Paraabelifunktion ominaisuudet. Kuvaajat ja alkeisfunktioiden perusominaisuudet
Koulun matematiikan tunneilla olet jo tutustunut funktion yksinkertaisimpiin ominaisuuksiin ja kuvaajaan y = x 2. Laajennamme tietämystämme neliöfunktio.
Tehtävä 1.
Piirrä funktio y = x 2. Mittakaava: 1 = 2 cm. Merkitse piste Oy-akselille F(0; 1/4). Mittaa etäisyys pisteestä kompassin tai paperiliuskan avulla F johonkin pisteeseen M paraabelit. Kiinnitä sitten nauha pisteeseen M ja kierrä sitä tämän pisteen ympäri, kunnes se on pystysuorassa. Nauhan pää putoaa hieman x-akselin alapuolelle (Kuva 1). Merkitse nauhaan kuinka pitkälle se ulottuu x-akselin yli. Ota nyt toinen piste paraabelista ja toista mittaus uudelleen. Kuinka pitkälle nauhan reuna on pudonnut x-akselin alapuolelle?
Tulos: riippumatta siitä, minkä pisteen paraabelista y = x 2 otat, etäisyys tästä pisteestä pisteeseen F(0; 1/4) on aina samalla luvulla suurempi kuin etäisyys samasta pisteestä abskissa-akseliin - 1/4.
Voimme sanoa sen toisin: etäisyys mistä tahansa paraabelin pisteestä pisteeseen (0; 1/4) on yhtä suuri kuin etäisyys paraabelin samasta pisteestä suoraan y = -1/4. Tätä upeaa pistettä F(0; 1/4) kutsutaan keskittyä paraabelit y = x 2 ja suora y = -1/4 – johtajatar tämä paraabeli. Jokaisella paraabelilla on suunta ja painopiste.
Paraabelin mielenkiintoisia ominaisuuksia:
1. Mikä tahansa paraabelin piste on yhtä kaukana jostakin pisteestä, jota kutsutaan paraabelin keskipisteeksi, ja jostakin suorasta, jota kutsutaan sen suuntaviivaksi.
2. Jos käännät paraabelia symmetria-akselin ympäri (esim. paraabeli y = x 2 Oy-akselin ympäri), saat erittäin mielenkiintoisen pinnan, jota kutsutaan kierrosparaboloidiksi.
Pyörivässä astiassa olevan nesteen pinta on pyörimisparaboloidin muotoinen. Näet tämän pinnan, jos sekoitat voimakkaasti lusikalla keskeneräiseen teelasilliseen ja poistat sitten lusikan.
3. Jos heität kiven tyhjyyteen tietyssä kulmassa horisonttiin nähden, se lentää paraabelina (Kuva 2).
4. Jos leikkaat kartion pinnan tason kanssa, joka on yhdensuuntainen jonkin sen generatriisin kanssa, poikkileikkaus johtaa paraabeliin (Kuva 3).
5. Huvipuistoissa on joskus hauska ratsastus nimeltään Paraboloid of Wonders. Kaikista pyörivän paraboloidin sisällä seisovista näyttää siltä, että hän seisoo lattialla, kun taas muut ihmiset pitelevät jotenkin ihmeen kautta kiinni seinistä.
6. Heijastavassa teleskoopissa käytetään myös parabolisia peilejä: kaukaisen tähden valo, joka tulee rinnakkain, putoaa kaukoputken peiliin, kerätään tarkennettavaksi.
7. Kohdevaloissa on yleensä paraboloidin muotoinen peili. Jos asetat valonlähteen paraboloidin keskipisteeseen, parabolisesta peilistä heijastuneet säteet muodostavat yhdensuuntaisen säteen.
Neliöfunktion piirtäminen
Matematiikan tunneilla opit kuinka saada funktion y = x 2 kaaviosta muotoisia funktiokaavioita:
1) y = ax 2– kaavion y = x 2 venyminen Oy-akselia pitkin |a|:ssa kertaa (ja |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riisi. 4).
2) y = x 2 + n– kuvaajan siirtymä n yksiköllä Oy-akselia pitkin, ja jos n > 0, niin siirtymä on ylöspäin, ja jos n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– kuvaajan siirtymä m yksiköllä Ox-akselia pitkin: jos m< 0, то вправо, а если m >0, sitten vasemmalle, (Kuva 5).
4) y = -x 2– symmetrinen näyttö suhteessa kaavion Ox-akseliin y = x 2 .
Katsotaanpa tarkemmin funktion piirtämistä y = a(x – m) 2 + n.
