Τραπεζοειδής ορισμός. Θυμηθείτε και εφαρμόστε τις ιδιότητες ενός τραπεζοειδούς

Σε διάφορα υλικά δοκιμέςκαι οι εξετάσεις είναι πολύ συνηθισμένες τραπεζοειδή προβλήματα, η επίλυση του οποίου απαιτεί γνώση των ιδιοτήτων του.

Ας μάθουμε ποιες ενδιαφέρουσες και χρήσιμες ιδιότητες έχει ένα τραπεζοειδές για την επίλυση προβλημάτων.

Αφού μελετήσουμε τις ιδιότητες της μέσης γραμμής ενός τραπεζοειδούς, μπορεί κανείς να διατυπώσει και να αποδείξει ιδιότητα τμήματος που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς. Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το ήμισυ της διαφοράς των βάσεων.

MO – μεσαία γραμμή τρίγωνο ABCκαι ίσο με 1/2ВС (Εικ. 1).

Το MQ είναι η μεσαία γραμμή του τριγώνου ABD και ισούται με 1/2AD.

Τότε OQ = MQ – MO, άρα OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Κατά την επίλυση πολλών προβλημάτων σε ένα τραπεζοειδές, μία από τις κύριες τεχνικές είναι να σχεδιάσετε δύο ύψη σε αυτό.

Σκεφτείτε το εξής έργο.

Έστω ΒΤ το ύψος ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς ABCD με βάσεις BC και AD, με BC = a, AD = b. Να βρείτε τα μήκη των τμημάτων ΑΤ και ΤΔ.

Διάλυμα.

Η επίλυση του προβλήματος δεν είναι δύσκολη (Εικ. 2), αλλά σας επιτρέπει να αποκτήσετε ιδιότητα του ύψους ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς που αντλείται από την κορυφή αμβλεία γωνία : το ύψος ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς που αντλείται από την κορυφή μιας αμβλείας γωνίας χωρίζει τη μεγαλύτερη βάση σε δύο τμήματα, το μικρότερο από τα οποία ισούται με το ήμισυ της διαφοράς των βάσεων και το μεγαλύτερο είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος των βάσεων .

Όταν μελετάτε τις ιδιότητες ενός τραπεζοειδούς, πρέπει να δώσετε προσοχή σε μια τέτοια ιδιότητα όπως η ομοιότητα. Έτσι, για παράδειγμα, οι διαγώνιες ενός τραπεζοειδούς το χωρίζουν σε τέσσερα τρίγωνα και τα τρίγωνα που γειτνιάζουν με τις βάσεις είναι παρόμοια και τα τρίγωνα δίπλα στις πλευρές είναι ίσα σε μέγεθος. Αυτή η δήλωση μπορεί να ονομαστεί ιδιότητα τριγώνων στα οποία χωρίζεται ένα τραπεζοειδές με τις διαγώνιές του. Επιπλέον, το πρώτο μέρος της δήλωσης μπορεί να αποδειχθεί πολύ εύκολα μέσω του πρόσημου της ομοιότητας των τριγώνων σε δύο γωνίες. Ας αποδείξουμεδεύτερο μέρος της δήλωσης.

Τα τρίγωνα BOC και COD έχουν κοινό ύψος (Εικ. 3), αν πάρουμε ως βάσεις τα τμήματα BO και OD. Τότε S BOC /S COD = BO/OD = k. Επομένως, S COD = 1/k · S BOC .

Ομοίως, τα τρίγωνα BOC και AOB έχουν κοινό ύψος αν λάβουμε ως βάση τα τμήματα CO και OA. Τότε S BOC /S AOB = CO/OA = k και S A O B = 1/k · S BOC .

Από αυτές τις δύο προτάσεις προκύπτει ότι S COD = S A O B.

Ας μην μείνουμε στη διατυπωμένη δήλωση, αλλά βρε τη σχέση μεταξύ των εμβαδών των τριγώνων στα οποία χωρίζεται το τραπέζι με τις διαγώνιές του. Για να γίνει αυτό, ας λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα.

Έστω σημείο Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζοειδούς ΑΒΓΔ με τις βάσεις ΒΓ και ΑΔ. Είναι γνωστό ότι τα εμβαδά των τριγώνων BOC και AOD είναι ίσα με S 1 και S 2, αντίστοιχα. Βρείτε την περιοχή του τραπεζοειδούς.

Αφού S COD = S A O B, τότε S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Από την ομοιότητα των τριγώνων BOC και AOD προκύπτει ότι BO/OD = √(S1/S 2).

Επομένως, S1/S COD = BO/OD = √(S1/S 2), που σημαίνει S COD = √(S 1 · S 2).

Τότε S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Χρησιμοποιώντας την ομοιότητα αποδεικνύεται ότι ιδιότητα τμήματος που διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς παράλληλου προς τις βάσεις.

Ας αναλογιστούμε έργο:

Έστω σημείο Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζοειδούς ΑΒΓΔ με τις βάσεις ΒΓ και ΑΔ. π.Χ. = α, μ.Χ. = β. Να βρείτε το μήκος του τμήματος ΠΚ που διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζίου παράλληλων προς τις βάσεις. Ποια τμήματα διαιρείται το PK με το σημείο Ο (Εικ. 4);

Από την ομοιότητα των τριγώνων AOD και BOC προκύπτει ότι AO/OC = AD/BC = b/a.

Από την ομοιότητα των τριγώνων AOP και ACB προκύπτει ότι AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Ως εκ τούτου PO = BC b / (a ​​· + b) = ab / (a ​​+ b).

Ομοίως, από την ομοιότητα των τριγώνων DOK και DBC, προκύπτει ότι OK = ab/(a + b).

Ως εκ τούτου PO = ΟΚ και PK = 2ab/(a + b).

