সহজ লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করা। লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করা। কিভাবে সমাধান করবেন, উদাহরণ সহ

লগারিদমিক সমীকরণ। সহজ থেকে জটিল।

মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপকরণ।
যারা খুব "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)

লগারিদমিক সমীকরণ কি?

এটি লগারিদমের সাথে একটি সমীকরণ। আমি বিস্মিত, তাই না?) তারপর আমি স্পষ্ট করব। এটি একটি সমীকরণ যেখানে অজানা (x এর) এবং তাদের সাথে অভিব্যক্তি পাওয়া যায় লগারিদমের ভিতরে।এবং শুধুমাত্র সেখানে! এটা গুরুত্বপূর্ণ।

এখানে কিছু উদাহরণ আছে লগারিদমিক সমীকরণ:

লগ 3 x = লগ 3 9

লগ 3 (x 2 -3) = লগ 3 (2x)

লগ x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

আচ্ছা, বুঝতেই পারছেন... )

মনোযোগ দিন! X এর সাথে সবচেয়ে বৈচিত্র্যময় অভিব্যক্তিগুলি অবস্থিত একচেটিয়াভাবে লগারিদমের মধ্যে।যদি, হঠাৎ করে, সমীকরণের কোথাও একটি X উপস্থিত হয় বাইরে, উদাহরণস্বরূপ:

লগ 2 x = 3+ x,

এটি ইতিমধ্যে মিশ্র ধরনের একটি সমীকরণ হবে। এই জাতীয় সমীকরণগুলির সমাধানের জন্য স্পষ্ট নিয়ম নেই। আমরা আপাতত তাদের বিবেচনা করব না। উপায় দ্বারা, লগারিদম ভিতরে যেখানে সমীকরণ আছে শুধুমাত্র সংখ্যা. যেমন:

আমি কি বলতে পারি? আপনি ভাগ্যবান যদি আপনি এই জুড়ে আসেন! সংখ্যা সহ লগারিদম হল কিছু সংখ্যাএতটুকুই। এই ধরনের সমীকরণ সমাধানের জন্য লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি জানা যথেষ্ট। বিশেষ নিয়মের জ্ঞান, সমাধানের জন্য বিশেষভাবে অভিযোজিত কৌশল লগারিদমিক সমীকরণ,এখানে প্রয়োজন নেই।

তাই, লগারিদমিক সমীকরণ কি- আমরা এটা বের করেছি।

লগারিদমিক সমীকরণ কিভাবে সমাধান করবেন?

সমাধান লগারিদমিক সমীকরণ- জিনিসটা আসলে খুব সহজ নয়। তাই আমাদের বিভাগটি হল একটি চার... সমস্ত ধরণের সম্পর্কিত বিষয়ের উপর একটি শালীন পরিমাণ জ্ঞান প্রয়োজন। এছাড়াও, এই সমীকরণগুলিতে একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এবং এই বৈশিষ্ট্যটি এত গুরুত্বপূর্ণ যে এটিকে নিরাপদে লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের প্রধান সমস্যা বলা যেতে পারে। আমরা পরবর্তী পাঠে এই সমস্যাটি বিস্তারিতভাবে মোকাবেলা করব।

আপাতত, চিন্তা করবেন না। আমরা সঠিক পথে যাব সহজ থেকে জটিল পর্যন্ত।নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে। মূল জিনিসটি হল সাধারণ জিনিসগুলি অনুসন্ধান করা এবং লিঙ্কগুলি অনুসরণ করতে অলস হবেন না, আমি সেগুলি একটি কারণে রেখেছি... এবং সবকিছু আপনার জন্য কার্যকর হবে৷ অগত্যা।

সবচেয়ে প্রাথমিক, সহজ সমীকরণ দিয়ে শুরু করা যাক। তাদের সমাধান করার জন্য, লগারিদম সম্পর্কে ধারণা থাকা বাঞ্ছনীয়, তবে এর বেশি কিছু নয়। শুধু কোন ধারণা লগারিদম,একটি সিদ্ধান্ত নিতে লগারিদমিকসমীকরণ - একরকম এমনকি বিশ্রী... খুব সাহসী, আমি বলব)।

সহজ লগারিদমিক সমীকরণ।

এগুলি ফর্মের সমীকরণ:

1. লগ 3 x = লগ 3 9

2. লগ 7 (2x-3) = লগ 7 x

3. লগ 7 (50x-1) = 2

সমাধান প্রক্রিয়া কোনো লগারিদমিক সমীকরণলগারিদম সহ একটি সমীকরণ থেকে তাদের ছাড়া একটি সমীকরণে রূপান্তরের মধ্যে রয়েছে। সহজ সমীকরণে এই রূপান্তরটি এক ধাপে সঞ্চালিত হয়। এ কারণেই তারা সবচেয়ে সহজ।)

এবং এই ধরনের লগারিদমিক সমীকরণগুলি আশ্চর্যজনকভাবে সমাধান করা সহজ। নিজের জন্য দেখুন।

প্রথম উদাহরণটি সমাধান করা যাক:

লগ 3 x = লগ 3 9

এই উদাহরণটি সমাধান করার জন্য, আপনার প্রায় কিছুই জানার দরকার নেই, হ্যাঁ... সম্পূর্ণরূপে অন্তর্দৃষ্টি!) আমাদের কী দরকার বিশেষ করেএই উদাহরণ পছন্দ করেন না? কি-কি... আমি লগারিদম পছন্দ করি না! ঠিক। সুতরাং আসুন তাদের পরিত্রাণ পেতে. আমরা উদাহরণটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখি, এবং আমাদের মধ্যে একটি স্বাভাবিক ইচ্ছা জাগে... একেবারে অপ্রতিরোধ্য! লগারিদমগুলি সম্পূর্ণভাবে নিন এবং নিক্ষেপ করুন। এবং যা ভাল তা হল পারেকরতে! গণিত অনুমতি দেয়। লগারিদম অদৃশ্য হয়ে যায়উত্তর হল:

মহান, তাই না? এটি সর্বদা করা যেতে পারে (এবং উচিত)। লগারিদমগুলিকে এই পদ্ধতিতে নির্মূল করা লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা সমাধানের অন্যতম প্রধান উপায়। গণিতে এই অপারেশন বলা হয় ক্ষমতাঅবশ্যই, এই ধরনের লিকুইডেশনের জন্য নিয়ম আছে, কিন্তু সেগুলি কম। মনে রাখবেন:

আপনি লগারিদমগুলিকে কোনও ভয় ছাড়াই মুছে ফেলতে পারেন যদি তাদের থাকে:

ক) একই সংখ্যাগত ভিত্তি

c) বাম থেকে ডানে লগারিদমগুলি বিশুদ্ধ (কোনও সহগ ছাড়াই) এবং দুর্দান্ত বিচ্ছিন্নতায় রয়েছে।

আমাকে শেষ পয়েন্ট স্পষ্ট করা যাক. সমীকরণে বলা যাক

লগ 3 x = 2 লগ 3 (3x-1)

লগারিদম সরানো যাবে না। ডানদিকের দুজন এটা করতে দেয় না। সহগ, আপনি জানেন... উদাহরণে

লগ 3 x+লগ 3 (x+1) = লগ 3 (3+x)

সমীকরণটি সম্ভাব্য করাও অসম্ভব। বাম পাশে কোন একাকী লগারিদম নেই। তাদের মধ্যে দুটি আছে।

সংক্ষেপে, আপনি লগারিদম অপসারণ করতে পারেন যদি সমীকরণটি এইরকম এবং শুধুমাত্র এই মত দেখায়:

লগ এ (.....) = লগ এ (.....)

বন্ধনীতে, যেখানে একটি উপবৃত্ত আছে, সেখানে থাকতে পারে কোনো অভিব্যক্তি।সহজ, সুপার জটিল, সব ধরনের. যাই হোক। গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল লগারিদম বাদ দেওয়ার পরে আমাদের বাকি থাকে সহজ সমীকরণ।এটা অবশ্যই অনুমান করা হয় যে আপনি ইতিমধ্যেই জানেন কিভাবে লগারিদম ছাড়া রৈখিক, দ্বিঘাত, ভগ্নাংশ, সূচক এবং অন্যান্য সমীকরণগুলি সমাধান করতে হয়।)

এখন আপনি সহজেই দ্বিতীয় উদাহরণটি সমাধান করতে পারেন:

লগ 7 (2x-3) = লগ 7 x

আসলে, এটা মনের মধ্যে স্থির করা হয়. আমরা সম্ভাব্য, আমরা পাই:

আচ্ছা, এটা কি খুব কঠিন?) আপনি দেখতে পাচ্ছেন, লগারিদমিকসমীকরণের সমাধানের অংশ শুধুমাত্র লগারিদম নির্মূলে...এবং তারপরে তাদের ছাড়া বাকি সমীকরণের সমাধান আসে। মামুলি ব্যাপার।

আসুন তৃতীয় উদাহরণটি সমাধান করি:

লগ 7 (50x-1) = 2

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে বাম দিকে একটি লগারিদম রয়েছে:

আসুন আমরা মনে রাখি যে এই লগারিদম হল এমন কিছু সংখ্যা যেখানে একটি সাবলোগারিদমিক এক্সপ্রেশন পাওয়ার জন্য বেসটি অবশ্যই বাড়াতে হবে (অর্থাৎ সাত)। (50x-1)।

কিন্তু এই সংখ্যা দুই! Eq অনুযায়ী। তাই:

যে মূলত সব. লগারিদম অদৃশ্য হয়ে গেছে,যা অবশিষ্ট থাকে তা একটি নিরীহ সমীকরণ:

আমরা শুধুমাত্র লগারিদমের অর্থের উপর ভিত্তি করে এই লগারিদমিক সমীকরণটি সমাধান করেছি। লগারিদম নির্মূল করা কি এখনও সহজ?) আমি একমত। যাইহোক, আপনি যদি দুটি থেকে একটি লগারিদম তৈরি করেন তবে আপনি নির্মূলের মাধ্যমে এই উদাহরণটি সমাধান করতে পারেন। যেকোনো সংখ্যাকে লগারিদম বানানো যায়। তাছাড়া আমাদের যেভাবে দরকার। লগারিদমিক সমীকরণ এবং (বিশেষত!) অসমতা সমাধানে একটি খুব দরকারী কৌশল।

কিভাবে একটি সংখ্যা থেকে লগারিদম তৈরি করতে জানেন না!? এটা ঠিক আছে. বিভাগ 555 এই কৌশলটি বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করে। আপনি এটি আয়ত্ত করতে পারেন এবং এটি সম্পূর্ণরূপে ব্যবহার করতে পারেন! এটি ব্যাপকভাবে ত্রুটির সংখ্যা হ্রাস করে।

চতুর্থ সমীকরণটি সম্পূর্ণ একইভাবে সমাধান করা হয়েছে (সংজ্ঞা অনুসারে):

সেটাই।

আসুন এই পাঠটি সংক্ষিপ্ত করা যাক। আমরা উদাহরণ ব্যবহার করে সহজ লগারিদমিক সমীকরণের সমাধান দেখেছি। এটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ। এবং শুধুমাত্র পরীক্ষা এবং পরীক্ষায় এই ধরনের সমীকরণ উপস্থিত হওয়ার কারণে নয়। সত্য যে এমনকি সবচেয়ে খারাপ এবং জটিল সমীকরণ অগত্যা সরল থেকে হ্রাস করা হয়!

প্রকৃতপক্ষে, সহজতম সমীকরণগুলি সমাধানের চূড়ান্ত অংশ যেকোনোসমীকরণ এবং এই চূড়ান্ত অংশ কঠোরভাবে বুঝতে হবে! এবং আরো একটি জিনিস. এই পৃষ্ঠাটি শেষ পর্যন্ত পড়তে ভুলবেন না। সেখানে একটি চমক আছে ...)

এখন আমরা নিজেরাই সিদ্ধান্ত নিই। আসুন ভাল হয়ে উঠি, তাই কথা বলতে...)

সমীকরণগুলির মূল (বা মূলের যোগফল, যদি বেশ কয়েকটি থাকে) খুঁজুন:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

লগ 2 (x 2 +32) = লগ 2 (12x)

লগ 16 (0.5x-1.5) = 0.25

লগ 0.2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

লগ 2 (14x) = লগ 2 7 + 2

উত্তর (অবশ্যই বিশৃঙ্খলায়): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

কি, সবকিছু কাজ করে না? ঘটে। চিন্তা করবেন না! অনুচ্ছেদ 555 এই সমস্ত উদাহরণের সমাধান একটি পরিষ্কার এবং বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করে। আপনি স্পষ্টভাবে সেখানে এটা চিন্তা করব. আপনি দরকারী ব্যবহারিক কৌশলগুলিও শিখবেন।

সব কাজ শেষ!? "এক বাম" এর সমস্ত উদাহরণ?) অভিনন্দন!

