Odz - εύρος αποδεκτών τιμών. Πώς να βρείτε το πεδίο των μαθηματικών συναρτήσεων

Πώς;
Παραδείγματα λύσεων

Αν κάτι λείπει κάπου, σημαίνει ότι υπάρχει κάτι κάπου

Συνεχίζουμε να μελετάμε την ενότητα «Συναρτήσεις και γραφήματα» και ο επόμενος σταθμός στο ταξίδι μας είναι. Μια ενεργή συζήτηση αυτής της έννοιας ξεκίνησε στο άρθρο για τα σύνολα και συνεχίστηκε στο πρώτο μάθημα για γραφήματα συναρτήσεων, όπου εξέτασα τις στοιχειώδεις συναρτήσεις και, ειδικότερα, τους τομείς ορισμού τους. Επομένως, προτείνω τα ομοιώματα να ξεκινήσουν με τα βασικά του θέματος, μιας και δεν θα σταθώ ξανά σε κάποια βασικά σημεία.

Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης γνωρίζει το πεδίο ορισμού των ακόλουθων συναρτήσεων: γραμμικές, τετραγωνικές, κυβικές συναρτήσεις, πολυώνυμα, εκθετική, ημιτονοειδές, συνημίτονο. Καθορίζονται στις (το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών). Για τις εφαπτομένες, τα τόξα, ας είναι, σας συγχωρώ =) - τα πιο σπάνια γραφήματα δεν θυμούνται αμέσως.

Το εύρος του ορισμού φαίνεται να είναι ένα απλό πράγμα, και τίθεται ένα λογικό ερώτημα: τι θα αφορά το άρθρο; Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσω κοινά προβλήματα εύρεσης του τομέα μιας συνάρτησης. Επιπλέον, θα επαναλάβουμε ανισότητες με μία μεταβλητή, οι δεξιότητες επίλυσης των οποίων θα απαιτηθούν και σε άλλα προβλήματα ανώτερων μαθηματικών. Το υλικό, παρεμπιπτόντως, είναι όλο το σχολικό υλικό, επομένως θα είναι χρήσιμο όχι μόνο για μαθητές, αλλά και για μαθητές. Οι πληροφορίες, φυσικά, δεν προσποιούνται εγκυκλοπαιδικές, αλλά εδώ δεν υπάρχουν τραβηγμένα «νεκρά» παραδείγματα, αλλά ψητά κάστανα, που είναι βγαλμένα από πραγματικές πρακτικές εργασίες.

Ας ξεκινήσουμε με μια γρήγορη βουτιά στο θέμα. Εν συντομία για το κύριο πράγμα: μιλάμε για συνάρτηση μιας μεταβλητής. Το πεδίο ορισμού του είναι πολλές έννοιες του "x", για το οποίο υπάρχωέννοιες του «παίκτες». Ας δούμε ένα υποθετικό παράδειγμα:

Το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι μια ένωση διαστημάτων:
(για όσους έχουν ξεχάσει: - εικονίδιο ενοποίησης). Με άλλα λόγια, εάν πάρετε οποιαδήποτε τιμή του "x" από το διάστημα , ή από , ή από , τότε για κάθε τέτοιο "x" θα υπάρχει μια τιμή "y".

Σε γενικές γραμμές, όπου είναι το πεδίο ορισμού, υπάρχει ένα γράφημα της συνάρτησης. Αλλά το μισό διάστημα και το σημείο «tse» δεν περιλαμβάνονται στην περιοχή ορισμού και δεν υπάρχει γράφημα εκεί.

Πώς να βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης; Πολλοί άνθρωποι θυμούνται τη ρίμα των παιδιών: "πέτρα, χαρτί, ψαλίδι" και σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να παραφραστεί με ασφάλεια: "ρίζα, κλάσμα και λογάριθμος". Έτσι, εάν εσείς πορεία ζωήςσυναντά ένα κλάσμα, ρίζα ή λογάριθμο, θα πρέπει να είστε αμέσως πολύ, πολύ επιφυλακτικοί! Η εφαπτομένη, η συνεφαπτομένη, η αρξίνη, η αρκοσίνη είναι πολύ λιγότερο κοινές και θα μιλήσουμε επίσης για αυτές. Αλλά πρώτα, σκίτσα από τη ζωή των μυρμηγκιών:

Τομέας μιας συνάρτησης που περιέχει ένα κλάσμα

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια συνάρτηση που περιέχει κάποιο κλάσμα. Όπως γνωρίζετε, δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν: , άρα αυτά Οι τιμές "X" που μετατρέπουν τον παρονομαστή σε μηδέν δεν περιλαμβάνονται στο πεδίο εφαρμογής αυτής της συνάρτησης.

Δεν θα σταθώ στις απλούστερες λειτουργίες όπως κ.λπ., αφού όλοι βλέπουν τέλεια σημεία που δεν περιλαμβάνονται στον τομέα ορισμού τους. Ας δούμε πιο σημαντικά κλάσματα:

Παράδειγμα 1

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Διάλυμα: Δεν υπάρχει τίποτα ιδιαίτερο στον αριθμητή, αλλά ο παρονομαστής πρέπει να είναι μη μηδενικός. Ας το θέσουμε ίσο με το μηδέν και ας προσπαθήσουμε να βρούμε τα «κακά» σημεία:

Η εξίσωση που προκύπτει έχει δύο ρίζες: . Τιμές δεδομένων δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής της λειτουργίας. Πράγματι, αντικαταστήστε ή στη συνάρτηση και θα δείτε ότι ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν.

Απάντηση: πεδίο ορισμού:

Το λήμμα έχει ως εξής: «το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί με εξαίρεση το σύνολο που αποτελείται από τιμές " Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι το σύμβολο ανάστροφης κάθετου στα μαθηματικά υποδηλώνει λογική αφαίρεση και οι σγουρές αγκύλες υποδηλώνουν σύνολο. Η απάντηση μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως ένωση τριών διαστημάτων:

Σε όποιον αρέσει.

Σε σημεία η λειτουργία ανέχεται ατελείωτα διαλείμματα, και τις ευθείες που δίνονται από τις εξισώσεις εκτάριο κάθετες ασύμπτωτεςγια το γράφημα αυτής της συνάρτησης. Ωστόσο, αυτό είναι ένα ελαφρώς διαφορετικό θέμα και δεν θα επικεντρωθώ σε αυτό περαιτέρω.

Παράδειγμα 2

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Η εργασία είναι ουσιαστικά προφορική και πολλοί από εσάς θα βρείτε σχεδόν αμέσως την περιοχή ορισμού. Η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Ένα κλάσμα θα είναι πάντα «κακό»; Οχι. Για παράδειγμα, μια συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Όποια τιμή και να πάρουμε το «x», ο παρονομαστής δεν θα πάει στο μηδέν, επιπλέον, θα είναι πάντα θετικός: . Έτσι, το εύρος αυτής της συνάρτησης είναι: .

Όλες οι λειτουργίες όπως ορίζεται και συνεχήςστις .

