Aritmetisk progression jf. 16 til 2. Aritmetisk og geometrisk progression

Når du studerer algebra i gymnasiet(9. klasse) et af de vigtige emner er studiet af talrækker, som omfatter progressioner - geometriske og aritmetiske. I denne artikel vil vi se på en aritmetisk progression og eksempler med løsninger.

Hvad er en aritmetisk progression?

For at forstå dette er det nødvendigt at definere den pågældende progression, samt give de grundlæggende formler, der senere vil blive brugt til at løse problemer.

Det er kendt, at i en eller anden algebraisk progression er 1. led lig med 6, og 7. led er lig med 18. Det er nødvendigt at finde forskellen og genoprette denne sekvens til 7. led.

Lad os bruge formlen til at bestemme det ukendte led: a n = (n - 1) * d + a 1 . Lad os erstatte de kendte data fra betingelsen i det, det vil sige tallene a 1 og a 7, vi har: 18 = 6 + 6 * d. Ud fra dette udtryk kan du nemt beregne forskellen: d = (18 - 6) /6 = 2. Dermed har vi besvaret den første del af opgaven.

For at gendanne sekvensen til det 7. led, skal du bruge definitionen af en algebraisk progression, det vil sige a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, og så videre. Som et resultat genopretter vi hele sekvensen: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Eksempel nr. 3: udarbejdelse af en progression

Lad os komplicere problemet endnu mere. Nu skal vi besvare spørgsmålet om, hvordan man finder en aritmetisk progression. Følgende eksempel kan gives: Der gives to tal, for eksempel - 4 og 5. Det er nødvendigt at lave en algebraisk progression, så der placeres yderligere tre led mellem disse.

Før du begynder at løse dette problem, skal du forstå, hvilken plads de givne tal vil optage i den fremtidige progression. Da der vil være yderligere tre led mellem dem, så er en 1 = -4 og en 5 = 5. Efter at have fastslået dette, går vi videre til problemet, som ligner det forrige. Igen, for det n'te led, vi bruger formlen, får vi: a 5 = a 1 + 4 * d. Fra: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Det, vi har her, er ikke en heltalsværdi af forskellen, men det er det rationelt tal, så formlerne for den algebraiske progression forbliver de samme.

Lad os nu føje den fundne forskel til en 1 og gendanne de manglende termer i progressionen. Vi får: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, hvilket faldt sammen med betingelserne for problemet.

Eksempel nr. 4: første terminsforløb

Lad os fortsætte med at give eksempler aritmetisk progression med en løsning. I alle tidligere problemer var det første nummer af den algebraiske progression kendt. Lad os nu overveje et problem af en anden type: lad to tal gives, hvor en 15 = 50 og en 43 = 37. Det er nødvendigt at finde, hvilket tal denne sekvens begynder med.

De hidtil anvendte formler forudsætter kendskab til a 1 og d. I problemformuleringen vides intet om disse tal. Ikke desto mindre vil vi nedskrive udtryk for hvert led, som der er information om: a 15 = a 1 + 14 * d og a 43 = a 1 + 42 * d. Vi modtog to ligninger, hvor der er 2 ukendte størrelser (a 1 og d). Det betyder, at problemet reduceres til at løse et system af lineære ligninger.

Den nemmeste måde at løse dette system på er at udtrykke et 1-tal i hver ligning og derefter sammenligne de resulterende udtryk. Første ligning: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; anden ligning: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ved at sidestille disse udtryk får vi: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, hvorfra forskellen d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (kun 3 decimaler er angivet).

Når du kender d, kan du bruge et hvilket som helst af de 2 udtryk ovenfor for en 1. For eksempel, først: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Hvis du er i tvivl om det opnåede resultat, kan du kontrollere det, for eksempel bestemme den 43. periode af progressionen, som er angivet i betingelsen. Vi får: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Den lille fejl skyldes, at der blev brugt afrunding til tusindedele i beregningerne.

Eksempel nr. 5: beløb

Lad os nu se på flere eksempler med løsninger for summen af en aritmetisk progression.

Lad en numerisk progression af følgende form gives: 1, 2, 3, 4, ...,. Hvordan beregner man summen af 100 af disse tal?

Takket være udviklingen af computerteknologi er det muligt at løse dette problem, det vil sige at tilføje alle tallene sekventielt, hvilket computeren vil gøre, så snart en person trykker på Enter-tasten. Problemet kan dog løses mentalt, hvis du er opmærksom på, at den præsenterede talrække er en algebraisk progression, og dens forskel er lig med 1. Ved at anvende formlen for summen får vi: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Det er interessant at bemærke, at dette problem kaldes "Gaussian", fordi i tidlig XVIIIårhundrede, var den berømte tysker, mens han stadig kun var 10 år gammel, i stand til at løse det i sit hoved på få sekunder. Drengen kendte ikke formlen for summen af en algebraisk progression, men han lagde mærke til, at hvis man lægger tallene i enderne af sekvensen sammen i par, får man altid det samme resultat, det vil sige 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., og da disse summer vil være nøjagtigt 50 (100 / 2), så er det nok at gange 50 med 101 for at få det rigtige svar.

Eksempel nr. 6: summen af led fra n til m

Et andet typisk eksempel på summen af en aritmetisk progression er følgende: givet en række tal: 3, 7, 11, 15, ..., skal du finde, hvad summen af dens led fra 8 til 14 vil være lig med .

Problemet løses på to måder. Den første af dem involverer at finde ukendte termer fra 8 til 14, og derefter summere dem sekventielt. Da der er få udtryk, er denne metode ikke ret arbejdskrævende. Ikke desto mindre foreslås det at løse dette problem ved hjælp af en anden metode, som er mere universel.

Ideen er at få en formel for summen af den algebraiske progression mellem led m og n, hvor n > m er heltal. For begge tilfælde skriver vi to udtryk for summen:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Da n > m er det indlysende, at den 2. sum omfatter den første. Den sidste konklusion betyder, at hvis vi tager forskellen mellem disse summer og tilføjer udtrykket a m til det (i tilfælde af at tage forskellen, trækkes det fra summen S n), vil vi få det nødvendige svar på problemet. Vi har: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Det er nødvendigt at erstatte formler for a n og a m i dette udtryk. Så får vi: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Den resulterende formel er noget besværlig, dog afhænger summen S mn kun af n, m, a 1 og d. I vores tilfælde er a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ved at erstatte disse tal får vi: S mn = 301.

Som det fremgår af ovenstående løsninger, er alle problemer baseret på viden om udtrykket for det n. led og formlen for summen af mængden af første led. Før du begynder at løse nogen af disse problemer, anbefales det, at du omhyggeligt læser betingelsen, forstår tydeligt, hvad du skal finde, og først derefter fortsætter med løsningen.

Et andet tip er at stræbe efter enkelhed, det vil sige, hvis du kan besvare et spørgsmål uden at bruge komplekse matematiske beregninger, så skal du gøre netop det, da sandsynligheden for at lave en fejl i dette tilfælde er mindre. For eksempel kunne man i eksemplet med en aritmetisk progression med løsning nr. 6 stoppe ved formlen S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, og opdel det overordnede problem i separate delopgaver (i dette tilfælde skal du først finde vilkårene a n og a m).

Hvis du er i tvivl om det opnåede resultat, anbefales det at kontrollere det, som det blev gjort i nogle af de angivne eksempler. Vi fandt ud af, hvordan man finder en aritmetisk progression. Hvis du finder ud af det, er det ikke så svært.

Inden vi begynder at beslutte os aritmetiske progressionsproblemer, lad os overveje, hvad en talrække er, da en aritmetisk progression er et specialtilfælde af en talrække.

En talrække er et talsæt, hvor hvert element har sit eget serienummer. Elementerne i dette sæt kaldes medlemmer af sekvensen. Serienummeret på et sekvenselement er angivet med et indeks:

Det første element i sekvensen;

Det femte element i sekvensen;

- det "nte" element i sekvensen, dvs. element "stående i kø" ved nummer n.

Der er en sammenhæng mellem værdien af et sekvenselement og dets sekvensnummer. Derfor kan vi betragte en sekvens som en funktion, hvis argument er ordenstallet for elementet i sekvensen. Det kan vi med andre ord sige rækkefølgen er en funktion af det naturlige argument:

Rækkefølgen kan indstilles på tre måder:

1 . Rækkefølgen kan angives ved hjælp af en tabel. I dette tilfælde indstiller vi blot værdien af hvert medlem af sekvensen.

For eksempel besluttede nogen at tage personlig tidsstyring og til at begynde med tælle, hvor meget tid han bruger på VKontakte i løbet af ugen. Ved at registrere tiden i tabellen vil han modtage en sekvens bestående af syv elementer:

Den første linje i tabellen angiver nummeret på ugedagen, den anden - tiden i minutter. Vi ser det, det vil sige om mandagen, nogen brugte 125 minutter på VKontakte, det vil sige torsdag - 248 minutter, og det vil sige fredag kun 15.

2 . Rækkefølgen kan specificeres ved hjælp af den n'te ledformel.

I dette tilfælde udtrykkes afhængigheden af værdien af et sekvenselement på dets nummer direkte i form af en formel.

For eksempel, hvis , så

For at finde værdien af et sekvenselement med et givet tal, erstatter vi elementnummeret i formlen for det n'te led.

Vi gør det samme, hvis vi skal finde værdien af en funktion, hvis værdien af argumentet er kendt. Vi erstatter værdien af argumentet i funktionsligningen:

Hvis der f.eks. , Det

Lad mig endnu en gang bemærke, at i en sekvens, i modsætning til en vilkårlig numerisk funktion, kan argumentet kun være et naturligt tal.

3 . Sekvensen kan specificeres ved hjælp af en formel, der udtrykker afhængigheden af værdien af sekvensmedlemsnummeret n af værdierne af de tidligere medlemmer.

I dette tilfælde er det ikke nok for os kun at kende nummeret på sekvensmedlemmet for at finde dets værdi. Vi skal angive det første medlem eller de første par medlemmer af sekvensen. ,

Overvej f.eks. rækkefølgen Vi kan finde værdierne for sekvensmedlemmer en efter en

, startende fra den tredje: Det vil sige, at hver gang, for at finde værdien af det n'te led i sekvensen, vender vi tilbage til de to foregående. Denne metode til at specificere en sekvens kaldes tilbagevendende , fra det latinske ord recurro

- kom tilbage.

Nu kan vi definere en aritmetisk progression. En aritmetisk progression er et simpelt specialtilfælde af en talrække. Aritmetisk progression

er en numerisk sekvens, hvor hvert medlem, startende fra det andet, er lig med det foregående tilføjet til det samme tal. Nummeret ringes op forskel i aritmetisk progression

. Forskellen på en aritmetisk progression kan være positiv, negativ eller lig med nul.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Hvis title="d>0.

stigende

For eksempel, 2; 5; 8; 11;... Hvis , så er hvert led i en aritmetisk progression mindre end den foregående, og progressionen er.

faldende

For eksempel, 2; -1; -4; -7;... Hvis , så er alle led i progressionen lig med det samme tal, og progressionen er.

stationær

For eksempel 2;2;2;2;...

Hovedegenskaben ved en aritmetisk progression:

Lad os se på tegningen.

Det ser vi

, og på samme tid

Tilføjer vi disse to ligheder får vi:

Lad os dividere begge sider af ligheden med 2:

Så hvert medlem af den aritmetiske progression, startende fra den anden, er lig med det aritmetiske middelværdi af de to tilstødende:

Det ser vi

Desuden siden

, Det

, og derfor">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Hvert led i en aritmetisk progression, startende med title="k>l

Formel for th term.

Vi ser, at vilkårene for den aritmetiske progression opfylder følgende relationer:

og endelig Vi fik

formel for det n'te led. Ethvert medlem af en aritmetisk progression kan udtrykkes gennem og. Når du kender det første led og forskellen på en aritmetisk progression, kan du finde et hvilket som helst af dets udtryk.

Summen af n led af en aritmetisk progression.

I en vilkårlig aritmetisk progression er summen af termer med lige stor afstand fra de ekstreme lig med hinanden:

Overvej en aritmetisk progression med n led. Lad summen af n vilkår af denne progression være lig med .

Lad os arrangere vilkårene for progressionen først i stigende rækkefølge af tal og derefter i faldende rækkefølge:

Lad os tilføje i par:

Summen i hver parentes er , antallet af par er n.

Vi får:

Så, summen af n led af en aritmetisk progression kan findes ved hjælp af formlerne:

Lad os overveje løsning af aritmetiske progressionsproblemer.

1 . Rækkefølgen er givet ved formlen for det n'te led: . Bevis, at denne sekvens er en aritmetisk progression.

Lad os bevise, at forskellen mellem to tilstødende led i sekvensen er lig med det samme tal.

Vi fandt ud af, at forskellen mellem to tilstødende medlemmer af sekvensen ikke afhænger af deres antal og er en konstant. Derfor er denne sekvens per definition en aritmetisk progression.

2 . Givet en aritmetisk progression -31; -27;...

a) Find 31 led i progressionen.

b) Bestem, om tallet 41 er inkluderet i denne progression.

EN) Det ser vi;

Lad os nedskrive formlen for det n'te led for vores progression.

Generelt

I vores tilfælde , Det er derfor

For eksempel sekvensen \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... er en aritmetisk progression, fordi hvert efterfølgende element adskiller sig fra det foregående med tre (kan fås fra det foregående ved at tilføje tre):

I denne progression er forskellen \(d\) positiv (lig med \(3\)), og derfor er hvert næste led større end det foregående. Sådanne progressioner kaldes stigende.

\(d\) kan dog også være et negativt tal. F.eks, i aritmetisk progression \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progressionsforskellen \(d\) er lig med minus seks.

Og i dette tilfælde vil hvert næste element være mindre end det forrige. Disse progressioner kaldes faldende.

Aritmetisk progressionsnotation

Progression er angivet med et lille latinsk bogstav.

Tal, der danner en progression kaldes medlemmer(eller elementer).

De er angivet med samme bogstav som en aritmetisk progression, men med et numerisk indeks svarende til tallet på elementet i rækkefølge.

For eksempel består den aritmetiske progression \(a_n = \venstre\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) af elementerne \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) og så videre.

Med andre ord, for progressionen \(a_n = \venstre\(2; 5; 8; 11; 14...\højre\)\)

Løsning af aritmetiske progressionsproblemer

I princippet er de oplysninger, der præsenteres ovenfor, allerede nok til at løse næsten ethvert aritmetisk progressionsproblem (inklusive dem, der tilbydes på OGE).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er specificeret af betingelserne \(b_1=7; d=4\). Find \(b_5\).
Løsning:

Svar: \(b_5=23\)

Eksempel (OGE). De første tre led i en aritmetisk progression er givet: \(62; 49; 36…\) Find værdien af det første negative led i denne progression..
Løsning:

	Vi får de første elementer i rækkefølgen og ved, at det er en aritmetisk progression. Det vil sige, at hvert element adskiller sig fra sin nabo med det samme tal. Lad os finde ud af hvilken ved at trække den forrige fra det næste element: \(d=49-62=-13\).
	Nu kan vi genoprette vores progression til det (første negative) element, vi har brug for.
	Parat. Du kan skrive et svar.

Svar: \(-3\)

Eksempel (OGE). Givet flere på hinanden følgende elementer i en aritmetisk progression: \(…5; x; 10; 12,5...\) Find værdien af elementet, der er angivet med bogstavet \(x\).
Løsning:

	For at finde \(x\), skal vi vide, hvor meget det næste element adskiller sig fra det foregående, med andre ord progressionsforskellen. Lad os finde det ud fra to kendte naboelementer: \(d=12,5-10=2,5\).
	Og nu kan vi nemt finde det, vi leder efter: \(x=5+2,5=7,5\).
	Parat. Du kan skrive et svar.

Svar: \(7,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er defineret af følgende betingelser: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Find summen af de første seks led i denne progression.
Løsning:

Vi skal finde summen af de første seks led i progressionen. Men vi kender ikke deres betydninger, vi får kun det første element. Derfor beregner vi først værdierne én efter én ved at bruge det, vi har fået:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Og efter at have beregnet de seks elementer, vi skal bruge, finder vi deres sum.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Det nødvendige beløb er fundet.

Svar: \(S_6=9\).

Eksempel (OGE). I aritmetisk progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Find forskellen på denne progression.
Løsning:

Svar: \(d=7\).

Vigtige formler for aritmetisk progression

Som du kan se, kan mange problemer med aritmetisk progression løses blot ved at forstå hovedsagen - at en aritmetisk progression er en kæde af tal, og hvert efterfølgende element i denne kæde opnås ved at lægge det samme tal til det forrige (den forskel i progressionen).

Nogle gange er der dog situationer, hvor det er meget ubelejligt at beslutte sig for "front-on". Forestil dig for eksempel, at vi i det allerførste eksempel ikke skal finde det femte element \(b_5\), men det tre hundrede og seksogfirsende \(b_(386)\). Skal vi tilføje fire \(385\) gange? Eller forestil dig, at du i det næstsidste eksempel skal finde summen af de første treoghalvfjerds elementer. Du bliver træt af at tælle...

Derfor løser de i sådanne tilfælde ikke tingene "head-on", men bruger specielle formler udledt til aritmetisk progression. Og de vigtigste er formlen for det n'te led i progressionen og formlen for summen af \(n\) første led.

Formel for \(n\)te led: \(a_n=a_1+(n-1)d\), hvor \(a_1\) er det første led i progressionen;
\(n\) – nummeret på det nødvendige element;
\(a_n\) – led for progressionen med nummer \(n\).

Denne formel giver os mulighed for hurtigt at finde selv det tre hundrede eller millionte element, idet vi kun kender det første og forskellen på progressionen.

Eksempel. Den aritmetiske progression er specificeret af betingelserne: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Find \(b_(246)\).
Løsning:

Svar: \(b_(246)=1850\).

Formel for summen af de første n led: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), hvor

\(a_n\) – det sidste summerede led;

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er specificeret af betingelserne \(a_n=3,4n-0,6\). Find summen af de første \(25\) led i denne progression.
Løsning:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		For at beregne summen af de første femogtyve led skal vi kende værdien af de første og femogtyvende led. Vores progression er givet af formlen for det n. led afhængigt af dets antal (for flere detaljer, se). Lad os beregne det første element ved at erstatte et med \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Lad os nu finde det femogtyvende led ved at erstatte femogtyve i stedet for \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Nå, nu kan vi nemt beregne det nødvendige beløb.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Svaret er klar.

Svar: \(S_(25)=1090\).

For summen \(n\) af de første led kan du få en anden formel: du skal bare \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \) \ (\cdot 25\ ) i stedet for \(a_n\) erstatte det med formlen \(a_n=a_1+(n-1)d\). Vi får:

Formel for summen af de første n led: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), hvor

\(S_n\) – den nødvendige sum af \(n\) første elementer;
\(a_1\) – det første summerede led;
\(d\) – progressionsforskel;
\(n\) – antal elementer i summen.

Eksempel. Find summen af de første \(33\)-ex led i den aritmetiske progression: \(17\); \(15,5\); \(14\)...
Løsning:

Svar: \(S_(33)=-231\).

Mere komplekse aritmetiske progressionsproblemer

Nu har du al den information, du behøver for at løse næsten ethvert aritmetisk progressionsproblem. Lad os afslutte emnet med at overveje problemer, hvor du ikke kun skal anvende formler, men også tænke lidt (i matematik kan dette være nyttigt ☺)

Eksempel (OGE). Find summen af alle negative led i progressionen: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)...
Løsning:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Opgaven minder meget om den forrige. Vi begynder at løse det samme: først finder vi \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Nu vil vi gerne erstatte \(d\) i formlen for summen... og her kommer en lille nuance frem - vi kender ikke \(n\). Vi ved med andre ord ikke, hvor mange termer der skal tilføjes. Hvordan finder man ud af det? Lad os tænke. Vi stopper med at tilføje elementer, når vi når det første positive element. Det vil sige, at du skal finde ud af antallet af dette element. Hvordan? Lad os nedskrive formlen for at beregne ethvert element i en aritmetisk progression: \(a_n=a_1+(n-1)d\) for vores tilfælde.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Vi har brug for \(a_n\) for at blive større end nul. Lad os finde ud af, hvad \(n\) dette vil ske.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(\|:0.3\)		Vi dividerer begge sider af uligheden med \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Vi overfører minus en, og vi glemmer ikke at ændre skiltene
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Lad os beregne...
\(n>65.333...\)		...og det viser sig, at det første positive element vil have tallet \(66\). Følgelig har den sidste negative \(n=65\). For en sikkerheds skyld, lad os tjekke dette.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Så vi skal tilføje de første \(65\) elementer.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Svaret er klar.

Svar: \(S_(65)=-630,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er specificeret af betingelserne: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Find summen fra \(26\) til elementet \(42\) inklusive.
Løsning:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	I denne opgave skal du også finde summen af elementer, men startende ikke fra den første, men fra den \(26\)th. For sådan et tilfælde har vi ikke en formel. Hvordan beslutter man sig? Det er nemt - for at få summen fra \(26\)te til \(42\)te skal du først finde summen fra \(1\)te til \(42\)te, og derefter trække fra fra den summen fra første til \(25\)th (se billede).
	For vores progression \(a_1=-33\), og forskellen \(d=4\) (det er trods alt de fire, vi tilføjer til det forrige element for at finde det næste). Ved at vide dette finder vi summen af de første \(42\)-y elementer.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nu summen af de første \(25\) elementer.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Og til sidst beregner vi svaret.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Svar: \(S=1683\).

Til aritmetisk progression er der flere formler, som vi ikke overvejede i denne artikel på grund af deres lave praktiske anvendelighed. Du kan dog nemt finde dem.

Begrebet en talrække indebærer, at hvert naturligt tal svarer til en eller anden reel værdi. En sådan talrække kan enten være vilkårlig eller have bestemte egenskaber - en progression. I sidstnævnte tilfælde kan hvert efterfølgende element (medlem) af sekvensen beregnes ved hjælp af det foregående.

En aritmetisk progression er en sekvens af numeriske værdier, hvor dens nabomedlemmer adskiller sig fra hinanden med det samme tal (alle elementer i serien, startende fra den anden, har en lignende egenskab). Dette nummer– forskellen mellem de foregående og efterfølgende led er konstant og kaldes progressionsforskellen.

Progressionsforskel: definition

Betragt en sekvens bestående af j-værdier A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j tilhører mængden af naturlige tal N. En aritmetik progression, ifølge dens definition, er en sekvens , hvor a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Værdien d er den ønskede forskel af denne progression.

d = a(j) - a(j-1).

Fremhæv:

En stigende progression, i hvilket tilfælde d > 0. Eksempel: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Faldende progression, derefter d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Forskelsprogression og dens vilkårlige elementer

Hvis 2 vilkårlige led af progressionen er kendt (i-th, k-th), så kan forskellen for en given sekvens bestemmes baseret på forholdet:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, hvilket betyder d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Progressionsforskel og dens første periode

Dette udtryk hjælper kun med at bestemme en ukendt værdi i tilfælde, hvor nummeret på sekvenselementet er kendt.

Progressionsforskel og dens sum

Summen af en progression er summen af dens vilkår. For at beregne den samlede værdi af dets første j-elementer skal du bruge den passende formel:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, men siden a(j) = a(1) + d(j – 1), derefter S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Aritmetik og geometrisk progression

Teoretisk information

Teoretisk information

	Aritmetisk progression	Geometrisk progression
Definition	Aritmetisk progression en n er en sekvens, hvor hvert medlem, startende fra det andet, er lig med det forrige medlem tilføjet til det samme tal d (d- progressionsforskel)	Geometrisk progression b n er en sekvens af ikke-nul tal, hvor hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående led ganget med det samme tal q (q- nævner for progression)
Formel for gentagelse	Til enhver naturlig n a n + 1 = a n + d	Til enhver naturlig n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formel n. sigt	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Karakteristisk egenskab
Summen af de første n led

Eksempler på opgaver med kommentarer

Opgave 1

I aritmetisk progression ( en n) en 1 = -6, en 2

Ifølge formlen for det n'te led:

en 22 = en 1+ d (22 - 1) = en 1+ 21 d

Ifølge betingelsen:

en 1= -6, så en 22= -6 + 21 d.

Det er nødvendigt at finde forskellen på progressioner:

d = en 2 - en 1 = -8 – (-6) = -2

en 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Svar: en 22 = -48.

Opgave 2

Find det femte led i den geometriske progression: -3; 6;....

1. metode (ved hjælp af n-term formlen)

Ifølge formlen for det n. led i en geometrisk progression:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Fordi b 1 = -3,

2. metode (ved hjælp af tilbagevendende formel)

Da nævneren for progressionen er -2 (q = -2), så:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Svar: b 5 = -48.

Opgave 3

I aritmetisk progression ( a n ) a 74 = 34; en 76= 156. Find det femoghalvfjerdsende led i denne progression.

For en aritmetisk progression har den karakteristiske egenskab formen .

Heraf følger:

Lad os erstatte dataene med formlen:

Svar: 95.

Opgave 4

I aritmetisk progression ( a n ) a n= 3n - 4. Find summen af de første sytten led.

For at finde summen af de første n led af en aritmetisk progression, bruges to formler:

Hvilken af dem er mere praktisk at bruge i dette tilfælde?

Som betingelse er formlen for det n'te led i den oprindelige progression kendt ( en n) en n= 3n - 4. Du kan finde straks og en 1, Og en 16 uden at finde d. Derfor vil vi bruge den første formel.

Svar: 368.

Opgave 5

I aritmetisk progression( en n) en 1 = -6; en 2= -8. Find det 22. led af progressionen.

Ifølge formlen for det n'te led:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = en 1+ 21d.

Efter betingelse, hvis en 1= -6, så en 22= -6 + 21d. Det er nødvendigt at finde forskellen på progressioner:

d = en 2 - en 1 = -8 – (-6) = -2

en 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Svar: en 22 = -48.

Opgave 6

Flere på hinanden følgende led af den geometriske progression er skrevet:

Find leddet for progressionen mærket x.

Når vi løser, vil vi bruge formlen for det n'te led b n = b 1 ∙ q n - 1 for geometriske progressioner. Det første semester i progressionen. For at finde nævneren for progressionen q skal du tage en af de givne led i progressionen og dividere med den foregående. I vores eksempel kan vi tage og dividere med. Vi får, at q = 3. I stedet for n erstatter vi 3 i formlen, da det er nødvendigt at finde det tredje led i en given geometrisk progression.

Ved at erstatte de fundne værdier i formlen får vi:

Svar:.

Opgave 7

Fra de aritmetiske progressioner givet af formlen for det n'te led, vælg den, for hvilken betingelsen er opfyldt en 27 > 9:

Da den givne betingelse skal være opfyldt for det 27. led af progressionen, erstatter vi 27 i stedet for n i hver af de fire progressioner. I 4. progression får vi: