একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের পার্থক্য করার নিয়ম। জটিল ডেরিভেটিভস
"পুরানো" পাঠ্যপুস্তকে এটিকে "চেইন" নিয়মও বলা হয়। তাই যদি y = f (u), এবং u = φ (x), অর্থাৎ
y = f (φ (x))
জটিল - যৌগিক ফাংশন (ফাংশনের সংমিশ্রণ) তারপর
যেখানে 
, গণনার পরে বিবেচনা করা হয় u = φ (x)।
মনে রাখবেন যে এখানে আমরা একই ফাংশন থেকে "ভিন্ন" রচনাগুলি নিয়েছি এবং পার্থক্যের ফলাফল স্বাভাবিকভাবেই "মিশ্রণের" ক্রম উপর নির্ভর করে।
শৃঙ্খল নিয়ম স্বাভাবিকভাবেই তিন বা ততোধিক ফাংশনের রচনায় প্রসারিত। এই ক্ষেত্রে, "চেইন"-এ তিনটি বা তার বেশি "লিঙ্ক" থাকবে যা ডেরিভেটিভ তৈরি করে। এখানে গুণের সাথে একটি সাদৃশ্য রয়েছে: ডেরিভেটিভের একটি টেবিল "আমাদের আছে"; "সেখানে" - গুণন সারণী; "আমাদের সাথে" হল চেইন নিয়ম এবং "সেখানে" হল "কলাম" গুণের নিয়ম। এই জাতীয় "জটিল" ডেরিভেটিভগুলি গণনা করার সময়, কোনও সহায়ক আর্গুমেন্ট (u¸v, ইত্যাদি) অবশ্যই প্রবর্তন করা হয় না, তবে, রচনায় জড়িত ফাংশনগুলির সংখ্যা এবং ক্রম নিজেদের জন্য উল্লেখ করে, সংশ্লিষ্ট লিঙ্কগুলি "স্ট্রং" হয় নির্দেশিত ক্রমে।
.
এখানে, "x" এর সাথে "y" এর অর্থ পেতে, পাঁচটি অপারেশন সঞ্চালিত হয়, অর্থাৎ, পাঁচটি ফাংশনের একটি রচনা রয়েছে: "বহিরাগত" (তাদের মধ্যে শেষটি) - সূচকীয় - e ; তারপর বিপরীত ক্রমে, শক্তি. (♦) 2;ত্রিকোণমিতিক পাপ();
উপশম () 3 এবং অবশেষে লগারিদমিক ln.()। সেজন্যনিম্নলিখিত উদাহরণগুলির সাহায্যে আমরা "এক ঢিলে জোড়া পাখি মেরে ফেলব": আমরা জটিল ফাংশনগুলিকে আলাদা করার অনুশীলন করব এবং ডেরিভেটিভের টেবিলে যোগ করব প্রাথমিক ফাংশন. তাই:
4. জন্য পাওয়ার ফাংশন- y = x α - সুপরিচিত “মৌলিক ব্যবহার করে পুনরায় লেখার মাধ্যমে
লগারিদমিক পরিচয় " - b=e ln b - আকারে x α = x α ln x আমরা পাই 5. বিনামূল্যে
.
সূচকীয় ফাংশন
একই কৌশল ব্যবহার করে আমাদের থাকবে
6. বিনামূল্যে
লগারিদমিক ফাংশন
একটি নতুন বেসে যাওয়ার জন্য সুপরিচিত সূত্র ব্যবহার করে, আমরা ধারাবাহিকভাবে প্রাপ্ত করি 
,
পরিশেষে, আসুন আমরা এইগুলি এবং অন্যান্য কিছু ডেরিভেটিভের সংক্ষিপ্তসার করি যেগুলি নীচের টেবিলে সহজেই পাওয়া যায়।
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
জটিল ডেরিভেটিভস। লগারিদমিক ডেরিভেটিভ।
একটি শক্তি-সূচক ফাংশনের ডেরিভেটিভ
আমরা আমাদের পার্থক্য কৌশল উন্নত করতে অবিরত. এই পাঠে, আমরা আমাদের কভার করা উপাদানগুলিকে একীভূত করব, আরও জটিল ডেরিভেটিভগুলি দেখব, এবং বিশেষ করে লগারিদমিক ডেরিভেটিভের সাথে একটি ডেরিভেটিভ খোঁজার জন্য নতুন কৌশল এবং কৌশলগুলির সাথে পরিচিত হব।
যে পাঠকদের প্রস্তুতির মাত্রা কম তাদের নিবন্ধটি উল্লেখ করা উচিত কিভাবে ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে? সমাধানের উদাহরণ, যা আপনাকে প্রায় স্ক্র্যাচ থেকে আপনার দক্ষতা বাড়াতে অনুমতি দেবে। এর পরে, আপনাকে পৃষ্ঠাটি সাবধানে অধ্যয়ন করতে হবে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ, বুঝুন এবং সমাধান করুন সবউদাহরণ আমি দিয়েছি। এই পাঠটি যৌক্তিকভাবে একটি সারিতে তৃতীয়, এবং এটি আয়ত্ত করার পরে আপনি আত্মবিশ্বাসের সাথে মোটামুটি জটিল ফাংশনগুলিকে আলাদা করতে পারবেন। “কোথায় আর এই পদ গ্রহণ করা অবাঞ্ছিত? হ্যাঁ, এটি যথেষ্ট ”, যেহেতু সমস্ত উদাহরণ এবং সমাধান বাস্তব থেকে নেওয়া হয়েছে পরীক্ষাএবং প্রায়ই অনুশীলন সম্মুখীন হয়.
