Εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής. Οι μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα

Το μεγαλύτερο και μικρότερη τιμήλειτουργίες

έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Η τιμή που παίρνει μια συνάρτηση σε κάποιο σημείο του συνόλου στο οποίο ορίζεται αυτή η συνάρτηση ονομάζεται μεγαλύτερη (μικρότερη) σε αυτό το σύνολο εάν σε κανένα άλλο σημείο του συνόλου η συνάρτηση δεν έχει μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή. Ν. και Ν. η. φά. σε σύγκριση με τις τιμές της σε όλα τα αρκετά κοντινά σημεία ονομάζονται ακρότατα (μέγιστα και ελάχιστα, αντίστοιχα) της συνάρτησης. Ν. και Ν. η. Το f., που δίνεται σε ένα τμήμα, μπορεί να επιτευχθεί είτε σε σημεία όπου η παράγωγος είναι ίση με μηδέν, είτε σε σημεία όπου δεν υπάρχει, είτε στα άκρα του τμήματος. Μια συνεχής συνάρτηση που ορίζεται σε ένα τμήμα φθάνει αναγκαστικά τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της. αν συνεχής λειτουργίαθεωρείται σε ένα διάστημα (δηλαδή, ένα τμήμα με εξαιρούμενα άκρα), τότε μεταξύ των τιμών του σε αυτό το διάστημα μπορεί να μην υπάρχει η μεγαλύτερη ή η μικρότερη. Για παράδειγμα, η συνάρτηση στο = x, που δίνεται στο τμήμα, φτάνει τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή, αντίστοιχα, στο x= 1 και x= 0 (δηλαδή στα άκρα του τμήματος). αν θεωρήσουμε αυτή τη συνάρτηση στο διάστημα (0; 1), τότε μεταξύ των τιμών της σε αυτό το διάστημα δεν υπάρχει ούτε η μεγαλύτερη ούτε η μικρότερη, αφού για κάθε x 0υπάρχει πάντα ένα σημείο αυτού του διαστήματος προς τα δεξιά (στα αριστερά) x 0, και τέτοια ώστε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο να είναι μεγαλύτερη (αντίστοιχα μικρότερη) από ό,τι στο σημείο x 0. Παρόμοιες προτάσεις ισχύουν για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Δείτε επίσης Extremum.

Μεγάλος Σοβιετική εγκυκλοπαίδεια. - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. 1969-1978 .

Δείτε ποιες είναι οι "Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης" σε άλλα λεξικά:

Μεγάλος Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Η τιμή που παίρνει μια συνάρτηση σε κάποιο σημείο του συνόλου στο οποίο δίνεται αυτή η συνάρτηση ονομάζεται μεγαλύτερη (μικρότερη) σε αυτό το σύνολο εάν σε κανένα άλλο σημείο η συνάρτηση δεν έχει μεγαλύτερο (μικρότερο) ... ... Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Έννοιες των μαθηματικών. ανάλυση. Η τιμή που παίρνει η συνάρτηση στο σημείο του συνόλου, εκτός από αυτή τη συνάρτηση, καλείται. το μεγαλύτερο (μικρότερο) σε αυτό το σύνολο, αν σε κανένα άλλο σημείο η συνάρτηση δεν έχει μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή... Φυσιογνωσία. Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ- αντίστοιχα, οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές της συνάρτησης σε σύγκριση με τις τιμές της σε όλα τα αρκετά κοντινά σημεία. Τα μέγιστα και τα ελάχιστα σημεία ονομάζονται ακραία σημεία... Μεγάλη Πολυτεχνική Εγκυκλοπαίδεια

Οι μεγαλύτερες και, κατά συνέπεια, οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης που παίρνει πραγματικές τιμές. Το σημείο στο πεδίο ορισμού της υπό εξέταση συνάρτησης, στο οποίο λαμβάνει ένα μέγιστο ή ελάχιστο, καλείται. αντίστοιχα, μέγιστο βαθμό ή ελάχιστο βαθμό... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Μια τριμερής συνάρτηση στη θεωρία των λειτουργικών συστημάτων και της τριαδικής λογικής είναι μια συνάρτηση τύπου, όπου είναι ένα τριαδικό σύνολο και ένας μη αρνητικός ακέραιος, που ονομάζεται αριότητα ή εντοπιότητα της συνάρτησης. Τα στοιχεία του συνόλου είναι ψηφιακά... ... Wikipedia

Αναπαράσταση Boolean συναρτήσεων με κανονικές μορφές (βλ. Boolean συναρτήσεις κανονικές μορφές). το απλούστερο σε σχέση με ένα συγκεκριμένο μέτρο πολυπλοκότητας. Συνήθως, η πολυπλοκότητα μιας κανονικής φόρμας αναφέρεται στον αριθμό των γραμμάτων σε αυτήν. Σε αυτή την περίπτωση απλούστερη μορφήκάλεσε...... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Μια συνάρτηση που λαμβάνει απειροελάχιστες αυξήσεις για απειροελάχιστες αυξήσεις ορίσματος. Μια συνάρτηση με μία τιμή f (x) ονομάζεται συνεχής για την τιμή του ορίσματος x0 εάν για όλες τις τιμές του ορίσματος x που διαφέρουν αρκετά λίγο από το x0 ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

- (λατ. μέγιστο και ελάχιστο, κυριολεκτικά το μεγαλύτερο και το μικρότερο) (μαθηματικά), οι μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε σύγκριση με τις τιμές της σε αρκετά κοντινά σημεία. Στο σχήμα, η συνάρτηση y = f(x) έχει μέγιστο στα σημεία x1 και x3, και στο σημείο x2 ... ... Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

- (από το λατινικό μέγιστο και ελάχιστο, μέγιστο και μικρότερο) (μαθηματικά), οι μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε σύγκριση με τις τιμές της σε αρκετά κοντινά σημεία. Τα μέγιστα και τα ελάχιστα σημεία ονομάζονται ακραία σημεία... Σύγχρονη εγκυκλοπαίδεια

Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσω για αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμήςσυναρτήσεις, ελάχιστα και μέγιστα σημεία.

Από τη θεωρία σίγουρα θα μας φανεί χρήσιμο πίνακας παραγώγωνΚαι κανόνες διαφοροποίησης. Είναι όλα σε αυτό το πιάτο:

Αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής.

Είναι πιο βολικό για μένα να το εξηγήσω με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Θεωρώ:

Παράδειγμα:Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης y=x^5+20x^3–65x στο τμήμα [–4;0].

Βήμα 1.Παίρνουμε την παράγωγο.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Βήμα 2.Εύρεση ακραίων σημείων.

Ακραίο σημείοονομάζουμε εκείνα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση φτάνει τη μεγαλύτερη ή την ελάχιστη τιμή της.

Για να βρείτε τα ακραία σημεία, πρέπει να εξισώσετε την παράγωγο της συνάρτησης με μηδέν (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Τώρα λύνουμε αυτήν τη διτετραγωνική εξίσωση και οι ρίζες που βρέθηκαν είναι τα ακραία σημεία μας.

Λύνω τέτοιες εξισώσεις αντικαθιστώντας t = x^2, μετά 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Ας μειώσουμε την εξίσωση κατά 5, παίρνουμε: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Κάνουμε την αντίστροφη αλλαγή x^2 = t:

X_(1 και 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 και 4) = ±sqrt(-13) (εξαιρούμε, δεν μπορούν να υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί κάτω από τη ρίζα, εκτός φυσικά αν μιλάμε για μιγαδικούς αριθμούς)

Σύνολο: x_(1) = 1 και x_(2) = -1 - αυτά είναι τα ακραία σημεία μας.

Βήμα 3.Προσδιορίστε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή.

Μέθοδος αντικατάστασης.

Στην συνθήκη, μας δόθηκε το τμήμα [b][–4;0]. Το σημείο x=1 δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το τμήμα. Άρα δεν το εξετάζουμε. Αλλά εκτός από το σημείο x=-1, πρέπει επίσης να εξετάσουμε τα αριστερά και τα δεξιά όρια του τμήματός μας, δηλαδή τα σημεία -4 και 0. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε και τα τρία αυτά σημεία στην αρχική συνάρτηση. Σημειώστε ότι η αρχική είναι αυτή που δίνεται στη συνθήκη (y=x^5+20x^3–65x), μερικοί άνθρωποι αρχίζουν να την αντικαθιστούν στην παράγωγο...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Αυτό σημαίνει ότι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης είναι [b]44 και επιτυγχάνεται στο σημείο [b]-1, που ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης στο τμήμα [-4; 0].

Αποφασίσαμε και πήραμε απάντηση, είμαστε υπέροχοι, μπορείτε να χαλαρώσετε. Σταμάτα όμως! Δεν πιστεύετε ότι ο υπολογισμός του y(-4) είναι κατά κάποιο τρόπο πολύ δύσκολος; Σε συνθήκες περιορισμένου χρόνου, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μέθοδο, την ονομάζω ως εξής:

Μέσα από διαστήματα σταθερότητας πρόσημου.

Αυτά τα διαστήματα βρίσκονται για την παράγωγο της συνάρτησης, δηλαδή για τη διτετραγωνική μας εξίσωση.

Το κάνω έτσι. Σχεδιάζω ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Τοποθετώ τα σημεία: -4, -1, 0, 1. Παρά το γεγονός ότι το 1 δεν περιλαμβάνεται στο συγκεκριμένο τμήμα, θα πρέπει να σημειωθεί για να προσδιορίζονται σωστά τα διαστήματα σταθερότητας του πρόσημου. Ας πάρουμε έναν αριθμό πολλές φορές μεγαλύτερο από το 1, ας πούμε 100, και ας τον αντικαταστήσουμε νοερά στη διτετραγωνική μας εξίσωση 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Ακόμα και χωρίς να μετρήσουμε τίποτα, γίνεται προφανές ότι στο σημείο 100 η λειτουργία έχει το σύμβολο συν. Αυτό σημαίνει ότι για διαστήματα από 1 έως 100 έχει πρόσημο συν. Όταν περνάμε από το 1 (πηγαίνουμε από δεξιά προς τα αριστερά), η συνάρτηση θα αλλάξει πρόσημο σε μείον. Όταν διέρχεται από το σημείο 0, η συνάρτηση θα διατηρήσει το πρόσημά της, αφού αυτό είναι μόνο το όριο του τμήματος και όχι η ρίζα της εξίσωσης. Όταν περνάει από το -1, η συνάρτηση θα αλλάξει ξανά το πρόσημο σε συν.

Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι πού βρίσκεται η παράγωγος της συνάρτησης (και το σχεδιάσαμε ακριβώς γι' αυτήν) αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην (σημείο -1 στην περίπτωσή μας)η λειτουργία φτάνει Το τοπικό του μέγιστο (y(-1)=44, όπως υπολογίστηκε νωρίτερα)σε αυτό το τμήμα (αυτό είναι λογικά πολύ κατανοητό, η συνάρτηση σταμάτησε να αυξάνεται επειδή έφτασε στο μέγιστο και άρχισε να μειώνεται).

