচনের মাধ্যমে সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল খুঁজে বের করা।

উদাহরণ 1. যখন প্রদত্ত সংখ্যার বৃহত্তমটিকে অন্য একটি প্রদত্ত সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়, তখন এই সংখ্যাগুলির LCM তাদের বৃহত্তম সংখ্যার সমান হয়। উদাহরণস্বরূপ, চারটি সংখ্যা দেওয়া হয়েছে: 60, 30, 10 এবং 6। তাদের প্রত্যেকটি 60 দ্বারা বিভাজ্য, তাই:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

অন্যান্য ক্ষেত্রে, সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক খুঁজে পেতে, নিম্নলিখিত পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়:

1. প্রদত্ত সংখ্যা থেকে বৃহত্তম সংখ্যা নির্ণয় করুন।
2. এর পরে, আমরা সংখ্যাগুলি খুঁজে পাই যেগুলি বৃহত্তম সংখ্যার গুণিতক, ক্রমবর্ধমান ক্রমে এটিকে স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা গুণ করে এবং ফলাফলটি অবশিষ্ট প্রদত্ত সংখ্যাগুলি দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা পরীক্ষা করে।

উদাহরণ 2. প্রদত্ত তিনটি সংখ্যা 24, 3 এবং 18৷ আমরা তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড় নির্ধারণ করি - এটি হল 24 নম্বর৷ এরপর, আমরা 24 এর গুণিতক সংখ্যাগুলি খুঁজে পাই, তাদের প্রতিটি 18 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা পরীক্ষা করে দেখি:

24 · 1 = 24 - 3 দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু 18 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

24 · 2 = 48 - 3 দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু 18 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

24 · 3 = 72 - 3 এবং 18 দ্বারা বিভাজ্য।

এইভাবে, LCM (24, 3, 18) = 72।

ক্রমানুসারে এলসিএম খুঁজে বের করে খুঁজে বের করা

তৃতীয় পদ্ধতি হল ক্রমানুসারে LCM খুঁজে বের করে সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল খুঁজে বের করা।

দুটি প্রদত্ত সংখ্যার LCM এই সংখ্যাগুলির গুণফলের সমান তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক দ্বারা ভাগ করা হয়।

উদাহরণ 1. প্রদত্ত দুটি সংখ্যার LCM খুঁজুন: 12 এবং 8। তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক নির্ধারণ করুন: GCD (12, 8) = 4. এই সংখ্যাগুলিকে গুণ করুন:

আমরা পণ্যটিকে তাদের জিসিডি দ্বারা ভাগ করি:

এইভাবে, LCM (12, 8) = 24।

তিন বা ততোধিক সংখ্যার LCM খুঁজে পেতে, নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করুন:

1. প্রথমে, এই সংখ্যার যেকোনো দুটির LCM খুঁজুন।
2. তারপর, পাওয়া সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক এবং তৃতীয় প্রদত্ত সংখ্যার LCM।
3. তারপরে, ফলাফলপ্রাপ্ত সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক এবং চতুর্থ সংখ্যা, ইত্যাদির LCM।
4. এইভাবে, যতক্ষণ সংখ্যা থাকে ততক্ষণ LCM-এর অনুসন্ধান চলতে থাকে।

উদাহরণ 2. আসুন তিনটি প্রদত্ত সংখ্যার LCM বের করি: 12, 8 এবং 9। আমরা ইতিমধ্যেই পূর্ববর্তী উদাহরণে 12 এবং 8 সংখ্যার LCM খুঁজে পেয়েছি (এটি 24 নম্বর)। সংখ্যা 24 এর সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক এবং তৃতীয় প্রদত্ত সংখ্যা - 9 খুঁজে বের করতে বাকি রয়েছে। তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক নির্ধারণ করুন: GCD (24, 9) = 3। LCM সংখ্যা 9 দিয়ে গুণ করুন:

আমরা পণ্যটিকে তাদের জিসিডি দ্বারা ভাগ করি:

এইভাবে, LCM (12, 8, 9) = 72।

নীচে উপস্থাপিত উপাদান হল LCM শিরোনামের নিবন্ধ থেকে তত্ত্বের একটি যৌক্তিক ধারাবাহিকতা - ন্যূনতম সাধারণ একাধিক, সংজ্ঞা, উদাহরণ, LCM এবং GCD-এর মধ্যে সংযোগ। এখানে আমরা সম্পর্কে কথা হবে সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক (এলসিএম) সন্ধান করা, এবং আমরা উদাহরণগুলি সমাধান করার জন্য বিশেষ মনোযোগ দেব। প্রথমত, আমরা দেখাব কিভাবে এই সংখ্যার GCD ব্যবহার করে দুটি সংখ্যার LCM গণনা করা হয়। এর পরে, আমরা সংখ্যাগুলিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করে সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক খুঁজে বের করার দিকে নজর দেব। এর পরে, আমরা তিন বা ততোধিক সংখ্যার LCM খুঁজে বের করার দিকে মনোনিবেশ করব এবং ঋণাত্মক সংখ্যার LCM গণনার দিকেও মনোযোগ দেব।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

GCD এর মাধ্যমে Least Common Multiple (LCM) গণনা করা হচ্ছে

LCM এবং GCD-এর মধ্যে সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল খুঁজে বের করার একটি উপায়। LCM এবং GCD-এর মধ্যে বিদ্যমান সংযোগ আমাদের একটি পরিচিত সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের মাধ্যমে দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক গণনা করতে দেয়। সংশ্লিষ্ট সূত্র হল LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . প্রদত্ত সূত্র ব্যবহার করে এলসিএম খোঁজার উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ।

126 এবং 70 দুটি সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজুন।

সমাধান।

এই উদাহরণে a=126 , b=70। আসুন আমরা সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা এলসিএম এবং জিসিডির মধ্যে সংযোগ ব্যবহার করি LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). অর্থাৎ, প্রথমে আমাদের 70 এবং 126 সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করতে হবে, তারপরে আমরা লিখিত সূত্র ব্যবহার করে এই সংখ্যাগুলির LCM গণনা করতে পারি।

ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করে GCD(126, 70) খুঁজে বের করা যাক: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, অতএব, GCD(126, 70)=14।

এখন আমরা প্রয়োজনীয় সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক খুঁজে পাই: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630।

উত্তরঃ

LCM(126, 70)=630।

উদাহরণ।

LCM(68, 34) কিসের সমান?

সমাধান।

কারণ 68 34 দ্বারা বিভাজ্য, তারপর GCD(68, 34)=34। এখন আমরা সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক গণনা করি: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)=৬৮·৩৪:৩৪=৬৮।

উত্তরঃ

LCM(68, 34)=68।

লক্ষ্য করুন যে পূর্ববর্তী উদাহরণটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a এবং b-এর জন্য LCM খুঁজে বের করার জন্য নিম্নলিখিত নিয়মের সাথে খাপ খায়: যদি a সংখ্যাটি b দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে এই সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতকটি হল a।

সংখ্যাগুলিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করে LCM সন্ধান করা

সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল খুঁজে বের করার আরেকটি উপায় হল ফ্যাক্টরিং সংখ্যার উপর ভিত্তি করে প্রাইম ফ্যাক্টর। আপনি যদি প্রদত্ত সংখ্যাগুলির সমস্ত মৌলিক গুণনীয়কগুলি থেকে একটি গুণফল রচনা করেন এবং তারপরে প্রদত্ত সংখ্যাগুলির প্রসারণে উপস্থিত সমস্ত সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলিকে এই গুণফল থেকে বাদ দেন, তাহলে ফলাফলটি প্রদত্ত সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতকের সমান হবে। .

LCM খোঁজার জন্য বিবৃত নিয়ম সমতা থেকে অনুসরণ করে LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). প্রকৃতপক্ষে, a এবং b সংখ্যার গুণফল a এবং b সংখ্যার প্রসারণের সাথে জড়িত সমস্ত কারণের গুণফলের সমান। পরিবর্তে, GCD(a, b) সংখ্যার a এবং b সম্প্রসারণে একই সাথে উপস্থিত সমস্ত মৌলিক গুণনীয়কের গুণফলের সমান (যেমনটি মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে সংখ্যার প্রসারণ ব্যবহার করে GCD সন্ধানের বিভাগে বর্ণিত হয়েছে)।

একটা উদাহরণ দেওয়া যাক। আসুন জেনে নিই যে 75=3·5·5 এবং 210=2·3·5·7। আসুন এই সম্প্রসারণের সমস্ত উপাদান থেকে পণ্যটি রচনা করি: 2·3·3·5·5·5·7। এখন এই পণ্যটি থেকে আমরা 75 নম্বরের প্রসারণ এবং 210 নম্বরের প্রসারণ উভয় ক্ষেত্রে উপস্থিত সমস্ত কারণগুলি বাদ দিই (এই গুণনীয়কগুলি হল 3 এবং 5), তাহলে পণ্যটি 2·3·5·5·7 আকার ধারণ করবে। . এই পণ্যটির মান 75 এবং 210 এর সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতকের সমান, অর্থাৎ, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

উদাহরণ।

441 এবং 700 সংখ্যাগুলিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করুন এবং এই সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতকগুলি সন্ধান করুন।

সমাধান।

441 এবং 700 সংখ্যাগুলিকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে নির্ণয় করা যাক:

আমরা পাই 441=3·3·7·7 এবং 700=2·2·5·5·7।

এখন আসুন এই সংখ্যাগুলির সম্প্রসারণের সাথে জড়িত সমস্ত উপাদান থেকে একটি গুণ তৈরি করি: 2·2·3·3·5·5·7·7·7। আসুন আমরা এই পণ্য থেকে এমন সমস্ত উপাদান বাদ দেই যা একই সাথে উভয় সম্প্রসারণে উপস্থিত থাকে (এরকম একটি মাত্র ফ্যাক্টর আছে - এটি হল 7 নম্বর): 2·2·3·3·5·5·7·7। এইভাবে, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

উত্তরঃ

NOC(441, 700)= 44 100।

প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে সংখ্যার ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যবহার করে LCM খুঁজে বের করার নিয়মটি একটু ভিন্নভাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে। যদি b সংখ্যার প্রসারণ থেকে অনুপস্থিত গুণনীয়কগুলি a সংখ্যার সম্প্রসারণ থেকে গুণনীয়কের সাথে যোগ করা হয়, তাহলে ফলস্বরূপ গুনফলের মান a এবং b সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণকের সমান হবে।.

উদাহরণ স্বরূপ, একই সংখ্যা 75 এবং 210 ধরা যাক, মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে তাদের পচন নিম্নরূপ: 75=3·5·5 এবং 210=2·3·5·7। 75 নম্বরের প্রসারণ থেকে 3, 5 এবং 5 গুণনীয়কগুলিতে আমরা 210 নম্বরের প্রসারণ থেকে অনুপস্থিত গুণনীয়ক 2 এবং 7 যোগ করি, আমরা 2·3·5·5·7 গুণফল পাই, যার মান হল LCM (75, 210) এর সমান।

উদাহরণ।

84 এবং 648 এর সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজুন।

সমাধান।

আমরা প্রথমে 84 এবং 648 সংখ্যার পচনকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে পাই। তারা দেখতে 84=2·2·3·7 এবং 648=2·2·2·3·3·3·3। 84 নম্বরের সম্প্রসারণ থেকে 2, 2, 3 এবং 7 গুণনীয়কগুলিতে আমরা 648 নম্বরের প্রসারণ থেকে অনুপস্থিত গুণনীয়ক 2, 3, 3 এবং 3 যোগ করি, আমরা 2 2 2 3 3 3 3 7 গুণফল পাই। যা 4536 এর সমান। সুতরাং, 84 এবং 648-এর কাঙ্ক্ষিত সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক হল 4,536।

উত্তরঃ

LCM(84, 648)=4,536।

তিন বা ততোধিক সংখ্যার LCM বের করা

তিনটি বা ততোধিক সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতকটি ক্রমানুসারে দুটি সংখ্যার LCM খুঁজে বের করে পাওয়া যেতে পারে। আসুন আমরা সংশ্লিষ্ট উপপাদ্যটি স্মরণ করি, যা তিনটি বা ততোধিক সংখ্যার LCM বের করার উপায় দেয়।

উপপাদ্য।

ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা সংখ্যা a 1 , a 2 , …, a k দেওয়া যাক, এই সংখ্যাগুলির মধ্যে সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক m k পাওয়া যায় অনুক্রমিকভাবে m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a)। 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k)।

চারটি সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজে বের করার উদাহরণ ব্যবহার করে এই উপপাদ্যটির প্রয়োগ বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ।

140, 9, 54 এবং 250 চারটি সংখ্যার LCM খুঁজুন।

সমাধান।

এই উদাহরণে, একটি 1 = 140, একটি 2 = 9, একটি 3 = 54, একটি 4 = 250।

প্রথমে আমরা খুঁজে পাই m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). এটি করার জন্য, ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করে, আমরা GCD(140, 9) নির্ধারণ করি, আমাদের আছে 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, অতএব, GCD(140, 9)=1 , কোথা থেকে GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260। অর্থাৎ, m 2 = 1 260।

এখন আমরা খুঁজে m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). আসুন GCD(1 260, 54) এর মাধ্যমে এটি গণনা করি, যা আমরা ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করেও নির্ধারণ করি: 1 260=54·23+18, 54=18·3। তারপর gcd(1,260, 54)=18, যেখান থেকে gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780। অর্থাৎ, m 3 =3 780.

যা বাকি আছে তা খুঁজে বের করা m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). এটি করার জন্য, আমরা ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করে GCD(3,780, 250) খুঁজে পাই: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3। অতএব, GCM(3,780, 250)=10, যেখান থেকে GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500। অর্থাৎ, m 4 = 94,500।

সুতরাং মূল চারটি সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণফল হল 94,500।

উত্তরঃ

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

অনেক ক্ষেত্রে, প্রদত্ত সংখ্যার মৌলিক ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যবহার করে তিন বা ততোধিক সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজে পাওয়া সুবিধাজনক। এই ক্ষেত্রে, আপনাকে নিম্নলিখিত নিয়ম মেনে চলতে হবে। কয়েকটি সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণফল গুণফলের সমান, যা নিম্নরূপ গঠিত: দ্বিতীয় সংখ্যার প্রসারণ থেকে অনুপস্থিত কারণগুলি প্রথম সংখ্যার সম্প্রসারণ থেকে সমস্ত কারণের সাথে যোগ করা হয়, এর প্রসারণ থেকে অনুপস্থিত কারণগুলি তৃতীয় সংখ্যা ফলিত কারণের সাথে যোগ করা হয়, এবং তাই।

প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যবহার করে সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল খুঁজে বের করার একটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ।

84, 6, 48, 7, 143 পাঁচটি সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজুন।

সমাধান।

প্রথমত, আমরা এই সংখ্যাগুলির পচনকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে পাই: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 একটি মৌলিক সংখ্যা, এটি মিলে যায় এর পচন প্রধান উপাদানে) এবং 143=11·13।

এই সংখ্যাগুলির LCM খুঁজে পেতে, প্রথম সংখ্যা 84 এর গুণনীয়কগুলির সাথে (এগুলি হল 2, 2, 3 এবং 7), আপনাকে দ্বিতীয় সংখ্যা 6 এর প্রসারণ থেকে অনুপস্থিত কারণগুলি যোগ করতে হবে। 6 নম্বরের পচনে অনুপস্থিত ফ্যাক্টর থাকে না, যেহেতু 2 এবং 3 উভয়ই প্রথম সংখ্যা 84 এর পচে ইতিমধ্যে উপস্থিত রয়েছে। এরপরে, 2, 2, 3 এবং 7 এর সাথে আমরা তৃতীয় সংখ্যা 48 এর প্রসারণ থেকে অনুপস্থিত ফ্যাক্টর 2 এবং 2 যোগ করি, আমরা 2, 2, 2, 2, 3 এবং 7 এর একটি সেট পাই। পরবর্তী ধাপে এই সেটটিতে গুণক যোগ করার প্রয়োজন হবে না, যেহেতু 7 ইতিমধ্যেই এতে রয়েছে। অবশেষে, 2, 2, 2, 2, 3 এবং 7 গুণনীয়কগুলিতে আমরা 143 নম্বরের প্রসারণ থেকে 11 এবং 13 অনুপস্থিত ফ্যাক্টর যোগ করি। আমরা পণ্য 2·2·2·2·3·7·11·13 পাই, যা 48,048 এর সমান।