এর পুনরাবৃত্তি দিয়ে শুরু করা যাক। ক্লাসে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভআমরা বিস্তারিত মন্তব্য সহ উদাহরণ একটি সংখ্যা দেখেছি. ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের অন্যান্য শাখাগুলি অধ্যয়ন করার সময়, আপনাকে প্রায়শই পার্থক্য করতে হবে এবং উদাহরণগুলি বিশদভাবে বর্ণনা করা সর্বদা সুবিধাজনক নয় (এবং সর্বদা প্রয়োজনীয় নয়)। অতএব, আমরা মৌখিকভাবে ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার অনুশীলন করব। এর জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত "প্রার্থী" হল সহজতম জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ, উদাহরণস্বরূপ:
জটিল ফাংশন পার্থক্য নিয়ম অনুযায়ী 
:
ভবিষ্যতে অন্যান্য ম্যাটান বিষয়গুলি অধ্যয়ন করার সময়, এই ধরনের একটি বিস্তারিত রেকর্ড প্রায়শই প্রয়োজন হয় না, এটি অনুমান করা হয় যে শিক্ষার্থী কীভাবে অটোপাইলটে এই ধরনের ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পেতে হয়। ধরা যাক, ভোর ৩টায় সেখানে ক ফোন কল, এবং একটি আনন্দদায়ক কন্ঠ জিজ্ঞাসা করল: "দুটি X এর স্পর্শকটির ডেরিভেটিভ কি?" এটি একটি প্রায় তাত্ক্ষণিক এবং নম্র প্রতিক্রিয়া দ্বারা অনুসরণ করা উচিত: 
.
প্রথম উদাহরণটি অবিলম্বে স্বাধীন সমাধানের উদ্দেশ্যে করা হবে।
উদাহরণ 1
মৌখিকভাবে নিম্নলিখিত ডেরিভেটিভগুলি সন্ধান করুন, একটি ক্রিয়াতে, উদাহরণস্বরূপ: . কাজটি সম্পূর্ণ করতে আপনাকে শুধুমাত্র ব্যবহার করতে হবে প্রাথমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভের সারণী(যদি এখনো মনে না থাকে)। আপনার যদি কোন অসুবিধা থাকে, আমি পাঠটি পুনরায় পড়ার পরামর্শ দিই একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
পাঠের শেষে উত্তর
জটিল ডেরিভেটিভস
প্রাথমিক আর্টিলারি প্রস্তুতির পরে, ফাংশনগুলির 3-4-5 নেস্টিং সহ উদাহরণগুলি কম ভীতিকর হবে। সম্ভবত নিম্নলিখিত দুটি উদাহরণ কারো কাছে জটিল বলে মনে হবে, তবে আপনি যদি সেগুলি বুঝতে পারেন (কেউ কষ্ট পাবে), তবে প্রায় সবকিছুই ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসবাচ্চাদের কৌতুক মনে হবে।
উদাহরণ 2
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন 
ইতিমধ্যে উল্লেখ করা হয়েছে, একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সময়, প্রথমত, এটি প্রয়োজনীয় ঠিকআপনার বিনিয়োগ বুঝতে. যে ক্ষেত্রে সন্দেহ আছে, আমি আপনাকে একটি দরকারী কৌশল মনে করিয়ে দিই: আমরা "x" এর পরীক্ষামূলক মান গ্রহণ করি, উদাহরণস্বরূপ, এবং প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা (মানসিকভাবে বা খসড়াতে) প্রদত্ত মানএকটি "ভয়ংকর অভিব্যক্তিতে"।
1) প্রথমে আমাদের অভিব্যক্তিটি গণনা করতে হবে, যার অর্থ যোগফলটি গভীরতম এম্বেডিং।
2) তারপর আপনাকে লগারিদম গণনা করতে হবে:
4) তারপর কোসাইন কিউব করুন:
5) পঞ্চম ধাপে পার্থক্য:
6) এবং পরিশেষে, সবচেয়ে বাইরের ফাংশন হল বর্গমূল: 
একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য জন্য সূত্র 
বিপরীত ক্রমে প্রয়োগ করা হয়, বাইরেরতম ফাংশন থেকে ভেতরের দিকে। আমরা সিদ্ধান্ত:
মনে হচ্ছে কোন ত্রুটি নেই...
(1) বর্গমূলের ডেরিভেটিভ নিন।
(2) আমরা নিয়ম ব্যবহার করে পার্থক্যের ডেরিভেটিভ গ্রহণ করি 
(3) ট্রিপলের ডেরিভেটিভ শূন্য। দ্বিতীয় মেয়াদে আমরা ডিগ্রি (কিউব) এর ডেরিভেটিভ নিই।
(4) কোসাইন এর ডেরিভেটিভ নিন।
(5) লগারিদমের ডেরিভেটিভ নিন।
(6) এবং অবশেষে, আমরা গভীরতম এম্বেডিংয়ের ডেরিভেটিভ গ্রহণ করি।
এটা খুব কঠিন মনে হতে পারে, কিন্তু এটি সবচেয়ে নৃশংস উদাহরণ নয়। উদাহরণস্বরূপ, কুজনেটসভের সংগ্রহটি নিন এবং আপনি বিশ্লেষণকৃত ডেরিভেটিভের সমস্ত সৌন্দর্য এবং সরলতার প্রশংসা করবেন। আমি লক্ষ্য করেছি যে তারা পরীক্ষায় একই জিনিস দিতে পছন্দ করে যাতে পরীক্ষা করা হয় যে একজন শিক্ষার্থী কীভাবে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হয় বা বুঝতে পারে না।
নিম্নলিখিত উদাহরণটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য।
উদাহরণ 3
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
ইঙ্গিত: প্রথমে আমরা রৈখিকতা নিয়ম এবং পণ্য পার্থক্য নিয়ম প্রয়োগ করি
পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।
এটি ছোট এবং সুন্দর কিছুতে এগিয়ে যাওয়ার সময়।
একটি উদাহরণের জন্য দুটি নয়, তিনটি ফাংশনের গুণফল দেখানো অস্বাভাবিক নয়। কিভাবে এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করবেন তিনটি পণ্যগুণক?
উদাহরণ 4
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন 
প্রথমে আমরা দেখি, তিনটি ফাংশনের গুণফলকে দুটি ফাংশনের গুণফল এ পরিণত করা কি সম্ভব? উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের গুণফলের মধ্যে দুটি বহুপদ থাকে, তাহলে আমরা বন্ধনী খুলতে পারতাম। কিন্তু বিবেচনাধীন উদাহরণে, সমস্ত ফাংশন ভিন্ন: ডিগ্রি, সূচক এবং লগারিদম।
এই ধরনের ক্ষেত্রে এটি প্রয়োজনীয় ক্রমানুসারেপণ্য পার্থক্য নিয়ম প্রয়োগ করুন 
দুইবার
কৌশলটি হল যে "y" দ্বারা আমরা দুটি ফাংশনের গুণফলকে বোঝাই: , এবং "ve" দ্বারা আমরা লগারিদম বোঝাই: . কেন এটা করা যাবে? এটা কি সত্যিই 
- এটি দুটি কারণের একটি পণ্য নয় এবং নিয়ম কাজ করে না?! জটিল কিছু নেই:
এখন নিয়মটি দ্বিতীয়বার প্রয়োগ করা বাকি 
বন্ধনী থেকে:
আপনি মোচড়ও পেতে পারেন এবং বন্ধনীর বাইরে কিছু রাখতে পারেন, তবে এই ক্ষেত্রে উত্তরটি এই ফর্মটিতে ঠিক রেখে দেওয়া ভাল - এটি পরীক্ষা করা আরও সহজ হবে।
বিবেচিত উদাহরণটি দ্বিতীয় উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে: 
উভয় সমাধান একেবারে সমতুল্য।
উদাহরণ 5
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
এটি একটি স্বাধীন সমাধানের উদাহরণ; নমুনায় এটি প্রথম পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়।
আসুন ভগ্নাংশ সহ অনুরূপ উদাহরণ দেখি।
উদাহরণ 6
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন 
আপনি এখানে যেতে পারেন বিভিন্ন উপায় আছে:
অথবা এই মত:
তবে সমাধানটি আরও কম্প্যাক্টলি লেখা হবে যদি আমরা প্রথমে ভাগফলের পার্থক্যের নিয়মটি ব্যবহার করি 
, সম্পূর্ণ অংকের জন্য নিচ্ছেন:
নীতিগতভাবে, উদাহরণটি সমাধান করা হয়েছে, এবং যদি এটি যেমন রেখে দেওয়া হয় তবে এটি একটি ত্রুটি হবে না। কিন্তু আপনার যদি সময় থাকে, তবে খসড়াটি পরীক্ষা করে দেখার পরামর্শ দেওয়া হয় যে উত্তরটি সহজ করা যায় কিনা? লবের রাশি কমিয়ে একটি সাধারণ হর এবং এর তিনতলা ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে দিন:
অতিরিক্ত সরলীকরণের অসুবিধা হল ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সময় ভুল করার ঝুঁকি নেই, কিন্তু ব্যানাল স্কুল ট্রান্সফর্মেশনের সময়। অন্যদিকে, শিক্ষকরা প্রায়ই অ্যাসাইনমেন্ট প্রত্যাখ্যান করেন এবং ডেরিভেটিভটিকে "মনে আনতে" বলেন।
আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি সহজ উদাহরণ:
উদাহরণ 7
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
আমরা ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার পদ্ধতিগুলি আয়ত্ত করতে থাকি এবং এখন আমরা একটি সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করব যখন পার্থক্যের জন্য "ভয়ানক" লগারিদম প্রস্তাব করা হয়
উদাহরণ 8
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
এখানে আপনি একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য করার জন্য নিয়ম ব্যবহার করে দীর্ঘ পথ যেতে পারেন:
তবে প্রথম পদক্ষেপটি অবিলম্বে আপনাকে হতাশায় নিমজ্জিত করে - আপনাকে একটি ভগ্নাংশের শক্তি থেকে এবং তারপরে একটি ভগ্নাংশ থেকেও অপ্রীতিকর ডেরিভেটিভ নিতে হবে।
সেজন্য আগেকিভাবে একটি "পরিশীলিত" লগারিদমের ডেরিভেটিভ নিতে হয়, এটি প্রথমে সুপরিচিত স্কুল বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সরলীকৃত হয়:
! যদি আপনার হাতে একটি অনুশীলন নোটবুক থাকে তবে এই সূত্রগুলি সরাসরি সেখানে অনুলিপি করুন। যদি আপনার কাছে একটি নোটবুক না থাকে তবে সেগুলিকে কাগজের টুকরোতে অনুলিপি করুন, যেহেতু পাঠের অবশিষ্ট উদাহরণগুলি এই সূত্রগুলির চারপাশে ঘুরবে৷
সমাধান নিজেই এই মত কিছু লেখা যেতে পারে:
চলুন ফাংশন রূপান্তর করা যাক:
ডেরিভেটিভ খোঁজা: 
ফাংশনটিকেই প্রাক-রূপান্তর করা সমাধানটিকে ব্যাপকভাবে সরল করেছে। এইভাবে, যখন একটি অনুরূপ লগারিদম পার্থক্যের জন্য প্রস্তাব করা হয়, তখন সর্বদা "এটিকে ভেঙে ফেলা" পরামর্শ দেওয়া হয়।
এবং এখন আপনার নিজের সমাধান করার জন্য কয়েকটি সহজ উদাহরণ:
উদাহরণ 9
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন 
উদাহরণ 10
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
সমস্ত রূপান্তর এবং উত্তর পাঠের শেষে রয়েছে।
লগারিদমিক ডেরিভেটিভ
লগারিদমের ডেরিভেটিভ যদি এমন মধুর সঙ্গীত হয়, তবে প্রশ্ন জাগে: কিছু ক্ষেত্রে কৃত্রিমভাবে লগারিদম সংগঠিত করা কি সম্ভব? পারে! এবং এমনকি প্রয়োজনীয়।
উদাহরণ 11
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন 
আমরা সম্প্রতি অনুরূপ উদাহরণ দেখেছি। কি করতে হবে? আপনি ক্রমানুসারে ভাগফলের পার্থক্যের নিয়ম এবং তারপর গুণফলের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করতে পারেন। এই পদ্ধতির অসুবিধা হল যে আপনি একটি বিশাল তিন-তলা ভগ্নাংশের সাথে শেষ করবেন, যা আপনি মোটেও মোকাবেলা করতে চান না।
কিন্তু তত্ত্ব এবং অনুশীলনে লগারিদমিক ডেরিভেটিভের মতো একটি দুর্দান্ত জিনিস রয়েছে। লগারিদমগুলি উভয় দিকে "ঝুলিয়ে" দিয়ে কৃত্রিমভাবে সংগঠিত করা যেতে পারে:
এখন আপনাকে যতটা সম্ভব ডান দিকের লগারিদমটি "ব্রেক আপ" করতে হবে (আপনার চোখের সামনে সূত্রগুলি?) আমি এই প্রক্রিয়াটি বিশদভাবে বর্ণনা করব:
এর পার্থক্য দিয়ে শুরু করা যাক।
আমরা প্রাইমের অধীনে উভয় অংশই শেষ করি:
ডানদিকের ডেরিভেটিভটি বেশ সহজ; আমি এটিতে মন্তব্য করব না, কারণ আপনি যদি এই পাঠ্যটি পড়ছেন তবে আপনি এটিকে আত্মবিশ্বাসের সাথে পরিচালনা করতে সক্ষম হবেন।
বাম পাশ সম্পর্কে কি?
