Erittäin tärkeää tietoa funktion käyttäytymisestä tarjoavat kasvavat ja laskevat intervallit. Niiden löytäminen on osa funktion tutkimista ja kaavion piirtämistä. Lisäksi ääripisteisiin, joissa tapahtuu muutos nousevasta laskevaksi tai pienenemisestä kasvavaan, kiinnitetään erityistä huomiota etsittäessä funktion suurinta ja pienintä arvoa tietyltä aikaväliltä.

Tässä artikkelissa annamme tarvittavat määritelmät, muotoilemme riittävät kriteerit funktion suurennukselle ja pienenemiselle intervallilla ja riittävät ehdot ääripään olemassaololle ja sovellamme koko tätä teoriaa esimerkkien ja ongelmien ratkaisemiseen.

Sivulla navigointi.

Kasvava ja laskeva toiminto intervalliin.

Kasvavan funktion määritelmä.

Funktio y=f(x) kasvaa välissä X, jos millä tahansa ja eriarvoisuus pätee. Toisin sanoen suurempi argumenttiarvo vastaa suurempaa funktion arvoa.

Vähenevän funktion määritelmä.

Funktio y=f(x) pienenee välissä X, jos jollekin ja eriarvoisuus pätee . Toisin sanoen argumentin suurempi arvo vastaa pienempää funktion arvoa.

HUOMAA: jos funktio on määritelty ja jatkuva kasvavan tai pienenevän aikavälin (a;b) päissä, eli kohdissa x=a ja x=b, nämä pisteet sisällytetään kasvavaan tai laskevaan väliin. Tämä ei ole ristiriidassa intervallin X kasvavan ja laskevan funktion määritelmien kanssa.

Esimerkiksi pääsovelluksen ominaisuuksista perustoiminnot tiedämme, että y=sinx on määritelty ja jatkuva kaikille argumentin todellisille arvoille. Siksi intervallin sinifunktion kasvusta voimme väittää, että se kasvaa intervalliin.

Ääripisteet, funktion ääripisteet.

Piste on ns maksimipiste funktio y=f(x), jos epäyhtälö on tosi kaikille sen ympäristössä oleville x:ille. Kutsutaan funktion arvo maksimipisteessä toiminnon maksimi ja merkitsee.

Piste on ns minimipiste funktio y=f(x), jos epäyhtälö on tosi kaikille sen ympäristössä oleville x:ille. Kutsutaan funktion arvo minimipisteessä minimitoiminto ja merkitsee.

Pisteen lähialue ymmärretään intervalliksi , jossa on riittävän pieni positiivinen luku.

Minimi- ja maksimipisteet kutsutaan ääripisteet, ja kutsutaan ääripisteitä vastaavia funktioarvoja funktion ääripää.

Älä sekoita funktion ääripäätä funktion suurimpaan ja pienimpään arvoon.

Ensimmäisessä kuvassa korkein arvo janan funktio saavutetaan maksimipisteessä ja on yhtä suuri kuin funktion maksimi, ja toisessa kuvassa - funktion maksimiarvo saavutetaan pisteessä x=b, joka ei ole maksimipiste.

Riittävät olosuhteet toimintojen lisäämiselle ja vähentämiselle.

Riittävien ehtojen (merkkien) perusteella funktion kasvamiselle ja pienenemiselle löydetään funktion kasvu- ja laskuvälit.

Tässä ovat funktioiden lisääntymisen ja pienenemisen merkkien formulaatiot tietyllä aikavälillä:

• jos funktion y=f(x) derivaatta on positiivinen mille tahansa x:lle väliltä X, niin funktio kasvaa X:llä;
• jos funktion y=f(x) derivaatta on negatiivinen mille tahansa x:lle välistä X, niin funktio pienenee X:llä.

Näin ollen funktion kasvu- ja laskuvälin määrittämiseksi on välttämätöntä:

Tarkastellaan esimerkkiä nousevien ja laskevien funktioiden välien löytämisestä algoritmin selittämiseksi.

Esimerkki.

Etsi kasvavan ja pienenevän funktion välit.

Ratkaisu.

Ensimmäinen askel on löytää funktion määritelmäalue. Esimerkissämme nimittäjässä oleva lauseke ei saa mennä nollaan, joten .

Siirrytään funktion derivaatan löytämiseen:

Jotta funktion kasvu- ja laskuvälit voidaan määrittää riittävän kriteerin perusteella, ratkaisemme epäyhtälöt määritelmäalueella. Käytetään intervallimenetelmän yleistystä. Osoittajan ainoa todellinen juuri on x = 2, ja nimittäjä menee nollaan kohdassa x = 0. Nämä pisteet jakavat määritelmäalueen intervalleiksi, joissa funktion derivaatta säilyttää etumerkkinsä. Merkitään nämä pisteet numeroviivalle. Tavallisesti merkitsemme plus- ja miinusvälit, joilla derivaatta on positiivinen tai negatiivinen. Alla olevat nuolet osoittavat kaaviomaisesti funktion lisäyksen tai pienenemisen vastaavalla aikavälillä.

Siten, Ja .

Kohdassa Funktio x=2 on määritelty ja jatkuva, joten se tulee lisätä sekä nouseviin että laskeviin intervalleihin. Pisteessä x=0 funktiota ei ole määritelty, joten emme sisällytä tätä pistettä vaadittuihin aikaväleihin.

Esitämme funktion kaavion vertaillaksemme siihen saatuja tuloksia.

Vastaus:

Toiminto kasvaa mm , pienenee välillä (0;2] .

Riittävät ehdot funktion ääripäälle.

Funktion maksimien ja minimien löytämiseksi voit käyttää mitä tahansa kolmesta ääripään merkistä, tietenkin, jos funktio täyttää niiden ehdot. Yleisin ja kätevin on niistä ensimmäinen.

Ensimmäinen riittävä ehto ääripäälle.

Olkoon funktio y=f(x) differentioituva pisteen -naapurustossa ja jatkuva itse pisteessä.

Toisin sanoen:

Algoritmi ääripistepisteiden löytämiseksi funktion ääripään ensimmäisen merkin perusteella.

• Löydämme funktion määritelmäalueen.
• Löydämme funktion derivaatan määritelmäalueelta.
• Määritämme osoittajan nollat, derivaatan nimittäjän nollat ​​ja määritelmäalueen pisteet, joissa derivaatta ei ole olemassa (kaikki luetellut pisteet ovat ns. mahdolliset ääripisteet, joka kulkee näiden pisteiden läpi, derivaatta voi vain muuttaa etumerkkiään).
• Nämä pisteet jakavat funktion määritelmäalueen intervalleihin, joissa derivaatta säilyttää etumerkkinsä. Määritämme derivaatan etumerkit kullakin aikavälillä (esimerkiksi laskemalla funktion derivaatan arvo missä tahansa tietyn intervallin pisteessä).
• Valitsemme pisteet, joissa funktio on jatkuva ja joiden läpi kulkeessaan derivaatta muuttaa etumerkkiä - nämä ovat ääripisteet.

Sanoja on liikaa, katsotaanpa muutama esimerkki funktion ääripisteiden ja ääripäiden löytämisestä käyttämällä funktion ääripään ensimmäistä riittävää ehtoa.

Esimerkki.

Etsi funktion ääripää.

Ratkaisu.

Funktioalue on koko joukko reaalilukuja paitsi x=2.

Johdannan löytäminen:

Osoittajan nollat ​​ovat pisteet x=-1 ja x=5, nimittäjä menee nollaan kohdassa x=2. Merkitse nämä pisteet numeroakselille

Määritämme derivaatan etumerkit kullakin välillä tätä varten laskemme derivaatan arvon missä tahansa intervallin pisteessä, esimerkiksi pisteissä x=-2, x=0, x=3 ja; x=6.

Siksi välissä derivaatta on positiivinen (kuvassa laitetaan plusmerkki tämän intervallin päälle). Samoin

Siksi laitamme miinuksen toisen välin yläpuolelle, miinuksen kolmannen yläpuolelle ja plussan neljännen yläpuolelle.

On vielä valittava pisteet, joissa funktio on jatkuva ja sen derivaatta muuttaa etumerkkiä. Nämä ovat ääripisteitä.

Kohdassa x=-1 funktio on jatkuva ja derivaatta muuttaa etumerkkiä plussasta miinukseen, joten ääripään ensimmäisen merkin mukaan x=-1 on maksimipiste, funktion maksimi vastaa sitä .

Kohdassa x=5 funktio on jatkuva ja derivaatta muuttaa etumerkkiä miinuksesta plussiksi, joten x=-1 on minimipiste, funktion minimi vastaa sitä .

Graafinen kuva.

Vastaus:

HUOM: ensimmäinen riittävä ääripään kriteeri ei vaadi funktion differentiaatiota itse pisteessä.

Esimerkki.

Etsi funktion ääripisteet ja ääripäät .

Ratkaisu.

Funktioalue on koko joukko reaalilukuja. Itse funktio voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Etsitään funktion derivaatta:

Kohdassa x=0 derivaatta ei ole olemassa, koska yksipuolisten rajojen arvot eivät täsmää, kun argumentti pyrkii nollaan:

Samalla alkuperäinen funktio on jatkuva pisteessä x=0 (katso funktion jatkuvuuden tutkimista koskeva luku):

Etsitään argumentin arvo, jolla derivaatta menee nollaan:

Merkitään kaikki saadut pisteet numeroviivalle ja määritetään derivaatan etumerkki kullekin välille. Tätä varten laskemme derivaatan arvot jokaisen intervallin mielivaltaisissa pisteissä, esimerkiksi klo x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

eli

Näin ollen ääripään ensimmäisen merkin mukaan minimipisteet ovat , maksimipisteet ovat .

Laskemme funktion vastaavat minimit

Laskemme funktion vastaavat maksimit

Graafinen kuva.

Vastaus:

.

Toinen merkki funktion ääripäästä.

Kuten näette, tämä funktion ääripään merkki edellyttää derivaatan olemassaolon ainakin toisessa järjestyksessä pisteessä.

>> Extrema

Toiminnon ääriarvo

Määritelmä ääripää

Toiminto y = f(x) kutsutaan lisääntyy (vähenee) tietyllä aikavälillä, jos x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Jos differentioituva funktio y = f (x) kasvaa (vähenee) välissä, niin sen derivaatta tällä välillä f " (x)> 0

(f"(x)< 0).

Piste x O soitti paikallinen maksimipiste (minimi) funktio f (x), jos pisteellä on lähialue x o, kaikille pisteille, joiden epäyhtälö f (x) on tosi≤ f (x o ) (f (x )≥ f (x o )).

Maksimi- ja minimipisteet kutsutaan ääripisteet, ja funktion arvot näissä kohdissa ovat sen äärimmäisyydet.

Äärimmäiset pisteet

Ekstreemin välttämättömät olosuhteet . Jos kohta x O on funktion f (x) ääripiste, sitten joko f " (x o ) = 0 tai f(x o ) ei ole olemassa. Tällaisia ​​pisteitä kutsutaan kriittinen, ja itse funktio määritellään kriittisessä pisteessä. Toiminnon ääripäät tulee etsiä sen kriittisten pisteiden joukosta.

Ensimmäinen riittävä ehto. Anna x O - kriittinen kohta. Jos f" (x ) kulkiessaan pisteen läpi x O muuttaa plusmerkin miinusmerkiksi ja sitten kohtaan x o funktiolla on maksimi, muuten sillä on minimi. Jos derivaatta ei vaihda etumerkkiä kriittisen pisteen läpi kulkiessaan, niin pisteessä x O ei ole äärimmäistä.

Toinen riittävä kunto. Olkoon funktiolla f(x).
f" (x ) pisteen läheisyydessä x O ja toinen derivaatta itse pisteessä x o. Jos f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o on funktion f (x) paikallinen minimi (maksimi) piste. Jos =0, sinun on joko käytettävä ensimmäistä riittävää ehtoa tai sisällytettävä korkeampia ehtoja.

Janalla funktio y = f (x) voi saavuttaa minimi- tai maksimiarvonsa joko kriittisissä pisteissä tai janan päissä.

Esimerkki 3.22.

Ratkaisu. Koska f " (

Ongelmia funktion ääripään löytämisessä

Esimerkki 3.23. a

Ratkaisu. x Ja y y
0 ≤ x≤
> 0 ja milloin x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение toimintoja kv. yksiköitä).

Esimerkki 3.24. p ≈

Ratkaisu. p s
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Esimerkki 3.22.Etsi funktion f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ääripää.

Ratkaisu. Koska f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), niin funktion kriittiset pisteet x 1 = 2 ja x 2 = 3. Extrema voi olla vain näissä pisteissä. Koska pisteen x 1 = 2 läpi kulkiessaan derivaatta vaihtaa etumerkkiä plussasta miinukseen, niin tässä vaiheessa funktiolla on maksimi. Kulkiessaan pisteen x 2 = 3 läpi derivaatta muuttaa etumerkkinsä miinuksesta plussiksi, joten pisteessä x 2 = 3 funktiolla on minimi. Laskettuaan funktioarvot pisteistä
x 1 = 2 ja x 2 = 3, löydämme funktion ääripäät: maksimi f (2) = 14 ja minimi f (3) = 13.

Esimerkki 3.23.Kivimuurien lähelle on tarpeen rakentaa suorakaiteen muotoinen alue siten, että se on aidattu kolmelta sivulta metalliverkolla ja neljäs sivu on seinän vieressä. Tätä varten on a lineaarimetriä verkkoa. Millä kuvasuhteella sivustolla on suurin pinta-ala?

Ratkaisu.Merkitään tasanteen sivuja x Ja y. Kohteen pinta-ala on S = xy. Anna y- tämä on seinän vieressä olevan sivun pituus. Sitten ehdon mukaan yhtälön 2x + y = a tulee täyttyä. Siksi y = a - 2x ja S = x (a - 2x), missä
0 ≤ x≤ a /2 (alueen pituus ja leveys eivät voi olla negatiivisia). S" = a - 4x, a - 4x = 0 kohdassa x = a/4, mistä
y = a-2 × a/4 =a/2. Koska x = a /4 on ainoa kriittinen piste, tarkistetaan muuttuuko derivaatan etumerkki tämän pisteen kautta. Kohdassa x a /4 S "> 0 ja milloin x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение toimintoja S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (kv. yksiköitä). Koska S on jatkuva päällä ja sen arvot päissä S(0) ja S(a /2) ovat nolla, niin löydetty arvo on funktion suurin arvo. Siten paikan suotuisin kuvasuhde annetuissa ongelman olosuhteissa on y = 2x.

Esimerkki 3.24.Vaaditaan suljetun lieriömäisen säiliön valmistaminen, jonka tilavuus on V=16 p ≈ 50 m3. Mitkä pitäisi olla säiliön mitat (säde R ja korkeus H), jotta sen valmistukseen kuluisi mahdollisimman vähän materiaalia?

Ratkaisu.Sylinterin kokonaispinta-ala on S = 2 s R(R+H). Tiedämme sylinterin tilavuuden V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 = 16 p / p R2 = 16/R2. Joten S(R) = 2 s (R2 +16/R). Löydämme tämän funktion johdannaisen:
S"(R) = 2 p (2R-16/R2) = 4 p (R-8/R2). S" (R) = 0, kun R3 = 8, siksi
R = 2, H = 16/4 = 4.

Mikä on funktion ääripää ja mikä on ääripään välttämätön ehto?

Funktion ääriarvo on funktion maksimi ja minimi.

Vaadittava ehto funktion maksimille ja minimille (ääriarvolle) on seuraava: jos funktiolla f(x) on ääriarvo pisteessä x = a, niin derivaatta on tässä vaiheessa joko nolla tai ääretön tai ei ei ole olemassa.

Tämä ehto on välttämätön, mutta ei riittävä. Derivaata pisteessä x = a voi mennä nollaan, äärettömään tai ei ole olemassa ilman, että funktiolla on ääripää tässä pisteessä.

Mikä on riittävä ehto funktion ääripäälle (maksimi tai minimi)?

Ensimmäinen ehto:

Jos riittävän lähellä pistettä x = a derivaatta f?(x) on positiivinen a:n vasemmalla puolella ja negatiivinen pisteen a oikealla puolella, niin pisteessä x = a funktiolla f(x) on maksimi

Jos riittävän lähellä pistettä x = a derivaatta f?(x) on negatiivinen a:n vasemmalla puolella ja positiivinen a:n oikealla puolella, niin pisteessä x = a funktiolla f(x) on minimi edellyttäen, että funktio f(x) on jatkuva.

Sen sijaan voit käyttää toista riittävää ehtoa funktion ääripäälle:

Olkoon pisteessä x = a ensimmäinen derivaatta f?(x) kadonnut; jos toinen derivaatta f??(a) on negatiivinen, niin funktiolla f(x) on maksimi pisteessä x = a, jos se on positiivinen, niin sillä on minimi.

Mikä on funktion kriittinen piste ja miten se löydetään?

Tämä on funktion argumentin arvo, jossa funktiolla on ääriarvo (eli maksimi tai minimi). Löytääksesi sen tarvitset löytää johdannainen funktio f?(x) ja rinnastamalla se nollaan, ratkaise yhtälö f?(x) = 0. Tämän yhtälön juuret sekä pisteet, joissa tämän funktion derivaatta ei ole olemassa, ovat kriittisiä pisteitä, eli argumentin arvoja, joissa voi olla ääriarvo. Ne on helppo tunnistaa katsomalla johdannainen graafi: olemme kiinnostuneita niistä argumentin arvoista, joissa funktion kuvaaja leikkaa abskissa-akselin (Ox-akseli), ja niistä, joissa kuvaaja kärsii epäjatkuvuudesta.

Etsitään esimerkiksi paraabelin ääripää.

Funktio y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Toiminnon derivaatta: y?(x) = 6x + 2

Ratkaise yhtälö: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Tässä tapauksessa kriittinen piste on x0=-1/3. Tämä argumenttiarvo funktiolla on ääripää. Hänelle löytää, korvaa funktio lausekkeessa löydetyllä numerolla "x":n sijaan:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kuinka määrittää funktion maksimi ja minimi, ts. sen suurimmat ja pienimmät arvot?

Jos derivaatan etumerkki kulkiessaan kriittisen pisteen x0 kautta muuttuu plussasta miinusarvoksi, niin x0 on maksimipiste; jos derivaatan etumerkki muuttuu miinuksesta plussiksi, niin x0 on minimipiste; jos etumerkki ei muutu, niin pisteessä x0 ei ole maksimi- eikä minimiarvoa.

Tarkastetussa esimerkissä:

Otamme argumentin mielivaltaisen arvon kriittisen pisteen vasemmalla puolella: x = -1

Kun x = -1, derivaatan arvo on y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (eli merkki on "miinus").

Nyt otamme kriittisen pisteen oikealla puolella olevan argumentin mielivaltaisen arvon: x = 1

Kun x = 1, derivaatan arvo on y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (eli merkki on "plus").

Kuten näet, derivaatta muutti merkin miinuksesta plussaksi kulkiessaan kriittisen pisteen läpi. Tämä tarkoittaa, että kriittisellä arvolla x0 meillä on minimipiste.

Suurin ja pienin arvo toimintoja välissä(segmentillä) löydetään samalla menettelyllä, vain ottaen huomioon se tosiasia, että ehkä kaikki kriittiset pisteet eivät ole määritetyllä aikavälillä. Ne kriittiset kohdat, jotka ovat intervallin ulkopuolella, on jätettävä huomioimatta. Jos välissä on vain yksi kriittinen piste, sillä on joko maksimi tai minimi. Tässä tapauksessa funktion suurimman ja pienimmän arvon määrittämiseksi otamme huomioon myös funktion arvot intervallin päissä.

Etsitään esimerkiksi funktion suurimmat ja pienimmät arvot

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

aikavälein:

Eli funktion derivaatta on

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Ratkaisemme yhtälön 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Löydämme kriittiset kohdat väliltä [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (ei sisälly väliin)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (ei sisälly väliin)

Löydämme funktioarvot argumentin kriittisistä arvoista:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Voidaan nähdä, että aikavälillä [-9; 9] funktiolla on suurin arvo kohdassa x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

ja pienin - kohdassa x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Aikavälillä [-6; -3] meillä on vain yksi kriittinen piste: x = -4,88. Toiminnon arvo kohdassa x = -4,88 on yhtä suuri kuin y = 5,398.

Etsi funktion arvo intervallin päistä:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Aikavälillä [-6; -3] meillä on funktion suurin arvo

y = 5,398 kohdassa x = -4,88

pienin arvo -

y = 1,077 kohdassa x = -3

Kuinka löytää funktiokaavion käännepisteet ja määrittää kupera ja kovera sivu?

Löytääksesi kaikki suoran y = f(x) käännepisteet, sinun on löydettävä toinen derivaatta, rinnastettava se nollaan (ratkaistava yhtälö) ja testattava kaikki ne x:n arvot, joille toinen derivaatta on nolla, ääretön tai ei ole olemassa. Jos toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan yhden näistä arvoista, niin funktion kuvaajalla on tässä pisteessä taivutus. Jos se ei muutu, ei ole mutkaa.

Yhtälön f juuret? (x) = 0, sekä funktion ja toisen derivaatan mahdolliset epäjatkuvuuspisteet jakavat funktion määritelmäalueen useisiin intervalleihin. Kummankin niiden välin konveksius määräytyy toisen derivaatan etumerkillä. Jos toinen derivaatta tutkittavan intervallin pisteessä on positiivinen, niin suora y = f(x) on kovera ylöspäin ja jos negatiivinen, niin alaspäin.

Kuinka löytää kahden muuttujan funktion ääriarvo?

Löytääksesi funktion f(x,y) ääripään, joka on differentioituva sen määrittelyalueella, tarvitset:

1) löytää kriittiset pisteet ja tätä varten - ratkaista yhtälöjärjestelmä

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) tutkia jokaisen kriittisen pisteen P0(a;b) osalta, pysyykö eron etumerkki ennallaan

kaikille pisteille (x;y) riittävän lähellä P0:ta. Jos ero pysyy positiivisena, niin pisteessä P0 meillä on minimi, jos negatiivinen, niin meillä on maksimi. Jos ero ei säilytä etumerkkiään, pisteessä P0 ei ole ääriarvoa.

Funktion ääriarvot määritetään samalla tavalla suuremmalle määrälle argumentteja.

Mikä on laulaja Mika Newtonin ja hänen bändinsä virallinen verkkosivusto?
Uusi ukrainalainen ihme - Mika Newton! Tämä on 5-henkinen bändi, joka soittaa pop-rockia, nauttii elämästä, antaa voimaa ja on positiivinen elämänasenne. Kaverit kokoontuivat Kiovaan, missä nykyinen hetki ja elää. Kaverit eivät ole ollenkaan samaa mieltä musiikin ja elämän standardiperustasta, löytävät uuden soundinsa ja rikkovat kaikenlaisia ​​​​standardeja. Joukkueen johtaja -

Kuinka muuntaa millilitrat kuutiometreiksi
SI-järjestelmän pituuden perusyksikkö on metri. Tämän perusteella tilavuuden perusyksikkönä tulisi katsoa kuutiometriä tai, kuten sitä myös kutsutaan, kuutiota tai kuutiota. Tämä on kuution tilavuus, jonka reunat ovat yhtä metriä. Käytännössä tilavuuden ilmaiseminen kuutiometreinä ei kuitenkaan aina ole kätevää. Esimerkiksi huoneen tilavuus on kätevä ilmaista kuutiometreinä: kerrotaan pituus

Mikä on mannasuurimon kaloripitoisuus?
Ruoan kaloripitoisuus, kaloripitoisuustaulukko. Ihmisen energiantarpeet mitataan kilokaloreissa (kcal). Sana "kalori" tulee latinasta ja tarkoittaa "lämpöä". Fysiikassa kalorit mittaavat energiaa. Yksi kilokalori on energian määrä

Mitkä ovat realismin kehitysvaiheet kirjallisuudessa?
Realismi (latinaksi: material, real) on kirjallisuuden ja taiteen suuntaus, joka pyrkii todenmukaisesti toistamaan todellisuutta sen tyypillisissä piirteissä. Yleisiä merkkejä: Taiteellinen kuvaus elämä kuvissa, mikä vastaa itse elämän ilmiöiden olemusta. Todellisuus on keino ymmärtää itseään ja ympäröivää maailmaa. Kirjoittaminen

Mikä on berkeliumin ja jaksollisen järjestelmän alkuaineen 117 välinen suhde
Berkelium, Berkelium, Bk on jaksollisen taulukon 97. elementti, jonka löysivät joulukuussa 1949 Thompson, Ghiorso ja Seaborg Kalifornian yliopistossa Berkeleyssä. Kun niitä säteilytettiin 241Am alfa-hiukkasilla, ne saivat berkelium-isotoopin 243Bk. Koska Bk on rakenteellisesti samankaltainen terbiumin kanssa, joka sai nimensä herra Ytterbyltä vuonna

Mistä Jaroslav Viisas on kuuluisa?
Jaroslav Viisas (980-1054), Kiovan suurherttua (1019). Vladimir I Svjatoslavovichin poika. Hän karkotti Svjatopolk I kirotun, taisteli veljensä Mstislavin kanssa, jakoi valtion hänen kanssaan (1025) ja yhdisti sen uudelleen vuonna 1035. Voittosarjalla hän turvasi Venäjän etelä- ja länsirajat. Luonut dynastisia suhteita moniin Ev-maihin

Kuinka perinne huutaa "katkera" häissä syntyi?
Kauan sitten oli tapana huutaa hääjuhlan aikana: ”Katkera!”, jolloin vastapariskunta pakotettiin nousemaan paikaltaan ja suutelemaan. Nykyään monet ihmiset eivät edes tiedä, mitä tämä rituaali tarkoittaa Ennen vanhaan häissä huusivat "Bitter!", mikä teki selväksi, että kupeissa oleva viini oli oletettavasti makeuttamaton. A

Mitkä ovat kurkunpäätulehduksen oireet
Kurkunpäätulehdus (muinaisesta kreikasta λ?ρυγξ - kurkunpää) on kurkunpään tulehdus, joka liittyy yleensä vilustumiseen tai tartuntatauteihin, kuten tuhkarokkoon, tulirokkoseen ja hinkuyskään. Taudin kehittymistä edistää hypotermia, suun kautta hengittäminen, pölyisyys

Onko sukupuoli ja deklinaatio määritetty substantiiville, joilla on vain monikkomuoto?
Numero on kielioppiluokka, joka ilmaisee kohteen määrälliset ominaisuudet. 1. Useimmat substantiivit muuttuvat numeroiden mukaan, ts. on kaksi muotoa - yksikkö ja monikko. Kunnossa yksikkö substantiivi tarkoittaa yhtä objektia, monikkomuodossa se tarkoittaa useita esineitä:

Mitä hyötyä venäläisestä puurosta on?
Tattari puuroa Tattari on erityinen vilja. Se osoittautuu ehkä yhdeksi hyödyllisimmistä puuroista. Ei ihme, että kutsumme sitä ensimmäiseksi. Tattari sisältää kuitua, koko joukon vitamiineja - E, PP, B1, B2, fooli- ja orgaanisia happoja sekä suuren prosenttiosuuden tärkkelystä, joka auttaa kehoa saamaan oikean määrän neoa.

Arkangelin kaupungin interaktiivinen kartta on katsottavissa seuraavilta sivustoilta: Map1 - satelliitti- ja vakiokartta (1:350 000); Kartta3 - siellä on katujen nimet, talonumerot, voit etsiä kadun mukaan Kartta4 - kartta katujen nimillä Map5 -; interaktiivinen kartta kaupunki;Map6 - interaktiivinen kaupungin kartta.

Funktiot, ei ole ollenkaan välttämätöntä tietää ensimmäisen ja toisen derivaatan olemassaolosta ja ymmärtää niiden fyysistä merkitystä. Ensin sinun on ymmärrettävä seuraavat asiat:

• funktion ääripäät maksimoivat tai päinvastoin minimoivat funktion arvon mielivaltaisen pienellä alueella;
• funktion ääripisteessä ei pitäisi olla epäjatkuvuutta.

Ja nyt sama asia, vain yksinkertaisella kielellä. Katso kuulakärkikynän kärkeä. Jos kynä on asetettu pystysuoraan kirjoituspään ollessa ylöspäin, pallon keskiosa on ääripää - korkein kohta. Tässä tapauksessa puhumme maksimista. Jos nyt käännät kynän kirjoituspää alaspäin, pallon keskellä on jo minimitoiminto. Käyttämällä tässä annettua kuvaa voit kuvitella luetellut paperitavarakynän käsittelyt. Joten funktion ääripäät ovat aina kriittisiä pisteitä: sen maksimi tai minimi. Graafin viereinen osa voi olla niin terävä tai sileä kuin halutaan, mutta sen on oltava molemmilla puolilla, vain tässä tapauksessa piste on ääripää. Jos kuvaaja on vain toisella puolella, tämä piste ei ole ääriarvo, vaikka toisella puolella ääripään ehdot täyttyisivät. Tutkitaan nyt funktion ääripäitä tieteellisestä näkökulmasta. Jotta pisteen katsottaisiin olevan ääriarvo, on välttämätöntä ja riittävää, että:

• ensimmäinen derivaatta oli nolla tai sitä ei ollut olemassa pisteessä;
• ensimmäinen johdannainen muutti merkkiään tässä vaiheessa.

Ehtoa tulkitaan hieman eri tavalla korkeamman kertaluvun derivaattojen näkökulmasta: funktiolle, joka on differentioituva pisteessä, riittää, että on olemassa pariton derivaatta, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, kun taas kaikki alemman kertaluvun derivaatat ovat olemassa. ja olla yhtä suuri kuin nolla. Tämä on yksinkertaisin mahdollinen tulkinta oppikirjoista, mutta useimmille tavallisia ihmisiä Tätä kohtaa kannattaa selventää esimerkin avulla. Perustana on tavallinen paraabeli. Tehdään varaus heti: nollapisteessä sillä on minimi. Vähän matematiikkaa:

• ensimmäinen derivaatta (X 2) | = 2X, nollapisteelle 2X = 0;
• toinen johdannainen (2X) | = 2, nollapisteelle 2 = 2.

Tällä yksinkertaisella tavalla havainnollistetaan ehdot, jotka määrittävät funktion ääriarvot sekä ensimmäisen että ylemmän kertaluvun johdannaisille. Voimme lisätä tähän, että toinen derivaatta on täsmälleen sama parittoman kertaluvun derivaatta, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, josta keskusteltiin juuri edellä. Kun kyse on kahden muuttujan funktion ääriarvoista, ehtojen on täytyttävä molemmille argumenteille. Kun yleistäminen tapahtuu, käytetään osittaisia ​​derivaattoja. Toisin sanoen ääripään esiintymiseksi pisteessä on välttämätöntä, että molemmat ensimmäisen kertaluvun derivaatat ovat yhtä suuria kuin nolla, tai ainakin toista niistä ei ole olemassa. Sen varmistamiseksi, että ääripään läsnäolo on riittävä, tutkitaan lauseke, joka on funktion toisen kertaluvun derivaatan tulon ja funktion sekoitetun toisen kertaluvun derivaatan neliön erotus. Jos tämä lauseke on suurempi kuin nolla, on ääriarvo, mutta jos se on yhtä suuri kuin nolla, kysymys jää avoimeksi ja lisätutkimusta on tehtävä.

Olkoon funktio $z=f(x,y)$ määritelty jossain pisteen $(x_0,y_0)$ ympäristössä. He sanovat, että $(x_0,y_0)$ on (paikallinen) maksimipiste, jos kaikille pisteille $(x,y)$ pisteen $(x_0,y_0)$ jossain ympäristössä epäyhtälö on $f(x,y) on tyytyväinen< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, niin pistettä $(x_0,y_0)$ kutsutaan (paikalliseksi) minimipisteeksi.

Maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan usein yleistermiksi - ääripisteet.

Jos $(x_0,y_0)$ on maksimipiste, niin funktion $f(x_0,y_0)$ arvoa tässä pisteessä kutsutaan funktion $z=f(x,y)$ maksimiarvoksi. Vastaavasti funktion arvoa minimipisteessä kutsutaan funktion $z=f(x,y)$ minimiksi. Funktion minimi- ja maksimiarvoja yhdistää yhteinen termi - funktion ääriarvo.

Algoritmi funktion $z=f(x,y)$ tutkimiseen ääriarvolle

1. Etsi osittaiset derivaatat $\frac(\partial z)(\partial x)$ ja $\frac(\partial z)(\partial y)$. Laadi ja ratkaise yhtälöjärjestelmä $ \left \( \begin(tasattu) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 \ end(tasattu) \right.$ Pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät määritetyn järjestelmän, kutsutaan kiinteiksi.
2. Etsi $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ ja laske $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left( \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ jokaisessa kiinteässä pisteessä. Käytä tämän jälkeen seuraavaa kaaviota:
   1. Jos $\Delta > 0$ ja $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (tai $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$, silloin tutkittava piste on minimipiste.
   2. Jos $\Delta > 0$ ja $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Jos $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Jos $\Delta = 0$, niin ääripään olemassaolosta ei voida sanoa mitään varmaa; lisätutkimusta tarvitaan.

Huomautus (toivottava tekstin täydellisemmän ymmärtämiseksi): näytä\piilota

Jos $\Delta > 0$, niin $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\) osittainen^2z)(\osittais x\osittainen y) \oikea)^2 > 0$. Ja tästä seuraa, että $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \partial x\partial y)\right)^2 ≥ 0$. Ne. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Jos tiettyjen määrien tulo on suurempi kuin nolla, niin nämä suuret ovat samanmerkkisiä. Eli jos esimerkiksi $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, niin $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Lyhyesti sanottuna, jos $\Delta > 0$, merkit $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ ja $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ ovat sama.

Esimerkki nro 1

Tutki funktiota $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ sen ääripäälle.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \vasen \( \begin(tasattu) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Pienennetään tämän järjestelmän kutakin yhtälöä $2 $ ja siirretään numerot yhtälöiden oikealle puolelle:

$$ \vasen \( \begin(tasattu) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(tasattu) \oikea. $$

Olemme saaneet lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän. Tässä tilanteessa minusta on kätevintä käyttää Cramer-menetelmää tuloksena olevan järjestelmän ratkaisemiseen.

$$ \begin(tasattu) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(tasattu) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Arvot $x=2$, $y=-3$ ovat kiinteän pisteen $(2;-3)$ koordinaatteja.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

Lasketaan $\Delta$:n arvo:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Koska $\Delta > 0$ ja $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, niin pisteen mukaan $(2;-3)$ on funktion $ minimipiste z$. Löydämme funktion $z$ minimin korvaamalla pisteen $(2;-3)$ koordinaatit annettuun funktioon:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cpiste 2^2-6\cpiste 2 \cpiste (-3)-34\cpiste 2+5\cpiste (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90. $$

Vastaus: $(2;-3)$ - minimipiste; $z_(min) = -90 $.

Esimerkki nro 2

Tutki funktiota $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ sen ääripäälle.

Noudatamme yllä olevaa. Etsitään ensin ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

Luodaan yhtälöjärjestelmä $ \left \( \begin(tasattu) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end( tasattu) \right.$:

$$ \left \( \begin(tasattu) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Pienennetään ensimmäistä yhtälöä 3:lla ja toista 6:lla.

$$ \left \( \begin(tasattu) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Jos $x=0$, niin toinen yhtälö johtaa meidät ristiriitaan: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Tästä päätelmä: $x\neq 0$. Sitten toisesta yhtälöstä saamme: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Korvaamalla $y=\frac(2)(x)$ ensimmäiseen yhtälöön, saamme:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Saimme kaksikvadraattisen yhtälön. Korvaamme $t=x^2$ (eli $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(tasattu) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(tasattu) $$

Jos $t=1$, niin $x^2=1$. Tästä syystä meillä on kaksi arvoa $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Jos $t=4$, niin $x^2=4$, ts. $x_3=2$, $x_4=-2$. Kun muistamme, että $y=\frac(2)(x)$, saamme:

\begin(tasattu) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2) = -1. \end(tasattu)

Meillä on siis neljä kiinteää pistettä: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Tämä suorittaa algoritmin ensimmäisen vaiheen.

Aloitetaan nyt algoritmin kanssa. Etsitään toisen asteen osittaiset derivaatat:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

Etsitään $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Nyt laskemme $\Delta$:n arvon jokaisessa aiemmin löydetyssä paikallaan olevassa pisteessä. Aloitetaan pisteestä $M_1(1;2)$. Tässä vaiheessa meillä on: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Alkaen $\Delta(M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Tarkastellaan pistettä $M_2(-1;-2)$. Tässä vaiheessa meillä on: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Alkaen $\Delta(M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Tarkastellaan pistettä $M_3(2;1)$. Tässä vaiheessa saamme:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Koska $\Delta(M_3) > 0$ ja $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, sitten $M_3(2; 1)$ on funktion $z$ minimipiste. Löydämme funktion $z$ minimin korvaamalla pisteen $M_3$ koordinaatit annettuun funktioon:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cpiste 2\cpiste 1^2-15\cpiste 2-12\cpiste 1+1=-27. $$

Vielä on tutkittava piste $M_4(-2;-1)$. Tässä vaiheessa saamme:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Koska $\Delta(M_4) > 0$ ja $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cpiste (-2)\cpiste (-1)^2-15\cpiste (-2)-12\cpiste (-1)+1 = 29. $$

Ekstreemitutkimus on valmis. Ei jää muuta kuin kirjoittaa vastaus muistiin.

Vastaus:

• $(2;1)$ - minimipiste, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - maksimipiste, $z_(max)=29$.

Huom

Laske $\Delta$-arvo yleinen tapaus ei ole tarvetta, koska meitä kiinnostaa vain merkki, ei tämän parametrin tietty arvo. Esimerkiksi, esimerkiksi yllä tarkasteltuna nro 2, pisteessä $M_3(2;1)$ meillä on $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Tässä on ilmeistä, että $\Delta > 0$ (koska molemmat tekijät $36$ ja $(2^2-1^2)$ ovat positiivisia) ja on mahdollista, että tiettyä arvoa $\Delta$ ei löydy. Totta, tavallisissa laskelmissa tämä huomautus on hyödytön - ne edellyttävät, että lasket laskelmat numeroon :)

Esimerkki nro 3

Tutki funktiota $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ sen ääripäälle.

Me seuraamme. Etsitään ensin ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

Luodaan yhtälöjärjestelmä $ \left \( \begin(tasattu) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end( tasattu) \right.$:

$$ \vasen \( \begin(tasattu) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Vähennetään molempia yhtälöitä $4 $:lla:

$$ \left \( \begin(tasattu) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Lisätään ensimmäinen yhtälö toiseen ja ilmaistaan ​​$y$ muodossa $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Korvaamalla $y=-x$ järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön, saamme:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Tuloksena olevasta yhtälöstä saamme: $x=0$ tai $x^2-2=0$. Yhtälöstä $x^2-2=0$ seuraa, että $x=-\sqrt(2)$ tai $x=\sqrt(2)$. Joten löytyy kolme $x$ arvoa, nimittäin: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Koska $y=-x$, sitten $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Ratkaisun ensimmäinen vaihe on valmis. Saimme kolme kiinteää pistettä: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Aloitetaan nyt algoritmin kanssa. Etsitään toisen asteen osittaiset derivaatat:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

Etsitään $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Nyt laskemme $\Delta$:n arvon jokaisessa aiemmin löydetyssä paikallaan olevassa pisteessä. Aloitetaan pisteestä $M_1(0;0)$. Tässä vaiheessa meillä on: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Koska $\Delta(M_1) = 0$, niin lisätutkimusta tarvitaan, koska ääripään olemassaolosta tarkasteltavassa kohdassa ei voida sanoa mitään varmaa. Jätetään tämä kohta rauhaan toistaiseksi ja siirrytään muihin kohtiin.

Tarkastellaan pistettä $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. Tässä vaiheessa saamme:

\begin(tasattu) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(tasattu)

Koska $\Delta(M_2) > 0$ ja $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, sitten $M_2(-\) sqrt(2),\sqrt(2))$ on funktion $z$ minimipiste. Löydämme funktion $z$ minimin korvaamalla pisteen $M_2$ koordinaatit annettuun funktioon:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Edellisen kohdan tapaan tarkastelemme pistettä $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. Tässä vaiheessa saamme:

\begin(tasattu) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(tasattu)

Koska $\Delta(M_3) > 0$ ja $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, sitten $M_3(\sqrt) (2),-\sqrt(2))$ on funktion $z$ minimipiste. Löydämme funktion $z$ minimin korvaamalla pisteen $M_3$ koordinaatit annettuun funktioon:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

On aika palata pisteeseen $M_1(0;0)$, jossa $\Delta(M_1) = 0$. Tämän mukaan lisätutkimuksia tarvitaan. Tämä välttelevä lause tarkoittaa "tee mitä haluat" :). Ei ole olemassa yleistä tapaa ratkaista tällaisia ​​tilanteita, ja tämä on ymmärrettävää. Jos tällainen menetelmä olisi olemassa, se olisi sisällytetty kaikkiin oppikirjoihin kauan sitten. Sillä välin meidän on etsittävä erityinen lähestymistapa jokaiseen pisteeseen, jossa $\Delta = 0$. No, tarkastellaan funktion käyttäytymistä pisteen $M_1(0;0)$ läheisyydessä. Huomaa heti, että $z(M_1)=z(0;0)=3$. Oletetaan, että $M_1(0;0)$ on minimipiste. Sitten mille tahansa pisteelle $M$ jostain pisteen $M_1(0;0)$ läheisyydestä saadaan $z(M) > z(M_1)$, ts. $z(M) > 3$. Entä jos jokin naapurustossa on pisteitä, joissa $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Tarkastellaan pisteitä, joille $y=0$, ts. pisteet muodossa $(x,0)$. Näissä kohdissa funktio $z$ saa seuraavat arvot:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

Kaikilla riittävän pienillä alueilla $M_1(0;0)$ meillä on $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Mutta ehkä piste $M_1(0;0)$ on maksimipiste? Jos näin on, niin mille tahansa pisteelle $M$ jostain pisteen $M_1(0;0)$ läheisyydestä saadaan $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3 dollaria? Silloin ei varmasti ole maksimipisteessä $M_1$.

Tarkastellaan pisteitä, joille $y=x$, ts. pisteet muodossa $(x,x)$. Näissä kohdissa funktio $z$ saa seuraavat arvot:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Koska missä tahansa pisteen $M_1(0;0)$ ympäristössä meillä on $2x^4 > 0$, sitten $2x^4+3 > 3$. Johtopäätös: mikä tahansa pisteen $M_1(0;0)$ ympäristö sisältää pisteitä, joissa $z > 3$, joten piste $M_1(0;0)$ ei voi olla maksimipiste.

Piste $M_1(0;0)$ ei ole maksimi- eikä minimipiste. Johtopäätös: $M_1$ ei ole ollenkaan ääripiste.

Vastaus: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ ovat funktion $z$ vähimmäispisteet. Molemmissa pisteissä $z_(min)=-5$.