Toivon, että tämän artikkelin tutkimisen jälkeen opit löytämään täydellisen toisen asteen yhtälön juuret.

Diskriminanttia käyttämällä ratkaistaan ​​vain täydelliset toisen asteen yhtälöt epätäydellisten yhtälöjen ratkaisemiseksi toisen asteen yhtälöt käytä muita menetelmiä, jotka löytyvät artikkelista "Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen".

Mitä toisen asteen yhtälöitä kutsutaan täydellisiksi? Tämä yhtälöt muotoa ax 2 + b x + c = 0, jossa kertoimet a, b ja c eivät ole nolla. Joten täydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi meidän on laskettava diskriminantti D.

D = b 2 - 4ac.

Diskriminantin arvosta riippuen kirjoitamme vastauksen muistiin.

Jos diskriminantti on negatiivinen luku (D< 0),то корней нет.

Jos diskriminantti on nolla, niin x = (-b)/2a. Kun diskriminantti on positiivinen luku (D > 0),

sitten x 1 = (-b - √D)/2a ja x 2 = (-b + √D)/2a.

Esimerkiksi. Ratkaise yhtälö x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Vastaus: 2.

Ratkaise yhtälö 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Vastaus: ei juuria.

Ratkaise yhtälö 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2) = (-5 - 9)/4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Vastaus: – 3,5; 1.

Joten kuvitellaan täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisu kuvan 1 kaavion avulla.

Näitä kaavoja käyttämällä voit ratkaista minkä tahansa täydellisen toisen asteen yhtälön. Sinun tarvitsee vain olla varovainen yhtälö kirjoitettiin vakiomuotoisena polynomina

A x 2 + bx + c, muuten saatat tehdä virheen. Esimerkiksi kirjoittaessasi yhtälön x + 3 + 2x 2 = 0, voit virheellisesti päättää, että

a = 1, b = 3 ja c = 2. Sitten

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ja sitten yhtälöllä on kaksi juuria. Ja tämä ei ole totta. (Katso esimerkin 2 ratkaisu yllä).

Siksi, jos yhtälöä ei kirjoiteta vakiomuotoisena polynomina, ensin täydellinen toisen asteen yhtälö on kirjoitettava vakiomuotoisena polynomina (monomi, jolla on suurin eksponentti, tulee olla ensin, eli A x 2 , sitten vähemmällä – bx ja sitten vapaajäsen Kanssa.

Ratkaistaessa pelkistettyä neliöyhtälöä ja toisessa termissä parillisen kertoimen omaavaa neliöyhtälöä, voit käyttää muita kaavoja. Tutustutaanpa näihin kaavoihin. Jos täydellisessä neliöyhtälössä kerroin toisella termillä on parillinen (b = 2k), niin voit ratkaista yhtälön käyttämällä kuvan 2 kaaviossa annettuja kaavoja.

Täydellistä neliöyhtälöä kutsutaan pelkistetyksi, jos kerroin at x 2 on yhtä suuri kuin yksi ja yhtälö saa muodon x 2 + px + q = 0. Tällainen yhtälö voidaan antaa ratkaisulle tai se voidaan saada jakamalla kaikki yhtälön kertoimet kertoimella A, seisoo x 2 .

Kuvassa 3 on kaavio pelkistetyn neliön ratkaisemiseksi
yhtälöt. Katsotaanpa esimerkkiä tässä artikkelissa käsiteltyjen kaavojen soveltamisesta.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Ratkaistaan ​​tämä yhtälö käyttämällä kuvan 1 kaaviossa esitettyjä kaavoja.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Vastaus: –1 – √3; –1 + √3

Voit huomata, että x:n kerroin tässä yhtälössä on parillinen luku, eli b = 6 tai b = 2k, josta k = 3. Yritetään sitten ratkaista yhtälö käyttämällä kuvan D kaaviossa esitettyjä kaavoja. 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = - 1 - √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Vastaus: –1 – √3; –1 + √3. Kun huomaamme, että kaikki tämän toisen asteen yhtälön kertoimet ovat jaollisia kolmella, ja suorittamalla jaon, saadaan pelkistetty toisen asteen yhtälö x 2 + 2x – 2 = 0 Ratkaise tämä yhtälö pelkistetyn toisen asteen kaavoilla
yhtälöt kuva 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Vastaus: –1 – √3; –1 + √3.

Kuten näette, kun ratkaisimme tämän yhtälön eri kaavoilla, saimme saman vastauksen. Siksi, kun olet hallinnut perusteellisesti kuvan 1 kaaviossa esitetyt kaavat, voit aina ratkaista minkä tahansa täydellisen toisen asteen yhtälön.

Sivustoa kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain vaaditaan linkki alkuperäiseen lähteeseen.

Kaavat toisen asteen yhtälön juurille. Tarkastellaan todellisten, useiden ja monimutkaisten juurien tapauksia. Faktorisointi neliöllinen trinomi. Geometrinen tulkinta. Esimerkkejä juurien määrittämisestä ja factoringista.

Peruskaavat

Harkitse toisen asteen yhtälöä:
(1) .
Neliöyhtälön juuret(1) määritetään seuraavilla kaavoilla:
; .
Nämä kaavat voidaan yhdistää seuraavasti:
.
Kun neliöyhtälön juuret tunnetaan, niin toisen asteen polynomi voidaan esittää tekijöiden tulona (kerroitettu):
.