বাম দিকে আমরা আছে জটিল ফাংশন. আমি প্রশ্নটির পূর্বাভাস দিয়েছি: "কেন, লগারিদমের নিচে একটি অক্ষর "Y" আছে?"
আসল বিষয়টি হ'ল এই "এক অক্ষরের খেলা" - এটি নিজেই একটি ফাংশন(যদি এটি খুব স্পষ্ট না হয়, তাহলে নিহিতভাবে নির্দিষ্ট করা একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ নিবন্ধটি পড়ুন)। অতএব, লগারিদম একটি বাহ্যিক ফাংশন, এবং "y" একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন। এবং আমরা একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য করার জন্য নিয়ম ব্যবহার করি 
:
বাম দিকে, যেন জাদু দ্বারা, আমাদের একটি ডেরিভেটিভ আছে। এরপরে, অনুপাতের নিয়ম অনুসারে, আমরা "y" বাম পাশের হর থেকে ডান পাশের শীর্ষে স্থানান্তর করি:
এবং এখন মনে রাখা যাক কোন ধরনের "প্লেয়ার"-ফাংশন সম্পর্কে আমরা পার্থক্যের সময় কথা বলেছিলাম? চলুন অবস্থা দেখে নেওয়া যাক: 
চূড়ান্ত উত্তর: 
উদাহরণ 12
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। এই ধরনের উদাহরণের একটি নমুনা নকশা পাঠের শেষে রয়েছে।
লগারিদমিক ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে, 4-7 নং উদাহরণগুলির যেকোনো একটি সমাধান করা সম্ভব ছিল, আরেকটি জিনিস হল যে সেখানে ফাংশনগুলি সহজ, এবং, সম্ভবত, লগারিদমিক ডেরিভেটিভের ব্যবহার খুব যুক্তিযুক্ত নয়।
একটি শক্তি-সূচক ফাংশনের ডেরিভেটিভ
আমরা এখনও এই ফাংশন বিবেচনা না. একটি শক্তি-সূচক ফাংশন একটি ফাংশন যার জন্য ডিগ্রী এবং বেস উভয়ই "x" এর উপর নির্ভর করে. একটি ক্লাসিক উদাহরণ যা আপনাকে যেকোনো পাঠ্যপুস্তক বা বক্তৃতায় দেওয়া হবে:
কিভাবে একটি শক্তি-সূচক ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হয়?
শুধু আলোচিত কৌশলটি ব্যবহার করা প্রয়োজন - লগারিদমিক ডেরিভেটিভ। আমরা উভয় দিকে লগারিদম ঝুলিয়ে রাখি:
একটি নিয়ম হিসাবে, ডানদিকে ডিগ্রিটি লগারিদমের নীচে থেকে নেওয়া হয়:
ফলস্বরূপ, ডানদিকে আমাদের দুটি ফাংশনের গুণফল রয়েছে, যা আদর্শ সূত্র অনুসারে আলাদা করা হবে 
.
আমরা এটি করার জন্য ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই, আমরা উভয় অংশকে স্ট্রোকের অধীনে আবদ্ধ করি:
পরবর্তী কর্ম সহজ:
অবশেষে: 
যদি কোনো রূপান্তর সম্পূর্ণরূপে পরিষ্কার না হয়, দয়া করে উদাহরণ #11-এর ব্যাখ্যাগুলি মনোযোগ সহকারে পুনরায় পড়ুন।
IN ব্যবহারিক কাজবক্তৃতায় আলোচিত উদাহরণের চেয়ে শক্তি-সূচক ফাংশন সর্বদা আরও জটিল হবে।
উদাহরণ 13
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
আমরা লগারিদমিক ডেরিভেটিভ ব্যবহার করি। 
ডানদিকে আমাদের একটি ধ্রুবক এবং দুটি ফ্যাক্টরের গুণফল রয়েছে - "x" এবং "লগারিদম x এর লগারিদম" (অন্য একটি লগারিদম লগারিদমের নীচে থাকে)। পার্থক্য করার সময়, যেমনটি আমরা মনে রাখি, অবিলম্বে ধ্রুবকটিকে ডেরিভেটিভ চিহ্ন থেকে সরিয়ে নেওয়া ভাল যাতে এটি পথে না যায়; এবং, অবশ্যই, আমরা পরিচিত নিয়ম প্রয়োগ করি 
:
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, লগারিদমিক ডেরিভেটিভ ব্যবহার করার জন্য অ্যালগরিদমে কোনো বিশেষ কৌশল বা কৌশল থাকে না এবং একটি পাওয়ার-সূচক ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাওয়া সাধারণত "যন্ত্রণা" এর সাথে সম্পর্কিত নয়।
এই নিবন্ধে আমরা একটি জটিল ফাংশন হিসাবে যেমন একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক ধারণা সম্পর্কে কথা বলব, এবং কীভাবে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হয় তা শিখব।
