Πώς να κατανοήσετε μια αυξανόμενη και φθίνουσα συνάρτηση. Γράφημα συνάρτησης. Αύξηση και μείωση συναρτήσεων. περιοδικότητα, ζυγός, περιττός

Η τελική εργασία με τη μορφή της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης για μαθητές της 11ης τάξης περιέχει απαραίτητα εργασίες για τον υπολογισμό ορίων, τα διαστήματα μείωσης και αύξησης των παραγώγων μιας συνάρτησης, την αναζήτηση ακραίων σημείων και την κατασκευή γραφημάτων. Η καλή γνώση αυτού του θέματος σάς επιτρέπει να απαντάτε σωστά σε πολλές ερωτήσεις εξετάσεων και να μην αντιμετωπίζετε δυσκολίες στην περαιτέρω επαγγελματική κατάρτιση.

Βασικά διαφορικός λογισμός- ένα από τα κύρια θέματα των μαθηματικών σύγχρονο σχολείο. Μελετά τη χρήση της παραγώγου για τη μελέτη των εξαρτήσεων των μεταβλητών - μέσω της παραγώγου μπορεί κανείς να αναλύσει την αύξηση και τη μείωση μιας συνάρτησης χωρίς να καταφύγει σε σχέδιο.

Ολοκληρωμένη προετοιμασία των αποφοίτων για περνώντας από την Ενιαία Κρατική Εξέτασηεπί εκπαιδευτική πύληΤο "Shkolkovo" θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε σε βάθος τις αρχές της διαφοροποίησης - να κατανοήσετε τη θεωρία λεπτομερώς, να μελετήσετε παραδείγματα επίλυσης τυπικών προβλημάτων και να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας σε ανεξάρτητη εργασία. Θα σας βοηθήσουμε να κλείσετε τα κενά στη γνώση - να αποσαφηνίσετε την κατανόησή σας για τις λεξιλογικές έννοιες του θέματος και τις εξαρτήσεις των ποσοτήτων. Οι μαθητές θα μπορούν να επανεξετάσουν τον τρόπο εύρεσης διαστημάτων μονοτονίας, που σημαίνει ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης αυξάνεται ή μειώνεται σε ένα συγκεκριμένο τμήμα όταν τα οριακά σημεία περιλαμβάνονται και δεν περιλαμβάνονται στα διαστήματα που βρίσκονται.

Πριν ξεκινήσετε την απευθείας επίλυση θεματικών προβλημάτων, σας συνιστούμε να μεταβείτε πρώτα στην ενότητα «Θεωρητικό υπόβαθρο» και να επαναλάβετε τους ορισμούς των εννοιών, των κανόνων και των τύπων πινάκων. Εδώ μπορείτε να διαβάσετε πώς να βρείτε και να γράψετε κάθε διάστημα αυξανόμενης και φθίνουσας συνάρτησης στο γράφημα της παραγώγου.

Όλες οι πληροφορίες που προσφέρονται παρουσιάζονται με την πιο προσιτή μορφή για κατανόηση, πρακτικά από την αρχή. Ο ιστότοπος παρέχει υλικό για αντίληψη και αφομοίωση σε πολλά διάφορες μορφές– ανάγνωση, προβολή βίντεο και άμεση εκπαίδευση υπό την καθοδήγηση έμπειρων δασκάλων. Οι επαγγελματίες δάσκαλοι θα σας πουν λεπτομερώς πώς να βρείτε τα διαστήματα αύξησης και φθίνουσας παραγώγου μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας αναλυτικές και γραφικές μεθόδους. Κατά τη διάρκεια των διαδικτυακών σεμιναρίων, θα μπορείτε να κάνετε οποιαδήποτε ερώτηση σας ενδιαφέρει, τόσο για τη θεωρία όσο και για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων.