আপনার কাছে তিক্ত সত্য প্রকাশ করার সময় এসেছে। এই উদাহরণগুলির সফল সমাধান অন্য সমস্ত লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানে সাফল্যের নিশ্চয়তা দেয় না। এমনকি এই মত সহজ বেশী. হায় হায়।

আসল বিষয়টি হল যে কোনও লগারিদমিক সমীকরণের সমাধান (এমনকি সবচেয়ে প্রাথমিক!) নিয়ে গঠিত দুটি সমান অংশ।সমীকরণ সমাধান করা এবং ODZ এর সাথে কাজ করা। আমরা একটি অংশ আয়ত্ত করেছি - সমীকরণ নিজেই সমাধান করা। এটা যে কঠিন নাঠিক?

এই পাঠের জন্য, আমি বিশেষভাবে এমন উদাহরণ নির্বাচন করেছি যেখানে DL কোনোভাবেই উত্তরকে প্রভাবিত করে না। কিন্তু সবাই আমার মতো দয়ালু নয়, তাই না?...)

অতএব, অন্য অংশটি আয়ত্ত করা অপরিহার্য। ODZ লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের ক্ষেত্রে এটাই প্রধান সমস্যা। এবং এটি কঠিন বলে নয় - এই অংশটি প্রথমটির চেয়ে আরও সহজ। কিন্তু কারণ মানুষ সহজভাবে ODZ সম্পর্কে ভুলে যায়। অথবা তারা জানে না। অথবা উভয়)। এবং তারা নীল থেকে পড়ে ...

পরবর্তী পাঠে আমরা এই সমস্যাটি মোকাবেলা করব। তারপর আপনি আত্মবিশ্বাসের সাথে সিদ্ধান্ত নিতে পারেন যেকোনোসরল লগারিদমিক সমীকরণ এবং বেশ কঠিন কাজগুলির কাছে যান।

আপনি যদি এই সাইটটি পছন্দ করেন ...

যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)

আপনি উদাহরণ সমাধানের অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তর খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। আসুন শিখি - আগ্রহ সহ!)

আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।

বীজগণিত 11 তম গ্রেড

বিষয়: "লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি"

পাঠের উদ্দেশ্য:

শিক্ষাগত: সম্পর্কে জ্ঞান গঠন বিভিন্ন উপায়েলগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করা, প্রতিটি নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে সেগুলি প্রয়োগ করার ক্ষমতা এবং সমাধানের জন্য যে কোনও পদ্ধতি বেছে নেওয়া;

উন্নয়নশীল: একটি নতুন পরিস্থিতিতে পর্যবেক্ষণ, তুলনা, জ্ঞান প্রয়োগ করার দক্ষতা বিকাশ করা, নিদর্শন সনাক্ত করা, সাধারণীকরণ করা; পারস্পরিক নিয়ন্ত্রণ এবং আত্ম-নিয়ন্ত্রণের দক্ষতা বিকাশ;

শিক্ষামূলক: শিক্ষামূলক কাজের প্রতি একটি দায়িত্বশীল মনোভাব গড়ে তোলা, পাঠের উপাদানের মনোযোগী উপলব্ধি এবং সাবধানে নোট নেওয়া।

পাঠের ধরন: নতুন উপাদান প্রবর্তনের পাঠ।

"লগারিদমের উদ্ভাবন, জ্যোতির্বিজ্ঞানীর কাজকে হ্রাস করার সময়, তার জীবনকে প্রসারিত করেছিল।"
ফরাসি গণিতবিদ এবং জ্যোতির্বিদ পি.এস. ল্যাপ্লেস

পাঠের অগ্রগতি

I. পাঠের লক্ষ্য নির্ধারণ করা

লগারিদমের অধ্যয়নকৃত সংজ্ঞা, লগারিদমের বৈশিষ্ট্য এবং লগারিদমিক ফাংশন আমাদের লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করার অনুমতি দেবে। সমস্ত লগারিদমিক সমীকরণ, সেগুলি যত জটিলই হোক না কেন, অভিন্ন অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সমাধান করা হয়। আমরা আজকের পাঠে এই অ্যালগরিদমগুলি দেখব। তাদের মধ্যে অনেক নেই। আপনি যদি সেগুলি আয়ত্ত করেন, তাহলে লগারিদম সহ যেকোনো সমীকরণ আপনার প্রত্যেকের জন্যই সম্ভব হবে।

আপনার নোটবুকে পাঠের বিষয় লিখুন: "লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি।" সবাইকে সহযোগিতা করার জন্য আমন্ত্রণ জানাচ্ছি।

২. রেফারেন্স জ্ঞান আপডেট করা

আসুন পাঠের বিষয় অধ্যয়নের জন্য প্রস্তুত করা যাক। আপনি প্রতিটি কাজ সমাধান করুন এবং উত্তর লিখুন; আপনাকে শর্ত লিখতে হবে না। জোড়ায় জোড়ায় কাজ করুন।

1) x এর কোন মানের জন্য ফাংশনটি বোঝায়:

(প্রতিটি স্লাইডের জন্য উত্তরগুলি পরীক্ষা করা হয় এবং ত্রুটিগুলি বাছাই করা হয়)

2) ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি কি মিলে যায়?

3) লগারিদমিক সমতা হিসাবে সমতাগুলি পুনরায় লিখুন:

4) বেস 2 সহ লগারিদম হিসাবে সংখ্যাগুলি লিখুন:

5) গণনা করুন:

6) এই সমতাগুলিতে অনুপস্থিত উপাদানগুলি পুনরুদ্ধার বা সম্পূরক করার চেষ্টা করুন।

III. নতুন উপাদান পরিচিতি

নিম্নলিখিত বিবৃতি পর্দায় প্রদর্শিত হয়:

"সমীকরণ হল সোনার চাবি যা সমস্ত গাণিতিক তিল খুলে দেয়।"
আধুনিক পোলিশ গণিতবিদ এস. কোয়াল

লগারিদমিক সমীকরণের সংজ্ঞা তৈরি করার চেষ্টা করুন। (লগারিদম চিহ্নের অধীনে একটি অজানা ধারণকারী একটি সমীকরণ)।

এর বিবেচনা করা যাক সহজ লগারিদমিক সমীকরণ:লগকx = খ(যেখানে a>0, a ≠ 1)। কারণ লগারিদমিক ফাংশনধনাত্মক সংখ্যার সেটে বৃদ্ধি (বা হ্রাস) করে এবং সমস্ত বাস্তব মান গ্রহণ করে, তারপর মূল উপপাদ্য দ্বারা এটি অনুসরণ করে যে কোনো b-এর জন্য এই সমীকরণের শুধুমাত্র একটি সমাধান আছে এবং একটি ধনাত্মক।

লগারিদমের সংজ্ঞা মনে রাখবেন। (একটি সংখ্যা x এর বেস a এর লগারিদম হল শক্তির একটি সূচক যা x সংখ্যাটি পেতে বেস aকে উত্থাপন করতে হবে)। লগারিদমের সংজ্ঞা থেকে এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে কভিযেমন একটি সমাধান.

শিরোনামটি লিখুন: লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে.

এইভাবে ফর্মের সহজতম সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়।

এর বিবেচনা করা যাক নং 514(ক)): সমীকরণটি সমাধান কর

আপনি কিভাবে এটি সমাধান করার প্রস্তাব? (লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে)

সমাধান। , তাই 2x - 4 = 4; x = 4।

এই টাস্কে, 2x - 4 > 0, যেহেতু > 0, তাই কোনও বহিরাগত শিকড় উপস্থিত হতে পারে না এবং পরীক্ষা করার দরকার নেই। শর্ত 2x - 4 > 0 এই টাস্কে লেখার প্রয়োজন নেই।

2. সম্ভাব্যতা(প্রদত্ত অভিব্যক্তির লগারিদম থেকে এই অভিব্যক্তিতে রূপান্তর)।

এর বিবেচনা করা যাক নং 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

আপনি কি বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করেছেন? (বেসগুলি একই এবং দুটি রাশির লগারিদম সমান।) কি করা যায়? (পোটেনাইজ)।

এটি বিবেচনা করা উচিত যে সমস্ত x এর মধ্যে যে কোনও সমাধান রয়েছে যার জন্য লগারিদমিক অভিব্যক্তিগুলি ইতিবাচক।

সমাধান: ODZ:

X2+8>0 একটি অপ্রয়োজনীয় অসমতা

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

আসুন মূল সমীকরণটি সম্ভাব্য করা যাক

আমরা x2+8= 8x+8 সমীকরণ পাই

এর সমাধান করা যাক: x2-8x=0

উত্তরঃ 0; 8

সাধারণভাবে একটি সমতুল্য সিস্টেমে রূপান্তর:

সমীকরণ

(সিস্টেমটিতে একটি অপ্রয়োজনীয় শর্ত রয়েছে - একটি অসাম্য বিবেচনা করা উচিত নয়)।

ক্লাসের জন্য প্রশ্ন: এই তিনটি সমাধানের মধ্যে কোনটি আপনার সবচেয়ে ভালো লেগেছে? (পদ্ধতি আলোচনা)।

যে কোনো উপায়ে সিদ্ধান্ত নেওয়ার অধিকার আপনার আছে।

3. একটি নতুন ভেরিয়েবলের পরিচিতি.

এর বিবেচনা করা যাক নং 520(g). .

আপনি কি লক্ষ্য করেছেন? (এই দ্বিঘাত সমীকরণ log3x সম্পর্কিত) আপনার পরামর্শ? (একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করুন)

সমাধান। ODZ: x > 0।

চলুন, তাহলে সমীকরণটি রূপ নেয়:। বৈষম্যকারী D > 0. ভিয়েটার উপপাদ্য অনুসারে মূল:।

প্রতিস্থাপনে ফিরে যাওয়া যাক: বা।

সহজ লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করার পরে, আমরা পাই:

উত্তর: 27;

4. লগারিদম সমীকরণের উভয় দিক।

সমীকরণটি সমাধান করুন:.

সমাধান: ODZ: x>0, বেস 10-এ সমীকরণের উভয় বাহুর লগারিদম নিন:

একটি পাওয়ারের লগারিদমের বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করা যাক:

(logx + 3) logx = 4

ধরুন logx = y, তারপর (y + 3)y = 4

, (D > 0) ভিয়েটার উপপাদ্য অনুসারে মূল: y1 = -4 এবং y2 = 1।

এর প্রতিস্থাপনে ফিরে আসা যাক, আমরা পাই: lgx = -4,; lgx = 1, .

উত্তর: 0.0001; 10.

5. একটি বেস হ্রাস.

নং 523(c)। সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান: ODZ: x>0। আসুন বেস 3 এ চলে যাই।

6. কার্যকরী-গ্রাফিক পদ্ধতি।

№ 509(d)।সমীকরণটি গ্রাফিকভাবে সমাধান করুন: = 3 - x।

আপনি কিভাবে সমাধান করার প্রস্তাব করবেন? (বিন্দু ব্যবহার করে y = log2x এবং y = 3 - x দুটি ফাংশনের গ্রাফ তৈরি করুন এবং গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলির অবসিসা সন্ধান করুন)।

স্লাইডে আপনার সমাধান দেখুন।

গ্রাফ তৈরি এড়াতে একটি উপায় আছে . এটি নিম্নরূপ : যদি ফাংশন এক y = f(x) বৃদ্ধি পায়, এবং অন্যান্য y = g(x) ব্যবধান X, তারপর সমীকরণে হ্রাস পায় f(x) = g(x) X ব্যবধানে সর্বাধিক একটি রুট আছে.

শিকড় থাকলে অনুমান করা যায়।

আমাদের ক্ষেত্রে, x>0 এর জন্য ফাংশন বৃদ্ধি পায় এবং x>0 সহ x এর সমস্ত মানের জন্য ফাংশন y = 3 - x হ্রাস পায়, যার মানে হল সমীকরণটিতে একটির বেশি মূল নেই। মনে রাখবেন যে x = 2 এ সমীকরণটি সত্যিকারের সমতায় পরিণত হয়, যেহেতু।

“পদ্ধতিগুলির সঠিক প্রয়োগ শেখা যেতে পারে
শুধুমাত্র তাদের প্রয়োগ করে বিভিন্ন উদাহরণ».
ডেনিশ গণিতের ইতিহাসবিদ জি জি জেইটেন

আমিভি. বাড়ির কাজ

পৃ. 39 উদাহরণ 3 বিবেচনা করুন, নং 514(b), নং 529(b), নং 520(b), নং 523(b) সমাধান করুন

V. পাঠের সংক্ষিপ্তকরণ

লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের কোন পদ্ধতিগুলো আমরা ক্লাসে দেখেছি?

চালু পরবর্তী পাঠআসুন আরও জটিল সমীকরণ দেখি। তাদের সমাধান করতে, অধ্যয়ন পদ্ধতি দরকারী হবে।

শেষ স্লাইড দেখানো হয়েছে:

“পৃথিবীতে আর কি আছে?
স্থান।
সবচেয়ে বুদ্ধিমানের কাজ কি?
সময়।
সেরা অংশ কি?
আপনি যা চান তা অর্জন করুন।"
থ্যালেস

আমি চাই সবাই যা চায় তা অর্জন করুক। আপনার সহযোগিতা এবং বোঝার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ.

আজ আমরা শিখব কিভাবে সহজ লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করা যায়, যেখানে কোন প্রাথমিক রূপান্তর বা শিকড় নির্বাচনের প্রয়োজন নেই। কিন্তু আপনি যদি এই জাতীয় সমীকরণগুলি সমাধান করতে শিখেন তবে এটি আরও সহজ হবে।

সহজ লগারিদমিক সমীকরণ হল a f (x) = b ফর্ম লগের একটি সমীকরণ, যেখানে a, b হল সংখ্যা (a > 0, a ≠ 1), f (x) একটি নির্দিষ্ট ফাংশন।

সমস্ত লগারিদম সমীকরণের একটি স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য হল লগারিদম চিহ্নের অধীনে চলক x এর উপস্থিতি। যদি এই সমীকরণটি প্রাথমিকভাবে সমস্যাটিতে দেওয়া হয় তবে এটিকে বলা হয় সরলতম। অন্য যেকোন লগারিদমিক সমীকরণ বিশেষ রূপান্তর দ্বারা সহজে হ্রাস করা হয় ("লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য" দেখুন)। যাইহোক, অনেক সূক্ষ্মতা অবশ্যই বিবেচনায় নেওয়া উচিত: অতিরিক্ত শিকড় উঠতে পারে, তাই জটিল লগারিদমিক সমীকরণগুলি আলাদাভাবে বিবেচনা করা হবে।

কিভাবে এই ধরনের সমীকরণ সমাধান? সমান চিহ্নের ডানদিকে সংখ্যাটিকে বাম দিকের মতো একই বেসে লগারিদম দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যথেষ্ট। তাহলে আপনি লগারিদমের চিহ্ন থেকে মুক্তি পেতে পারেন। আমরা পাই:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

আমরা স্বাভাবিক সমীকরণ পেয়েছি। এর শিকড় মূল সমীকরণের শিকড়।

ডিগ্রি নিচ্ছেন

প্রায়শই, লগারিদমিক সমীকরণগুলি, যা বাহ্যিকভাবে জটিল এবং হুমকিস্বরূপ দেখায়, জটিল সূত্রগুলিকে অন্তর্ভুক্ত না করে মাত্র কয়েকটি লাইনে সমাধান করা হয়। আজ আমরা ঠিক এই ধরনের সমস্যাগুলি দেখব, যেখানে আপনার যা প্রয়োজন তা হল ফর্মুলাটিকে ক্যানোনিকাল ফর্মে কমিয়ে আনা এবং লগারিদমের সংজ্ঞার ডোমেন অনুসন্ধান করার সময় বিভ্রান্ত না হওয়া।

আজ, আপনি সম্ভবত শিরোনাম থেকে অনুমান করেছেন, আমরা ক্যানোনিকাল ফর্মে রূপান্তরের জন্য সূত্র ব্যবহার করে লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করব। এই ভিডিও পাঠের প্রধান "কৌশল" হবে ডিগ্রী নিয়ে কাজ করা, অথবা বরং, ভিত্তি এবং যুক্তি থেকে ডিগ্রীকে বাদ দেওয়া। আসুন নিয়মটি দেখি:

একইভাবে, আপনি বেস থেকে ডিগ্রি অর্জন করতে পারেন:

আমরা দেখতে পাচ্ছি, লগারিদমের আর্গুমেন্ট থেকে ডিগ্রী মুছে ফেললে আমাদের সামনে একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর থাকে, তাহলে যখন আমরা বেস থেকে ডিগ্রীটি সরিয়ে ফেলি তখন আমরা শুধু একটি গুণক নয়, বরং একটি উল্টানো ফ্যাক্টর পাই। এই মনে রাখা প্রয়োজন.

অবশেষে, সবচেয়ে আকর্ষণীয় জিনিস। এই সূত্রগুলি একত্রিত করা যেতে পারে, তারপর আমরা পাই:

অবশ্যই, এই রূপান্তরগুলি করার সময়, সংজ্ঞার সুযোগের সম্ভাব্য সম্প্রসারণের সাথে বা, বিপরীতভাবে, সংজ্ঞার সুযোগকে সংকুচিত করার সাথে সম্পর্কিত কিছু ত্রুটি রয়েছে। নিজের জন্য বিচার করুন:

লগ 3 x 2 = 2 ∙ লগ 3 x

যদি প্রথম ক্ষেত্রে x 0 ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা হতে পারে, অর্থাৎ প্রয়োজনীয়তা x ≠ 0, তাহলে দ্বিতীয় ক্ষেত্রে আমরা শুধুমাত্র x নিয়েই সন্তুষ্ট, যেগুলো শুধু সমান নয়, বরং 0-এর চেয়েও বেশি, কারণ এর ডোমেন লগারিদমের সংজ্ঞা হল যে যুক্তিটি 0-এর থেকে কঠোরভাবে বড় হবে। তাই, আমি আপনাকে 8-9ম শ্রেণির বীজগণিত কোর্সের একটি চমৎকার সূত্র মনে করিয়ে দেব:

অর্থাৎ, আমাদের অবশ্যই আমাদের সূত্রটি লিখতে হবে:

লগ 3 x 2 = 2 ∙ লগ 3 |x |

তাহলে সংজ্ঞার পরিধির কোন সংকীর্ণতা ঘটবে না।

তবে আজকের ভিডিও টিউটোরিয়ালে কোন স্কোয়ার থাকবে না। আপনি যদি আমাদের কাজগুলি দেখেন তবে আপনি কেবল শিকড় দেখতে পাবেন। অতএব, আমরা এই নিয়মটি প্রয়োগ করব না, তবে আপনাকে এখনও এটি মনে রাখতে হবে যাতে সঠিক মুহুর্তে, আপনি যখন একটি যুক্তি বা লগারিদমের ভিত্তির মধ্যে একটি দ্বিঘাত ফাংশন দেখতে পান, আপনি এই নিয়মটি মনে রাখবেন এবং সমস্ত কাজ সম্পাদন করতে পারবেন। সঠিকভাবে রূপান্তর।

তাই প্রথম সমীকরণ হল:

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমি সূত্রে উপস্থিত প্রতিটি পদ সাবধানে দেখার প্রস্তাব করছি।

চলুন প্রথম টার্মটিকে একটি শক্তি হিসাবে একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ পুনরায় লিখি:

আমরা দ্বিতীয় শব্দটি দেখি: লগ 3 (1 − x)। এখানে কিছু করার দরকার নেই, সবকিছু ইতিমধ্যে এখানে রূপান্তরিত হয়েছে।

পরিশেষে, 0, 5. যেমনটি আমি পূর্ববর্তী পাঠে বলেছিলাম, লগারিদমিক সমীকরণ এবং সূত্রগুলি সমাধান করার সময়, আমি দশমিক ভগ্নাংশ থেকে সাধারণ ভগ্নাংশে যাওয়ার পরামর্শ দিই। আসুন এটি করি:

0,5 = 5/10 = 1/2

আসুন ফলাফলের শর্তাবলী বিবেচনায় নিয়ে আমাদের মূল সূত্রটি পুনরায় লিখি:

লগ 3 (1 − x ) = 1

এখন ক্যানোনিকাল ফর্মে যাওয়া যাক:

লগ 3 (1 − x ) = লগ 3 3

আমরা আর্গুমেন্ট সমীকরণ করে লগারিদম চিহ্ন থেকে পরিত্রাণ পাই:

1 − x = 3

−x = 2

x = −2

এটাই, আমরা সমীকরণটি সমাধান করেছি। যাইহোক, আসুন এখনও এটি নিরাপদে খেলি এবং সংজ্ঞার ডোমেনটি খুঁজে পাই। এটি করার জন্য, আসুন মূল সূত্রে ফিরে যাই এবং দেখুন:

1 − x > 0

−x > −1

x< 1

আমাদের মূল x = −2 এই প্রয়োজনীয়তাকে সন্তুষ্ট করে, তাই x = −2 হল মূল সমীকরণের একটি সমাধান। এখন আমরা একটি কঠোর, স্পষ্ট ন্যায্যতা পেয়েছি। এটা, সমস্যা সমাধান.

আসুন দ্বিতীয় টাস্কে এগিয়ে যাই:

আসুন প্রতিটি পদকে আলাদাভাবে দেখি।

আসুন প্রথমটি লিখি:

আমরা প্রথম মেয়াদে রূপান্তর করেছি। আমরা দ্বিতীয় মেয়াদের সাথে কাজ করি:

অবশেষে, শেষ পদ, যা সমান চিহ্নের ডানদিকে:

আমরা ফলাফলের সূত্রে পদগুলির পরিবর্তে ফলাফলযুক্ত অভিব্যক্তিগুলি প্রতিস্থাপন করি:

লগ 3 x = 1

আসুন ক্যানোনিকাল ফর্মে এগিয়ে যাই:

log 3 x = log 3 3

আমরা লগারিদম চিহ্ন থেকে পরিত্রাণ পাই, আর্গুমেন্ট সমীকরণ করি এবং আমরা পাই:

x = 3

আবার, শুধু নিরাপদ দিকে থাকার জন্য, আসুন মূল সমীকরণে ফিরে যাই এবং একবার দেখে নেওয়া যাক। মূল সূত্রে, পরিবর্তনশীল x শুধুমাত্র আর্গুমেন্টে উপস্থিত থাকে, তাই,

x > 0

দ্বিতীয় লগারিদমে, x রুটের নিচে, কিন্তু আবার আর্গুমেন্টে, তাই, রুটটি অবশ্যই 0-এর বেশি হতে হবে, অর্থাৎ আমূল অভিব্যক্তিঅবশ্যই 0 এর থেকে বড় হতে হবে। আমরা আমাদের রুট x = 3 এর দিকে তাকাই। স্পষ্টতই, এটি এই প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে। অতএব, x = 3 হল মূল লগারিদমিক সমীকরণের একটি সমাধান। এটা, সমস্যা সমাধান.

