Jokaisella homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on ratkaisu. Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmät

Esimerkki 1. Etsi yleinen ratkaisu ja jokin perusratkaisujärjestelmä järjestelmälle

Ratkaisu löytää laskimen avulla. Ratkaisualgoritmi on sama kuin lineaaristen epähomogeenisten yhtälöiden järjestelmissä.
Toimimalla vain riveillä, löydämme matriisin arvon, kanta-molli; Julistamme riippuvaisia ja vapaita tuntemattomia ja löydämme yleisen ratkaisun.

Ensimmäinen ja toinen rivi ovat verrannollisia, yliviivataan yksi niistä:

.
Riippuvat muuttujat – x 2, x 3, x 5, vapaat – x 1, x 4. Ensimmäisestä yhtälöstä 10x 5 = 0 löydämme x 5 = 0, niin

; .
Yleinen ratkaisu on:

Löydämme perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän, joka koostuu (n-r) ratkaisuista. Tässä tapauksessa n=5, r=3, joten perusratkaisujärjestelmä koostuu kahdesta ratkaisusta, ja näiden ratkaisujen tulee olla lineaarisesti riippumattomia. Jotta rivit olisivat lineaarisesti riippumattomia, on välttämätöntä ja riittävää, että rivien alkioista koostuvan matriisin järjestys on yhtä suuri kuin rivien lukumäärä, eli 2. Riittää, kun annetaan vapaille tuntemattomille x 1 ja x 4 arvot toisen kertaluvun determinantin riveiltä, ei nolla, ja laske x 2 , x 3 , x 5 . Yksinkertaisin nollasta poikkeava determinantti on .
Ensimmäinen ratkaisu on siis:

, toinen -

.
Nämä kaksi päätöstä muodostavat perustavanlaatuisen päätösjärjestelmän. Huomaa, että perusjärjestelmä ei ole ainutlaatuinen (voit luoda niin monta nollasta poikkeavaa determinanttia kuin haluat).

Esimerkki 2. Etsi järjestelmän yleinen ratkaisu ja perusratkaisujärjestelmä
Ratkaisu.

,
tästä seuraa, että matriisin sijoitus on 3 ja yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä. Tämä tarkoittaa, että järjestelmässä ei ole vapaita tuntemattomia, ja siksi sillä on ainutlaatuinen ratkaisu - triviaali.

Harjoitus. Tutki ja ratkaise järjestelmä lineaariset yhtälöt.
Esimerkki 4

Harjoitus. Etsi kunkin järjestelmän yleiset ja erityiset ratkaisut.
Ratkaisu. Kirjataan ylös järjestelmän päämatriisi:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Pelkistetään matriisi kolmion muotoon. Työskentelemme vain rivien kanssa, koska matriisirivin kertominen muulla kuin nollalla ja sen lisääminen toiselle riville tarkoittaa yhtälön kertomista samalla luvulla ja lisäämistä toisella yhtälöllä, joka ei muuta matriisirivin ratkaisua. järjestelmä.
Kerro toinen rivi arvolla (-5). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Kerrotaan toinen rivi (6). Kerro kolmas rivi (-1). Lisätään 3. rivi toiseen:
Etsitään matriisin sijoitus.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Valitulla mollilla on korkein kertaluku (mahdollisista alaväreistä) ja se on nollasta poikkeava (se on yhtä suuri kuin käänteisen diagonaalin elementtien tulo), joten rang(A) = 2.
Tämä alaikäinen on perus. Se sisältää kertoimet tuntemattomille x 1 , x 2 , mikä tarkoittaa, että tuntemattomat x 1 , x 2 ovat riippuvaisia (perus) ja x 3 , x 4 , x 5 ovat vapaita.
Muunnetaan matriisi jättäen vain kantamolli vasemmalle.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