Η κατάσταση είναι λίγο πιο περίπλοκη όταν ο παρονομαστής είναι κατειλημμένος τετραγωνικό τριώνυμο:

Παράδειγμα 3

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Διάλυμα: Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τα σημεία στα οποία ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν. Για αυτό θα αποφασίσουμε τετραγωνική εξίσωση:

Ο διαχωριστής αποδείχθηκε αρνητικός, πράγμα που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες και η συνάρτησή μας ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα.

Απάντηση: πεδίο ορισμού:

Παράδειγμα 4

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος. Σας συμβουλεύω να μην τεμπελιάζετε με απλά προβλήματα, καθώς θα συσσωρευτούν παρεξηγήσεις με περαιτέρω παραδείγματα.

Τομέας συνάρτησης με ρίζα

Η συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας ορίζεται μόνο για εκείνες τις τιμές του "x" όταν Η ριζική έκφραση είναι μη αρνητική: . Εάν η ρίζα βρίσκεται στον παρονομαστή , τότε η συνθήκη είναι προφανώς πιο σφιχτή: . Παρόμοιοι υπολογισμοί ισχύουν για οποιαδήποτε ρίζα θετικού άρτιου βαθμού: , όμως, η ρίζα είναι ήδη 4ου βαθμού σε λειτουργικές μελέτεςδεν θυμάμαι.

Παράδειγμα 5

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Διάλυμα: η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική:

Πριν συνεχίσω με τη λύση, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τους βασικούς κανόνες για την εργασία με τις ανισότητες, γνωστούς από το σχολείο.

Δίνω ιδιαίτερη προσοχή!Τώρα εξετάζουμε τις ανισότητες με μία μεταβλητή- δηλαδή για εμάς υπάρχει μόνο μία διάσταση κατά μήκος του άξονα. Παρακαλώ μην μπερδεύεστε με ανισότητες δύο μεταβλητών, όπου ολόκληρο το επίπεδο συντεταγμένων εμπλέκεται γεωμετρικά. Ωστόσο, υπάρχουν και ευχάριστες συμπτώσεις! Άρα, για την ανισότητα οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί είναι ισοδύναμοι:

1) Οι όροι μπορούν να μεταφερθούν από μέρος σε μέρος αλλάζοντας τους (τους όρους) σημάδια.

2) Και οι δύο πλευρές της ανισότητας μπορούν να πολλαπλασιαστούν με έναν θετικό αριθμό.

3) Αν πολλαπλασιαστούν και οι δύο πλευρές της ανίσωσης επί αρνητικόςαριθμός, τότε πρέπει να αλλάξετε σημάδι της ίδιας της ανισότητας. Για παράδειγμα, αν υπήρχε "περισσότερο", τότε θα γίνει "λιγότερο". αν ήταν «λιγότερο ή ίσο», τότε θα γίνει «μεγαλύτερο ή ίσο».

Στην ανισότητα, μετακινούμε το «τρία» στη δεξιά πλευρά με αλλαγή πρόσημου (κανόνας Νο. 1):

Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ανίσωσης με –1 (κανόνας Νο. 3):

Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με (κανόνας Νο. 2):

Απάντηση: πεδίο ορισμού:

Η απάντηση μπορεί επίσης να γραφτεί με μια ισοδύναμη φράση: "η συνάρτηση ορίζεται στο ."
Γεωμετρικά, η περιοχή ορισμού απεικονίζεται με σκίαση των αντίστοιχων διαστημάτων στον άξονα της τετμημένης. Σε αυτή την περίπτωση:

Για άλλη μια φορά σας υπενθυμίζω τη γεωμετρική σημασία του τομέα ορισμού - το γράφημα της συνάρτησης υπάρχει μόνο στη σκιασμένη περιοχή και απουσιάζει στο .

Στις περισσότερες περιπτώσεις, ένας καθαρά αναλυτικός προσδιορισμός του τομέα ορισμού είναι κατάλληλος, αλλά όταν η συνάρτηση είναι πολύ περίπλοκη, θα πρέπει να σχεδιάσετε έναν άξονα και να κάνετε σημειώσεις.

Παράδειγμα 6

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας.

Όταν υπάρχει ένα τετράγωνο διώνυμο ή τριώνυμο κάτω από την τετραγωνική ρίζα, η κατάσταση γίνεται λίγο πιο περίπλοκη και τώρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς την τεχνική λύσης:

Παράδειγμα 7

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Διάλυμα: η ριζική έκφραση πρέπει να είναι αυστηρά θετική, δηλαδή πρέπει να λύσουμε την ανισότητα. Στο πρώτο βήμα, προσπαθούμε να συνυπολογίσουμε το τετραγωνικό τριώνυμο:

Η διάκριση είναι θετική, ψάχνουμε για ρίζες:

Η παραβολή λοιπόν τέμνει τον άξονα x σε δύο σημεία, πράγμα που σημαίνει ότι μέρος της παραβολής βρίσκεται κάτω από τον άξονα (ανισότητα) και μέρος της παραβολής βρίσκεται πάνω από τον άξονα (η ανισότητα που χρειαζόμαστε).

Εφόσον ο συντελεστής είναι , οι κλάδοι της παραβολής δείχνουν προς τα πάνω. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η ανισότητα ικανοποιείται στα διαστήματα (οι κλάδοι της παραβολής ανεβαίνουν στο άπειρο) και η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο διάστημα κάτω από τον άξονα x, που αντιστοιχεί στην ανισότητα:

! Σημείωμα: Εάν δεν καταλαβαίνετε πλήρως τις εξηγήσεις, σχεδιάστε τον δεύτερο άξονα και ολόκληρη την παραβολή! Συνιστάται να επιστρέψετε στο άρθρο και στο εγχειρίδιο Καυτές φόρμουλες για το σχολικό μάθημα μαθηματικών.

Σημειώστε ότι οι ίδιοι οι πόντοι αφαιρούνται (δεν περιλαμβάνονται στη λύση), καθώς η ανισότητά μας είναι αυστηρή.

Απάντηση: πεδίο ορισμού:

Γενικά, πολλές ανισότητες (συμπεριλαμβανομένης της εξεταζόμενης) επιλύονται από το καθολικό μέθοδος διαστήματος, γνωστός πάλι από σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Αλλά στις περιπτώσεις τετραγωνικών διωνύμων και τριωνύμων, κατά τη γνώμη μου, είναι πολύ πιο βολικό και πιο γρήγορο να αναλύσουμε τη θέση της παραβολής σε σχέση με τον άξονα. Και θα αναλύσουμε την κύρια μέθοδο - τη μέθοδο του διαστήματος - λεπτομερώς στο άρθρο. Συναρτήσεις μηδενικά. Διαστήματα σταθερότητας.

Παράδειγμα 8

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Το δείγμα σχολιάζει αναλυτικά τη λογική του συλλογισμού + τη δεύτερη μέθοδο λύσης και άλλον έναν σημαντικό μετασχηματισμό της ανισότητας, χωρίς γνώση της οποίας ο μαθητής θα κουτσαίνει στο ένα πόδι..., ...χμμ... φαντάζομαι ότι κατάλαβα ενθουσιασμένος με το πόδι, μάλλον, στο ένα δάχτυλο. Αντίχειρας.