Έχοντας θυμηθεί τα κύρια σημεία του θέματος, δείτε παραδείγματα αύξησης της παραγώγου μιας συνάρτησης, παρόμοια με τις εργασίες στις επιλογές εξέτασης. Για να εμπεδώσετε αυτά που μάθατε, ρίξτε μια ματιά στον «Κατάλογο» - εδώ θα βρείτε πρακτικές ασκήσεις για ανεξάρτητη εργασία. Οι εργασίες της ενότητας επιλέγονται σε διαφορετικά επίπεδα δυσκολίας, λαμβάνοντας υπόψη την ανάπτυξη των δεξιοτήτων. Για παράδειγμα, καθένα από αυτά συνοδεύεται από αλγόριθμους λύσης και σωστές απαντήσεις.

Επιλέγοντας την ενότητα «Κατασκευαστής», οι μαθητές θα μπορούν να εξασκηθούν στη μελέτη της αύξησης και της μείωσης της παραγώγου μιας συνάρτησης σε πραγματικό Επιλογές Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης, ενημερώνεται συνεχώς λαμβάνοντας υπόψη τις τελευταίες αλλαγές και καινοτομίες.

Extrema της συνάρτησης

Ορισμός 2

Ένα σημείο $x_0$ ονομάζεται μέγιστο σημείο μιας συνάρτησης $f(x)$ εάν υπάρχει μια γειτονιά αυτού του σημείου τέτοια ώστε για όλα τα $x$ σε αυτήν τη γειτονιά η ανισότητα $f(x)\le f(x_0) $ κρατά.

Ορισμός 3

Ένα σημείο $x_0$ ονομάζεται μέγιστο σημείο μιας συνάρτησης $f(x)$ εάν υπάρχει μια γειτονιά αυτού του σημείου τέτοια ώστε για όλα τα $x$ σε αυτήν τη γειτονιά η ανισότητα $f(x)\ge f(x_0) $ κρατά.

Η έννοια του άκρου μιας συνάρτησης σχετίζεται στενά με την έννοια του κρίσιμου σημείου μιας συνάρτησης. Ας παρουσιάσουμε τον ορισμό του.

Ορισμός 4

$x_0$ καλείται κρίσιμο σημείοσυνάρτηση $f(x)$ αν:

1) $x_0$ - εσωτερικό σημείο του τομέα ορισμού.

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ή δεν υπάρχει.

Για την έννοια του ακραίου, μπορούμε να διατυπώσουμε θεωρήματα σχετικά με επαρκείς και απαραίτητες προϋποθέσεις για την ύπαρξή του.

Θεώρημα 2

Επαρκής συνθήκη για εξτρέμ

Έστω το σημείο $x_0$ κρίσιμο για τη συνάρτηση $y=f(x)$ και βρίσκεται στο διάστημα $(a,b)$. Έστω σε κάθε διάστημα $\left(a,x_0\right)\ and\ (x_0,b)$ η παράγωγος $f"(x)$ υπάρχει και διατηρεί ένα σταθερό πρόσημο. Τότε:

1) Εάν στο διάστημα $(a,x_0)$ η παράγωγος είναι $f"\left(x\right)>0$, και στο διάστημα $(x_0,b)$ η παράγωγος είναι $f"\left( x\δεξιά)

2) Εάν στο διάστημα $(a,x_0)$ η παράγωγος $f"\left(x\right)0$, τότε το σημείο $x_0$ είναι το ελάχιστο σημείο για αυτήν τη συνάρτηση.

3) Αν και στο διάστημα $(a,x_0)$ και στο διάστημα $(x_0,b)$ η παράγωγος $f"\left(x\right) >0$ ή η παράγωγος $f"\left(x \δικαίωμα)

Αυτό το θεώρημα απεικονίζεται στο σχήμα 1.

Εικόνα 1. Επαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη ακρών

Παραδείγματα ακραίων (Εικ. 2).