Tämän matriisin kertoimilla varustettu järjestelmä vastaa alkuperäistä järjestelmää ja sen muoto on:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Käyttämällä menetelmää tuntemattomien poistamiseksi löydämme Ei triviaali ratkaisu :
Saimme riippuvat muuttujat x 1 , x 2 ilmaisevat relaatiot vapaiden x 3 , x 4 , x 5 kautta, eli löysimme yleinen ratkaisu:
x 2 = 0,64 x 4 - 0,0455 x 3 - 1,09 x 5
x 1 = - 0,55 x 4 - 1,82 x 3 - 0,64 x 5
Löydämme perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän, joka koostuu (n-r) ratkaisuista.
Tässä tapauksessa n=5, r=2, joten perusratkaisujärjestelmä koostuu 3 ratkaisusta, ja näiden ratkaisujen tulee olla lineaarisesti riippumattomia.
Jotta rivit olisivat lineaarisesti riippumattomia, on välttämätöntä ja riittävää, että rivielementeistä koostuvan matriisin järjestys on yhtä suuri kuin rivien lukumäärä, eli 3.
Riittää, kun annetaan vapaat tuntemattomat x 3 , x 4 , x 5 arvot 3. kertaluvun determinantin riveistä, ei-nolla, ja lasketaan x 1 , x 2 .
Yksinkertaisin nollasta poikkeava determinantti on identiteettimatriisi.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Tehtävä. Etsi perusjoukko ratkaisuja homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Järjestelmä m lineaariset yhtälöt c n tuntemattomiksi kutsuttuja lineaarinen homogeeninen järjestelmä yhtälöt, jos kaikki vapaat termit ovat yhtä suuria kuin nolla. Tällainen järjestelmä näyttää tältä:

Jossa ja ij (minä = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - annetut numerot; x i– tuntematon.

Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmä on aina johdonmukainen, koska r(A) = r(). Siinä on aina vähintään nolla ( triviaalia) ratkaisu (0; 0; …; 0).

Tarkastellaan, missä olosuhteissa homogeenisilla järjestelmillä on nollasta poikkeavat ratkaisut.

Lause 1. Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmällä on nollasta poikkeavat ratkaisut silloin ja vain, jos sen päämatriisin järjestys on r vähemmän tuntemattomia n, eli r < n.

□ 1). Olkoon lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmällä nollasta poikkeava ratkaisu. Koska sijoitus ei voi ylittää matriisin kokoa, on selvää, r ≤ n. Anna r = n. Sitten yksi pienikokoisista n n eroaa nollasta. Siksi vastaavalla lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu: . Tämä tarkoittaa, että ei ole olemassa muita ratkaisuja kuin triviaaleja. Joten jos on ei-triviaali ratkaisu, niin r < n.

2). Anna r < n. Silloin homogeeninen järjestelmä on johdonmukaisena epävarma. Tämä tarkoittaa, että sillä on ääretön määrä ratkaisuja, ts. on nollasta poikkeavia ratkaisuja. ■

Harkitse homogeenista järjestelmää n lineaariset yhtälöt c n tuntematon:

(2)

Lause 2. Homogeeninen järjestelmä n lineaariset yhtälöt c n tuntemattomilla (2) on nollasta poikkeavat ratkaisut silloin ja vain, jos sen determinantti on nolla: = 0.

□ Jos järjestelmällä (2) on nollasta poikkeava ratkaisu, niin = 0. Koska kun järjestelmässä on vain yksi nollaratkaisu. Jos = 0, niin arvo r järjestelmän päämatriisi on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä, ts. r < n. Ja siksi järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja, ts. on nollasta poikkeavia ratkaisuja. ■

Merkitään järjestelmän (1) ratkaisua X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n merkkijonona .

Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden ratkaisuilla on seuraavat ominaisuudet:

1. Jos linja on ratkaisu järjestelmään (1), niin viiva on ratkaisu järjestelmään (1).

2. Jos linjat Ja - järjestelmän (1) ratkaisut, sitten mille tahansa arvolle Kanssa 1 ja Kanssa 2 niiden lineaarinen yhdistelmä on myös ratkaisu järjestelmään (1).

Näiden ominaisuuksien pätevyys voidaan varmistaa korvaamalla ne suoraan järjestelmän yhtälöihin.

Muotoilluista ominaisuuksista seuraa, että mikä tahansa lineaarinen ratkaisujen yhdistelmä lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmään on myös ratkaisu tähän järjestelmään.

Lineaarisesti riippumattomien ratkaisujen järjestelmä e 1 , e 2 , …, e r soitti perustavanlaatuinen, jos jokainen järjestelmän (1) ratkaisu on näiden ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä e 1 , e 2 , …, e r.

Lause 3. Jos sijoitus r kerroin matriisit for järjestelmän muuttujat lineaariset homogeeniset yhtälöt (1) ovat pienempiä kuin muuttujien lukumäärä n, silloin mikä tahansa järjestelmän (1) perusratkaisujärjestelmä koostuu n–r päätöksiä.

Siksi yleinen ratkaisu Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden (1) muoto on:

Jossa e 1 , e 2 , …, e r– mikä tahansa perusratkaisujärjestelmä järjestelmään (9), Kanssa 1 , Kanssa 2 , …, kanssa p – mielivaltaisia numeroita, r = n–r.

Lause 4. Järjestelmän yleinen ratkaisu m lineaariset yhtälöt c n tuntematon on yhtä suuri kuin vastaavan lineaarisen homogeenisen yhtälöjärjestelmän (1) yleisratkaisun ja tämän järjestelmän mielivaltaisen tietyn ratkaisun (1) summa.

Esimerkki. Ratkaise järjestelmä

Ratkaisu. Tälle järjestelmälle m = n= 3. Determinantti

Lauseen 2 mukaan järjestelmällä on vain triviaali ratkaisu: x = y = z = 0.

Esimerkki. 1) Etsi järjestelmän yleiset ja erityiset ratkaisut

2) Etsi perusratkaisujärjestelmä.

Ratkaisu. 1) tälle järjestelmälle m = n= 3. Determinantti

Lauseen 2 mukaan järjestelmässä on nollasta poikkeavat ratkaisut.

Koska järjestelmässä on vain yksi riippumaton yhtälö

x + y – 4z = 0,

sitten siitä me ilmaisemme x =4z- y. Mistä saamme äärettömän määrän ratkaisuja: (4 z- y, y, z) – tämä on järjestelmän yleinen ratkaisu.

klo z= 1, y= -1, saamme yhden tietyn ratkaisun: (5, -1, 1). Laittaminen z= 3, y= 2, saamme toisen tietyn ratkaisun: (10, 2, 3) jne.

2) Yleisessä ratkaisussa (4 z- y, y, z) muuttujia y Ja z ovat ilmaisia, ja muuttuja X- heistä riippuvainen. Löytääksemme perusratkaisujärjestelmän, annetaan arvot vapaille muuttujille: ensin y = 1, z= 0 siis y = 0, z= 1. Saadaan osaratkaisut (-1, 1, 0), (4, 0, 1), jotka muodostavat perusratkaisujärjestelmän.

Kuvituksia:

Riisi. 1 Lineaaristen yhtälöjärjestelmien luokitus

Riisi. 2 Lineaariyhtälöjärjestelmien tutkiminen

Esitykset:

· Ratkaisu SLAE_matrix-menetelmä

· SLAE_Cramer-menetelmän ratkaisu

· Ratkaisu SLAE_Gauss-menetelmä

· Paketit matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen Mathematica, MathCad: analyyttisten ja numeeristen ratkaisujen etsiminen lineaariyhtälöjärjestelmiin

Turvallisuuskysymykset :

1. Määrittele lineaarinen yhtälö

2. Miltä järjestelmä näyttää? m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon?

3. Mitä kutsutaan lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi?

4. Mitä järjestelmiä kutsutaan vastaaviksi?

5. Mitä järjestelmää kutsutaan yhteensopimattomaksi?

6. Mitä järjestelmää kutsutaan niveleksi?

7. Mitä järjestelmää kutsutaan määrätyksi?

8. Mitä järjestelmää kutsutaan määrittelemättömäksi

9. Listaa lineaariyhtälöjärjestelmien alkeismuunnokset

10. Listaa matriisien alkeismuunnokset

11. Muotoile lause alkeismuunnosten soveltamisesta lineaariyhtälöjärjestelmään

12. Mitä järjestelmiä voidaan ratkaista matriisimenetelmällä?

13. Mitä järjestelmiä voidaan ratkaista Cramerin menetelmällä?

14. Mitä järjestelmiä voidaan ratkaista Gaussin menetelmällä?

15. Listaa 3 mahdollista tapausta, joita syntyy, kun ratkaistaan lineaarisia yhtälöjärjestelmiä Gaussin menetelmällä

16. Kuvaa matriisimenetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi

17. Kuvaile Cramerin menetelmää lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi

18. Kuvaile Gaussin menetelmää lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi

19. Mitä järjestelmiä voidaan käyttää? käänteinen matriisi?

20. Listaa 3 mahdollista tapausta, joita syntyy, kun ratkaistaan lineaarisia yhtälöjärjestelmiä Cramer-menetelmällä

Kirjallisuus:

1. Korkeampi matematiikka taloustieteilijöille: Oppikirja yliopistoille / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITY, 2005. – 471 s.

2. Yleinen korkeamman matematiikan kurssi taloustieteilijöille: Oppikirja. /Toim. V.I. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 s.

3. Korkeamman matematiikan tehtäväkokoelma taloustieteilijöille: Opetusohjelma/ Toimittanut V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 s.

4. Gmurman V. E. Opas ongelmien ratkaisemiseen todennäköisyysteoriassa ja magmaattisissa tilastoissa. - M.: Higher School, 2005. – 400 s.

5. Gmurman. V.E. Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot. - M.: Korkeakoulu, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Korkeampaa matematiikkaa harjoituksissa ja tehtävissä. Osa 1, 2. – M.: Onyx 21st century: Peace and Education, 2005. – 304 s. Osa 1; – 416 s. Osa 2

7. Taloustieteen matematiikka: Oppikirja: 2 osassa / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Talous ja tilastot, 2006.

8. Shipachev V.S. Korkeampi matematiikka: Oppikirja opiskelijoille. yliopistot - M.: Higher School, 2007. - 479 s.

Aiheeseen liittyvää tietoa.

Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmät- on muotoa ∑a k i x i = 0. missä m > n tai m Homogeeninen lineaariyhtälöjärjestelmä on aina johdonmukainen, koska rangA = rangB. Siinä on ilmeisesti nollien ratkaisu, jota kutsutaan triviaalia.

Palvelun tarkoitus. Online-laskin on suunniteltu löytämään ei-triviaali ja perustavanlaatuinen ratkaisu SLAE:hen. Saatu ratkaisu tallennetaan Word-tiedostoon (katso esimerkkiratkaisu).

Ohjeet. Valitse matriisin ulottuvuus:

Lineaaristen homogeenisten yhtälöjärjestelmien ominaisuudet

Jotta järjestelmällä olisi ei-triviaaleja ratkaisuja, on välttämätöntä ja riittävää, että sen matriisin järjestys on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä.

Lause. Järjestelmällä tapauksessa m=n on ei-triviaali ratkaisu silloin ja vain, jos tämän järjestelmän determinantti on nolla.

Lause. Mikä tahansa ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä järjestelmään on myös ratkaisu kyseiseen järjestelmään.
Määritelmä. Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden ratkaisujoukkoa kutsutaan perustavanlaatuinen ratkaisujärjestelmä, jos tämä joukko koostuu lineaarisesti itsenäisistä ratkaisuista ja mikä tahansa järjestelmän ratkaisu on näiden ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä.

Lause. Jos järjestelmämatriisin arvo r on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä n, on olemassa perusratkaisujärjestelmä, joka koostuu (n-r) ratkaisuista.

Algoritmi lineaaristen homogeenisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi

Matriisin arvon löytäminen.
Valitsemme perus-mollin. Erotamme riippuvaiset (perus) ja vapaat tuntemattomat.
Yliviivataan ne järjestelmän yhtälöt, joiden kertoimet eivät sisälly kanta-molliin, koska ne ovat muiden seurauksia (lauseen mukaan molli).
Siirretään vapaita tuntemattomia sisältävien yhtälöiden ehdot oikealle puolelle. Tuloksena saadaan r yhtälöjärjestelmä, jossa on r tuntematonta, joka vastaa annettua yhtälöä, jonka determinantti on nollasta poikkeava.
Ratkaisemme tuloksena olevan järjestelmän eliminoimalla tuntemattomat. Löydämme suhteita, jotka ilmaisevat riippuvia muuttujia vapaiden muuttujien kautta.
Jos matriisin arvo ei ole yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä, löydämme järjestelmän perusratkaisun.
Tapauksessa soi = n meillä on triviaali ratkaisu.

Esimerkki. Etsi vektorijärjestelmän (a 1, a 2,...,a m) kanta, arvosta ja ilmaise vektorit kannan perusteella. Jos a 1 =(0,0,1,-1) ja 2 =(1,1,2,0) ja 3 =(1,1,1,1) ja 4 =(3,2,1 ,4) ja 5 =(2,1,0,3).
Kirjataan ylös järjestelmän päämatriisi:

Kerro kolmas rivi (-3). Lisätään neljäs rivi kolmanteen:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Kerro 4. rivi (-2). Kerrotaan 5. rivi (3). Lisätään 5. rivi neljänteen:
Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:
Etsitään matriisin sijoitus.
Tämän matriisin kertoimilla varustettu järjestelmä vastaa alkuperäistä järjestelmää ja sen muoto on:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Käyttämällä menetelmää tuntemattomien eliminoimiseksi löydämme ei-triviaalin ratkaisun:
Saimme riippuvat muuttujat x 1 , x 2 , x 3 ilmaisevat relaatiot vapaiden x 4 kautta, eli löysimme yleisen ratkaisun:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4 Voit tilata yksityiskohtainen ratkaisu sinun tehtäväsi!!!

Ymmärtääkseen mitä se on perustavanlaatuinen päätösjärjestelmä voit katsoa opetusvideon samasta esimerkistä napsauttamalla. Siirrytään nyt kokonaisuuden kuvaukseen tarpeellista työtä. Tämä auttaa sinua ymmärtämään tämän ongelman olemuksen yksityiskohtaisemmin.

Kuinka löytää perusratkaisujärjestelmä lineaariseen yhtälöön?

Otetaan esimerkiksi seuraava lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Etsitään tähän ratkaisu lineaarinen järjestelmä yhtälöt Aluksi me sinun on kirjoitettava järjestelmän kerroinmatriisi.

Muunnetaan tämä matriisi kolmiomaiseksi. Kirjoitamme ensimmäisen rivin uudelleen ilman muutoksia. Ja kaikki alkiot, jotka ovat alle $a_(11)$, on tehtävä nollia. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(21)$ tilalle, sinun on vähennettävä ensimmäinen toiselta riviltä ja kirjoitettava erotus toiselle riville. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(31)$ tilalle, sinun on vähennettävä ensimmäinen kolmannesta rivistä ja kirjoitettava erotus kolmanteen riviin. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(41)$ tilalle, sinun on vähennettävä neljännestä rivistä ensimmäinen kerrottuna kahdella ja kirjoitettava erotus neljännelle riville. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(31)$ tilalle, sinun on vähennettävä viidenneltä riviltä ensimmäinen kerrottuna kahdella ja kirjoitettava ero viidennelle riville.

Kirjoitamme ensimmäisen ja toisen rivin uudelleen ilman muutoksia. Ja kaikki alkiot, jotka ovat alle $a_(22)$, on tehtävä nollia. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(32)$ tilalle, sinun on vähennettävä kolmannelta riviltä toinen kerrottuna kahdella ja kirjoitettava erotus kolmanteen riviin. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(42)$ tilalle, sinun on vähennettävä neljännestä rivistä toinen kerrottuna kahdella ja kirjoitettava ero neljännelle riville. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(52)$ tilalle, sinun on vähennettävä viidenneltä riviltä toinen kerrottuna 3:lla ja kirjoitettava ero viidennelle riville.

Näemme sen kolme viimeistä riviä ovat samat, joten jos vähennät kolmannen neljännestä ja viidennestä, niistä tulee nolla.

Tämän matriisin mukaan kirjoittaa uusi yhtälöjärjestelmä.

Näemme, että meillä on vain kolme lineaarisesti riippumatonta yhtälöä ja viisi tuntematonta, joten perusratkaisujärjestelmä koostuu kahdesta vektorista. Joten me meidän on siirrettävä kaksi viimeistä tuntematonta oikealle.

Nyt alamme ilmaista niitä tuntemattomia, jotka ovat vasemmalla puolella niiden kautta, jotka ovat oikealla puolella. Aloitamme viimeisestä yhtälöstä, ilmaisemme ensin $x_3$, sitten korvaamme tuloksen toiseen yhtälöön ja ilmaisemme $x_2$ ja sitten ensimmäiseen yhtälöön ja tässä ilmaisemme $x_1$. Siten ilmaisimme kaikki vasemmalla puolella olevat tuntemattomat oikealla puolella olevien tuntemattomien kautta.

Sitten $x_4$ ja $x_5$ sijasta voimme korvata mitä tahansa lukuja ja löytää $x_1$, $x_2$ ja $x_3$. Jokainen näistä viidestä numerosta on alkuperäisen yhtälöjärjestelmämme juuret. Löytääksesi vektorit, jotka sisältyvät FSR meidän täytyy korvata 1 $x_4$ sijasta ja 0 $x_5$ sijaan, löytää $x_1$, $x_2$ ja $x_3$, ja sitten päinvastoin $x_4=0$ ja $x_5=1$.

Gaussin menetelmällä on useita haittoja: on mahdotonta tietää, onko järjestelmä johdonmukainen vai ei, ennen kuin kaikki Gaussin menetelmässä tarvittavat muunnokset on suoritettu; Gaussin menetelmä ei sovellu kirjainkertoimien järjestelmiin.

Tarkastellaan muita menetelmiä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi. Nämä menetelmät käyttävät matriisiluokan käsitettä ja pelkistävät minkä tahansa johdonmukaisen järjestelmän ratkaisun sellaisen järjestelmän ratkaisuksi, johon Cramerin sääntö pätee.

Esimerkki 1. Etsi yleinen ratkaisu seuraavalle lineaariyhtälöjärjestelmälle pelkistetyn homogeenisen järjestelmän perusratkaisujen avulla ja erityinen ratkaisu epähomogeeniseen järjestelmään.

1. Matriisin tekeminen A ja laajennettu järjestelmämatriisi (1)

2. Tutustu järjestelmään (1) yhdessäoloa varten. Tätä varten löydämme matriisien rivit A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jos käy ilmi , niin järjestelmä (1) yhteensopimaton. Jos saamme sen , tämä järjestelmä on johdonmukainen ja me ratkaisemme sen. (Yhteensopivuustutkimus perustuu Kronecker-Capellin lauseeseen).

a. Me löydämme rA.

Löytääksesi rA, tarkastelemme peräkkäin matriisin ensimmäisen, toisen jne. kertaluvun nollasta poikkeavat ala-arvot A ja heitä ympäröivät alaikäiset.

M1=1≠0 (otamme 1 matriisin vasemmasta yläkulmasta A).

Me rajamme M1 tämän matriisin toinen rivi ja toinen sarake. . Jatkamme rajaa M1 toinen rivi ja kolmas sarake..gif" width="37" height="20 src=">. Nyt rajataan nollasta poikkeava sivu M2′ toinen tilaus.

Meillä on: (koska kaksi ensimmäistä saraketta ovat samat)

(koska toinen ja kolmas rivi ovat verrannollisia).

Näemme sen rA = 2, a on matriisin kantamolli A.

b. Me löydämme.

Ihan perus-molli M2′ matriiseja A rajaa vapaiden termien sarake ja kaikki rivit (meillä on vain viimeinen rivi).

. Siitä seuraa M3′′ pysyy matriisin perusmollina https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Koska M2′- matriisin perusmolli A järjestelmät (2) , niin tämä järjestelmä vastaa järjestelmää (3) , joka koostuu järjestelmän kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä (2) (for M2′ on matriisin A kahdella ensimmäisellä rivillä).

(3)

Sivun perusversiosta lähtien https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Tässä järjestelmässä on kaksi vapaata tuntematonta ( x2 Ja x4 ). Siksi FSR järjestelmät (4) koostuu kahdesta ratkaisusta. Niiden löytämiseksi annamme ilmaisia tuntemattomia (4) arvot ensin x2=1 , x4=0 ja sitten - x2=0 , x4=1 .

klo x2=1 , x4=0 saamme:

Tämä järjestelmä on jo olemassa ainoa asia ratkaisu (se löytyy Cramerin säännöllä tai millä tahansa muulla menetelmällä). Vähentämällä ensimmäinen toisesta yhtälöstä, saamme:

Hänen ratkaisunsa on x1= -1 , x3 = 0 . Arvot huomioiden x2 Ja x4 , jonka lisäsimme, saamme järjestelmän ensimmäisen perusratkaisun (2) : .

Nyt uskomme (4) x2=0 , x4=1 . Saamme:

Ratkaisemme tämän järjestelmän käyttämällä Cramerin lausetta:

Saamme järjestelmän toisen perusratkaisun (2) : .

Ratkaisut β1 , β2 ja meikkaamaan FSR järjestelmät (2) . Sitten sen yleinen ratkaisu on

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tässä C1 , C2 – mielivaltaiset vakiot.

4. Etsitään yksi yksityinen ratkaisu heterogeeninen järjestelmä(1) . Kuten kappaleessa 3 , järjestelmän sijaan (1) Ajatellaanpa vastaavaa järjestelmää (5) , joka koostuu järjestelmän kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä (1) .

(5)

Siirretään vapaita tuntemattomia oikealle puolelle x2 Ja x4.

(6)

Annetaan tuntemattomia ilmaiseksi x2 Ja x4 mielivaltaiset arvot, esim. x2=2 , x4=1 ja laita ne sisään (6) . Otetaan systeemi

Tällä järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu (koska sen määräävä tekijä M2′0). Ratkaisemalla sen (käyttäen Cramerin lausetta tai Gaussin menetelmää) saamme x1=3 , x3=3 . Kun otetaan huomioon vapaiden tuntemattomien arvot x2 Ja x4 , saamme erityinen ratkaisu epähomogeeniselle järjestelmälle(1)a1=(3,2,3,1).

5. Nyt jää vain kirjoittaa se muistiin epähomogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu α(1) : se on yhtä suuri kuin summa yksityinen ratkaisu tämä järjestelmä ja sen pelkistetyn homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(-С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Tämä tarkoittaa: (7)

6. Tutkimus. Tarkistaaksesi, ratkaisitko järjestelmän oikein (1) , tarvitsemme yleisen ratkaisun (7) korvata sisään (1) . Jos jokainen yhtälö muuttuu identiteetiksi ( C1 Ja C2 on tuhottava), niin ratkaisu löytyy oikein.

Me korvaamme (7) esimerkiksi vain järjestelmän viimeinen yhtälö (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Saamme: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Missä –1=–1. Meillä on identiteetti. Teemme tämän kaikkien muiden järjestelmän yhtälöiden kanssa (1) .

Kommentti. Tarkistaminen on yleensä melko hankalaa. Seuraavaa "osittaista tarkistusta" voidaan suositella: järjestelmän yleisessä ratkaisussa (1) anna joitain arvoja mielivaltaisille vakioille ja korvaa tuloksena saatu osaratkaisu vain hylättyihin yhtälöihin (eli niihin yhtälöihin (1) , jotka eivät kuuluneet joukkoon (5) ). Jos saat identiteetit, niin todennäköisemmin, järjestelmäratkaisu (1) löytyi oikein (mutta tällainen tarkistus ei takaa täydellistä oikeellisuutta!). Esimerkiksi jos sisään (7) laittaa C2=- 1 , C1 = 1, niin saamme: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Korvaamalla järjestelmän (1) viimeiseen yhtälöön, meillä on: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , eli –1=–1. Meillä on identiteetti.

Esimerkki 2. Etsi yleinen ratkaisu lineaariyhtälöjärjestelmälle (1) , joka ilmaisee perus-tuntemattomat ilmaisina.

Ratkaisu. Kuten sisällä esimerkki 1, muodostaa matriiseja A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> näistä matriiseista. Jätetään nyt vain ne järjestelmän yhtälöt (1) , joiden kertoimet sisältyvät tähän perus-molliin (eli meillä on kaksi ensimmäistä yhtälöä) ja tarkastelemme niistä koostuvaa järjestelmää, joka vastaa järjestelmää (1).

Siirretään vapaat tuntemattomat näiden yhtälöiden oikealle puolelle.

järjestelmä (9) Ratkaisemme Gaussin menetelmällä katsoen oikeat puolet vapaiksi termeiksi.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">