Μπορείτε να βρείτε πάνω από 10 τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου στο Διαδίκτυο. Αρκετοί από αυτούς χρησιμοποιούνται σε προβλήματα γνωστά κόμματακαι οι γωνίες του τριγώνου. Ωστόσο, υπάρχει ένας αριθμός σύνθετα παραδείγματαόπου, σύμφωνα με τις συνθήκες της ανάθεσης, είναι γνωστή μόνο η μία πλευρά και οι γωνίες του τριγώνου ή η ακτίνα του περιγεγραμμένου ή εγγεγραμμένου κύκλου και ένα ακόμη χαρακτηριστικό. Σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν μπορεί να εφαρμοστεί ένας απλός τύπος.

Οι τύποι που δίνονται παρακάτω θα σας επιτρέψουν να λύσετε το 95 τοις εκατό των προβλημάτων στα οποία πρέπει να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου.
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση των τύπων κοινής περιοχής.
Θεωρήστε το τρίγωνο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

Στο σχήμα και παρακάτω στους τύπους, εισάγονται οι κλασικοί χαρακτηρισμοί όλων των χαρακτηριστικών του.
a,b,c – πλευρές του τριγώνου,
R – ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου,
r – ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου,
h[b],h[a],h[c] – ύψη σχεδιασμένα σύμφωνα με τις πλευρές a,b,c.
άλφα, βήτα, χαμά – γωνίες κοντά στις κορυφές.

Βασικοί τύποι για το εμβαδόν ενός τριγώνου

1. Το εμβαδόν είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της πλευράς του τριγώνου και του ύψους που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά. Στη γλώσσα των τύπων, αυτός ο ορισμός μπορεί να γραφτεί ως εξής

Έτσι, αν είναι γνωστά η πλευρά και το ύψος, τότε κάθε μαθητής θα βρει την περιοχή.
Παρεμπιπτόντως, από αυτόν τον τύπο μπορεί κανείς να αντλήσει μια χρήσιμη σχέση μεταξύ των υψών

2. Αν λάβουμε υπόψη ότι το ύψος ενός τριγώνου διαμέσου της διπλανής πλευράς εκφράζεται με την εξάρτηση

Στη συνέχεια, ο πρώτος τύπος περιοχής ακολουθείται από τον δεύτερο του ίδιου τύπου

Κοιτάξτε προσεκτικά τους τύπους - είναι εύκολο να θυμάστε, καθώς η εργασία περιλαμβάνει δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους. Αν προσδιορίσουμε σωστά τις πλευρές και τις γωνίες του τριγώνου (όπως στο παραπάνω σχήμα), θα πάρουμε δύο πλευρές α, β και η γωνία συνδέεται με την τρίτηΜε (χάμμα).

3. Για τις γωνίες ενός τριγώνου η σχέση είναι αληθής

Η εξάρτηση σάς επιτρέπει να χρησιμοποιείτε τους ακόλουθους τύπους για το εμβαδόν ενός τριγώνου στους υπολογισμούς:

Παραδείγματα αυτής της εξάρτησης είναι εξαιρετικά σπάνια, αλλά πρέπει να θυμάστε ότι υπάρχει ένας τέτοιος τύπος.

4. Αν η πλευρά και οι δύο παρακείμενες γωνίες είναι γνωστές, τότε το εμβαδόν βρίσκεται από τον τύπο

5. Ο τύπος για το εμβαδόν ως προς την πλευρά και την συνεφαπτομένη γειτονικών γωνιών έχει ως εξής

Με την αναδιάταξη των ευρετηρίων μπορείτε να λάβετε εξαρτήσεις για άλλα μέρη.

6. Ο παρακάτω τύπος εμβαδού χρησιμοποιείται σε προβλήματα όταν οι κορυφές ενός τριγώνου καθορίζονται στο επίπεδο με συντεταγμένες. Σε αυτήν την περίπτωση, το εμβαδόν είναι ίσο με το μισό της ορίζουσας που λαμβάνεται.

7. Η φόρμουλα του Heronχρησιμοποιείται σε παραδείγματα με γνωστές πλευρές τριγώνου.
Βρείτε πρώτα την ημιπερίμετρο του τριγώνου

Στη συνέχεια, καθορίστε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο

ή

Χρησιμοποιείται αρκετά συχνά στον κώδικα των προγραμμάτων αριθμομηχανής.

8. Αν είναι γνωστά όλα τα ύψη του τριγώνου, τότε το εμβαδόν καθορίζεται από τον τύπο

Είναι δύσκολο να υπολογιστεί σε μια αριθμομηχανή, αλλά στα πακέτα MathCad, Mathematica, Maple η περιοχή είναι "χρόνος δύο".

9. Οι παρακάτω τύποι χρησιμοποιούν τις γνωστές ακτίνες εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων.

Ειδικότερα, εάν η ακτίνα και οι πλευρές του τριγώνου ή η περίμετρός του είναι γνωστές, τότε το εμβαδόν υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο

10. Σε παραδείγματα όπου δίνονται οι πλευρές και η ακτίνα ή η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου, η περιοχή βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

11. Ο παρακάτω τύπος καθορίζει το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς την πλευρά και τις γωνίες του τριγώνου.

Και τέλος - ειδικές περιπτώσεις:
Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνουμε τα σκέλη α και β ισούται με το μισό γινόμενο τους

Τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου (κανονικού) τριγώνου=

= το ένα τέταρτο του γινομένου του τετραγώνου της πλευράς και της ρίζας των τριών.

Περιοχή τριγώνου - τύποι και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παρακάτω είναι τύποι για την εύρεση του εμβαδού ενός αυθαίρετου τριγώνουπου είναι κατάλληλα για την εύρεση του εμβαδού οποιουδήποτε τριγώνου, ανεξάρτητα από τις ιδιότητες, τις γωνίες ή τα μεγέθη του. Οι τύποι παρουσιάζονται σε μορφή εικόνας, με επεξηγήσεις για την εφαρμογή τους ή αιτιολόγηση της ορθότητάς τους. Επίσης, ένα ξεχωριστό σχήμα δείχνει την αντιστοιχία μεταξύ των συμβόλων γραμμάτων στους τύπους και των γραφικών συμβόλων στο σχέδιο.

Σημείωμα . Εάν το τρίγωνο έχει ειδικές ιδιότητες (ισοσκελές, ορθογώνιο, ισόπλευρο), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους που δίνονται παρακάτω, καθώς και πρόσθετους ειδικούς τύπους που ισχύουν μόνο για τρίγωνα με αυτές τις ιδιότητες:

• "Τύποι για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου"

Τύποι τριγωνικού εμβαδού

Επεξηγήσεις για τύπους:
α, β, γ- τα μήκη των πλευρών του τριγώνου του οποίου το εμβαδόν θέλουμε να βρούμε
r- ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο
R- ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το τρίγωνο
η- ύψος του τριγώνου χαμηλωμένο στο πλάι
σελ- ημιπερίμετρος τριγώνου, 1/2 του αθροίσματος των πλευρών του (περίμετρος)
α - γωνία απέναντι από την πλευρά α του τριγώνου
β - γωνία απέναντι από την πλευρά β του τριγώνου
γ - γωνία απέναντι από την πλευρά c του τριγώνου
η ένα, η σι , η ντο- ύψος του τριγώνου χαμηλωμένο στις πλευρές a, b, c

Σημειώστε ότι οι παραπάνω συμβολισμοί αντιστοιχούν στο παραπάνω σχήμα, έτσι ώστε κατά την επίλυση πραγματικό πρόβλημαΌσον αφορά τη γεωμετρία, ήταν οπτικά ευκολότερο για εσάς να αντικαταστήσετε τα σωστά μέρηοι τύποι είναι σωστές τιμές.

• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το ήμισυ του γινόμενου του ύψους του τριγώνου και του μήκους της πλευράς κατά την οποία το ύψος αυτό χαμηλώνει(Φόρμουλα 1). Η ορθότητα αυτού του τύπου μπορεί να γίνει κατανοητή λογικά. Το ύψος που χαμηλώνει στη βάση θα χωρίσει ένα αυθαίρετο τρίγωνο σε δύο ορθογώνια. Εάν χτίσετε καθένα από αυτά σε ένα ορθογώνιο με διαστάσεις b και h, τότε προφανώς το εμβαδόν αυτών των τριγώνων θα είναι ίσο με ακριβώς το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου (Spr = bh)
• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το μισό γινόμενο των δύο πλευρών του και το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας(Τύπος 2) (δείτε ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο παρακάτω). Παρά το γεγονός ότι φαίνεται διαφορετικό από το προηγούμενο, μπορεί εύκολα να μεταμορφωθεί σε αυτό. Αν χαμηλώσουμε το ύψος από τη γωνία Β στην πλευρά β, προκύπτει ότι το γινόμενο της πλευράς α και του ημιτόνου της γωνίας γ, σύμφωνα με τις ιδιότητες του ημιτόνου σε ορθογώνιο τρίγωνο, είναι ίσο με το ύψος του τριγώνου που σχεδιάσαμε , που μας δίνει τον προηγούμενο τύπο
• Μπορεί να βρεθεί το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου διά μέσου εργασίατο ήμισυ της ακτίνας του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό από το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του(Τύπος 3), με απλά λόγια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την ημιπερίμετρο του τριγώνου με την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (αυτό είναι πιο εύκολο να το θυμάστε)
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου μπορεί να βρεθεί διαιρώντας το γινόμενο όλων των πλευρών του με τις 4 ακτίνες του κύκλου που περικλείεται γύρω του (Τύπος 4)
• Η Formula 5 βρίσκει το εμβαδόν ενός τριγώνου στα μήκη των πλευρών του και στην ημιπερίμετρό του (το μισό άθροισμα όλων των πλευρών του)
• Η φόρμουλα του HeronΤο (6) είναι μια αναπαράσταση του ίδιου τύπου χωρίς τη χρήση της έννοιας της ημιπεριμέτρου, μόνο μέσω του μήκους των πλευρών
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου είναι ίσο με το γινόμενο του τετραγώνου της πλευράς του τριγώνου και των ημιτόνων των γωνιών που γειτνιάζουν με αυτήν την πλευρά διαιρούμενα με το διπλό ημίτονο της γωνίας απέναντι από αυτήν την πλευρά (Τύπος 7)
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το γινόμενο δύο τετραγώνων του κύκλου που οριοθετούνται γύρω του από τα ημίτονο κάθε γωνίας του. (Φόρμουλα 8)
• Εάν είναι γνωστά το μήκος μιας πλευράς και οι τιμές δύο γειτονικών γωνιών, τότε το εμβαδόν του τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το τετράγωνο αυτής της πλευράς διαιρούμενο με το διπλό άθροισμα των συνεφαπτομένων αυτών των γωνιών (Τύπος 9)
• Εάν είναι γνωστό μόνο το μήκος καθενός από τα ύψη του τριγώνου (Formula 10), τότε το εμβαδόν ενός τέτοιου τριγώνου είναι αντιστρόφως ανάλογο με τα μήκη αυτών των υψών, όπως σύμφωνα με τον τύπο του Heron
• Η Formula 11 σας επιτρέπει να υπολογίζετε εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση τις συντεταγμένες των κορυφών του, οι οποίες καθορίζονται ως τιμές (x;y) για κάθε μια από τις κορυφές. Λάβετε υπόψη ότι η προκύπτουσα τιμή πρέπει να ληφθεί modulo, καθώς οι συντεταγμένες των μεμονωμένων (ή ακόμα και όλων) κορυφών μπορεί να βρίσκονται στην περιοχή των αρνητικών τιμών

Σημείωμα. Τα παρακάτω είναι παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων γεωμετρίας για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου. Εάν πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα γεωμετρίας που δεν είναι παρόμοιο εδώ, γράψτε για αυτό στο φόρουμ. Σε λύσεις, αντί για το σύμβολο " τετραγωνική ρίζα" μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνάρτηση sqrt(), στην οποία sqrt είναι το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας και η ριζική έκφραση υποδεικνύεται σε αγκύλες.Μερικές φορές για απλούς ριζοσπαστικές εκφράσειςμπορεί να χρησιμοποιηθεί σύμβολο √

Εργο. Βρείτε το εμβαδόν των δύο πλευρών και τη γωνία μεταξύ τους

Οι πλευρές του τριγώνου είναι 5 και 6 cm Η γωνία μεταξύ τους είναι 60 μοίρες. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου.

Διάλυμα.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τον τύπο δύο από το θεωρητικό μέρος του μαθήματος.
Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί μέσα από τα μήκη δύο πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους και θα είναι ίσο με
S=1/2 ab sin γ

Εφόσον έχουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα για τη λύση (σύμφωνα με τον τύπο), μπορούμε μόνο να αντικαταστήσουμε τις τιμές από τις συνθήκες του προβλήματος στον τύπο:
S = 1/2 * 5 * 6 * αμαρτία 60

Στον πίνακα των αξιών τριγωνομετρικές συναρτήσειςΑς βρούμε και ας αντικαταστήσουμε την τιμή του ημιτόνου 60 μοίρες στην έκφραση. Θα είναι ίσο με τη ρίζα του τρεις φορές δύο.
S = 15 √3 / 2

Απάντηση: 7,5 √3 (ανάλογα με τις απαιτήσεις του δασκάλου, μπορείτε πιθανώς να αφήσετε 15 √3/2)

Εργο. Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου

Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά 3 cm.

Λύση .

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Εφόσον a = b = c, ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου παίρνει τη μορφή:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Απάντηση: 9 √3 / 4.

Εργο. Αλλαγή περιοχής όταν αλλάζετε το μήκος των πλευρών

Πόσες φορές θα αυξηθεί το εμβαδόν του τριγώνου εάν οι πλευρές αυξηθούν κατά 4 φορές;

Διάλυμα.

Επειδή οι διαστάσεις των πλευρών του τριγώνου είναι άγνωστες σε εμάς, για να λύσουμε το πρόβλημα θα υποθέσουμε ότι τα μήκη των πλευρών είναι αντίστοιχα ίσα αυθαίρετους αριθμούςα, β, γ. Στη συνέχεια, για να απαντήσουμε στην ερώτηση του προβλήματος, θα βρούμε το εμβαδόν του δεδομένου τριγώνου και μετά θα βρούμε το εμβαδόν του τριγώνου του οποίου οι πλευρές είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερες. Η αναλογία των εμβαδών αυτών των τριγώνων θα μας δώσει την απάντηση στο πρόβλημα.

Παρακάτω παρέχουμε μια γραπτή εξήγηση της λύσης του προβλήματος βήμα προς βήμα. Ωστόσο, στο τέλος, αυτή η ίδια λύση παρουσιάζεται σε μια πιο βολική γραφική μορφή. Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να κατεβούν άμεσα τις λύσεις.

Για να λύσουμε, χρησιμοποιούμε τον τύπο του Heron (δείτε παραπάνω στο θεωρητικό μέρος του μαθήματος). Μοιάζει με αυτό:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(δείτε την πρώτη γραμμή της εικόνας παρακάτω)

Τα μήκη των πλευρών ενός αυθαίρετου τριγώνου καθορίζονται από τις μεταβλητές a, b, c.
Εάν οι πλευρές αυξηθούν κατά 4 φορές, τότε το εμβαδόν του νέου τριγώνου c θα είναι:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(δείτε τη δεύτερη γραμμή στην παρακάτω εικόνα)

Όπως μπορείτε να δείτε, το 4 είναι ένας κοινός παράγοντας που μπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες και από τις τέσσερις εκφράσεις σύμφωνα με γενικούς κανόνεςμαθηματικά.
Τότε

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - στην τρίτη γραμμή της εικόνας
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - τέταρτη γραμμή

Η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 256 έχει εξαχθεί τέλεια, οπότε ας την βγάλουμε κάτω από τη ρίζα
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(δείτε την πέμπτη γραμμή της παρακάτω εικόνας)

Για να απαντήσουμε στην ερώτηση που τέθηκε στο πρόβλημα, πρέπει απλώς να διαιρέσουμε την περιοχή του τριγώνου που προκύπτει με την περιοχή του αρχικού.
Ας προσδιορίσουμε τους λόγους εμβαδών διαιρώντας τις εκφράσεις μεταξύ τους και μειώνοντας το κλάσμα που προκύπτει.

Ένα τρίγωνο είναι το απλούστερο γεωμετρικό σχήμα, το οποίο αποτελείται από τρεις πλευρές και τρεις κορυφές. Λόγω της απλότητάς του, το τρίγωνο χρησιμοποιήθηκε από την αρχαιότητα για τη λήψη διαφόρων μετρήσεων και σήμερα το σχήμα μπορεί να είναι χρήσιμο για την επίλυση πρακτικών και καθημερινών προβλημάτων.

Χαρακτηριστικά ενός τριγώνου

Το σχήμα έχει χρησιμοποιηθεί για υπολογισμούς από την αρχαιότητα, για παράδειγμα, οι επιθεωρητές γης και οι αστρονόμοι λειτουργούν με τις ιδιότητες των τριγώνων για τον υπολογισμό των περιοχών και των αποστάσεων. Είναι εύκολο να εκφραστεί το εμβαδόν οποιουδήποτε n-gon μέσω της περιοχής αυτού του σχήματος και αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιήθηκε από αρχαίους επιστήμονες για να εξάγουν τύπους για τις περιοχές των πολυγώνων. Η συνεχής εργασία με τα τρίγωνα, ειδικά το ορθογώνιο τρίγωνο, έγινε η βάση για έναν ολόκληρο κλάδο των μαθηματικών - τριγωνομετρίας.

Γεωμετρία τριγώνου

Σκηνικά θέατρου γεωμετρικό σχήμαέχουν μελετηθεί από την αρχαιότητα: οι παλαιότερες πληροφορίες για το τρίγωνο βρέθηκαν σε αιγυπτιακούς παπύρους πριν από 4.000 χρόνια. Στη συνέχεια μελετήθηκε το σχήμα Αρχαία Ελλάδακαι οι μεγαλύτερες συνεισφορές στη γεωμετρία του τριγώνου έγιναν από τον Ευκλείδη, τον Πυθαγόρα και τον Ήρωνα. Η μελέτη του τριγώνου δεν σταμάτησε ποτέ και τον 18ο αιώνα, ο Leonhard Euler εισήγαγε την έννοια του ορθόκεντρου μιας φιγούρας και του κύκλου Euler. Στο γύρισμα του 19ου και του 20ου αιώνα, όταν φαινόταν ότι ήταν απολύτως γνωστά τα πάντα για το τρίγωνο, ο Frank Morley διατύπωσε το θεώρημα για τα τρίγωνα γωνίας και ο Waclaw Sierpinski πρότεινε το φράκταλ τρίγωνο.

Υπάρχουν διάφοροι τύποι επίπεδων τριγώνων γνωστοί σε εμάς σχολικό μάθημαγεωμετρία:

• οξεία - όλες οι γωνίες του σχήματος είναι οξείες.
• αμβλεία - το σχήμα έχει ένα αμβλεία γωνία(πάνω από 90 μοίρες).
• ορθογώνιο - το σχήμα περιέχει μια ορθή γωνία ίση με 90 μοίρες.
• ισοσκελές - ένα τρίγωνο με δύο ίσες πλευρές.
• ισόπλευρο - ένα τρίγωνο με όλες τις ίσες πλευρές.
• ΣΕ πραγματική ζωήΥπάρχουν όλα τα είδη τριγώνων και σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να χρειαστεί να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός γεωμετρικού σχήματος.

Εμβαδόν τριγώνου

Το εμβαδόν είναι μια εκτίμηση για το πόσο από το επίπεδο περικλείει μια εικόνα. Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί με έξι τρόπους, χρησιμοποιώντας τις πλευρές, το ύψος, τις γωνίες, την ακτίνα του εγγεγραμμένου ή περιγεγραμμένου κύκλου, καθώς και χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron ή υπολογίζοντας το διπλό ολοκλήρωμα κατά μήκος των γραμμών που οριοθετούν το επίπεδο. Τα περισσότερα απλή φόρμουλαο υπολογισμός του εμβαδού ενός τριγώνου μοιάζει με:

όπου a είναι η πλευρά του τριγώνου, h το ύψος του.

Ωστόσο, στην πράξη δεν μας βολεύει πάντα να βρίσκουμε το ύψος ενός γεωμετρικού σχήματος. Ο αλγόριθμος της αριθμομηχανής μας σας επιτρέπει να υπολογίσετε την περιοχή γνωρίζοντας:

• τρεις πλευρές?
• δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους.
• μια πλευρά και δύο γωνίες.

Για να προσδιορίσουμε την περιοχή μέσω τριών πλευρών, χρησιμοποιούμε τον τύπο του Heron:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

όπου p είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

Το εμβαδόν σε δύο πλευρές και μια γωνία υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον κλασικό τύπο:

S = a × b × sin(alfa),

όπου άλφα είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών a και b.

Για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν ως προς τη μία πλευρά και τις δύο γωνίες, χρησιμοποιούμε τη σχέση που:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Χρησιμοποιώντας μια απλή αναλογία, προσδιορίζουμε το μήκος της δεύτερης πλευράς, μετά την οποία υπολογίζουμε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο S = a × b × sin(alfa). Αυτός ο αλγόριθμος είναι πλήρως αυτοματοποιημένος και χρειάζεται μόνο να εισαγάγετε τις καθορισμένες μεταβλητές και να λάβετε το αποτέλεσμα. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παραδείγματα από τη ζωή

Πλακόστρωτες πλάκες

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να στρώσετε το δάπεδο με τριγωνικά πλακάκια και να καθορίσετε την ποσότητα απαιτούμενο υλικό, θα πρέπει να μάθετε την περιοχή ενός πλακιδίου και την περιοχή του δαπέδου. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να επεξεργαστείτε 6 τετραγωνικά μέτρα επιφάνειας χρησιμοποιώντας ένα πλακίδιο του οποίου οι διαστάσεις είναι a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm Προφανώς, για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου, η αριθμομηχανή χρησιμοποιεί τον τύπο του Heron και δίνει. το αποτέλεσμα:

Έτσι, το εμβαδόν ενός στοιχείου πλακιδίου θα είναι 0,021 τετραγωνικό μέτρο, και θα χρειαστείτε 6/0,021 = 285 τρίγωνα για τη βελτίωση του δαπέδου. Οι αριθμοί 20, 21 και 29 σχηματίζουν έναν Πυθαγόρειο τριπλό-αριθμούς που ικανοποιούν . Και αυτό είναι σωστό, η αριθμομηχανή μας υπολόγισε επίσης όλες τις γωνίες του τριγώνου και η γωνία γάμμα είναι ακριβώς 90 μοίρες.

Σχολική εργασία

Σε ένα σχολικό πρόβλημα, πρέπει να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου, γνωρίζοντας ότι η πλευρά a = 5 cm και οι γωνίες άλφα και βήτα είναι 30 και 50 μοίρες, αντίστοιχα. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα με μη αυτόματο τρόπο, θα βρίσκαμε πρώτα την τιμή της πλευράς b χρησιμοποιώντας την αναλογία του λόγου διαστάσεων και των ημιτόνων των αντίθετων γωνιών και, στη συνέχεια, θα προσδιορίζαμε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον απλό τύπο S = a × b × sin(alfa). Ας εξοικονομήσουμε χρόνο, εισάγουμε τα δεδομένα στη φόρμα αριθμομηχανής και λάβουμε μια άμεση απάντηση

Όταν χρησιμοποιείτε την αριθμομηχανή, είναι σημαντικό να υποδεικνύετε σωστά τις γωνίες και τις πλευρές, διαφορετικά το αποτέλεσμα θα είναι λανθασμένο.

Σύναψη

Το τρίγωνο είναι ένα μοναδικό σχήμα που βρίσκεται τόσο στην πραγματική ζωή όσο και σε αφηρημένους υπολογισμούς. Χρησιμοποιήστε την ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή για να προσδιορίσετε το εμβαδόν των τριγώνων κάθε είδους.

Για να προσδιορίσετε την περιοχή ενός τριγώνου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικούς τύπους. Από όλες τις μεθόδους, η ευκολότερη και πιο συχνά χρησιμοποιούμενη είναι ο πολλαπλασιασμός του ύψους με το μήκος της βάσης και στη συνέχεια η διαίρεση του αποτελέσματος με το δύο. Ωστόσο αυτή τη μέθοδομακριά από το μοναδικό. Παρακάτω μπορείτε να διαβάσετε πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους.

Ξεχωριστά, θα εξετάσουμε τρόπους υπολογισμού του εμβαδού συγκεκριμένων τύπων τριγώνων - ορθογώνια, ισοσκελή και ισόπλευρα. Συνοδεύουμε κάθε φόρμουλα με μια σύντομη εξήγηση που θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε την ουσία της.

Καθολικές μέθοδοι για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου

Οι παρακάτω τύποι χρησιμοποιούν ειδική σημείωση. Θα αποκρυπτογραφήσουμε καθένα από αυτά:

• a, b, c – τα μήκη των τριών πλευρών του σχήματος που εξετάζουμε.
• r είναι η ακτίνα του κύκλου που μπορεί να εγγραφεί στο τρίγωνό μας.
• R είναι η ακτίνα του κύκλου που μπορεί να περιγραφεί γύρω του.
• α είναι το μέγεθος της γωνίας που σχηματίζεται από τις πλευρές b και c.
• β είναι το μέγεθος της γωνίας μεταξύ a και c.
• γ είναι το μέγεθος της γωνίας που σχηματίζεται από τις πλευρές a και b.
• h είναι το ύψος του τριγώνου μας, χαμηλωμένο από τη γωνία α στην πλευρά α.
• p – το μισό άθροισμα των πλευρών a, b και c.

Είναι λογικά σαφές γιατί μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με αυτόν τον τρόπο. Το τρίγωνο μπορεί εύκολα να συμπληρωθεί σε ένα παραλληλόγραμμο, στο οποίο η μία πλευρά του τριγώνου θα λειτουργεί ως διαγώνιος. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας το μήκος μιας από τις πλευρές του με την τιμή του ύψους που τραβιέται σε αυτό. Η διαγώνιος διαιρεί αυτό το υπό όρους παραλληλόγραμμο σε 2 ίδια τρίγωνα. Επομένως, είναι προφανές ότι το εμβαδόν του αρχικού μας τριγώνου πρέπει να είναι ίσο με το μισό του εμβαδού αυτού του βοηθητικού παραλληλογράμμου.

S=½ a b sin γ

Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, το εμβαδόν ενός τριγώνου βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τα μήκη των δύο πλευρών του, δηλαδή των a και b, με το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται από αυτές. Αυτός ο τύπος προέρχεται λογικά από τον προηγούμενο. Αν χαμηλώσουμε το ύψος από τη γωνία β στην πλευρά b, τότε, σύμφωνα με τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου, όταν πολλαπλασιάσουμε το μήκος της πλευράς a με το ημίτονο της γωνίας γ, προκύπτει το ύψος του τριγώνου, δηλαδή h. .

Το εμβαδόν του εν λόγω σχήματος βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας το μισό της ακτίνας του κύκλου που μπορεί να εγγραφεί σε αυτό με την περίμετρό του. Βρίσκουμε δηλαδή το γινόμενο της ημιπεριμέτρου και της ακτίνας του αναφερόμενου κύκλου.

S= a b c/4R

Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, η τιμή που χρειαζόμαστε μπορεί να βρεθεί διαιρώντας το γινόμενο των πλευρών του σχήματος με τις 4 ακτίνες του κύκλου που περιγράφεται γύρω του.

Αυτοί οι τύποι είναι καθολικοί, καθώς καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό του εμβαδού οποιουδήποτε τριγώνου (σκάλανο, ισοσκελές, ισόπλευρο, ορθογώνιο). Αυτό μπορεί επίσης να γίνει χρησιμοποιώντας περισσότερα σύνθετους υπολογισμούς, στο οποίο δεν θα σταθούμε αναλυτικά.

Περιοχές τριγώνων με συγκεκριμένες ιδιότητες

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου; Η ιδιαιτερότητα αυτού του σχήματος είναι ότι οι δύο πλευρές του είναι ταυτόχρονα και τα ύψη του. Αν τα a και b είναι σκέλη, και το c γίνεται η υποτείνουσα, τότε βρίσκουμε την περιοχή ως εξής:

Πώς να βρείτε την περιοχή ισοσκελές τρίγωνο? Έχει δύο πλευρές με μήκος α και μια πλευρά με μήκος β. Συνεπώς, το εμβαδόν του μπορεί να προσδιοριστεί διαιρώντας με το 2 το γινόμενο του τετραγώνου της πλευράς α με το ημίτονο της γωνίας γ.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου; Σε αυτό, το μήκος όλων των πλευρών είναι ίσο με a, και το μέγεθος όλων των γωνιών είναι α. Το ύψος του είναι ίσο με το μισό του γινόμενου του μήκους της πλευράς α και της τετραγωνικής ρίζας του 3. Για να βρείτε το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το τετράγωνο της πλευράς α με την τετραγωνική ρίζα του 3 και να διαιρέσετε με 4.