Neliöfunktio muotoa y = ax 2 + bx + c voidaan aina pelkistää muotoon
y = a(x – m) 2 + n, missä m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
Todistetaan se.
Todella,
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Otetaan käyttöön uusia merkintöjä.
Anna m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),
niin saadaan y = a(x – m) 2 + n tai y – n = a(x – m) 2.
Tehdään vielä muutama substituutio: olkoon y – n = Y, x – m = X (*).
Sitten saadaan funktio Y = aX 2, jonka kuvaaja on paraabeli.
Paraabelin kärki on origossa. X = 0; Y = 0.
Korvaamalla kärjen koordinaatit arvolla (*), saadaan graafin y = a(x – m) 2 + n kärjen koordinaatit: x = m, y = n.
Siten, jotta voidaan piirtää neliöfunktio, joka esitetään muodossa
y = a(x – m) 2 + n
muunnosten kautta voit edetä seuraavasti:
a) piirrä funktio y = x 2 ;
b) rinnakkaissiirrolla pitkin Ox-akselia m yksiköllä ja pitkin Oy-akselia n yksiköllä - siirrä paraabelin huippupiste origosta pisteeseen, jossa on koordinaatit (m; n) (Kuva 6).
Tallennusmuunnokset:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
Esimerkki.
Muodosta muunnoksia käyttäen funktion y = 2(x – 3) 2 kuvaaja karteesisessa koordinaatistossa – 2.
Ratkaisu.
Muutosten ketju:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
Piirustus näkyy kohdassa riisi. 7.
Voit harjoitella toisen asteen funktioiden piirtämistä itse. Rakenna esimerkiksi funktion y = 2(x + 3) 2 + 2 kaavio muunnoksia käyttäen. Jos sinulla on kysyttävää tai haluat saada neuvoja opettajalta, sinulla on mahdollisuus suorittaa ilmainen 25 minuutin oppitunti online tutor
rekisteröinnin jälkeen. Jos haluat jatkaa työskentelyä opettajan kanssa, voit valita sinulle sopivan tariffisuunnitelman.
Onko sinulla vielä kysyttävää? Etkö osaa piirtää toisen asteen funktiota?
Jos haluat apua ohjaajalta, rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!
verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.
Funktio muodossa jossa kutsutaan neliöfunktio.
Neliöfunktion kuvaaja – paraabeli.
Tarkastellaanpa tapauksia:
I CASE, KLASSINEN PARABOLA
Eli ,,
Luodaksesi täytä taulukko korvaamalla x-arvot kaavaan:
Merkitse pisteet (0;0); (1; 1); (-1;1) jne. koordinaattitasolla (mitä pienemmällä askeleella otamme x-arvot (tässä tapauksessa vaihe 1), ja mitä enemmän x-arvoja otamme, sitä tasaisempi käyrä on), saamme paraabelin:
On helppo nähdä, että jos otetaan tapaus , , , eli niin saadaan paraabeli, joka on symmetrinen akselin (oh) suhteen. Tämä on helppo tarkistaa täyttämällä samanlainen taulukko:
II TAPAUS, "a" ERÄI YKSIKKÖstä
Mitä tapahtuu, jos otamme , , ? Miten paraabelin käyttäytyminen muuttuu? With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Ensimmäisessä kuvassa (katso yllä) näkyy selvästi, että taulukon pisteet paraabelille (1;1), (-1;1) muutettiin pisteiksi (1;4), (1;-4), eli samoilla arvoilla jokaisen pisteen ordinaatit kerrotaan 4:llä. Tämä tapahtuu kaikille alkuperäisen taulukon avainpisteille. Samoin ajattelemme kuvien 2 ja 3 tapauksessa.
Ja kun paraabeli "tulee leveämmäksi" kuin paraabeli:
Tehdään yhteenveto:
1)Kertoimen etumerkki määrittää haarojen suunnan. With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Absoluuttinen arvo kerroin (moduuli) on vastuussa paraabelin "laajenemisesta" ja "puristumisesta". Mitä suurempi , sitä kapeampi paraabeli, sitä pienempi |a|, sitä leveämpi paraabeli.
III TAPAUS, "C" NÄKYVÄÄN
Otetaan nyt peliin käyttöön (eli harkitaan tapausta, jolloin), harkitsemme muodon paraboleja. Ei ole vaikea arvata (voit aina viitata taulukkoon), että paraabeli siirtyy ylös tai alas akselia pitkin merkistä riippuen:
IV TAPAUS, "b" NÄYTTÖÖN
Milloin paraabeli "irtautuu" akselista ja lopulta "kävelee" pitkin koko koordinaattitasoa? Milloin se lakkaa olemasta tasa-arvoista?