Έτσι, η αποδεδειγμένη ιδιότητα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: ένα τμήμα παράλληλο προς τις βάσεις του τραπεζοειδούς, που διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων και συνδέει δύο σημεία στις πλευρικές πλευρές, διαιρείται στο μισό με το σημείο τομής του διαγώνιους. Το μήκος του είναι ο αρμονικός μέσος όρος των βάσεων του τραπεζοειδούς.

Εξής ιδιοκτησία τεσσάρων σημείων: σε ένα τραπεζοειδές, το σημείο τομής των διαγωνίων, το σημείο τομής της συνέχειας των πλευρών, τα μεσαία σημεία των βάσεων του τραπεζοειδούς βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Τα τρίγωνα BSC και ASD είναι παρόμοια (Εικ. 5)και σε καθένα από αυτά οι διάμεσοι ST και SG χωρίζουν τη γωνία κορυφής S σε ίσα μέρη. Επομένως, τα σημεία S, T και G βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Με τον ίδιο τρόπο, τα σημεία T, O και G βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αυτό προκύπτει από την ομοιότητα των τριγώνων BOC και AOD.

Αυτό σημαίνει ότι και τα τέσσερα σημεία S, T, O και G βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Μπορείτε επίσης να βρείτε το μήκος του τμήματος που χωρίζει το τραπεζοειδές σε δύο παρόμοια.

Εάν τα τραπεζοειδή ALFD και LBCF είναι παρόμοια (Εικ. 6),τότε a/LF = LF/b.

Επομένως LF = √(ab).

Έτσι, ένα τμήμα που χωρίζει ένα τραπέζιο σε δύο παρόμοια τραπεζοειδή έχει μήκος ίσο με το γεωμετρικό μέσο των μηκών των βάσεων.

Ας αποδείξουμε ιδιότητα τμήματος που χωρίζει ένα τραπεζοειδές σε δύο ίσες περιοχές.

Έστω το εμβαδόν του τραπεζοειδούς S (Εικ. 7).Τα h 1 και h 2 είναι μέρη του ύψους και x είναι το μήκος του επιθυμητού τμήματος.

Τότε S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 και

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Αποφασίζοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε x = √(1/2(a 2 + b 2)).

Ετσι, το μήκος του τμήματος που χωρίζει το τραπέζιο σε δύο ίσα είναι ίσο με √((a 2 + b 2)/2)(μέσο τετράγωνο μηκών βάσης).

Άρα, για το τραπέζιο ABCD με βάσεις AD και BC (BC = a, AD = b) αποδείξαμε ότι το τμήμα:

1) Το MN, που συνδέει τα μέσα των πλευρικών πλευρών του τραπεζοειδούς, είναι παράλληλο με τις βάσεις και ίσο με το μισό άθροισμά τους (ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών a και b).

2) Η ΠΚ που διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζίου παράλληλων προς τις βάσεις ισούται με
2ab/(a + b) (αρμονικός μέσος όρος των αριθμών a και b);

3) Το LF, το οποίο χωρίζει ένα τραπέζιο σε δύο παρόμοια τραπεζοειδή, έχει μήκος ίσο με τον γεωμετρικό μέσο όρο των αριθμών a και b, √(ab).

4) Το EH, διαιρώντας ένα τραπέζιο σε δύο ίσα, έχει μήκος √((a 2 + b 2)/2) (η ρίζα του μέσου τετραγώνου των αριθμών a και b).

Σημείο και ιδιότητα εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου τραπεζοειδούς.

Ιδιότητα εγγεγραμμένου τραπεζοειδούς:ένα τραπεζοειδές μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο εάν και μόνο αν είναι ισοσκελές.

Ιδιότητες του τραπεζοειδούς που περιγράφηκε.Ένα τραπέζιο μπορεί να περιγραφεί γύρω από έναν κύκλο εάν και μόνο εάν το άθροισμα των μηκών των βάσεων είναι ίσο με το άθροισμα των μηκών των πλευρών.

Χρήσιμες συνέπειες του γεγονότος ότι ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα τραπέζιο:

1. Το ύψος του περιγεγραμμένου τραπεζίου είναι ίσο με δύο ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου.

2. Η πλευρά του περιγεγραμμένου τραπεζίου είναι ορατή από το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου σε ορθή γωνία.

Το πρώτο είναι προφανές. Για να αποδειχθεί το δεύτερο συμπέρασμα, είναι απαραίτητο να διαπιστωθεί ότι η γωνία COD είναι σωστή, κάτι που επίσης δεν είναι δύσκολο. Αλλά η γνώση αυτού του συμπεράσματος σάς επιτρέπει να χρησιμοποιείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο κατά την επίλυση προβλημάτων.

Ας διευκρινίσουμε συμπεράσματα για ένα ισοσκελές περιγεγραμμένο τραπεζοειδές:

Το ύψος ενός ισοσκελούς περιγεγραμμένου τραπεζοειδούς είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των βάσεων του τραπεζοειδούς
h = 2r = √(ab).

Οι εξεταζόμενες ιδιότητες θα σας επιτρέψουν να κατανοήσετε βαθύτερα το τραπεζοειδές και να εξασφαλίσετε επιτυχία στην επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας τις ιδιότητές του.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε προβλήματα τραπεζοειδών;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο -.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.

Ένα τραπεζοειδές είναι μια ειδική περίπτωση τετράπλευρου στο οποίο ένα ζεύγος πλευρών είναι παράλληλο. Ο όρος "τραπεζοειδής" προέρχεται από Ελληνική λέξητράπεζα, που σημαίνει «τραπέζι», «τραπέζι». Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε τους τύπους τραπεζοειδούς και τις ιδιότητές του. Επιπλέον, θα καταλάβουμε πώς να υπολογίσουμε μεμονωμένα στοιχεία αυτού Για παράδειγμα, η διαγώνιος ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς, η κεντρική γραμμή, η περιοχή κ.λπ. Το υλικό παρουσιάζεται με το στυλ της στοιχειώδους λαϊκής γεωμετρίας, δηλαδή σε μια εύκολα προσβάσιμη μορφή .

Γενικές πληροφορίες

Αρχικά, ας καταλάβουμε τι είναι το τετράπλευρο. Αυτό το σχήμαείναι μια ειδική περίπτωση πολυγώνου που περιέχει τέσσερις πλευρές και τέσσερις κορυφές. Δύο κορυφές ενός τετράπλευρου που δεν είναι γειτονικές ονομάζονται αντίθετες. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για δύο μη γειτονικές πλευρές. Οι κύριοι τύποι τετράπλευρων είναι το παραλληλόγραμμο, το παραλληλόγραμμο, το ρόμβο, το τετράγωνο, το τραπεζοειδές και το δελτοειδή.

Ας επιστρέψουμε λοιπόν στα τραπεζοειδή. Όπως έχουμε ήδη πει, αυτό το σχήμα έχει δύο παράλληλες πλευρές. Ονομάζονται βάσεις. Οι άλλες δύο (μη παράλληλες) είναι οι πλευρικές πλευρές. Στα υλικά των εξετάσεων και των διαφόρων τεστ, μπορείτε συχνά να βρείτε προβλήματα που σχετίζονται με τραπεζοειδή, η επίλυση των οποίων απαιτεί συχνά από τον μαθητή να έχει γνώσεις που δεν προβλέπονται στο πρόγραμμα. Το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας εισάγει τους μαθητές στις ιδιότητες των γωνιών και των διαγωνίων, καθώς και στη μέση γραμμή ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς. Αλλά, εκτός από αυτό, το αναφερόμενο γεωμετρικό σχήμα έχει και άλλα χαρακτηριστικά. Περισσότερα για αυτούς όμως λίγο αργότερα...

Τύποι τραπεζοειδών

Υπάρχουν πολλοί τύποι αυτού του σχήματος. Ωστόσο, πιο συχνά είναι συνηθισμένο να εξετάζουμε δύο από αυτά - ισοσκελές και ορθογώνια.

1. Ορθογώνιο τραπεζοειδές είναι το σχήμα του οποίου μία από τις πλευρές είναι κάθετη στις βάσεις. Οι δύο γωνίες της είναι πάντα ίσες με ενενήντα μοίρες.

2. Ισοσκελές τραπεζοειδές είναι ένα γεωμετρικό σχήμα του οποίου οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες στις βάσεις είναι επίσης ίσες ανά ζεύγη.

Οι κύριες αρχές της μεθοδολογίας για τη μελέτη των ιδιοτήτων ενός τραπεζοειδούς

Η κύρια αρχή περιλαμβάνει τη χρήση της λεγόμενης προσέγγισης εργασιών. Στην πραγματικότητα, δεν χρειάζεται να εισαχθούν νέες ιδιότητες αυτού του σχήματος στο θεωρητικό μάθημα της γεωμετρίας. Μπορούν να ανακαλυφθούν και να διατυπωθούν κατά τη διαδικασία επίλυσης διαφόρων προβλημάτων (κατά προτίμηση συστημικών). Ταυτόχρονα, είναι πολύ σημαντικό ο δάσκαλος να γνωρίζει ποιες εργασίες πρέπει να ανατεθούν στους μαθητές τη μια ή την άλλη στιγμή κατά τη διάρκεια της εκπαιδευτικής διαδικασίας. Επιπλέον, κάθε ιδιότητα ενός τραπεζοειδούς μπορεί να αναπαρασταθεί ως βασική εργασία σε ένα σύστημα εργασιών.

Η δεύτερη αρχή είναι η λεγόμενη σπειροειδής οργάνωση της μελέτης των «εξαιρετικών» ιδιοτήτων του τραπεζοειδούς. Αυτό συνεπάγεται επιστροφή στη μαθησιακή διαδικασία σε μεμονωμένα χαρακτηριστικά ενός δεδομένου γεωμετρικό σχήμα. Αυτό διευκολύνει τους μαθητές να τα θυμούνται. Για παράδειγμα, η ιδιότητα των τεσσάρων σημείων. Μπορεί να αποδειχθεί τόσο κατά τη μελέτη της ομοιότητας όσο και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας διανύσματα. Και η ισοδυναμία των τριγώνων δίπλα στις πλευρικές πλευρές ενός σχήματος μπορεί να αποδειχθεί εφαρμόζοντας όχι μόνο τις ιδιότητες των τριγώνων με ίσα ύψη στις πλευρές που βρίσκονται στην ίδια ευθεία, αλλά και χρησιμοποιώντας τον τύπο S = 1/2( ab*sina). Επιπλέον, μπορείτε να εργαστείτε σε ένα εγγεγραμμένο τραπέζιο ή ένα ορθογώνιο τρίγωνο σε ένα εγγεγραμμένο τραπεζοειδές κ.λπ.

Η χρήση χαρακτηριστικών «εξωπρογράμματος» ενός γεωμετρικού σχήματος στο περιεχόμενο σχολικό μάθημα- αυτή είναι μια τεχνολογία βασισμένη σε εργασίες για τη διδασκαλία τους. Η συνεχής αναφορά στις ιδιότητες που μελετώνται κατά τη διερεύνηση άλλων θεμάτων επιτρέπει στους μαθητές να αποκτήσουν μια βαθύτερη κατανόηση του τραπεζοειδούς και διασφαλίζει την επιτυχία της επίλυσης των ανατεθέντων προβλημάτων. Λοιπόν, ας αρχίσουμε να μελετάμε αυτήν την υπέροχη φιγούρα.

