Πώς να παραγοντοποιήσετε ένα τετραγωνικό τριώνυμο: τύπος. Αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες, μεθόδους και παραδείγματα αποσύνθεσης

Η παραγοντοποίηση μιας εξίσωσης είναι η διαδικασία εύρεσης εκείνων των όρων ή των εκφράσεων που, όταν πολλαπλασιαστούν, οδηγούν αρχική εξίσωση. Η παραγοντοποίηση είναι μια χρήσιμη δεξιότητα για την επίλυση βασικών προβλημάτων άλγεβρας και γίνεται σχεδόν απαραίτητη όταν εργάζεστε με τετραγωνικές εξισώσεις και άλλα πολυώνυμα. Η παραγοντοποίηση χρησιμοποιείται για την απλοποίηση αλγεβρικών εξισώσεων για να διευκολύνει την επίλυσή τους. Η παραγοντοποίηση μπορεί να σας βοηθήσει να εξαλείψετε ορισμένες πιθανές απαντήσεις πιο γρήγορα από ό,τι θα κάνατε λύνοντας μια εξίσωση με το χέρι.

Βήματα

Παραγοντοποίηση αριθμών και βασικές αλγεβρικές εκφράσεις

Αριθμοί Factoring.Η έννοια της παραγοντοποίησης είναι απλή, αλλά στην πράξη, η παραγοντοποίηση μπορεί να είναι δύσκολη (αν δίνεται μια σύνθετη εξίσωση). Επομένως, πρώτα, ας δούμε την έννοια της παραγοντοποίησης χρησιμοποιώντας τους αριθμούς ως παράδειγμα και ας συνεχίσουμε απλές εξισώσεις, και μετά προχωρήστε σε μιγαδικές εξισώσεις. Οι συντελεστές ενός δεδομένου αριθμού είναι οι αριθμοί που, όταν πολλαπλασιαστούν, δίνουν τον αρχικό αριθμό. Για παράδειγμα, οι συντελεστές του αριθμού 12 είναι οι αριθμοί: 1, 12, 2, 6, 3, 4, αφού 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.
- Ομοίως, μπορείτε να σκεφτείτε τους παράγοντες ενός αριθμού ως διαιρέτες του, δηλαδή τους αριθμούς με τους οποίους διαιρεί. δεδομένου αριθμού.
- Βρείτε όλους τους παράγοντες του αριθμού 60. Χρησιμοποιούμε συχνά τον αριθμό 60 (για παράδειγμα, 60 λεπτά σε μια ώρα, 60 δευτερόλεπτα σε ένα λεπτό κ.λπ.) και αυτός ο αριθμός έχει αρκετά μεγάλο αριθμό παραγόντων.
  - 60 πολλαπλασιαστές: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 και 60.
Θυμάμαι:Οι όροι μιας παράστασης που περιέχει έναν συντελεστή (αριθμό) και μια μεταβλητή μπορούν επίσης να παραγοντοποιηθούν. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε τους συντελεστές συντελεστών για τη μεταβλητή. Γνωρίζοντας πώς να συνυπολογίσετε τους όρους των εξισώσεων, μπορείτε εύκολα να απλοποιήσετε αυτήν την εξίσωση.
- Για παράδειγμα, ο όρος 12x μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο του 12 και του x. Μπορείτε επίσης να γράψετε το 12x ως 3(4x), 2(6x), κ.λπ., αναλύοντας το 12 στους παράγοντες που λειτουργούν καλύτερα για εσάς.
  - Μπορείτε να κάνετε 12x πολλές φορές στη σειρά. Με άλλα λόγια, δεν πρέπει να σταματήσετε στο 3(4x) ή στο 2(6x). συνεχίστε την επέκταση: 3(2(2x)) ή 2(3(2x)) (προφανώς 3(4x)=3(2(2x)) κ.λπ.)
Εφαρμόστε την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε αλγεβρικές εξισώσεις παραγόντων.Γνωρίζοντας πώς να συνυπολογίζετε αριθμούς και όρους παραστάσεων (συντελεστές με μεταβλητές), μπορείτε να απλοποιήσετε αλγεβρικές εξισώσεις, βρίσκοντας τον κοινό παράγοντα του αριθμού και του όρου της έκφρασης. Συνήθως, για να απλοποιήσετε μια εξίσωση, πρέπει να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα (GCD). Αυτή η απλοποίηση είναι δυνατή λόγω της διανεμητικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού: για οποιουσδήποτε αριθμούς a, b, c, η ισότητα a(b+c) = ab+ac είναι αληθής.
- Παράδειγμα. Υπολογίστε την εξίσωση 12x + 6. Αρχικά, βρείτε το gcd των 12x και 6. Το 6 είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί και το 12x και το 6, έτσι μπορείτε να συνυπολογίσετε αυτήν την εξίσωση με: 6(2x+1).
- Αυτή η διαδικασία ισχύει επίσης για εξισώσεις που έχουν αρνητικούς και κλασματικούς όρους. Για παράδειγμα, το x/2+4 μπορεί να συντελεστεί σε 1/2(x+8). Για παράδειγμα, το -7x+(-21) μπορεί να συντελεστεί σε -7(x+3).
Τετραγωνικές Εξισώσεις Factoring
1. Βεβαιωθείτε ότι η εξίσωση δίνεται σε τετραγωνική μορφή (ax 2 + bx + c = 0).Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις έχουν τη μορφή: ax 2 + bx + c = 0, όπου a, b, c είναι αριθμητικοί συντελεστές διαφορετικοί από το 0. Εάν σας δοθεί μια εξίσωση με μία μεταβλητή (x) και σε αυτή την εξίσωση υπάρχουν ένας ή περισσότεροι όροι με μια μεταβλητή δεύτερης τάξης , μπορείτε να μετακινήσετε όλους τους όρους της εξίσωσης στη μία πλευρά της εξίσωσης και να την ορίσετε ίση με το μηδέν.
  - Για παράδειγμα, δίνεται η εξίσωση: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Αυτό μπορεί να μετατραπεί στην εξίσωση x 2 + 6x + 9 = 0, η οποία είναι μια τετραγωνική εξίσωση.
  - Εξισώσεις με μεταβλητή x μεγάλων παραγγελιών, για παράδειγμα, x 3, x 4, κ.λπ. δεν είναι τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτές είναι κυβικές εξισώσεις, εξισώσεις τέταρτης τάξης και ούτω καθεξής (εκτός εάν τέτοιες εξισώσεις μπορούν να απλοποιηθούν σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις με τη μεταβλητή x αυξημένη στη δύναμη του 2).
2. Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις, όπου a = 1, επεκτείνονται σε (x+d)(x+e), όπου d*e=c και d+e=b.Εάν η τετραγωνική εξίσωση που σας δίνεται έχει τη μορφή: x 2 + bx + c = 0 (δηλαδή, ο συντελεστής x 2 είναι 1), τότε μια τέτοια εξίσωση μπορεί (αλλά δεν είναι εγγυημένη) να επεκταθεί στους παραπάνω παράγοντες. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε δύο αριθμούς που, όταν πολλαπλασιάζονται, δίνουν "c" και όταν προστίθενται, "b". Μόλις βρείτε αυτούς τους δύο αριθμούς (d και e), αντικαταστήστε τους με την ακόλουθη παράσταση: (x+d)(x+e), η οποία, όταν ανοίγετε τις παρενθέσεις, οδηγεί στην αρχική εξίσωση.
  - Για παράδειγμα, δίνεται μια τετραγωνική εξίσωση x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 και 3+2=5, έτσι μπορείτε να συνυπολογίσετε αυτήν την εξίσωση σε (x+3)(x+2).
  - Για αρνητικούς όρους, κάντε τις ακόλουθες μικρές αλλαγές στη διαδικασία παραγοντοποίησης:
    - Αν μια τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή x 2 -bx+c, τότε επεκτείνεται σε: (x-_)(x-_).
    - Αν μια τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή x 2 -bx-c, τότε επεκτείνεται σε: (x+_)(x-_).
  - Σημείωση: Τα κενά μπορούν να αντικατασταθούν με κλάσματα ή δεκαδικά. Για παράδειγμα, η εξίσωση x 2 + (21/2)x + 5 = 0 επεκτείνεται σε (x+10) (x+1/2).
3. Παραγοντοποίηση με δοκιμή και σφάλμα.Ακομπλεξάριστο τετραγωνικές εξισώσειςμπορεί να συνυπολογιστεί απλά συνδέοντας αριθμούς στις πιθανές λύσεις μέχρι να βρείτε τη σωστή λύση. Αν η εξίσωση έχει τη μορφή ax 2 +bx+c, όπου a>1, οι πιθανές λύσεις γράφονται με τη μορφή (dx +/- _)(ex +/- _), όπου d και e είναι μη μηδενικοί αριθμητικοί συντελεστές , που όταν πολλαπλασιαστούν δίνουν α. Είτε το d είτε το e (ή και οι δύο συντελεστές) μπορεί να είναι ίσο με 1. Εάν και οι δύο συντελεστές είναι ίσοι με 1, τότε χρησιμοποιήστε τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω.
  - Για παράδειγμα, δίνεται η εξίσωση 3x 2 - 8x + 4. Εδώ το 3 έχει μόνο δύο παράγοντες (3 και 1), επομένως οι πιθανές λύσεις γράφονται ως (3x +/- _)(x +/- _). Σε αυτήν την περίπτωση, αντικαθιστώντας τα κενά -2, θα βρείτε τη σωστή απάντηση: -2*3x=-6x και -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x και -2*-2=4, δηλαδή, μια τέτοια επέκταση κατά το άνοιγμα των αγκύλων θα οδηγήσει στους όρους της αρχικής εξίσωσης.

Τι σημαίνει Factoring; Αυτό σημαίνει την εύρεση αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με τον αρχικό αριθμό.

Για να καταλάβουμε τι σημαίνει παράγοντας, ας δούμε ένα παράδειγμα.

Ένα παράδειγμα παραγοντοποίησης ενός αριθμού

Υπολογίστε τον αριθμό 8.

Ο αριθμός 8 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο 2 επί 4:

Η αναπαράσταση του 8 ως γινόμενο 2 * 4 σημαίνει παραγοντοποίηση.

Σημειώστε ότι αυτή δεν είναι η μόνη παραγοντοποίηση του 8.

Τελικά, το 4 παραγοντοποιείται ως εξής:

Από εδώ μπορούν να αντιπροσωπευτούν 8:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Ας ελέγξουμε την απάντησή μας. Ας βρούμε με τι ισούται η παραγοντοποίηση:

Δηλαδή πήραμε τον αρχικό αριθμό, η απάντηση είναι σωστή.

Υπολογίστε τον αριθμό 24 σε πρώτους παράγοντες

Πώς να συνυπολογίσετε τον αριθμό 24 σε πρώτους παράγοντες;

Ένας αριθμός ονομάζεται πρώτος εάν διαιρείται μόνο με το ένα και τον εαυτό του.

Ο αριθμός 8 μπορεί να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο του 3 με το 8:

Εδώ παραγοντοποιείται ο αριθμός 24. Αλλά η ανάθεση λέει "παράγοντα τον αριθμό 24 σε πρώτους παράγοντες", δηλ. Είναι οι πρωταρχικοί παράγοντες που χρειάζονται. Και στην επέκτασή μας, το 3 είναι πρώτος παράγοντας και το 8 δεν είναι πρώτος παράγοντας.

Τα πολυώνυμα παραγοντοποίησης είναι ένας μετασχηματισμός ταυτότητας, ως αποτέλεσμα του οποίου ένα πολυώνυμο μετατρέπεται σε γινόμενο πολλών παραγόντων - πολυωνύμων ή μονοωνύμων.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι παραγοντοποίησης πολυωνύμων.

Μέθοδος 1. Αφαίρεση του κοινού παράγοντα εκτός παρενθέσεων.

Αυτός ο μετασχηματισμός βασίζεται στον κατανεμητικό νόμο του πολλαπλασιασμού: ac + bc = c(a + b). Η ουσία του μετασχηματισμού είναι να απομονωθεί ο κοινός παράγοντας στις δύο υπό εξέταση συνιστώσες και να «απομακρυνθεί από αγκύλες».

Ας συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο 28x 3 – 35x 4.

Διάλυμα.

1. Βρείτε έναν κοινό διαιρέτη για τα στοιχεία 28x3 και 35x4. Για 28 και 35 θα είναι 7? για x 3 και x 4 – x 3. Με άλλα λόγια, ο κοινός μας παράγοντας είναι 7x3.

2. Αντιπροσωπεύουμε καθένα από τα στοιχεία ως προϊόν παραγόντων, ένας από τους οποίους
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα από αγκύλες
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Μέθοδος 2. Χρήση συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού. Η «κυριότητα» της χρήσης αυτής της μεθόδου είναι να παρατηρήσετε έναν από τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού στην έκφραση.

Ας συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο x 6 – 1.

Διάλυμα.

1. Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο διαφοράς τετραγώνων σε αυτήν την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, φανταστείτε το x 6 ως (x 3) 2 και το 1 ως 1 2, δηλ. 1. Η έκφραση θα έχει τη μορφή:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο για το άθροισμα και τη διαφορά των κύβων στην παράσταση που προκύπτει:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Ετσι,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Μέθοδος 3. Ομαδοποίηση. Η μέθοδος ομαδοποίησης περιλαμβάνει το συνδυασμό των συστατικών ενός πολυωνύμου με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι εύκολο να εκτελεστούν πράξεις σε αυτά (πρόσθεση, αφαίρεση, αφαίρεση κοινού παράγοντα).

Ας συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Διάλυμα.

1. Ας ομαδοποιήσουμε τα συστατικά με αυτόν τον τρόπο: 1η με 2η και 3η με 4η
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Στην παράσταση που προκύπτει, βγάζουμε τους κοινούς παράγοντες από αγκύλες: x 2 στην πρώτη περίπτωση και 5 στη δεύτερη.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα x – 3 από αγκύλες και παίρνουμε:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Ετσι,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Ας εξασφαλίσουμε το υλικό.

Συντελεστής το πολυώνυμο a 2 – 7ab + 12b 2 .

Διάλυμα.

1. Ας παραστήσουμε το μονώνυμο 7ab ως άθροισμα 3ab + 4ab. Η έκφραση θα έχει τη μορφή:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας πάρουμε:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Ας ομαδοποιήσουμε τα συστατικά του πολυωνύμου με αυτόν τον τρόπο: 1ος με 2ο και 3ος με 4ο. Παίρνουμε:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Ας βγάλουμε τους κοινούς παράγοντες εκτός παρενθέσεων:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Ας βγάλουμε από αγκύλες τον κοινό παράγοντα (a – 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Ετσι,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την αρχική πηγή.

Τι έγινε παραγοντοποίηση;Αυτός είναι ένας τρόπος να μετατρέψετε ένα άβολο και πολύπλοκο παράδειγμα σε απλό και χαριτωμένο.) Μια πολύ δυνατή τεχνική! Βρίσκεται σε κάθε βήμα τόσο στα δημοτικά όσο και στα ανώτερα μαθηματικά.

Τέτοιοι μετασχηματισμοί στη μαθηματική γλώσσα ονομάζονται πανομοιότυποι μετασχηματισμοί εκφράσεων. Για όσους δεν το γνωρίζουν, ρίξτε μια ματιά στον σύνδεσμο. Υπάρχουν πολύ λίγα, απλά και χρήσιμα.) Το νόημα κάθε μετασχηματισμού ταυτότητας είναι η καταγραφή της έκφρασης σε άλλη μορφήδιατηρώντας παράλληλα την ουσία του.

Εννοια παραγοντοποίησηεξαιρετικά απλό και ξεκάθαρο. Ακριβώς από το ίδιο το όνομα. Μπορεί να ξεχάσετε (ή να μην ξέρετε) τι είναι ο πολλαπλασιαστής, αλλά μπορείτε να καταλάβετε ότι αυτή η λέξη προέρχεται από τη λέξη "πολλαπλασιάζω";) Factoring σημαίνει: αντιπροσωπεύουν μια έκφραση με τη μορφή πολλαπλασιασμού κάτι με κάτι. Να με συγχωρήσουν τα μαθηματικά και η ρωσική γλώσσα...) Αυτό είναι όλο.

Για παράδειγμα, πρέπει να αναπτύξετε τον αριθμό 12. Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια:

Έτσι παρουσιάσαμε τον αριθμό 12 ως πολλαπλασιασμό του 3 με το 4. Σημειώστε ότι οι αριθμοί στα δεξιά (3 και 4) είναι εντελώς διαφορετικοί από ό,τι στα αριστερά (1 και 2). Αλλά καταλαβαίνουμε πολύ καλά ότι 12 και 3 4 ίδιος ακριβώς.Η ουσία του αριθμού 12 από τη μεταμόρφωση δεν έχει αλλάξει.

Είναι δυνατόν να αποσυντεθεί 12 διαφορετικά; Εύκολα!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Οι επιλογές αποσύνθεσης είναι ατελείωτες.

Η παραγοντοποίηση αριθμών είναι χρήσιμη. Βοηθάει πολύ, για παράδειγμα, όταν δουλεύεις με ρίζες. Αλλά η παραγοντοποίηση αλγεβρικών εκφράσεων δεν είναι μόνο χρήσιμη, αλλά και χρήσιμη απαραίτητος!Απλώς για παράδειγμα:

Απλοποιώ:

Όσοι δεν ξέρουν πώς να παραγοντοποιούν μια έκφραση μένουν στο περιθώριο. Όσοι ξέρουν πώς - απλοποιήστε και αποκτήστε:

Το αποτέλεσμα είναι εκπληκτικό, σωστά;) Παρεμπιπτόντως, η λύση είναι αρκετά απλή. Θα το δείτε μόνοι σας παρακάτω. Ή, για παράδειγμα, αυτή η εργασία:

Λύστε την εξίσωση:

x 5 - x 4 = 0

Αποφασίζεται στο μυαλό, παρεμπιπτόντως. Χρήση παραγοντοποίησης. Θα λύσουμε αυτό το παράδειγμα παρακάτω. Απάντηση: x 1 = 0; x 2 = 1.

Ή, το ίδιο πράγμα, αλλά για τους μεγαλύτερους):

Λύστε την εξίσωση:

Σε αυτά τα παραδείγματα έδειξα κύριος σκοπόςπαραγοντοποίηση: απλοποίηση κλασματικών εκφράσεων και επίλυση ορισμένων ειδών εξισώσεων. Ακολουθεί ένας εμπειρικός κανόνας που πρέπει να θυμάστε:

Αν έχουμε μια τρομακτική κλασματική έκφραση μπροστά μας, μπορούμε να δοκιμάσουμε να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Πολύ συχνά το κλάσμα μειώνεται και απλοποιείται.

Εάν έχουμε μια εξίσωση μπροστά μας, όπου στα δεξιά υπάρχει το μηδέν και στα αριστερά - δεν καταλαβαίνω τι, μπορούμε να προσπαθήσουμε να παραγοντοποιήσουμε την αριστερή πλευρά. Μερικές φορές βοηθάει).

Βασικές μέθοδοι παραγοντοποίησης.

Εδώ είναι οι πιο δημοφιλείς μέθοδοι:

4. Διεύρυνση τετραγωνικού τριωνύμου.

Αυτές οι μέθοδοι πρέπει να θυμόμαστε. Ακριβώς με αυτή τη σειρά. Ελέγχονται σύνθετα παραδείγματα για όλα πιθανούς τρόπουςαποσύνθεση.Και είναι καλύτερο να το ελέγξετε με τη σειρά για να μην μπερδευτούμε... Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με τη σειρά.)

1. Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.

Ένας απλός και αξιόπιστος τρόπος. Δεν βγαίνει τίποτα κακό από αυτόν! Συμβαίνει είτε καλά είτε καθόλου.) Γι’ αυτό έρχεται πρώτος. Ας το καταλάβουμε.

Όλοι γνωρίζουν (πιστεύω!) τον κανόνα:

a(b+c) = ab+ac

Ή, περισσότερο γενική άποψη:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Όλες οι ισότητες λειτουργούν και από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα, από δεξιά προς τα αριστερά. Μπορείτε να γράψετε:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = α(β+γ+δ+.....)

Αυτό είναι όλο το νόημα να βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.

Στην αριστερή πλευρά ΕΝΑ - κοινός πολλαπλασιαστήςγια όλους τους όρους. Πολλαπλασιάζεται με όλα όσα υπάρχουν). Στα δεξιά είναι τα περισσότερα ΕΝΑβρίσκεται ήδη έξω από τις αγκύλες.

Πρακτική ΕφαρμογήΑς δούμε τη μέθοδο χρησιμοποιώντας παραδείγματα. Στην αρχή η επιλογή είναι απλή, ακόμη και πρωτόγονη.) Αλλά σε αυτήν την επιλογή θα σημειώσω ( πράσινος) πολύ σημαντικά σημεία για κάθε παραγοντοποίηση.

Παραγοντοποιήστε:

αχ+9χ

Ο οποίος γενικόςεμφανίζεται ο πολλαπλασιαστής και στους δύο όρους; Χ φυσικά! Θα το βάλουμε εκτός παρένθεσης. Ας το κάνουμε αυτό. Γράφουμε αμέσως Χ έξω από τις αγκύλες:

ax+9x=x(

Και σε παρένθεση γράφουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης κάθε όροςσε αυτό ακριβώς το Χ. Με σειρά:

Αυτό είναι όλο. Φυσικά, δεν χρειάζεται να το περιγράψω με τόση λεπτομέρεια, αυτό γίνεται στο μυαλό. Αλλά καλό είναι να καταλάβουμε τι είναι τι). Καταγράφουμε στη μνήμη:

Γράφουμε τον κοινό παράγοντα έξω από τις αγκύλες. Σε παρένθεση γράφουμε τα αποτελέσματα της διαίρεσης όλων των όρων με αυτόν τον κοινό παράγοντα. Κατά σειρά.

Επεκτείναμε λοιπόν την έκφραση αχ+9χμε πολλαπλασιαστές. Το μετέτρεψε σε πολλαπλασιασμό του x επί (α+9).Σημειώνω ότι στην αρχική έκφραση υπήρχε επίσης ένας πολλαπλασιασμός, έστω και δύο: a·x και 9·x.Αλλά αυτό δεν παραγοντοποιήθηκε!Γιατί εκτός από πολλαπλασιασμό, αυτή η έκφραση περιείχε και πρόσθεση, το πρόσημο «+»! Και στην έκφραση x(a+9) Δεν υπάρχει τίποτα άλλο από τον πολλαπλασιασμό!

Πώς έτσι!? - Ακούω την αγανακτισμένη φωνή του κόσμου - Και σε παρένθεση!;)

Ναι, υπάρχει προσθήκη μέσα στην παρένθεση. Αλλά το κόλπο είναι ότι ενώ οι αγκύλες δεν ανοίγουν, τις εξετάζουμε σαν ένα γράμμα.Και κάνουμε όλες τις ενέργειες με αγκύλες εξ ολοκλήρου, όπως με ένα γράμμα.Υπό αυτή την έννοια, στην έκφραση x(a+9)Δεν υπάρχει τίποτα εκτός από τον πολλαπλασιασμό. Αυτό είναι όλο το νόημα της παραγοντοποίησης.

Παρεμπιπτόντως, είναι δυνατόν να ελέγξουμε με κάποιο τρόπο αν τα κάναμε όλα σωστά; Εύκολα! Αρκεί να πολλαπλασιάσετε αυτό που βάλατε (x) με αγκύλες και να δείτε αν λειτούργησε πρωτότυποέκφραση; Αν λειτουργεί, όλα είναι υπέροχα!)

x(a+9)=ax+9x

Λειτούργησε.)

Δεν υπάρχουν προβλήματα σε αυτό το πρωτόγονο παράδειγμα. Αν όμως υπάρχουν αρκετοί όροι, και μάλιστα με διαφορετικά σημάδια... Εν ολίγοις, κάθε τρίτος μαθητής μπλέκει). Επομένως:

Εάν χρειάζεται, ελέγξτε την παραγοντοποίηση με αντίστροφο πολλαπλασιασμό.

Παραγοντοποιήστε:

3ax+9x

Αναζητούμε έναν κοινό παράγοντα. Λοιπόν, όλα είναι ξεκάθαρα με το Χ, μπορεί να αφαιρεθεί. Υπάρχει κι άλλο γενικόςπαράγοντας; Ναί! Αυτό είναι ένα τρία. Μπορείτε να γράψετε την έκφραση ως εξής:

3ax+3 3x

Εδώ είναι αμέσως ξεκάθαρο ότι ο κοινός παράγοντας θα είναι 3x. Εδώ το βγάζουμε:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Απλώστε.

Τι γίνεται αν το βγάλεις μόνο x;Τίποτα το ιδιαίτερο:

3ax+9x=x(3a+9)

Αυτό θα είναι και παραγοντοποίηση. Αλλά σε αυτή τη συναρπαστική διαδικασία, συνηθίζεται να τα βάζουμε όλα στο όριο όσο υπάρχει η ευκαιρία. Εδώ σε αγκύλες υπάρχει η ευκαιρία να βάλετε ένα τρία. Θα αποδειχθεί:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Το ίδιο πράγμα, μόνο με μια επιπλέον ενέργεια.) Θυμηθείτε:

Όταν βγάζουμε τον κοινό παράγοντα από αγκύλες, προσπαθούμε να βγάλουμε ανώτατο όριοκοινός παράγοντας.

Συνεχίζουμε τη διασκέδαση;)

Υπολογίστε την έκφραση:

3akh+9х-8а-24

Τι θα αφαιρέσουμε; Τρία, Χ; Όχι... Δεν μπορείς. Σας υπενθυμίζω ότι μπορείτε μόνο να βγάλετε γενικόςπολλαπλασιαστής δηλαδή σε όλαόρους της έκφρασης. Γι' αυτό εκείνος γενικός.Δεν υπάρχει τέτοιος πολλαπλασιαστής εδώ... Τι, δεν χρειάζεται να το επεκτείνετε!; Λοιπόν, ναι, ήμασταν τόσο χαρούμενοι... Γνωρίστε:

2. Ομαδοποίηση.

Στην πραγματικότητα, η ομαδοποίηση δύσκολα μπορεί να ονομαστεί ανεξάρτητη μέθοδος παραγοντοποίησης. Είναι περισσότερο ένας τρόπος να βγεις έξω σύνθετο παράδειγμα.) Πρέπει να ομαδοποιήσουμε τους όρους έτσι ώστε όλα να πάνε καλά. Αυτό μπορεί να φανεί μόνο με παράδειγμα. Έτσι, έχουμε την έκφραση:

3akh+9х-8а-24

Μπορεί να φανεί ότι υπάρχουν μερικά κοινά γράμματα και αριθμοί. Αλλά... Γενικόςδεν υπάρχει πολλαπλασιαστής σε όλους τους όρους. Ας μην χάσουμε την καρδιά μας και σπάστε την έκφραση σε κομμάτια.Ομαδοποίηση. Έτσι ώστε κάθε κομμάτι να έχει έναν κοινό παράγοντα, υπάρχει κάτι να αφαιρέσετε. Πώς το σπάμε; Ναι, απλά βάζουμε παρενθέσεις.

Να σας υπενθυμίσω ότι οι παρενθέσεις μπορούν να τοποθετηθούν οπουδήποτε και όπως θέλετε. Μόνο η ουσία του παραδείγματος δεν έχει αλλάξει.Για παράδειγμα, μπορείτε να κάνετε αυτό:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8α+24)

Παρακαλώ δώστε προσοχή στις δεύτερες αγκύλες! Προηγείται το σύμβολο μείον και 8αΚαι 24 έγινε θετικός! Αν, για έλεγχο, ανοίξουμε τις αγκύλες πίσω, τα σημάδια θα αλλάξουν, και παίρνουμε πρωτότυποέκφραση. Εκείνοι. η ουσία της έκφρασης από τις αγκύλες δεν έχει αλλάξει.

Αλλά αν μόλις εισαγάγατε παρενθέσεις χωρίς να λάβετε υπόψη την αλλαγή του πρόσημου, για παράδειγμα, ως εξής:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8α-24 )

θα ήταν λάθος. Στα δεξιά - ήδη άλλοςέκφραση. Ανοίξτε τις αγκύλες και όλα θα γίνουν ορατά. Δεν χρειάζεται να αποφασίσετε περαιτέρω, ναι...)

Ας επιστρέψουμε όμως στην παραγοντοποίηση. Ας δούμε τις πρώτες αγκύλες (3ax+9x)και σκεφτόμαστε, υπάρχει κάτι που μπορούμε να βγάλουμε; Λοιπόν, λύσαμε αυτό το παράδειγμα παραπάνω, μπορούμε να το πάρουμε 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Ας μελετήσουμε τις δεύτερες αγκύλες, μπορούμε να προσθέσουμε ένα οκτώ εκεί:

(8a+24)=8(a+3)

Ολόκληρη η έκφρασή μας θα είναι:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Factored; Οχι. Το αποτέλεσμα της αποσύνθεσης πρέπει να είναι μόνο πολλαπλασιασμόςαλλά μαζί μας το μείον τα χαλάει όλα. Όμως... Και οι δύο όροι έχουν έναν κοινό παράγοντα! Αυτό (a+3). Δεν ήταν τυχαίο που είπα ότι ολόκληρες οι αγκύλες είναι, σαν να λέγαμε, ένα γράμμα. Αυτό σημαίνει ότι αυτές οι αγκύλες μπορούν να αφαιρεθούν από αγκύλες. Ναι, αυτό ακριβώς ακούγεται.)

Κάνουμε όπως περιγράφεται παραπάνω. Γράφουμε τον κοινό παράγοντα (a+3), στις δεύτερες αγκύλες γράφουμε τα αποτελέσματα της διαίρεσης των όρων με (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Ολοι! Δεν υπάρχει τίποτα στα δεξιά εκτός από τον πολλαπλασιασμό! Αυτό σημαίνει ότι η παραγοντοποίηση ολοκληρώθηκε με επιτυχία!) Εδώ είναι:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Ας επαναλάβουμε εν συντομία την ουσία της ομάδας.

Αν η έκφραση δεν το κάνει γενικόςπολλαπλασιαστής για καθέναςόρους, σπάμε την έκφραση σε αγκύλες έτσι ώστε μέσα στις αγκύλες ο κοινός παράγοντας ήταν.Το βγάζουμε και βλέπουμε τι θα γίνει. Εάν είστε τυχεροί και υπάρχουν απολύτως πανομοιότυπες εκφράσεις στις αγκύλες, μετακινούμε αυτές τις αγκύλες εκτός αγκύλων.

Θα προσθέσω ότι η ομαδοποίηση είναι μια δημιουργική διαδικασία). Δεν βγαίνει πάντα την πρώτη φορά. Είναι εντάξει. Μερικές φορές πρέπει να ανταλλάξετε όρους και να σκεφτείτε διαφορετικές επιλογέςομάδες μέχρι να βρεθεί μια επιτυχημένη. Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην χάσετε την καρδιά!)

Παραδείγματα.

Τώρα, έχοντας εμπλουτιστεί με γνώσεις, μπορείτε να λύσετε δύσκολα παραδείγματα.) Στην αρχή του μαθήματος υπήρχαν τρία από αυτά...

Απλοποιώ:

Στην ουσία, έχουμε ήδη λύσει αυτό το παράδειγμα. Εν αγνοία μας.) Σας υπενθυμίζω: αν μας δοθεί ένα τρομερό κλάσμα, προσπαθούμε να συνυπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Άλλες επιλογές απλοποίησης απλά όχι.

Λοιπόν, εδώ δεν επεκτείνεται ο παρονομαστής, αλλά ο αριθμητής... Έχουμε ήδη επεκτείνει τον αριθμητή κατά τη διάρκεια του μαθήματος! Τοιουτοτροπώς:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Γράφουμε το αποτέλεσμα της επέκτασης στον αριθμητή του κλάσματος:

Σύμφωνα με τον κανόνα της αναγωγής των κλασμάτων (η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος), μπορούμε να διαιρέσουμε (ταυτόχρονα!) τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, ή έκφραση. Κλάσμα από αυτό δεν αλλάζει.Άρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την παράσταση (3x-8). Και που και που θα πάρουμε. Το τελικό αποτέλεσμα της απλοποίησης:

Θα ήθελα να τονίσω ιδιαίτερα: η μείωση ενός κλάσματος είναι δυνατή εάν και μόνο εάν είναι στον αριθμητή και στον παρονομαστή, εκτός από τον πολλαπλασιασμό των παραστάσεων δεν υπάρχει τίποτα.Γι' αυτό και η μετατροπή του αθροίσματος (διαφορά) σε πολλαπλασιασμόςτόσο σημαντικό για την απλοποίηση. Φυσικά, αν οι εκφράσεις διαφορετικός,τότε τίποτα δεν θα μειωθεί. Θα συμβεί. Αλλά παραγοντοποίηση δίνει μια ευκαιρία.Αυτή η ευκαιρία χωρίς αποσύνθεση απλά δεν υπάρχει.

Παράδειγμα με εξίσωση:

Λύστε την εξίσωση:

x 5 - x 4 = 0

Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα x 4εκτός παρενθέσεων. Παίρνουμε:

x 4 (x-1)=0

Αντιλαμβανόμαστε ότι το γινόμενο των παραγόντων είναι ίσο με μηδέν τότε και μόνο τότε,όταν κάποιο από αυτά είναι μηδέν. Εάν έχετε αμφιβολίες, βρείτε μου μερικούς μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δίνουν μηδέν.) Έτσι γράφουμε, πρώτα τον πρώτο παράγοντα:

Με μια τέτοια ισότητα, ο δεύτερος παράγοντας δεν μας αφορά. Ο καθένας μπορεί να είναι, αλλά στο τέλος θα είναι ακόμα μηδέν. Ποιος αριθμός στην τέταρτη δύναμη δίνει το μηδέν; Μόνο μηδέν! Και κανένα άλλο... Επομένως:

Καταλάβαμε τον πρώτο παράγοντα και βρήκαμε μια ρίζα. Ας δούμε τον δεύτερο παράγοντα. Τώρα δεν μας ενδιαφέρει πια ο πρώτος παράγοντας.):

Εδώ βρήκαμε μια λύση: x 1 = 0; x 2 = 1. Οποιαδήποτε από αυτές τις ρίζες ταιριάζει στην εξίσωσή μας.

Πολύ σημαντική σημείωση. Σημειώστε ότι λύσαμε την εξίσωση κομμάτι κομμάτι!Κάθε παράγοντας ήταν ίσος με μηδέν, ανεξάρτητα από άλλους παράγοντες.Παρεμπιπτόντως, αν σε μια τέτοια εξίσωση δεν υπάρχουν δύο παράγοντες, όπως ο δικός μας, αλλά τρεις, πέντε, όσοι θέλετε, θα λύσουμε ακριβώς το ίδιο.Κομμάτι-κομμάτι. Για παράδειγμα:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Όποιος ανοίξει τις αγκύλες και πολλαπλασιάσει τα πάντα θα μείνει για πάντα σε αυτή την εξίσωση.) Ένας σωστός μαθητής θα δει αμέσως ότι δεν υπάρχει τίποτα στα αριστερά εκτός από τον πολλαπλασιασμό και το μηδέν στα δεξιά. Και θα αρχίσει (στο μυαλό του!) να εξισώνει όλες τις αγκύλες με σκοπό το μηδέν. Και θα βρει (σε 10 δευτερόλεπτα!) τη σωστή λύση: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Cool, σωστά;) Μια τέτοια κομψή λύση είναι δυνατή εάν η αριστερή πλευρά της εξίσωσης παραγοντοποιούνται.Καταλάβατε την υπόδειξη;)

Λοιπόν, ένα τελευταίο παράδειγμα, για τους παλαιότερους):

Λύστε την εξίσωση:

Είναι κάπως παρόμοιο με το προηγούμενο, δεν νομίζετε;) Φυσικά. Ήρθε η ώρα να θυμηθούμε ότι στην άλγεβρα της έβδομης δημοτικού, τα ημιτόνια, οι λογάριθμοι και οτιδήποτε άλλο μπορούν να κρυφτούν κάτω από τα γράμματα! Το Factoring λειτουργεί σε όλα τα μαθηματικά.

Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα lg 4 xεκτός παρενθέσεων. Παίρνουμε:

log 4 x=0

Αυτή είναι μια ρίζα. Ας δούμε τον δεύτερο παράγοντα.

Εδώ είναι η τελική απάντηση: x 1 = 1; x 2 = 10.

Ελπίζω να έχετε συνειδητοποιήσει τη δύναμη της παραγοντοποίησης στην απλοποίηση των κλασμάτων και στην επίλυση εξισώσεων.)

Σε αυτό το μάθημα μάθαμε για την κοινή παραγοντοποίηση και ομαδοποίηση. Μένει να κατανοήσουμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό και το τετραγωνικό τριώνυμο.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Σε αυτό το άρθρο θα βρείτε όλες τις απαραίτητες πληροφορίες για να απαντήσετε στην ερώτηση, πώς να συνυπολογίσετε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες. Αρχικά, δίνεται μια γενική ιδέα της αποσύνθεσης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες και δίνονται παραδείγματα αποσυνθέσεων. Το παρακάτω δείχνει την κανονική μορφή της αποσύνθεσης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Μετά από αυτό, δίνεται ο αλγόριθμος αποσύνθεσης αυθαίρετους αριθμούςσε πρώτους παράγοντες και δίνονται παραδείγματα αποσύνθεσης αριθμών με χρήση αυτού του αλγόριθμου. Εξετάζονται επίσης εναλλακτικές μέθοδοι που σας επιτρέπουν να συνυπολογίζετε γρήγορα μικρούς ακέραιους σε πρώτους παράγοντες χρησιμοποιώντας τεστ διαιρετότητας και πίνακες πολλαπλασιασμού.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι σημαίνει να συνυπολογίζουμε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες;

Αρχικά, ας δούμε ποιοι είναι οι κύριοι παράγοντες.

Είναι σαφές ότι εφόσον η λέξη «παράγοντες» υπάρχει σε αυτή τη φράση, τότε υπάρχει γινόμενο ορισμένων αριθμών και η χαρακτηριστική λέξη «απλός» σημαίνει ότι κάθε παράγοντας είναι πρώτος αριθμός. Για παράδειγμα, σε ένα γινόμενο της μορφής 2·7·7·23 υπάρχουν τέσσερις πρώτοι παράγοντες: 2, 7, 7 και 23.

Τι σημαίνει να συνυπολογίζουμε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες;

Αυτό σημαίνει ότι αυτός ο αριθμός πρέπει να παριστάνεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων και η τιμή αυτού του γινόμενου πρέπει να είναι ίση με τον αρχικό αριθμό. Για παράδειγμα, θεωρήστε το γινόμενο τριών πρώτων αριθμών 2, 3 και 5, είναι ίσο με 30, επομένως η αποσύνθεση του αριθμού 30 σε πρώτους παράγοντες είναι 2·3·5. Συνήθως η αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες γράφεται ως ισότητα στο παράδειγμά μας θα είναι ως εξής: 30=2·3·5. Τονίζουμε χωριστά ότι οι κύριοι παράγοντες στην επέκταση μπορούν να επαναληφθούν. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα από το ακόλουθο παράδειγμα: 144=2·2·2·2·3·3. Όμως μια αναπαράσταση της μορφής 45=3·15 δεν είναι αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες, αφού ο αριθμός 15 είναι σύνθετος αριθμός.

Τίθεται το εξής ερώτημα: «Ποιοι αριθμοί μπορούν να αναλυθούν σε πρώτους παράγοντες;»

Αναζητώντας μια απάντηση σε αυτό, παρουσιάζουμε το ακόλουθο σκεπτικό. Οι πρώτοι αριθμοί, εξ ορισμού, είναι μεταξύ αυτών που είναι μεγαλύτεροι του ενός. Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός και , μπορεί να υποστηριχθεί ότι το γινόμενο πολλών πρώτων παραγόντων είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από ένα. Επομένως, η παραγοντοποίηση πραγματοποιείται μόνο για θετικούς ακέραιους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από 1.

Μπορούν όμως όλοι οι ακέραιοι αριθμοί μεγαλύτεροι του ενός να συνυπολογιστούν σε πρώτους παράγοντες;

Είναι σαφές ότι δεν είναι δυνατόν να παραγοντοποιήσουμε απλούς ακέραιους σε πρώτους παράγοντες. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι οι πρώτοι αριθμοί έχουν μόνο δύο θετικούς διαιρέτες - έναν και τον εαυτό τους, επομένως δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως γινόμενο δύο ή περισσότεροπρώτους αριθμούς. Εάν ο ακέραιος z μπορούσε να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο των πρώτων αριθμών a και b, τότε η έννοια της διαιρετότητας θα μας επέτρεπε να συμπεράνουμε ότι το z διαιρείται τόσο με το a όσο και με το b, κάτι που είναι αδύνατο λόγω της απλότητας του αριθμού z. Ωστόσο, πιστεύουν ότι οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός είναι από μόνος του μια αποσύνθεση.

Τι γίνεται με τους σύνθετους αριθμούς; Οι σύνθετοι αριθμοί διασπώνται σε πρώτους παράγοντες και όλοι οι σύνθετοι αριθμοί υπόκεινται σε τέτοια αποσύνθεση; Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής δίνει μια καταφατική απάντηση σε μια σειρά από αυτά τα ερωτήματα. Το βασικό θεώρημα της αριθμητικής δηλώνει ότι κάθε ακέραιος αριθμός a που είναι μεγαλύτερος από 1 μπορεί να αποσυντεθεί στο γινόμενο των πρώτων παραγόντων p 1, p 2, ..., p n, και η αποσύνθεση έχει τη μορφή a = p 1 · p 2 · … · p n, και αυτή η επέκταση είναι μοναδική, αν δεν λάβετε υπόψη τη σειρά των παραγόντων

Κανονική παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες

Στην επέκταση ενός αριθμού, μπορούν να επαναληφθούν πρώτοι παράγοντες. Οι επαναλαμβανόμενοι πρώτοι παράγοντες μπορούν να γραφτούν πιο συμπαγή χρησιμοποιώντας . Έστω στην αποσύνθεση ενός αριθμού ο πρώτος παράγοντας p 1 εμφανίζεται s 1 φορές, ο πρώτος παράγοντας p 2 – s 2 φορές, και ούτω καθεξής, p n – s n φορές. Τότε η παραγοντοποίηση του πρώτου αριθμού a μπορεί να γραφτεί ως a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Αυτή η μορφή εγγραφής είναι η λεγόμενη κανονική παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα της κανονικής αποσύνθεσης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Ενημερώστε μας την αποσύνθεση 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, η κανονική του σημειογραφία έχει τη μορφή 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Η κανονική παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες σας επιτρέπει να βρείτε όλους τους διαιρέτες του αριθμού και τον αριθμό των διαιρετών του αριθμού.

Αλγόριθμος για την παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες

Για να αντιμετωπίσετε με επιτυχία το έργο της αποσύνθεσης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες, πρέπει να έχετε πολύ καλή γνώση των πληροφοριών στο άρθρο πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί.

Η ουσία της διαδικασίας αποσύνθεσης ενός θετικού ακέραιου αριθμού α που υπερβαίνει το ένα είναι ξεκάθαρη από την απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής. Το θέμα είναι να βρούμε διαδοχικά τους μικρότερους πρώτους διαιρέτες p 1, p 2, ..., p n των αριθμών a, a 1, a 2, ..., a n-1, που μας επιτρέπει να λάβουμε μια σειρά από ισότητες a=p 1 ·a 1, όπου a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, όπου a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , όπου a n =a n-1:p n . Όταν αποδειχθεί a n =1, τότε η ισότητα a=p 1 ·p 2 ·…·p n θα μας δώσει την επιθυμητή αποσύνθεση του αριθμού a σε πρώτους παράγοντες. Πρέπει επίσης να σημειωθεί εδώ ότι p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Απομένει να καταλάβουμε πώς να βρούμε τους μικρότερους πρώτους παράγοντες σε κάθε βήμα και θα έχουμε έναν αλγόριθμο για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Ένας πίνακας πρώτων αριθμών θα μας βοηθήσει να βρούμε πρώτους παράγοντες. Ας δείξουμε πώς να το χρησιμοποιήσουμε για να λάβουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του αριθμού z.

Παίρνουμε διαδοχικά πρώτους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών (2, 3, 5, 7, 11 κ.ο.κ.) και διαιρούμε τον αριθμό z με αυτούς. Ο πρώτος πρώτος αριθμός με τον οποίο διαιρείται ομοιόμορφα το z θα είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του. Εάν ο αριθμός z είναι πρώτος, τότε ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του θα είναι ο ίδιος ο αριθμός z. Θα πρέπει επίσης να υπενθυμίσουμε εδώ ότι εάν το z δεν είναι περιττός αριθμός, τότε ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του δεν υπερβαίνει τον αριθμό , όπου είναι από το z. Έτσι, εάν μεταξύ των πρώτων αριθμών που δεν υπερβαίνουν το , δεν υπήρχε ούτε ένας διαιρέτης του αριθμού z, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο z είναι πρώτος αριθμός (περισσότερα σχετικά με αυτό γράφονται στο τμήμα θεωρίας κάτω από την επικεφαλίδα Αυτός ο αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος ).

Για παράδειγμα, θα δείξουμε πώς να βρείτε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του αριθμού 87. Ας πάρουμε τον αριθμό 2. Διαιρέστε το 87 με το 2, παίρνουμε 87:2=43 (υπόλοιπο 1) (αν χρειάζεται, δείτε το άρθρο). Δηλαδή, όταν διαιρούμε το 87 με το 2, το υπόλοιπο είναι 1, άρα το 2 δεν είναι διαιρέτης του αριθμού 87. Παίρνουμε τον επόμενο πρώτο αριθμό από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, αυτός είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 87 με το 3, παίρνουμε 87:3=29. Έτσι, το 87 διαιρείται με το 3, επομένως, ο αριθμός 3 είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού 87.

Σημειώστε ότι σε γενική περίπτωσηΓια να συνυπολογίσουμε τον αριθμό α σε πρώτους παράγοντες, χρειαζόμαστε έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς μέχρι έναν αριθμό όχι μικρότερο από . Θα πρέπει να αναφερόμαστε σε αυτόν τον πίνακα σε κάθε βήμα, επομένως πρέπει να τον έχουμε στη διάθεσή μας. Για παράδειγμα, για να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό 95 σε πρώτους παράγοντες, θα χρειαστούμε μόνο έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς μέχρι το 10 (καθώς το 10 είναι μεγαλύτερο από ). Και για να αποσυνθέσετε τον αριθμό 846.653, θα χρειαστείτε ήδη έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς μέχρι το 1.000 (καθώς το 1.000 είναι μεγαλύτερο από ).

Τώρα έχουμε αρκετές πληροφορίες για να γράψουμε αλγόριθμος για την παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Ο αλγόριθμος για την αποσύνθεση του αριθμού α είναι ο εξής:

Ταξινομώντας διαδοχικά τους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 1 του αριθμού a, μετά τον οποίο υπολογίζουμε το 1 =a:p 1. Αν a 1 =1, τότε ο αριθμός a είναι πρώτος και είναι από μόνος του η αποσύνθεσή του σε πρώτους παράγοντες. Αν το a 1 δεν είναι ίσο με 1, τότε έχουμε a=p 1 ·a 1 και προχωράμε στο επόμενο βήμα.
Βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 2 του αριθμού a 1 , για να γίνει αυτό ταξινομούμε διαδοχικά τους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, ξεκινώντας από το p 1 , και μετά υπολογίζουμε το 2 =a 1:p 2 . Αν a 2 =1, τότε η απαιτούμενη αποσύνθεση του αριθμού a σε πρώτους παράγοντες έχει τη μορφή a=p 1 ·p 2. Αν το a 2 δεν είναι ίσο με 1, τότε έχουμε a=p 1 ·p 2 ·a 2 και προχωράμε στο επόμενο βήμα.
Περνώντας τους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, ξεκινώντας από το p 2, βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 3 του αριθμού a 2, μετά τον οποίο υπολογίζουμε το 3 =a 2:p 3. Αν a 3 =1, τότε η απαιτούμενη αποσύνθεση του αριθμού a σε πρώτους παράγοντες έχει τη μορφή a=p 1 ·p 2 ·p 3. Αν το a 3 δεν είναι ίσο με 1, τότε έχουμε a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 και προχωράμε στο επόμενο βήμα.
Βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p n του αριθμού a n-1 ταξινομώντας τους πρώτους αριθμούς, ξεκινώντας από p n-1, καθώς και a n =a n-1:p n, και a n είναι ίσο με 1. Αυτό το βήμα είναι το τελευταίο βήμα του αλγορίθμου εδώ λαμβάνουμε την επιθυμητή αποσύνθεση του αριθμού a σε πρώτους παράγοντες: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Για λόγους σαφήνειας, όλα τα αποτελέσματα που λαμβάνονται σε κάθε βήμα του αλγορίθμου για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες παρουσιάζονται με τη μορφή του παρακάτω πίνακα, στον οποίο οι αριθμοί a, a 1, a 2, ..., a n γράφονται διαδοχικά σε μια στήλη στα αριστερά της κάθετης γραμμής και στα δεξιά της γραμμής - οι αντίστοιχοι μικρότεροι πρώτοι διαιρέτες p 1, p 2, ..., p n.

Το μόνο που μένει είναι να εξετάσουμε μερικά παραδείγματα εφαρμογής του προκύπτοντος αλγορίθμου για την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Παραδείγματα παραγοντοποίησης πρώτων

Τώρα θα δούμε αναλυτικά παραδείγματα παραγοντοποίησης αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Κατά την αποσύνθεση, θα χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο από την προηγούμενη παράγραφο. Ας ξεκινήσουμε με απλές περιπτώσεις και ας τις περιπλέκουμε σταδιακά για να συναντήσουμε όλες τις πιθανές αποχρώσεις που προκύπτουν κατά την αποσύνθεση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Παράδειγμα.

Συνυπολογίστε τον αριθμό 78 στους πρώτους παράγοντες του.

Διάλυμα.

Ξεκινάμε την αναζήτηση του πρώτου μικρότερου πρώτου διαιρέτη p 1 του αριθμού a=78. Για να γίνει αυτό, αρχίζουμε να ταξινομούμε διαδοχικά τους πρώτους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών. Παίρνουμε τον αριθμό 2 και διαιρούμε το 78 με αυτόν, παίρνουμε 78:2=39. Ο αριθμός 78 διαιρείται με το 2 χωρίς υπόλοιπο, οπότε το p 1 = 2 είναι ο πρώτος που βρέθηκε πρώτος διαιρέτης του αριθμού 78. Σε αυτήν την περίπτωση, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Φτάνουμε λοιπόν στην ισότητα a=p 1 ·a 1 που έχει τη μορφή 78=2·39. Προφανώς, ένα 1 =39 είναι διαφορετικό από το 1, οπότε προχωράμε στο δεύτερο βήμα του αλγορίθμου.

Τώρα αναζητούμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 2 του αριθμού a 1 =39. Ξεκινάμε την απαρίθμηση αριθμών από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, ξεκινώντας με p 1 =2. Διαιρούμε το 39 με το 2, παίρνουμε 39:2=19 (το υπόλοιπο 1). Εφόσον το 39 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 2, τότε το 2 δεν είναι ο διαιρέτης του. Στη συνέχεια παίρνουμε τον επόμενο αριθμό από τον πίνακα των πρώτων αριθμών (αριθμός 3) και διαιρούμε το 39 με αυτόν, παίρνουμε 39:3=13. Επομένως, ο p 2 =3 είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού 39, ενώ ο a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Έχουμε την ισότητα a=p 1 ·p 2 ·a 2 με τη μορφή 78=2·3·13. Εφόσον το 2 =13 είναι διαφορετικό από το 1, προχωράμε στο επόμενο βήμα του αλγορίθμου.

Εδώ πρέπει να βρούμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του αριθμού a 2 =13. Αναζητώντας τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 3 του αριθμού 13, θα ταξινομήσουμε διαδοχικά τους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, ξεκινώντας από p 2 =3. Ο αριθμός 13 δεν διαιρείται με το 3, αφού 13:3=4 (υπόλοιπο 1), επίσης το 13 δεν διαιρείται με το 5, το 7 και το 11, αφού 13:5=2 (υπόλοιπο 3), 13:7=1 (ανάπαυση 6) και 13:11=1 (ανάπαυση 2). Ο επόμενος πρώτος αριθμός είναι το 13 και το 13 διαιρείται με αυτόν χωρίς υπόλοιπο, επομένως, ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης p 3 του 13 είναι ο ίδιος ο αριθμός 13 και a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Εφόσον είναι 3 =1, αυτό το βήμα του αλγορίθμου είναι το τελευταίο και η επιθυμητή αποσύνθεση του αριθμού 78 σε πρώτους παράγοντες έχει τη μορφή 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Απάντηση:

78=2·3·13.

Παράδειγμα.

Να εκφράσετε τον αριθμό 83.006 ως γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Διάλυμα.

Στο πρώτο βήμα του αλγορίθμου για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες, βρίσκουμε p 1 =2 και a 1 =a:p 1 =83.006:2=41.503, από τα οποία 83.006=2·41.503.

Στο δεύτερο βήμα, διαπιστώνουμε ότι το 2, το 3 και το 5 δεν είναι πρώτοι διαιρέτες του αριθμού a 1 =41.503, αλλά ο αριθμός 7 είναι, αφού 41.503:7=5.929. Έχουμε p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41.503:7 = 5.929. Έτσι, 83.006=2 7 5 929.

Ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού a 2 =5 929 είναι ο αριθμός 7, αφού 5 929:7 = 847. Έτσι, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, από τα οποία 83 006 = 2·7·7·847.

Στη συνέχεια βρίσκουμε ότι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης p 4 του αριθμού a 3 =847 είναι ίσος με 7. Τότε a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, άρα 83 006=2·7·7·7·121.

Τώρα βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του αριθμού a 4 =121, είναι ο αριθμός p 5 =11 (αφού το 121 διαιρείται με το 11 και δεν διαιρείται με το 7). Τότε a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, και 83 006=2·7·7·7·11·11.

Τέλος, ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού a 5 =11 είναι ο αριθμός p 6 =11. Τότε a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Εφόσον το 6 =1, αυτό το βήμα του αλγορίθμου για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες είναι το τελευταίο και η επιθυμητή αποσύνθεση έχει τη μορφή 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει μπορεί να γραφτεί ως η κανονική αποσύνθεση του αριθμού σε πρώτους παράγοντες 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Απάντηση:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2Το 991 είναι πρώτος αριθμός. Πράγματι, δεν έχει έναν πρώτο διαιρέτη που να μην υπερβαίνει το ( μπορεί να υπολογιστεί χονδρικά ως , αφού είναι προφανές ότι το 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Απάντηση:

897 924 289 = 937 967 991 .

Χρησιμοποιώντας τεστ διαιρετότητας για παραγοντοποίηση πρώτων

Σε απλές περιπτώσεις, μπορείτε να αποσυνθέσετε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες χωρίς να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο αποσύνθεσης από την πρώτη παράγραφο αυτού του άρθρου. Εάν οι αριθμοί δεν είναι μεγάλοι, τότε για να τους αποσυνθέσουμε σε πρώτους παράγοντες αρκεί συχνά να γνωρίζουμε τα σημάδια της διαιρετότητας. Ας δώσουμε παραδείγματα για διευκρίνιση.

Για παράδειγμα, πρέπει να συνυπολογίσουμε τον αριθμό 10 σε πρώτους παράγοντες. Από τον πίνακα πολλαπλασιασμού γνωρίζουμε ότι 2·5=10 και οι αριθμοί 2 και 5 είναι προφανώς πρώτοι, οπότε η παραγοντοποίηση του πρώτου αριθμού 10 μοιάζει με 10=2·5.

Άλλο ένα παράδειγμα. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα πολλαπλασιασμού, θα συνυπολογίσουμε τον αριθμό 48 σε πρώτους παράγοντες. Γνωρίζουμε ότι το έξι είναι οκτώ - σαράντα οκτώ, δηλαδή 48 = 6,8. Ωστόσο, ούτε το 6 ούτε το 8 είναι πρώτοι αριθμοί. Ξέρουμε όμως ότι δύο φορές τρία είναι έξι, και δύο φορές τέσσερα είναι οκτώ, δηλαδή 6=2·3 και 8=2·4. Τότε 48=6·8=2·3·2·4. Μένει να θυμόμαστε ότι δύο φορές το δύο είναι τέσσερα, τότε παίρνουμε την επιθυμητή αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες 48 = 2·3·2·2·2. Ας γράψουμε αυτήν την επέκταση σε κανονική μορφή: 48=2 4 ·3.

Αλλά όταν συνυπολογίζετε τον αριθμό 3.400 σε πρώτους παράγοντες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. Τα πρόσημα της διαιρετότητας με το 10, 100 μας επιτρέπουν να δηλώσουμε ότι το 3.400 διαιρείται με το 100, με 3.400=34·100, και το 100 διαιρείται με το 10, με 100=10·10, επομένως, 3.400=34·10·10. Και με βάση το τεστ της διαιρετότητας με το 2, μπορούμε να πούμε ότι καθένας από τους παράγοντες 34, 10 και 10 διαιρείται με το 2, παίρνουμε 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Όλοι οι παράγοντες στην επέκταση που προκύπτει είναι απλοί, επομένως αυτή η επέκταση είναι η επιθυμητή. Το μόνο που μένει είναι να αναδιατάξουμε τους συντελεστές έτσι ώστε να πηγαίνουν με αύξουσα σειρά: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Ας γράψουμε επίσης την κανονική αποσύνθεση αυτού του αριθμού σε πρώτους παράγοντες: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Κατά την αποσύνθεση ενός δεδομένου αριθμού σε πρώτους παράγοντες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε με τη σειρά και τα πρόσημα της διαιρετότητας και τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Ας φανταστούμε τον αριθμό 75 ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Το τεστ διαιρετότητας με το 5 μας επιτρέπει να δηλώσουμε ότι το 75 διαιρείται με το 5 και λαμβάνουμε ότι το 75 = 5·15. Και από τον πίνακα πολλαπλασιασμού γνωρίζουμε ότι 15=3·5, άρα, 75=5·3·5. Αυτή είναι η απαιτούμενη αποσύνθεση του αριθμού 75 σε πρώτους παράγοντες.

Αναφορές.

Vilenkin N.Ya. και άλλα Μαθηματικά. Στ΄ τάξη: εγχειρίδιο για τα ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης.
Vinogradov I.M. Βασικές αρχές της θεωρίας αριθμών.
Mikhelovich Sh.H. Θεωρία αριθμών.
Kulikov L.Ya. και άλλα Συλλογή προβλημάτων άλγεβρας και θεωρίας αριθμών: Σχολικό εγχειρίδιο για μαθητές φυσικής και μαθηματικών. ειδικοτήτων παιδαγωγικών ιδρυμάτων.