Τι σημαίνουν οι γειτονικές γωνίες σε ένα τρίγωνο; Παρακείμενες γωνίες

Πώς να βρείτε μια διπλανή γωνία;

Τα μαθηματικά είναι η παλαιότερη ακριβής επιστήμη, η οποία μελετάται υποχρεωτικά σε σχολεία, κολέγια, ινστιτούτα και πανεπιστήμια. Ωστόσο, οι βασικές γνώσεις βρίσκονται πάντα στο σχολείο. Μερικές φορές, ανατίθενται στο παιδί αρκετά σύνθετες εργασίες, αλλά οι γονείς δεν μπορούν να βοηθήσουν, γιατί απλά ξέχασαν κάποια πράγματα από τα μαθηματικά. Για παράδειγμα, πώς να βρείτε μια γειτονική γωνία με βάση το μέγεθος της κύριας γωνίας κ.λπ. Το πρόβλημα είναι απλό, αλλά μπορεί να προκαλέσει δυσκολίες στην επίλυση λόγω άγνοιας για το ποιες γωνίες ονομάζονται γειτονικές και πώς να τις βρούμε.

Ας αναλογιστούμε περισσότερος ορισμόςκαι ιδιότητες παρακείμενες γωνίες, καθώς και τον τρόπο υπολογισμού τους από τα δεδομένα του προβλήματος.

Ορισμός και ιδιότητες γειτονικών γωνιών

Δύο ακτίνες που εκπέμπονται από ένα σημείο σχηματίζουν ένα σχήμα που ονομάζεται «επίπεδη γωνία». Σε αυτή την περίπτωση, αυτό το σημείο ονομάζεται κορυφή της γωνίας και οι ακτίνες είναι οι πλευρές του. Εάν συνεχίσετε μια από τις ακτίνες πέρα από το σημείο εκκίνησης σε ευθεία γραμμή, τότε σχηματίζεται μια άλλη γωνία, η οποία ονομάζεται γειτονική. Κάθε γωνία σε αυτή την περίπτωση έχει δύο γειτονικές γωνίες, αφού οι πλευρές της γωνίας είναι ισοδύναμες. Δηλαδή, υπάρχει πάντα μια διπλανή γωνία 180 μοιρών.

Οι κύριες ιδιότητες των παρακείμενων γωνιών περιλαμβάνουν

Οι γειτονικές γωνίες έχουν κοινή κορυφή και μία πλευρά.
Το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι πάντα ίσο με 180 μοίρες ή τον αριθμό Pi εάν ο υπολογισμός πραγματοποιείται σε ακτίνια.
Τα ημίτονο των γειτονικών γωνιών είναι πάντα ίσα.
Τα συνημίτονα και οι εφαπτομένες γειτονικών γωνιών είναι ίσα αλλά έχουν αντίθετα πρόσημα.

Πώς να βρείτε διπλανές γωνίες

Συνήθως δίνονται τρεις παραλλαγές προβλημάτων για να βρεθεί το μέγεθος των παρακείμενων γωνιών

Δίνεται η τιμή της κύριας γωνίας.
Δίνεται ο λόγος της κύριας και της διπλανής γωνίας.
Δίνεται η τιμή της κατακόρυφης γωνίας.

Κάθε έκδοση του προβλήματος έχει τη δική της λύση. Ας τους δούμε.

Δίνεται η τιμή της κύριας γωνίας

Εάν το πρόβλημα καθορίζει την τιμή της κύριας γωνίας, τότε η εύρεση της διπλανής γωνίας είναι πολύ απλή. Για να το κάνετε αυτό, απλώς αφαιρέστε την τιμή της κύριας γωνίας από 180 μοίρες και θα λάβετε την τιμή της διπλανής γωνίας. Αυτή η απόφασηπροέρχεται από την ιδιότητα μιας γειτονικής γωνίας - το άθροισμα των γειτονικών γωνιών είναι πάντα ίσο με 180 μοίρες.

Εάν η τιμή της κύριας γωνίας δίνεται σε ακτίνια και το πρόβλημα απαιτεί την εύρεση της γειτονικής γωνίας σε ακτίνια, τότε είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε την τιμή της κύριας γωνίας από τον αριθμό Pi, καθώς η τιμή της πλήρους αναδιπλωμένης γωνίας είναι 180 μοίρες ισούται με τον αριθμό Pi.

Δίνεται ο λόγος της κύριας και της διπλανής γωνίας

Το πρόβλημα μπορεί να δώσει τον λόγο της κύριας και των παρακείμενων γωνιών αντί για τις μοίρες και τα ακτίνια της κύριας γωνίας. Σε αυτήν την περίπτωση, η λύση θα μοιάζει με εξίσωση αναλογίας:

Συμβολίζουμε την αναλογία της κύριας γωνίας ως μεταβλητή «Y».
Το κλάσμα που σχετίζεται με τη γειτονική γωνία ορίζεται ως η μεταβλητή "X".
Ο αριθμός των μοιρών που εμπίπτουν σε κάθε αναλογία θα συμβολίζεται, για παράδειγμα, με "a".
Γενικός τύποςθα μοιάζει με αυτό - a*X+a*Y=180 ή a*(X+Y)=180.
Βρίσκουμε τον κοινό παράγοντα της εξίσωσης “a” χρησιμοποιώντας τον τύπο a=180/(X+Y).
Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε την προκύπτουσα τιμή του κοινού παράγοντα «a» με το κλάσμα της γωνίας που πρέπει να προσδιοριστεί.

Έτσι μπορούμε να βρούμε την τιμή της διπλανής γωνίας σε μοίρες. Ωστόσο, εάν πρέπει να βρείτε μια τιμή σε ακτίνια, τότε απλά πρέπει να μετατρέψετε τις μοίρες σε ακτίνια. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τη γωνία σε μοίρες με το Pi και διαιρέστε τα πάντα κατά 180 μοίρες. Η τιμή που προκύπτει θα είναι σε ακτίνια.

Δίνεται η τιμή της κατακόρυφης γωνίας

Εάν το πρόβλημα δεν δίνει την τιμή της κύριας γωνίας, αλλά δίνεται η τιμή της κατακόρυφης γωνίας, τότε η διπλανή γωνία μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο όπως στην πρώτη παράγραφο, όπου δίνεται η τιμή της κύριας γωνίας.

Κατακόρυφη γωνία είναι μια γωνία που πηγάζει από το ίδιο σημείο με την κύρια, αλλά κατευθύνεται ακριβώς στην αντίθετη κατεύθυνση. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα μια κατοπτρική εικόνα. Αυτό σημαίνει ότι η κατακόρυφη γωνία είναι ίση σε μέγεθος με την κύρια. Με τη σειρά της, η γειτονική γωνία της κατακόρυφης γωνίας είναι ίση με τη γειτονική γωνία της κύριας γωνίας. Χάρη σε αυτό, μπορεί να υπολογιστεί η γειτονική γωνία της κύριας γωνίας. Για να το κάνετε αυτό, απλώς αφαιρέστε την κατακόρυφη τιμή από 180 μοίρες και λάβετε την τιμή της γειτονικής γωνίας της κύριας γωνίας σε μοίρες.

Εάν η τιμή δίνεται σε ακτίνια, τότε είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε την τιμή της κατακόρυφης γωνίας από τον αριθμό Pi, καθώς η τιμή της πλήρους ξεδιπλωμένης γωνίας των 180 μοιρών είναι ίση με τον αριθμό Pi.

Μπορείτε επίσης να διαβάσετε τα χρήσιμα άρθρα μας και.

Η γνωστή τιμή της κύριας γωνίας α1 = α2 = 180°-α.

Από αυτό υπάρχουν . Αν δύο γωνίες είναι και γειτονικές και ίσες, τότε είναι ορθές. Αν μία από τις διπλανές γωνίες είναι ορθή, δηλαδή 90 μοίρες, τότε και η άλλη γωνία είναι ορθή. Εάν μία από τις γειτονικές γωνίες είναι οξεία, τότε η άλλη θα είναι αμβλεία. Ομοίως, εάν μία από τις γωνίες είναι αμβλεία, τότε η δεύτερη, κατά συνέπεια, θα είναι οξεία.

Οξεία γωνία είναι εκείνη της οποίας το μέτρο μοιρών είναι μικρότερο από 90 μοίρες, αλλά μεγαλύτερο από 0. Μια αμβλεία γωνία έχει μέτρο μοιρών μεγαλύτερο από 90 μοίρες, αλλά μικρότερο από 180.

Μια άλλη ιδιότητα των παρακείμενων γωνιών διατυπώνεται ως εξής: αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε και οι γειτονικές γωνίες είναι επίσης ίσες. Αυτό σημαίνει ότι εάν υπάρχουν δύο γωνίες για τις οποίες το μέτρο της μοίρας είναι το ίδιο (για παράδειγμα, είναι 50 μοίρες) και ταυτόχρονα η μία από αυτές έχει γειτονική γωνία, τότε οι τιμές αυτών των γειτονικών γωνιών συμπίπτουν επίσης ( στο παράδειγμα, το μέτρο του βαθμού τους θα είναι ίσο με 130 μοίρες).

Πηγές:

Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό - Παρακείμενες γωνίες
γωνία 180 μοιρών

Η λέξη "" έχει διαφορετικές ερμηνείες. Στη γεωμετρία, μια γωνία είναι ένα μέρος ενός επιπέδου που οριοθετείται από δύο ακτίνες που προέρχονται από ένα σημείο - την κορυφή. Όταν μιλάμε για ευθείες, οξείες και ξεδιπλωμένες γωνίες, εννοούμε γεωμετρικές γωνίες.

Όπως κάθε σχήμα στη γεωμετρία, οι γωνίες μπορούν να συγκριθούν. Η ισότητα των γωνιών προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας κίνηση. Είναι εύκολο να χωρίσετε τη γωνία σε δύο ίσα μέρη. Η διαίρεση σε τρία μέρη είναι λίγο πιο δύσκολη, αλλά μπορεί ακόμα να γίνει χρησιμοποιώντας χάρακα και πυξίδα. Παρεμπιπτόντως, αυτό το έργο φαινόταν αρκετά δύσκολο. Η περιγραφή ότι μια γωνία είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από μια άλλη είναι γεωμετρικά απλή.

Η μονάδα μέτρησης για τις γωνίες είναι το 1/180 μιας ανεπτυγμένης γωνίας. Το μέγεθος της γωνίας είναι ένας αριθμός που δείχνει πόσο ταιριάζει η γωνία που επιλέχθηκε ως μονάδα μέτρησης στο εν λόγω σχήμα.

Κάθε γωνία έχει μέτρο μοιρών μεγαλύτερο από το μηδέν. Μια ευθεία γωνία είναι 180 μοίρες. Το μέτρο μοίρας μιας γωνίας θεωρείται ίσο με το άθροισμα των μέτρων βαθμών των γωνιών στις οποίες διαιρείται από οποιαδήποτε ακτίνα στο επίπεδο που οριοθετείται από τις πλευρές της.

Από οποιαδήποτε ακτίνα μέσα δεδομένο αεροπλάνοΜπορείτε να σχεδιάσετε μια γωνία με μέτρο ορισμένου βαθμού που δεν υπερβαίνει το 180. Επιπλέον, θα υπάρχει μόνο μία τέτοια γωνία. Το μέτρο μιας επίπεδης γωνίας, που είναι μέρος ενός ημιεπίπεδου, είναι το μέτρο μοίρας μιας γωνίας με παρόμοιες πλευρές. Το μέτρο του επιπέδου μιας γωνίας που περιέχει ένα ημιεπίπεδο είναι η τιμή 360 ~ α, όπου α είναι το μέτρο μοιρών της συμπληρωματικής γωνίας επιπέδου.

Το μέτρο μοίρας μιας γωνίας καθιστά δυνατή τη μετάβαση από μια γεωμετρική περιγραφή σε μια αριθμητική. Έτσι, μια ορθή γωνία είναι μια γωνία ίση με 90 μοίρες, αμβλεία γωνίαείναι γωνία μικρότερη από 180 μοίρες αλλά μεγαλύτερη από 90, οξεία γωνίαδεν υπερβαίνει τους 90 βαθμούς.

Εκτός από τις μοίρες, υπάρχει και ένα ακτινικό μέτρο γωνίας. Στην επιπεδομετρία, το μήκος είναι L, η ακτίνα είναι r και το αντίστοιχο επίκεντρη γωνία– α. Επιπλέον, αυτές οι παράμετροι σχετίζονται με τη σχέση α = L/r. Αυτή είναι η βάση του ακτινικού μέτρου των γωνιών. Αν L=r, τότε η γωνία α θα είναι ίση με ένα ακτίνιο. Άρα, το ακτινικό μέτρο μιας γωνίας είναι ο λόγος του μήκους ενός τόξου που σχεδιάζεται με αυθαίρετη ακτίνα και περικλείεται μεταξύ των πλευρών αυτής της γωνίας προς την ακτίνα του τόξου. Μια πλήρης περιστροφή σε μοίρες (360 μοίρες) αντιστοιχεί σε 2π σε ακτίνια. Το ένα είναι 57,2958 μοίρες.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Πηγές:

τύπος μέτρησης μοιρών γωνιών

Γωνίες στις οποίες η μία πλευρά είναι κοινή και οι άλλες πλευρές βρίσκονται στην ίδια ευθεία (στο σχήμα, οι γωνίες 1 και 2 είναι γειτονικές). Ρύζι. στο Art. Παρακείμενες γωνίες... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ- γωνίες που έχουν μια κοινή κορυφή και μια κοινή πλευρά και οι άλλες δύο πλευρές τους βρίσκονται στην ίδια ευθεία... Μεγάλη Πολυτεχνική Εγκυκλοπαίδεια

Δείτε Γωνία... Μεγάλος Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ, δύο γωνίες των οποίων το άθροισμα είναι 180°. Κάθε μία από αυτές τις γωνίες συμπληρώνει την άλλη σε πλήρη γωνία... Επιστημονικό και τεχνικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Βλέπε Γωνία. * * * ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ, βλέπε Γωνία (βλ. ΓΩΝΙΑ) ... Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

- (Γωνίες παρακείμενες) αυτές που έχουν κοινή κορυφή και κοινή πλευρά. Κυρίως αυτό το όνομα αναφέρεται σε τέτοιες γωνίες Γ, οι άλλες δύο πλευρές των οποίων βρίσκονται σε αντίθετες κατευθύνσεις μιας ευθείας γραμμής που τραβιέται μέσα από την κορυφή ... Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό F.A. Brockhaus και I.A. Έφρον

Δείτε Γωνία... Φυσιογνωσία. Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Δύο ευθείες γραμμές τέμνονται για να δημιουργήσουν ένα ζευγάρι κάθετες γωνίες. Το ένα ζεύγος αποτελείται από γωνίες Α και Β, το άλλο από Γ και Δ. Στη γεωμετρία, δύο γωνίες ονομάζονται κάθετες αν δημιουργούνται από τομή δύο ... Wikipedia

Ένα ζεύγος συμπληρωματικών γωνιών που αλληλοσυμπληρώνονται έως και 90 μοίρες. Αν δύο συμπληρωματικές γωνίες είναι γειτονικές (δηλαδή έχουν κοινή κορυφή και χωρίζονται μόνο... ... Wikipedia

Ζεύγος συμπληρωματικών γωνιών που αλληλοσυμπληρώνονται έως 90 μοίρες Συμπληρωματικές γωνίες είναι ένα ζεύγος γωνιών που αλληλοσυμπληρώνονται έως 90 μοίρες. Αν δύο συμπληρωματικές γωνίες είναι με... Wikipedia

Βιβλία

Σχετικά με την απόδειξη στη γεωμετρία, A.I Fetisov Αυτό το βιβλίο θα δημιουργηθεί σύμφωνα με την παραγγελία σας χρησιμοποιώντας την τεχνολογία Print-on-Demand.
Ένα ολοκληρωμένο σημειωματάριο για τον έλεγχο της γνώσης. Γεωμετρία. 7η τάξη. Ομοσπονδιακό κρατικό εκπαιδευτικό πρότυπο, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Το εγχειρίδιο παρουσιάζει υλικά ελέγχου και μέτρησης (CMM) στη γεωμετρία για τη διεξαγωγή τρέχοντος, θεματικού και τελικού ποιοτικού ελέγχου των γνώσεων των μαθητών της 7ης τάξης. Τα περιεχόμενα του εγχειριδίου...

Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε και θα κατανοήσουμε την έννοια των παρακείμενων γωνιών. Ας εξετάσουμε ένα θεώρημα που τους αφορά. Ας εισαγάγουμε την έννοια των «κάθετων γωνιών». Ας δούμε μερικά υποστηρικτικά στοιχεία σχετικά με αυτές τις γωνίες. Στη συνέχεια, διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε δύο συμπεράσματα σχετικά με τη γωνία μεταξύ των διχοτόμων των κατακόρυφων γωνιών. Στο τέλος του μαθήματος θα εξετάσουμε αρκετά προβλήματα σχετικά με αυτό το θέμα.

Ας ξεκινήσουμε το μάθημά μας με την έννοια των «γειτονικών γωνιών». Το σχήμα 1 δείχνει την ανεπτυγμένη γωνία ∠AOC και την ακτίνα OB, που χωρίζει αυτή τη γωνία σε 2 γωνίες.

Ρύζι. 1. Γωνία ∠AOC

Ας εξετάσουμε τις γωνίες ∠AOB και ∠BOC. Είναι προφανές ότι έχουν μια κοινή πλευρά VO και οι πλευρές AO και OS είναι απέναντι. Οι ακτίνες OA και OS αλληλοσυμπληρώνονται, πράγμα που σημαίνει ότι βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Οι γωνίες ∠AOB και ∠BOC είναι γειτονικές.

Ορισμός: Εάν δύο γωνίες έχουν κοινή πλευρά και οι άλλες δύο πλευρές είναι συμπληρωματικές, τότε αυτές οι γωνίες ονομάζονται γειτονικός.

Θεώρημα 1: Το άθροισμα των διπλανών γωνιών είναι 180 ο.

Ρύζι. 2. Σχέδιο για το Θεώρημα 1

∠MOL + ∠LON = 180 ο. Αυτή η δήλωση είναι αληθής, αφού η ακτίνα OL διαιρεί την ξεδιπλωμένη γωνία ∠MON σε δύο γειτονικές γωνίες. Δηλαδή, δεν γνωρίζουμε τα μέτρα μοιρών καμίας από τις γειτονικές γωνίες, αλλά γνωρίζουμε μόνο το άθροισμά τους - 180 μοίρες.

Θεωρήστε την τομή δύο ευθειών. Το σχήμα δείχνει την τομή δύο ευθειών στο σημείο Ο.

Ρύζι. 3. Κάθετες γωνίες ∠ВОА και ∠СOD

Ορισμός: Αν οι πλευρές μιας γωνίας είναι συνέχεια της δεύτερης γωνίας, τότε τέτοιες γωνίες ονομάζονται κάθετες. Γι' αυτό το σχήμα δείχνει δύο ζεύγη κάθετων γωνιών: ∠AOB και ∠COD, καθώς και ∠AOD και ∠BOC.

Θεώρημα 2: Οι κάθετες γωνίες είναι ίσες.

Ας χρησιμοποιήσουμε το Σχήμα 3. Θεωρήστε τη γωνία περιστροφής ∠AOC. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180 o - β. Ας εξετάσουμε την περιστρεφόμενη γωνία ∠BOD. ∠COD = ∠BОD - ∠BOC = 180 o - β.

Από αυτές τις σκέψεις συμπεραίνουμε ότι ∠AOB = ∠COD = α. Ομοίως, ∠AOD = ∠BOS = β.

Συμπέρασμα 1: Η γωνία μεταξύ των διχοτόμων γειτονικών γωνιών είναι 90°.

Ρύζι. 4. Σχέδιο για το συμπέρασμα 1

Εφόσον το OL είναι η διχοτόμος της γωνίας ∠BOA, τότε η γωνία ∠LOB = , παρόμοια με ∠BOA = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Το άθροισμα των γωνιών α + β είναι ίσο με 180°, αφού αυτές οι γωνίες είναι γειτονικές.

Συμπέρασμα 2: Η γωνία μεταξύ των διχοτόμων κάθετων γωνιών είναι 180°.

Ρύζι. 5. Σχέδιο για το συμπέρασμα 2

Το KO είναι η διχοτόμος ∠AOB, το LO είναι η διχοτόμος ∠COD. Προφανώς, ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = ο. Το άθροισμα των γωνιών α + β είναι ίσο με 180°, αφού αυτές οι γωνίες είναι γειτονικές.

Ας εξετάσουμε μερικές εργασίες:

Βρείτε τη γωνία δίπλα στο ∠AOC εάν ∠AOC = 111 o.

Ας κάνουμε ένα σχέδιο για την εργασία:

Ρύζι. 6. Σχέδιο για παράδειγμα 1

Εφόσον ∠AOC = β και ∠COD = α είναι γειτονικές γωνίες, τότε α + β = 180 o. Δηλαδή 111 ο + β = 180 ο.

Αυτό σημαίνει β = 69 ο.

Αυτός ο τύπος προβλήματος εκμεταλλεύεται το θεώρημα του αθροίσματος των γειτονικών γωνιών.

Μία από τις διπλανές γωνίες είναι ορθή, ποια είναι η άλλη γωνία (οξεία, αμβλεία ή ορθή);

Αν μία από τις γωνίες είναι ορθή και το άθροισμα των δύο γωνιών είναι 180°, τότε και η άλλη γωνία είναι ορθή. Αυτό το πρόβλημα ελέγχει τη γνώση σχετικά με το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών.

Είναι αλήθεια ότι αν οι διπλανές γωνίες είναι ίσες, τότε είναι ορθές;

Ας κάνουμε μια εξίσωση: α + β = 180 ο, αλλά αφού α = β, τότε β + β = 180 ο, που σημαίνει β = 90 ο.

Απάντηση: Ναι, η δήλωση είναι αληθινή.

Δίνονται δύο ίσες γωνίες. Είναι αλήθεια ότι οι γωνίες που γειτνιάζουν με αυτές θα είναι επίσης ίσες;

Ρύζι. 7. Σχέδιο για παράδειγμα 4

Αν δύο γωνίες είναι ίσες με α, τότε οι αντίστοιχες γειτονικές τους γωνίες θα είναι 180 o - α. Δηλαδή θα είναι ίσοι μεταξύ τους.

Απάντηση: Η δήλωση είναι σωστή.

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. και άλλα Γεωμετρία 7. - Μ.: Εκπαίδευση.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. και άλλα Γεωμετρία 7. 5η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός.
\Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Γεωμετρία 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, επιμέλεια V.A. Sadovnichigo. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.

Μέτρηση τμημάτων ().
Γενικό μάθημα γεωμετρίας στην 7η τάξη ().
Ευθεία γραμμή, τμήμα ().

Νο. 13, 14. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Γεωμετρία 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, επιμέλεια V.A. Sadovnichigo. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.
Βρείτε δύο γειτονικές γωνίες αν η μία είναι 4 φορές η άλλη.
Δεδομένης της γωνίας. Κατασκευάστε γειτονικές και κάθετες γωνίες για αυτό. Πόσες τέτοιες γωνίες μπορούν να κατασκευαστούν;
* Σε ποια περίπτωση λαμβάνονται περισσότερα ζεύγη κάθετων γωνιών: όταν τρεις ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο ή σε τρία σημεία;

1. Παρακείμενες γωνίες.

Αν επεκτείνουμε την πλευρά οποιασδήποτε γωνίας πέρα από την κορυφή της, έχουμε δύο γωνίες (Εικ. 72): ∠ABC και ∠CBD, στις οποίες η μία πλευρά BC είναι κοινή και οι άλλες δύο, AB και BD, σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή.

Δύο γωνίες στις οποίες η μία πλευρά είναι κοινή και οι άλλες δύο σχηματίζουν ευθεία ονομάζονται γειτονικές γωνίες.

Οι γειτονικές γωνίες μπορούν επίσης να ληφθούν με αυτόν τον τρόπο: αν σχεδιάσουμε μια ακτίνα από κάποιο σημείο μιας ευθείας (όχι σε μια δεδομένη γραμμή), θα λάβουμε γειτονικές γωνίες.

Για παράδειγμα, οι ∠ADF και ∠FDB είναι γειτονικές γωνίες (Εικ. 73).

Οι παρακείμενες γωνίες μπορούν να έχουν μεγάλη ποικιλία θέσεων (Εικ. 74).

Οι γειτονικές γωνίες αθροίζονται σε μια ευθεία γωνία, έτσι το άθροισμα δύο γειτονικών γωνιών είναι 180°

Ως εκ τούτου, μια ορθή γωνία μπορεί να οριστεί ως μια γωνία ίση με τη γειτονική γωνία της.

Γνωρίζοντας το μέγεθος μιας από τις γειτονικές γωνίες, μπορούμε να βρούμε το μέγεθος της άλλης γωνίας που βρίσκεται δίπλα της.

Για παράδειγμα, εάν μία από τις γειτονικές γωνίες είναι 54°, τότε η δεύτερη γωνία θα είναι ίση με:

180° - 54° = l26°.

2. Κάθετες γωνίες.

Αν επεκτείνουμε τις πλευρές της γωνίας πέρα από την κορυφή της, έχουμε κατακόρυφες γωνίες. Στο Σχήμα 75, οι γωνίες EOF και AOC είναι κάθετες. Οι γωνίες AOE και COF είναι επίσης κάθετες.

Δύο γωνίες ονομάζονται κάθετες αν οι πλευρές της μιας γωνίας είναι συνεχείς των πλευρών της άλλης γωνίας.

Έστω ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(Εικ. 76). ∠2 δίπλα σε αυτό θα είναι ίσο με 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, δηλαδή 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να υπολογίσετε με τι ίσον ∠3 και ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Εικ. 77).

Βλέπουμε ότι ∠1 = ∠3 και ∠2 = ∠4.

Μπορείτε να λύσετε πολλά περισσότερα από τα ίδια προβλήματα και κάθε φορά θα έχετε το ίδιο αποτέλεσμα: οι κάθετες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

Ωστόσο, για να βεβαιωθείτε ότι οι κατακόρυφες γωνίες είναι πάντα ίσες μεταξύ τους, δεν αρκεί να εξετάσουμε μεμονωμένα αριθμητικά παραδείγματα, καθώς τα συμπεράσματα που προκύπτουν από συγκεκριμένα παραδείγματα μπορεί μερικές φορές να είναι λανθασμένα.

Είναι απαραίτητο να επαληθευτεί η εγκυρότητα των ιδιοτήτων των κατακόρυφων γωνιών με απόδειξη.

Η απόδειξη μπορεί να πραγματοποιηθεί ως εξής (Εικ. 78):

∠α+∠ντο= 180°;

∠β+∠ντο= 180°;

(αφού το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι 180°).

∠α+∠ντο = ∠β+∠ντο

(αφού η αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας είναι ίση με 180°, και η δεξιά πλευρά της είναι επίσης ίση με 180°).

Αυτή η ισότητα περιλαμβάνει την ίδια γωνία Με.

Αν αφαιρέσουμε ίσα ποσά από ίσες ποσότητες, τότε θα παραμείνουν ίσα ποσά. Το αποτέλεσμα θα είναι: ∠ένα = ∠σι, δηλαδή οι κατακόρυφες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

3. Το άθροισμα των γωνιών που έχουν κοινή κορυφή.

Στο σχέδιο 79, τα ∠1, ∠2, ∠3 και ∠4 βρίσκονται στη μία πλευρά μιας ευθείας και έχουν κοινή κορυφή σε αυτήν την ευθεία. Συνολικά, αυτές οι γωνίες αποτελούν μια ευθεία γωνία, δηλ.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.