3 δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, τύπος ρίζας, παραδείγματα

Ελπίζω ότι αφού μελετήσετε αυτό το άρθρο θα μάθετε πώς να βρείτε τις ρίζες μιας πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης.

Χρησιμοποιώντας το διαχωριστικό, λύνονται μόνο πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικές εξισώσειςχρησιμοποιήστε άλλες μεθόδους που θα βρείτε στο άρθρο «Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων».

Ποιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται πλήρεις; Αυτό εξισώσεις της μορφής ax 2 + b x + c = 0, όπου οι συντελεστές a, b και c δεν είναι ίσοι με μηδέν. Έτσι, για να λύσουμε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση, πρέπει να υπολογίσουμε τη διάκριση D.

D = b 2 – 4ac.

Ανάλογα με την αξία του διακριτικού, θα γράψουμε την απάντηση.

Εάν η διάκριση είναι αρνητικός αριθμός (Δ< 0),то корней нет.

Εάν η διάκριση είναι μηδέν, τότε x = (-b)/2a. Όταν η διάκριση είναι θετικός αριθμός (D > 0),

τότε x 1 = (-b - √D)/2a, και x 2 = (-b + √D)/2a.

Για παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Απάντηση: 2.

Λύστε την εξίσωση 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Απάντηση: χωρίς ρίζες.

Λύστε την εξίσωση 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Απάντηση: – 3,5; 1.

Ας φανταστούμε λοιπόν τη λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το διάγραμμα στο Σχήμα 1.

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε πλήρη τετραγωνική εξίσωση. Απλά πρέπει να προσέξεις η εξίσωση γράφτηκε ως πολυώνυμο της τυπικής μορφής

ΕΝΑ x 2 + bx + c,αλλιώς μπορεί να κάνεις λάθος. Για παράδειγμα, γράφοντας την εξίσωση x + 3 + 2x 2 = 0, μπορείτε κατά λάθος να αποφασίσετε ότι

a = 1, b = 3 και c = 2. Τότε

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 και τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Και αυτό δεν είναι αλήθεια. (Βλ. λύση στο παράδειγμα 2 παραπάνω).

Επομένως, εάν η εξίσωση δεν γραφτεί ως πολυώνυμο της τυπικής φόρμας, πρώτα η πλήρης τετραγωνική εξίσωση πρέπει να γραφεί ως πολυώνυμο της τυπικής μορφής (το μονώνυμο με τον μεγαλύτερο εκθέτη θα πρέπει να είναι πρώτο, δηλαδή ΕΝΑ x 2 , μετά με λιγότερα – bxκαι μετά ελεύθερο μέλος Με.

Όταν λύνετε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση και μια τετραγωνική εξίσωση με άρτιο συντελεστή στον δεύτερο όρο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε άλλους τύπους. Ας εξοικειωθούμε με αυτούς τους τύπους. Εάν σε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση ο συντελεστής στον δεύτερο όρο είναι άρτιος (b = 2k), τότε μπορείτε να λύσετε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που δίνονται στο διάγραμμα στο σχήμα 2.

Μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται ανηγμένη αν ο συντελεστής στο x 2 ισούται με ένα και η εξίσωση παίρνει τη μορφή x 2 + px + q = 0. Μια τέτοια εξίσωση μπορεί να δοθεί για λύση ή μπορεί να ληφθεί διαιρώντας όλους τους συντελεστές της εξίσωσης με τον συντελεστή ΕΝΑ, στέκεται στο x 2 .

Το σχήμα 3 δείχνει ένα διάγραμμα για την επίλυση του μειωμένου τετραγώνου
εξισώσεις. Ας δούμε ένα παράδειγμα εφαρμογής των τύπων που συζητούνται σε αυτό το άρθρο.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα στο σχήμα 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3

Μπορείτε να παρατηρήσετε ότι ο συντελεστής x σε αυτή την εξίσωση είναι ένας ζυγός αριθμός, δηλαδή b = 6 ή b = 2k, από όπου k = 3. Στη συνέχεια, ας προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα του σχήματος D 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3. Παρατηρώντας ότι όλοι οι συντελεστές σε αυτήν την τετραγωνική εξίσωση διαιρούνται με το 3 και πραγματοποιώντας τη διαίρεση, παίρνουμε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση x 2 + 2x – 2 = 0 Λύστε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους για το ανηγμένο τετραγωνικό
εξισώσεις σχήμα 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3.

Όπως μπορείτε να δείτε, όταν λύναμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους, λάβαμε την ίδια απάντηση. Επομένως, έχοντας κατακτήσει πλήρως τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα στο Σχήμα 1, θα είστε πάντα σε θέση να λύσετε οποιαδήποτε πλήρη εξίσωση του τετραγώνου.

ιστοσελίδα, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Τύποι για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Εξετάζονται οι περιπτώσεις πραγματικών, πολλαπλών και σύνθετων ριζών. Παραγοντοποίηση τετραγωνικό τριώνυμο. Γεωμετρική ερμηνεία. Παραδείγματα προσδιορισμού ριζών και παραγοντοποίησης.

Βασικοί τύποι

Θεωρήστε την τετραγωνική εξίσωση:
(1) .
Ρίζες τετραγωνικής εξίσωσης(1) καθορίζονται από τους τύπους:
; .
Αυτοί οι τύποι μπορούν να συνδυαστούν ως εξής:
.
Όταν οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι γνωστές, τότε ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο παραγόντων (παραγοντικά):
.

Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι είναι πραγματικοί αριθμοί.
Ας αναλογιστούμε διάκριση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης:
.
Εάν η διάκριση είναι θετική, τότε η τετραγωνική εξίσωση (1) έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:
; .
Τότε η παραγοντοποίηση του τετραγωνικού τριωνύμου έχει τη μορφή:
.
Εάν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, τότε η τετραγωνική εξίσωση (1) έχει δύο πολλαπλές (ίσες) πραγματικές ρίζες:
.
Παραγοντοποίηση:
.
Εάν η διάκριση είναι αρνητική, τότε η τετραγωνική εξίσωση (1) έχει δύο μιγαδικές συζυγείς ρίζες:
;
.
Εδώ είναι η φανταστική μονάδα, ;
και είναι τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη των ριζών:
; .
Τότε

.

Γραφική ερμηνεία

Αν χτίσεις γράφημα μιας συνάρτησης
,
που είναι παραβολή, τότε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης
.
Στο , το γράφημα τέμνει τον άξονα x (άξονα) σε δύο σημεία.
Όταν , το γράφημα αγγίζει τον άξονα x σε ένα σημείο.
Όταν , το γράφημα δεν διασχίζει τον άξονα x.

Παρακάτω είναι παραδείγματα τέτοιων γραφημάτων.

Χρήσιμοι τύποι που σχετίζονται με την τετραγωνική εξίσωση

(στ.1) ;
(στ.2) ;
(στ.3) .

Παραγωγή του τύπου για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Πραγματοποιούμε μετασχηματισμούς και εφαρμόζουμε τους τύπους (στ.1) και (στ.3):

,
Οπου
; .

Έτσι, πήραμε τον τύπο για ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού με τη μορφή:
.
Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση

εκτελείται στο
Και .
Δηλαδή και είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης
.

Παραδείγματα προσδιορισμού των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Παράδειγμα 1

(1.1) .

Διάλυμα

.
Συγκρίνοντας με την εξίσωσή μας (1.1), βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών:
.
Βρίσκουμε τη διάκριση:
.
Εφόσον η διάκριση είναι θετική, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες:
;
;
.

Από εδώ προκύπτει η παραγοντοποίηση του τετραγωνικού τριωνύμου:

.

Γράφημα της συνάρτησης y = 2 x 2 + 7 x + 3τέμνει τον άξονα x σε δύο σημεία.

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση
.
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή. Διασχίζει τον άξονα (άξονα) της τετμημένης σε δύο σημεία:
Και .
Αυτά τα σημεία είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης (1.1).

Απάντηση

;
;
.

Παράδειγμα 2

Βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης:
(2.1) .

Διάλυμα

Ας γράψουμε την τετραγωνική εξίσωση στο γενική άποψη:
.
Συγκρίνοντας με την αρχική εξίσωση (2.1), βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών:
.
Βρίσκουμε τη διάκριση:
.
Εφόσον η διάκριση είναι μηδέν, η εξίσωση έχει δύο πολλαπλές (ίσες) ρίζες:
;
.

Τότε η παραγοντοποίηση του τριωνύμου έχει τη μορφή:
.

Γράφημα της συνάρτησης y = x 2 - 4 x + 4αγγίζει τον άξονα x σε ένα σημείο.

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση
.
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή. Αγγίζει τον άξονα x (άξονα) σε ένα σημείο:
.
Αυτό το σημείο είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης (2.1). Επειδή αυτή η ρίζα συνυπολογίζεται δύο φορές:
,
τότε μια τέτοια ρίζα συνήθως ονομάζεται πολλαπλή. Δηλαδή, πιστεύουν ότι υπάρχουν δύο ίσες ρίζες:
.

Απάντηση

;
.

Παράδειγμα 3

Βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης:
(3.1) .

Διάλυμα

Ας γράψουμε την τετραγωνική εξίσωση σε γενική μορφή:
(1) .
Ας ξαναγράψουμε την αρχική εξίσωση (3.1):
.
Συγκρίνοντας με το (1), βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών:
.
Βρίσκουμε τη διάκριση:
.
Η διάκριση είναι αρνητική, .

Επομένως δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.
;
;
.

Μπορείτε να βρείτε πολύπλοκες ρίζες:

.

Τότε

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση
.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν διασχίζει τον άξονα x. Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.

Απάντηση

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή. Δεν τέμνει τον άξονα x (άξονα). Επομένως δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.
;
;
.

Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες. Σύνθετες ρίζες:

D = b 2 – 4ac.

Ανάλογα με την αξία του διακριτικού, θα γράψουμε την απάντηση.

Εάν η διάκριση είναι αρνητικός αριθμός (Δ< 0),то корней нет.

Εάν η διάκριση είναι μηδέν, τότε x = (-b)/2a. Όταν η διάκριση είναι θετικός αριθμός (D > 0),

τότε x 1 = (-b - √D)/2a, και x 2 = (-b + √D)/2a.

Για παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Απάντηση: 2.

Λύστε την εξίσωση 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Απάντηση: χωρίς ρίζες.

Λύστε την εξίσωση 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Απάντηση: – 3,5; 1.

Ας φανταστούμε λοιπόν τη λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το διάγραμμα στο Σχήμα 1.

a = 1, b = 3 και c = 2. Τότε

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 και τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Και αυτό δεν είναι αλήθεια. (Βλ. λύση στο παράδειγμα 2 παραπάνω).

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα στο σχήμα 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3.

Χρησιμοποιώντας το διαχωριστικό, λύνονται μόνο πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.

blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.

επίπεδο εισόδου Τετραγωνικές εξισώσεις. (2019)

Περιεκτικός οδηγός

Στον όρο «τετραγωνική εξίσωση», η λέξη-κλειδί είναι «τετραγωνική». Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει απαραίτητα να περιέχει μια μεταβλητή (το ίδιο x) στο τετράγωνο και δεν πρέπει να υπάρχουν xes στην τρίτη (ή μεγαλύτερη) δύναμη.

Η λύση πολλών εξισώσεων καταλήγει στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Ας μάθουμε να προσδιορίζουμε ότι αυτή είναι μια τετραγωνική εξίσωση και όχι κάποια άλλη εξίσωση.

Παράδειγμα 1.

Ας απαλλαγούμε από τον παρονομαστή και ας πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο της εξίσωσης με

Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά και ας τακτοποιήσουμε τους όρους σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων του X

Τώρα μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι αυτή η εξίσωση είναι τετραγωνική!

Παράδειγμα 2.

Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με:

Αυτή η εξίσωση, αν και ήταν αρχικά σε αυτήν, δεν είναι τετραγωνική!

Παράδειγμα 3.

Ας πολλαπλασιάσουμε τα πάντα με:

Τρομακτικός; Η τέταρτη και δεύτερη μοίρα... Ωστόσο, αν κάνουμε αντικατάσταση, θα δούμε ότι έχουμε μια απλή τετραγωνική εξίσωση:

Παράδειγμα 4.

Φαίνεται να υπάρχει, αλλά ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά:

Βλέπετε, έχει μειωθεί - και τώρα είναι μια απλή γραμμική εξίσωση!

Τώρα προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι τετραγωνικές και ποιες όχι:

Παραδείγματα:

Απαντήσεις:
Απαντήσεις:
πλατεία;
πλατεία;
πλατεία;
Απαντήσεις:
πλατεία;
όχι τετράγωνο?

πλατεία.

Οι μαθηματικοί χωρίζουν συμβατικά όλες τις τετραγωνικές εξισώσεις στους ακόλουθους τύπους:Πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις - εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές και, όπως και ο ελεύθερος όρος c, δεν είναι ίσοι με μηδέν (όπως στο παράδειγμα). Επιπλέον, μεταξύ των πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις υπάρχουνδεδομένος

- αυτές είναι εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής (η εξίσωση από το πρώτο παράδειγμα δεν είναι μόνο πλήρης, αλλά και μειωμένη!)Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις
Είναι ελλιπείς γιατί τους λείπει κάποιο στοιχείο. Όμως η εξίσωση πρέπει πάντα να περιέχει Χ στο τετράγωνο!!! Διαφορετικά, δεν θα είναι πλέον μια δευτεροβάθμια εξίσωση, αλλά κάποια άλλη εξίσωση.

Γιατί σκέφτηκαν μια τέτοια διαίρεση; Φαίνεται ότι υπάρχει ένα Χ στο τετράγωνο, και εντάξει. Αυτή η διαίρεση καθορίζεται από τις μεθόδους λύσης. Ας δούμε το καθένα από αυτά με περισσότερες λεπτομέρειες.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Αρχικά, ας επικεντρωθούμε στην επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι πολύ πιο απλές!

Υπάρχουν τύποι ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

, στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.
, σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.
, στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

1. i. Επειδή ξέρουμε πώς να παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα, ας χρησιμοποιήσουμε αυτή την εξίσωση για να εκφράσουμε

Η έκφραση μπορεί να είναι είτε αρνητική είτε θετική. Ένας τετράγωνος αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάζουμε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός, οπότε: αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Και αν, τότε έχουμε δύο ρίζες. Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε αυτούς τους τύπους. Το κύριο πράγμα είναι ότι πρέπει να γνωρίζετε και να θυμάστε πάντα ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 5:

Λύστε την εξίσωση

Τώρα το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε τη ρίζα από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Μετά από όλα, θυμάστε πώς να εξαγάγετε ρίζες;

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!!!

Παράδειγμα 6:

Λύστε την εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 7:

Λύστε την εξίσωση

Ω! Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες!

Για τέτοιες εξισώσεις που δεν έχουν ρίζες, οι μαθηματικοί βρήκαν ένα ειδικό εικονίδιο - (κενό σύνολο). Και η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες. Δεν υπάρχουν περιορισμοί εδώ, αφού δεν εξάγαμε τη ρίζα.
Παράδειγμα 8:

Λύστε την εξίσωση

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Ετσι,

Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Απάντηση:

Ο απλούστερος τύπος ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων (αν και είναι όλες απλές, σωστά;). Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Θα παραιτηθούμε από παραδείγματα εδώ.

Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων

Υπενθυμίζουμε ότι μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της εξίσωσης μορφής όπου

Η επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων είναι λίγο πιο δύσκολη (λίγο) από αυτές.

Θυμάμαι Οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας ένα διαχωριστικό! Έστω και ημιτελής.

Οι άλλες μέθοδοι θα σας βοηθήσουν να το κάνετε γρηγορότερα, αλλά εάν έχετε προβλήματα με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, πρώτα κατακτήστε τη λύση χρησιμοποιώντας τη διάκριση.

1. Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων με χρήση διαχωριστή.

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο είναι πολύ απλή.

Εάν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα, πρέπει να δώσετε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα. Το διακριτικό () μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

Εάν, τότε ο τύπος στο βήμα θα μειωθεί σε. Έτσι, η εξίσωση θα έχει μόνο ρίζα.
Εάν, τότε δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα του διακριτικού στο βήμα. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Ας επιστρέψουμε στις εξισώσεις μας και ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 9:

Λύστε την εξίσωση

Βήμα 1παραλείπουμε.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Βήμα 3.

Απάντηση:

Παράδειγμα 10:

Λύστε την εξίσωση

Η εξίσωση παρουσιάζεται σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπουμε.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Απάντηση:

Παράδειγμα 11:

Λύστε την εξίσωση

Η εξίσωση παρουσιάζεται σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπουμε.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Αυτό σημαίνει ότι δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα της διάκρισης. Δεν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης.

Τώρα ξέρουμε πώς να γράφουμε σωστά τέτοιες απαντήσεις.

Απάντηση:χωρίς ρίζες

2. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.

Αν θυμάστε, υπάρχει ένας τύπος εξίσωσης που ονομάζεται μειωμένος (όταν ο συντελεστής a είναι ίσος με):

Τέτοιες εξισώσεις είναι πολύ εύκολο να λυθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:

Άθροισμα ριζών δεδομένοςη τετραγωνική εξίσωση είναι ίση και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο.

Παράδειγμα 12:

Λύστε την εξίσωση

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta επειδή .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο, δηλ. παίρνουμε την πρώτη εξίσωση:

Και το προϊόν ισούται με:

Ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα:

Και. Το ποσό είναι ίσο με?
Και. Το ποσό είναι ίσο με?
Και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση στο σύστημα:

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα 13:

Λύστε την εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 14:

Λύστε την εξίσωση

Δίνεται η εξίσωση που σημαίνει:

Απάντηση:

ΤΕΤΑΡΧΙΑΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΑΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;

Με άλλα λόγια, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου - ο άγνωστος, - ορισμένοι αριθμοί, και.

Ο αριθμός ονομάζεται υψηλότερος ή πρώτος συντελεστήςτετραγωνική εξίσωση, - δεύτερος συντελεστής, Α - ελεύθερο μέλος.

Γιατί; Γιατί αν η εξίσωση γίνει αμέσως γραμμική, γιατί θα εξαφανιστεί.

Σε αυτή την περίπτωση, και μπορεί να είναι ίσο με μηδέν. Σε αυτή την καρέκλα η εξίσωση ονομάζεται ελλιπής. Αν όλοι οι όροι είναι στη θέση τους, δηλαδή, η εξίσωση είναι πλήρης.

Λύσεις σε διάφορους τύπους τετραγωνικών εξισώσεων

Μέθοδοι επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

Αρχικά, ας δούμε τις μεθόδους για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι απλούστερες.

Μπορούμε να διακρίνουμε τους παρακάτω τύπους εξισώσεων:

Ι., στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

II. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.

III. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.

Τώρα ας δούμε τη λύση για κάθε έναν από αυτούς τους υποτύπους.

Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Ένας τετράγωνος αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάσετε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός. Γι' αυτό:

αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

αν έχουμε δύο ρίζες

Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε αυτούς τους τύπους. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Λύσεις:

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!

Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες.

Για να σημειώσουμε εν συντομία ότι ένα πρόβλημα δεν έχει λύσεις, χρησιμοποιούμε το εικονίδιο κενού συνόλου.

Απάντηση:

Άρα, αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Απάντηση:

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση όταν:

Άρα, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Διάλυμα:

Ας συνυπολογίσουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης και ας βρούμε τις ρίζες:

Απάντηση:

Μέθοδοι επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων:

1. Διακριτικός

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι εύκολη, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους. Θυμηθείτε, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας ένα διαχωριστικό! Έστω και ημιτελής.

Παρατηρήσατε τη διακριτική ρίζα στον τύπο για τις ρίζες; Αλλά η διάκριση μπορεί να είναι αρνητική. Τι να κάνουμε; Πρέπει να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα 2. Ο διαχωριστής μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζες:
Αν, τότε η εξίσωση έχει τις ίδιες ρίζες, και μάλιστα, μία ρίζα:
Τέτοιες ρίζες ονομάζονται διπλές ρίζες.
Αν, τότε δεν εξάγεται η ρίζα της διάκρισης. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Γιατί είναι δυνατοί διαφορετικοί αριθμοί ριζών; Ας στραφούμε στη γεωμετρική σημασία της τετραγωνικής εξίσωσης. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή:

Σε μια ειδική περίπτωση, που είναι μια τετραγωνική εξίσωση, . Αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής με τον άξονα (άξονα) της τετμημένης. Μια παραβολή μπορεί να μην τέμνει καθόλου τον άξονα ή μπορεί να τον τέμνει σε ένα (όταν η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στον άξονα) ή δύο σημεία.

Επιπλέον, ο συντελεστής είναι υπεύθυνος για την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής. Αν, τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω και αν, τότε προς τα κάτω.

Λύσεις:

Απάντηση:

Απάντηση: .

Απάντηση:

Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Απάντηση: .

2. Θεώρημα Vieta

Η χρήση του θεωρήματος του Vieta είναι πολύ εύκολη: απλά πρέπει να επιλέξετε ένα ζεύγος αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο της εξίσωσης και το άθροισμα είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο.

Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι το θεώρημα του Vieta μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε μειωμένες τετραγωνικές εξισώσεις ().

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα #1:

Λύστε την εξίσωση.

Διάλυμα:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta επειδή . Άλλοι συντελεστές: ; .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι:

Και το προϊόν ισούται με:

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο και ας ελέγξουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

Και. Το ποσό είναι ίσο με?
Και. Το ποσό είναι ίσο με?
Και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση στο σύστημα:

Έτσι, και είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας.

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα #2:

Διάλυμα:

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών που δίνουν το γινόμενο και, στη συνέχεια, ελέγξτε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

και: δίνουν συνολικά.

και: δίνουν συνολικά. Για να αποκτήσετε, αρκεί απλώς να αλλάξετε τα σημάδια των υποτιθέμενων ριζών: και, τελικά, το προϊόν.

Απάντηση:

Παράδειγμα #3:

Διάλυμα:

Ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικός αριθμός. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν η μία από τις ρίζες είναι αρνητική και η άλλη θετική. Επομένως το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με διαφορές των ενοτήτων τους.

Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και η διαφορά των οποίων είναι ίση με:

και: η διαφορά τους είναι ίση - δεν ταιριάζει.

και: - ακατάλληλο.

και: - κατάλληλο. Το μόνο που μένει είναι να θυμόμαστε ότι μια από τις ρίζες είναι αρνητική. Εφόσον το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, η ρίζα με μικρότερο συντελεστή πρέπει να είναι αρνητική: . Ελέγχουμε:

Απάντηση:

Παράδειγμα #4:

Λύστε την εξίσωση.

Διάλυμα:

Δίνεται η εξίσωση που σημαίνει:

Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικό. Και αυτό είναι δυνατό μόνο όταν η μία ρίζα της εξίσωσης είναι αρνητική και η άλλη θετική.

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο και, στη συνέχεια, προσδιορίζουμε ποιες ρίζες πρέπει να έχουν αρνητικό πρόσημο:

Προφανώς, μόνο οι ρίζες και είναι κατάλληλες για την πρώτη συνθήκη:

Απάντηση:

Παράδειγμα #5:

Λύστε την εξίσωση.

Διάλυμα:

Δίνεται η εξίσωση που σημαίνει:

Το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικό, που σημαίνει ότι τουλάχιστον μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Αλλά επειδή το προϊόν τους είναι θετικό, σημαίνει ότι και οι δύο ρίζες έχουν πρόσημο μείον.

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με:

Προφανώς, οι ρίζες είναι οι αριθμοί και.

Απάντηση:

Συμφωνώ, είναι πολύ βολικό να βρίσκεις ρίζες προφορικά, αντί να μετράς αυτό το δυσάρεστο διαχωριστικό. Προσπαθήστε να χρησιμοποιείτε το θεώρημα του Vieta όσο πιο συχνά γίνεται.

Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι απαραίτητο για να διευκολυνθεί και να επιταχυνθεί η εύρεση των ριζών. Για να επωφεληθείτε από τη χρήση του, πρέπει να φέρετε τις ενέργειες σε αυτοματοποίηση. Και για αυτό, λύστε πέντε ακόμη παραδείγματα. Αλλά μην εξαπατήσετε: δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διακριτικό! Μόνο το θεώρημα του Βιέτα:

Λύσεις σε εργασίες για ανεξάρτητη εργασία:

Εργασία 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:

Ως συνήθως, ξεκινάμε την επιλογή με το κομμάτι:

Ακατάλληλο γιατί το ποσό?

: το ποσό είναι ακριβώς αυτό που χρειάζεστε.

Απάντηση: ; .

Εργασία 2.

Και πάλι το αγαπημένο μας θεώρημα Vieta: το άθροισμα πρέπει να είναι ίσο και το γινόμενο πρέπει να είναι ίσο.

Επειδή όμως δεν πρέπει να είναι, αλλά, αλλάζουμε τα σημάδια των ριζών: και (συνολικά).

Απάντηση: ; .

Εργασία 3.

Χμ... Πού είναι αυτό;

Πρέπει να μετακινήσετε όλους τους όρους σε ένα μέρος:

Το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με το γινόμενο.

Εντάξει, σταμάτα! Η εξίσωση δεν δίνεται. Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι εφαρμόσιμο μόνο στις δεδομένες εξισώσεις. Άρα πρώτα πρέπει να δώσετε μια εξίσωση. Εάν δεν μπορείτε να ηγηθείτε, εγκαταλείψτε αυτήν την ιδέα και λύστε το με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω ενός διακριτικού). Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι για να δώσετε μια τετραγωνική εξίσωση σημαίνει να κάνετε τον συντελεστή που οδηγεί ίσος:

Μεγάλος. Τότε το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με και το γινόμενο.

Εδώ είναι τόσο εύκολο όσο το ξεφλούδισμα των αχλαδιών: τελικά, είναι πρώτος αριθμός (συγγνώμη για την ταυτολογία).

Απάντηση: ; .

Εργασία 4.

Το δωρεάν μέλος είναι αρνητικό. Τι το ιδιαίτερο έχει αυτό; Και το γεγονός είναι ότι οι ρίζες θα έχουν διαφορετικά σημάδια. Και τώρα, κατά την επιλογή, δεν ελέγχουμε το άθροισμα των ριζών, αλλά τη διαφορά στις ενότητες τους: αυτή η διαφορά είναι ίση, αλλά προϊόν.

Έτσι, οι ρίζες είναι ίσες με και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Το θεώρημα του Vieta μας λέει ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο, δηλαδή. Αυτό σημαίνει ότι η μικρότερη ρίζα θα έχει ένα μείον: και, δεδομένου ότι.

Απάντηση: ; .

Εργασία 5.

Τι πρέπει να κάνετε πρώτα; Σωστά, δώστε την εξίσωση:

Και πάλι: επιλέγουμε τους συντελεστές του αριθμού και η διαφορά τους πρέπει να είναι ίση με:

Οι ρίζες είναι ίσες με και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Ο οποίος; Το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, πράγμα που σημαίνει ότι το μείον θα έχει μεγαλύτερη ρίζα.

Απάντηση: ; .

Επιτρέψτε μου να συνοψίσω:

Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται μόνο στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις που δίνονται.
Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορείτε να βρείτε τις ρίζες με επιλογή, προφορικά.
Αν δεν δοθεί η εξίσωση ή δεν βρεθεί εξίσωση κατάλληλο ζευγάριπολλαπλασιαστές του ελεύθερου όρου, που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ολόκληρες ρίζες και πρέπει να το λύσετε με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω ενός διακριτικού).

3. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου

Εάν όλοι οι όροι που περιέχουν το άγνωστο αντιπροσωπεύονται με τη μορφή όρων από συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού - το τετράγωνο του αθροίσματος ή της διαφοράς - τότε μετά την αντικατάσταση των μεταβλητών, η εξίσωση μπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή μιας ημιτελούς τετραγωνικής εξίσωσης του τύπου.

Για παράδειγμα:

Παράδειγμα 1:

Λύστε την εξίσωση: .

Διάλυμα:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2:

Λύστε την εξίσωση: .

Διάλυμα:

Απάντηση:

Σε γενικές γραμμές, ο μετασχηματισμός θα μοιάζει με αυτό:

Ακολουθεί: .

Δεν σου θυμίζει τίποτα; Αυτό είναι κάτι που εισάγει διακρίσεις! Έτσι ακριβώς πήραμε τη φόρμουλα της διάκρισης.

ΤΕΤΑΡΧΙΑΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Τετραγωνική εξίσωση- αυτή είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου - ο άγνωστος, - οι συντελεστές της τετραγωνικής εξίσωσης, - ο ελεύθερος όρος.

Πλήρης τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν.

Μειωμένη τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής, δηλαδή: .

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

αν ο συντελεστής, η εξίσωση μοιάζει με:
αν υπάρχει ελεύθερος όρος, η εξίσωση έχει τη μορφή:
αν και, η εξίσωση μοιάζει με: .

1. Αλγόριθμος επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

1.1. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Ας εκφράσουμε το άγνωστο:

2) Ελέγξτε το πρόσημο της έκφρασης:

αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις,
αν, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

1.2. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων: ,

2) Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, η εξίσωση έχει δύο ρίζες:

1.3. Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της φόρμας, όπου:

Αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα: .

2. Αλγόριθμος επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής όπου

2.1. Λύση με χρήση διακριτικού

1) Ας φέρουμε την εξίσωση σε τυπική μορφή: ,

2) Ας υπολογίσουμε τη διάκριση χρησιμοποιώντας τον τύπο: , που δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης:

3) Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:

αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζες, οι οποίες βρίσκονται από τον τύπο:
αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
αν, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

2.2. Λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta

Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης δευτεροβάθμιας εξίσωσης (εξίσωση της μορφής όπου) είναι ίσο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο, δηλ. , Α.

2.3. Λύση με τη μέθοδο επιλογής πλήρους τετραγώνου

Περισσότερο με απλό τρόπο. Για να το κάνετε αυτό, βάλτε το z εκτός αγκύλων. Θα λάβετε: z(аz + b) = 0. Οι συντελεστές μπορούν να γραφούν: z=0 και аz + b = 0, αφού και οι δύο μπορεί να έχουν ως αποτέλεσμα μηδέν. Στον συμβολισμό az + b = 0, μετακινούμε το δεύτερο προς τα δεξιά με διαφορετικό πρόσημο. Από εδώ παίρνουμε z1 = 0 και z2 = -b/a. Αυτές είναι οι ρίζες του πρωτότυπου.

Αν υπάρχει ημιτελής εξίσωσητης μορφής аz² + с = 0, σε αυτήν την περίπτωση βρίσκονται μετακινώντας απλώς τον ελεύθερο όρο στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Αλλάξτε και το σήμα του. Το αποτέλεσμα θα είναι az² = -с. Εκφράστε z² = -c/a. Πάρτε τη ρίζα και σημειώστε δύο λύσεις - μια θετική και μια αρνητική τετραγωνική ρίζα.

Παρακαλώ σημειώστε

Εάν υπάρχουν κλασματικοί συντελεστές στην εξίσωση, πολλαπλασιάστε ολόκληρη την εξίσωση με τον κατάλληλο παράγοντα, ώστε να απαλλαγείτε από τα κλάσματα.

Η γνώση του τρόπου επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων είναι απαραίτητη τόσο για μαθητές όσο και για μαθητές, μερικές φορές αυτό μπορεί επίσης να βοηθήσει έναν ενήλικα στην καθημερινή ζωή. Υπάρχουν πολλές συγκεκριμένες μέθοδοι λύσης.

Επίλυση Τετραγωνικών Εξισώσεων

Τετραγωνική εξίσωση της μορφής a*x^2+b*x+c=0. Ο συντελεστής x είναι η επιθυμητή μεταβλητή, τα a, b, c είναι αριθμητικοί συντελεστές. Θυμηθείτε ότι το σύμβολο "+" μπορεί να αλλάξει σε "-".

Για να λυθεί αυτή η εξίσωση, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα του Vieta ή να βρεθεί ο διαχωριστής. Η πιο συνηθισμένη μέθοδος είναι η εύρεση του διαχωριστή, αφού για ορισμένες τιμές των a, b, c δεν είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα του Vieta.

Για να βρείτε το διαχωριστικό (D), πρέπει να γράψετε τον τύπο D=b^2 - 4*a*c. Η τιμή D μπορεί να είναι μεγαλύτερη από, μικρότερη ή ίση με μηδέν. Εάν το D είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το μηδέν, τότε θα υπάρχουν δύο ρίζες, εάν D = 0, τότε μόνο μία ρίζα παραμένει ακριβέστερα, μπορούμε να πούμε ότι το D σε αυτή την περίπτωση έχει δύο ισοδύναμες ρίζες. Αντικαταστήστε τους γνωστούς συντελεστές a, b, c στον τύπο και υπολογίστε την τιμή.

Αφού βρείτε το διακριτικό, χρησιμοποιήστε τους τύπους για να βρείτε το x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a όπου sqrt είναι συνάρτηση που σημαίνει απόσπασμα τετραγωνική ρίζααπό δεδομένου αριθμού. Αφού υπολογίσετε αυτές τις εκφράσεις, θα βρείτε δύο ρίζες της εξίσωσής σας, μετά τις οποίες η εξίσωση θεωρείται λυμένη.

Αν το D είναι μικρότερο από μηδέν, τότε εξακολουθεί να έχει ρίζες. Αυτή η ενότητα πρακτικά δεν μελετάται στο σχολείο. Οι φοιτητές πρέπει να γνωρίζουν ότι κάτω από τη ρίζα εμφανίζεται ένας αρνητικός αριθμός. Το ξεφορτώνονται επισημαίνοντας το φανταστικό μέρος, δηλαδή το -1 κάτω από τη ρίζα είναι πάντα ίσο με το φανταστικό στοιχείο "i", το οποίο πολλαπλασιάζεται με τη ρίζα με τον ίδιο θετικό αριθμό. Για παράδειγμα, αν D=sqrt(-20), μετά τον μετασχηματισμό παίρνουμε D=sqrt(20)*i. Μετά από αυτόν τον μετασχηματισμό, η επίλυση της εξίσωσης ανάγεται στην ίδια εύρεση ριζών όπως περιγράφηκε παραπάνω.

Το θεώρημα του Vieta αποτελείται από την επιλογή των τιμών των x(1) και x(2). Χρησιμοποιούνται δύο πανομοιότυπες εξισώσεις: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Επιπλέον, ένα πολύ σημαντικό σημείο είναι το πρόσημο μπροστά από τον συντελεστή b να θυμάστε ότι αυτό το πρόσημο είναι αντίθετο από αυτό της εξίσωσης. Με την πρώτη ματιά, φαίνεται ότι ο υπολογισμός των x(1) και x(2) είναι πολύ απλός, αλλά κατά την επίλυση, θα βρεθείτε αντιμέτωποι με το γεγονός ότι θα πρέπει να επιλέξετε τους αριθμούς.

Στοιχεία επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων

Σύμφωνα με τους κανόνες των μαθηματικών, ορισμένα μπορούν να παραγοντοποιηθούν: (a+x(1))*(b-x(2))=0, αν καταφέρατε να μετατρέψετε αυτήν την τετραγωνική εξίσωση με παρόμοιο τρόπο χρησιμοποιώντας μαθηματικούς τύπους, τότε μη διστάσετε να γράψε την απάντηση. Τα x(1) και x(2) θα είναι ίσα με τους διπλανούς συντελεστές σε παρένθεση, αλλά με το αντίθετο πρόσημο.

Επίσης, μην ξεχνάτε τις ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Μπορεί να σας λείπουν κάποιοι από τους όρους, αν ναι, τότε όλοι οι συντελεστές του είναι απλώς ίσοι με μηδέν. Αν δεν υπάρχει τίποτα μπροστά από το x^2 ή το x, τότε οι συντελεστές a και b είναι ίσοι με 1.