Εικόνα 2. Παραδείγματα ακραίων σημείων

Κανόνας για τη μελέτη μιας συνάρτησης για ακραίο

2) Βρείτε την παράγωγο $f"(x)$;

7) Εξάγετε συμπεράσματα σχετικά με την παρουσία μεγίστων και ελαχίστων σε κάθε διάστημα, χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.

Λειτουργία αύξησης και μείωσης

Ας εισαγάγουμε πρώτα τους ορισμούς των αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης.

Ορισμός 5

Μια συνάρτηση $y=f(x)$ που ορίζεται στο διάστημα $X$ λέγεται ότι αυξάνεται εάν για οποιαδήποτε σημεία $x_1,x_2\σε X$ στο $x_1

Ορισμός 6

Μια συνάρτηση $y=f(x)$ που ορίζεται στο διάστημα $X$ λέγεται ότι είναι φθίνουσα εάν για οποιαδήποτε σημεία $x_1,x_2\σε X$ για $x_1f(x_2)$.

Μελετώντας μια συνάρτηση για αύξηση και μείωση

Μπορείτε να μελετήσετε αύξουσες και φθίνουσες συναρτήσεις χρησιμοποιώντας την παράγωγο.

Για να εξετάσετε μια συνάρτηση για διαστήματα αύξησης και μείωσης, πρέπει να κάνετε τα εξής:

1) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f(x)$;

2) Βρείτε την παράγωγο $f"(x)$;

3) Βρείτε τα σημεία στα οποία ισχύει η ισότητα $f"\left(x\right)=0$.

4) Βρείτε τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει $f"(x)$.

5) Σημειώστε στη γραμμή συντεταγμένων όλα τα σημεία που βρέθηκαν και το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης.

6) Προσδιορίστε το πρόσημο της παραγώγου $f"(x)$ σε κάθε προκύπτον διάστημα.

7) Εξάγετε ένα συμπέρασμα: σε διαστήματα όπου $f"\left(x\right)0$ η συνάρτηση αυξάνεται.

Παραδείγματα προβλημάτων για τη μελέτη συναρτήσεων για αύξηση, μείωση και παρουσία ακραίων σημείων

Παράδειγμα 1

Εξετάστε τη συνάρτηση για αύξηση και μείωση και την παρουσία μέγιστων και ελάχιστων σημείων: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Επειδή οι πρώτοι 6 βαθμοί είναι ίδιοι, ας τους περάσουμε πρώτα.

1) Τομέας ορισμού - όλοι οι πραγματικοί αριθμοί.

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) Το $f"(x)$ υπάρχει σε όλα τα σημεία του τομέα ορισμού.

5) Γραμμή συντεταγμένων:

Εικόνα 3.

6) Προσδιορίστε το πρόσημο της παραγώγου $f"(x)$ σε κάθε διάστημα:

\ \.

Το εύρος τιμών της συνάρτησης είναι span [ 1; 3].

1. Στα x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, η τιμή της συνάρτησης είναι μηδέν.

Η τιμή του ορίσματος στην οποία η τιμή της συνάρτησης είναι μηδέν ονομάζεται συνάρτηση μηδέν.

//εκείνοι. για αυτή τη συνάρτηση οι αριθμοί είναι -3;-1;1,5; Το 4,5 είναι μηδενικά.

2. Κατά διαστήματα [ 4.5; 3) και (1; 1.5) και (4.5; 5.5] η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα της τετμημένης και στα διαστήματα (-3; -1) και (1.5; 4.5) κάτω από τον άξονα τετμημένη, εξηγείται έτσι -κατά διαστήματα[ 4.5; 3) και (1; 1.5) και (4.5;5.5] παίρνει η συνάρτηση θετικές αξίες, και στα διαστήματα (-3; -1) και (1.5; 4.5) είναι αρνητικά.