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে শেখার আগে, আসুন একটি জটিল ফাংশনের ধারণা, এটি কী, "এটি কী দিয়ে খাওয়া হয়" এবং "কীভাবে এটি সঠিকভাবে রান্না করা যায়" তা বুঝতে পারি।
একটি নির্বিচারে ফাংশন বিবেচনা করুন, উদাহরণস্বরূপ, এটি:
লক্ষ্য করুন যে ফাংশন সমীকরণের ডান এবং বাম দিকের আর্গুমেন্টটি একই সংখ্যা বা অভিব্যক্তি।
একটি পরিবর্তনশীলের পরিবর্তে, আমরা উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি রাখতে পারি: . এবং তারপর আমরা ফাংশন পেতে
আসুন অভিব্যক্তিটিকে একটি মধ্যবর্তী যুক্তি বলি, এবং ফাংশনটিকে একটি বাইরের ফাংশন বলি। এগুলি কঠোর গাণিতিক ধারণা নয়, তবে তারা একটি জটিল ফাংশনের ধারণার অর্থ বুঝতে সহায়তা করে।
একটি জটিল ফাংশনের ধারণার একটি কঠোর সংজ্ঞা হল:
একটি সেটে একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যাক এবং এই ফাংশনের মানগুলির সেট হোক। সেট (বা এর উপসেট) ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন হতে দিন। আসুন তাদের প্রত্যেককে একটি নম্বর বরাদ্দ করি। সুতরাং, ফাংশন সেটে সংজ্ঞায়িত করা হবে। একে ফাংশন কম্পোজিশন বা জটিল ফাংশন বলে।
এই সংজ্ঞায়, যদি আমরা আমাদের পরিভাষা ব্যবহার করি, একটি বহিরাগত ফাংশন একটি মধ্যবর্তী যুক্তি।
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে পাওয়া যায়:
এটি আরও পরিষ্কার করার জন্য, আমি এই নিয়মটি নিম্নরূপ লিখতে চাই:
এই অভিব্যক্তিতে, ব্যবহার করে একটি মধ্যবর্তী ফাংশন বোঝায়।
তাই। একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে, আপনার প্রয়োজন
1. কোন ফাংশনটি বাহ্যিক তা নির্ধারণ করুন এবং ডেরিভেটিভের সারণী থেকে সংশ্লিষ্ট ডেরিভেটিভটি সন্ধান করুন।
2. একটি মধ্যবর্তী যুক্তি সংজ্ঞায়িত করুন।
এই পদ্ধতিতে, সবচেয়ে বড় অসুবিধা হল বাহ্যিক ফাংশন খুঁজে বের করা। এই জন্য একটি সহজ অ্যালগরিদম ব্যবহার করা হয়:
ক. ফাংশনের সমীকরণ লিখ।
খ. কল্পনা করুন যে আপনাকে x এর কিছু মানের জন্য একটি ফাংশনের মান গণনা করতে হবে। এটি করার জন্য, আপনি এই x মানটিকে ফাংশন সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন এবং পাটিগণিত করুন। আপনি যে শেষ কাজটি করেন তা হল বাহ্যিক ফাংশন।
উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনে
শেষ ক্রিয়াটি হ'ল ব্যাখ্যা।
আসুন এই ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি। এটি করার জন্য, আমরা একটি মধ্যবর্তী যুক্তি লিখি
প্রাথমিক আর্টিলারি প্রস্তুতির পরে, ফাংশনের 3-4-5 নেস্টিং সহ উদাহরণগুলি কম ভীতিকর হবে। নিচের দুটি উদাহরণ কারো কাছে জটিল মনে হতে পারে, কিন্তু আপনি যদি সেগুলি বুঝতে পারেন (কেউ কষ্ট পাবে), তবে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের বাকি প্রায় সবকিছুই শিশুর রসিকতার মতো মনে হবে।
উদাহরণ 2
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
ইতিমধ্যে উল্লেখ করা হয়েছে, একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সময়, প্রথমত, এটি প্রয়োজনীয় ঠিকআপনার বিনিয়োগ বুঝতে. যে ক্ষেত্রে সন্দেহ আছে, আমি আপনাকে একটি দরকারী কৌশলের কথা মনে করিয়ে দিচ্ছি: আমরা উদাহরণ স্বরূপ "x" এর পরীক্ষামূলক মান নিই এবং চেষ্টা করি (মানসিকভাবে বা একটি খসড়াতে) এই মানটিকে "ভয়ানক অভিব্যক্তি" এ প্রতিস্থাপন করার জন্য।
1) প্রথমে আমাদের অভিব্যক্তিটি গণনা করতে হবে, যার অর্থ যোগফলটি গভীরতম এম্বেডিং।
2) তারপর আপনাকে লগারিদম গণনা করতে হবে:
4) তারপর কোসাইন কিউব করুন:
5) পঞ্চম ধাপে পার্থক্য:
6) এবং পরিশেষে, সবচেয়ে বাইরের ফাংশন হল বর্গমূল: 
একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য জন্য সূত্র 
বিপরীত ক্রমে প্রয়োগ করা হয়, বাইরেরতম ফাংশন থেকে ভেতরের দিকে। আমরা সিদ্ধান্ত:
এটি ত্রুটি ছাড়াই মনে হচ্ছে:
1) বর্গমূলের ডেরিভেটিভ নিন।
2) নিয়ম ব্যবহার করে পার্থক্যের ডেরিভেটিভ নিন 
3) ট্রিপলের ডেরিভেটিভ শূন্য। দ্বিতীয় মেয়াদে আমরা ডিগ্রি (কিউব) এর ডেরিভেটিভ নিই।
4) কোসাইন এর ডেরিভেটিভ নিন।
6) এবং অবশেষে, আমরা গভীরতম এম্বেডিংয়ের ডেরিভেটিভ গ্রহণ করি।
এটা খুব কঠিন মনে হতে পারে, কিন্তু এটি সবচেয়ে নৃশংস উদাহরণ নয়। উদাহরণস্বরূপ, কুজনেটসভের সংগ্রহটি নিন এবং আপনি বিশ্লেষণকৃত ডেরিভেটিভের সমস্ত সৌন্দর্য এবং সরলতার প্রশংসা করবেন। আমি লক্ষ্য করেছি যে তারা পরীক্ষায় একই জিনিস দিতে পছন্দ করে যাতে পরীক্ষা করা হয় যে একজন শিক্ষার্থী কীভাবে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হয় বা বুঝতে পারে না।
নিম্নলিখিত উদাহরণটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য।
উদাহরণ 3
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
ইঙ্গিত: প্রথমে আমরা রৈখিকতা নিয়ম এবং পণ্য পার্থক্য নিয়ম প্রয়োগ করি
পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।
এটি ছোট এবং সুন্দর কিছুতে এগিয়ে যাওয়ার সময়।
একটি উদাহরণের জন্য দুটি নয়, তিনটি ফাংশনের গুণফল দেখানো অস্বাভাবিক নয়। কিভাবে তিনটি কারণের পণ্যের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যায়?
উদাহরণ 4
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন 
প্রথমে আমরা দেখি, তিনটি ফাংশনের গুণফলকে দুটি ফাংশনের গুণফল এ পরিণত করা কি সম্ভব? উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের গুণফলের মধ্যে দুটি বহুপদ থাকে, তাহলে আমরা বন্ধনী খুলতে পারতাম। কিন্তু বিবেচনাধীন উদাহরণে, সমস্ত ফাংশন ভিন্ন: ডিগ্রি, সূচক এবং লগারিদম।
এই ধরনের ক্ষেত্রে এটি প্রয়োজনীয় ক্রমানুসারেপণ্য পার্থক্য নিয়ম প্রয়োগ করুন 
দুইবার
কৌশলটি হল যে "y" দ্বারা আমরা দুটি ফাংশনের গুণফলকে বোঝাই: , এবং "ve" দ্বারা আমরা লগারিদম বোঝাই: . কেন এটা করা যাবে? এটা কি সত্যিই 
- এটি দুটি কারণের একটি পণ্য নয় এবং নিয়ম কাজ করে না?! জটিল কিছু নেই:
এখন নিয়মটি দ্বিতীয়বার প্রয়োগ করা বাকি বন্ধনী থেকে:
আপনি মোচড়ও পেতে পারেন এবং বন্ধনীর বাইরে কিছু রাখতে পারেন, তবে এই ক্ষেত্রে উত্তরটি এই ফর্মটিতে ঠিক রেখে দেওয়া ভাল - এটি পরীক্ষা করা আরও সহজ হবে।
বিবেচিত উদাহরণটি দ্বিতীয় উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে:
উভয় সমাধান একেবারে সমতুল্য।
উদাহরণ 5
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
এটি একটি স্বাধীন সমাধানের উদাহরণ; নমুনায় এটি প্রথম পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়।
আসুন ভগ্নাংশ সহ অনুরূপ উদাহরণ দেখি।
উদাহরণ 6
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন 
আপনি এখানে যেতে পারেন বিভিন্ন উপায় আছে:
অথবা এই মত:
তবে সমাধানটি আরও কম্প্যাক্টলি লেখা হবে যদি আমরা প্রথমে ভাগফলের পার্থক্যের নিয়মটি ব্যবহার করি 
, সম্পূর্ণ অংকের জন্য নিচ্ছেন:
নীতিগতভাবে, উদাহরণটি সমাধান করা হয়েছে, এবং যদি এটি যেমন রেখে দেওয়া হয় তবে এটি একটি ত্রুটি হবে না। কিন্তু আপনার যদি সময় থাকে তবে খসড়াটি পরীক্ষা করে দেখার পরামর্শ দেওয়া হয় যে উত্তরটি সহজ করা যায় কিনা?
আসুন লবটির অভিব্যক্তিকে একটি সাধারণ হর-এ হ্রাস করি এবং ভগ্নাংশের তিন-তলা কাঠামো থেকে পরিত্রাণ পাই।:
অতিরিক্ত সরলীকরণের অসুবিধা হল ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সময় ভুল করার ঝুঁকি নেই, কিন্তু ব্যানাল স্কুল ট্রান্সফর্মেশনের সময়। অন্যদিকে, শিক্ষকরা প্রায়ই অ্যাসাইনমেন্ট প্রত্যাখ্যান করেন এবং ডেরিভেটিভটিকে "মনে আনতে" বলেন।
আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি সহজ উদাহরণ:
উদাহরণ 7
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
আমরা ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার পদ্ধতিগুলি আয়ত্ত করতে থাকি এবং এখন আমরা একটি সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করব যখন পার্থক্যের জন্য "ভয়ানক" লগারিদম প্রস্তাব করা হয়
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্র ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ গণনা করার উদাহরণ দেওয়া হয়েছে।
এখানে আমরা নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভ গণনা করার উদাহরণ দিই:
;
;
;
;
.
যদি একটি ফাংশন নিম্নলিখিত আকারে একটি জটিল ফাংশন হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
,
তারপর এর ডেরিভেটিভ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
.
নীচের উদাহরণগুলিতে, আমরা এই সূত্রটি নিম্নরূপ লিখব:
.
কোথায়.
এখানে, সাবস্ক্রিপ্ট বা , ডেরিভেটিভ চিহ্নের নীচে অবস্থিত, ভেরিয়েবলগুলিকে বোঝায় যার দ্বারা পার্থক্য করা হয়।
সাধারণত, ডেরিভেটিভের টেবিলে, পরিবর্তনশীল x থেকে ফাংশনের ডেরিভেটিভ দেওয়া হয়।
যাইহোক, x একটি আনুষ্ঠানিক প্যারামিটার। ভেরিয়েবল x অন্য কোনো ভেরিয়েবল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। অতএব, একটি ভেরিয়েবল থেকে একটি ফাংশনকে আলাদা করার সময়, আমরা কেবল পরিবর্তন করি, ডেরিভেটিভের টেবিলে, চলক x থেকে পরিবর্তনশীল u-তে।
সহজ উদাহরণ
উদাহরণ 1
.
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
সমাধান
.
প্রদত্ত ফাংশনটি সমতুল্য আকারে লিখি:
;
.
ডেরিভেটিভের সারণীতে আমরা পাই:
.
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্র অনুসারে, আমাদের আছে:
এখানে
উত্তর
উদাহরণ 2
.
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
ডেরিভেটিভ খুঁজুন
.
.
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্র অনুসারে, আমাদের আছে:
এখানে
আমরা ডেরিভেটিভ চিহ্নের মধ্যে ধ্রুবক 5 নিই এবং ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে আমরা পাই:
উদাহরণ 3
.
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
ডেরিভেটিভ খুঁজুন -1
আমরা একটি ধ্রুবক নিতে
;
ডেরিভেটিভের চিহ্নের জন্য এবং ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে আমরা খুঁজে পাই:
.
ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে আমরা খুঁজে পাই:
.
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্র অনুসারে, আমাদের আছে:
এখানে
আমরা একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করি:
আরও জটিল উদাহরণ আরো মধ্যেজটিল উদাহরণ আমরা একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য করার জন্য নিয়মটি বেশ কয়েকবার প্রয়োগ করি। এই ক্ষেত্রে, আমরা শেষ থেকে ডেরিভেটিভ গণনা করি। অর্থাৎ, আমরা ফাংশনটিকে এর উপাদান অংশে বিভক্ত করি এবং ব্যবহার করে সহজতম অংশগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাইডেরিভেটিভের টেবিল . আমরাও ব্যবহার করিরাশির পার্থক্য করার নিয়ম
, পণ্য এবং ভগ্নাংশ. তারপরে আমরা প্রতিস্থাপন করি এবং একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করি।
উদাহরণ 3
.
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
উদাহরণ 4
.
আসুন সূত্রের সহজতম অংশটি নির্বাচন করি এবং এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি। .
.
এখানে আমরা স্বরলিপি ব্যবহার করেছি
.
আমরা প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে মূল ফাংশনের পরবর্তী অংশের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই। যোগফলের পার্থক্য করার জন্য আমরা নিয়মটি প্রয়োগ করি:
.
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্র অনুসারে, আমাদের আছে:
এখানে
আবারও আমরা জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করি।
উদাহরণ 5
.
একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন
আসুন সূত্রের সহজতম অংশটি নির্বাচন করি এবং ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করি। .
.
আমরা জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করি।
.