Tässä tarvitaan paraabelin rakentaminen kaava kärjen laskemiseksi: , .
Joten tässä vaiheessa (kuten uuden koordinaattijärjestelmän pisteessä (0;0)) rakennetaan paraabeli, jonka voimme jo tehdä. Jos käsittelemme tapausta, niin laitamme kärjestä yhden yksikkösegmentin oikealle, yksi ylös, - tuloksena oleva piste on meidän (samalla tavalla askel vasemmalle, askel ylöspäin on pisteemme); jos kyseessä on esimerkiksi, niin pisteestä laitetaan yksi yksikkösegmentti oikealle, kaksi - ylöspäin jne.
Esimerkiksi paraabelin kärki:
Nyt tärkeintä on ymmärtää, että tässä kärjessä rakennamme paraabelin paraabelimallin mukaan, koska meidän tapauksessamme.
Kun rakennetaan paraabelia löydettyään huippupisteen koordinaatit hyvinOn kätevää ottaa huomioon seuraavat seikat:
1) paraabeli menee varmasti pisteen läpi . Todellakin, korvaamalla x=0 kaavaan, saamme, että . Eli paraabelin ja akselin (oy) leikkauspisteen ordinaatit on . Esimerkissämme (yllä) paraabeli leikkaa ordinaatin kohdassa , koska .
2) symmetria-akseli paraabelit on suora, joten kaikki paraabelin pisteet ovat symmetrisiä sen suhteen. Esimerkissämme otamme heti pisteen (0; -2) ja rakennamme sen symmetriseksi suhteessa paraabelin symmetria-akseliin, saamme pisteen (4; -2), jonka läpi paraabeli kulkee.
3) Equaling to , Selvitetään pisteet leikkauspisteet paraabeli akselin (oh). Tätä varten ratkaisemme yhtälön. Erottajasta riippuen saamme yhden (, ), kaksi ( title="Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Edellisessä esimerkissä erottimen juuremme ei ole kokonaisluku rakentaessamme, meillä ei ole juurikaan järkeä löytää juuria, mutta näemme selvästi, että meillä on kaksi leikkauspistettä akselin (oh) kanssa; (alkaen title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Joten selvitetään se
Algoritmi paraabelin muodostamiseksi, jos se annetaan muodossa
1) määritä oksien suunta (a>0 – ylös, a<0 – вниз)
2) löydämme paraabelin kärjen koordinaatit kaavalla , .
3) löydämme paraabelin leikkauspisteen akselin (oy) kanssa käyttämällä vapaata termiä, muodostamme pisteen, joka on symmetrinen tähän pisteeseen suhteessa paraabelin symmetria-akseliin (on huomattava, että tämän merkitseminen ei ole kannattavaa pisteen, esimerkiksi koska arvo on suuri... ohitamme tämän kohdan...)
4) Löydetyssä pisteessä - paraabelin kärjessä (kuten uuden koordinaatiston pisteessä (0;0)) rakennamme paraabelin. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Löydämme paraabelin leikkauspisteet akselin (oy) kanssa (jos ne eivät ole vielä "pinnalle nousseet") ratkaisemalla yhtälön
Esimerkki 1
Esimerkki 2
Huomautus 1. Jos paraabeli annetaan meille alun perin muodossa , jossa on joitain lukuja (esim. ), niin se on vielä helpompi rakentaa, koska meille on jo annettu kärjen koordinaatit. Miksi?
Otetaan neliöllinen trinomi ja valitse siitä täydellinen neliö: Katso, meillä on , . Sinä ja minä kutsuimme aiemmin paraabelin kärkeä, eli nyt,.
Esimerkiksi, . Merkitsemme paraabelin kärjen tasoon, ymmärrämme, että oksat on suunnattu alaspäin, paraabeli laajenee (suhteessa ). Toisin sanoen suoritamme kohdat 1; 3; 4; 5 paraabelin muodostamisalgoritmista (katso edellä).
Huomautus 2. Jos paraabeli annetaan tämän kaltaisessa muodossa (eli esitetään kahden lineaarisen tekijän tulona), niin näemme heti paraabelin ja akselin (ox) leikkauspisteet. Tässä tapauksessa – (0;0) ja (4;0). Muilta osin toimimme algoritmin mukaan avaamalla sulut.