Κάθε ένα από τα υποδεικνυόμενα διαστήματα (όπου η συνάρτηση παίρνει τιμές του ίδιου πρόσημου) ονομάζεται διάστημα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης f.//δηλ. για παράδειγμα, αν πάρουμε το διάστημα (0; 3), τότε δεν είναι διάστημα σταθερού πρόσημου αυτής της συνάρτησης.

Στα μαθηματικά, κατά την αναζήτηση διαστημάτων σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης, συνηθίζεται να υποδεικνύονται διαστήματα μέγιστου μήκους. //Εκείνοι. το διάστημα (2; 3) είναι διάστημα σταθερότητας του πρόσημουσυνάρτηση f, αλλά η απάντηση πρέπει να περιλαμβάνει το διάστημα [ 4,5; 3) που περιέχει το διάστημα (2; 3).

3. Εάν μετακινηθείτε κατά μήκος του άξονα x από το 4,5 στο 2, θα παρατηρήσετε ότι το γράφημα της συνάρτησης μειώνεται, δηλαδή οι τιμές των συναρτήσεων μειώνονται. //Στα μαθηματικά συνηθίζεται να λέμε ότι στο διάστημα [ 4.5; 2] η συνάρτηση μειώνεται.

Καθώς το x αυξάνεται από 2 σε 0, η γραφική παράσταση της συνάρτησης ανεβαίνει, δηλ. οι τιμές των συναρτήσεων αυξάνονται. //Στα μαθηματικά συνηθίζεται να λέμε ότι στο διάστημα [ 2; 0] η συνάρτηση αυξάνεται.

Μια συνάρτηση f καλείται εάν για οποιεσδήποτε δύο τιμές του ορίσματος x1 και x2 από αυτό το διάστημα, έτσι ώστε x2 > x1, ισχύει η ανισότητα f (x2) > f (x1). // ή καλείται η συνάρτηση αυξάνεται σε κάποιο διάστημα, εάν για οποιεσδήποτε τιμές του ορίσματος από αυτό το διάστημα, μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.//δηλ. όσο περισσότερο x, τόσο περισσότερο y.

Καλείται η συνάρτηση f μειώνεται σε κάποιο διάστημα, εάν για οποιεσδήποτε δύο τιμές του ορίσματος x1 και x2 από αυτό το διάστημα έτσι ώστε x2 > x1, η ανισότητα f(x2) μειώνεται σε κάποιο διάστημα, εάν για οποιεσδήποτε τιμές του ορίσματος από αυτό το διάστημα η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή της συνάρτησης. //εκείνοι. όσο περισσότερο x, τόσο λιγότερο y.

Εάν μια συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, τότε καλείται αυξανόμενη.

Εάν μια συνάρτηση μειωθεί σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, τότε καλείται μειώνεται.

Παράδειγμα 1.γραφική παράσταση αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης, αντίστοιχα.

Παράδειγμα 2.

Προσδιορίστε το φαινόμενο. αν γραμμική συνάρτηση f (x) = 3x + 5 αυξανόμενη ή φθίνουσα;

Απόδειξη. Ας χρησιμοποιήσουμε τους ορισμούς. Έστω x1 και x2 αυθαίρετες τιμές του ορίσματος και x1< x2., например х1=1, х2=7

Αφήστε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να καθοριστεί σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο. Η γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης , (Χ-τομέας ορισμού) είναι το σύνολο των σημείων αυτού του επιπέδου με συντεταγμένες, όπου .

Για να κατασκευάσετε ένα γράφημα, πρέπει να απεικονίσετε σε ένα επίπεδο ένα σύνολο σημείων των οποίων οι συντεταγμένες (x;y) σχετίζονται με τη σχέση.

Τις περισσότερες φορές, το γράφημα μιας συνάρτησης είναι κάποιο είδος καμπύλης.

Ο απλούστερος τρόπος για να σχεδιάσετε ένα γράφημα είναι να σχεδιάσετε με σημεία.