Στοιχεία και ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζοειδούς

Όπως έχουμε ήδη σημειώσει, αυτό το γεωμετρικό σχήμα έχει ίσες πλευρές. Είναι επίσης γνωστό ως το σωστό τραπεζοειδές. Γιατί είναι τόσο αξιόλογο και γιατί πήρε τέτοιο όνομα; Η ιδιαιτερότητα αυτού του σχήματος είναι ότι όχι μόνο οι πλευρές και οι γωνίες στις βάσεις είναι ίσες, αλλά και οι διαγώνιοι. Επιπλέον, το άθροισμα των γωνιών ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι 360 μοίρες. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! Από όλα τα γνωστά τραπεζοειδή, μόνο ένα ισοσκελές μπορεί να περιγραφεί ως κύκλος. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το άθροισμα των απέναντι γωνιών αυτού του σχήματος είναι ίσο με 180 μοίρες και μόνο υπό αυτήν την προϋπόθεση μπορεί κανείς να περιγράψει έναν κύκλο γύρω από το τετράπλευρο. Η επόμενη ιδιότητα του γεωμετρικού σχήματος που εξετάζουμε είναι ότι η απόσταση από την κορυφή της βάσης έως την προβολή της αντίθετης κορυφής στην ευθεία που περιέχει αυτή τη βάση θα είναι ίση με τη μέση γραμμή.

Τώρα ας δούμε πώς να βρούμε τις γωνίες ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς. Ας εξετάσουμε μια λύση σε αυτό το πρόβλημα, με την προϋπόθεση ότι είναι γνωστές οι διαστάσεις των πλευρών του σχήματος.

Διάλυμα

Τυπικά, ένα τετράπλευρο συνήθως συμβολίζεται με τα γράμματα A, B, C, D, όπου τα BS και AD είναι οι βάσεις. Σε ένα ισοσκελές τραπεζοειδές, οι πλευρές είναι ίσες. Θα υποθέσουμε ότι το μέγεθός τους είναι ίσο με Χ, και τα μεγέθη των βάσεων είναι ίσα με Υ και Ζ (μικρότερο και μεγαλύτερο, αντίστοιχα). Για να πραγματοποιηθεί ο υπολογισμός, είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε το ύψος H από τη γωνία Β. Το αποτέλεσμα είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABN, όπου AB είναι η υποτείνουσα και BN και AN είναι τα σκέλη. Υπολογίζουμε το μέγεθος του σκέλους AN: αφαιρούμε το μικρότερο από τη μεγαλύτερη βάση, και διαιρούμε το αποτέλεσμα με το 2. Το γράφουμε με τη μορφή τύπου: (Z-Y)/2 = F. Τώρα, για να υπολογίσουμε την οξεία γωνία του τριγώνου, χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση cos. Παίρνουμε την ακόλουθη καταχώρηση: cos(β) = X/F. Τώρα υπολογίζουμε τη γωνία: β=arcos (X/F). Περαιτέρω, γνωρίζοντας μια γωνία, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη δεύτερη, γι 'αυτό εκτελούμε μια στοιχειώδη αριθμητική πράξη: 180 - β. Όλες οι γωνίες είναι καθορισμένες.

Υπάρχει μια δεύτερη λύση σε αυτό το πρόβλημα. Αρχικά το κατεβάζουμε από τη γωνία στο ύψος H. Υπολογίζουμε την τιμή του ποδιού BN. Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογώνιο τρίγωνοίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών. Παίρνουμε: BN = √(X2-F2). Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τριγωνομετρική συνάρτηση tg. Ως αποτέλεσμα, έχουμε: β = αρκτάνη (BN/F). Οξεία γωνίαθεμελιώ. Στη συνέχεια, την ορίζουμε παρόμοια με την πρώτη μέθοδο.

Ιδιότητα διαγωνίων ισοσκελούς τραπεζοειδούς

Αρχικά, ας γράψουμε τέσσερις κανόνες. Εάν οι διαγώνιοι σε ένα ισοσκελές τραπέζιο είναι κάθετες, τότε:

Το ύψος του σχήματος θα είναι ίσο με το άθροισμα των βάσεων διαιρούμενο με δύο.

Το ύψος και η μέση γραμμή του είναι ίσα.

Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο στο οποίο ?

Αν η πλευρική πλευρά διαιρείται με το σημείο εφαπτομένης στα τμήματα Η και Μ, τότε ισούται με τετραγωνική ρίζαπροϊόντα αυτών των τμημάτων·

Το τετράπλευρο που σχηματίζεται από τα σημεία εφαπτομένης, την κορυφή του τραπεζοειδούς και το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ένα τετράγωνο του οποίου η πλευρά είναι ίση με την ακτίνα.

Το εμβαδόν ενός σχήματος είναι ίσο με το γινόμενο των βάσεων και το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους του.

Παρόμοια τραπεζοειδή

Αυτό το θέμα είναι πολύ βολικό για τη μελέτη των ιδιοτήτων αυτού. Για παράδειγμα, οι διαγώνιοι χωρίζουν ένα τραπέζιο σε τέσσερα τρίγωνα και εκείνα που γειτνιάζουν με τις βάσεις είναι παρόμοια και εκείνα που γειτνιάζουν με τις πλευρές είναι ίσα σε μέγεθος. Αυτή η δήλωση μπορεί να ονομαστεί ιδιότητα των τριγώνων στα οποία διαιρείται το τραπεζοειδές με τις διαγώνιές του. Το πρώτο μέρος αυτής της δήλωσης αποδεικνύεται μέσω του σημείου της ομοιότητας σε δύο γωνίες. Για να αποδείξετε το δεύτερο μέρος, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο που δίνεται παρακάτω.