Αντίστοιχα, όπου η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, επιτυγχάνεται τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης. Ναι, ναι, βρήκαμε επίσης ότι το τοπικό ελάχιστο σημείο είναι 1, και το y(1) είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα, ας πούμε από -1 έως +∞. Λάβετε υπόψη ότι αυτό είναι μόνο ένα ΤΟΠΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ, δηλαδή ένα ελάχιστο σε ένα συγκεκριμένο τμήμα. Αφού το πραγματικό (καθολικό) ελάχιστο της συνάρτησης θα φτάσει κάπου εκεί, στο -∞.

Κατά τη γνώμη μου, η πρώτη μέθοδος είναι πιο απλή θεωρητικά και η δεύτερη πιο απλή από την άποψη των αριθμητικών πράξεων, αλλά πολύ πιο σύνθετη από την άποψη της θεωρίας. Εξάλλου, μερικές φορές υπάρχουν περιπτώσεις που η συνάρτηση δεν αλλάζει πρόσημο όταν περνάει από τη ρίζα της εξίσωσης και γενικά μπορεί να μπερδευτείτε με αυτά τα τοπικά, καθολικά μέγιστα και ελάχιστα, αν και θα πρέπει να το καταλάβετε καλά αν σκοπεύω να μπω σε τεχνικό πανεπιστήμιο (και γιατί αλλιώς να το πάρω; προφίλ Ενιαία Κρατική Εξέτασηκαι λύσει αυτό το πρόβλημα). Αλλά η εξάσκηση και μόνο η εξάσκηση θα σας διδάξει να λύσετε τέτοια προβλήματα μια για πάντα. Και μπορείτε να προπονηθείτε στον ιστότοπό μας. Εδώ .

Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις ή κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, φροντίστε να ρωτήσετε. Θα χαρώ να σας απαντήσω και να κάνω αλλαγές και προσθήκες στο άρθρο. Θυμηθείτε ότι φτιάχνουμε αυτόν τον ιστότοπο μαζί!

Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσω για το πώς να εφαρμόσετε τη δεξιότητα της εύρεσης στη μελέτη μιας συνάρτησης: να βρείτε τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή της. Και μετά θα λύσουμε αρκετά προβλήματα από την Εργασία Β15 από Ανοιχτή Τράπεζαεργασίες για.

Ως συνήθως, ας θυμηθούμε πρώτα τη θεωρία.

Στην αρχή κάθε μελέτης μιας συνάρτησης, τη βρίσκουμε

Για να βρείτε τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης, πρέπει να εξετάσετε σε ποια διαστήματα αυξάνεται η συνάρτηση και σε ποια μειώνεται.

Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης και να εξετάσουμε τα διαστήματα σταθερού πρόσημου της, δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος διατηρεί το πρόσημό της.

Τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι θετική είναι διαστήματα αύξουσας συνάρτησης.

Τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι αρνητική είναι διαστήματα φθίνουσας συνάρτησης.

1. Ας λύσουμε την εργασία Β15 (Αρ. 245184)

Για να το λύσουμε θα ακολουθήσουμε τον παρακάτω αλγόριθμο:

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

β) Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης.

γ) Ας το εξισώσουμε με το μηδέν.

δ) Ας βρούμε τα διαστήματα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης.

ε) Να βρείτε το σημείο στο οποίο η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή.

στ) Να βρείτε την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Δίνω μια λεπτομερή λύση σε αυτήν την εργασία στο VIDEO TUTORIAL:

Το πρόγραμμα περιήγησής σας μάλλον δεν υποστηρίζεται. Για να χρησιμοποιήσετε τον προσομοιωτή Unified State Exam Hour, δοκιμάστε να κάνετε λήψη
Firefox

2. Ας λύσουμε την εργασία Β15 (Αρ. 282862)

Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα

Είναι προφανές ότι η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο τμήμα στο μέγιστο σημείο, στο x=2. Ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο:

Απάντηση: 5

3. Ας λύσουμε την εργασία Β15 (αρ. 245180):

Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Επειδή σύμφωνα με τον τομέα ορισμού της αρχικής συνάρτησης title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Ο αριθμητής είναι ίσος με μηδέν στο . Ας ελέγξουμε αν το ODZ ανήκει στη συνάρτηση. Για να το κάνουμε αυτό, ας ελέγξουμε αν η συνθήκη title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

Αυτό σημαίνει ότι το σημείο ανήκει στη συνάρτηση ODZ

Ας εξετάσουμε το πρόσημο της παραγώγου δεξιά και αριστερά του σημείου:

Βλέπουμε ότι η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή της στο σημείο . Τώρα ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης στο:

Παρατήρηση 1. Σημειώστε ότι σε αυτό το πρόβλημα δεν βρήκαμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: διορθώσαμε μόνο τους περιορισμούς και ελέγξαμε εάν το σημείο στο οποίο η παράγωγος είναι ίση με το μηδέν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Αυτό αποδείχθηκε αρκετό για αυτό το έργο. Ωστόσο, αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Εξαρτάται από την εργασία.

Σημείωση 2. Κατά τη μελέτη της συμπεριφοράς σύνθετη λειτουργίαμπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον κανόνα:

• Εάν η εξωτερική συνάρτηση μιας μιγαδικής συνάρτησης αυξάνεται, τότε η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή της στο ίδιο σημείο στο οποίο η εσωτερική συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή της. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό μιας αυξανόμενης συνάρτησης: μια συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα I εάν μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.
• αν η εξωτερική συνάρτηση μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι φθίνουσα, τότε η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή της στο ίδιο σημείο στο οποίο η εσωτερική συνάρτηση παίρνει τη μικρότερη τιμή της . Αυτό προκύπτει από τον ορισμό μιας φθίνουσας συνάρτησης: μια συνάρτηση μειώνεται στο διάστημα I εάν μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης

Στο παράδειγμά μας, η εξωτερική συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού. Κάτω από το σύμβολο του λογαρίθμου υπάρχει μια έκφραση - τετραγωνικό τριώνυμο, το οποίο, με αρνητικό συντελεστή, παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο σημείο . Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε αυτήν την τιμή x στην εξίσωση συνάρτησης και βρείτε τη μεγαλύτερη αξία του.

