Todiste johdannaiskaavasta annetaan monimutkainen toiminto. Tapauksia, joissa monimutkainen funktio riippuu yhdestä tai kahdesta muuttujasta, tarkastellaan yksityiskohtaisesti. Tapaukseen tehdään yleistys mikä tahansa numero muuttujia.

Tässä tarjoamme seuraavien kaavojen johdannaisen kompleksisen funktion derivaatalle.
Jos, niin
.
Jos, niin
.
Jos, niin
.

Kompleksisen funktion johdannainen yhdestä muuttujasta

Esitetään muuttujan x funktio kompleksisena funktiona seuraavassa muodossa:
,
jossa on joitain toimintoja. Funktio on differentioituva jollekin muuttujan x arvolle.
Funktio on differentioituva muuttujan arvolla.
(1) .

Tällöin kompleksi (komposiitti)funktio on differentioituva pisteessä x ja sen derivaatta määritetään kaavalla:
;
.

Kaava (1) voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:

Todiste
;
.
Otetaan käyttöön seuraava merkintä.

Tässä on muuttujien funktio ja , muuttujien funktio ja .
;
.

Mutta jätämme pois näiden funktioiden argumentit, jotta laskelmat eivät sotkeudu.
.
Koska funktiot ja ovat differentioitavissa pisteissä x ja vastaavasti, niin näissä pisteissä on näiden funktioiden derivaatat, jotka ovat seuraavat rajat:
.
Harkitse seuraavaa toimintoa:
.

Muuttujan u kiinteälle arvolle on funktio .
.
Harkitse seuraavaa toimintoa:
.

Se on selvää

.

Sitten

Koska funktio on pisteessä differentioituva funktio, se on jatkuva siinä pisteessä. Siksi

Nyt löydämme johdannaisen.
,
Kaava on todistettu.
.
Seuraus

Jos muuttujan x funktio voidaan esittää kompleksifunktion kompleksifunktiona
sitten sen derivaatta määritetään kaavalla
.
Täällä ja on joitain erotettavia toimintoja.
.
Tämän kaavan todistamiseksi laskemme derivaatan peräkkäin käyttämällä kompleksisen funktion erottamissääntöä.
.
Täällä ja on joitain erotettavia toimintoja.
.

Harkitse monimutkaista funktiota

Sen johdannainen Harkitse alkuperäistä toimintoa.

Kompleksisen funktion johdannainen kahdesta muuttujasta
,
Olkoon nyt kompleksifunktion riippuvainen useista muuttujista. Ensin katsotaan
kahden muuttujan kompleksisen funktion tapauksessa
- kahden muuttujan funktio, joka on differentioituva pisteessä , .
(2) .

Kaava (1) voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:

Sitten kompleksifunktio määritellään pisteen tietyssä ympäristössä ja sillä on derivaatta, joka määritetään kaavalla:
;
.
Koska funktiot ja ovat differentioituvia pisteessä, ne määritellään tämän pisteen tietyllä alueella, ovat jatkuvia pisteessä ja niiden derivaatat ovat pisteessä, jotka ovat seuraavat rajat:
;
.
Tässä
;
.

Näiden toimintojen jatkuvuuden vuoksi meillä on:
(3) .
Koska funktiot ja ovat differentioituvia pisteessä, ne määritellään tämän pisteen tietyllä alueella, ovat jatkuvia pisteessä ja niiden derivaatat ovat pisteessä, jotka ovat seuraavat rajat:

Koska funktio on pisteessä differentioituva, se määritellään tämän pisteen tietyssä ympäristössä, on jatkuva tässä pisteessä ja sen inkrementti voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:
;

- funktion lisäys, kun sen argumentteja kasvatetaan arvoilla ja ;
- funktion osittaiset derivaatat suhteessa muuttujiin ja .
;
.
Kiinteille arvoille ja , ja ovat muuttujien ja funktioita.
;
.

Niillä on taipumus nollata ja:

. :
.
Siitä lähtien ja sitten



.

Sitten

Toiminnan lisäys:

Korvataan (3):

Monimutkaisen funktion johdannainen useista muuttujista Yllä oleva johtopäätös voidaan helposti yleistää tapaukseen, jossa kompleksisen funktion muuttujien lukumäärä on enemmän kuin kaksi. Esimerkiksi jos f on
,
Olkoon nyt kompleksifunktion riippuvainen useista muuttujista. Ensin katsotaan
kolmen muuttujan funktio
, Tuo
, ja jollekin muuttujan x arvolle on differentioituvia funktioita;
(4)
.
- kolmen muuttujan differentioituva funktio pisteessä , , .
; ; ,
Sitten funktion differentiatiivisuuden määritelmästä saamme:
;
;
.

Koska jatkuvuuden vuoksi
.

Että Jakamalla (4) ja siirtymällä rajaan, saamme: Ja lopuksi harkitaan .
useimmat
,
Olkoon nyt kompleksifunktion riippuvainen useista muuttujista. Ensin katsotaan
yleinen tapaus
Esitetään muuttujan x funktio n muuttujan kompleksisena funktiona seuraavassa muodossa:
, , ... , .
Harkitse seuraavaa toimintoa:
.

jollekin muuttujan x arvolle on differentioituvia funktioita;

- n muuttujan differentioituva funktio pisteessä

Tässä artikkelissa puhumme niin tärkeästä matemaattisesta käsitteestä kuin monimutkainen funktio, ja opimme löytämään monimutkaisen funktion derivaatan.

Ennen kuin opimme löytämään monimutkaisen funktion derivaatan, ymmärrämme monimutkaisen funktion käsitettä, mitä se on, "millä sitä syödään" ja "miten keitetään se oikein".

Harkitse mielivaltaista funktiota, esimerkiksi tätä:

Huomaa, että argumentti funktioyhtälön oikealla ja vasemmalla puolella on sama luku tai lauseke.

Muuttujan sijasta voimme laittaa esimerkiksi seuraavan lausekkeen: . Ja sitten saamme funktion

Olkoon funktio määritetty joukolle ja tämän funktion arvojen joukko. Olkoon joukko (tai sen osajoukko) funktion määritelmäalue. Määritetään jokaiselle niistä numero. Siten toiminto määritellään joukossa. Sitä kutsutaan funktion koostumukseksi tai kompleksiseksi funktioksi.

Tässä määritelmässä, jos käytämme terminologiamme, ulkoinen funktio on väliargumentti.

Kompleksisen funktion derivaatta löydetään seuraavan säännön mukaan:

Selvyyden vuoksi haluan kirjoittaa tämän säännön seuraavasti:

Tässä lausekkeessa käyttämällä tarkoittaa välifunktiota.

Niin. Monimutkaisen funktion derivaatan löytämiseksi tarvitset

1. Selvitä mikä funktio on ulkoinen ja etsi vastaava derivaatta derivaattataulukosta.

2. Määrittele väliargumentti.

Tässä menettelyssä suurin vaikeus on löytää ulkoinen toiminto. Tähän käytetään yksinkertaista algoritmia:

A. Kirjoita muistiin funktion yhtälö.

b. Kuvittele, että sinun on laskettava funktion arvo jollekin x:n arvolle. Voit tehdä tämän korvaamalla tämän x-arvon funktioyhtälöön ja suorittamalla aritmeettisen. Viimeinen toiminto on ulkoinen toiminto.

Esimerkiksi funktiossa

Viimeinen toimenpide on eksponentio.

Etsitään tämän funktion derivaatta. Tätä varten kirjoitamme väliargumentin

Alustavan tykistövalmistelun jälkeen esimerkit, joissa on 3-4-5 toimintojen sisäkkäisyyttä, ovat vähemmän pelottavia. Ehkä seuraavat kaksi esimerkkiä näyttävät joillekin monimutkaisilta, mutta jos ymmärrät ne (joku kärsii), niin melkein kaikki muu differentiaalilaskenta Se näyttää lapsen vitsiltä.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Kuten jo todettiin, löydettäessä monimutkaisen funktion derivaatta on ensinnäkin välttämätöntä Oikein YMMÄRRÄ sijoituksesi. Tapauksissa, joissa on epäilyksiä, muistutan teitä hyödyllisestä tekniikasta: otamme esimerkiksi kokeellisen arvon "x" ja yritämme (henkisesti tai luonnoksessa) korvata annettu arvo"kauheaksi ilmaisuksi".

1) Ensin täytyy laskea lauseke, mikä tarkoittaa, että summa on syvin upotus.

2) Sitten sinun on laskettava logaritmi:

4) Kuutioi sitten kosini:

5) Viidennessä vaiheessa ero:

6) Ja lopuksi, uloin funktio on neliöjuuri:

Kaava monimutkaisen funktion erottamiseksi käytetään käänteisessä järjestyksessä, uloimmasta toiminnosta sisimpään. Päätämme:

Näyttää ilman virheitä:

1) Ota neliöjuuren derivaatta.

2) Ota erotuksen derivaatta säännön avulla

3) Kolmonen derivaatta on nolla. Toisessa termissä otetaan asteen derivaatta (kuutio).

4) Ota kosinin derivaatta.

6) Ja lopuksi otamme syvimmän upotuksen johdannaisen.

Se voi tuntua liian vaikealta, mutta tämä ei ole julmin esimerkki. Otetaan esimerkiksi Kuznetsovin kokoelma ja arvostat analysoidun johdannaisen kaikkea kauneutta ja yksinkertaisuutta. Huomasin, että he haluavat antaa samanlaisen asian kokeessa tarkistaakseen, ymmärtääkö opiskelija kuinka löytää monimutkaisen funktion derivaatta vai ei ymmärrä.

Seuraava esimerkki on sinun ratkaistavaksesi itse.

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Vihje: Ensin sovelletaan lineaarisuussääntöjä ja tuotteiden erottelusääntöä

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

On aika siirtyä johonkin pienempään ja mukavampaan.
Ei ole harvinaista, että esimerkki näyttää kahden, vaan kolmen funktion tuloa. Kuinka löytää johdannainen kolmen tuotteet kertoimet?

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Katsotaan ensin, onko mahdollista muuttaa kolmen funktion tulo kahden funktion tuloksi? Esimerkiksi, jos tuotteessa olisi kaksi polynomia, voisimme avata sulut. Mutta tarkasteltavassa esimerkissä kaikki funktiot ovat erilaisia: aste, eksponentti ja logaritmi.

Tällaisissa tapauksissa se on välttämätöntä peräkkäin soveltaa tuotteiden erottelusääntöä kahdesti

Temppu on, että "y" merkitsee kahden funktion tuloa: , ja "ve" merkitsee logaritmia: . Miksi tämä voidaan tehdä? Onko todella - tämä ei ole kahden tekijän tulos ja sääntö ei toimi?! Ei ole mitään monimutkaista:

Nyt on vielä sovellettava sääntöä toisen kerran suluissa:

Voit myös kiertyä ja laittaa jotain suluista, mutta tässä tapauksessa on parempi jättää vastaus täsmälleen tähän muotoon - se on helpompi tarkistaa.

Tarkasteltu esimerkki voidaan ratkaista toisella tavalla:

Molemmat ratkaisut ovat täysin samanarvoisia.

Esimerkki 5

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta näytteessä, joka on ratkaistu ensimmäisellä menetelmällä.

Katsotaanpa samanlaisia ​​esimerkkejä murtolukujen kanssa.

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Voit mennä tänne useilla tavoilla:

Tai näin:

Mutta ratkaisu kirjoitetaan kompaktimmin, jos käytämme ensin osamäärän differentiaatiosääntöä , otetaan koko osoittaja:

Periaatteessa esimerkki on ratkaistu, ja jos se jätetään ennalleen, se ei ole virhe. Mutta jos sinulla on aikaa, kannattaa aina tarkistaa luonnoksesta, voidaanko vastausta yksinkertaistaa?

Pelkistetään osoittajan lauseke yhteiseksi nimittäjäksi ja päästään eroon murtoluvun kolmikerroksisesta rakenteesta:

Lisäyksinkertaistamisen haittana on, että on olemassa riski tehdä virhe ei johdannaista etsittäessä, vaan banaalien koulumuunnosten yhteydessä. Toisaalta opettajat usein hylkäävät tehtävän ja pyytävät "tuottamaan sen mieleen" johdannaisen.

Yksinkertaisempi esimerkki ratkaistaksesi itse:

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Jatkamme derivaatan löytämismenetelmien hallintaa, ja nyt tarkastelemme tyypillistä tapausta, jossa "kauhea" logaritmi ehdotetaan erottamiseen

Monimutkaiset johdannaiset. Logaritminen derivaatta.
Tehojohdannainen eksponentiaalinen funktio

Jatkamme erottelutekniikan parantamista. Tällä oppitunnilla konsolidoimme käsittelemäämme materiaalia, katsomme monimutkaisempia derivaattoja ja tutustumme myös uusiin tekniikoihin ja temppuihin derivaatan löytämiseksi, erityisesti logaritmisen derivaatan kanssa.

Niiden lukijoiden, joilla on alhainen valmistautumistaso, kannattaa tutustua artikkeliin Kuinka löytää johdannainen? Esimerkkejä ratkaisuista, jonka avulla voit nostaa taitojasi melkein tyhjästä. Seuraavaksi sinun on tutkittava sivu huolellisesti Monimutkaisen funktion johdannainen, ymmärrä ja ratkaise Kaikki antamani esimerkit. Tämä oppitunti on loogisesti kolmas peräkkäin, ja sen hallitsemisen jälkeen erottelet varmuudella melko monimutkaiset toiminnot. Ei ole toivottavaa ottaa kantaa "Missä muualla? Kyllä, se riittää ”, koska kaikki esimerkit ja ratkaisut on otettu todellisesta testit ja niitä tulee usein vastaan ​​käytännössä.

Aloitetaan toistolla. Luokassa Monimutkaisen funktion johdannainen Tarkastelimme useita esimerkkejä yksityiskohtaisten kommenttien kera. Differentiaalilaskennan ja muiden matemaattisen analyysin haarojen opiskelun aikana joudut erottamaan hyvin usein, eikä esimerkkejä ole aina kätevää (eikä välttämätöntä) kuvata kovin yksityiskohtaisesti. Siksi harjoittelemme johdannaisten löytämistä suullisesti. Sopivimmat "ehdokkaat" tähän ovat yksinkertaisimpien monimutkaisten funktioiden johdannaiset, esimerkiksi:

Monimutkaisten funktioiden eriyttämissäännön mukaan :

Tulevaisuudessa muita matan-aiheita opiskellessa ei useimmiten vaadita tällaista yksityiskohtaista tallennusta, oletetaan, että opiskelija osaa löytää tällaiset johdannaiset autopilotilla. Kuvitellaan, että kello 3 aamulla oli a puhelinsoitto, ja miellyttävä ääni kysyi: "Mikä on kahden X:n tangentin derivaatta?" Tätä pitäisi seurata lähes välitön ja kohtelias vastaus: .

Ensimmäinen esimerkki on heti tarkoitettu itsenäiseksi ratkaisuksi.

Esimerkki 1

Etsi seuraavat johdannaiset suullisesti, yhdessä toiminnossa, esimerkiksi: . Tehtävän suorittamiseksi sinun tarvitsee vain käyttää taulukko alkeisfunktioiden johdannaisista(jos et ole vielä muistanut). Jos sinulla on vaikeuksia, suosittelen lukemaan oppitunnin uudelleen Monimutkaisen funktion johdannainen.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Vastaukset oppitunnin lopussa

Monimutkaiset johdannaiset

Alustavan tykistövalmistelun jälkeen esimerkit, joissa on 3-4-5 toimintojen sisäkkäisyyttä, ovat vähemmän pelottavia. Seuraavat kaksi esimerkkiä saattavat tuntua monimutkaisilta joillekin, mutta jos ymmärrät ne (joku kärsii), niin melkein kaikki muu differentiaalilaskennassa näyttää lapsen vitsiltä.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Kuten jo todettiin, löydettäessä monimutkaisen funktion derivaatta on ensinnäkin välttämätöntä Oikein YMMÄRRÄ sijoituksesi. Tapauksissa, joissa on epäilyksiä, muistutan teitä hyödyllisestä tekniikasta: otamme esimerkiksi "x":n kokeellisen arvon ja yritämme (henkisesti tai luonnoksessa) korvata tämän arvon "kauhealla ilmaisulla".

1) Ensin täytyy laskea lauseke, mikä tarkoittaa, että summa on syvin upotus.

2) Sitten sinun on laskettava logaritmi:

4) Kuutioi sitten kosini:

5) Viidennessä vaiheessa ero:

6) Ja lopuksi, uloin funktio on neliöjuuri:

Kaava monimutkaisen funktion erottamiseksi käytetään käänteisessä järjestyksessä, uloimmasta toiminnosta sisimpään. Päätämme:

Virheitä ei näytä olevan...

(1) Ota neliöjuuren derivaatta.

(2) Otetaan erotuksen derivaatta säännön avulla

(3) Triplein derivaatta on nolla. Toisessa termissä otetaan asteen derivaatta (kuutio).

(4) Ota kosinin derivaatta.

(5) Ota logaritmin derivaatta.

(6) Ja lopuksi otamme syvimmän upotuksen johdannaisen.

Se voi tuntua liian vaikealta, mutta tämä ei ole julmin esimerkki. Otetaan esimerkiksi Kuznetsovin kokoelma ja arvostat analysoidun johdannaisen kaikkea kauneutta ja yksinkertaisuutta. Huomasin, että he haluavat antaa samanlaisen asian kokeessa tarkistaakseen, ymmärtääkö opiskelija kuinka löytää monimutkaisen funktion derivaatta vai ei ymmärrä.

Seuraava esimerkki on sinun ratkaistavaksesi itse.

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Vihje: Ensin sovelletaan lineaarisuussääntöjä ja tuotteiden erottelusääntöä

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

On aika siirtyä johonkin pienempään ja mukavampaan.
Ei ole harvinaista, että esimerkki näyttää kahden, vaan kolmen funktion tuloa. Kuinka löytää johdannainen kolmen tekijän tulosta?

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Katsotaan ensin, onko mahdollista muuttaa kolmen funktion tulo kahden funktion tuloksi? Esimerkiksi, jos tuotteessa olisi kaksi polynomia, voisimme avata sulut. Mutta tarkasteltavassa esimerkissä kaikki funktiot ovat erilaisia: aste, eksponentti ja logaritmi.

Tällaisissa tapauksissa se on välttämätöntä peräkkäin soveltaa tuotteiden erottelusääntöä kahdesti

Temppu on, että "y" merkitsee kahden funktion tuloa: , ja "ve" merkitsee logaritmia: . Miksi tämä voidaan tehdä? Onko todella – tämä ei ole kahden tekijän tulos ja sääntö ei toimi?! Ei ole mitään monimutkaista:

Nyt on vielä sovellettava sääntöä toisen kerran suluissa:

Voit myös kiertyä ja ottaa jotain pois suluista, mutta tässä tapauksessa on parempi jättää vastaus täsmälleen tähän muotoon - se on helpompi tarkistaa.

Tarkasteltu esimerkki voidaan ratkaista toisella tavalla:

Molemmat ratkaisut ovat täysin samanarvoisia.

Esimerkki 5

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta näytteessä, joka on ratkaistu ensimmäisellä menetelmällä.

Katsotaanpa samanlaisia ​​esimerkkejä murtolukujen kanssa.

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Voit mennä tänne useilla tavoilla:

Tai näin:

Mutta ratkaisu kirjoitetaan kompaktimmin, jos käytämme ensin osamäärän differentiaatiosääntöä , otetaan koko osoittaja:

Periaatteessa esimerkki on ratkaistu, ja jos se jätetään ennalleen, se ei ole virhe. Mutta jos sinulla on aikaa, kannattaa aina tarkistaa luonnoksesta, voidaanko vastausta yksinkertaistaa? Pelkistetään osoittajan lauseke yhteiseksi nimittäjäksi ja päästään eroon kolmikerroksisesta murto-osasta:

Lisäyksinkertaistamisen haittana on, että on olemassa riski tehdä virhe ei johdannaista etsittäessä, vaan banaalien koulumuunnosten yhteydessä. Toisaalta opettajat usein hylkäävät tehtävän ja pyytävät "tuottamaan sen mieleen" johdannaisen.

Yksinkertaisempi esimerkki ratkaistaksesi itse:

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Jatkamme derivaatan löytämismenetelmien hallintaa, ja nyt tarkastelemme tyypillistä tapausta, jossa "kauhea" logaritmi ehdotetaan erottamiseen

Esimerkki 8

Etsi funktion derivaatta

Tässä voit mennä pitkälle käyttämällä sääntöä monimutkaisen funktion erottamiseksi:

Mutta aivan ensimmäinen askel syöttää sinut välittömästi epätoivoon - sinun on otettava epämiellyttävä johdannainen murto-osasta ja sitten myös murto-osasta.

Siksi ennen kuinka ottaa "kehittyneen" logaritmin derivaatta, se yksinkertaistetaan ensin käyttämällä tunnettuja koulun ominaisuuksia:

! Jos sinulla on käsillä harjoitusvihko, kopioi nämä kaavat suoraan sinne. Jos sinulla ei ole muistikirjaa, kopioi ne paperille, koska oppitunnin loput esimerkit pyörivät näiden kaavojen ympärillä.

Itse ratkaisu voidaan kirjoittaa vaikkapa näin:

Muunnetaan funktio:

Johdannan löytäminen:

Itse funktion esimuuntaminen yksinkertaisti ratkaisua huomattavasti. Siten, kun samanlaista logaritmia ehdotetaan erottamiseen, on aina suositeltavaa "hajottaa se".

Ja nyt pari yksinkertaista esimerkkiä, jotka voit ratkaista itse:

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 10

Etsi funktion derivaatta

Kaikki muunnokset ja vastaukset ovat oppitunnin lopussa.

Logaritminen derivaatta

Jos logaritmien derivaatta on niin makeaa musiikkia, herää kysymys: onko joissain tapauksissa mahdollista järjestää logaritmi keinotekoisesti? Voi! Ja jopa tarpeellista.

Esimerkki 11

Etsi funktion derivaatta

Tarkastelimme äskettäin vastaavia esimerkkejä. Mitä tehdä? Voit soveltaa peräkkäin osamäärän eriyttämissääntöä ja sitten tuotteen differentiaatiosääntöä. Tämän menetelmän haittana on, että päädyt valtavaan kolmikerroksiseen murto-osaan, jota et halua käsitellä ollenkaan.

Mutta teoriassa ja käytännössä on olemassa niin upea asia kuin logaritminen derivaatta. Logaritmit voidaan järjestää keinotekoisesti "riippaamalla" ne molemmille puolille:

Nyt sinun on "hajottava" oikean puolen logaritmi mahdollisimman paljon (kaavat silmiesi edessä?). Kuvaan tätä prosessia yksityiskohtaisesti:

Aloitetaan erottelusta.
Päätämme molemmat osat prime:n alle:

Oikean puolen johdannainen on melko yksinkertainen, en kommentoi sitä, koska jos luet tätä tekstiä, sinun pitäisi pystyä käsittelemään sitä luottavaisesti.

Entä vasen puoli?

Vasemmalla puolella meillä on monimutkainen toiminto. Ennustan kysymyksen: "Miksi, onko logaritmin alla yksi kirjain "Y"?"

Tosiasia on, että tämä "yhden kirjaimen peli" - ON ITSE TOIMINTO(jos se ei ole kovin selkeä, katso artikkeli implisiittisesti määritellyn funktion johdannainen). Siksi logaritmi on ulkoinen funktio ja "y" on sisäinen funktio. Ja käytämme sääntöä monimutkaisen funktion erottamiseen :

Vasemmalla puolella, ikään kuin taianomaisesti, meillä on johdannainen. Seuraavaksi siirretään "y" suhteellisuussäännön mukaisesti vasemman puolen nimittäjästä oikean puolen yläosaan:

Ja nyt muistetaan, millaisesta "pelaaja"-toiminnosta puhuimme erottelun aikana? Katsotaanpa tilannetta:

Lopullinen vastaus:

Esimerkki 12

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Tämän tyyppisen esimerkin malliesimerkki on oppitunnin lopussa.

Logaritmisen derivaatan avulla oli mahdollista ratkaista mikä tahansa esimerkeistä 4-7, toinen asia on, että funktiot siellä ovat yksinkertaisempia, ja ehkä logaritmisen derivaatan käyttö ei ole kovin perusteltua.

Potenttieksponentiaalifunktion johdannainen

Emme ole vielä harkinneet tätä toimintoa. Potenttieksponentiaalinen funktio on funktio, jolle sekä aste että kanta riippuvat x:stä. Klassinen esimerkki, joka annetaan sinulle missä tahansa oppikirjassa tai luennossa:

Kuinka löytää potenssieksponentiaalisen funktion derivaatta?

On tarpeen käyttää juuri käsiteltyä tekniikkaa - logaritminen derivaatta. Riputamme logaritmit molemmille puolille:

Yleensä oikealta puolelta aste otetaan pois logaritmin alta:

Tämän seurauksena oikealla puolella on kahden funktion tulo, jotka erotetaan vakiokaavan mukaan .

Löydämme johdannaisen tähän liittämällä molemmat osat viivojen alle:

Muut toimet ovat yksinkertaisia:

Lopuksi:

Jos jokin muunnos ei ole täysin selvä, lue esimerkin #11 selitykset uudelleen huolellisesti.

IN käytännön tehtäviä Potenttieksponentiaalinen funktio tulee aina olemaan monimutkaisempi kuin luennolla käsitelty esimerkki.

Esimerkki 13

Etsi funktion derivaatta

Käytämme logaritmista derivaatta.

Oikealla puolella on vakio ja kahden tekijän tulo - "x" ja "logaritmin x logaritmi" (toinen logaritmi on sisäkkäin logaritmin alle). Differentioinnissa, kuten muistamme, on parempi siirtää vakio välittömästi pois derivaattamerkistä, jotta se ei jää tielle; ja tietysti noudatamme tuttua sääntöä :

Kuten näette, logaritmisen derivaatan käyttöalgoritmi ei sisällä erityisiä temppuja tai temppuja, eikä tehoeksponentiaalisen funktion derivaatan löytäminen yleensä liity "piinaan".

Monimutkaisen funktion johdannainen. Esimerkkejä ratkaisuista

Tällä oppitunnilla opimme löytämään kompleksisen funktion derivaatta. Oppitunti on looginen jatko oppitunnille Kuinka löytää johdannainen?, jossa tutkimme yksinkertaisimpia derivaattoja ja tutustuimme myös differentiaatiosääntöihin ja joihinkin teknisiin tekniikoihin derivaatan löytämiseksi. Joten jos et ole kovin hyvä funktioiden johdannaisten kanssa tai jotkin tämän artikkelin kohdat eivät ole täysin selviä, lue ensin yllä oleva oppitunti. Ole hyvällä tuulella - materiaali ei ole yksinkertaista, mutta yritän silti esittää sen yksinkertaisesti ja selkeästi.

Käytännössä monimutkaisen funktion derivaatan kanssa joutuu käsittelemään hyvin usein, sanoisin jopa lähes aina, kun annetaan tehtäviä derivaattojen etsimiseen.

Katsomme taulukkoa säännöstä (nro 5) monimutkaisen funktion erottamiseksi:

Selvitetään se. Ensinnäkin kiinnitetään huomiota sisääntuloon. Tässä on kaksi funktiota – ja, ja funktio kuvaannollisesti sanottuna on sisäkkäin funktion sisällä. Tämän tyyppistä funktiota (kun yksi funktio on sisäkkäinen toisen sisällä) kutsutaan kompleksifunktioksi.

Kutsun toiminnon ulkoinen toiminto, ja toiminto – sisäinen (tai sisäkkäinen) toiminto.

! Nämä määritelmät eivät ole teoreettisia, eivätkä ne saa esiintyä tehtävien lopullisessa suunnittelussa. Käytän epävirallisia ilmaisuja "ulkoinen toiminto", "sisäinen" toiminto vain helpottaakseni materiaalin ymmärtämistä.

Selvittääksesi tilannetta, harkitse:

Esimerkki 1

Etsi funktion derivaatta

Sinin alla ei ole vain kirjain “X”, vaan koko lauseke, joten derivaatan löytäminen heti taulukosta ei onnistu. Huomaamme myös, että tässä on mahdotonta soveltaa neljää ensimmäistä sääntöä, ero näyttää olevan, mutta tosiasia on, että siniä ei voi "revitä palasiksi":

Tässä esimerkissä on jo intuitiivisesti selvää selityksistäni, että funktio on monimutkainen funktio ja polynomi on sisäinen funktio (upotus) ja ulkoinen funktio.

Ensimmäinen askel mitä sinun on tehtävä, kun etsit monimutkaisen funktion derivaatta ymmärtää, mikä toiminto on sisäinen ja mikä ulkoinen.

Siinä tapauksessa yksinkertaisia ​​esimerkkejä Näyttää selvältä, että polynomi on upotettu sinin alle. Mutta entä jos kaikki ei ole itsestään selvää? Kuinka määrittää tarkasti, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen? Tätä varten ehdotan seuraavan tekniikan käyttöä, joka voidaan tehdä henkisesti tai luonnoksessa.

Kuvitellaan, että meidän on käytettävä laskinta lausekkeen arvon laskemiseen (yhden sijasta voi olla mikä tahansa luku).

Mitä laskemme ensin? Ensinnäkin tulee tehdä seuraava toimenpide: , siksi polynomi on sisäinen funktio:

Toiseksi täytyy löytää, joten sini – on ulkoinen funktio:

Meidän jälkeen LOPPUMYYTY Sisäisten ja ulkoisten funktioiden kanssa on aika soveltaa monimutkaisten funktioiden eriyttämissääntöä.

Aloitetaan päättäminen. Luokasta Kuinka löytää johdannainen? muistamme, että minkä tahansa johdannaisen ratkaisun suunnittelu alkaa aina näin - kirjoitamme lausekkeen sulkuihin ja laitamme viivan oikeaan yläkulmaan:

Aluksi etsi ulkoisen funktion derivaatta (sini), katso derivaattataulukkoa perustoiminnot ja huomaamme sen. Kaikkia taulukkokaavoja voidaan käyttää myös, jos "x" korvataan monimutkaisella lausekkeella, tässä tapauksessa:

Huomaa, että sisäinen toiminto ei ole muuttunut, emme koske siihen.

No, se on aivan selvää

Kaavan soveltamisen lopputulos näyttää tältä:

Vakiotekijä sijoitetaan yleensä lausekkeen alkuun:

Jos sinulla on väärinkäsityksiä, kirjoita ratkaisu paperille ja lue selitykset uudelleen.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Kuten aina, kirjoitamme:

Selvitetään, missä meillä on ulkoinen toiminto ja missä sisäinen. Tätä varten yritämme (mielisesti tai luonnoksessa) laskea lausekkeen arvon . Mitä sinun pitäisi tehdä ensin? Ensinnäkin sinun on laskettava, mikä kanta on yhtä suuri: siksi polynomi on sisäinen funktio:

Ja vasta sitten suoritetaan eksponentio, joten tehotoiminto on ulkoinen toiminto:

Kaavan mukaan sinun on ensin löydettävä ulkoisen funktion derivaatta, tässä tapauksessa aste. Etsimme tarvittavan kaavan taulukosta: . Toistamme vielä: mikä tahansa taulukkokaava ei kelpaa vain "X:lle", vaan myös monimutkaiselle lausekkeelle. Näin ollen monimutkaisen funktion eriyttämissäännön soveltamisen tulos on seuraava:

Korostan jälleen, että kun otamme ulkofunktion derivaatan, sisäinen funktiomme ei muutu:

Nyt ei ole enää jäljellä kuin löytää hyvin yksinkertainen johdannainen sisäisestä funktiosta ja muokata tulosta hieman:

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse (vastaa oppitunnin lopussa).

Vahvistaakseni ymmärrystäsi monimutkaisen funktion derivaatta, annan esimerkin ilman kommentteja, yritä selvittää se itse, perustele missä ulkoinen ja missä sisäinen funktio on, miksi tehtävät ratkaistaan ​​tällä tavalla?

Esimerkki 5

a) Etsi funktion derivaatta

b) Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Tässä meillä on juuri, ja juuren erottamiseksi se on esitettävä voimana. Joten ensin tuomme funktion eriyttämistä varten sopivaan muotoon:

Funktiota analysoimalla tulemme siihen tulokseen, että kolmen termin summa on sisäinen funktio ja potenssiin nostaminen on ulkoinen funktio. Käytämme monimutkaisten funktioiden eriyttämissääntöä:

Esitämme asteen jälleen radikaalina (juurena), ja sisäisen funktion derivaatalle sovelletaan yksinkertaista sääntöä summan erottamiseksi:

Valmis. Voit myös pienentää lausekkeen yhteiseksi nimittäjäksi suluissa ja kirjoittaa kaiken muistiin yhtenä murtolukuna. Se on tietysti kaunista, mutta kun saat hankalia pitkiä johdannaisia, on parempi olla tekemättä tätä (on helppo hämmentyä, tehdä tarpeettomia virheitä, ja opettajan on hankala tarkistaa).

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse (vastaa oppitunnin lopussa).

On mielenkiintoista huomata, että joskus monimutkaisen funktion erottamissäännön sijaan voit käyttää osamäärän erottamissääntöä , mutta tällainen ratkaisu näyttää hauskalta perversiolta. Tässä on tyypillinen esimerkki:

Esimerkki 8

Etsi funktion derivaatta

Tässä voit käyttää osamäärän differentiaatiosääntöä , mutta on paljon kannattavampaa löytää derivaatta monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön avulla:

Valmistelemme funktion eriyttämistä varten - siirrämme miinuksen pois derivaattamerkistä ja nostamme kosinin osoittajaksi:

Kosini on sisäinen funktio, eksponentio on ulkoinen funktio.
Käytetään sääntöämme:

Etsimme sisäisen funktion derivaatan ja nollaamme kosinin takaisin alaspäin:

Valmis. Tarkastetussa esimerkissä on tärkeää, ettei sekaannu merkkeihin. Muuten, yritä ratkaista se säännön avulla , vastausten on oltava samat.

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse (vastaa oppitunnin lopussa).

Tähän mennessä olemme tarkastelleet tapauksia, joissa meillä oli vain yksi sisäkkäinen monimutkainen funktio. Käytännön tehtävissä voi usein löytää johdannaisia, joissa pesivien nukkejen tapaan sisäkkäin 3 tai jopa 4-5 funktiota upotetaan kerralla.

Esimerkki 10

Etsi funktion derivaatta

Ymmärretään tämän funktion liitteet. Yritetään laskea lauseke kokeellisen arvon avulla. Kuinka laskemme laskimeen?

Ensin sinun on löydettävä , mikä tarkoittaa, että arcsini on syvin upotus:

Tämä yhden arksini tulee sitten neliöidä:

Ja lopuksi nostamme seitsemän potenssiin:

Eli tässä esimerkissä meillä on kolme erilaista funktiota ja kaksi upotusta, kun taas sisin funktio on arcsini ja uloin funktio on eksponentiaalinen funktio.

Aloitetaan päättäminen

Säännön mukaan sinun on ensin otettava ulkoisen funktion derivaatta. Katsomme derivaattataulukkoa ja löydämme eksponentiaalisen funktion derivaatan: Ainoa ero on, että "x":n sijaan meillä on kompleksilauseke, joka ei kumoa tämän kaavan pätevyyttä. Joten tulos monimutkaisen funktion erottamista koskevan säännön soveltamisesta on seuraava:

Iskun alla meillä on taas monimutkainen toiminto! Mutta se on jo yksinkertaisempaa. On helppo varmistaa, että sisäfunktio on arsini, ulkofunktio on aste. Monimutkaisen funktion erottamissäännön mukaan sinun on ensin otettava potenssin derivaatta.