Seuraavaksi oletetaan, että ne ovat reaalilukuja.
Harkitsemme toisen asteen yhtälön diskriminantti:
.
Jos diskriminantti on positiivinen, toisen asteen yhtälöllä (1) on kaksi erilaista reaalijuurta:
; .
Sitten toisen asteen trinomin kertoimella on muoto:
.
Jos diskriminantti on nolla, toisen asteen yhtälöllä (1) on kaksi monikertaista (samansuuruista) reaalijuurta:
.
Faktorisointi:
.
Jos diskriminantti on negatiivinen, toisen asteen yhtälöllä (1) on kaksi kompleksista konjugaattijuurta:
;
.
Tässä on kuvitteellinen yksikkö, ;
ja ovat juurien todellisia ja kuvitteellisia osia:
; .
Sitten

.

Graafinen tulkinta

Jos rakennat funktion kuvaaja
,
joka on paraabeli, niin kaavion ja akselin leikkauspisteet ovat yhtälön juuria
.
Kohteessa , kuvaaja leikkaa x-akselin (akselin) kahdessa pisteessä.
Kun , kuvaaja koskettaa x-akselia yhdessä pisteessä.
Kun , kuvaaja ei ylitä x-akselia.

Alla on esimerkkejä tällaisista kaavioista.

Hyödyllisiä kaavoja, jotka liittyvät toisen asteen yhtälöön

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kaavan johtaminen toisen asteen yhtälön juurille

Suoritamme muunnoksia ja käytämme kaavoja (f.1) ja (f.3):




,
Jossa
; .

Joten saimme kaavan toisen asteen polynomille muodossa:
.
Tämä osoittaa, että yhtälö

suoritettu klo
Ja .
Eli ja ovat toisen asteen yhtälön juuret
.

Esimerkkejä toisen asteen yhtälön juurten määrittämisestä

Esimerkki 1

(1.1) .

Ratkaisu

.
Vertaamalla yhtälöihimme (1.1), löydämme kertoimien arvot:
.
Löydämme syrjinnän:
.
Koska diskriminantti on positiivinen, yhtälöllä on kaksi todellista juurta:
;
;
.

Tästä saamme toisen asteen trinomin kertoimen:

.

Funktion y = kuvaaja 2 x 2 + 7 x + 3 leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä.

Piirretään funktio
.
Tämän funktion kuvaaja on paraabeli. Se ylittää abskissa-akselin (akselin) kahdessa pisteessä:
Ja .
Nämä pisteet ovat alkuperäisen yhtälön (1.1) juuret.

Vastaus

;
;
.

Esimerkki 2

Etsi toisen asteen yhtälön juuret:
(2.1) .

Ratkaisu

Kirjoitetaan toisen asteen yhtälö yleinen näkemys:
.
Verrattuna alkuperäiseen yhtälöön (2.1), löydämme kertoimien arvot:
.
Löydämme syrjinnän:
.
Koska diskriminantti on nolla, yhtälöllä on kaksi monikertaista (samansuuruista) juuria:
;
.

Sitten trinomin kertoimella on muoto:
.

Funktion y = x kuvaaja 2-4 x + 4 koskettaa x-akselia yhdessä pisteessä.

Piirretään funktio
.
Tämän funktion kuvaaja on paraabeli. Se koskettaa x-akselia (akselia) yhdessä pisteessä:
.
Tämä piste on alkuperäisen yhtälön (2.1) juuri. Koska tämä juuri kerrotaan kahdesti:
,
silloin tällaista juuria kutsutaan yleensä kerrannaisiksi. Toisin sanoen he uskovat, että on olemassa kaksi yhtäläistä juurta:
.

Vastaus

;
.

Esimerkki 3

Etsi toisen asteen yhtälön juuret:
(3.1) .

Ratkaisu

Kirjoitetaan toisen asteen yhtälö yleisessä muodossa:
(1) .
Kirjoitetaan uudelleen alkuperäinen yhtälö (3.1):
.
Vertaamalla kohtaan (1) löydämme kertoimien arvot:
.
Löydämme syrjinnän:
.
Diskriminantti on negatiivinen, .

Siksi todellisia juuria ei ole.
;
;
.

Löydät monimutkaiset juuret:


.

Sitten

Piirretään funktio
.
Funktion kuvaaja ei ylitä x-akselia. Varsinaisia ​​juuria ei ole.

Vastaus

Tämän funktion kuvaaja on paraabeli. Se ei leikkaa x-akselia (akseli). Siksi todellisia juuria ei ole.
;
;
.

Toivon, että tämän artikkelin tutkimisen jälkeen opit löytämään täydellisen toisen asteen yhtälön juuret.

Varsinaisia ​​juuria ei ole. Monimutkaiset juuret:

Mitä toisen asteen yhtälöitä kutsutaan täydellisiksi? Tämä yhtälöt muotoa ax 2 + b x + c = 0, jossa kertoimet a, b ja c eivät ole nolla. Joten täydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi meidän on laskettava diskriminantti D.

D = b 2 - 4ac.

Diskriminantin arvosta riippuen kirjoitamme vastauksen muistiin.

Jos diskriminantti on negatiivinen luku (D< 0),то корней нет.

Jos diskriminantti on nolla, niin x = (-b)/2a. Kun diskriminantti on positiivinen luku (D > 0),

sitten x 1 = (-b - √D)/2a ja x 2 = (-b + √D)/2a.

Esimerkiksi. Ratkaise yhtälö x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Vastaus: 2.

Ratkaise yhtälö 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Vastaus: ei juuria.

Ratkaise yhtälö 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2) = (-5 - 9)/4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Vastaus: – 3,5; 1.

Joten kuvitellaan täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisu kuvan 1 kaavion avulla.

Näitä kaavoja käyttämällä voit ratkaista minkä tahansa täydellisen toisen asteen yhtälön. Sinun tarvitsee vain olla varovainen yhtälö kirjoitettiin vakiomuotoisena polynomina

A x 2 + bx + c, muuten saatat tehdä virheen. Esimerkiksi kirjoittaessasi yhtälön x + 3 + 2x 2 = 0, voit virheellisesti päättää, että

a = 1, b = 3 ja c = 2. Sitten

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ja sitten yhtälöllä on kaksi juuria. Ja tämä ei ole totta. (Katso esimerkin 2 ratkaisu yllä).

Siksi, jos yhtälöä ei kirjoiteta vakiomuotoisena polynomina, ensin täydellinen toisen asteen yhtälö on kirjoitettava vakiomuotoisena polynomina (monomi, jolla on suurin eksponentti, tulee olla ensin, eli A x 2 , sitten vähemmällä – bx ja sitten vapaajäsen Kanssa.

Ratkaistaessa pelkistettyä neliöyhtälöä ja toisessa termissä parillisen kertoimen omaavaa neliöyhtälöä, voit käyttää muita kaavoja. Tutustutaanpa näihin kaavoihin. Jos täydellisessä neliöyhtälössä kerroin toisella termillä on parillinen (b = 2k), niin voit ratkaista yhtälön käyttämällä kuvan 2 kaaviossa annettuja kaavoja.

Täydellistä neliöyhtälöä kutsutaan pelkistetyksi, jos kerroin at x 2 on yhtä suuri kuin yksi ja yhtälö saa muodon x 2 + px + q = 0. Tällainen yhtälö voidaan antaa ratkaisulle tai se voidaan saada jakamalla kaikki yhtälön kertoimet kertoimella A, seisoo x 2 .

Kuvassa 3 on kaavio pelkistetyn neliön ratkaisemiseksi
yhtälöt. Katsotaanpa esimerkkiä tässä artikkelissa käsiteltyjen kaavojen soveltamisesta.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Ratkaistaan ​​tämä yhtälö käyttämällä kuvan 1 kaaviossa esitettyjä kaavoja.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Vastaus: –1 – √3; –1 + √3

Voit huomata, että x:n kerroin tässä yhtälössä on parillinen luku, eli b = 6 tai b = 2k, josta k = 3. Yritetään sitten ratkaista yhtälö käyttämällä kuvan D kaaviossa esitettyjä kaavoja. 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = - 1 - √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Vastaus: –1 – √3; –1 + √3. Kun huomaamme, että kaikki tämän toisen asteen yhtälön kertoimet ovat jaollisia kolmella, ja suorittamalla jaon, saadaan pelkistetty toisen asteen yhtälö x 2 + 2x – 2 = 0 Ratkaise tämä yhtälö pelkistetyn toisen asteen kaavoilla
yhtälöt kuva 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Vastaus: –1 – √3; –1 + √3.

Kuten näette, kun ratkaisimme tämän yhtälön eri kaavoilla, saimme saman vastauksen. Siksi, kun olet hallinnut perusteellisesti kuvan 1 kaaviossa esitetyt kaavat, voit aina ratkaista minkä tahansa täydellisen toisen asteen yhtälön.

Diskriminanttia käyttämällä ratkaistaan ​​vain täydelliset toisen asteen yhtälöt epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen, käytetään muita menetelmiä, jotka löydät artikkelista "Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen".

blog.site, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, vaaditaan linkki alkuperäiseen lähteeseen.

Lähtötaso Toisen asteen yhtälöt. (2019)

Kattava opas

Termissä "neliöyhtälö" avainsana on "neliö". Tämä tarkoittaa, että yhtälössä on välttämättä oltava muuttuja (sama x) neliöitynä, eikä kolmannessa (tai suuremmassa) potenssissa saa olla x:iä.

Monien yhtälöiden ratkaisu tulee alas toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Opitaan määrittämään, että tämä on toisen asteen yhtälö eikä jokin muu yhtälö.

Esimerkki 1.

Luovutetaan nimittäjä ja kerrotaan jokainen yhtälön termi

Siirretään kaikki vasemmalle puolelle ja laitetaan termit X:n potenssien laskevaan järjestykseen

Nyt voimme varmuudella sanoa, että tämä yhtälö on neliö!

Esimerkki 2.

Kerro vasen ja oikea puoli luvulla:

Tämä yhtälö, vaikka se oli alun perin siinä, ei ole neliöllinen!

Esimerkki 3.

Kerrotaan kaikki:

Pelottava? Neljäs ja toinen aste... Jos kuitenkin teemme korvauksen, näemme, että meillä on yksinkertainen toisen asteen yhtälö:

Esimerkki 4.

Se näyttää olevan siellä, mutta katsotaanpa tarkemmin. Siirretään kaikki vasemmalle puolelle:

Katso, se on pelkistetty - ja nyt se on yksinkertainen lineaarinen yhtälö!

Yritä nyt määrittää itse, mitkä seuraavista yhtälöistä ovat neliöllisiä ja mitkä eivät:

Esimerkkejä:

1. Vastaukset:
2. Vastaukset:
3. neliö;
4. neliö;
5. neliö;
6. Vastaukset:
7. neliö;
8. ei neliö;

neliö.

• Matemaatikot jakavat tavanomaisesti kaikki toisen asteen yhtälöt seuraaviin tyyppeihin: Täydelliset toisen asteen yhtälöt - yhtälöt, joissa kertoimet ja sekä vapaa termi c eivät ole nolla (kuten esimerkissä). Lisäksi täydellisten toisen asteen yhtälöiden joukossa on annettu

• - nämä ovat yhtälöitä, joissa kerroin (esimerkin yksi yhtälö ei ole vain täydellinen, vaan myös pelkistetty!) Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

  Ne ovat epätäydellisiä, koska niistä puuttuu jokin elementti. Mutta yhtälön tulee aina sisältää x neliöity!!! Muuten se ei ole enää toisen asteen yhtälö, vaan jokin muu yhtälö.

Miksi he keksivät tällaisen jaon? Vaikuttaa siltä, ​​​​että siellä on X-neliö, ja okei. Tämä jako määräytyy ratkaisumenetelmillä. Katsotaanpa kutakin niistä yksityiskohtaisemmin.

Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

Keskitytään ensin epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen - ne ovat paljon yksinkertaisempia!

On olemassa erilaisia ​​epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä:

1. , tässä yhtälössä kerroin on yhtä suuri.
2. , tässä yhtälössä vapaa termi on yhtä suuri kuin.
3. , tässä yhtälössä kerroin ja vapaa termi ovat yhtä suuret.

1. i. Koska osaamme ottaa neliöjuuren, ilmaistaan ​​tämä yhtälö

Ilmaisu voi olla joko negatiivinen tai positiivinen. Neliöluku ei voi olla negatiivinen, koska kun kerrotaan kaksi negatiivista tai kaksi positiivista lukua, tulos on aina positiivinen luku, joten: jos, niin yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Ja jos, niin saamme kaksi juuria. Näitä kaavoja ei tarvitse muistaa. Tärkeintä on, että sinun täytyy tietää ja aina muistaa, että se ei voi olla vähemmän.

Yritetään ratkaista joitakin esimerkkejä.

Esimerkki 5:

Ratkaise yhtälö

Nyt jäljellä on vain poimia juuri vasemmalta ja oikealta puolelta. Loppujen lopuksi muistat kuinka poimia juuret?

Vastaus:

Älä koskaan unohda juuria negatiivisella merkillä!!!

Esimerkki 6:

Ratkaise yhtälö

Vastaus:

Esimerkki 7:

Ratkaise yhtälö

Voi! Luvun neliö ei voi olla negatiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälö

ei juuria!

Tällaisille yhtälöille, joilla ei ole juuria, matemaatikot keksivät erityisen kuvakkeen - (tyhjä joukko). Ja vastaus voidaan kirjoittaa näin:

Vastaus:

Siten tällä toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria. Tässä ei ole rajoituksia, koska emme poimineet juuria.
Esimerkki 8:

Ratkaise yhtälö

Otetaan yhteinen tekijä pois suluista:

Siten,

Tällä yhtälöllä on kaksi juurta.

Vastaus:

Yksinkertaisin epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden tyyppi (vaikka ne ovat kaikki yksinkertaisia, eikö?). Ilmeisesti tällä yhtälöllä on aina vain yksi juuri:

Luovumme esimerkkeistä tässä.

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

Muistutamme, että täydellinen toisen asteen yhtälö on yhtälö muotoyhtälöstä, jossa

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen on hieman vaikeampaa (vain vähän) kuin nämä.

Muistaa Mikä tahansa toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä diskriminanttia! Jopa epätäydellinen.

Muut menetelmät auttavat sinua tekemään sen nopeammin, mutta jos sinulla on ongelmia toisen asteen yhtälöiden kanssa, hallitse ensin ratkaisu käyttämällä diskriminanttia.

1. Neliöyhtälöiden ratkaiseminen diskriminantilla.

Neliöyhtälöiden ratkaiseminen tällä menetelmällä on hyvin yksinkertaista, tärkeintä on muistaa toimintojen järjestys ja pari kaavaa.

Jos, niin yhtälöllä on juuri Sinun on kiinnitettävä erityistä huomiota vaiheeseen. Diskriminantti () kertoo meille yhtälön juurien lukumäärän.

• Jos, niin vaiheen kaava pienennetään arvoon. Siten yhtälöllä on vain juuri.
• Jos, emme pysty erottamaan erottimen juuria vaiheessa. Tämä osoittaa, että yhtälöllä ei ole juuria.

Palataanpa yhtälöihimme ja katsotaan joitain esimerkkejä.

Esimerkki 9:

Ratkaise yhtälö

Vaihe 1 ohitamme.

Vaihe 2.

Löydämme syrjinnän:

Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on kaksi juuria.

Vaihe 3.

Vastaus:

Esimerkki 10:

Ratkaise yhtälö

Yhtälö esitetään vakiomuodossa, joten Vaihe 1 ohitamme.

Vaihe 2.

Löydämme syrjinnän:

Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on yksi juuri.

Vastaus:

Esimerkki 11:

Ratkaise yhtälö

Yhtälö esitetään vakiomuodossa, joten Vaihe 1 ohitamme.

Vaihe 2.

Löydämme syrjinnän:

Tämä tarkoittaa, että emme pysty erottamaan erottimen juuria. Yhtälön juuria ei ole.

Nyt tiedämme kuinka kirjoittaa tällaiset vastaukset oikein.

Vastaus: ei juuria

2. Neliöyhtälöiden ratkaiseminen Vietan lauseen avulla.

Jos muistat, on olemassa eräänlainen yhtälö, jota kutsutaan pelkistetyksi (kun kerroin a on yhtä suuri):

Tällaiset yhtälöt on erittäin helppo ratkaista Vietan lauseella:

Juurien summa annettu toisen asteen yhtälö on yhtä suuri ja juurien tulo on yhtä suuri.

Esimerkki 12:

Ratkaise yhtälö

Tämä yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä Vietan lausetta, koska .

Yhtälön juurien summa on yhtä suuri, ts. saamme ensimmäisen yhtälön:

Ja tuote on yhtä suuri kuin:

Laaditaan ja ratkaistaan ​​järjestelmä:

• Ja. Summa on yhtä suuri kuin;
• Ja. Summa on yhtä suuri kuin;
• Ja. Summa on yhtä suuri.

ja ovat ratkaisu järjestelmään:

Vastaus: ; .

Esimerkki 13:

Ratkaise yhtälö

Vastaus:

Esimerkki 14:

Ratkaise yhtälö

Yhtälö on annettu, mikä tarkoittaa:

Vastaus:

NELIÖYHTÄLÖT. KESKITASO

Mikä on toisen asteen yhtälö?

Toisin sanoen toisen asteen yhtälö on muotoa, jossa - tuntematon, - joitain lukuja ja.

Numeroa kutsutaan suurimmaksi tai ensimmäinen kerroin toisen asteen yhtälö, - toinen kerroin, A- vapaa jäsen.

Miksi? Koska jos yhtälöstä tulee välittömästi lineaarinen, koska katoavat.

Tässä tapauksessa ja voi olla nolla. Tässä tuolissa yhtälöä kutsutaan epätäydelliseksi. Jos kaikki ehdot ovat paikoillaan, yhtälö on valmis.

Ratkaisuja erityyppisiin toisen asteen yhtälöihin

Menetelmät epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

Tarkastellaan ensin menetelmiä epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi - ne ovat yksinkertaisempia.

Voimme erottaa seuraavan tyyppiset yhtälöt:

I., tässä yhtälössä kerroin ja vapaa termi ovat yhtä suuret.

II. , tässä yhtälössä kerroin on yhtä suuri.

III. , tässä yhtälössä vapaa termi on yhtä suuri kuin.

Katsotaan nyt ratkaisua jokaiseen näistä alatyypeistä.

Ilmeisesti tällä yhtälöllä on aina vain yksi juuri:

Neliöluku ei voi olla negatiivinen, koska kun kerrot kaksi negatiivista tai kaksi positiivista lukua, tulos on aina positiivinen luku. Siksi:

jos, niin yhtälöllä ei ole ratkaisuja;

jos meillä on kaksi juurta

Näitä kaavoja ei tarvitse muistaa. Tärkeintä on muistaa, että se ei voi olla pienempi.

Yritä nyt määrittää itse, mitkä seuraavista yhtälöistä ovat neliöllisiä ja mitkä eivät:

Ratkaisut:

Vastaus:

Älä koskaan unohda juuria negatiivisella merkillä!

Luvun neliö ei voi olla negatiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälö

ei juuria.

Kirjoitamme lyhyesti muistiin, että ongelmalla ei ole ratkaisuja, käytämme tyhjän sarjan kuvaketta.

Vastaus:

Joten tällä yhtälöllä on kaksi juurta: ja.

Vastaus:

Otetaan yhteinen tekijä pois suluista:

Tulo on nolla, jos ainakin yksi tekijöistä on nolla. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on ratkaisu, kun:

Joten tällä toisen asteen yhtälöllä on kaksi juurta: ja.

Esimerkki:

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Kerrotaan yhtälön vasen puoli ja etsitään juuret:

Vastaus:

Menetelmät täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Syrjivä

Toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen tällä tavalla on helppoa, tärkeintä on muistaa toimintojen järjestys ja pari kaavaa. Muista, että mikä tahansa toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä diskriminanttia! Jopa epätäydellinen.

Huomasitko juuren erottimesta juurikaavassa? Mutta syrjivä tekijä voi olla negatiivinen. Mitä tehdä? Meidän on kiinnitettävä erityistä huomiota vaiheeseen 2. Diskriminantti kertoo meille yhtälön juurien lukumäärän.

• Jos, niin yhtälöllä on juuret:
• Jos yhtälöllä on samat juuret ja itse asiassa yksi juuri:

  Tällaisia ​​juuria kutsutaan kaksoisjuuriksi.

• Jos, erottajan juuria ei eroteta. Tämä osoittaa, että yhtälöllä ei ole juuria.

Miksi eri määrä juuria on mahdollista? Katsotaanpa toisen asteen yhtälön geometrista merkitystä. Funktion kuvaaja on paraabeli:

Erikoistapauksessa, joka on toisen asteen yhtälö, . Tämä tarkoittaa, että toisen asteen yhtälön juuret ovat leikkauspisteitä abskissa-akselin (akselin) kanssa. Paraabeli ei välttämättä leikkaa akselia ollenkaan tai voi leikata sen yhdessä (kun paraabelin kärki on akselilla) tai kahdessa pisteessä.

Lisäksi kerroin vastaa paraabelin haarojen suunnasta. Jos, niin paraabelin haarat on suunnattu ylöspäin ja jos, niin alaspäin.

Yritä nyt määrittää itse, mitkä seuraavista yhtälöistä ovat neliöllisiä ja mitkä eivät:

Ratkaisut:

Vastaus:

Vastaus:.

Vastaus:

Tämä tarkoittaa, että ratkaisuja ei ole.

Vastaus:.

2. Vietan lause

Vietan lauseen käyttäminen on erittäin helppoa: sinun tarvitsee vain valita lukupari, jonka tulo on yhtä suuri kuin yhtälön vapaa termi ja summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä.

On tärkeää muistaa, että Vietan lausetta voidaan soveltaa vain pelkistetyt toisen asteen yhtälöt ().

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä:

Esimerkki 1:

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Tämä yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä Vietan lausetta, koska . Muut kertoimet: ; .

Yhtälön juurien summa on:

Ja tuote on yhtä suuri kuin:

Valitaan lukuparit, joiden tulo on yhtä suuri, ja tarkistetaan, onko niiden summa yhtä suuri:

• Ja. Summa on yhtä suuri kuin;
• Ja. Summa on yhtä suuri kuin;
• Ja. Summa on yhtä suuri.

ja ovat ratkaisu järjestelmään:

Siten ja ovat yhtälömme juuret.

Vastaus: ; .

Esimerkki 2:

Ratkaisu:

Valitaan luvussa olevat lukuparit ja tarkistetaan sitten, onko niiden summa yhtä suuri:

ja: ne antavat yhteensä.

ja: ne antavat yhteensä. Saadakseen riittää, että muutat vain oletetun juurten merkkejä: ja loppujen lopuksi tuotetta.

Vastaus:

Esimerkki #3:

Ratkaisu:

Yhtälön vapaa termi on negatiivinen, ja siksi juurien tulo on negatiivinen luku. Tämä on mahdollista vain, jos yksi juurista on negatiivinen ja toinen on positiivinen. Siksi juurien summa on yhtä suuri kuin niiden moduulien eroista.

Valitaan sellaiset lukuparit, jotka antavat tulon ja joiden ero on yhtä suuri:

ja: niiden ero on yhtä suuri - ei sovi;

ja: - ei sovellu;

ja: - ei sovellu;

ja: - sopiva. Jäljelle jää vain muistaa, että yksi juurista on negatiivinen. Koska niiden summan on oltava yhtä suuri, pienemmän moduulin juuren on oltava negatiivinen: . Tarkistamme:

Vastaus:

Esimerkki #4:

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Yhtälö on annettu, mikä tarkoittaa:

Vapaa termi on negatiivinen, ja siksi juurien tulo on negatiivinen. Ja tämä on mahdollista vain, kun yhtälön yksi juuri on negatiivinen ja toinen positiivinen.

Valitaan lukuparit, joiden tulo on yhtä suuri, ja määritetään sitten, millä juurilla tulee olla negatiivinen etumerkki:

Ilmeisesti vain juuret ja sopivat ensimmäiseen ehtoon:

Vastaus:

Esimerkki #5:

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Yhtälö on annettu, mikä tarkoittaa:

Juurien summa on negatiivinen, mikä tarkoittaa, että ainakin yksi juurista on negatiivinen. Mutta koska heidän tuotteensa on positiivinen, se tarkoittaa, että molemmilla juurilla on miinusmerkki.

Valitaan lukuparit, joiden tulo on yhtä suuri:

Ilmeisesti juuret ovat numerot ja.

Vastaus:

Samaa mieltä, on erittäin kätevää keksiä juuret suullisesti sen sijaan, että laskettaisiin tämä ilkeä erottelutekijä. Yritä käyttää Vietan lausetta niin usein kuin mahdollista.

Mutta Vietan lause tarvitaan helpottamaan ja nopeuttamaan juurien löytämistä. Jotta voit hyötyä sen käytöstä, sinun on saatettava toiminnot automaattiseen. Ja tätä varten ratkaise viisi muuta esimerkkiä. Mutta älä huijaa: et voi käyttää syrjintää! Vain Vietan lause:

Ratkaisut itsenäisen työn tehtäviin:

Tehtävä 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vietan lauseen mukaan:

Kuten tavallista, aloitamme valinnan kappaleesta:

Ei sovellu, koska määrä;

: määrä on juuri se mitä tarvitset.

Vastaus: ; .

Tehtävä 2.

Ja jälleen suosikki Vieta-lauseemme: summan on oltava yhtä suuri ja tulon on oltava yhtä suuri.

Mutta koska sen ei tarvitse olla, vaan, muutamme juurien merkkejä: ja (yhteensä).

Vastaus: ; .

Tehtävä 3.

Hmm... Missä se on?

Sinun on siirrettävä kaikki ehdot yhteen osaan:

Juurien summa on yhtä suuri kuin tulo.

Okei, lopeta! Yhtälöä ei ole annettu. Mutta Vietan lause on sovellettavissa vain annetuissa yhtälöissä. Joten ensin sinun on annettava yhtälö. Jos et osaa johtaa, luovu tästä ajatuksesta ja ratkaise se toisella tavalla (esimerkiksi syrjinnän kautta). Muistutan teitä siitä, että toisen asteen yhtälön antaminen tarkoittaa johtavan kertoimen saamista yhtä suureksi:

Hienoa. Sitten juurien summa on yhtä suuri kuin ja tulo.

Täällä valitseminen on yhtä helppoa kuin piirakka: se on loppujen lopuksi alkuluku (anteeksi tautologiasta).

Vastaus: ; .

Tehtävä 4.

Ilmainen jäsen on negatiivinen. Mitä erikoista tässä on? Ja tosiasia on, että juurilla on erilaiset merkit. Ja nyt valinnan aikana emme tarkista juurien summaa, vaan niiden moduulien eroa: tämä ero on yhtä suuri, mutta tuote.

Joten juuret ovat yhtä suuria ja, mutta yksi niistä on miinus. Vietan lause kertoo, että juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, jolla on vastakkainen etumerkki, eli. Tämä tarkoittaa, että pienemmällä juurella on miinus: ja, koska.

Vastaus: ; .

Tehtävä 5.

Mitä sinun pitäisi tehdä ensin? Aivan oikein, anna yhtälö:

Jälleen: valitsemme luvun tekijät, ja niiden eron tulee olla yhtä suuri:

Juuret ovat yhtä suuria ja, mutta yksi niistä on miinus. Mikä? Niiden summan tulee olla yhtä suuri, mikä tarkoittaa, että miinuksella on suurempi juuri.

Vastaus: ; .

Sallikaa minun tiivistää:

1. Vietan lausetta käytetään vain annetuissa toisen asteen yhtälöissä.
2. Vietan lauseen avulla voit löytää juuret valinnalla, suullisesti.
3. Jos yhtälöä ei ole annettu tai yhtälöä ei löydy sopiva pari vapaan termin kertoimia, mikä tarkoittaa, että kokonaisia ​​juuria ei ole, ja sinun on ratkaistava se toisella tavalla (esimerkiksi diskriminantin avulla).

3. Menetelmä täydellisen neliön valitsemiseksi

Jos kaikki tuntemattoman sisältävät termit esitetään lyhennetyistä kertolaskukaavojen termien muodossa - summan tai erotuksen neliö -, niin muuttujien vaihtamisen jälkeen yhtälö voidaan esittää epätäydellisenä tyyppisenä toisen asteen yhtälönä.

Esimerkiksi:

Esimerkki 1:

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu:

Vastaus:

Esimerkki 2:

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu:

Vastaus:

Yleisesti ottaen muunnos näyttää tältä:

Siitä seuraa: .

Ei muistuta mitään? Tämä on syrjivä asia! Juuri näin saimme erottelukaavan.

NELIÖYHTÄLÖT. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Toisen asteen yhtälö- tämä on muodon yhtälö, jossa - tuntematon, - toisen asteen yhtälön kertoimet, - vapaa termi.

Täydellinen toisen asteen yhtälö- yhtälö, jossa kertoimet eivät ole nolla.

Pelkistetty toisen asteen yhtälö- yhtälö, jossa kerroin, eli: .

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö- yhtälö, jossa kerroin ja/tai vapaa termi c ovat nolla:

• jos kerroin, yhtälö näyttää tältä: ,
• jos on vapaa termi, yhtälö on muotoa: ,
• jos ja, yhtälö näyttää tältä: .

1. Algoritmi epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi

1.1. Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö, jossa:

1) Ilmaistaan ​​tuntematon: ,

2) Tarkista lausekkeen merkki:

• jos yhtälöllä ei ole ratkaisuja,
• jos, niin yhtälöllä on kaksi juuria.

1.2. Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö, jossa:

1) Otetaan yhteinen tekijä suluista: ,

2) Tulo on nolla, jos ainakin yksi tekijöistä on nolla. Siksi yhtälöllä on kaksi juuria:

1.3. Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö, jossa:

Tällä yhtälöllä on aina vain yksi juuri: .

2. Algoritmi täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi muotoa missä

2.1. Ratkaisu käyttämällä diskriminanttia

1) Siirretään yhtälö vakiomuotoon: ,

2) Lasketaan diskriminantti kaavalla: , joka ilmaisee yhtälön juurien määrän:

3) Etsi yhtälön juuret:

• jos, niin yhtälöllä on juuret, jotka löytyvät kaavasta:
• jos, niin yhtälöllä on juuri, joka löytyy kaavasta:
• jos, niin yhtälöllä ei ole juuria.

2.2. Ratkaisu käyttäen Vietan lausetta

Supistetun toisen asteen yhtälön (muodon jossa yhtälö) juurien summa on yhtä suuri, ja juurien tulo on yhtä suuri, ts. , A.

2.3. Ratkaisu koko neliön valintamenetelmällä

Lisää yksinkertaisella tavalla. Tee tämä lisäämällä z suluissa. Saat: z(аz + b) = 0. Tekijät voidaan kirjoittaa: z=0 ja аz + b = 0, koska molemmat voivat johtaa nollaan. Merkinnässä az + b = 0 siirretään toinen oikealle eri merkillä. Tästä saamme z1 = 0 ja z2 = -b/a. Nämä ovat alkuperäisen juuret.

Jos on epätäydellinen yhtälö muotoa аz² + с = 0, tässä tapauksessa löydetään yksinkertaisesti siirtämällä vapaa termi yhtälön oikealle puolelle. Vaihda myös sen merkki. Tuloksena on az² = -с. Ilmaise z² = -c/a. Ota juuri ja kirjoita kaksi ratkaisua - positiivinen ja negatiivinen neliöjuuri.

Huomaa

Jos yhtälössä on murtokertoimia, kerro koko yhtälö sopivalla kertoimella murto-osien poistamiseksi.

Oppiminen toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta on välttämätöntä sekä koululaisille että opiskelijoille, joskus se voi auttaa myös aikuista jokapäiväisessä elämässä. On olemassa useita erityisiä ratkaisumenetelmiä.

Toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

Neliöyhtälö muotoa a*x^2+b*x+c=0. Kerroin x on haluttu muuttuja, a, b, c ovat numeerisia kertoimia. Muista, että "+"-merkki voi muuttua "-"-merkiksi.

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi on käytettävä Vietan lausetta tai löydettävä diskriminantti. Yleisin tapa on löytää diskriminantti, koska joillekin a, b, c arvoille ei ole mahdollista käyttää Vietan lausetta.

Löytääksesi erottimen (D), sinun on kirjoitettava kaava D=b^2 - 4*a*c. D-arvo voi olla suurempi, pienempi tai yhtä suuri kuin nolla. Jos D on suurempi tai pienempi kuin nolla, niin on kaksi juuria, jos D = 0, niin vain yksi juuri jää tarkemmin, voidaan sanoa, että D:llä on tässä tapauksessa kaksi ekvivalenttia juurta. Korvaa tunnetut kertoimet a, b, c kaavaan ja laske arvo.

Kun olet löytänyt erottimen, käytä kaavoja löytääksesi x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a missä sqrt on funktio, joka tarkoittaa poimia neliöjuuri alkaen annettu numero. Kun olet laskenut nämä lausekkeet, löydät yhtälöstäsi kaksi juuria, joiden jälkeen yhtälö katsotaan ratkaistuksi.

Jos D on pienempi kuin nolla, sillä on silti juuret. Tätä osaa ei käytännössä opeteta koulussa. Yliopisto-opiskelijoiden tulee huomioida, että juuren alla näkyy negatiivinen luku. He pääsevät siitä eroon korostamalla imaginaarista osaa, eli juuren alla oleva -1 on aina yhtä suuri kuin imaginaarielementti "i", joka kerrotaan juurilla, jolla on sama positiivinen luku. Esimerkiksi jos D=sqrt(-20), muunnoksen jälkeen saadaan D=sqrt(20)*i. Tämän muunnoksen jälkeen yhtälön ratkaiseminen pelkistetään samaan juuren löytämiseen kuin edellä on kuvattu.

Vietan lause koostuu x(1) ja x(2) arvojen valitsemisesta. Käytetään kahta identtistä yhtälöä: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Lisäksi erittäin tärkeä kohta on merkki kertoimen b edessä. Muista, että tämä merkki on yhtälön vastainen. Ensi silmäyksellä näyttää siltä, ​​​​että x(1)- ja x(2):n laskeminen on hyvin yksinkertaista, mutta ratkaisemisen yhteydessä joudut valitsemaan numerot.

Neliöyhtälöiden ratkaisemisen elementit

Matematiikan sääntöjen mukaan jotkin voidaan kertoa: (a+x(1))*(b-x(2))=0, jos onnistuit muuttamaan tämän toisen asteen yhtälön samalla tavalla matemaattisilla kaavoilla, niin voit vapaasti kirjoita vastaus ylös. x(1) ja x(2) ovat yhtä suuria kuin suluissa olevat vierekkäiset kertoimet, mutta päinvastaisella etumerkillä.

Älä myöskään unohda epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Sinulta saattaa puuttua joitain termejä, jos näin on, kaikki sen kertoimet ovat yksinkertaisesti nolla. Jos x^2:n tai x:n edessä ei ole mitään, kertoimet a ja b ovat yhtä suuret kuin 1.