Απόδειξη του θεωρήματος

Δεχόμαστε ότι το σχήμα ABSD (AD και BS είναι οι βάσεις του τραπεζοειδούς) διαιρείται με τις διαγώνιες VD και AC. Το σημείο τομής τους είναι Ο. Παίρνουμε τέσσερα τρίγωνα: AOS - στην κάτω βάση, BOS - στην επάνω βάση, ABO και SOD στα πλάγια. Τα τρίγωνα SOD και BOS έχουν κοινό ύψος εάν τα τμήματα BO και OD είναι οι βάσεις τους. Διαπιστώνουμε ότι η διαφορά μεταξύ των εμβαδών τους (P) είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ αυτών των τμημάτων: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Επομένως, PSOD = PBOS/K. Ομοίως, τα τρίγωνα BOS και AOB έχουν κοινό ύψος. Ως βάση τους παίρνουμε τα τμήματα CO και OA. Παίρνουμε PBOS/PAOB = CO/OA = K και PAOB = PBOS/K. Από αυτό προκύπτει ότι ΠΣΟΔ = ΠΑΟΒ.

Για την εμπέδωση της ύλης, προτείνεται στους μαθητές να βρουν τη σύνδεση μεταξύ των περιοχών των τριγώνων που προκύπτουν στα οποία χωρίζεται το τραπέζι με τις διαγώνιές του λύνοντας το παρακάτω πρόβλημα. Είναι γνωστό ότι τα τρίγωνα BOS και AOD έχουν ίσες επιφάνειες, είναι απαραίτητο να βρεθεί η περιοχή του τραπεζοειδούς. Εφόσον PSOD = PAOB, σημαίνει PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Από την ομοιότητα των τριγώνων BOS και AOD προκύπτει ότι BO/OD = √(PBOS/PAOD). Επομένως, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Παίρνουμε PSOD = √(PBOS*PAOD). Τότε PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Ιδιότητες ομοιότητας

Συνεχίζοντας την ανάπτυξη αυτού του θέματος, μπορεί κανείς να αποδείξει το άλλο ενδιαφέροντα χαρακτηριστικάτραπεζοειδές. Έτσι, χρησιμοποιώντας την ομοιότητα, μπορεί κανείς να αποδείξει την ιδιότητα ενός τμήματος που διέρχεται από το σημείο που σχηματίζεται από την τομή των διαγωνίων αυτού του γεωμετρικού σχήματος, παράλληλα με τις βάσεις. Για να γίνει αυτό, ας λύσουμε το εξής πρόβλημα: είναι απαραίτητο να βρούμε το μήκος του τμήματος RK που διέρχεται από το σημείο Ο. Από την ομοιότητα των τριγώνων AOD και BOS προκύπτει ότι AO/OS = AD/BS. Από την ομοιότητα των τριγώνων AOP και ASB προκύπτει ότι AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Από εδώ παίρνουμε ότι RO=BS*BP/(BS+BP). Ομοίως, από την ομοιότητα των τριγώνων DOC και DBS, προκύπτει ότι ΟΚ = BS*AD/(BS+AD). Από εδώ παίρνουμε ότι RO=OK και RK=2*BS*AD/(BS+AD). Ένα τμήμα που διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων, παράλληλα με τις βάσεις και συνδέει δύο πλευρικές πλευρές, διαιρείται στο μισό από το σημείο τομής. Το μήκος του είναι ο αρμονικός μέσος όρος των βάσεων του σχήματος.

Θεωρήστε την ακόλουθη ιδιότητα ενός τραπεζοειδούς, που ονομάζεται ιδιότητα τεσσάρων σημείων. Τα σημεία τομής των διαγωνίων (Ο), η τομή της συνέχειας των πλευρών (Ε), καθώς και τα μεσαία σημεία των βάσεων (Τ και ΣΤ) βρίσκονται πάντα στην ίδια ευθεία. Αυτό μπορεί εύκολα να αποδειχθεί με τη μέθοδο της ομοιότητας. Τα προκύπτοντα τρίγωνα BES και AED είναι παρόμοια και σε καθένα από αυτά οι διάμεσοι ET και EJ διαιρούν τη γωνία κορυφής Ε σε ίσα μέρη. Επομένως, τα σημεία Ε, Τ και ΣΤ βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Με τον ίδιο τρόπο, τα σημεία T, O και Zh βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Όλα αυτά προκύπτουν από την ομοιότητα των τριγώνων BOS και AOD. Από εδώ συμπεραίνουμε ότι και τα τέσσερα σημεία - E, T, O και F - θα βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Χρησιμοποιώντας παρόμοια τραπεζοειδή, μπορείτε να ζητήσετε από τους μαθητές να βρουν το μήκος του τμήματος (LS) που χωρίζει το σχήμα σε δύο όμοια. Αυτό το τμήμα πρέπει να είναι παράλληλο με τις βάσεις. Εφόσον τα τραπεζοειδή ALFD και LBSF που προκύπτουν είναι παρόμοια, τότε BS/LF = LF/AD. Από αυτό προκύπτει ότι LF=√(BS*AD). Διαπιστώνουμε ότι το τμήμα που χωρίζει το τραπέζιο σε δύο όμοια έχει μήκος ίσο με τον γεωμετρικό μέσο όρο των μηκών των βάσεων του σχήματος.

Εξετάστε την ακόλουθη ιδιότητα ομοιότητας. Βασίζεται σε ένα τμήμα που χωρίζει το τραπεζοειδές σε δύο ισομεγέθη φιγούρες. Υποθέτουμε ότι το τραπεζοειδές ABSD διαιρείται από το τμήμα EH σε δύο όμοια. Από την κορυφή Β παραλείπεται ένα ύψος, το οποίο χωρίζεται από το τμήμα EN σε δύο μέρη - Β1 και Β2. Παίρνουμε: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 και PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Στη συνέχεια, συνθέτουμε ένα σύστημα του οποίου η πρώτη εξίσωση είναι (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 και η δεύτερη (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Από αυτό προκύπτει ότι B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) και BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Διαπιστώνουμε ότι το μήκος του τμήματος που διαιρεί το τραπέζιο σε δύο ίσα είναι ίσο με το μέσο τετράγωνο της ρίζας των μηκών των βάσεων: √((BS2+AD2)/2).

Ευρήματα ομοιότητας

Έτσι, αποδείξαμε ότι:

1. Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρικών πλευρών ενός τραπεζοειδούς είναι παράλληλο με το AD και το BS και είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των BS και AD (το μήκος της βάσης του τραπεζοειδούς).

2. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Ο της τομής των διαγωνίων που είναι παράλληλες προς AD και BS θα είναι ίση με τον αρμονικό μέσο όρο των αριθμών AD και BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Το τμήμα που χωρίζει το τραπεζοειδές σε όμοια έχει το μήκος του γεωμετρικού μέσου όρου των βάσεων ΒΣ και ΑΔ.

4. Ένα στοιχείο που χωρίζει ένα σχήμα σε δύο ίσα έχει το μήκος του μέσου τετραγώνου της ρίζας των αριθμών AD και BS.

Για να εμπεδώσει το υλικό και να κατανοήσει τη σύνδεση μεταξύ των υπό εξέταση τμημάτων, ο μαθητής πρέπει να τα κατασκευάσει για ένα συγκεκριμένο τραπεζοειδές. Μπορεί εύκολα να εμφανίσει τη μεσαία γραμμή και το τμήμα που διέρχεται από το σημείο Ο - την τομή των διαγωνίων του σχήματος - παράλληλα με τις βάσεις. Πού θα βρίσκονται όμως το τρίτο και το τέταρτο; Αυτή η απάντηση θα οδηγήσει τον μαθητή στην ανακάλυψη της επιθυμητής σχέσης μεταξύ των μέσων τιμών.

Ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς

Εξετάστε την ακόλουθη ιδιότητα αυτού του σχήματος. Υποθέτουμε ότι το τμήμα ΜΗ είναι παράλληλο με τις βάσεις και διχοτομεί τις διαγώνιες. Ας ονομάσουμε τα σημεία τομής Ш και Ш Αυτό το τμήμα θα είναι ίσο με το μισό της διαφοράς των βάσεων. Ας το δούμε αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες. Το MS είναι η μεσαία γραμμή του τριγώνου ABS, ισούται με BS/2. Το MSH είναι η μεσαία γραμμή του τριγώνου ABD, ισούται με AD/2. Τότε παίρνουμε ότι ShShch = MSh-MSh, επομένως, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Κέντρο βαρύτητας

Ας δούμε πώς προσδιορίζεται αυτό το στοιχείο για ένα δεδομένο γεωμετρικό σχήμα. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να επεκτείνετε τις βάσεις σε αντίθετες κατευθύνσεις. Τι σημαίνει αυτό; Πρέπει να προσθέσετε την κάτω βάση στην επάνω βάση - προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, για παράδειγμα, προς τα δεξιά. Και επεκτείνουμε το κάτω κατά μήκος του πάνω προς τα αριστερά. Στη συνέχεια, τα συνδέουμε διαγώνια. Το σημείο τομής αυτού του τμήματος με τη μέση γραμμή του σχήματος είναι το κέντρο βάρους του τραπεζοειδούς.

Ενεπίγραφα και περιγεγραμμένα τραπεζοειδή

Ας απαριθμήσουμε τα χαρακτηριστικά τέτοιων μορφών:

1. Ένα τραπέζιο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο μόνο αν είναι ισοσκελές.

2. Ένα τραπέζιο μπορεί να περιγραφεί γύρω από έναν κύκλο, με την προϋπόθεση ότι το άθροισμα των μηκών των βάσεων τους είναι ίσο με το άθροισμα των μηκών των πλευρών.

Συμπεράσματα του κύκλου:

1. Το ύψος του τραπεζοειδούς που περιγράφεται είναι πάντα ίσο με δύο ακτίνες.

2. Η πλευρά του τραπεζοειδούς που περιγράφηκε παρατηρείται από το κέντρο του κύκλου σε ορθή γωνία.

Το πρώτο συμπέρασμα είναι προφανές, αλλά για να αποδειχθεί το δεύτερο είναι απαραίτητο να διαπιστωθεί ότι η γωνία SOD είναι ορθή, κάτι που, στην πραγματικότητα, δεν είναι επίσης δύσκολο. Αλλά η γνώση αυτής της ιδιότητας θα σας επιτρέψει να χρησιμοποιήσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο κατά την επίλυση προβλημάτων.

Τώρα ας προσδιορίσουμε αυτές τις συνέπειες για ένα ισοσκελές τραπεζοειδές εγγεγραμμένο σε κύκλο. Διαπιστώνουμε ότι το ύψος είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των βάσεων του σχήματος: H=2R=√(BS*AD). Κατά την εξάσκηση της βασικής τεχνικής για την επίλυση προβλημάτων για τραπεζοειδή (η αρχή της σχεδίασης δύο υψών), ο μαθητής πρέπει να λύσει την παρακάτω εργασία. Υποθέτουμε ότι BT είναι το ύψος του ισοσκελούς σχήματος ABSD. Είναι απαραίτητο να βρείτε τα τμήματα AT και TD. Χρησιμοποιώντας τον τύπο που περιγράφεται παραπάνω, αυτό δεν θα είναι δύσκολο να γίνει.

Τώρα ας καταλάβουμε πώς να προσδιορίσουμε την ακτίνα ενός κύκλου χρησιμοποιώντας την περιοχή του περιγεγραμμένου τραπεζοειδούς. Κατεβάζουμε το ύψος από την κορυφή Β στη βάση ΑΔ. Εφόσον ο κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα τραπέζιο, τότε BS+AD = 2AB ή AB = (BS+AD)/2. Από το τρίγωνο ABN βρίσκουμε sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Παίρνουμε PABSD = (BS+BP)*R, προκύπτει ότι R = PABSD/(BS+BP).

Όλοι οι τύποι για τη μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς

Τώρα ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στο τελευταίο στοιχείο αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Ας υπολογίσουμε με τι ισούται η μεσαία γραμμή του τραπεζοειδούς (M):

1. Μέσω των βάσεων: Μ = (Α+Β)/2.

2. Μέσω ύψους, βάσης και γωνιών:

Μ = Α-Η*(ctgα+ctgβ)/2;

Μ = Β+Ν*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Δια του ύψους, των διαγώνιων και της μεταξύ τους γωνίας. Για παράδειγμα, τα D1 και D2 είναι οι διαγώνιοι ενός τραπεζοειδούς. α, β - γωνίες μεταξύ τους:

M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.

4. Διαμέσου εμβαδού και ύψους: M = P/N.

Tra-pe-tion

1. Το τραπέζιο και τα είδη του

Ορισμός

Tra-pe-tion- αυτή είναι μια τετράγωνη, η οποία έχει διακόσιες παράλληλες γραμμές, αλλά οι άλλες δύο όχι.

Στο Σχ. 1. Η εικόνα είναι φτιαγμένη σε ελεύθερη μορφή. - αυτές είναι οι άλλες πλευρές (αυτές που δεν είναι παράλληλες). - βασικά (παράλληλες όψεις).

Ρύζι. 1. Tra-pe-tion

Αν συγκρίνουμε το trape-tion με το par-ral-le-lo-gram, τότε το par-le-lo-gram έχει δύο ζεύγη παράλληλων πλευρών. Δηλαδή, το παράλληλο-λε-λο-γραμμάριο δεν είναι ειδική περίπτωση τραπέζης, αφού στον ορισμό του τραπέ-σιον είναι ξεκάθαρα -για-αλλά ότι οι δύο πλευρές του τρά-πε- δεν είναι παράλληλες.

Ξεφλουδίζετε ορισμένους τύπους παγίδων (ειδικές περιπτώσεις):

2. Η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς και οι ιδιότητές του

Ορισμός

Μέση γραμμή της παγίδας- από μια τομή που συνδέει τις τρεις πλευρές.

Στο Σχ. 2. εικόνα σε τραπεζοειδές με μέση γραμμή.

Ρύζι. 2. Μέση γραμμή της παγίδας

Ιδιότητες της μεσαίας γραμμής της παγίδας:

1. Η μεσαία γραμμή του tra-pe-tion pa-ral-lel-na os-no-va-ni-yam tra-pe-tion.

Απόδειξη:

Άσε σε-ρε-ντι-να μπο-κο-βόι εκατόν-ρο-νυ τρά-πε-τιόν - σημείο. Ας περάσουμε από αυτό το σημείο μια ευθεία γραμμή, μια παράλληλη os-no-va-ni-yam. Αυτή η ευθεία διασχίζει τη δεύτερη πλευρά της γραμμής στο σημείο .

Σύμφωνα με τη δομή: . Σύμφωνα με τη θεωρία του Fa-le-sa, αυτό προκύπτει: . Σημαίνει, - σε-ρε-ντι-α εκατό-ρο-νυ. Αυτό σημαίνει ότι είναι η μέση γραμμή.

Ντο-κα-ζα-αλλά.

2. Η μεσαία γραμμή του τραχήλου ισούται με το άθροισμα της κύριας παραπάτησης: .

Απόδειξη:

Σχεδιάζουμε τη μεσαία γραμμή του τραπεζίου και ένα από τα dia-go-na-leys: για παράδειγμα, (βλ. Εικ. 3).

Σύμφωνα με τη θεωρία του Fa-le-sa, οι παράλληλες ευθείες από τις πλευρές της γωνίας είναι προ-πορ-τσι-οναλ από το κοπτικό κι. Αφού τα μοσχεύματα είναι ίσα: . Αυτό σημαίνει ότι από το re-zok υπάρχει ένα μέσο τρίγωνο και από το re-zok υπάρχει ένα μέσο τρίγωνο no way.

Μέσα, .

Σημείωση: αυτό προκύπτει από την ιδιότητα της μέσης γραμμής του τριγώνου: η μέση γραμμή του τριγώνου είναι par-ral-on-axis but-va-niyu και ίση με το lo-vina του. Το πρώτο μέρος αυτής της ιδιότητας είναι ανάλογο με την πρώτη ιδιότητα της μεσαίας γραμμής διαδρομής και το δεύτερο μέρος μπορεί να παρουσιαστεί (για παράδειγμα, για τη μέση γραμμή ενός τριγώνου), που διέρχεται από ένα ευθύγραμμο σημείο, pa-. ral-lel-nuyu. Από τη θεωρία του Fa-le-sa θα ακολουθήσει ότι αυτή η ευθεία γραμμή θα είναι η μεσαία γραμμή και η εικόνα θα είναι you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram-mom (δύο ζεύγη pair-but-par-ral-le-l-nyh sides). Από εδώ δεν είναι πλέον δύσκολο να αποκτήσω την ιδιοκτησία μου.

Ας φάμε: .

Ντο-κα-ζα-αλλά.

Ας ρίξουμε τώρα μια πιο προσεκτική ματιά στους κύριους τύπους παγίδων και τις ιδιότητές τους.

3. Σημάδια ισοσκελούς τραπεζοειδούς

Ας θυμηθούμε ότι μια παγίδα ίσου φτωχού είναι μια παγίδα στην οποία και οι δύο πλευρές είναι ίσες. Ας δούμε τις ιδιότητες των bo-ko-voy tra-pe-tions.

1. Οι γωνίες στη βάση του ίσου προς ρεν-νόι του τραχήλου είναι ίσες.

Απόδειξη:

Πρόκειται για μια εντελώς τυποποιημένη, ολοκληρωμένη κατασκευή, η οποία χρησιμοποιείται πολύ συχνά κατά την επίλυση προβλημάτων -προσωπικών εργασιών στην παγίδα: θα πραγματοποιήσουμε μια απευθείας παράλληλη-αλλά-στο-πλάι πλευρά (βλ. Εικ. 4).

Παραλληλόγραμμο.

Από εδώ προκύπτει ότι: . Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ίσο. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες στη βάση του είναι ίσες, δηλαδή: (οι δύο τελευταίες γωνίες είναι ίσες, ως αντιστοιχούν σε παράλληλες ευθείες myh).

Ντο-κα-ζα-αλλά.

2. Dia-go-on-αν είναι ίσες οι ίδιες παραδόσεις του κρεβατιού-ren-noy.

Απόδειξη:

Για να επιτύχουμε αυτήν την ιδιότητα, χρησιμοποιούμε την προηγούμενη. Πράγματι, θεωρήστε το τρίγωνο: και (βλ. Εικ. 5.).

(με βάση το πρώτο πρόσημο της ισότητας των τριγώνων: δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία).

Από την ισότητα αυτή προκύπτει αμέσως ότι: .

Ντο-κα-ζα-αλλά.

Αποδεικνύεται ότι, όπως και στην περίπτωση του par-ral-le-lo-gram, η ίση-κλίνη-ρεν-τραπέ-tion έχει τις ίδιες ιδιότητες -αλλά-από-καιρούς-εμφανίζονται και αναγνωρίζονται. Ας διατυπώσουμε και ας καταλάβουμε αυτά τα σημάδια.

Σημάδια ίσου-κακ-ρεν-τρα-πε-τιον

1. Δίνονται: - tra-pe-tion; .

Αποδεικνύω:

Απόδειξη:

Πριν-κα-ζα-τελ-στβο δίνεται ab-so-lute-αλλά ανα-λογικό-αλλά πριν-κα-ζα-τελ-στβου με-από-βετ-στ-στβ- υ-υ ιδιότητες. Ας κινηθούμε στην παγίδα σε ευθεία παράλληλη προς το πλάι (βλ. Εικ. 6).

(αντίστοιχες γωνίες για παράλληλες ευθείες). Από-όπου-ναι, χρησιμοποιώντας τη συνθήκη-vi-e, po-lu-cha-e: - εξίσου-κακή-ρεν-νυ

(οι γωνίες στον άξονα είναι ίσες). Mean-cheat: (στο par-ral-le-lo-gram-ma τα pro-ti-vo-false εκατοντάδες-ro-ns είναι ίσα).

Ντο-κα-ζα-αλλά.

2. Δίνονται: - tra-pe-tion; .

Απόδειξη: .

Απόδειξη:

Έχετε ολοκληρώσει μια ακόμη τυπική, ολοκληρωμένη κατασκευή κατά την επίλυση προβλημάτων με το tra-pe-tsi: ας το κάνουμε μέσω του top-shi-well straight par-ral-lel-but dia-go-na-li (βλ. Εικ. 7).

Par-ral-le-lo-gram (δύο ζεύγη ζευγών αλλά παρ-ral-lele-nyh πλευρές).

(αντίστοιχες γωνίες για παράλληλες ευθείες). Επιπλέον, - εξίσου φτωχό-ρεν-νι (- κατά συνθήκη· - από ιδιότητα par-le-lo-gram). Που σημαίνει: .

Ντο-κα-ζα-αλλά.

4. Παραδείγματα προβλημάτων

Ας δούμε πολλά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με παγίδες.

Παράδειγμα 1.

Δόθηκαν: - tra-pe-tion; .

Διάλυμα:

Το άθροισμα των γωνιών στην πλευρά της παγίδας είναι ίσο - η ιδιότητα των εσωτερικών μονόπλευρων γωνιών σε παράλληλες ευθείες. Από αυτό το γεγονός μπορούμε να λάβουμε δύο ισότητες:

Παράδειγμα 2.

Δόθηκαν: - tra-pe-tion; . .

Διάλυμα:

Ας μιλήσουμε για σένα. Τρώω μια γωνία τεσσάρων τετραγώνων, στην οποία οι υπέρ-τι-ψευδείς πλευρές είναι σε ζεύγη, αλλά par-ral-lel- μας, και δύο γωνίες είναι ίσες σε . Σημαίνει, - par-ral-le-lo-gram, ή ακριβέστερα, ορθογώνιο.

Από αυτό προκύπτει ότι . Πού: .

Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Σε αυτό, μία από τις οξείες γωνίες, κατά συνθήκη, είναι ίση με . Αυτό σημαίνει ότι το δεύτερο είναι ίσο με , δηλαδή: . Εκμεταλλεύεται την ιδιότητα του ka-te-ta, που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία: έχει το μισό μέγεθος του gi-po-te-nu-zy.

Σε αυτό το μάθημα, εξετάσαμε την παγίδα και τις ιδιότητές της, μελετήσαμε τους τύπους παγίδας και αποφασίσαμε επίσης για διάφορα μέτρα ορισμένων εργασιών.

ΠΗΓΗ

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/trapetsiya

http://img3.proshkolu.ru/content/media/pic/std/1000000/983000/982960-b6b4e8f6a4e7b336.jpg

http://static.wixstatic.com/media/13679f_7ac2889143594b059462e77b25eda7c6.jpg

http://delaem-uroki.narod.ru/img/102/792/KZqhOMb.gif

Τραπεζοειδές. Εργασία με τραπεζοειδή μέση γραμμή.

http://cs323223.vk.me/v323223595/5e51/Gi2qlTPgLVo.jpg

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/47/46420/img2.jpg