আজকের ভিডিও টিউটোরিয়ালে দুটি মূল বিষয় রয়েছে:

1) লগারিদম রূপান্তর করতে ভয় পাবেন না এবং বিশেষত, লগারিদমের চিহ্ন থেকে শক্তিগুলি নিতে ভয় পাবেন না, আমাদের মৌলিক সূত্রটি মনে রাখার সময়: একটি যুক্তি থেকে একটি শক্তি অপসারণ করার সময়, এটি পরিবর্তন ছাড়াই সরানো হয় একটি গুণক হিসাবে, এবং ভিত্তি থেকে একটি শক্তি অপসারণ করার সময়, এই শক্তি উল্টানো হয়।

2) দ্বিতীয় পয়েন্টটি ক্যানোনিকাল ফর্মের সাথে সম্পর্কিত। লগারিদমিক সমীকরণ সূত্রের রূপান্তরের একেবারে শেষে আমরা ক্যানোনিকাল ফর্মে রূপান্তর করেছি। আমাকে নিম্নলিখিত সূত্র মনে করিয়ে দিন:

a = লগ b b a

অবশ্যই, "যেকোন সংখ্যা b" অভিব্যক্তি দ্বারা, আমি সেই সংখ্যাগুলিকে বোঝাচ্ছি যেগুলি লগারিদমের ভিত্তির উপর আরোপিত প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করে, যেমন

1 ≠ b > 0

এই ধরনের b জন্য, এবং যেহেতু আমরা ইতিমধ্যে ভিত্তি জানি, এই প্রয়োজনীয়তা স্বয়ংক্রিয়ভাবে পূরণ করা হবে। কিন্তু এই ধরনের b-এর জন্য - এই প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে - এই রূপান্তরটি সঞ্চালিত হতে পারে, এবং আমরা একটি ক্যানোনিকাল ফর্ম পাব যাতে আমরা লগারিদমের চিহ্ন থেকে মুক্তি পেতে পারি।

সংজ্ঞা এবং অতিরিক্ত শিকড়ের ডোমেন প্রসারিত করা

লগারিদমিক সমীকরণ পরিবর্তনের প্রক্রিয়ায়, সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্নিহিত প্রসার ঘটতে পারে। প্রায়শই শিক্ষার্থীরা এটি লক্ষ্য করে না, যা ভুল এবং ভুল উত্তরের দিকে পরিচালিত করে।

সহজতম ডিজাইন দিয়ে শুরু করা যাক। সহজ লগারিদমিক সমীকরণটি নিম্নরূপ:

log a f(x) = b

মনে রাখবেন যে একটি লগারিদমের শুধুমাত্র একটি আর্গুমেন্টে x উপস্থিত। আমরা কিভাবে এই ধরনের সমীকরণ সমাধান করব? আমরা ক্যানোনিকাল ফর্ম ব্যবহার করি। এটি করার জন্য, b = log a a b সংখ্যাটি কল্পনা করুন এবং আমাদের সমীকরণটি নিম্নরূপ পুনরায় লেখা হবে:

log a f(x) = log a a b

এই এন্ট্রিকে ক্যানোনিকাল ফর্ম বলা হয়। এটির জন্যই আপনার যেকোন লগারিদমিক সমীকরণ হ্রাস করা উচিত যা আপনি কেবল আজকের পাঠেই নয়, যেকোনো স্বাধীন এবং পরীক্ষামূলক কাজেও সম্মুখীন হবেন।

ক্যানোনিকাল ফর্মে কীভাবে পৌঁছাবেন এবং কী কৌশলগুলি ব্যবহার করবেন তা অনুশীলনের বিষয়। বোঝার মূল বিষয় হল যে আপনি এই ধরনের একটি রেকর্ড পাওয়ার সাথে সাথে আপনি সমস্যাটি সমাধানের বিষয়টি বিবেচনা করতে পারেন। কারণ পরবর্তী ধাপটি লিখতে হয়:

f(x) = a b

অন্য কথায়, আমরা লগারিদম চিহ্ন থেকে পরিত্রাণ পাই এবং কেবল যুক্তিগুলিকে সমান করি।

কেন এই সব কথা? আসল বিষয়টি হ'ল ক্যানোনিকাল ফর্মটি কেবল সহজতম সমস্যার ক্ষেত্রেই নয়, অন্য কোনও ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। বিশেষ করে, আমরা আজ সিদ্ধান্ত নেব যে. দেখা যাক।

প্রথম কাজ:

এই সমীকরণে সমস্যা কি? ঘটনাটি হল যে ফাংশনটি একবারে দুটি লগারিদমে রয়েছে। একটি লগারিদম থেকে আরেকটি লগারিদম বিয়োগ করে সমস্যাটিকে সহজে কমিয়ে আনা যায়। কিন্তু সংজ্ঞা এলাকায় সমস্যা দেখা দেয়: অতিরিক্ত শিকড় প্রদর্শিত হতে পারে। তাহলে আসুন শুধু লগারিদমগুলির একটিকে ডানদিকে সরানো যাক:

এই এন্ট্রিটি ক্যানোনিকাল ফর্মের সাথে অনেক বেশি মিল। তবে আরও একটি সূক্ষ্মতা রয়েছে: ক্যানোনিকাল আকারে, যুক্তিগুলি অবশ্যই একই হতে হবে। এবং বাম দিকে আমাদের লগারিদম আছে বেস 3 এ, এবং ডানদিকে বেস 1/3। তিনি জানেন যে এই ঘাঁটিগুলিকে একই নম্বরে আনতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, আসুন মনে করি নেতিবাচক শক্তিগুলি কী:

এবং তারপরে আমরা লগের বাইরে "−1" সূচকটিকে গুণক হিসাবে ব্যবহার করব:

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: বেসে যে ডিগ্রীটি ছিল সেটি উল্টে ভগ্নাংশে পরিণত হয়। আমরা বিভিন্ন বেস থেকে পরিত্রাণ পেয়ে প্রায় ক্যানোনিকাল স্বরলিপি পেয়েছি, কিন্তু বিনিময়ে আমরা ডানদিকে ফ্যাক্টর "−1" পেয়েছি। আসুন এই ফ্যাক্টরটিকে একটি শক্তিতে পরিণত করে যুক্তিতে ফ্যাক্টর করি:

অবশ্যই, ক্যানোনিকাল ফর্মটি পেয়ে, আমরা সাহসের সাথে লগারিদমের চিহ্নটি ক্রস আউট করি এবং যুক্তিগুলিকে সমান করি। একই সময়ে, আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে যখন শক্তি "−1" এ উত্থাপিত হয়, ভগ্নাংশটি কেবল উল্টে যায় - একটি অনুপাত পাওয়া যায়।

আসুন অনুপাতের মৌলিক বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করি এবং এটিকে ক্রসওয়াইজে গুণ করি:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

আমাদের সামনে উপরের দ্বিঘাত সমীকরণ রয়েছে, তাই আমরা ভিয়েটার সূত্র ব্যবহার করে এটি সমাধান করি:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

সেটাই। আপনি কি মনে করেন সমীকরণটি সমাধান করা হয়েছে? না! এই জাতীয় সমাধানের জন্য আমরা 0 পয়েন্ট পাব, কারণ মূল সমীকরণটিতে x ভেরিয়েবল সহ দুটি লগারিদম রয়েছে। অতএব, সংজ্ঞার ডোমেনটি বিবেচনায় নেওয়া প্রয়োজন।

আর এখান থেকেই মজা শুরু হয়। বেশিরভাগ শিক্ষার্থী বিভ্রান্ত হয়: লগারিদমের সংজ্ঞার ডোমেন কী? অবশ্যই, সমস্ত আর্গুমেন্ট (আমাদের দুটি আছে) শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

এই বৈষম্যগুলির প্রতিটি সমাধান করতে হবে, একটি সরল রেখায় চিহ্নিত, ছেদ করা, এবং শুধুমাত্র তারপর দেখা যাবে কোন শিকড় ছেদ-এ আছে।

আমি সৎ হব: এই কৌশলটির অস্তিত্বের অধিকার রয়েছে, এটি নির্ভরযোগ্য এবং আপনি সঠিক উত্তর পাবেন, তবে এতে অনেকগুলি অপ্রয়োজনীয় পদক্ষেপ রয়েছে। সুতরাং আসুন আমাদের সমাধানটি আবার দেখুন এবং দেখুন: আমাদের ঠিক কোথায় সুযোগ প্রয়োগ করতে হবে? অন্য কথায়, আপনাকে স্পষ্টভাবে বুঝতে হবে যে ঠিক কখন অতিরিক্ত শিকড় উপস্থিত হয়।

1. প্রাথমিকভাবে আমাদের দুটি লগারিদম ছিল। তারপরে আমরা তাদের মধ্যে একটিকে ডানদিকে সরিয়ে নিয়েছি, তবে এটি সংজ্ঞার ক্ষেত্রটিকে প্রভাবিত করেনি।
2. তারপরে আমরা বেস থেকে শক্তিটি সরিয়ে ফেলি, তবে এখনও দুটি লগারিদম রয়েছে এবং তাদের প্রতিটিতে একটি পরিবর্তনশীল x রয়েছে।
3. অবশেষে, আমরা লগ চিহ্নগুলি ক্রস আউট করি এবং ক্লাসিক্যাল ভগ্নাংশ পাই যৌক্তিক সমীকরণ.

এটা শেষ ধাপে সংজ্ঞার পরিধি প্রসারিত! যত তাড়াতাড়ি আমরা একটি ভগ্নাংশ-যুক্তিযুক্ত সমীকরণে চলে যাই, লগ চিহ্নগুলি থেকে মুক্তি পেয়ে, পরিবর্তনশীল x-এর প্রয়োজনীয়তাগুলি নাটকীয়ভাবে পরিবর্তিত হয়!

ফলস্বরূপ, সংজ্ঞার ডোমেনটি সমাধানের একেবারে শুরুতে নয়, শুধুমাত্র উল্লিখিত ধাপে বিবেচনা করা যেতে পারে - আর্গুমেন্টগুলিকে সরাসরি সমান করার আগে।

এখানেই অপ্টিমাইজেশনের সুযোগ রয়েছে। একদিকে, আমাদের প্রয়োজন যে উভয় আর্গুমেন্টই শূন্যের চেয়ে বেশি হবে। অন্যদিকে, আমরা এই যুক্তিগুলিকে আরও সমান করি। অতএব, যদি তাদের মধ্যে অন্তত একটি ইতিবাচক হয়, তাহলে দ্বিতীয়টিও ইতিবাচক হবে!

সুতরাং দেখা যাচ্ছে যে দুটি বৈষম্য একবারে পূরণ করা প্রয়োজন অতিমাত্রায়। এই ভগ্নাংশগুলির মধ্যে শুধুমাত্র একটি বিবেচনা করা যথেষ্ট। কোনটা ঠিক? এক যে সহজ. উদাহরণস্বরূপ, আসুন ডান হাতের ভগ্নাংশটি দেখি:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

এটি একটি সাধারণ ভগ্নাংশ যৌক্তিক অসমতা যা আমরা ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করি:

কিভাবে লক্ষণ স্থাপন? আসুন এমন একটি সংখ্যা নেওয়া যাক যা আমাদের সমস্ত মূলের থেকে স্পষ্টতই বড়। উদাহরণস্বরূপ, 1 বিলিয়ন এবং আমরা তার ভগ্নাংশ প্রতিস্থাপন. আমরা একটি ধনাত্মক সংখ্যা পাই, যেমন মূল x = 5 এর ডানদিকে একটি যোগ চিহ্ন থাকবে।

তারপর লক্ষণগুলি পর্যায়ক্রমে, কারণ কোথাও এমনকি বহুগুণের কোনও শিকড় নেই। আমরা এমন বিরতিতে আগ্রহী যেখানে ফাংশনটি ইতিবাচক। অতএব, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞)।

এখন উত্তরগুলি মনে রাখা যাক: x = 8 এবং x = 2। কঠোরভাবে বলতে গেলে, এগুলি এখনও উত্তর নয়, শুধুমাত্র উত্তরের প্রার্থী। কোনটি নির্দিষ্ট সেটের অন্তর্গত? অবশ্যই, x = 8. কিন্তু x = 2 এর সংজ্ঞার ডোমেনের পরিপ্রেক্ষিতে আমাদের জন্য উপযুক্ত নয়।

মোট, প্রথম লগারিদমিক সমীকরণের উত্তর হবে x = 8। এখন আমাদের কাছে একটি উপযুক্ত, সুপ্রতিষ্ঠিত সমাধান আছে, সংজ্ঞার ডোমেন বিবেচনা করে।

আসুন দ্বিতীয় সমীকরণে এগিয়ে যাই:

লগ 5 (x − 9) = লগ 0.5 4 − লগ 5 (x − 5) + 3

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে যদি সমীকরণে দশমিক ভগ্নাংশ থাকে তবে আপনার এটি থেকে মুক্তি পাওয়া উচিত। অন্য কথায়, আসুন 0.5 কে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে পুনরায় লিখি। আমরা অবিলম্বে লক্ষ্য করি যে এই বেস ধারণকারী লগারিদম সহজেই গণনা করা হয়:

এটি একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ মুহূর্ত! যখন বেস এবং আর্গুমেন্ট উভয় ক্ষেত্রেই আমাদের ডিগ্রী থাকে, তখন আমরা সূত্রটি ব্যবহার করে এই ডিগ্রীর সূচকগুলি বের করতে পারি:

আসুন আমাদের মূল লগারিদমিক সমীকরণে ফিরে যাই এবং এটি পুনরায় লিখি:

লগ 5 (x − 9) = 1 − লগ 5 (x − 5)

আমরা ক্যানোনিকাল ফর্মের বেশ কাছাকাছি একটি নকশা পেয়েছি। যাইহোক, আমরা শর্তাবলী এবং সমান চিহ্নের ডানদিকে বিয়োগ চিহ্ন দ্বারা বিভ্রান্ত। আসুন বেস 5 এর লগারিদম হিসাবে একটিকে উপস্থাপন করি:

লগ 5 (x − 9) = লগ 5 5 1 − লগ 5 (x − 5)

ডানদিকে লগারিদমগুলি বিয়োগ করুন (এই ক্ষেত্রে তাদের আর্গুমেন্টগুলি ভাগ করা হয়েছে):

লগ 5 (x − 9) = লগ 5 5/(x − 5)

বিস্ময়কর। তাই আমরা ক্যানোনিকাল ফর্ম পেয়েছি! আমরা লগ চিহ্নগুলি ক্রস আউট করি এবং আর্গুমেন্টগুলিকে সমান করি:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

এটি একটি অনুপাত যা ক্রসওয়াইজ গুণ করে সহজেই সমাধান করা যেতে পারে:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

স্পষ্টতই, আমরা একটি হ্রাস দ্বিঘাত সমীকরণ আছে. এটি ভিয়েটার সূত্র ব্যবহার করে সহজেই সমাধান করা যেতে পারে:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

আমরা দুটি শিকড় পেয়েছি। কিন্তু এগুলি চূড়ান্ত উত্তর নয়, শুধুমাত্র প্রার্থী, কারণ লগারিদমিক সমীকরণের জন্যও সংজ্ঞার ডোমেন পরীক্ষা করা প্রয়োজন।

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি: কখন অনুসন্ধান করার দরকার নেই প্রতিটিআর্গুমেন্ট শূন্য থেকে বড় হবে. এটি একটি যুক্তির প্রয়োজনের জন্য যথেষ্ট - হয় x − 9 বা 5/(x − 5)- শূন্যের চেয়ে বড়। প্রথম যুক্তি বিবেচনা করুন:

x − 9 > 0

x > 9

স্পষ্টতই, শুধুমাত্র x = 10 এই প্রয়োজনীয়তাকে সন্তুষ্ট করে। পুরো সমস্যার সমাধান হয়।

আবারও, আজকের পাঠের মূল চিন্তা:

1. ভেরিয়েবল xটি বেশ কয়েকটি লগারিদমে উপস্থিত হওয়ার সাথে সাথে সমীকরণটি প্রাথমিক হওয়া বন্ধ করে দেয় এবং এর সংজ্ঞার ডোমেনটি অবশ্যই গণনা করা উচিত। অন্যথায়, আপনি সহজেই উত্তরে অতিরিক্ত শিকড় লিখতে পারেন।
2. ডোমেনের সাথেই কাজ করা উল্লেখযোগ্যভাবে সরলীকৃত হতে পারে যদি আমরা বৈষম্যটি অবিলম্বে না লিখি, কিন্তু ঠিক সেই মুহূর্তে যখন আমরা লগ চিহ্নগুলি থেকে মুক্তি পাব। সর্বোপরি, যখন আর্গুমেন্টগুলি একে অপরের সাথে সমান হয়, তখন তাদের মধ্যে শুধুমাত্র একটি শূন্যের চেয়ে বেশি হওয়া প্রয়োজন।

অবশ্যই, আমরা নিজেরাই বেছে নিই কোন যুক্তিটি একটি অসমতা তৈরি করতে ব্যবহার করতে হবে, তাই সহজতমটি বেছে নেওয়া যৌক্তিক। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিতীয় সমীকরণে আমরা আর্গুমেন্টটি বেছে নিয়েছি (x −9) - লিনিয়ার ফাংশন, ভগ্নাংশের যুক্তিযুক্ত দ্বিতীয় যুক্তির বিপরীতে। একমত, অসমতা সমাধান করা x − 9 > 0 5/(x − 5) > 0 এর চেয়ে অনেক সহজ। যদিও ফলাফল একই।

এই মন্তব্যটি ওডিজেডের অনুসন্ধানকে ব্যাপকভাবে সরল করে, তবে সতর্ক থাকুন: আপনি যদি যুক্তিগুলি সঠিকভাবে হয় তবেই আপনি দুটির পরিবর্তে একটি অসমতা ব্যবহার করতে পারেন একে অপরের সমান!

অবশ্যই, কেউ এখন জিজ্ঞাসা করবে: ভিন্নভাবে কি ঘটে? হ্যাঁ, এটা ঘটে। উদাহরণস্বরূপ, ধাপেই, যখন আমরা একটি ভেরিয়েবল সম্বলিত দুটি আর্গুমেন্টকে গুণ করি, তখন অপ্রয়োজনীয় শিকড় উপস্থিত হওয়ার আশঙ্কা থাকে।

নিজের জন্য বিচার করুন: প্রথমে প্রতিটি আর্গুমেন্ট শূন্যের চেয়ে বেশি হওয়া প্রয়োজন, কিন্তু গুণের পরে তাদের গুণফল শূন্যের চেয়ে বেশি হওয়া যথেষ্ট। ফলস্বরূপ, যে ক্ষেত্রে এই ভগ্নাংশগুলির প্রতিটি ঋণাত্মক তা মিস হয়।

অতএব, আপনি যদি জটিল লগারিদমিক সমীকরণগুলি বুঝতে শুরু করেন, কোনো অবস্থাতেই x পরিবর্তনশীল লগারিদমগুলিকে গুণিত করবেন না - এটি প্রায়শই অপ্রয়োজনীয় শিকড়ের উপস্থিতির দিকে নিয়ে যায়। একটি অতিরিক্ত পদক্ষেপ নেওয়া, একটি পদকে অন্য দিকে নিয়ে যাওয়া এবং একটি আদর্শ ফর্ম তৈরি করা ভাল।

ঠিক আছে, আপনি যদি এই ধরনের লগারিদমকে গুণ না করে করতে না পারেন তবে আমরা পরবর্তী ভিডিও পাঠে আলোচনা করব :)

আবার সমীকরণের ক্ষমতা সম্পর্কে

আজ আমরা লগারিদমিক সমীকরণ, বা আরও স্পষ্টভাবে, লগারিদমের যুক্তি এবং ভিত্তি থেকে ক্ষমতা অপসারণ সম্পর্কিত একটি বরং পিচ্ছিল বিষয় পরীক্ষা করব।

আমি এমনকি বলব যে আমরা জোড় শক্তিগুলি অপসারণের বিষয়ে কথা বলব, কারণ এটি জোড় ক্ষমতার সাথেই বাস্তব লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় বেশিরভাগ অসুবিধা দেখা দেয়।

ক্যানোনিকাল ফর্ম দিয়ে শুরু করা যাক। ধরা যাক আমাদের লগ a f(x) = b ফর্মের একটি সমীকরণ আছে। এই ক্ষেত্রে, আমরা b = log a a b সূত্রটি ব্যবহার করে b সংখ্যাটি পুনরায় লিখি। এটি নিম্নলিখিত সক্রিয় আউট:

log a f(x) = log a a b

তারপর আমরা আর্গুমেন্ট সমতুল্য:

f(x) = a b

উপান্তর সূত্রকে ক্যানোনিকাল ফর্ম বলা হয়। এটির জন্যই তারা যে কোনও লগারিদমিক সমীকরণকে হ্রাস করার চেষ্টা করে, তা প্রথম নজরে যত জটিল এবং ভীতিকর মনে হোক না কেন।

তাই এর চেষ্টা করা যাক. প্রথম কাজ দিয়ে শুরু করা যাক:

প্রাথমিক নোট: আমি যেমন বলেছি, সবকিছু দশমিকলগারিদমিক সমীকরণে এটিকে সাধারণ সমীকরণে রূপান্তর করা ভাল:

0,5 = 5/10 = 1/2

আসুন এই সত্যটিকে বিবেচনায় নিয়ে আমাদের সমীকরণটি আবার লিখি। মনে রাখবেন যে 1/1000 এবং 100 উভয়ই দশের ক্ষমতা, এবং তারপরে তারা যেখানেই থাকুক না কেন ক্ষমতাগুলি বের করা যাক: আর্গুমেন্ট এবং এমনকি লগারিদমের ভিত্তি থেকে:

এবং এখানে অনেক শিক্ষার্থীর একটি প্রশ্ন আছে: "ডানদিকের মডিউলটি কোথা থেকে এসেছে?" প্রকৃতপক্ষে, কেন কেবল (x − 1) লিখবেন না? অবশ্যই, এখন আমরা লিখব (x − 1), তবে সংজ্ঞার ডোমেনটি বিবেচনায় নিয়ে আমাদের এটি লেখার অধিকার দেয়। সর্বোপরি, অন্য একটি লগারিদমে ইতিমধ্যেই রয়েছে (x −1), এবং এই অভিব্যক্তিটি অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বেশি হতে হবে।

কিন্তু যখন আমরা লগারিদমের ভিত্তি থেকে বর্গক্ষেত্রটি সরিয়ে ফেলি, তখন আমাদের অবশ্যই ঠিক মডিউলটি বেসে রেখে যেতে হবে। আমাকে ব্যাখ্যা করা যাক কেন.

আসল কথা হল, গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, ডিগ্রি নেওয়াটা মূল নেওয়ার সমতুল্য। বিশেষ করে, যখন আমরা (x − 1) 2 রাশিটিকে বর্গ করি, তখন আমরা মূলত দ্বিতীয় রুটটি নিচ্ছি। কিন্তু বর্গমূল একটি মডুলাস ছাড়া আর কিছুই নয়। হুবহু মডিউল, কারণ এক্সপ্রেশন x − 1 ঋণাত্মক হলেও, বর্গ করা হলে, "বিয়োগ" তখনও জ্বলে যাবে। মূলের আরও নিষ্কাশন আমাদের একটি ধনাত্মক সংখ্যা দেবে - কোন বিয়োগ ছাড়াই।

সাধারণভাবে, আপত্তিকর ভুলগুলি এড়াতে, একবার এবং সব জন্য মনে রাখবেন:

একই শক্তিতে উত্থাপিত যে কোনও ফাংশনের জোড় শক্তির মূলটি ফাংশনের নিজেই নয়, তবে এর মডুলাসের সমান:

আমাদের লগারিদমিক সমীকরণে ফিরে আসা যাক। মডিউল সম্পর্কে কথা বলতে গিয়ে, আমি যুক্তি দিয়েছিলাম যে আমরা এটিকে বেদনাহীনভাবে অপসারণ করতে পারি। এটা সত্য। এখন আমি ব্যাখ্যা করব কেন। কঠোরভাবে বলতে গেলে, আমাদের দুটি বিকল্প বিবেচনা করতে হয়েছিল:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
2. x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

এই বিকল্পগুলির প্রতিটির সমাধান করা প্রয়োজন। কিন্তু একটি ধরা আছে: মূল সূত্রে ইতিমধ্যেই কোনো মডুলাস ছাড়াই ফাংশন (x −1) রয়েছে। এবং লগারিদমের সংজ্ঞার ডোমেন অনুসরণ করে, আমাদের অবিলম্বে x − 1 > 0 লেখার অধিকার আছে।

সমাধান প্রক্রিয়ায় আমরা যে কোনও মডিউল এবং অন্যান্য রূপান্তর নির্বিশেষে এই প্রয়োজনীয়তাটি অবশ্যই সন্তুষ্ট করতে হবে। অতএব, দ্বিতীয় বিকল্পটি বিবেচনা করার কোন অর্থ নেই - এটি কখনই উঠবে না। এমনকি যদি আমরা এই বৈষম্যের শাখাটি সমাধান করার সময় কিছু নম্বর পাই, তবুও সেগুলি চূড়ান্ত উত্তরে অন্তর্ভুক্ত হবে না।

এখন আমরা লগারিদমিক সমীকরণের ক্যানোনিকাল ফর্ম থেকে আক্ষরিকভাবে এক ধাপ দূরে। আসুন ইউনিটটিকে নিম্নরূপ উপস্থাপন করি:

1 = লগ x − 1 (x − 1) 1

উপরন্তু, আমরা যুক্তিতে ফ্যাক্টর −4 প্রবর্তন করি, যা ডানদিকে রয়েছে:

লগ x − 1 10 −4 = লগ x − 1 (x − 1)

আমাদের আগে লগারিদমিক সমীকরণের ক্যানোনিকাল ফর্ম। আমরা লগারিদম চিহ্ন থেকে মুক্তি পাই:

10 −4 = x −1

কিন্তু যেহেতু বেসটি একটি ফাংশন ছিল (এবং একটি মৌলিক সংখ্যা নয়), আমাদের অতিরিক্ত প্রয়োজন যে এই ফাংশনটি শূন্যের চেয়ে বড় এবং একটির সমান নয়। ফলাফল সিস্টেম হবে:

যেহেতু প্রয়োজন x − 1 > 0 স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হয় (সর্বশেষে, x − 1 = 10 −4), আমাদের সিস্টেম থেকে একটি অসমতা মুছে ফেলা যেতে পারে। দ্বিতীয় শর্তটিও অতিক্রম করা যেতে পারে, কারণ x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

এটিই একমাত্র মূল যা স্বয়ংক্রিয়ভাবে লগারিদমের সংজ্ঞার ডোমেনের সমস্ত প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে (তবে, আমাদের সমস্যার শর্তে স্পষ্টতই সমস্ত প্রয়োজনীয়তা বাদ দেওয়া হয়েছিল)।

তাই দ্বিতীয় সমীকরণ:

3 লগ 3 x x = 2 লগ 9 x x 2

কিভাবে এই সমীকরণটি আগের থেকে মৌলিকভাবে আলাদা? যদি কেবলমাত্র লগারিদমের ভিত্তিগুলি - 3x এবং 9x - না হয় প্রাকৃতিক ডিগ্রীএকে অপরকে অতএব, পূর্ববর্তী সমাধানে আমরা যে রূপান্তর ব্যবহার করেছি তা সম্ভব নয়।

অন্তত ডিগ্রী থেকে রেহাই পাওয়া যাক। আমাদের ক্ষেত্রে, একমাত্র ডিগ্রি দ্বিতীয় যুক্তিতে:

3 লগ 3 x x = 2 ∙ 2 লগ 9 x |x |

যাইহোক, মডুলাস চিহ্নটি সরানো যেতে পারে, কারণ x ভেরিয়েবলটিও বেসে রয়েছে, অর্থাৎ x > 0 ⇒ |x| = x। আসুন আমাদের লগারিদমিক সমীকরণটি আবার লিখি:

3 লগ 3 x x = 4 লগ 9 x x

আমরা লগারিদম পেয়েছি যেখানে আর্গুমেন্ট একই, কিন্তু ভিত্তি ভিন্ন। এরপর কি করতে হবে? এখানে অনেকগুলি বিকল্প রয়েছে, তবে আমরা তাদের মধ্যে শুধুমাত্র দুটি বিবেচনা করব, যা সবচেয়ে যৌক্তিক, এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, এইগুলি বেশিরভাগ ছাত্রদের জন্য দ্রুত এবং বোধগম্য কৌশল।

আমরা ইতিমধ্যে প্রথম বিকল্পটি বিবেচনা করেছি: যেকোনো অস্পষ্ট পরিস্থিতিতে, একটি পরিবর্তনশীল বেস সহ লগারিদমগুলিকে কিছু ধ্রুবক বেসে রূপান্তর করুন। উদাহরণস্বরূপ, একটি deuce থেকে. রূপান্তর সূত্র সহজ:

অবশ্যই, চলক c এর ভূমিকা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হওয়া উচিত: 1 ≠ c > 0। আমাদের ক্ষেত্রে c = 2 ধরা যাক। এখন আমাদের কাছে স্বাভাবিক সংখ্যা আছে ভগ্নাংশ মূলদ সমীকরণ. আমরা বাম দিকে সমস্ত উপাদান সংগ্রহ করি:

স্পষ্টতই, লগ 2 x ফ্যাক্টরটি সরানো ভাল, যেহেতু এটি প্রথম এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশে উপস্থিত।

লগ 2 x = 0;

3 লগ 2 9x = 4 লগ 2 3x

আমরা প্রতিটি লগকে দুটি পদে বিভক্ত করি:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

আসুন এই তথ্যগুলিকে বিবেচনায় নিয়ে সমতার উভয় পক্ষকে পুনরায় লিখি:

3 (2 লগ 2 3 + লগ 2 x) = 4 (লগ 2 3 + লগ 2 x)

6 লগ 2 3 + 3 লগ 2 x = 4 লগ 2 3 + 4 লগ 2 x

2 লগ 2 3 = লগ 2 x

এখন যা অবশিষ্ট থাকে তা হল লগারিদমের চিহ্নের নীচে একটি দুটি প্রবেশ করানো (এটি একটি শক্তিতে পরিণত হবে: 3 2 = 9):

লগ 2 9 = লগ 2 x

আমাদের ক্লাসিক ক্যানোনিকাল ফর্ম হওয়ার আগে, আমরা লগারিদম চিহ্ন থেকে পরিত্রাণ পাই এবং পেতে পারি:

প্রত্যাশিত হিসাবে, এই রুটটি শূন্যের চেয়ে বেশি হয়ে উঠেছে। এটা সংজ্ঞা ডোমেন চেক অবশেষ. চলুন দেখে নেই কারণগুলো:

কিন্তু রুট x = 9 এই প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করে। তাই এটিই চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত।

থেকে উপসংহার এই সিদ্ধান্তসহজ: দীর্ঘ লেআউট দ্বারা ভয় পাবেন না! এটা ঠিক যে একেবারে শুরুতে আমরা এলোমেলোভাবে একটি নতুন বেস বেছে নিয়েছিলাম - এবং এটি প্রক্রিয়াটিকে উল্লেখযোগ্যভাবে জটিল করে তুলেছে।

কিন্তু তারপর প্রশ্ন ওঠে: ভিত্তি কি? সর্বোত্তম? আমি দ্বিতীয় পদ্ধতিতে এই বিষয়ে কথা বলব।

আসুন আমাদের মূল সমীকরণে ফিরে যাই:

3 লগ 3x x = 2 লগ 9x x 2

3 লগ 3x x = 2 ∙ 2 লগ 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 লগ 3 x x = 4 লগ 9 x x

এখন একটু চিন্তা করা যাক: কোন সংখ্যা বা ফাংশনটি সর্বোত্তম ভিত্তি হবে? এটা স্পষ্ট যে সেরা বিকল্পসেখানে c = x থাকবে - যা ইতিমধ্যেই আর্গুমেন্টে আছে। এই ক্ষেত্রে, সূত্র log a b = log c b /log c a ফর্মটি গ্রহণ করবে:

অন্য কথায়, অভিব্যক্তিটি কেবল বিপরীত। এক্ষেত্রে যুক্তি ও ভিত্তি স্থান পরিবর্তন করে।

এই সূত্রটি খুবই উপযোগী এবং জটিল লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানে প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। যাইহোক, এই সূত্র ব্যবহার করার সময় একটি খুব গুরুতর সমস্যা আছে। যদি আমরা বেসের পরিবর্তে পরিবর্তনশীল x প্রতিস্থাপন করি, তাহলে এর উপর বিধিনিষেধ আরোপ করা হয় যা পূর্বে পালন করা হয়নি:

মূল সমীকরণে এমন কোন সীমাবদ্ধতা ছিল না। অতএব, আমাদের আলাদাভাবে কেসটি পরীক্ষা করা উচিত যখন x = 1। এই মানটিকে আমাদের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

3 লগ 3 1 = 4 লগ 9 1

আমরা সঠিক সংখ্যাগত সমতা পাই। অতএব x = 1 একটি মূল। আমরা সমাধানের একেবারে শুরুতে আগের পদ্ধতিতে ঠিক একই রুট খুঁজে পেয়েছি।

কিন্তু এখন যেহেতু আমরা এই বিশেষ ক্ষেত্রে আলাদাভাবে বিবেচনা করেছি, আমরা নিরাপদে ধরে নিই যে x ≠ 1. তারপর আমাদের লগারিদমিক সমীকরণটি নিম্নলিখিত আকারে পুনরায় লেখা হবে:

3 লগ x 9x = 4 লগ x 3x

আমরা আগের মতো একই সূত্র ব্যবহার করে উভয় লগারিদম প্রসারিত করি। নোট করুন যে লগ x x = 1:

3 (লগ x 9 + লগ x x) = 4 (লগ x 3 + লগ x x)

3 লগ x 9 + 3 = 4 লগ x 3 + 4

3 লগ x 3 2 − 4 লগ x 3 = 4 − 3

2 লগ x 3 = 1

তাই আমরা ক্যানোনিকাল ফর্মে এসেছি:

log x 9 = লগ x x 1

x=9

আমরা দ্বিতীয় রুট পেয়েছি। এটি x ≠ 1 এর প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে। তাই, x = 1 এর সাথে x = 9 হল চূড়ান্ত উত্তর।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, গণনার ভলিউম সামান্য হ্রাস পেয়েছে। কিন্তু একটি বাস্তব লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করার সময়, ধাপের সংখ্যাও অনেক কম হবে কারণ আপনাকে প্রতিটি ধাপের বিস্তারিত বর্ণনা করতে হবে না।

আজকের পাঠের মূল নিয়মটি হল: যদি সমস্যাটিতে একটি জোড় ডিগ্রি থাকে, যেখান থেকে একই ডিগ্রির মূল বের করা হয়, তাহলে আউটপুটটি একটি মডুলাস হবে। যাইহোক, যদি আপনি লগারিদমের সংজ্ঞার ডোমেনে মনোযোগ দেন তবে এই মডিউলটি সরানো যেতে পারে।

তবে সতর্ক থাকুন: এই পাঠের পরে, বেশিরভাগ শিক্ষার্থী মনে করে যে তারা সবকিছু বোঝে। তবে সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় বাস্তব সমস্যাতারা সমগ্র লজিক্যাল চেইন পুনরুত্পাদন করতে পারে না। ফলস্বরূপ, সমীকরণটি অপ্রয়োজনীয় শিকড় অর্জন করে এবং উত্তরটি ভুল হতে দেখা যায়।

নির্দেশনা

প্রদত্ত লগারিদমিক রাশিটি লিখ। যদি এক্সপ্রেশনটি 10-এর লগারিদম ব্যবহার করে, তাহলে এর স্বরলিপি ছোট করা হয় এবং এইরকম দেখায়: lg b হল দশমিক লগারিদম। লগারিদমের বেস হিসাবে যদি e সংখ্যা থাকে, তাহলে অভিব্যক্তিটি লিখুন: ln b – প্রাকৃতিক লগারিদম। এটি বোঝা যায় যে যে কোনোটির ফলাফল হল সেই শক্তি যার দিকে ভিত্তি নম্বরটি বাড়াতে হবে b নম্বর পেতে।

দুটি ফাংশনের যোগফল খুঁজে বের করার সময়, আপনাকে কেবল তাদের একে একে আলাদা করতে হবে এবং ফলাফল যোগ করতে হবে: (u+v)" = u"+v";

দুটি ফাংশনের গুণফলের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সময়, প্রথম ফাংশনের ডেরিভেটিভকে দ্বিতীয় দ্বারা গুণ করতে হবে এবং প্রথম ফাংশন দ্বারা গুণিত দ্বিতীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ যোগ করতে হবে: (u*v)" = u"*v +v"*u;

দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ বের করার জন্য, ভাজকের ফাংশন দ্বারা গুণিত লভ্যাংশের ডেরিভেটিভের গুনফল থেকে বিয়োগ করতে হবে এবং লভ্যাংশের ফাংশন দ্বারা গুণিত ভাজকের ডেরিভেটিভের গুণফলকে বিয়োগ করতে হবে। এই সব ভাজক ফাংশন বর্গ দ্বারা. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

যদি দেওয়া হয় জটিল ফাংশন, তাহলে অভ্যন্তরীণ ফাংশনের ডেরিভেটিভ এবং বাহ্যিকটির ডেরিভেটিভকে গুণ করতে হবে। ধরুন y=u(v(x)), তারপর y"(x)=y"(u)*v"(x)।

উপরে প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে, আপনি প্রায় কোন ফাংশন পার্থক্য করতে পারেন. তাহলে আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
একটি বিন্দুতে ডেরিভেটিভ গণনা করার ক্ষেত্রেও সমস্যা রয়েছে। ফাংশনটি y=e^(x^2+6x+5) দেওয়া যাক, আপনাকে x=1 বিন্দুতে ফাংশনের মান খুঁজে বের করতে হবে।
1) ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)।

2) মধ্যে ফাংশনের মান গণনা করুন প্রদত্ত পয়েন্ট y"(1)=8*e^0=8

বিষয়ের উপর ভিডিও

দরকারী উপদেশ

প্রাথমিক ডেরিভেটিভের সারণী শিখুন। এটি উল্লেখযোগ্যভাবে সময় বাঁচাবে।

সূত্র:

• একটি ধ্রুবকের ডেরিভেটিভ

সুতরাং, পার্থক্য কি? অযৌক্তিক সমীকরণযুক্তিবাদী থেকে? যদি অজানা চলকটি চিহ্নের নীচে থাকে বর্গমূল, তাহলে সমীকরণটি অযৌক্তিক বলে বিবেচিত হয়।

নির্দেশনা

এই ধরনের সমীকরণ সমাধানের প্রধান পদ্ধতি হল উভয় পক্ষের গঠন পদ্ধতি সমীকরণএকটি বর্গক্ষেত্রে তবে. এটি স্বাভাবিক, আপনাকে প্রথমে যা করতে হবে তা হল চিহ্নটি থেকে মুক্তি। এই পদ্ধতিটি প্রযুক্তিগতভাবে কঠিন নয়, তবে কখনও কখনও এটি সমস্যা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণটি v(2x-5)=v(4x-7)। উভয় পক্ষকে বর্গ করে আপনি 2x-5=4x-7 পাবেন। এই ধরনের সমীকরণ সমাধান করা কঠিন নয়; x=1। কিন্তু ১ নম্বর দেওয়া হবে না সমীকরণ. কেন? x এর মানের পরিবর্তে একটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন এবং ডান এবং বাম দিকে এমন অভিব্যক্তি থাকবে যা অর্থহীন। এই মানটি বর্গমূলের জন্য বৈধ নয়। অতএব, 1 একটি বহিরাগত মূল, এবং সেইজন্য এই সমীকরণটির কোন শিকড় নেই।

সুতরাং, একটি অযৌক্তিক সমীকরণ এর উভয় বাহুর বর্গ করার পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়। এবং সমীকরণটি সমাধান করার পরে, বহিরাগত শিকড় কেটে ফেলা প্রয়োজন। এটি করার জন্য, মূল সমীকরণে পাওয়া শিকড়গুলি প্রতিস্থাপন করুন।

আরেকটি বিবেচনা করুন।
2х+vх-3=0
অবশ্যই, এই সমীকরণটি আগেরটির মতো একই সমীকরণ ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। যৌগ সরান সমীকরণ, যার একটি বর্গমূল নেই, ডান দিকে এবং তারপর স্কোয়ারিং পদ্ধতি ব্যবহার করুন। ফলস্বরূপ যৌক্তিক সমীকরণ এবং শিকড় সমাধান করুন। কিন্তু আরেকটি, আরো মার্জিত এক. একটি নতুন পরিবর্তনশীল লিখুন; vх=y সেই অনুযায়ী, আপনি 2y2+y-3=0 ফর্মের একটি সমীকরণ পাবেন। অর্থাৎ একটি সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ। এর শিকড় সন্ধান করুন; y1=1 এবং y2=-3/2। পরবর্তী, দুটি সমাধান করুন সমীকরণ vх=1; vх=-3/2। দ্বিতীয় সমীকরণের কোন শিকড় নেই; প্রথম থেকে আমরা পাই যে x=1। শিকড় পরীক্ষা করতে ভুলবেন না।

পরিচয় সমাধান করা বেশ সহজ। এটি করার জন্য, লক্ষ্য অর্জন না হওয়া পর্যন্ত অভিন্ন রূপান্তরগুলি সম্পাদন করা প্রয়োজন। এইভাবে, সাধারণ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের সাহায্যে, উদ্ভূত সমস্যাটি সমাধান করা হবে।

আপনার প্রয়োজন হবে

• - কাগজ;
• - কলম।

নির্দেশনা

এই ধরনের রূপান্তরগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ হল বীজগণিতের সংক্ষিপ্ত গুণ (যেমন যোগফলের বর্গ (পার্থক্য), বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য, যোগফল (পার্থক্য), যোগফলের ঘনক (পার্থক্য))। উপরন্তু, অনেক ত্রিকোণমিতিক সূত্র আছে, যা মূলত একই পরিচয়।

প্রকৃতপক্ষে, দুটি পদের যোগফলের বর্গটি প্রথমটির বর্গের সমান এবং দ্বিতীয়টির দ্বারা প্রথমটির গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয়টির বর্গের যোগফল, অর্থাৎ (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2।

উভয়কে সরলীকরণ করুন

সমাধানের সাধারণ নীতি

গাণিতিক বিশ্লেষণ বা উচ্চতর গণিতের একটি পাঠ্যপুস্তক থেকে পুনরাবৃত্তি করুন যে একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য কি। হিসাবে পরিচিত, সমাধান নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যএকটি ফাংশন আছে যার ডেরিভেটিভ একটি ইন্টিগ্র্যান্ড দেয়। এই ফাংশনটিকে অ্যান্টিডেরিভেটিভ বলা হয়। এই নীতির উপর ভিত্তি করে, প্রধান অবিচ্ছেদ্যগুলি নির্মিত হয়।
ইন্টিগ্র্যান্ডের ধরন দ্বারা নির্ণয় করুন এই ক্ষেত্রে সারণীর অখণ্ডগুলির মধ্যে কোনটি উপযুক্ত। অবিলম্বে এটি নির্ধারণ করা সবসময় সম্ভব নয়। প্রায়শই, ইন্টিগ্র্যান্ডকে সরল করার জন্য বেশ কয়েকটি রূপান্তরের পরেই ট্যাবুলার ফর্মটি লক্ষণীয় হয়ে ওঠে।

পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

যদি integrand ফাংশন হয় ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, যার যুক্তিতে কিছু বহুপদ রয়েছে, তারপর পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করার চেষ্টা করুন। এটি করার জন্য, integrand এর আর্গুমেন্টে বহুপদকে কিছু নতুন পরিবর্তনশীল দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন। নতুন এবং পুরানো ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে, একীকরণের নতুন সীমা নির্ধারণ করুন। এই অভিব্যক্তিটিকে আলাদা করে, নতুন ডিফারেনশিয়ালটি সন্ধান করুন। তাই আপনি পাবেন নতুন চেহারাপূর্ববর্তী অবিচ্ছেদ্য, যে কোনো সারণীর কাছাকাছি বা এমনকি সংশ্লিষ্ট।

দ্বিতীয় প্রকারের অবিচ্ছেদ্য সমাধান করা

যদি অখণ্ডটি দ্বিতীয় প্রকারের একটি অখণ্ড, ইন্টিগ্র্যান্ডের একটি ভেক্টর ফর্ম হয়, তাহলে আপনাকে এই অখণ্ডগুলি থেকে স্কেলারে রূপান্তরের নিয়মগুলি ব্যবহার করতে হবে। এরকম একটি নিয়ম হল অস্ট্রোগ্রাডস্কি-গাউস সম্পর্ক। এই আইনটি আমাদেরকে একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর ফাংশনের রটার ফ্লাক্স থেকে একটি প্রদত্ত ভেক্টর ক্ষেত্রের বিচ্যুতির উপর ট্রিপল ইন্টিগ্র্যালে যেতে দেয়।

ইন্টিগ্রেশন সীমা প্রতিস্থাপন

অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে পাওয়ার পরে, একীকরণের সীমা প্রতিস্থাপন করা প্রয়োজন। প্রথমত, অ্যান্টিডেরিভেটিভের অভিব্যক্তিতে উপরের সীমার মান প্রতিস্থাপন করুন। আপনি কিছু নম্বর পাবেন। এর পরে, নিম্ন সীমা থেকে প্রাপ্ত অন্য সংখ্যাটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ-এ প্রাপ্ত সংখ্যা থেকে বিয়োগ করুন। যদি একীকরণের সীমাগুলির মধ্যে একটি অসীম হয়, তবে এটিকে অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনে প্রতিস্থাপন করার সময়, সীমাতে যেতে হবে এবং অভিব্যক্তিটি কী প্রবণতা রয়েছে তা খুঁজে বের করতে হবে।
যদি অখণ্ডটি দ্বি-মাত্রিক বা ত্রি-মাত্রিক হয়, তাহলে কীভাবে অখণ্ডকে মূল্যায়ন করতে হয় তা বোঝার জন্য আপনাকে জ্যামিতিকভাবে একীকরণের সীমা উপস্থাপন করতে হবে। প্রকৃতপক্ষে, একটি ত্রিমাত্রিক অখণ্ডের ক্ষেত্রে, একীকরণের সীমা সম্পূর্ণ সমতল হতে পারে যা একত্রিত হওয়া আয়তনকে সীমাবদ্ধ করে।

যেমন আপনি জানেন, রাশিগুলিকে শক্তি দিয়ে গুণ করার সময়, তাদের সূচকগুলি সর্বদা যোগ হয় (a b *a c = a b+c)। এই গাণিতিক সূত্রটি আর্কিমিডিস দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল এবং পরবর্তীতে, 8ম শতাব্দীতে, গণিতবিদ বীরসেন পূর্ণসংখ্যার সূচকগুলির একটি সারণী তৈরি করেছিলেন। তারাই লগারিদমের আরও আবিষ্কারের জন্য কাজ করেছিল। এই ফাংশনটি ব্যবহার করার উদাহরণ প্রায় সর্বত্র পাওয়া যাবে যেখানে আপনাকে সহজ যোগ করে কষ্টকর গুণনকে সরল করতে হবে। আপনি যদি এই নিবন্ধটি পড়তে 10 মিনিট সময় ব্যয় করেন, আমরা আপনাকে লগারিদমগুলি কী এবং কীভাবে তাদের সাথে কাজ করতে হবে তা ব্যাখ্যা করব। সহজ এবং সহজলভ্য ভাষায়।

গণিতে সংজ্ঞা

লগারিদম হল নিম্নোক্ত ফর্মের একটি অভিব্যক্তি: লগ a b=c, অর্থাৎ যেকোন নন-নেগেটিভ সংখ্যার লগারিদম (অর্থাৎ যেকোন ধনাত্মক) "b" এর বেস "a" কে পাওয়ার "c" বলে মনে করা হয় " যার জন্য ভিত্তি "a" অবশ্যই বাড়াতে হবে যাতে শেষ পর্যন্ত "b" মান পাওয়া যায়। উদাহরণ ব্যবহার করে লগারিদম বিশ্লেষণ করা যাক, ধরা যাক একটি এক্সপ্রেশন লগ আছে 2 8। উত্তরটি কীভাবে খুঁজে পাবেন? এটা খুবই সহজ, আপনাকে এমন একটি পাওয়ার খুঁজে বের করতে হবে যাতে 2 থেকে প্রয়োজনীয় পাওয়ার পর্যন্ত আপনি 8 পেতে পারেন। আপনার মাথায় কিছু গণনা করার পরে, আমরা 3 নম্বর পাই! এবং এটি সত্য, কারণ 2 থেকে 3 এর শক্তি উত্তর দেয় 8।

লগারিদমের প্রকারভেদ

অনেক শিক্ষার্থীর জন্য এই বিষয়টি জটিল এবং বোধগম্য বলে মনে হয়, কিন্তু আসলে লগারিদমগুলি এতটা ভীতিকর নয়, প্রধান জিনিসটি তাদের সাধারণ অর্থ বোঝা এবং তাদের বৈশিষ্ট্য এবং কিছু নিয়ম মনে রাখা। লগারিদমিক এক্সপ্রেশনের তিনটি পৃথক প্রকার রয়েছে:

1. প্রাকৃতিক লগারিদম ln a, যেখানে ভিত্তিটি অয়লার সংখ্যা (e = 2.7)।
2. দশমিক a, যেখানে ভিত্তি 10।
3. যে কোন সংখ্যার লগারিদম b থেকে বেস a>1।

লগারিদমিক উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি একক লগারিদমে সরলীকরণ, হ্রাস এবং পরবর্তী হ্রাস সহ তাদের প্রত্যেকটি একটি আদর্শ উপায়ে সমাধান করা হয়। লগারিদমগুলির সঠিক মানগুলি পেতে, আপনাকে তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি এবং সেগুলি সমাধান করার সময় কর্মের ক্রমটি মনে রাখতে হবে।

নিয়ম এবং কিছু বিধিনিষেধ

গণিতে, বেশ কয়েকটি নিয়ম-সীমাবদ্ধতা রয়েছে যা একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে গৃহীত হয়, অর্থাৎ, তারা আলোচনার বিষয় নয় এবং সত্য। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যাগুলিকে শূন্য দিয়ে ভাগ করা অসম্ভব, এবং ঋণাত্মক সংখ্যার জোড় মূল বের করাও অসম্ভব। লগারিদমেরও তাদের নিজস্ব নিয়ম রয়েছে, যেগুলি অনুসরণ করে আপনি সহজেই এমনকি দীর্ঘ এবং ধারণীয় লগারিদমিক অভিব্যক্তির সাথেও কাজ করতে শিখতে পারেন:

• বেস "a" সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে, এবং 1 এর সমান নয়, অন্যথায় অভিব্যক্তিটি তার অর্থ হারাবে, কারণ "1" এবং "0" যেকোনো মাত্রায় তাদের মানগুলির সমান হয়;
• যদি a > 0, তারপর a b > 0, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে "c" অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে।

লগারিদম কিভাবে সমাধান করবেন?

উদাহরণস্বরূপ, 10 x = 100 সমীকরণের উত্তর খুঁজে বের করার জন্য কাজটি দেওয়া হয়েছে। এটি খুবই সহজ, আপনাকে দশ নম্বরটি বাড়িয়ে একটি ঘাত বাছাই করতে হবে যাতে আমরা 100 পাই। এটি অবশ্যই 10 2 = 100।

এখন এই রাশিটিকে লগারিদমিক আকারে উপস্থাপন করা যাক। আমরা লগ 10 100 = 2 পাই। লগারিদম সমাধান করার সময়, একটি প্রদত্ত সংখ্যা পাওয়ার জন্য লগারিদমের ভিত্তিতে প্রবেশ করার জন্য প্রয়োজনীয় শক্তি খুঁজে পেতে সমস্ত ক্রিয়া কার্যত একত্রিত হয়।

একটি অজানা ডিগ্রির মান সঠিকভাবে নির্ধারণ করতে, আপনাকে ডিগ্রীর টেবিলের সাথে কীভাবে কাজ করতে হয় তা শিখতে হবে। এটি এই মত দেখায়:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কিছু সূচককে স্বজ্ঞাতভাবে অনুমান করা যেতে পারে যদি আপনার কাছে একটি প্রযুক্তিগত মন এবং গুণন সারণী সম্পর্কে জ্ঞান থাকে। যাইহোক, বড় মানের জন্য আপনার একটি পাওয়ার টেবিলের প্রয়োজন হবে। এটি এমনকি যারা জটিল গাণিতিক বিষয় সম্পর্কে কিছুই জানেন না তাদের দ্বারা ব্যবহার করা যেতে পারে। বাম কলামে সংখ্যা রয়েছে (বেস a), সংখ্যার উপরের সারি হল পাওয়ার c এর মান যেখানে a সংখ্যাটি উত্থাপিত হয়েছে। সংযোগস্থলে, কক্ষগুলিতে সংখ্যার মান থাকে যা উত্তর (a c =b)। উদাহরণস্বরূপ, 10 নম্বর সহ প্রথম ঘরটি ধরা যাক এবং এটিকে বর্গ করুন, আমরা 100 মান পাই, যা আমাদের দুটি কোষের সংযোগস্থলে নির্দেশিত। সবকিছু এত সহজ এবং সহজ যে এমনকি সবচেয়ে সত্যিকারের মানবতাবাদীও বুঝতে পারবে!

সমীকরণ এবং অসমতা

দেখা যাচ্ছে যে কিছু শর্তে সূচকটি লগারিদম। অতএব, যেকোনো গাণিতিক সংখ্যাসূচক রাশিকে লগারিদমিক সমতা হিসেবে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 3 4 =81 কে বেস 3 লগারিদম হিসাবে লেখা যেতে পারে 81 সমান চারের (লগ 3 81 = 4)। নেতিবাচক শক্তির জন্য নিয়মগুলি একই: 2 -5 = 1/32 আমরা এটিকে লগারিদম হিসাবে লিখি, আমরা লগ 2 (1/32) = -5 পাই। গণিতের সবচেয়ে আকর্ষণীয় বিভাগগুলির মধ্যে একটি হল "লগারিদম" বিষয়। আমরা নীচের সমীকরণগুলির উদাহরণ এবং সমাধানগুলি দেখব, তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করার পরপরই। এখন দেখা যাক বৈষম্যগুলি কেমন দেখায় এবং কীভাবে তাদের সমীকরণ থেকে আলাদা করা যায়।

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি দেওয়া হয়েছে: লগ 2 (x-1) > 3 - এটি একটি লগারিদমিক অসমতা, যেহেতু অজানা মান "x" লগারিদমিক চিহ্নের অধীনে রয়েছে। এবং অভিব্যক্তিতে দুটি পরিমাণের তুলনা করা হয়েছে: বেস দুই থেকে পছন্দসই সংখ্যার লগারিদম সংখ্যা তিনের চেয়ে বড়।

লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতার মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য হল লগারিদম সহ সমীকরণগুলি (উদাহরণ - লগারিদম 2 x = √9) উত্তরে এক বা একাধিক নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মান বোঝায়, যেখানে অসমতা সমাধান করার সময়, সেগুলিকে একটি অঞ্চল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় গ্রহণযোগ্য মান, এবং এই ফাংশনের ব্রেকপয়েন্ট। ফলস্বরূপ, উত্তরটি একটি সমীকরণের উত্তরের মতো পৃথক সংখ্যার একটি সাধারণ সেট নয়, তবে একটি ধারাবাহিক ধারা বা সংখ্যার সেট।

লগারিদম সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্য

লগারিদমের মান খোঁজার আদিম কাজগুলি সমাধান করার সময়, এর বৈশিষ্ট্যগুলি জানা নাও হতে পারে। যাইহোক, যখন লগারিদমিক সমীকরণ বা অসমতার কথা আসে, প্রথমত, লগারিদমের সমস্ত মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি পরিষ্কারভাবে বোঝা এবং অনুশীলনে প্রয়োগ করা প্রয়োজন। আমরা পরে সমীকরণের উদাহরণগুলি দেখব, আসুন প্রথমে প্রতিটি সম্পত্তি আরও বিশদে দেখি।

1. প্রধান পরিচয়টি এইরকম দেখায়: a logaB =B। এটি শুধুমাত্র তখনই প্রযোজ্য যখন a 0-এর চেয়ে বড়, একের সমান নয় এবং B শূন্যের চেয়ে বড়।
2. পণ্যের লগারিদম নিম্নলিখিত সূত্রে উপস্থাপন করা যেতে পারে: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2। এই ক্ষেত্রে, বাধ্যতামূলক শর্ত হল: d, s 1 এবং s 2 > 0; a≠1. আপনি উদাহরণ এবং সমাধান সহ এই লগারিদমিক সূত্রের জন্য একটি প্রমাণ দিতে পারেন। a s 1 = f 1 লগ করি এবং a s 2 = f 2 লগ করি, তারপর a f1 = s 1, a f2 = s 2। আমরা পাই যে s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (এর বৈশিষ্ট্য ডিগ্রি ), এবং তারপর সংজ্ঞা অনুসারে: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, যা প্রমাণ করা দরকার।
3. ভাগফলের লগারিদম এইরকম দেখায়: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2।
4. একটি সূত্র আকারে উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত রূপ নেয়: লগ a q b n = n/q লগ a b।

এই সূত্রটিকে "লগারিদমের ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য" বলা হয়। এটি সাধারণ ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, এবং এটি আশ্চর্যজনক নয়, কারণ সমস্ত গণিত প্রাকৃতিক অনুমানের উপর ভিত্তি করে। আসুন প্রমাণ দেখি।

একটি b = t লগ করা যাক, এটি একটি t = b পরিণত হয়। যদি আমরা উভয় অংশকে শক্তিতে বাড়াই m: a tn = b n;

কিন্তু যেহেতু a tn = (a q) nt/q = b n, তাই লগ a q b n = (n*t)/t, তারপর a q b n = n/q লগ a b লগ করুন। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

সমস্যা এবং অসমতার উদাহরণ

লগারিদমের সবচেয়ে সাধারণ ধরনের সমস্যা হল সমীকরণ এবং অসমতার উদাহরণ। এগুলি প্রায় সমস্ত সমস্যা বইতে পাওয়া যায় এবং এটি গণিত পরীক্ষার একটি প্রয়োজনীয় অংশ। একটি বিশ্ববিদ্যালয়ে প্রবেশ করতে বা গণিতে প্রবেশিকা পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হওয়ার জন্য, আপনাকে এই জাতীয় কাজগুলি কীভাবে সঠিকভাবে সমাধান করতে হবে তা জানতে হবে।

দুর্ভাগ্যবশত, লগারিদমের অজানা মান সমাধান এবং নির্ধারণের জন্য কোন একক পরিকল্পনা বা স্কিম নেই, তবে প্রতিটি গাণিতিক অসমতা বা লগারিদমিক সমীকরণে নির্দিষ্ট নিয়ম প্রয়োগ করা যেতে পারে। প্রথমত, আপনার অভিব্যক্তিটি সরলীকৃত বা নেতৃত্ব দেওয়া যায় কিনা তা খুঁজে বের করা উচিত সাধারণ চেহারা. লম্বাগুলোকে সরলীকরণ করুন লগারিদমিক এক্সপ্রেশনসম্ভব যদি আপনি তাদের বৈশিষ্ট্য সঠিকভাবে ব্যবহার করেন। আসুন দ্রুত তাদের পরিচিত হই।

লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, আমাদের অবশ্যই নির্ধারণ করতে হবে যে আমাদের কী ধরনের লগারিদম আছে: একটি উদাহরণ এক্সপ্রেশনে একটি প্রাকৃতিক লগারিদম বা দশমিক একটি থাকতে পারে।

এখানে ln100, ln1026 উদাহরণ রয়েছে। তাদের সমাধানটি এই সত্যে ফুটে উঠেছে যে তাদের শক্তি নির্ধারণ করতে হবে যার ভিত্তি 10 যথাক্রমে 100 এবং 1026 এর সমান হবে। সমাধানের জন্য প্রাকৃতিক লগারিদমআবেদন করতে হবে লগারিদমিক পরিচয়বা তাদের বৈশিষ্ট্য। আসুন বিভিন্ন ধরনের লগারিদমিক সমস্যা সমাধানের উদাহরণ দেখি।

লগারিদম সূত্র কিভাবে ব্যবহার করবেন: উদাহরণ এবং সমাধান সহ

সুতরাং, আসুন লগারিদম সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্য ব্যবহার করার উদাহরণ দেখি।

1. একটি পণ্যের লগারিদমের বৈশিষ্ট্য এমন কাজে ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে এটি প্রসারিত করা প্রয়োজন মহান মানসংখ্যা b সরল ফ্যাক্টর. উদাহরণস্বরূপ, লগ 2 4 + লগ 2 128 = লগ 2 (4*128) = লগ 2 512। উত্তর হল 9।
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - আপনি দেখতে পাচ্ছেন, লগারিদম পাওয়ারের চতুর্থ বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা একটি আপাতদৃষ্টিতে জটিল এবং অমীমাংসিত অভিব্যক্তি সমাধান করতে পেরেছি। আপনাকে কেবল ভিত্তিটি ফ্যাক্টর করতে হবে এবং তারপর লগারিদমের চিহ্ন থেকে সূচকের মানগুলিকে বের করতে হবে।

ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার অ্যাসাইনমেন্ট

লগারিদমগুলি প্রায়ই প্রবেশিকা পরীক্ষায় পাওয়া যায়, বিশেষ করে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় (সমস্ত স্কুল স্নাতকদের জন্য রাজ্য পরীক্ষা) অনেক লগারিদমিক সমস্যা। সাধারণত, এই কাজগুলি শুধুমাত্র A অংশে (পরীক্ষার সবচেয়ে সহজ পরীক্ষা অংশ) নয়, অংশ C (সবচেয়ে জটিল এবং বিশাল কাজ) তেও উপস্থিত থাকে। পরীক্ষার জন্য "প্রাকৃতিক লগারিদম" বিষয়ের সঠিক এবং নিখুঁত জ্ঞান প্রয়োজন।

উদাহরণ এবং সমস্যার সমাধান অফিসিয়াল থেকে নেওয়া হয় ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার বিকল্প. আসুন দেখি কিভাবে এই ধরনের কাজগুলি সমাধান করা হয়।

প্রদত্ত লগ 2 (2x-1) = 4. সমাধান:
আসুন এক্সপ্রেশনটি আবার লিখি, এটিকে একটু সরল করে log 2 (2x-1) = 2 2, লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই যে 2x-1 = 2 4, তাই 2x = 17; x = 8.5।

• সমস্ত লগারিদমকে একই বেসে কমিয়ে আনা ভাল যাতে সমাধানটি কষ্টকর এবং বিভ্রান্তিকর না হয়।
• লগারিদম চিহ্নের অধীনে সমস্ত রাশি ধনাত্মক হিসাবে নির্দেশিত হয়, তাই, লগারিদম চিহ্নের অধীনে থাকা একটি রাশির সূচক এবং তার ভিত্তিটি গুণক হিসাবে বের করা হলে, লগারিদমের অধীনে অবশিষ্ট রাশিটি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে।