Geometrisk progressionstrin. Summen af ​​en uendelig aftagende geometrisk progression og Zenons paradoks

Lad os nu overveje spørgsmålet om summering af en uendelig geometrisk progression. Lad os kalde partialsummen af ​​en given uendelig progression summen af ​​dens første led. Lad os betegne delsummen med symbolet

For hver uendelig progression

man kan sammensætte en (også uendelig) sekvens af dens delsummer

Lad en sekvens med ubegrænset stigning have en grænse

I dette tilfælde kaldes tallet S, dvs. grænsen for delsummer af en progression, summen af ​​en uendelig progression. Vi vil bevise, at en uendelig aftagende geometrisk progression altid har en sum, og vi vil udlede en formel for denne sum (vi kan også vise, at hvis en uendelig progression ikke har nogen sum, eksisterer den ikke).

Lad os skrive udtrykket for delsummen som summen af ​​led af progressionen i henhold til formlen (91.1) og betragte grænsen for delsummen ved

Fra sætning 89 vides det, at for en aftagende progression; derfor finder vi ved at anvende forskelsgrænsesætningen

(her bruges også reglen: konstantfaktoren tages ud over grænsetegnet). Eksistensen er bevist, og samtidig opnås formlen for summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression:

Ligestilling (92,1) kan også skrives i skemaet

Her kan det virke paradoksalt, at summen af ​​et uendeligt antal led tildeles en meget bestemt endelig værdi.

En klar illustration kan gives for at forklare denne situation. Betragt en firkant med en side lig med én (fig. 72). Del denne firkant med en vandret linje i to lige store dele og fastgør den øverste del til den nederste, så der dannes et rektangel med siderne 2 og . Herefter vil vi igen dele højre halvdel af dette rektangel i to med en vandret linje og fastgøre den øverste del til den nederste (som vist i fig. 72). Idet vi fortsætter denne proces, transformerer vi konstant den oprindelige firkant med areal lig med 1 til lige store figurer(i form af en trappe med udtyndingstrin).

Med den uendelige fortsættelse af denne proces dekomponeres hele kvadratets areal i et uendeligt antal led - områderne af rektangler med baser lig med 1 og højder Områderne af rektangler danner præcist en uendelig aftagende progression, dens sum

dvs., som man ville forvente, lig med arealet af pladsen.

Eksempel. Find summen af ​​følgende uendelige progressioner:

Løsning, a) Vi bemærker, at denne progression Derfor finder vi ved hjælp af formel (92.2).

b) Her betyder det, at vi bruger den samme formel (92.2).

c) Vi finder, at denne progression derfor ikke har nogen sum.

I afsnit 5 viste vi anvendelsen af ​​formlen for summen af ​​led af en uendeligt aftagende progression til inversion af en periodisk decimal til en fælles brøk.

Øvelser

1. Summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression er 3/5, og summen af ​​dens første fire led er 13/27. Find det første led og nævneren for progressionen.

2. Find fire tal, der danner en vekslende geometrisk progression, hvor det andet led er mindre end det første med 35, og det tredje er 560 større end det fjerde.

3. Vis, at hvis rækkefølgen

danner en uendeligt aftagende geometrisk progression, derefter sekvensen

for enhver, danner den en uendeligt aftagende geometrisk progression. Vil dette udsagn holde stik hvornår

Udled en formel for produktet af vilkårene for en geometrisk progression.

Formål med lektionen: at introducere eleverne til en ny type sekvens - en uendeligt aftagende geometrisk progression.
Opgaver:
formulere en indledende idé om grænsen for en numerisk sekvens;
bekendtskab med en anden måde at konvertere uendelige periodiske brøker til almindelige ved hjælp af formlen for summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression;
udvikling af intellektuelle kvaliteter af skolebørns personlighed såsom logisk tænkning, evne til at foretage evaluerende handlinger og generalisering;
fremme af aktivitet, gensidig bistand, kollektivisme og interesse for emnet.

Download:

Eksempel:

Lektion om emnet "Uendeligt faldende geometrisk progression" (algebra, 10. klasse)

Mål med lektionen: introducerer eleverne til en ny type sekvens - en uendeligt faldende geometrisk progression.

Opgaver:

formulere en indledende idé om grænsen for en numerisk sekvens; bekendtskab med en anden måde at konvertere uendelige periodiske brøker til almindelige ved hjælp af formlen for summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression;

udvikling af intellektuelle kvaliteter af skolebørns personlighed såsom logisk tænkning, evne til at foretage evaluerende handlinger og generalisering;

fremme af aktivitet, gensidig bistand, kollektivisme og interesse for emnet.

Udstyr: computerklasse, projektor, lærred.

Lektionstype: lektion - lære et nyt emne.

Lektionens fremskridt

I. Org. øjeblik. Angiv emnet og formålet med lektionen.

II. Opdatering af elevernes viden.

I 9. klasse studerede du aritmetiske og geometriske progressioner.

Spørgsmål

1. Definition aritmetisk progression.

(En aritmetisk progression er en sekvens, hvor hvert medlem

Startende fra det andet er det lig med det foregående led tilføjet til det samme tal).

2. Formel n led af en aritmetisk progression

3. Formel for summen af ​​den første n udtryk for en aritmetisk progression.

(eller )

4. Definition af geometrisk progression.

(En geometrisk progression er en sekvens af ikke-nul tal

Hvert led, fra det andet, er lig med det foregående led ganget med

Samme nummer).

5. Formel n led af den geometriske progression

6. Formel for summen af ​​den første n medlemmer af en geometrisk progression.

7. Hvilke andre formler kender du?

(, Hvor; ;

; , )

Quests

1. Aritmetisk progression er givet ved formlen a n = 7 – 4n . Find en 10. (-33)

2. I aritmetisk progression a 3 = 7 og a 5 = 1 . Find en 4. (4)

3. I aritmetisk progression a 3 = 7 og a 5 = 1 . Find en 17. (-35)

4. I aritmetisk progression a 3 = 7 og a 5 = 1 . Find S 17. (-187)

5. Til geometrisk progressionfind det femte led.

6. Til geometrisk progression find det n'te led.

7. Eksponentielt b 3 = 8 og b 5 = 2. Find b 4 . (4)

8. Eksponentielt b 3 = 8 og b 5 = 2. Find b 1 og q.

9. Eksponentielt b 3 = 8 og b 5 = 2. Find S5. (62)

III. At lære et nyt emne(demonstration af præsentation).

Overvej en firkant med en side lig med 1. Lad os tegne en anden firkant, hvis side er halvt så stor som den første firkant, så en anden, hvis side er halvdelen af ​​den anden, så den næste osv. Hver gang er siden af ​​den nye firkant lig med halvdelen af ​​den forrige.

Som et resultat modtog vi en række sider af firkanterdanner en geometrisk progression med nævneren.

Og hvad der er meget vigtigt, jo mere vi bygger sådanne firkanter, jo mindre vil siden af ​​firkanten være. f.eks.

Dem. Når tallet n stiger, nærmer vilkårene for progressionen sig nul.

Ved hjælp af denne figur kan du overveje en anden sekvens.

For eksempel rækkefølgen af ​​områder af kvadrater:

Og igen, hvis n stiger i det uendelige, så nærmer området sig nul så tæt som du vil.

Lad os se på et andet eksempel. Ligesidet trekant med en side svarende til 1 cm. Lad os konstruere den næste trekant med toppunkterne i midtpunkterne af siderne i den 1. trekant, ifølge sætningen om trekantens midtlinje - siden af ​​2. er lig med halvdelen af ​​siden af ​​den første, siden af ​​3. er lig med halvdelen af ​​siden af ​​2. osv. Igen får vi en sekvens af længder af siderne i trekanter.

kl.

Hvis vi betragter en geometrisk progression med en negativ nævner.

Så igen med stigende antal n i forhold til progressionen nærmer sig nul.

Lad os være opmærksomme på nævnerne i disse sekvenser. Overalt var nævnerne mindre end 1 i absolut værdi.

Vi kan konkludere: en geometrisk progression vil være uendeligt faldende, hvis modulus af dens nævner er mindre end 1.

Frontalarbejde.

Definition:

En geometrisk progression siges at være uendeligt aftagende, hvis modulus af dens nævner er mindre end én..

Ved hjælp af definitionen kan du afgøre, om en geometrisk progression er uendeligt aftagende eller ej.

Opgave

Er sekvensen en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis den er givet ved formlen:

Løsning:

Lad os finde q.

; ; ; .

denne geometriske progression er uendeligt aftagende.

b) denne sekvens er ikke en uendeligt aftagende geometrisk progression.

Overvej en firkant med en side lig med 1. Del den i to, en af ​​halvdelene i to osv. Arealerne af alle de resulterende rektangler danner en uendeligt aftagende geometrisk progression:

Summen af ​​arealerne af alle rektangler opnået på denne måde vil være lig med arealet af det 1. kvadrat og lig med 1.

Men på venstre side af denne lighed er summen af ​​et uendeligt antal led.

Lad os betragte summen af ​​de første n led.

Ifølge formlen for summen af ​​de første n led af en geometrisk progression er den lig med.

Hvis n stiger uden grænser altså

eller . Derfor, dvs. .

Summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progressionder er en rækkefølgegrænse S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

For eksempel for progressionen,

vi har

Fordi

Summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progressionkan findes ved hjælp af formlen.

III. Forståelse og konsolidering(afslutte opgaver).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Opsummering.

Hvilken sekvens stiftede du bekendtskab med i dag?

Definer en uendeligt faldende geometrisk progression.

Hvordan beviser man, at en geometrisk progression er uendeligt faldende?

Giv formlen for summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression.

V. Hjemmearbejde.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Eksempel:

For at bruge præsentationseksempler skal du oprette en konto til dig selv ( konto) Google og log ind: https://accounts.google.com

Slide billedtekster:

Alle burde være i stand til at tænke konsekvent, dømme med beviser og tilbagevise ukorrekte konklusioner: en fysiker og en digter, en traktorfører og en kemiker. E. Kolman I matematik skal man ikke huske formlerne, men tankeprocesserne. V.P.Ermakov Det er lettere at finde kvadratet af en cirkel end at overliste en matematiker. Augustus de Morgan Hvilken videnskab kunne være mere ædel, mere beundringsværdig, mere nyttig for menneskeheden end matematik? Franklin

Uendeligt faldende geometrisk progression grad 10

JEG. Aritmetiske og geometriske progressioner. Spørgsmål 1. Definition af aritmetisk progression. En aritmetisk progression er en sekvens, hvor hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående led tilføjet til det samme tal. 2. Formel for det n. led i en aritmetisk progression. 3. Formel for summen af ​​de første n led i en aritmetisk progression. 4. Definition af geometrisk progression. En geometrisk progression er en sekvens af ikke-nul tal, hvor hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående led ganget med det samme tal 5. Formel for det n'te led i en geometrisk progression. 6. Formel for summen af ​​de første n led af en geometrisk progression.

II. Aritmetisk progression. Opgaver En aritmetisk progression er givet ved formlen a n = 7 – 4 n Find en 10 . (-33) 2. I aritmetisk progression er en 3 = 7 og en 5 = 1. Find en 4. (4) 3. I aritmetisk progression a 3 = 7 og a 5 = 1. Find en 17. (-35) 4. I aritmetisk progression er en 3 = 7 og en 5 = 1. Find S 17. (-187)

II. Geometrisk progression. Opgaver 5. For en geometrisk progression, find det femte led 6. For en geometrisk progression, find det n. led. 7. I geometrisk progression b 3 = 8 og b 5 = 2. Find b 4 . (4) 8. I geometrisk progression b 3 = 8 og b 5 = 2. Find b 1 og q. 9. I geometrisk progression b 3 = 8 og b 5 = 2. Find S5. (62)

definition: En geometrisk progression kaldes uendeligt aftagende, hvis modulus for dens nævner er mindre end én.

Opgave nr. 1 Er sekvensen en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis den er givet ved formlen: Løsning: a) denne geometriske progression er uendeligt aftagende. b) denne sekvens er ikke en uendeligt aftagende geometrisk progression.

Summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression er grænsen for sekvensen S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... For eksempel, for progressionen har vi siden summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progression kan findes ved hjælp af formlen

Afslutning af opgaver Find summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progression med det første led 3, det andet 0,3. 2. nr. 13; nr. 14; lærebog, s. 138 3. nr. 15(1;3); nr. 16(1;3) nr. 18(1;3); 4. nr. 19; nr. 20.

Hvilken sekvens stiftede du bekendtskab med i dag? Definer en uendeligt faldende geometrisk progression. Hvordan beviser man, at en geometrisk progression er uendeligt faldende? Giv formlen for summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression. Spørgsmål

Den berømte polske matematiker Hugo Steinhaus hævder i spøg, at der er en lov, der er formuleret som følger: en matematiker vil gøre det bedre. Nemlig, hvis du betror to personer, hvoraf den ene er matematiker, til at udføre et hvilket som helst arbejde, der ikke er bekendt for dem, så vil resultatet altid være følgende: matematikeren vil gøre det bedre. Hugo Steinhaus 14/01/1887-25/02/1972

Nogle problemer i fysik og matematik kan løses ved hjælp af egenskaberne for talserier. De to enkleste talsekvenser, der undervises i i skoler, er algebraiske og geometriske. I denne artikel vil vi se nærmere på spørgsmålet om, hvordan man finder summen af ​​en uendelig aftagende geometrisk progression.

Progression geometrisk

Disse ord betyder en række reelle tal, hvis elementer a i opfylder udtrykket:

Her er i tallet på elementet i rækken, r er konstant tal, som kaldes nævneren.

Denne definition viser, at ved at kende ethvert medlem af progressionen og dens nævner, kan du gendanne hele rækken af ​​tal. For eksempel, hvis det 10. element er kendt, så vil det at dividere det med r få det 9. element, hvis det derefter divideres igen, vil det få det 8. og så videre. Disse simple argumenter giver os mulighed for at nedskrive et udtryk, der er gyldigt for rækken af ​​tal, der overvejes:

Et eksempel på en progression med en nævner på 2 ville være følgende serie:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Hvis nævneren er lig med -2, opnås en helt anden serie:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Geometrisk progression er meget hurtigere end algebraisk progression, det vil sige, dens termer stiger hurtigt og falder hurtigt.

Summen af ​​i udtryk for progression

For at løse praktiske problemer er det ofte nødvendigt at beregne summen af ​​flere elementer i den numeriske rækkefølge. I dette tilfælde er følgende formel gyldig:

Si = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Det kan ses, at for at beregne summen af ​​i-led skal du kun kende to tal: a 1 og r, hvilket er logisk, da de entydigt bestemmer hele sekvensen.

Aftagende rækkefølge og summen af ​​dens led

Lad os nu se på et særligt tilfælde. Vi vil antage, at modulus af nævneren r ikke overstiger én, altså -1

En aftagende geometrisk progression er interessant at overveje, fordi den uendelige sum af dens vilkår har tendens til et endeligt reelt tal.

Lad os få formlen for summen Dette er let at gøre, hvis du skriver udtrykket for S i givet i det foregående afsnit. Vi har:

Si = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Lad os overveje tilfældet, når i->∞. Da nævnerens modul er mindre end 1, vil det give nul ved at hæve det til en uendelig potens. Dette kan kontrolleres ved at bruge eksemplet med r=0,5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Som et resultat vil summen af ​​vilkårene for en uendelig aftagende geometrisk progression have formen:

Denne formel bruges ofte i praksis, for eksempel til at beregne arealer af figurer. Det bruges også til at løse paradokset Zeno af Elea med skildpadden og Achilleus.

Det er indlysende, at betragtning af summen af ​​en uendelig geometrisk stigende progression (r>1) vil føre til resultatet S ∞ = +∞.

Opgaven med at finde det første led i en progression

Lad os vise, hvordan man anvender ovenstående formler ved hjælp af et eksempel på løsning af et problem. Det er kendt, at summen af ​​en uendelig geometrisk progression er 11. Desuden er dens 7. led 6 gange mindre end det tredje led. Hvad er det første element for denne talrække?

Lad os først skrive to udtryk for at bestemme det 7. og 3. element. Vi får:

Ved at dividere det første udtryk med det andet og udtrykke nævneren, har vi:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Da forholdet mellem det syvende og tredje led er angivet i problemformuleringen, kan du erstatte det og finde r:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

Vi beregnede r til fem decimaler. Da den resulterende værdi er mindre end én, er progressionen faldende, hvilket retfærdiggør brugen af ​​formlen for dens uendelige sum. Lad os skrive udtrykket for det første led i form af summen S ∞:

Vi erstatter kendte værdier i denne formel og får svaret:

a1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Zenos berømte paradoks med den hurtige Achilleus og den langsomme skildpadde

Zeno af Elea er en berømt græsk filosof, der levede i det 5. århundrede f.Kr. e. En række af dens højdepunkter eller paradokser er nået til nutiden, hvor problemet med det uendeligt store og det uendeligt små i matematikken er formuleret.

Et af Zenos berømte paradokser er konkurrencen mellem Achilleus og skildpadden. Zeno mente, at hvis Achilles gav skildpadden en vis fordel i afstand, ville han aldrig være i stand til at indhente den. Lad for eksempel Achilleus løbe 10 gange hurtigere end et dyr, der kravler, som for eksempel er 100 meter foran ham. Når krigeren løber 100 meter, kravler skildpadden 10 meter væk. Efter at have løbet 10 meter igen, ser Achilles, at skildpadden kravler yderligere 1 meter. Du kan argumentere på denne måde i det uendelige, afstanden mellem konkurrenterne vil faktisk falde, men skildpadden vil altid være foran.

Ledte Zeno til den konklusion, at bevægelse ikke eksisterer, og alle omgivende bevægelser af objekter er en illusion. Selvfølgelig tog den antikke græske filosof fejl.

Løsningen på paradokset ligger i, at en uendelig sum af konstant faldende segmenter har tendens til et endeligt tal. I ovenstående tilfælde, for den distance, som Achilleus løb, får vi:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Ved at anvende formlen for summen af ​​en uendelig geometrisk progression får vi:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111.111 meter

Dette resultat viser, at Achilleus vil indhente skildpadden, når den kun kravler 11.111 meter.

De gamle grækere vidste ikke, hvordan de skulle arbejde med uendelige mængder i matematik. Dette paradoks kan dog løses, hvis vi ikke er opmærksomme på det uendelige antal huller, som Achilleus skal overvinde, men på det begrænsede antal skridt, løberen skal bruge for at nå sit mål.

Instruktioner

10, 30, 90, 270...

Du skal finde nævneren for en geometrisk progression.
Løsning:

Mulighed 1. Lad os tage et vilkårligt led af progressionen (for eksempel 90) og dividere det med det foregående (30): 90/30=3.

Hvis summen af ​​flere led af en geometrisk progression eller summen af ​​alle led af en aftagende geometrisk progression er kendt, skal du bruge de passende formler for at finde progressionens nævner:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), hvor Sn er summen af ​​de første n led af den geometriske progression og
S = b1/(1-q), hvor S er summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression (summen af ​​alle led af progressionen med en nævner mindre end én).
Eksempel.

Det første led i en aftagende geometrisk progression er lig med én, og summen af ​​alle dens led er lig med to.

Det er nødvendigt at bestemme nævneren for denne progression.
Løsning:

Erstat dataene fra opgaven med formlen. Det vil vise sig:
2=1/(1-q), hvorfra – q=1/2.

En progression er en række tal. I en geometrisk progression fås hvert efterfølgende led ved at gange det foregående med et vist tal q, kaldet progressionens nævner.

Instruktioner

Hvis to tilstødende geometriske led b(n+1) og b(n) er kendt, for at få nævneren, skal du dividere tallet med det største med det forudgående: q=b(n+1)/b (n). Dette følger af definitionen af ​​progression og dens nævner. En vigtig betingelse er, at det første led og forløbets nævner ikke er lig med nul, ellers betragtes det som ubestemt.

Således etableres følgende sammenhænge mellem vilkårene for progressionen: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Ved at bruge formlen b(n)=b1 q^(n-1), kan ethvert led i den geometriske progression, hvori nævneren q og udtrykket b1 er kendt, beregnes. Desuden er hver af progressionerne lig i modul til gennemsnittet af dens nabomedlemmer: |b(n)|=√, hvilket er hvor progressionen fik sit .

En analog til en geometrisk progression er den enkleste eksponentielle funktion y=a^x, hvor x er en eksponent, a er et vist tal. I dette tilfælde falder nævneren af ​​progressionen sammen med det første led og er lig med tallet a. Værdien af ​​funktionen y kan forstås som det n'te led i progressionen, hvis argumentet x tages som et naturligt tal n (tæller).

Eksisterer for summen af ​​de første n led i en geometrisk progression: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Denne formel er gyldig for q≠1. Hvis q=1, så beregnes summen af ​​de første n led ved formlen S(n)=n b1. Progressionen vil i øvrigt hedde stigende, når q er større end én og b1 er positiv. Hvis nævneren for progressionen ikke overstiger én i absolut værdi, vil progressionen blive kaldt aftagende.

Et særligt tilfælde af en geometrisk progression er en uendeligt aftagende geometrisk progression (uendeligt faldende geometrisk progression). Faktum er, at vilkårene for en aftagende geometrisk progression vil falde igen og igen, men aldrig vil nå nul. På trods af dette er det muligt at finde summen af ​​alle led i en sådan progression. Det bestemmes af formlen S=b1/(1-q). Det samlede antal led n er uendeligt.

For at visualisere, hvordan du kan tilføje et uendeligt antal tal uden at få uendeligt, skal du bage en kage. Skær halvdelen af. Skær derefter 1/2 af halvdelen, og så videre. De stykker, du får, er intet andet end medlemmer af en uendeligt faldende geometrisk progression med en nævner på 1/2. Hvis du lægger alle disse stykker sammen, får du den originale kage.

Geometriproblemer er en særlig type øvelse, der kræver rumlig tænkning. Hvis du ikke kan løse en geometrisk opgave, prøv at følge reglerne nedenfor.

Instruktioner

Læs betingelserne for opgaven meget omhyggeligt, hvis du ikke husker eller forstår noget, så læs det igen.

Prøv at finde ud af, hvilken type geometriske problemer det er, for eksempel: beregningsmæssige problemer, når du skal finde ud af en værdi, problemer, der involverer , der kræver en logisk kæde af ræsonnement, problemer, der involverer konstruktion ved hjælp af et kompas og lineal. Flere opgaver af blandet type. Når du har fundet ud af typen af ​​problem, så prøv at tænke logisk.

Anvend det nødvendige teorem til en given opgave, men hvis du er i tvivl, eller der slet ikke er nogen muligheder, så prøv at huske teorien, som du studerede om det relevante emne.

Skriv også løsningen på problemet ned i et udkast til skema. Prøv at bruge kendte metoder til at kontrollere rigtigheden af ​​din løsning.

Udfyld løsningen på problemet omhyggeligt i din notesbog, uden at slette eller strege over, og vigtigst af alt - Det kan tage tid og kræfter at løse de første geometriske problemer. Men så snart du mestrer denne proces, vil du begynde at klikke på opgaver som nødder og nyde det!

En geometrisk progression er en rækkefølge af tal b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), således at b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Med andre ord, hvert led i progressionen fås fra det foregående ved at gange det med en ikke-nul nævner af progressionen q.

Instruktioner

Progressionsproblemer løses oftest ved at opstille og derefter følge et system med hensyn til det første led af progressionen b1 og nævneren for progressionen q. For at lave ligninger er det nyttigt at huske nogle formler.

Sådan udtrykkes det n'te led af progressionen gennem det første led af progressionen og nævneren for progressionen: b(n)=b1*q^(n-1).

Lad os betragte sagen |q| separat<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Geometrisk progression ikke mindre vigtigt i matematik sammenlignet med aritmetik. En geometrisk progression er en række af tal b1, b2,..., b[n], hvoraf hvert næste led opnås ved at gange det foregående med et konstant tal. Dette tal, som også karakteriserer væksthastigheden eller faldet i progression, kaldes nævner for geometrisk progression og betegne

For fuldstændigt at specificere en geometrisk progression, ud over nævneren, er det nødvendigt at kende eller bestemme dets første led. For en positiv værdi af nævneren er progressionen en monoton sekvens, og hvis denne talfølge er monotont aftagende, og hvis den er monotont stigende. Det tilfælde, hvor nævneren er lig med én, overvejes ikke i praksis, da vi har en sekvens af identiske tal, og deres summering er uden praktisk interesse

Generelt udtryk for geometrisk progression beregnet med formlen

Summen af ​​de første n led af en geometrisk progression bestemt af formlen

Lad os se på løsninger på klassiske geometriske progressionsproblemer. Lad os starte med de enkleste at forstå.

Eksempel 1. Det første led i en geometrisk progression er 27, og dens nævner er 1/3. Find de første seks led i den geometriske progression.

Løsning: Lad os skrive problemtilstanden i formularen

Til beregninger bruger vi formlen for det n'te led i en geometrisk progression

Ud fra den finder vi de ukendte vilkår for progressionen

Som du kan se, er det ikke svært at beregne vilkårene for en geometrisk progression. Selve progressionen vil se sådan ud

Eksempel 2. De første tre led i den geometriske progression er givet: 6; -12; 24. Find nævneren og dens syvende led.

Løsning: Vi beregner nævneren for den geometriske progression baseret på dens definition

Vi har opnået en vekslende geometrisk progression, hvis nævner er lig med -2. Det syvende led beregnes ved hjælp af formlen

Dette løser problemet.

Eksempel 3. En geometrisk progression er givet ved to af dens led . Find det tiende led i progressionen.

Løsning:

Lad os skrive de givne værdier ved hjælp af formler

I henhold til reglerne skulle vi finde nævneren og derefter lede efter den ønskede værdi, men for det tiende led har vi

Den samme formel kan opnås baseret på simple manipulationer med inputdata. Divider det sjette led i rækken med et andet, og som et resultat får vi

Hvis den resulterende værdi ganges med det sjette led, får vi den tiende

For sådanne problemer kan du således finde den rigtige løsning ved at bruge simple transformationer på en hurtig måde.

Eksempel 4. Geometrisk progression er givet ved tilbagevendende formler

Find nævneren for den geometriske progression og summen af ​​de første seks led.

Løsning:

Lad os skrive de givne data i form af et ligningssystem

Udtryk nævneren ved at dividere den anden ligning med den første

Lad os finde det første led af progressionen fra den første ligning

Lad os beregne de følgende fem led for at finde summen af ​​den geometriske progression