বিভিন্ন বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কীভাবে গণনা করা যায়

ত্রিভুজ হল সবচেয়ে সাধারণ জ্যামিতিক আকারগুলির মধ্যে একটি, যা আমরা ইতিমধ্যেই পরিচিত হয়েছি প্রাথমিক বিদ্যালয়. জ্যামিতি পাঠে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় সেই প্রশ্নের মুখোমুখি প্রত্যেক শিক্ষার্থী। সুতরাং, একটি প্রদত্ত চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার বৈশিষ্ট্যগুলি চিহ্নিত করা যেতে পারে? এই নিবন্ধে আমরা এই ধরনের একটি কাজ সম্পূর্ণ করার জন্য প্রয়োজনীয় প্রাথমিক সূত্রগুলি দেখব, এবং ত্রিভুজের প্রকারগুলিও বিশ্লেষণ করব।

ত্রিভুজের প্রকারভেদ

আপনি একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একেবারে খুঁজে পেতে পারেন বিভিন্ন উপায়ে, কারণ জ্যামিতিতে তিনটি কোণ সহ একাধিক ধরণের পরিসংখ্যান রয়েছে। এই ধরনের অন্তর্ভুক্ত:

• স্থূল।
• সমবাহু (সঠিক)।
• সমকোণী ত্রিভুজ।
• সমদ্বিবাহু।

আসুন বিদ্যমান ত্রিভুজগুলির প্রতিটিটি ঘনিষ্ঠভাবে বিবেচনা করি।

যেমন জ্যামিতিক চিত্রজ্যামিতিক সমস্যা সমাধান করার সময় সবচেয়ে সাধারণ হিসাবে বিবেচিত হয়। যখন একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ আঁকার প্রয়োজন দেখা দেয়, তখন এই বিকল্পটি উদ্ধারে আসে।

একটি তীব্র ত্রিভুজে, নাম অনুসারে, সমস্ত কোণ তীব্র এবং 180° পর্যন্ত যোগ করে।

এই ধরনের ত্রিভুজটিও খুব সাধারণ, তবে একটি তীব্র ত্রিভুজের তুলনায় কিছুটা কম সাধারণ। উদাহরণস্বরূপ, ত্রিভুজগুলি সমাধান করার সময় (অর্থাৎ, এর বেশ কয়েকটি বাহু এবং কোণ জানা যায় এবং আপনাকে অবশিষ্ট উপাদানগুলি খুঁজে বের করতে হবে), কখনও কখনও আপনাকে কোণটি স্থূল কিনা তা নির্ধারণ করতে হবে। কোসাইন একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।

B, একটি কোণের মান 90° ছাড়িয়ে গেছে, তাই বাকি দুটি কোণ ছোট মান নিতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, 15° বা এমনকি 3°)।

এই ধরণের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে পেতে, আপনাকে কিছু সূক্ষ্মতা জানতে হবে, যা আমরা পরে কথা বলব।

নিয়মিত এবং সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

একটি নিয়মিত বহুভুজ হল একটি চিত্র যাতে n কোণ রয়েছে এবং সমস্ত বাহু এবং কোণগুলি সমান। এটিই একটি নিয়মিত ত্রিভুজ। যেহেতু একটি ত্রিভুজের সমস্ত কোণের সমষ্টি 180°, তাহলে তিনটি কোণের প্রতিটি 60°।

একটি নিয়মিত ত্রিভুজ, তার সম্পত্তির কারণে, একটি সমবাহু চিত্রও বলা হয়।

এটিও লক্ষণীয় যে একটি নিয়মিত ত্রিভুজে কেবল একটি বৃত্ত খোদাই করা যেতে পারে এবং এটির চারপাশে কেবল একটি বৃত্ত বর্ণনা করা যেতে পারে এবং তাদের কেন্দ্রগুলি একই বিন্দুতে অবস্থিত।

সমবাহু টাইপ ছাড়াও, কেউ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজকেও আলাদা করতে পারে, যা এটি থেকে কিছুটা আলাদা। এই ধরনের একটি ত্রিভুজে, দুটি বাহু এবং দুটি কোণ একে অপরের সমান এবং তৃতীয় বাহু (যার সমান কোণগুলি সংলগ্ন) হল ভিত্তি।

চিত্রটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ DEF দেখায় যার কোণ D এবং F সমান এবং DF হল ভিত্তি।

সমকোণী ত্রিভুজ

একটি সমকোণী ত্রিভুজকে এমন নামকরণ করা হয়েছে কারণ এর একটি কোণ সমকোণ, অর্থাৎ 90° এর সমান। অন্য দুটি কোণ 90° পর্যন্ত যোগ করে।

90° কোণের বিপরীতে অবস্থিত এই ধরনের একটি ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু হল কর্ণ, আর বাকি দুটি বাহু হল পা। এই ধরনের ত্রিভুজের জন্য, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রযোজ্য:

পায়ের দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের যোগফল কর্ণের দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমান।

চিত্রটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ BAC দেখায় যার কর্ণ AC এবং পা AB এবং BC।

একটি সমকোণ সহ একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে পেতে, আপনাকে এর পায়ের সংখ্যাসূচক মানগুলি জানতে হবে।

চলুন একটি প্রদত্ত চিত্রের ক্ষেত্রফল বের করার সূত্রে যাওয়া যাক।

এলাকা খোঁজার জন্য প্রাথমিক সূত্র

জ্যামিতিতে, দুটি সূত্র রয়েছে যা বেশিরভাগ ধরণের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার জন্য উপযুক্ত, যেমন তীব্র, স্থূল, নিয়মিত এবং সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলির জন্য। আসুন তাদের প্রতিটি তাকান.

পাশে এবং উচ্চতা দ্বারা

এই সূত্রআমরা যে চিত্রটি বিবেচনা করছি তার ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার জন্য সর্বজনীন। এটি করার জন্য, পাশের দৈর্ঘ্য এবং এটিতে আঁকা উচ্চতার দৈর্ঘ্য জানা যথেষ্ট। সূত্রটি নিজেই (বেস এবং উচ্চতার অর্ধেক গুণফল) নিম্নরূপ:

যেখানে A হল একটি প্রদত্ত ত্রিভুজের বাহু, এবং H হল ত্রিভুজের উচ্চতা।

উদাহরণস্বরূপ, একটি তীব্র ত্রিভুজ ACB-এর ক্ষেত্রফল বের করতে, আপনাকে এর বাহুর AB-কে উচ্চতা CD দ্বারা গুণ করতে হবে এবং ফলস্বরূপ মানটিকে দুই দ্বারা ভাগ করতে হবে।

যাইহোক, এইভাবে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে পাওয়া সবসময় সহজ নয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি স্থূল ত্রিভুজের জন্য এই সূত্রটি ব্যবহার করতে, আপনাকে এর একটি বাহু প্রসারিত করতে হবে এবং শুধুমাত্র তারপরে এটিতে একটি উচ্চতা আঁকতে হবে।

অনুশীলনে, এই সূত্রটি অন্যদের তুলনায় প্রায়শই ব্যবহৃত হয়।

উভয় পাশে এবং কোণে

এই সূত্রটি, পূর্ববর্তীটির মতো, বেশিরভাগ ত্রিভুজের জন্য উপযুক্ত এবং এর অর্থ হল একটি ত্রিভুজের পাশাপাশি ক্ষেত্রফল এবং উচ্চতা খুঁজে বের করার সূত্রের ফলাফল। অর্থাৎ, প্রশ্নে থাকা সূত্রটি আগেরটি থেকে সহজেই বের করা যেতে পারে। এর গঠন এই মত দেখায়:

S = ½*sinO*A*B,

যেখানে A এবং B ত্রিভুজের বাহু এবং O হল A এবং B বাহুর মধ্যবর্তী কোণ।

আমাদের স্মরণ করা যাক যে একটি কোণের সাইন অসামান্য সোভিয়েত গণিতবিদ ভি এম ব্র্যাডিসের নামে নামকরণ করা একটি বিশেষ টেবিলে দেখা যেতে পারে।

এখন চলুন অন্যান্য সূত্রে যাওয়া যাক যা শুধুমাত্র ব্যতিক্রমী ধরনের ত্রিভুজের জন্য উপযুক্ত।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

সার্বজনীন সূত্র ছাড়াও, যার মধ্যে একটি ত্রিভুজের উচ্চতা খুঁজে বের করার প্রয়োজনীয়তা রয়েছে, একটি সমকোণ বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার পা থেকে পাওয়া যেতে পারে।

সুতরাং, সমকোণ বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার পায়ের গুণফলের অর্ধেক, বা:

যেখানে a এবং b পা সমকোণী ত্রিভুজ.

নিয়মিত ত্রিভুজ

এই ধরনেরজ্যামিতিক পরিসংখ্যান ভিন্ন যে এর ক্ষেত্রফল শুধুমাত্র একটি বাহুর নির্দেশিত মান দিয়ে পাওয়া যায় (যেহেতু একটি নিয়মিত ত্রিভুজের সব বাহু সমান)। সুতরাং, যখন "পক্ষগুলি সমান হলে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার" কাজের মুখোমুখি হন, তখন আপনাকে নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে:

S = A 2 *√3 / 4,

যেখানে A হল সমবাহু ত্রিভুজের বাহু।

হেরনের সূত্র

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার শেষ বিকল্পটি হেরনের সূত্র। এটি ব্যবহার করার জন্য, আপনাকে চিত্রের তিন দিকের দৈর্ঘ্য জানতে হবে। হেরনের সূত্র এই মত দেখায়:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

যেখানে a, b এবং c একটি প্রদত্ত ত্রিভুজের বাহু।

কখনও কখনও সমস্যা দেওয়া হয়: "একটি নিয়মিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল এর বাহুর দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করা।" এই ক্ষেত্রে, একটি নিয়মিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার জন্য আমাদের ইতিমধ্যেই জানা সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে এবং এটি থেকে বাহুর (বা এর বর্গক্ষেত্র) মান বের করতে হবে:

A 2 = 4S/√3.

পরীক্ষার কাজ

গণিতে জিআইএ সমস্যার অনেক সূত্র রয়েছে। এছাড়াও, প্রায়শই চেকার্ড কাগজে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

এই ক্ষেত্রে, চিত্রের একপাশে উচ্চতা আঁকতে, কোষ থেকে এর দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করা এবং এলাকাটি সন্ধানের জন্য সর্বজনীন সূত্র ব্যবহার করা সবচেয়ে সুবিধাজনক:

সুতরাং, নিবন্ধে উপস্থাপিত সূত্রগুলি অধ্যয়ন করার পরে, আপনার কোনও ধরণের ত্রিভুজের ক্ষেত্র খুঁজে পেতে কোনও সমস্যা হবে না।

জীবনে কখনও কখনও এমন পরিস্থিতি আসে যখন আপনাকে দীর্ঘদিনের ভুলে যাওয়া স্কুল জ্ঞানের সন্ধানে আপনার স্মৃতিতে অনুসন্ধান করতে হয়। উদাহরণস্বরূপ, আপনাকে একটি ত্রিভুজাকার আকৃতির জমির ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করতে হবে, বা একটি অ্যাপার্টমেন্ট বা ব্যক্তিগত বাড়িতে আরেকটি সংস্কারের সময় এসেছে এবং আপনাকে একটি পৃষ্ঠের জন্য কতটা উপাদান প্রয়োজন হবে তা গণনা করতে হবে। একটি ত্রিভুজাকার আকৃতি। একটি সময় ছিল যখন আপনি কয়েক মিনিটের মধ্যে এই জাতীয় সমস্যা সমাধান করতে পারতেন, তবে এখন আপনি মরিয়া হয়ে মনে করার চেষ্টা করছেন কীভাবে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করবেন?

এটা নিয়ে চিন্তা করবেন না! সর্বোপরি, এটি খুবই স্বাভাবিক যখন একজন ব্যক্তির মস্তিষ্ক দীর্ঘ-অব্যবহৃত জ্ঞানকে দূরবর্তী কোণে কোথাও স্থানান্তর করার সিদ্ধান্ত নেয়, যেখান থেকে কখনও কখনও এটি বের করা এত সহজ নয়। যাতে এই জাতীয় সমস্যা সমাধানের জন্য আপনাকে ভুলে যাওয়া স্কুল জ্ঞানের সন্ধানের সাথে লড়াই করতে না হয়, এই নিবন্ধটিতে বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে যা একটি ত্রিভুজের প্রয়োজনীয় ক্ষেত্র খুঁজে পাওয়া সহজ করে তোলে।

এটা সুপরিচিত যে একটি ত্রিভুজ হল এক ধরনের বহুভুজ যা ন্যূনতম সম্ভাব্য বাহুর সংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ। নীতিগতভাবে, যেকোন বহুভুজকে এর শীর্ষবিন্দুগুলিকে এমন অংশগুলির সাথে সংযুক্ত করে কয়েকটি ত্রিভুজে বিভক্ত করা যেতে পারে যেগুলি তার বাহুগুলিকে ছেদ করে না। অতএব, ত্রিভুজটি জেনে, আপনি প্রায় যে কোনও চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করতে পারেন।

জীবনে ঘটে যাওয়া সমস্ত সম্ভাব্য ত্রিভুজগুলির মধ্যে, নিম্নলিখিত বিশেষ প্রকারগুলিকে আলাদা করা যেতে পারে: এবং আয়তক্ষেত্রাকার।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল যখন এর একটি কোণ সমকোণ হয়, অর্থাৎ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে। এটি দেখতে সহজ যে এটি অর্ধেক আয়তক্ষেত্র। অতএব, এর ক্ষেত্রফল বাহুগুলির অর্ধেক গুণফলের সমান যা একে অপরের সাথে একটি সমকোণ গঠন করে।

যদি আমরা একটি ত্রিভুজের উচ্চতা জানি, তার একটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত দিকে নামানো হয় এবং এই পাশের দৈর্ঘ্য, যাকে ভিত্তি বলা হয়, তাহলে ক্ষেত্রফলটি উচ্চতা এবং ভিত্তির অর্ধেক গুণফল হিসাবে গণনা করা হয়। এটি নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে লেখা হয়:

S = 1/2*b*h, যার মধ্যে

S হল ত্রিভুজের প্রয়োজনীয় ক্ষেত্র;

b, h - যথাক্রমে, ত্রিভুজের উচ্চতা এবং ভিত্তি।

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা এত সহজ কারণ উচ্চতা বিপরীত দিকে দ্বিখণ্ডিত হবে এবং সহজেই পরিমাপ করা যাবে। যদি ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করা হয়, তাহলে উচ্চতা হিসাবে একটি সমকোণ গঠনকারী একটি পক্ষের দৈর্ঘ্য নেওয়া সুবিধাজনক।

এই সব অবশ্যই ভাল, কিন্তু একটি ত্রিভুজের একটি কোণ সঠিক কি না তা কীভাবে নির্ধারণ করবেন? যদি আমাদের চিত্রের আকার ছোট হয়, তাহলে আমরা একটি নির্মাণ কোণ, একটি অঙ্কন ত্রিভুজ, একটি পোস্টকার্ড বা একটি আয়তক্ষেত্রাকার আকৃতির অন্য বস্তু ব্যবহার করতে পারি।

কিন্তু যদি আমাদের জমির ত্রিভুজাকার প্লট থাকে? এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত হিসাবে এগিয়ে যান: প্রত্যাশিত শীর্ষ থেকে গণনা সমকোণএকদিকে দূরত্ব হল 3 এর গুণিতক (30 সেমি, 90 সেমি, 3 মি), এবং অন্য দিকে দূরত্বটি একই অনুপাতে 4 (40 সেমি, 160 সেমি, 4 মিটার) এর গুণিতক। এখন আপনাকে এই দুটি অংশের শেষ বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব পরিমাপ করতে হবে। যদি ফলাফলটি 5 এর গুণিতক হয় (50 সেমি, 250 সেমি, 5 মি), তাহলে আমরা বলতে পারি যে কোণটি সঠিক।

আমাদের চিত্রের তিনটি বাহুর প্রতিটির দৈর্ঘ্য জানা থাকলে হেরনের সূত্র ব্যবহার করে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়। এটির একটি সহজ ফর্ম থাকার জন্য, একটি নতুন মান ব্যবহার করা হয়, যাকে আধা-ঘের বলা হয়। এটি আমাদের ত্রিভুজের সমস্ত বাহুর সমষ্টি, অর্ধেকে বিভক্ত। আধা-ঘেরটি গণনা করার পরে, আপনি সূত্রটি ব্যবহার করে এলাকা নির্ধারণ করতে শুরু করতে পারেন:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), যেখানে

sqrt - বর্গমূল;

p - আধা-ঘেরের মান (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - ত্রিভুজের প্রান্ত (পার্শ্ব)।

কিন্তু ত্রিভুজের অনিয়মিত আকৃতি থাকলে কী হবে? এখানে দুটি সম্ভাব্য উপায় আছে। তাদের মধ্যে প্রথমটি হল এই জাতীয় চিত্রটিকে দুটি সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করার চেষ্টা করা, যার ক্ষেত্রগুলির যোগফল আলাদাভাবে গণনা করা হয় এবং তারপরে যোগ করা হয়। অথবা, যদি দুই বাহুর মধ্যবর্তী কোণ এবং এই বাহুর আকার জানা থাকে, তাহলে সূত্রটি প্রয়োগ করুন:

S = 0.5 * ab * sinC, যেখানে

a,b - ত্রিভুজের বাহু;

c হল এই বাহুর মধ্যবর্তী কোণের মাপ।

পরের ঘটনাটি অনুশীলনে বিরল, তবে তা সত্ত্বেও, জীবনে সবকিছুই সম্ভব, তাই উপরের সূত্রটি অতিরিক্ত হবে না। আপনার গণনা সঙ্গে সৌভাগ্য!

আপনি থেকে মনে হতে পারে স্কুল পাঠ্যক্রমজ্যামিতি অনুসারে, একটি ত্রিভুজ হল একটি চিত্র যা তিনটি বিন্দু দ্বারা সংযুক্ত তিনটি অংশ থেকে গঠিত যা একই সরলরেখায় থাকে না। একটি ত্রিভুজ তিনটি কোণ গঠন করে, তাই চিত্রটির নাম। সংজ্ঞা ভিন্ন হতে পারে। একটি ত্রিভুজকে তিনটি কোণ বিশিষ্ট বহুভুজও বলা যেতে পারে, উত্তরটিও সঠিক হবে। ত্রিভুজগুলিকে সমান বাহুর সংখ্যা এবং চিত্রের কোণের আকার অনুসারে ভাগ করা হয়েছে। এইভাবে, ত্রিভুজগুলিকে যথাক্রমে সমদ্বিবাহু, সমবাহু এবং স্কেলিনের পাশাপাশি আয়তক্ষেত্রাকার, তীব্র এবং স্থূল হিসাবে আলাদা করা হয়।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য প্রচুর সূত্র রয়েছে। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কীভাবে খুঁজে পাবেন তা চয়ন করুন, যেমন কোন সূত্র ব্যবহার করবেন তা আপনার উপর নির্ভর করে। তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য অনেক সূত্রে ব্যবহৃত কিছু স্বরলিপিই লক্ষ্য করার মতো। সুতরাং, মনে রাখবেন:

S হল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,

a, b, c হল ত্রিভুজের বাহু,

h হল ত্রিভুজের উচ্চতা,

R হল পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ,

p হল আধা-ঘের।

আপনি যদি আপনার জ্যামিতি কোর্সটি সম্পূর্ণভাবে ভুলে যান তবে এখানে মৌলিক স্বরলিপিগুলি রয়েছে যা আপনার জন্য উপযোগী হতে পারে। নীচে একটি ত্রিভুজের অজানা এবং রহস্যময় এলাকা গণনা করার জন্য সবচেয়ে বোধগম্য এবং জটিল বিকল্পগুলি রয়েছে। এটি কঠিন নয় এবং আপনার পরিবারের প্রয়োজন এবং আপনার সন্তানদের সাহায্য করার জন্য উভয়ই কার্যকর হবে। আসুন মনে রাখি কিভাবে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যতটা সম্ভব সহজে গণনা করা যায়:

আমাদের ক্ষেত্রে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল: S = ½ * 2.2 সেমি * 2.5 সেমি = 2.75 বর্গ সেমি। মনে রাখবেন যে এলাকাটি বর্গ সেন্টিমিটার (sqcm) এ পরিমাপ করা হয়।

সমকোণী ত্রিভুজ এবং এর ক্ষেত্রফল।

একটি সমকোণী ত্রিভুজ হল একটি ত্রিভুজ যার একটি কোণ 90 ডিগ্রির সমান (তাই ডান বলা হয়)। একটি সমকোণ দুটি লম্ব রেখা দ্বারা গঠিত হয় (একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, দুটি লম্ব অংশ)। একটি সমকোণী ত্রিভুজে শুধুমাত্র একটি সমকোণ থাকতে পারে, কারণ... যেকোনো একটি ত্রিভুজের সকল কোণের সমষ্টি 180 ডিগ্রির সমান। দেখা যাচ্ছে যে 2টি অন্য কোণ বাকি 90 ডিগ্রিকে ভাগ করতে হবে, উদাহরণস্বরূপ 70 এবং 20, 45 এবং 45 ইত্যাদি। সুতরাং, আপনি মূল জিনিসটি মনে রাখবেন, যা বাকি থাকে তা হল কীভাবে একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করা যায়। আসুন কল্পনা করি যে আমাদের সামনে এমন একটি সমকোণী ত্রিভুজ রয়েছে এবং আমাদের এর ক্ষেত্রফল S খুঁজে বের করতে হবে।

1. একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার সবচেয়ে সহজ উপায় নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

আমাদের ক্ষেত্রে, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল: S = 2.5 সেমি * 3 সেমি / 2 = 3.75 বর্গ সেমি।

নীতিগতভাবে, অন্য উপায়ে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যাচাই করার আর প্রয়োজন নেই, কারণ শুধুমাত্র এই একটি দরকারী হবে এবং দৈনন্দিন জীবনে সাহায্য করবে। তবে তীব্র কোণের মাধ্যমে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পরিমাপের বিকল্পও রয়েছে।

2. অন্যান্য গণনা পদ্ধতির জন্য, আপনার অবশ্যই কোসাইন, সাইন এবং স্পর্শকগুলির একটি টেবিল থাকতে হবে। নিজের জন্য বিচার করুন, এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য কিছু বিকল্প রয়েছে যা এখনও ব্যবহার করা যেতে পারে:

আমরা প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি এবং কিছু ছোটখাট দাগ দিয়ে (আমরা এটি একটি নোটবুকে আঁকলাম এবং একটি পুরানো শাসক এবং প্রটেক্টর ব্যবহার করেছি), তবে আমরা সঠিক গণনা পেয়েছি:

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2)। আমরা নিম্নলিখিত ফলাফল পেয়েছি: 3.6=3.7, কিন্তু কোষের স্থানান্তর বিবেচনায় নিয়ে আমরা এই সংক্ষিপ্ততাকে ক্ষমা করতে পারি।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর ক্ষেত্রফল।

যদি আপনি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সূত্র গণনা করার কাজের মুখোমুখি হন, তবে সবচেয়ে সহজ উপায় হল প্রধানটি ব্যবহার করা এবং কীভাবে এটি গণনা করা হয়। শাস্ত্রীয় সূত্রত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

তবে প্রথমে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার আগে, এটি কী ধরনের চিত্র তা জেনে নেওয়া যাক। একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হল একটি ত্রিভুজ যার দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য একই। এই দুই বাহুকে বলা হয় পার্শ্বীয়, তৃতীয় বাহুকে বেস বলা হয়। একটি সমবাহু ত্রিভুজের সাথে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজকে বিভ্রান্ত করবেন না, যেমন একটি নিয়মিত ত্রিভুজ যার তিনটি বাহু সমান। এই জাতীয় ত্রিভুজে কোণগুলির জন্য বা তাদের আকারের জন্য কোনও বিশেষ প্রবণতা নেই। যাইহোক, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তির কোণগুলি সমান, তবে সমান বাহুর মধ্যবর্তী কোণ থেকে আলাদা। সুতরাং, আপনি ইতিমধ্যেই প্রথম এবং প্রধান সূত্রটি জানেন; একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ধারণের জন্য অন্য কোন সূত্রগুলি জানা যায়:

একটি ত্রিভুজ হল সবচেয়ে সহজ জ্যামিতিক চিত্র, যা তিনটি বাহু এবং তিনটি শীর্ষবিন্দু নিয়ে গঠিত। এর সরলতার কারণে, ত্রিভুজটি প্রাচীনকাল থেকেই বিভিন্ন পরিমাপ নেওয়ার জন্য ব্যবহৃত হয়ে আসছে এবং আজ চিত্রটি ব্যবহারিক এবং দৈনন্দিন সমস্যা সমাধানের জন্য কার্যকর হতে পারে।

একটি ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য

চিত্রটি প্রাচীনকাল থেকে গণনার জন্য ব্যবহার করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, ভূমি জরিপকারী এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা এলাকা এবং দূরত্ব গণনা করতে ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে কাজ করে। এই চিত্রের ক্ষেত্রফলের মাধ্যমে যেকোনো এন-গনের ক্ষেত্রফল প্রকাশ করা সহজ, এবং এই বৈশিষ্ট্যটি প্রাচীন বিজ্ঞানীরা বহুভুজের ক্ষেত্রগুলির জন্য সূত্র বের করতে ব্যবহার করেছিলেন। ত্রিভুজগুলির সাথে ধ্রুবক কাজ, বিশেষত সমকোণী ত্রিভুজ, গণিতের একটি সম্পূর্ণ শাখার ভিত্তি হয়ে উঠেছে - ত্রিকোণমিতি।

ত্রিভুজ জ্যামিতি

জ্যামিতিক চিত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রাচীন কাল থেকেই অধ্যয়ন করা হয়েছে: ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রাচীনতম তথ্য 4,000 বছর আগে মিশরীয় প্যাপিরিতে পাওয়া গিয়েছিল। তারপরে চিত্রটি অধ্যয়ন করা হয়েছিল প্রাচীন গ্রীসএবং ত্রিভুজের জ্যামিতিতে সবচেয়ে বড় অবদান ছিল ইউক্লিড, পিথাগোরাস এবং হেরন। ত্রিভুজের অধ্যয়ন কখনই বন্ধ হয়নি এবং 18 শতকে, লিওনহার্ড অয়লার একটি চিত্রের অর্থকেন্দ্র এবং অয়লার বৃত্তের ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন। 19 এবং 20 শতকের শুরুতে, যখন মনে হয়েছিল যে ত্রিভুজ সম্পর্কে একেবারেই সব কিছু জানা গেছে, ফ্র্যাঙ্ক মর্লে কোণ ত্রিভুজগুলির উপর উপপাদ্য তৈরি করেছিলেন, এবং ওয়াক্লা সিয়ের্পিনস্কি ফ্র্যাক্টাল ত্রিভুজ প্রস্তাব করেছিলেন।

আমাদের পরিচিত সমতল ত্রিভুজ বিভিন্ন ধরনের আছে স্কুল কোর্সজ্যামিতি:

• তীব্র - চিত্রের সমস্ত কোণ তীব্র;
• obtuse - চিত্র একটি আছে স্থূল কোণ(90 ডিগ্রির বেশি);
• আয়তক্ষেত্রাকার - চিত্রটিতে 90 ডিগ্রির সমান একটি সমকোণ রয়েছে;
• সমদ্বিবাহু - দুটি সমান বাহু সহ একটি ত্রিভুজ;
• সমবাহু - সমস্ত সমান বাহু সহ একটি ত্রিভুজ।
• IN বাস্তব জীবনসব ধরণের ত্রিভুজ রয়েছে এবং কিছু ক্ষেত্রে আমাদের জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করতে হতে পারে।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

ক্ষেত্রফল হল একটি ফিগার কতটা সমতলকে ঘিরে রয়েছে তার একটি অনুমান। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ছয়টি উপায়ে পাওয়া যেতে পারে, বাহু, উচ্চতা, কোণ, খোদাই করা বা বৃত্তাকার ব্যাসার্ধ ব্যবহার করে, সেইসাথে হেরনের সূত্র ব্যবহার করে বা সমতলকে আবদ্ধ রেখা বরাবর ডবল ইন্টিগ্রাল গণনা করা যায়। সবচেয়ে বেশি সহজ সূত্রএকটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য এটির মতো দেখাচ্ছে:

যেখানে a হল ত্রিভুজের বাহু, h হল এর উচ্চতা।

যাইহোক, বাস্তবে জ্যামিতিক চিত্রের উচ্চতা খুঁজে পাওয়া আমাদের পক্ষে সবসময় সুবিধাজনক নয়। আমাদের ক্যালকুলেটরের অ্যালগরিদম আপনাকে জেনে এলাকা গণনা করতে দেয়:

• তিন দিক;
• দুই পক্ষ এবং তাদের মধ্যে কোণ;
• এক পাশ এবং দুই কোণে।

তিনটি দিক দিয়ে এলাকা নির্ধারণ করতে, আমরা হেরনের সূত্র ব্যবহার করি:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

যেখানে p হল ত্রিভুজের অর্ধ-ঘের।

দুই পাশের ক্ষেত্রফল এবং একটি কোণ ক্লাসিক সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

S = a × b × sin(alfa),

যেখানে আলফা হল a এবং b বাহুর মধ্যবর্তী কোণ।

এক বাহু এবং দুই কোণের পরিপ্রেক্ষিতে ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করতে, আমরা সম্পর্কটি ব্যবহার করি যে:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

একটি সাধারণ অনুপাত ব্যবহার করে, আমরা দ্বিতীয় দিকের দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করি, তারপরে আমরা S = a × b × sin(alfa) সূত্রটি ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল গণনা করি। এই অ্যালগরিদম সম্পূর্ণরূপে স্বয়ংক্রিয় এবং আপনাকে শুধুমাত্র নির্দিষ্ট ভেরিয়েবল লিখতে হবে এবং ফলাফল পেতে হবে। এর উদাহরণ একটি দম্পতি তাকান.

জীবন থেকে উদাহরণ

পাকা স্ল্যাব

ধরা যাক আপনি ত্রিভুজাকার টাইলস দিয়ে মেঝে প্রশস্ত করতে চান এবং পরিমাণ নির্ধারণ করতে চান প্রয়োজনীয় উপাদান, আপনার একটি টাইলের ক্ষেত্রফল এবং মেঝেটির ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করা উচিত। ধরুন আপনাকে একটি টাইল ব্যবহার করে 6 বর্গ মিটার পৃষ্ঠ প্রক্রিয়া করতে হবে যার মাত্রা a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm স্পষ্টতই, একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করতে, ক্যালকুলেটরটি হেরনের সূত্র ব্যবহার করে এবং দেয়। ফলাফল:

সুতরাং, একটি টাইল উপাদানের ক্ষেত্রফল হবে 0.021 বর্গ মিটার, এবং মেঝে উন্নতির জন্য আপনার প্রয়োজন হবে 6/0.021 = 285 ত্রিভুজ। 20, 21 এবং 29 সংখ্যাগুলি একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপল গঠন করে - সংখ্যা যা পূরণ করে। এবং এটা ঠিক, আমাদের ক্যালকুলেটরও ত্রিভুজের সমস্ত কোণ গণনা করেছে এবং গামা কোণ ঠিক 90 ডিগ্রি।

স্কুল টাস্ক

একটি স্কুলের সমস্যায়, আপনাকে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে হবে, জেনে নিন যে পাশে a = 5 সেমি, এবং কোণ আলফা এবং বিটা যথাক্রমে 30 এবং 50 ডিগ্রি। এই সমস্যাটি ম্যানুয়ালি সমাধান করার জন্য, আমরা প্রথমে আকৃতির অনুপাতের অনুপাত এবং বিপরীত কোণের সাইন ব্যবহার করে পাশের b এর মান খুঁজে বের করব এবং তারপর সহজ সূত্র S = a × b × sin(alfa) ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করব। আসুন সময় বাঁচাই, ক্যালকুলেটর ফর্মে ডেটা প্রবেশ করি এবং একটি তাত্ক্ষণিক উত্তর পাই

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করার সময়, কোণ এবং দিকগুলি সঠিকভাবে নির্দেশ করা গুরুত্বপূর্ণ, অন্যথায় ফলাফলটি ভুল হবে।

উপসংহার

ত্রিভুজ একটি অনন্য চিত্র যা বাস্তব জীবনে এবং বিমূর্ত গণনা উভয় ক্ষেত্রেই পাওয়া যায়। যেকোনো ধরনের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে আমাদের অনলাইন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন।

একটি ত্রিভুজ হল একটি জ্যামিতিক চিত্র যা একই সরলরেখার উপর অবস্থিত নয় এমন বিন্দুতে সংযোগকারী তিনটি সরল রেখা নিয়ে গঠিত। লাইনের সংযোগ বিন্দু হল ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু, যা ল্যাটিন অক্ষর দ্বারা মনোনীত করা হয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, A, B, C)। একটি ত্রিভুজের সংযোগকারী সরল রেখাগুলিকে সেগমেন্ট বলা হয়, যা সাধারণত ল্যাটিন অক্ষর দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়। নিম্নলিখিত ধরণের ত্রিভুজগুলি আলাদা করা হয়:

• আয়তক্ষেত্রাকার।
• স্থূল।
• তীব্র কৌণিক।
• বহুমুখী।
• সমবাহু।
• সমদ্বিবাহু।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনার জন্য সাধারণ সূত্র

দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতার উপর ভিত্তি করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র

S= a*h/2,
যেখানে a হল ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যার ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে হবে, h হল বেসের দিকে টানা উচ্চতার দৈর্ঘ্য।

হেরনের সূত্র

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
যেখানে √ হল বর্গমূল, p হল ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা, a,b,c হল ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য। p=(a+b+c)/2 সূত্র ব্যবহার করে একটি ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা গণনা করা যেতে পারে।

কোণ এবং রেখাংশের দৈর্ঘ্যের উপর ভিত্তি করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র

S = (a*b*sin(α))/2,
যেখানে b,c হয়ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, sin(α) হল দুই বাহুর মধ্যবর্তী কোণের সাইন।

উৎকীর্ণ বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং তিনটি বাহু দেওয়া ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র

S=p*r,
যেখানে p হল ত্রিভুজের অর্ধ-ঘের যার ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে হবে, r হল এই ত্রিভুজে খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

তিনটি বাহুর উপর ভিত্তি করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এবং তার চারপাশে পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধের সূত্র

S= (a*b*c)/4*R,
যেখানে a,b,c হল ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য, R হল ত্রিভুজের চারপাশে পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

বিন্দুর কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র

বিন্দুর কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক হল xOy সিস্টেমে স্থানাঙ্ক, যেখানে x হল অ্যাবসিসা, y হল অর্ডিনেট। একটি সমতলে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেম xOy হল পারস্পরিক লম্ব সংখ্যাসূচক অক্ষ Ox এবং Oy সাধারণ শুরু O বিন্দুতে রেফারেন্স। যদি এই সমতলে বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি A(x1, y1), B(x2, y2) এবং C(x3, y3) আকারে দেওয়া হয়, তাহলে আপনি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারেন নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে, যা থেকে প্রাপ্ত হয় ভেক্টর পণ্যদুটি ভেক্টর।
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
যেখানে || মডিউল বোঝায়।

কিভাবে একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করা যায়

একটি সমকোণী ত্রিভুজ হল একটি ত্রিভুজ যার একটি কোণ 90 ডিগ্রি পরিমাপ করে। একটি ত্রিভুজের একটি মাত্র কোণ থাকতে পারে।

দুই বাহুর সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র

S= a*b/2,
যেখানে a,b হল পায়ের দৈর্ঘ্য। পা হল একটি সমকোণ সংলগ্ন দিক।

কর্ণ এবং তীব্র কোণের উপর ভিত্তি করে একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র

S = a*b*sin(α)/ 2,
যেখানে a, b হল ত্রিভুজের পা এবং sin(α) হল সেই কোণের সাইন যেখানে a, b রেখাগুলিকে ছেদ করে।

বাহু এবং বিপরীত কোণের উপর ভিত্তি করে একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র

S = a*b/2*tg(β),
যেখানে a, b ত্রিভুজের পা, tan(β) হল সেই কোণের স্পর্শক যেখানে পা a, b সংযুক্ত।

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কীভাবে গণনা করা যায়

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হল একটি যার দুটি সমান বাহু রয়েছে। এই দিকগুলিকে বলা হয় বাহু, এবং অন্য দিকেকে বেস বলা হয়। একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, আপনি নিম্নলিখিত সূত্রগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করতে পারেন।

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনার জন্য মৌলিক সূত্র

S=h*c/2,
যেখানে c হল ত্রিভুজের ভিত্তি, h হল বেসের দিকে নামানো ত্রিভুজের উচ্চতা।

বাহু এবং ভিত্তির উপর ভিত্তি করে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সূত্র

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
যেখানে c হল ত্রিভুজের ভিত্তি, a হল সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর আকার।

কিভাবে একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করবেন

একটি সমবাহু ত্রিভুজ হল একটি ত্রিভুজ যার সমস্ত বাহু সমান। একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আপনি নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন:
S = (√3*a*a)/4,
যেখানে a হল সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য।

উপরের সূত্রগুলি আপনাকে ত্রিভুজের প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রফল গণনা করার অনুমতি দেবে। এটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আপনাকে ত্রিভুজের ধরণ এবং গণনার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে এমন উপলব্ধ ডেটা বিবেচনা করতে হবে।