Μπορεί να οριστεί συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή; Σίγουρα. Όλα τα γνωστά πρόσωπα: . Ή παρόμοιο άθροισμα με εκθέτη: . Πράγματι, για οποιεσδήποτε τιμές των "x" και "ka": , επομένως επίσης και .

Εδώ είναι ένα λιγότερο προφανές παράδειγμα: . Εδώ η διάκριση είναι αρνητική (η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα x), ενώ οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, εξ ου και το πεδίο ορισμού: .

Το αντίθετο ερώτημα: μπορεί να είναι το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης αδειάζω? Ναι, και ένα πρωτόγονο παράδειγμα αυτοπροτείνεται αμέσως , όπου η ριζική έκφραση είναι αρνητική για οποιαδήποτε τιμή του "x", και ο τομέας ορισμού: (εικονίδιο κενού συνόλου). Μια τέτοια συνάρτηση δεν ορίζεται καθόλου (φυσικά και το γράφημα είναι απατηλό).

Με περίεργες ρίζες και τα λοιπά. όλα είναι πολύ καλύτερα - εδώ Η ριζική έκφραση μπορεί να είναι αρνητική. Για παράδειγμα, μια συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Ωστόσο, η λειτουργία ενιαίο σημείοεξακολουθεί να μην περιλαμβάνεται στο πεδίο του ορισμού, καθώς ο παρονομαστής είναι μηδενικός. Για τον ίδιο λόγο για τη λειτουργία εξαιρούνται βαθμοί.

Τομέας συνάρτησης με λογάριθμο

Η τρίτη κοινή συνάρτηση είναι ο λογάριθμος. Ως δείγμα θα ζωγραφίσω φυσικός λογάριθμος, το οποίο εμφανίζεται σε περίπου 99 παραδείγματα από τα 100. Εάν μια συγκεκριμένη συνάρτηση περιέχει έναν λογάριθμο, τότε ο τομέας ορισμού της θα πρέπει να περιλαμβάνει μόνο εκείνες τις τιμές του "x" που ικανοποιούν την ανισότητα. Αν ο λογάριθμος είναι στον παρονομαστή: , τότε επιπλέονεπιβάλλεται όρος (αφού ).

Παράδειγμα 9

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Διάλυμα: σύμφωνα με τα παραπάνω, θα συνθέσουμε και θα λύσουμε το σύστημα:

Γραφική λύση για ανδρείκελα:

Απάντηση: πεδίο ορισμού:

Θα σταθώ σε ένα ακόμη τεχνικό σημείο - δεν έχω την κλίμακα που υποδεικνύεται και οι διαιρέσεις κατά μήκος του άξονα δεν επισημαίνονται. Τίθεται το ερώτημα: πώς να κάνετε τέτοια σχέδια σε ένα σημειωματάριο σε καρό χαρτί; Πρέπει η απόσταση μεταξύ των σημείων να μετράται με κελιά αυστηρά σύμφωνα με την κλίμακα; Είναι πιο κανονικό και πιο αυστηρό, φυσικά, στην κλίμακα, αλλά ένα σχηματικό σχέδιο που αντικατοπτρίζει ουσιαστικά την κατάσταση είναι επίσης αρκετά αποδεκτό.

Παράδειγμα 10

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Για να λύσετε το πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο της προηγούμενης παραγράφου - αναλύστε πώς βρίσκεται η παραβολή σε σχέση με τον άξονα x. Η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Όπως μπορείτε να δείτε, στο βασίλειο των λογαρίθμων όλα μοιάζουν πολύ με την κατάσταση με τις τετραγωνικές ρίζες: η συνάρτηση (τετράγωνο τριώνυμο από το Παράδειγμα Νο. 7) ορίζεται στα διαστήματα και η συνάρτηση (τετράγωνο διώνυμο από το Παράδειγμα Νο. 6) στο διάστημα . Είναι δύσκολο να πούμε ότι οι συναρτήσεις τύπου ορίζονται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή.

Χρήσιμες πληροφορίες : η τυπική συνάρτηση είναι ενδιαφέρουσα, ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή εκτός από το σημείο. Σύμφωνα με την ιδιότητα του λογάριθμου, το «δύο» μπορεί να πολλαπλασιαστεί εκτός του λογάριθμου, αλλά για να μην αλλάξει η συνάρτηση, το «x» πρέπει να περικλείεται κάτω από το πρόσημο συντελεστή: . Ορίστε άλλο ένα για εσάς" πρακτική εφαρμογή» ενότητα =). Αυτό πρέπει να κάνετε στις περισσότερες περιπτώσεις όταν κατεδαφίζετε ακόμη καιπτυχίο, για παράδειγμα: . Αν η βάση του βαθμού είναι εμφανώς θετική, για παράδειγμα, τότε δεν χρειάζεται το πρόσημο του συντελεστή και αρκεί να χρησιμοποιήσουμε παρενθέσεις: .

Για να αποφύγουμε την επανάληψη, ας περιπλέκουμε την εργασία:

Παράδειγμα 11

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Διάλυμα: σε αυτή τη συνάρτηση έχουμε και τη ρίζα και τον λογάριθμο.

Η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική: , και η έκφραση κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου πρέπει να είναι αυστηρά θετική: . Επομένως, είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα:

Πολλοί από εσάς γνωρίζετε πολύ καλά ή μαντεύετε διαισθητικά ότι η λύση συστήματος πρέπει να ικανοποιεί σε όλουςκατάσταση.

Εξετάζοντας τη θέση της παραβολής σε σχέση με τον άξονα, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η ανισότητα ικανοποιείται από το διάστημα (μπλε σκίαση):

Η ανισότητα αντιστοιχεί προφανώς στο «κόκκινο» μισό διάστημα.

Αφού πρέπει να πληρούνται και οι δύο προϋποθέσεις ταυτοχρόνως, τότε η λύση στο σύστημα είναι η τομή αυτών των διαστημάτων. Τα «κοινά συμφέροντα» ικανοποιούνται στο ημίχρονο.

Απάντηση: πεδίο ορισμού:

Η τυπική ανισότητα, όπως καταδεικνύεται στο Παράδειγμα Νο. 8, δεν είναι δύσκολο να επιλυθεί αναλυτικά.

Ο τομέας που βρέθηκε δεν θα αλλάξει για "παρόμοιες συναρτήσεις", π.χ. ή . Μπορείτε επίσης να προσθέσετε ορισμένες συνεχείς συναρτήσεις, για παράδειγμα: , ή όπως αυτό: , ή ακόμα και σαν αυτό: . Όπως λένε, η ρίζα και ο λογάριθμος είναι πεισματάρα. Το μόνο πράγμα είναι ότι εάν μία από τις συναρτήσεις «επαναφέρεται» στον παρονομαστή, τότε ο τομέας ορισμού θα αλλάξει (αν και σε γενική περίπτωσηαυτό δεν είναι πάντα αλήθεια). Λοιπόν, στη θεωρία μάταν για αυτό το λεκτικό... ωχ... υπάρχουν θεωρήματα.

Παράδειγμα 12

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Η χρήση ενός σχεδίου είναι αρκετά κατάλληλη, καθώς η λειτουργία δεν είναι η απλούστερη.

Κάποια ακόμη παραδείγματα για την ενίσχυση του υλικού:

Παράδειγμα 13

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Διάλυμα: ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα:

Όλες οι ενέργειες έχουν ήδη συζητηθεί σε όλο το άρθρο. Ας απεικονίσουμε το διάστημα που αντιστοιχεί στην ανισότητα στην αριθμητική γραμμή και, σύμφωνα με τη δεύτερη συνθήκη, εξαλείφουμε δύο σημεία:

Το νόημα αποδείχθηκε εντελώς άσχετο.

Απάντηση: τομέας ορισμού

Ένα μικρό λογοπαίγνιο μαθηματικών σε μια παραλλαγή του 13ου παραδείγματος:

Παράδειγμα 14

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Όσοι το έχασαν δεν έχουν τύχη ;-)

Η τελευταία ενότητα του μαθήματος είναι αφιερωμένη σε πιο σπάνιες, αλλά και «εργατικές» λειτουργίες:

Περιοχές ορισμού συναρτήσεων
με εφαπτομένες, συνεφαπτομένες, αρξίνες, αρκοσίνες

Εάν κάποια συνάρτηση περιλαμβάνει , τότε από τον τομέα ορισμού της εξαιρούνταισημεία όπου Ζ– ένα σύνολο ακεραίων. Συγκεκριμένα, όπως σημειώνεται στο άρθρο Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων, η συνάρτηση έχει τις ακόλουθες τιμές:

Δηλαδή, το πεδίο ορισμού της εφαπτομένης: .

Ας μην σκοτώνουμε πολύ:

Παράδειγμα 15

Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης

Διάλυμα: σε αυτήν την περίπτωση, τα ακόλουθα σημεία δεν θα περιλαμβάνονται στον τομέα ορισμού:

Ας ρίξουμε το "δύο" της αριστερής πλευράς στον παρονομαστή της δεξιάς πλευράς:

Ως αποτέλεσμα :

Απάντηση: πεδίο ορισμού: .

Κατ 'αρχήν, η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως ένωση άπειρου αριθμού διαστημάτων, αλλά η κατασκευή θα είναι πολύ δυσκίνητη:

Η αναλυτική λύση είναι απολύτως συνεπής με γεωμετρικός μετασχηματισμός της γραφικής παράστασης: αν το όρισμα μιας συνάρτησης πολλαπλασιαστεί επί 2, τότε η γραφική παράσταση της θα συρρικνωθεί στον άξονα δύο φορές. Παρατηρήστε πώς η περίοδος της συνάρτησης έχει μειωθεί στο μισό και σημεία διακοπήςδιπλασιάστηκε σε συχνότητα. Ταχυκαρδία.

Μια παρόμοια ιστορία με την συνεφαπτομένη. Εάν κάποια συνάρτηση περιλαμβάνει , τότε τα σημεία εξαιρούνται από τον τομέα ορισμού της. Συγκεκριμένα, για τη λειτουργία αυτόματης ριπής καταγράφουμε τις ακόλουθες τιμές:

Με άλλα λόγια:

Επιστημονικός Υπεύθυνος:

1. Εισαγωγή 3

2. Ιστορικό σκίτσο 4

3. «Τόπος» του ODZ κατά την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων 5-6

4. Χαρακτηριστικά και κίνδυνοι του ODZ 7

5. ODZ – υπάρχει λύση 8-9

6. Η εύρεση του ODZ είναι επιπλέον δουλειά. Ισοδυναμία μεταβάσεων 10-14

7. ΟΔΖ στην Ενιαία Κρατική Εξέταση 15-16

8. Συμπέρασμα 17

9. Λογοτεχνία 18

1. Εισαγωγή

Πρόβλημα:οι εξισώσεις και οι ανισότητες στις οποίες είναι απαραίτητο να βρεθεί η ODZ δεν έχουν βρει θέση στο μάθημα της άλγεβρας για συστηματική παρουσίαση, γι' αυτό πιθανώς οι συμμαθητές μου και εγώ κάνουμε συχνά λάθη όταν λύνουμε τέτοια παραδείγματα, αφιερώνοντας πολύ χρόνο στην επίλυσή τους, ενώ ξεχνάμε σχετικά με την ODZ.

Στόχος:να είναι σε θέση να αναλύσει την κατάσταση και να εξάγει λογικά σωστά συμπεράσματα σε παραδείγματα όπου είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η Δ.Λ.

Καθήκοντα:

1. Μελέτη θεωρητικού υλικού.

2. Λύστε πολλές εξισώσεις, ανισώσεις: α) κλασματικές-ορθολογικές; β) παράλογο. γ) λογαριθμική? δ) που περιέχει αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

3. Εφαρμόστε τα υλικά που μελετήθηκαν σε μια κατάσταση που διαφέρει από την τυπική.

4. Δημιουργία εργασίας με θέμα «Περιοχή αποδεκτές τιμές: θεωρία και πράξη"

Εργασία στο έργο:Άρχισα να δουλεύω πάνω στο έργο επαναλαμβάνοντας τις λειτουργίες που ήξερα. Το εύρος πολλών από αυτά είναι περιορισμένο.

Το ODZ εμφανίζεται:

1. Όταν αποφασίζετε κλασματικές ορθολογικές εξισώσειςκαι ανισότητες

2. Όταν αποφασίζετε παράλογες εξισώσειςκαι ανισότητες

3. Όταν αποφασίζετε λογαριθμικές εξισώσειςκαι ανισότητες

4. Κατά την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Έχοντας λύσει πολλά παραδείγματα από διάφορες πηγές (ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΤΕ σχολικά βιβλία, σχολικά βιβλία, βιβλία αναφοράς), συστηματοποίησα τη λύση των παραδειγμάτων σύμφωνα με τις ακόλουθες αρχές:

· μπορείτε να λύσετε το παράδειγμα και να λάβετε υπόψη την ODZ (η πιο κοινή μέθοδος)

· είναι δυνατή η επίλυση του παραδείγματος χωρίς να ληφθεί υπόψη το ODZ

· Είναι δυνατό να καταλήξουμε στη σωστή απόφαση μόνο λαμβάνοντας υπόψη το ODZ.

Μέθοδοι που χρησιμοποιούνται στην εργασία: 1) ανάλυση? 2) στατιστική ανάλυση; 3) έκπτωση? 4) ταξινόμηση? 5) πρόβλεψη.

Μελέτησα την ανάλυση των αποτελεσμάτων της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης τα τελευταία χρόνια. Έγιναν πολλά λάθη σε παραδείγματα στα οποία είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η DL. Αυτό τονίζει για άλλη μια φορά συνάφειατο θέμα μου.

2. Ιστορικό σκίτσο

Όπως και άλλες έννοιες των μαθηματικών, η έννοια της συνάρτησης δεν αναπτύχθηκε αμέσως, αλλά πέρασε από μια μακρά πορεία ανάπτυξης. Το έργο του P. Fermat «Introduction and Study of Flat and Solid Places» (1636, έκδοση 1679) λέει: «Όποτε στο τελική εξίσωσηΥπάρχουν δύο άγνωστες ποσότητες, υπάρχει ένα μέρος». Ουσιαστικά, εδώ μιλάμε για λειτουργική εξάρτηση και τη γραφική αναπαράστασή της («τόπος» στα Fermat σημαίνει γραμμή). Η μελέτη των γραμμών σύμφωνα με τις εξισώσεις τους στη «Γεωμετρία» του R. Descartes (1637) δείχνει επίσης μια σαφή κατανόηση της αμοιβαίας εξάρτησης δύο μεταβλητών. Στο I. Barrow (“Lectures on Geometry”, 1670) στο γεωμετρικό σχήμαδιαπιστώνεται η αμοιβαία αντίστροφη φύση των ενεργειών διαφοροποίησης και ολοκλήρωσης (φυσικά, χωρίς τη χρήση αυτών των όρων). Αυτό υποδηλώνει ήδη μια απολύτως σαφή γνώση της έννοιας της λειτουργίας. Την έννοια αυτή τη συναντάμε και σε γεωμετρική και μηχανική μορφή στον I. Newton. Ωστόσο, ο όρος «συνάρτηση» εμφανίζεται για πρώτη φορά μόλις το 1692 με τον G. Leibniz και, επιπλέον, όχι αρκετά στη σύγχρονη κατανόησή του. Ο G. Leibniz ονομάζει διάφορα τμήματα που σχετίζονται με μια καμπύλη (για παράδειγμα, την τετμημένη των σημείων της) συνάρτηση. Στο πρώτο έντυπο μάθημα, «Analysis of infinitesimals for the Knowledge of curved lines» του L'Hopital (1696), ο όρος «function» δεν χρησιμοποιείται.

Ο πρώτος ορισμός μιας συνάρτησης με μια έννοια κοντά στη σύγχρονη βρίσκεται στον I. Bernoulli (1718): «Μια συνάρτηση είναι μια ποσότητα που αποτελείται από μια μεταβλητή και μια σταθερά». Αυτός ο όχι εντελώς σαφής ορισμός βασίζεται στην ιδέα του προσδιορισμού μιας συνάρτησης με έναν αναλυτικό τύπο. Η ίδια ιδέα εμφανίζεται και στον ορισμό του L. Euler, που δόθηκε από τον ίδιο στο «Introduction to the Analysis of Infinites» (1748): «Η συνάρτηση μιας μεταβλητής ποσότητας είναι μια αναλυτική έκφραση που συντίθεται με κάποιο τρόπο από αυτή τη μεταβλητή ποσότητα και αριθμούς ή σταθερές ποσότητες" Ωστόσο, ο L. Euler δεν είναι πια ξένος σύγχρονη κατανόησησυνάρτηση, η οποία δεν συνδέει την έννοια της συνάρτησης με καμία αναλυτική της έκφραση. στο δικό του " Διαφορικός λογισμός» (1755) λέει: «Όταν ορισμένες ποσότητες εξαρτώνται από άλλες με τέτοιο τρόπο ώστε όταν οι τελευταίες αλλάζουν, οι ίδιες υπόκεινται σε αλλαγές, τότε οι πρώτες ονομάζονται συναρτήσεις της δεύτερης».

ΜΕ αρχές XIXαιώνες, όλο και πιο συχνά ορίζουν την έννοια της συνάρτησης χωρίς να αναφέρουν την αναλυτική της αναπαράσταση. Στο «Treatise on Differential and Integral Calculus» (1797-1802) ο S. Lacroix λέει: «Κάθε ποσότητα της οποίας η τιμή εξαρτάται από μία ή πολλές άλλες ποσότητες ονομάζεται συνάρτηση αυτών των τελευταίων». Στην «Analytic Theory of Heat» του J. Fourier (1822) υπάρχει μια φράση: «Function f(x)δηλώνει μια εντελώς αυθαίρετη συνάρτηση, δηλαδή μια ακολουθία δεδομένων τιμών, είτε υπόκεινται είτε όχι σε έναν γενικό νόμο και αντιστοιχεί σε όλες τις τιμές xπεριείχε μεταξύ 0 και κάποια τιμή x" Ο ορισμός του N. I. Lobachevsky είναι κοντά στον σύγχρονο: «... Γενική έννοιαη συνάρτηση απαιτεί η συνάρτηση από xονομάστε τον αριθμό που δίνεται για το καθένα xκαι μαζί με xαλλάζει σταδιακά. Η τιμή της συνάρτησης μπορεί να δοθεί είτε με μια αναλυτική έκφραση, είτε από μια συνθήκη που παρέχει ένα μέσο δοκιμής όλων των αριθμών και επιλογής ενός από αυτούς ή, τέλος, η εξάρτηση μπορεί να υπάρχει και να παραμένει άγνωστη. Λέγεται επίσης εκεί λίγο πιο κάτω: «Η ευρεία άποψη της θεωρίας επιτρέπει την ύπαρξη εξάρτησης μόνο με την έννοια ότι οι αριθμοί ο ένας με τον άλλον σε σχέση γίνονται κατανοητοί σαν να δίνονται μαζί». Ετσι, σύγχρονος ορισμόςλειτουργία, απαλλαγμένη από αναφορές στην αναλυτική εργασία, που συνήθως αποδίδεται στον P. Dirichlet (1837), προτάθηκε επανειλημμένα ενώπιόν του.

Το πεδίο ορισμού (αποδεκτές τιμές) μιας συνάρτησης y είναι το σύνολο τιμών της ανεξάρτητης μεταβλητής x για την οποία ορίζεται αυτή η συνάρτηση, δηλαδή το πεδίο αλλαγής της ανεξάρτητης μεταβλητής (όρισμα).

3. "Τόπος" του εύρους των αποδεκτών τιμών κατά την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων

1. Κατά την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων και ανισώσεωνο παρονομαστής δεν πρέπει να είναι μηδέν.

2. Επίλυση παράλογων εξισώσεων και ανισώσεων.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

Σε αυτήν την περίπτωση, δεν χρειάζεται να βρεθεί το ODZ: από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι οι λαμβανόμενες τιμές του x ικανοποιούν την ακόλουθη ανισότητα: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33. gif" width="107" height="27 src="> είναι το σύστημα:

Εφόσον εισέρχονται στην εξίσωση εξίσου, τότε αντί για ανισότητα, μπορείτε να συμπεριλάβετε την ανισότητα https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων.

3.1. Σχέδιο επίλυσης λογαριθμικής εξίσωσης

Αρκεί όμως να ελέγξετε μόνο μία συνθήκη του ODZ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Τριγωνομετρικές εξισώσεις της μορφήςείναι ισοδύναμα με το σύστημα (αντί για ανισότητα, μπορείτε να συμπεριλάβετε την ανισότητα στο σύστημα https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> είναι ισοδύναμα στην εξίσωση

4. Χαρακτηριστικά και κίνδυνοι του εύρους των επιτρεπόμενων τιμών

Στα μαθήματα των μαθηματικών, απαιτείται να βρίσκουμε το DL σε κάθε παράδειγμα. Ταυτόχρονα, σύμφωνα με τη μαθηματική ουσία του θέματος, η εύρεση του ODZ δεν είναι καθόλου υποχρεωτική, συχνά δεν είναι απαραίτητη και μερικές φορές αδύνατη - και όλα αυτά χωρίς καμία βλάβη στη λύση του παραδείγματος. Από την άλλη πλευρά, συμβαίνει συχνά, αφού λύσουν ένα παράδειγμα, οι μαθητές να ξεχάσουν να λάβουν υπόψη τους το DL, να το σημειώσουν ως τελική απάντηση και να λάβουν υπόψη μόνο ορισμένες προϋποθέσεις. Αυτή η περίσταση είναι γνωστή, αλλά ο «πόλεμος» συνεχίζεται κάθε χρόνο και, όπως φαίνεται, θα συνεχιστεί για πολύ καιρό.

Εξετάστε, για παράδειγμα, την ακόλουθη ανισότητα:

Εδώ αναζητείται το ODZ και λύνεται η ανισότητα. Ωστόσο, όταν λύνουν αυτήν την ανισότητα, οι μαθητές πιστεύουν μερικές φορές ότι είναι πολύ πιθανό να γίνει χωρίς αναζήτηση για DL, ή πιο συγκεκριμένα, είναι δυνατό να γίνει χωρίς την προϋπόθεση

Στην πραγματικότητα, για να λάβετε τη σωστή απάντηση είναι απαραίτητο να λάβετε υπόψη τόσο την ανισότητα , και .

Αλλά, για παράδειγμα, η λύση της εξίσωσης: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

που ισοδυναμεί με την εργασία με ODZ. Ωστόσο, σε αυτό το παράδειγμα, μια τέτοια εργασία είναι περιττή - αρκεί να ελέγξετε την εκπλήρωση μόνο δύο από αυτές τις ανισότητες και οποιωνδήποτε δύο.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι οποιαδήποτε εξίσωση (ανισότητα) μπορεί να αναχθεί στη μορφή . Το ODZ είναι απλώς το πεδίο ορισμού της συνάρτησης στην αριστερή πλευρά. Το γεγονός ότι αυτή η περιοχή πρέπει να παρακολουθείται προκύπτει από τον ορισμό της ρίζας ως αριθμού από το πεδίο ορισμού μιας δεδομένης συνάρτησης, επομένως από το ODZ. Ακολουθεί ένα αστείο παράδειγμα σχετικά με αυτό το θέμα..gif" width="20" height="21 src="> έχει έναν τομέα ορισμού ενός συνόλου θετικών αριθμών (αυτό, φυσικά, είναι μια συμφωνία για την εξέταση μιας συνάρτησης με , αλλά λογικό), και τότε -1 δεν είναι είναι η ρίζα.

5. Εύρος αποδεκτών τιμών – υπάρχει λύση

Και τέλος, σε πολλά παραδείγματα, η εύρεση του ODZ σάς επιτρέπει να λάβετε την απάντηση χωρίς ογκώδεις διατάξεις,ή ακόμα και προφορικά.

1. Το OD3 είναι ένα κενό σύνολο, που σημαίνει ότι το αρχικό παράδειγμα δεν έχει λύσεις.

1) 2) 3)

2. Β ODZ Βρίσκονται ένας ή περισσότεροι αριθμοί και μια απλή αντικατάσταση καθορίζει γρήγορα τις ρίζες.

1) , x=3

2)Εδώ στο ODZ υπάρχει μόνο ο αριθμός 1, και μετά την αντικατάσταση είναι σαφές ότι δεν είναι ρίζα.

3) Υπάρχουν δύο αριθμοί στο ODZ: 2 και 3, και οι δύο είναι κατάλληλοι.

4) > Στο ODZ υπάρχουν δύο αριθμοί 0 και 1, και μόνο το 1 είναι κατάλληλο.

Το ODZ μπορεί να χρησιμοποιηθεί αποτελεσματικά σε συνδυασμό με την ανάλυση της ίδιας της έκφρασης.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) Από το ODZ προκύπτει ότι, όπου έχουμε ..gif" width="143" height="24"> Από το ODZ έχουμε: . Αλλά τότε και . Αφού, δεν υπάρχουν λύσεις.

Από το ODZ έχουμε: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, που σημαίνει . Λύνοντας την τελευταία ανισότητα, παίρνουμε x<- 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.

3) ODZ: . Από τότε

Από την άλλη πλευρά, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. Θεωρήστε την εξίσωση στο διάστημα [-1; 0).

Πληροί τις ακόλουθες ανισότητες https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> και δεν υπάρχουν λύσεις. Με τη λειτουργία και https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> Ας βρούμε το ODZ:

Μια ακέραια λύση είναι δυνατή μόνο για x=3 και x=5. Ελέγχοντας διαπιστώνουμε ότι η ρίζα x=3 δεν ταιριάζει, που σημαίνει ότι η απάντηση είναι x=5.

6. Η εύρεση του εύρους των αποδεκτών τιμών είναι επιπλέον δουλειά. Ισοδυναμία μεταβάσεων.

Μπορείτε να δώσετε παραδείγματα όπου η κατάσταση είναι ξεκάθαρη ακόμη και χωρίς να βρείτε DZ.

Η ισότητα είναι αδύνατη, γιατί όταν αφαιρούμε μια μεγαλύτερη παράσταση από μια μικρότερη, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι αρνητικός αριθμός.

2. .

Το άθροισμα δύο μη αρνητικών συναρτήσεων δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

Θα δώσω επίσης παραδείγματα όπου η εύρεση του ODZ είναι δύσκολη και μερικές φορές απλά αδύνατη.

Και τέλος, οι αναζητήσεις για ODZ είναι πολύ συχνά απλώς επιπλέον εργασία, την οποία μπορείτε να κάνετε χωρίς, αποδεικνύοντας έτσι την κατανόησή σας για το τι συμβαίνει. Υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός παραδειγμάτων που μπορούν να δοθούν εδώ, επομένως θα επιλέξω μόνο τα πιο τυπικά. Η κύρια μέθοδος λύσης σε αυτή την περίπτωση είναι οι ισοδύναμοι μετασχηματισμοί κατά τη μετάβαση από μια εξίσωση (ανισότητα, σύστημα) σε μια άλλη.

1.. Το ODZ δεν χρειάζεται, γιατί, έχοντας βρει εκείνες τις τιμές του x για τις οποίες x2 = 1, δεν μπορούμε να λάβουμε x = 0.

2. . Το ODZ δεν χρειάζεται, γιατί διαπιστώνουμε πότε ικανοποιείται η ισότητα ριζική έκφρασηθετικό νούμερο.

3. . Το ODZ δεν χρειάζεται για τους ίδιους λόγους όπως στο προηγούμενο παράδειγμα.

Το ODZ δεν χρειάζεται, επειδή η ριζική έκφραση είναι ίση με το τετράγωνο κάποιας συνάρτησης και επομένως δεν μπορεί να είναι αρνητική.

6. ..gif" width="271" height="51"> Για να λυθεί, αρκεί μόνο ένας περιορισμός για τη ριζική έκφραση. Στην πραγματικότητα, από το γραπτό μικτό σύστημα προκύπτει ότι η άλλη ριζική έκφραση είναι μη αρνητική.

8. Το DZ δεν χρειάζεται για τους ίδιους λόγους όπως στο προηγούμενο παράδειγμα.

9. Το ODZ δεν χρειάζεται, αφού αρκεί δύο από τις τρεις εκφράσεις κάτω από τα σημάδια του λογάριθμου να είναι θετικές για να διασφαλιστεί η θετικότητα της τρίτης.

10. .gif" width="357" height="51"> Το ODZ δεν χρειάζεται για τους ίδιους λόγους όπως στο προηγούμενο παράδειγμα.

Αξίζει να σημειωθεί, ωστόσο, ότι κατά την επίλυση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ισοδύναμων μετασχηματισμών, η γνώση του ODZ (και των ιδιοτήτων των συναρτήσεων) βοηθά.

Εδώ είναι μερικά παραδείγματα.

1. . OD3, το οποίο υποδηλώνει ότι η έκφραση στη δεξιά πλευρά είναι θετική και είναι δυνατό να γραφτεί μια εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν με αυτήν τη μορφή https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" πλάτος ="112" height="27 "> ODZ: Αλλά τότε, και κατά την επίλυση αυτής της ανισότητας, δεν είναι απαραίτητο να εξετάσουμε την περίπτωση όταν η δεξιά πλευρά είναι μικρότερη από 0.

3. . Από το ODZ προκύπτει ότι, και επομένως η περίπτωση όταν https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Μεταβείτε στο γενική άποψημοιάζει με αυτό:

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις: 0 >1.

Αυτό σημαίνει ότι η αρχική ανισότητα είναι ισοδύναμη με το ακόλουθο σύνολο συστημάτων ανισοτήτων:

Το πρώτο σύστημα δεν έχει λύσεις, αλλά από το δεύτερο παίρνουμε: x<-1 – решение неравенства.

Η κατανόηση των συνθηκών ισοδυναμίας απαιτεί γνώση κάποιων λεπτοτήτων. Για παράδειγμα, γιατί οι παρακάτω εξισώσεις είναι ισοδύναμες:

Και τέλος, ίσως το πιο σημαντικό. Γεγονός είναι ότι η ισοδυναμία εγγυάται την ορθότητα της απάντησης εάν γίνουν ορισμένοι μετασχηματισμοί της ίδιας της εξίσωσης, αλλά δεν χρησιμοποιείται για μετασχηματισμούς μόνο σε ένα από τα μέρη. Οι συντομογραφίες και η χρήση διαφορετικών τύπων σε ένα από τα μέρη δεν καλύπτονται από τα θεωρήματα ισοδυναμίας. Έχω ήδη δώσει μερικά παραδείγματα αυτού του τύπου. Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα.

1. Η απόφαση αυτή είναι φυσική. Στην αριστερή πλευρά από την ιδιοκτησία λογαριθμική συνάρτησηας περάσουμε στην έκφραση ..gif" width="111" height="48">

Έχοντας λύσει αυτό το σύστημα, παίρνουμε το αποτέλεσμα (-2 και 2), το οποίο όμως δεν είναι απάντηση, αφού ο αριθμός -2 δεν περιλαμβάνεται στο ODZ. Λοιπόν, πρέπει να εγκαταστήσουμε το ODS; Φυσικά και όχι. Εφόσον όμως χρησιμοποιήσαμε μια ορισμένη ιδιότητα της λογαριθμικής συνάρτησης στη λύση, τότε είμαστε υποχρεωμένοι να παρέχουμε τις προϋποθέσεις υπό τις οποίες αυτή ικανοποιείται. Τέτοια συνθήκη είναι η θετικότητα των εκφράσεων κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> οι αριθμοί υπόκεινται σε αντικατάσταση με αυτόν τον τρόπο . Ποιος θέλει να κάνει τόσο κουραστικούς υπολογισμούς;.gif" width="12" height="23 src="> προσθέστε μια συνθήκη και μπορείτε να δείτε αμέσως ότι μόνο ο αριθμός https://pandia.ru/text/78/083 / πληροί αυτήν την συνθήκη images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) αποδείχθηκε από το 52% των υποψηφίων. Ένας από τους λόγους για τόσο χαμηλά ποσοστά είναι το γεγονός ότι πολλοί απόφοιτοι δεν επέλεξαν τις ρίζες που προέκυψαν από την εξίσωση αφού την τετράγωναν.

3) Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τη λύση σε ένα από τα προβλήματα C1: «Βρείτε όλες τις τιμές του x για τις οποίες τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης βρίσκονται πάνω από τα αντίστοιχα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ". Η εργασία περιορίζεται στην επίλυση μιας κλασματικής ανισότητας που περιέχει λογαριθμική έκφραση. Γνωρίζουμε τις μεθόδους για την επίλυση τέτοιων ανισοτήτων. Το πιο συνηθισμένο από αυτά είναι η μέθοδος του διαστήματος. Ωστόσο, όταν το χρησιμοποιούν, οι δοκιμαστές κάνουν διάφορα λάθη. Ας δούμε τα πιο συνηθισμένα λάθη χρησιμοποιώντας την ανισότητα ως παράδειγμα:

Χ< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Συμπέρασμα

Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι δεν υπάρχει καθολική μέθοδος για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων. Κάθε φορά, αν θέλετε να καταλάβετε τι κάνετε και να μην ενεργήσετε μηχανικά, τίθεται ένα δίλημμα: ποια λύση πρέπει να επιλέξετε, συγκεκριμένα, να αναζητήσετε ODZ ή όχι; Νομίζω ότι η εμπειρία που έχω αποκτήσει θα με βοηθήσει να λύσω αυτό το δίλημμα. Θα σταματήσω να κάνω λάθη μαθαίνοντας πώς να χρησιμοποιώ σωστά το ODZ. Το αν μπορώ να το κάνω αυτό, θα το δείξει ο χρόνος ή μάλλον η Ενιαία Κρατική Εξέταση.

9. Λογοτεχνία

Και άλλοι «Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης 10-11» βιβλίο προβλημάτων και σχολικό βιβλίο, M.: «Prosveshchenie», 2002. «Εγχειρίδιο στοιχειωδών μαθηματικών». Μ.: «Νάουκα», 1966. Εφημερίδα «Μαθηματικά» Νο. 46, Εφημερίδα «Μαθηματικά» Αρ. Εφημερίδα «Μαθηματικά» Αρ. «Ιστορία των μαθηματικών στις σχολικές τάξεις VII-VIII». M.: “Prosveshcheniye”, 1982. κ.λπ. “Η πιο πλήρης έκδοση των εκδόσεων πραγματικών εργασιών Ενοποιημένης Πολιτικής Εξέτασης: 2009/FIPI” - M.: “Astrel”, 2009. κ.λπ. “Unified State Examination. Μαθηματικά. Καθολικά υλικά για την προετοιμασία μαθητών/FIPI» - Μ.: «Intelligence Center», 2009. κ.λπ. «Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης 10-11». M.: "Prosveshchenie", 2007. "Εργαστήριο για την επίλυση προβλημάτων στα σχολικά μαθηματικά (εργαστήριο στην άλγεβρα)." Μ.: Εκπαίδευση, 1976. «25.000 μαθήματα μαθηματικών». Μ.: «Διαφωτισμός», 1993. «Προετοιμασία για τις Ολυμπιάδες στα μαθηματικά». Μ.: «Εξεταστική», 2006. «Εγκυκλοπαίδεια για παιδιά «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»» τόμος 11, Μ.: Avanta +; 2002. Υλικά από τα site www. *****, www. *****.

\(\frac(x)(x-1)\) η τιμή της μεταβλητής θα είναι ίση με 1, ο κανόνας παραβιάζεται: Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν. Επομένως, εδώ το \(x\) δεν μπορεί να είναι μονάδα και το ODZ γράφεται ως εξής: \(x\neq1\);

Εάν στην έκφραση \(\sqrt(x-2)\) η τιμή της μεταβλητής είναι \(0\), ο κανόνας παραβιάζεται: η ριζική έκφραση δεν πρέπει να είναι αρνητική. Αυτό σημαίνει ότι εδώ το \(x\) δεν μπορεί να είναι \(0\), καθώς και \(1, -3, -52.7\), κ.λπ. Δηλαδή, το x πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 2 και το ODZ θα είναι: \(x\geq2\);

Αλλά στην έκφραση \(4x+1\) μπορούμε να αντικαταστήσουμε οποιονδήποτε αριθμό αντί του X, και κανένας κανόνας δεν θα παραβιαστεί. Επομένως, το εύρος των αποδεκτών τιμών εδώ είναι ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας. Σε τέτοιες περιπτώσεις, το DZ δεν καταγράφεται, γιατί δεν περιέχει χρήσιμες πληροφορίες.

Μπορείτε να βρείτε όλους τους κανόνες που πρέπει να ακολουθήσετε.

ODZ σε εξισώσεις

Είναι σημαντικό να θυμάστε το εύρος των αποδεκτών τιμών όταν αποφασίζετε και επειδή Εκεί απλώς ψάχνουμε τις τιμές των μεταβλητών και κατά λάθος μπορούμε να βρούμε αυτές που παραβιάζουν τους κανόνες των μαθηματικών.

Για να κατανοήσουμε τη σημασία του ODZ, ας συγκρίνουμε δύο λύσεις στην εξίσωση: με ODZ και χωρίς ODZ.

Παράδειγμα: Λύστε την εξίσωση
Διάλυμα :

Χωρίς ODZ:		Με την ODZ:
\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)		\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)
		ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\)		\(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\)		\(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)		\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)
\(x_1=\)\(=4\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\)
\(x_1=\)\(=-3\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2 1)\)\(=-3\) - δεν πληροί τις προϋποθέσεις για ODZ
Απάντηση : \(4; -3\)		Απάντηση : \(4\)

Βλέπεις τη διαφορά; Στην πρώτη λύση, είχαμε ένα λανθασμένο, επιπλέον ! Γιατί λάθος; Ας προσπαθήσουμε να το αντικαταστήσουμε στην αρχική εξίσωση.

\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)(-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)

Βλέπετε, έχουμε αποκτήσει μη υπολογίσιμες, χωρίς νόημα εκφράσεις τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά (εξάλλου, δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν). Και το ότι είναι ίδιοι δεν παίζει πλέον ρόλο, αφού αυτές οι αξίες δεν υπάρχουν. Έτσι, το "\(-3\)" είναι μια ακατάλληλη, ξένη ρίζα και το εύρος των αποδεκτών τιμών μας προστατεύει από τέτοια σοβαρά σφάλματα.

Γι' αυτό θα λάβετε ένα D για την πρώτη λύση και ένα A για τη δεύτερη. Και αυτά δεν είναι βαρετές κουβέντες του δασκάλου, γιατί η αποτυχία να λάβει κανείς υπόψη το ODS δεν είναι ασήμαντο, αλλά ένα πολύ συγκεκριμένο λάθος, το ίδιο με το χαμένο σημάδι ή την εφαρμογή της λανθασμένης φόρμουλας. Τελικά η τελική απάντηση είναι λάθος!

Η εύρεση του εύρους των αποδεκτών τιμών οδηγεί συχνά στην ανάγκη επίλυσης ή εξισώσεων, επομένως πρέπει να μπορείτε να το κάνετε καλά.

Παράδειγμα : Βρείτε τον τομέα της έκφρασης \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)

Διάλυμα : Υπάρχουν δύο ρίζες στην έκφραση, εκ των οποίων η μία είναι στον παρονομαστή. Όποιος δεν θυμάται τους περιορισμούς που επιβλήθηκαν σε αυτή την περίπτωση είναι... Όποιος θυμάται γράφει ότι η έκφραση κάτω από την πρώτη ρίζα είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν και κάτω από τη δεύτερη ρίζα είναι μεγαλύτερη από το μηδέν. Καταλαβαίνετε γιατί οι περιορισμοί είναι έτσι όπως είναι;

Απάντηση : \((-2;2,5]\)

Μια συνάρτηση είναι ένα μοντέλο. Ας ορίσουμε το X ως ένα σύνολο τιμών μιας ανεξάρτητης μεταβλητής // ανεξάρτητη σημαίνει οποιαδήποτε.

Συνάρτηση είναι ένας κανόνας με τη βοήθεια του οποίου, για κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής από το σύνολο X, μπορεί κανείς να βρει μια μοναδική τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. // δηλ. για κάθε x υπάρχει ένα y.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι υπάρχουν δύο έννοιες - μια ανεξάρτητη μεταβλητή (την οποία συμβολίζουμε με x και μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή) και μια εξαρτημένη μεταβλητή (την οποία συμβολίζουμε με y ή f (x) και υπολογίζεται από τη συνάρτηση όταν αντικαθιστούμε το x).

ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ y=5+x

1. Ανεξάρτητο είναι το x, που σημαίνει ότι παίρνουμε οποιαδήποτε τιμή, έστω x=3

2. Τώρα ας υπολογίσουμε το y, που σημαίνει y=5+x=5+3=8. (το y εξαρτάται από το x, γιατί ό,τι x αντικαταστήσουμε, παίρνουμε y)

Η μεταβλητή y λέγεται ότι εξαρτάται λειτουργικά από τη μεταβλητή x και συμβολίζεται ως εξής: y = f (x).

ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.

1.y=1/x. (ονομάζεται υπερβολή)

2. y=x^2. (ονομάζεται παραβολή)

3.y=3x+7. (ονομάζεται ευθεία γραμμή)

4. y= √ x. (ονομάζεται κλάδος παραβολής)

Η ανεξάρτητη μεταβλητή (την οποία συμβολίζουμε με x) ονομάζεται όρισμα συνάρτησης.