Ένα μικροσκοπικό και αρκετά απλό πρόβλημα του είδους που χρησιμεύει ως σωσίβιο για έναν πλωτό μαθητή. Είναι μέσα Ιουλίου στη φύση, οπότε ήρθε η ώρα να ηρεμήσετε με το laptop σας στην παραλία. Έπαιξε νωρίς το πρωί ηλιόλουστο λαγουδάκιθεωρία για να επικεντρωθεί σύντομα στην πρακτική, η οποία, παρά τη διεκδικούμενη ευκολία της, περιέχει θραύσματα γυαλιού στην άμμο. Από αυτή την άποψη, σας συνιστώ να εξετάσετε ευσυνείδητα τα λίγα παραδείγματα αυτής της σελίδας. Να λύσει πρακτικές εργασίεςπρέπει να μπορεί βρείτε παράγωγακαι να κατανοήσουν το υλικό του άρθρου Διαστήματα μονοτονικότητας και άκρα της συνάρτησης.

Πρώτον, εν συντομία για το κύριο πράγμα. Στο μάθημα για συνέχεια της λειτουργίαςΈδωσα τον ορισμό της συνέχειας σε ένα σημείο και της συνέχειας σε ένα διάστημα. Διατυπώνεται η υποδειγματική συμπεριφορά μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα με παρόμοιο τρόπο. Μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα εάν:

1) είναι συνεχής στο διάστημα ?
2) συνεχής σε ένα σημείο δικαίωμακαι στο σημείο αριστερά.

Στη δεύτερη παράγραφο μιλήσαμε για τα λεγόμενα μονόπλευρη συνέχειαλειτουργεί σε ένα σημείο. Υπάρχουν πολλές προσεγγίσεις για τον ορισμό του, αλλά θα παραμείνω στη γραμμή που ξεκίνησα νωρίτερα:

Η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο δικαίωμα, εάν ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο και το δεξί όριο συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο: . Είναι συνεχής στο σημείο αριστερά, εάν ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο και το αριστερό του όριο είναι ίσο με την τιμή σε αυτό το σημείο:

Φανταστείτε ότι οι πράσινες κουκκίδες είναι καρφιά με μια μαγική ελαστική ταινία συνδεδεμένη πάνω τους:

Πάρτε διανοητικά την κόκκινη γραμμή στα χέρια σας. Προφανώς, όσο και αν τεντώσουμε το γράφημα πάνω-κάτω (κατά μήκος του άξονα), η συνάρτηση θα παραμείνει περιωρισμένος– ένας φράχτης στην κορυφή, ένας φράχτης στο κάτω μέρος, και το προϊόν μας βόσκει στη μάντρα. Ετσι, μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα οριοθετείται σε αυτήν. Κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης, αυτό το φαινομενικά απλό γεγονός δηλώνεται και αποδεικνύεται αυστηρά. Το πρώτο θεώρημα του Weierstrass....Πολλοί ενοχλούνται που οι στοιχειώδεις δηλώσεις τεκμηριώνονται κουραστικά στα μαθηματικά, αλλά αυτό έχει σημαντικό νόημα. Ας υποθέσουμε ότι ένας κάτοικος του μεσαίωνα τράβηξε ένα γράφημα στον ουρανό πέρα ​​από τα όρια της ορατότητας, αυτό εισήχθη. Πριν από την εφεύρεση του τηλεσκοπίου, η περιορισμένη λειτουργία στο διάστημα δεν ήταν καθόλου εμφανής! Αλήθεια, πώς ξέρεις τι μας περιμένει στον ορίζοντα; Άλλωστε, η Γη κάποτε θεωρούνταν επίπεδη, οπότε σήμερα ακόμη και η συνηθισμένη τηλεμεταφορά απαιτεί απόδειξη =)

Σύμφωνα με Το δεύτερο θεώρημα του Weierstrass, συνεχής σε ένα τμήμαη λειτουργία φτάνει σε αυτήν ακριβές άνω όριοκαι το δικό σου ακριβές κάτω άκρο .

Ο αριθμός καλείται επίσης τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο τμήμακαι συμβολίζονται με , και ο αριθμός είναι την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στο τμήμασημαδεμένο .

Στην περίπτωσή μας:

Σημείωμα : θεωρητικά, οι ηχογραφήσεις είναι συνηθισμένες .

Σε γενικές γραμμές, η μεγαλύτερη τιμή είναι εκεί που βρίσκεται το υψηλότερο σημείο στο γράφημα και η μικρότερη τιμή είναι εκεί που βρίσκεται το χαμηλότερο σημείο.

Σπουδαίος!Όπως τονίστηκε ήδη στο άρθρο σχετικά άκρα της συνάρτησης, μεγαλύτερη τιμή συνάρτησηςΚαι μικρότερη τιμή συνάρτησης – ΟΧΙ ΤΟ ΙΔΙΟ, Τι μέγιστη λειτουργίαΚαι ελάχιστη λειτουργία. Έτσι, στο παράδειγμα που εξετάζουμε, ο αριθμός είναι το ελάχιστο της συνάρτησης, αλλά όχι η ελάχιστη τιμή.