Καταρτίζεται ένας πίνακας στον οποίο η τιμή του ορίσματος βρίσκεται σε ένα κελί και η τιμή της συνάρτησης από αυτό το όρισμα βρίσκεται στο απέναντι κελί. Στη συνέχεια, τα σημεία που προκύπτουν σημειώνονται στο επίπεδο και χαράσσεται μια καμπύλη μέσα από αυτά.

Ένα παράδειγμα κατασκευής γραφήματος συνάρτησης χρησιμοποιώντας σημεία:

Ας φτιάξουμε ένα τραπέζι.

Τώρα ας φτιάξουμε ένα γράφημα.

Αλλά με αυτόν τον τρόπο δεν είναι πάντα δυνατό να κατασκευαστεί ένα αρκετά ακριβές γράφημα - για ακρίβεια πρέπει να λάβετε πολλούς πόντους. Επομένως, χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι μελέτης της συνάρτησης.

Το πλήρες ερευνητικό σχήμα της λειτουργίας είναι εξοικειωμένο με την τριτοβάθμια εκπαίδευση. εκπαιδευτικά ιδρύματα. Ένα από τα σημεία μελέτης μιας συνάρτησης είναι να βρούμε τα διαστήματα αύξησης (μείωσης) της συνάρτησης.

Μια συνάρτηση λέγεται ότι αυξάνεται (μειώνεται) σε ένα ορισμένο διάστημα εάν , για οποιαδήποτε x 2 και x 1 από αυτό το διάστημα, έτσι ώστε x 2 >x 1 .

Για παράδειγμα, μια συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, ανά διαστήματα αυξάνεται και μειώνεται στο διάστημα (-5;3). Δηλαδή στα διαστήματα Το πρόγραμμα ανηφορίζει. Και στο διάστημα (-5;3) «κατηφόρα».

Ένα άλλο σημείο στη μελέτη της συνάρτησης είναι η μελέτη της συνάρτησης για περιοδικότητα.

Μια συνάρτηση ονομάζεται περιοδική αν υπάρχει ένας αριθμός Τ τέτοιος ώστε .

Ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης. Για παράδειγμα, η συνάρτηση είναι περιοδική, εδώ η περίοδος είναι 2P, άρα

Παραδείγματα γραφημάτων περιοδικών συναρτήσεων:

Η περίοδος της πρώτης συνάρτησης είναι 3 και της δεύτερης είναι 4.

Μια συνάρτηση καλείται ακόμα και αν Παράδειγμα ομοιόμορφη λειτουργία y=x2.

Μια συνάρτηση ονομάζεται περιττή αν Παράδειγμα περιττής συνάρτησης y=x 3 .

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα op-amp (αξονική συμμετρία).

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή (κεντρική συμμετρία).

Παραδείγματα γραφημάτων άρτια (αριστερά) και περιττή (δεξιά) συνάρτηση.

Ορισμός αυξανόμενης συνάρτησης.

Λειτουργία y=f(x)αυξάνεται κατά το διάστημα Χ, εάν για κανένα και η ανισότητα ισχύει. Με άλλα λόγια, μια μεγαλύτερη τιμή ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη τιμή συνάρτησης.

Ορισμός φθίνουσας συνάρτησης.

Λειτουργία y=f(x)μειώνεται στο μεσοδιάστημα Χ, εάν για κανένα και η ανισότητα ισχύει . Με άλλα λόγια, μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: εάν η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής στα άκρα του αυξανόμενου ή φθίνοντος διαστήματος (α;β), δηλαδή όταν x=aΚαι x=b, τότε αυτά τα σημεία περιλαμβάνονται στο διάστημα αύξησης ή μείωσης. Αυτό δεν έρχεται σε αντίθεση με τους ορισμούς μιας αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης στο διάστημα Χ.

Για παράδειγμα, από τις ιδιότητες των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων γνωρίζουμε ότι y=sixκαθορισμένες και συνεχείς για όλες τις πραγματικές τιμές του ορίσματος. Επομένως, από την αύξηση της ημιτονοειδούς συνάρτησης στο διάστημα, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι αυξάνεται στο διάστημα.

Ακραία σημεία, άκρα μιας συνάρτησης.

Το σημείο λέγεται μέγιστο σημείολειτουργίες y=f(x), αν για όλους xαπό τη γειτονιά του ισχύει η ανισότητα. Καλείται η τιμή της συνάρτησης στο μέγιστο σημείο μέγιστο της συνάρτησηςκαι δηλώνουν .

Το σημείο λέγεται ελάχιστο σημείολειτουργίες y=f(x), αν για όλους xαπό τη γειτονιά του ισχύει η ανισότητα. Καλείται η τιμή της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο ελάχιστη λειτουργίακαι δηλώνουν .

Ως γειτονιά ενός σημείου νοείται το διάστημα , όπου είναι ένας αρκετά μικρός θετικός αριθμός.

Ο ελάχιστος και ο μέγιστος βαθμός καλούνται ακραία σημεία, και καλούνται οι τιμές συναρτήσεων που αντιστοιχούν στα ακραία σημεία άκρα της συνάρτησης.

Μην συγχέετε το άκρο μιας συνάρτησης με το μεγαλύτερο και χαμηλότερη τιμήλειτουργίες.

Στο πρώτο σχήμα, η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα επιτυγχάνεται στο μέγιστο σημείο και ισούται με το μέγιστο της συνάρτησης, και στο δεύτερο σχήμα - η υψηλότερη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται στο σημείο x=b, που δεν είναι μέγιστο σημείο.

Επαρκείς συνθήκες για αύξηση και μείωση συναρτήσεων.

Με βάση επαρκείς συνθήκες (σημάδια) για την αύξηση και τη μείωση μιας συνάρτησης, εντοπίζονται διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης.

Ακολουθούν οι διατυπώσεις των σημείων αύξησης και μείωσης των συναρτήσεων σε ένα διάστημα:

αν η παράγωγος της συνάρτησης y=f(x)θετικό για κανέναν xαπό το μεσοδιάστημα Χ, τότε η συνάρτηση αυξάνεται κατά Χ;

αν η παράγωγος της συνάρτησης y=f(x)αρνητικό για κανέναν xαπό το μεσοδιάστημα Χ, τότε η συνάρτηση μειώνεται κατά Χ.

Έτσι, για τον προσδιορισμό των διαστημάτων αύξησης και μείωσης μιας συνάρτησης, είναι απαραίτητο:

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα εύρεσης των διαστημάτων αύξησης και μείωσης των συναρτήσεων για να εξηγήσουμε τον αλγόριθμο.

Παράδειγμα.

Να βρείτε τα διαστήματα της αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης.

Διάλυμα.

Το πρώτο βήμα είναι να βρείτε τον ορισμό της συνάρτησης. Στο παράδειγμά μας, η έκφραση στον παρονομαστή δεν πρέπει να πάει στο μηδέν, επομένως, .

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση της παραγώγου της συνάρτησης:

Για να προσδιορίσουμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης μιας συνάρτησης με βάση ένα επαρκές κριτήριο, λύνουμε ανισώσεις στο πεδίο ορισμού. Ας χρησιμοποιήσουμε μια γενίκευση της μεθόδου διαστήματος. Η μόνη πραγματική ρίζα του αριθμητή είναι x = 2, και ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν στο x=0. Αυτά τα σημεία διαιρούν το πεδίο ορισμού σε διαστήματα στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης διατηρεί το πρόσημό της. Ας σημειώσουμε αυτά τα σημεία στην αριθμητική γραμμή. Συμβατικά δηλώνουμε με συν και πλην τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος είναι θετική ή αρνητική. Τα παρακάτω βέλη δείχνουν σχηματικά την αύξηση ή τη μείωση της συνάρτησης στο αντίστοιχο διάστημα.