Παρεμπιπτόντως, τι συμβαίνει εκτός τμήματος; Ναι, έστω και πλημμύρα, στα πλαίσια του εξεταζόμενου προβλήματος, αυτό δεν μας ενδιαφέρει καθόλου. Η εργασία περιλαμβάνει μόνο την εύρεση δύο αριθμών και τέλος!

Επιπλέον, η λύση είναι καθαρά αναλυτική, επομένως δεν χρειάζεται να κάνετε ένα σχέδιο!

Ο αλγόριθμος βρίσκεται στην επιφάνεια και προτείνεται από το παραπάνω σχήμα:

1) Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης στο κρίσιμα σημεία, που ανήκουν σε αυτό το τμήμα.

Λάβετε ένα άλλο μπόνους: εδώ δεν χρειάζεται να ελέγξετε την επαρκή συνθήκη για ακραίο, καθώς, όπως μόλις παρουσιάστηκε, η παρουσία ενός ελάχιστου ή μέγιστου δεν εγγυάται ακόμα, ποια είναι η ελάχιστη ή η μέγιστη τιμή. Η συνάρτηση επίδειξης φτάνει στο μέγιστο και, κατά τη θέληση της μοίρας, ο ίδιος αριθμός είναι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα. Αλλά, φυσικά, μια τέτοια σύμπτωση δεν συμβαίνει πάντα.

Έτσι, στο πρώτο βήμα, είναι πιο γρήγορος και ευκολότερος ο υπολογισμός των τιμών της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία που ανήκουν στο τμήμα, χωρίς να ενοχλείται αν υπάρχουν ακρότατα σε αυτά ή όχι.

2) Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος.

3) Μεταξύ των τιμών συνάρτησης που βρίσκονται στην 1η και 2η παράγραφο, επιλέξτε τον μικρότερο και μεγαλύτερο αριθμό και σημειώστε την απάντηση.

Καθόμαστε στην όχθη της γαλάζιας θάλασσας και χτυπάμε τα ρηχά νερά με τα τακούνια μας:

Παράδειγμα 1

Βρείτε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα

Διάλυμα:
1) Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία που ανήκουν σε αυτό το τμήμα:

Ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο δεύτερο κρίσιμο σημείο:

2) Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος:

3) Λήφθηκαν «έντονα» αποτελέσματα με εκθέτες και λογάριθμους, γεγονός που περιπλέκει σημαντικά τη σύγκριση τους. Για αυτόν τον λόγο, ας οπλιστούμε με μια αριθμομηχανή ή το Excel και ας υπολογίσουμε κατά προσέγγιση τιμές, χωρίς να ξεχνάμε ότι:

Τώρα όλα είναι ξεκάθαρα.

Απάντηση:

Κλασματική-ορθολογική περίπτωση για ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 6

Βρείτε τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα

Στην πράξη, είναι αρκετά συνηθισμένο να χρησιμοποιείται η παράγωγος για τον υπολογισμό της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης. Εκτελούμε αυτήν την ενέργεια όταν καταλαβαίνουμε πώς να ελαχιστοποιήσουμε το κόστος, να αυξήσουμε τα κέρδη, να υπολογίσουμε το βέλτιστο φορτίο στην παραγωγή κ.λπ., δηλαδή σε περιπτώσεις που πρέπει να προσδιορίσουμε τη βέλτιστη τιμή μιας παραμέτρου. Για να λύσετε σωστά τέτοια προβλήματα, πρέπει να κατανοήσετε καλά ποιες είναι οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Συνήθως ορίζουμε αυτές τις τιμές μέσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα x, το οποίο με τη σειρά του μπορεί να αντιστοιχεί σε ολόκληρο τον τομέα της συνάρτησης ή μέρος αυτής. Μπορεί να είναι σαν ένα τμήμα [a; b ] , και ανοιχτό διάστημα (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), άπειρο διάστημα (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) ή άπειρο διάστημα - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Σε αυτό το υλικό θα σας πούμε πώς να υπολογίσετε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας ρητά καθορισμένης συνάρτησης με μία μεταβλητή y=f(x) y = f (x) .

Βασικοί ορισμοί

Ας ξεκινήσουμε, όπως πάντα, με τη διατύπωση βασικών ορισμών.

Ορισμός 1

Η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης y = f (x) σε ένα ορισμένο διάστημα x είναι η τιμή m a x y = f (x 0) x ∈ X, η οποία για οποιαδήποτε τιμή x x ∈ X, x ≠ x 0 κάνει την ανίσωση f (x) ≤ f (x) ισχύει 0) .

Ορισμός 2

Η μικρότερη τιμή της συνάρτησης y = f (x) σε ένα ορισμένο διάστημα x είναι η τιμή m i n x ∈ X y = f (x 0), η οποία για οποιαδήποτε τιμή x ∈ X, x ≠ x 0 κάνει την ανίσωση f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Αυτοί οι ορισμοί είναι αρκετά προφανείς. Ακόμα πιο απλό, μπορούμε να πούμε το εξής: η μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης είναι η μέγιστη μεγάλη αξίασε ένα γνωστό διάστημα στην τετμημένη x 0, και η μικρότερη είναι η μικρότερη αποδεκτή τιμή στο ίδιο διάστημα στο x 0.

Ορισμός 3

Σταθερά σημεία είναι εκείνες οι τιμές ενός ορίσματος συνάρτησης στο οποίο η παράγωγός του γίνεται 0.

Γιατί πρέπει να γνωρίζουμε ποια είναι τα ακίνητα σημεία; Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, πρέπει να θυμηθούμε το θεώρημα του Fermat. Από αυτό προκύπτει ότι ένα ακίνητο σημείο είναι το σημείο στο οποίο βρίσκεται το άκρο της διαφοροποιήσιμης συνάρτησης (δηλαδή, το τοπικό ελάχιστο ή μέγιστο). Κατά συνέπεια, η συνάρτηση θα λάβει τη μικρότερη ή μεγαλύτερη τιμή σε ένα συγκεκριμένο διάστημα ακριβώς σε ένα από τα ακίνητα σημεία.

Μια συνάρτηση μπορεί επίσης να λάβει τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή στα σημεία εκείνα στα οποία ορίζεται η ίδια η συνάρτηση και η πρώτη της παράγωγος δεν υπάρχει.

Το πρώτο ερώτημα που προκύπτει κατά τη μελέτη αυτού του θέματος: σε όλες τις περιπτώσεις μπορούμε να προσδιορίσουμε τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα; Όχι, δεν μπορούμε να το κάνουμε αυτό όταν τα όρια ενός δεδομένου διαστήματος συμπίπτουν με τα όρια του τομέα ορισμού ή εάν έχουμε να κάνουμε με ένα άπειρο διάστημα. Συμβαίνει επίσης μια συνάρτηση σε ένα δεδομένο τμήμα ή στο άπειρο να παίρνει απείρως μικρές ή απείρως μεγάλες τιμές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, δεν είναι δυνατός ο προσδιορισμός της μεγαλύτερης ή/και της μικρότερης τιμής.

Αυτά τα σημεία θα γίνουν πιο ξεκάθαρα αφού απεικονιστούν στα γραφήματα:

Το πρώτο σχήμα μας δείχνει μια συνάρτηση που παίρνει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές (m a x y και m i n y) σε σταθερά σημεία που βρίσκονται στο τμήμα [ - 6 ; 6].

Ας εξετάσουμε λεπτομερώς την περίπτωση που υποδεικνύεται στο δεύτερο γράφημα. Ας αλλάξουμε την τιμή του τμήματος σε [ 1 ; 6 ] και βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης θα επιτευχθεί στο σημείο με την τετμημένη στο δεξιό όριο του διαστήματος και η ελάχιστη στο ακίνητο σημείο.

Στο τρίτο σχήμα, οι τετμημένες των σημείων αντιπροσωπεύουν τα οριακά σημεία του τμήματος [ - 3 ; 2]. Αντιστοιχούν στη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας δεδομένης συνάρτησης.

Ας δούμε τώρα την τέταρτη εικόνα. Σε αυτήν, η συνάρτηση παίρνει m a x y (η μεγαλύτερη τιμή) και m i n y (η μικρότερη τιμή) σε ακίνητα σημεία στο ανοιχτό διάστημα (- 6; 6).

Αν πάρουμε το διάστημα [ 1 ; 6), τότε μπορούμε να πούμε ότι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης σε αυτό θα επιτευχθεί σε ένα ακίνητο σημείο. Η μεγαλύτερη αξία θα μας είναι άγνωστη. Η συνάρτηση θα μπορούσε να πάρει τη μέγιστη τιμή της στο x ίση με 6 αν x = 6 ανήκε στο διάστημα. Αυτή ακριβώς είναι η περίπτωση που φαίνεται στο γράφημα 5.

Στο γράφημα 6, αυτή η συνάρτηση αποκτά τη μικρότερη τιμή της στο δεξιό όριο του διαστήματος (- 3; 2 ], και δεν μπορούμε να βγάλουμε ασφαλή συμπεράσματα για τη μεγαλύτερη τιμή.

Στο σχήμα 7 βλέπουμε ότι η συνάρτηση θα έχει m a x y σε ένα ακίνητο σημείο που έχει τετμημένη ίση με 1. Η συνάρτηση θα φτάσει την ελάχιστη τιμή της στο όριο του διαστήματος στη δεξιά πλευρά. Στο μείον άπειρο, οι τιμές της συνάρτησης θα προσεγγίσουν ασυμπτωτικά το y = 3.

Αν πάρουμε το διάστημα x ∈ 2 ; + ∞ , τότε θα δούμε ότι η δεδομένη συνάρτηση δεν θα πάρει ούτε τη μικρότερη ούτε τη μεγαλύτερη τιμή σε αυτήν. Αν το x τείνει στο 2, τότε οι τιμές της συνάρτησης θα τείνουν στο μείον το άπειρο, αφού η ευθεία x = 2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. Εάν η τετμημένη τείνει στο συν άπειρο, τότε οι τιμές της συνάρτησης θα προσεγγίσουν ασυμπτωτικά το y = 3. Αυτή ακριβώς είναι η περίπτωση που φαίνεται στο Σχήμα 8.

Σε αυτή την παράγραφο θα παρουσιάσουμε την ακολουθία των ενεργειών που πρέπει να εκτελεστούν για να βρεθεί η μεγαλύτερη ή η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο τμήμα.

1. Αρχικά, ας βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Ας ελέγξουμε αν το τμήμα που καθορίζεται στη συνθήκη περιλαμβάνεται σε αυτό.
2. Τώρα ας υπολογίσουμε τα σημεία που περιέχονται σε αυτό το τμήμα στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος. Τις περισσότερες φορές μπορούν να βρεθούν σε συναρτήσεις των οποίων το όρισμα είναι γραμμένο κάτω από το σύμβολο του modulus ή στο λειτουργίες ισχύος, ο εκθέτης του οποίου είναι ένας κλασματικά ρητός αριθμός.
3. Στη συνέχεια, θα μάθουμε ποια ακίνητα σημεία θα πέσουν στο συγκεκριμένο τμήμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης, στη συνέχεια να την εξισώσετε με 0 και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει και, στη συνέχεια, να επιλέξετε τις κατάλληλες ρίζες. Εάν δεν λάβουμε ούτε ένα ακίνητο σημείο ή δεν εμπίπτουν στο συγκεκριμένο τμήμα, τότε προχωράμε στο επόμενο βήμα.
4. Καθορίζουμε ποιες τιμές θα πάρει η συνάρτηση σε δεδομένα σταθερά σημεία (εάν υπάρχουν), ή σε εκείνα τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος (αν υπάρχει), ή υπολογίζουμε τις τιμές για x = a και x = β.
5. 5. Έχουμε μια σειρά από τιμές συνάρτησης, από τις οποίες τώρα πρέπει να επιλέξουμε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη. Αυτές θα είναι οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές της συνάρτησης που πρέπει να βρούμε.

Ας δούμε πώς να εφαρμόσουμε σωστά αυτόν τον αλγόριθμο κατά την επίλυση προβλημάτων.

Παράδειγμα 1

Κατάσταση:δίνεται η συνάρτηση y = x 3 + 4 x 2. Προσδιορίστε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές του στα τμήματα [ 1 ; 4 ] και [ - 4 ; - 1 ] .

Διάλυμα:

Ας ξεκινήσουμε βρίσκοντας το πεδίο ορισμού μιας δεδομένης συνάρτησης. Σε αυτήν την περίπτωση, θα είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από το 0. Με άλλα λόγια, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Και τα δύο τμήματα που καθορίζονται στη συνθήκη θα βρίσκονται εντός της περιοχής ορισμού.

Τώρα υπολογίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης σύμφωνα με τον κανόνα της διαφοροποίησης των κλασμάτων:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Μάθαμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης θα υπάρχει σε όλα τα σημεία των τμημάτων [1; 4 ] και [ - 4 ; - 1 ] .

Τώρα πρέπει να προσδιορίσουμε τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης. Ας το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας την εξίσωση x 3 - 8 x 3 = 0. Έχει μόνο μια πραγματική ρίζα, η οποία είναι 2. Θα είναι ένα ακίνητο σημείο της συνάρτησης και θα εμπίπτει στο πρώτο τμήμα [1; 4].

Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του πρώτου τμήματος και σε αυτό το σημείο, δηλ. για x = 1, x = 2 και x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Βρήκαμε ότι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 θα επιτευχθεί στο x = 1, και το μικρότερο m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – σε x = 2.

Το δεύτερο τμήμα δεν περιλαμβάνει ένα μόνο σταθερό σημείο, επομένως πρέπει να υπολογίσουμε τις τιμές συνάρτησης μόνο στα άκρα του δεδομένου τμήματος:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Αυτό σημαίνει m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Απάντηση:Για το τμήμα [1; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , για το τμήμα [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Δείτε εικόνα:

Πριν μελετήσετε αυτήν τη μέθοδο, σας συμβουλεύουμε να ελέγξετε πώς να υπολογίσετε σωστά το μονόπλευρο όριο και το όριο στο άπειρο, καθώς και να μάθετε τις βασικές μεθόδους εύρεσης τους. Για να βρείτε τη μεγαλύτερη ή/και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα ανοιχτό ή άπειρο διάστημα, εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα διαδοχικά.

1. Αρχικά, πρέπει να ελέγξετε εάν το δεδομένο διάστημα θα είναι υποσύνολο του τομέα της δεδομένης συνάρτησης.
2. Ας προσδιορίσουμε όλα τα σημεία που περιέχονται στο απαιτούμενο διάστημα και στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος. Συνήθως εμφανίζονται για συναρτήσεις όπου το όρισμα περικλείεται στο πρόσημο του συντελεστή και για συναρτήσεις ισχύος με κλασματικά ορθολογικό εκθέτη. Εάν λείπουν αυτά τα σημεία, τότε μπορείτε να προχωρήσετε στο επόμενο βήμα.
3. Τώρα ας προσδιορίσουμε ποια ακίνητα σημεία θα εμπίπτουν στο δεδομένο διάστημα. Αρχικά, εξισώνουμε την παράγωγο με 0, λύνουμε την εξίσωση και επιλέγουμε τις κατάλληλες ρίζες. Εάν δεν έχουμε ούτε ένα ακίνητο σημείο ή δεν εμπίπτουν στο καθορισμένο διάστημα, τότε προχωράμε αμέσως σε περαιτέρω ενέργειες. Καθορίζονται από τον τύπο του διαστήματος.

• Αν το διάστημα είναι της μορφής [ a ; β) , τότε πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x = a και το μονόπλευρο όριο lim x → b - 0 f (x) .
• Εάν το διάστημα έχει τη μορφή (a; b ], τότε πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x = b και το μονόπλευρο όριο lim x → a + 0 f (x).
• Εάν το διάστημα έχει τη μορφή (a; b), τότε πρέπει να υπολογίσουμε τα μονόπλευρα όρια lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Αν το διάστημα είναι της μορφής [ a ; + ∞), τότε πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή στο σημείο x = a και το όριο στο συν άπειρο lim x → + ∞ f (x).
• Αν το διάστημα μοιάζει με (- ∞ ; b ] , υπολογίζουμε την τιμή στο σημείο x = b και το όριο στο μείον άπειρο lim x → - ∞ f (x) .
• Αν - ∞ ; b , τότε θεωρούμε το μονόπλευρο όριο lim x → b - 0 f (x) και το όριο στο μείον άπειρο lim x → - ∞ f (x)
• Εάν - ∞; + ∞ , τότε θεωρούμε τα όρια στο μείον και συν άπειρο lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x).

1. Στο τέλος, πρέπει να βγάλετε ένα συμπέρασμα με βάση τις λαμβανόμενες τιμές και όρια συνάρτησης. Υπάρχουν πολλές διαθέσιμες επιλογές εδώ. Έτσι, εάν το μονόπλευρο όριο είναι ίσο με μείον άπειρο ή συν άπειρο, τότε είναι αμέσως σαφές ότι τίποτα δεν μπορεί να ειπωθεί για τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησης. Παρακάτω θα δούμε ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα. Αναλυτικές Περιγραφέςθα σας βοηθήσει να καταλάβετε τι είναι τι. Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να επιστρέψετε στις Εικόνες 4 - 8 στο πρώτο μέρος του υλικού.

Παράδειγμα 2

Συνθήκη: δεδομένη συνάρτηση y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Υπολογίστε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή του στα διαστήματα - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞, [4; + ∞) .

Διάλυμα

Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Ο παρονομαστής του κλάσματος περιέχει ένα τετραγωνικό τριώνυμο, το οποίο δεν πρέπει να μετατρέπεται σε 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Λάβαμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης στην οποία ανήκουν όλα τα διαστήματα που καθορίζονται στη συνθήκη.

Τώρα ας διαφοροποιήσουμε τη συνάρτηση και πάρουμε:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Κατά συνέπεια, παράγωγοι μιας συνάρτησης υπάρχουν σε όλο το πεδίο ορισμού της.

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση σταθερών σημείων. Η παράγωγος της συνάρτησης γίνεται 0 στο x = - 1 2 . Αυτό είναι ένα ακίνητο σημείο που βρίσκεται στα διαστήματα (- 3 ; 1 ] και (- 3 ; 2) .

Ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο x = - 4 για το διάστημα (- ∞ ; - 4 ], καθώς και το όριο στο μείον το άπειρο:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Εφόσον 3 e 1 6 - 4 > - 1, σημαίνει ότι m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Αυτό δεν μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε μοναδικά τη μικρότερη τιμή του Συνάρτηση Μπορούμε μόνο να συμπεράνουμε ότι υπάρχει ένας περιορισμός κάτω από - 1, αφού σε αυτήν την τιμή η συνάρτηση προσεγγίζει ασυμπτωτικά στο μείον άπειρο.

Η ιδιαιτερότητα του δεύτερου διαστήματος είναι ότι δεν υπάρχει ούτε ένα ακίνητο σημείο και ούτε ένα αυστηρό όριο σε αυτό. Κατά συνέπεια, δεν θα μπορούμε να υπολογίσουμε ούτε τη μεγαλύτερη ούτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης. Έχοντας ορίσει το όριο στο μείον άπειρο και καθώς το όρισμα τείνει στο - 3 στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε μόνο ένα διάστημα τιμών:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές της συνάρτησης θα βρίσκονται στο διάστημα - 1. +∞

Για να βρούμε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο τρίτο διάστημα, προσδιορίζουμε την τιμή της στο ακίνητο σημείο x = - 1 2 αν x = 1. Θα χρειαστεί επίσης να γνωρίζουμε το μονόπλευρο όριο για την περίπτωση που το όρισμα τείνει σε - 3 στη δεξιά πλευρά:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Αποδείχθηκε ότι η συνάρτηση θα πάρει τη μεγαλύτερη τιμή σε ένα ακίνητο σημείο m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Όσο για τη μικρότερη τιμή, δεν μπορούμε να την προσδιορίσουμε. Όλα όσα γνωρίζουμε , είναι η παρουσία ενός κατώτερου ορίου στο -4.

Για το διάστημα (- 3 ; 2), πάρτε τα αποτελέσματα του προηγούμενου υπολογισμού και υπολογίστε ξανά το όριο με το οποίο είναι το μονόπλευρο όριο όταν τείνετε στο 2 στην αριστερή πλευρά:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Αυτό σημαίνει ότι m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, και η μικρότερη τιμή δεν μπορεί να προσδιοριστεί και οι τιμές της συνάρτησης περιορίζονται από κάτω από τον αριθμό - 4 .

Με βάση αυτά που πήραμε στους δύο προηγούμενους υπολογισμούς, μπορούμε να πούμε ότι στο διάστημα [ 1 ; 2) η συνάρτηση θα λάβει τη μεγαλύτερη τιμή στο x = 1, αλλά είναι αδύνατο να βρεθεί η μικρότερη.

Στο διάστημα (2 ; + ∞) η συνάρτηση δεν θα φτάσει ούτε τη μεγαλύτερη ούτε τη μικρότερη τιμή, δηλ. θα πάρει τιμές από το διάστημα - 1 . + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Έχοντας υπολογίσει ποια θα είναι η τιμή της συνάρτησης στο x = 4, διαπιστώνουμε ότι m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , και η δεδομένη συνάρτηση στο συν άπειρο θα προσεγγίσει ασυμπτωτικά την ευθεία y = - 1 .

Ας συγκρίνουμε τι πήραμε σε κάθε υπολογισμό με το γράφημα της δεδομένης συνάρτησης. Στο σχήμα, οι ασύμπτωτες φαίνονται με διακεκομμένες γραμμές.

Αυτό είναι το μόνο που θέλαμε να σας πούμε σχετικά με την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης. Οι ακολουθίες ενεργειών που έχουμε δώσει θα σας βοηθήσουν να κάνετε τους απαραίτητους υπολογισμούς όσο το δυνατόν πιο γρήγορα και απλά. Αλλά να θυμάστε ότι είναι συχνά χρήσιμο να μάθετε πρώτα σε ποια διαστήματα η συνάρτηση θα μειώνεται και σε ποια θα αυξάνεται, μετά από την οποία μπορείτε να βγάλετε περαιτέρω συμπεράσματα. Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να προσδιορίσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης και να αιτιολογήσετε τα αποτελέσματα που προέκυψαν.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter