Triviaali yhtälöjärjestelmä. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisut, ratkaisumenetelmät, esimerkit

Homogeeniset lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät

Osana oppitunteja Gaussin menetelmä Ja Yhteensopimattomat järjestelmät/järjestelmät, joilla on yhteinen ratkaisu mietimme heterogeeniset järjestelmät lineaariset yhtälöt , Missä vapaa jäsen(joka on yleensä oikealla) ainakin yksi yhtälöistä erosi nollasta.
Ja nyt, hyvän lämmittelyn jälkeen matriisin sijoitus, jatkamme tekniikan hiomista alkeellisia muunnoksia päällä homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Ensimmäisten kappaleiden perusteella materiaali saattaa tuntua tylsältä ja keskinkertaiselta, mutta tämä vaikutelma on petollinen. Teknisten tekniikoiden kehittämisen lisäksi niitä tulee olemaan monia uutta tietoa, joten yritä olla laiminlyömättä tämän artikkelin esimerkkejä.

Mikä on homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä?

Vastaus ehdottaa itseään. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on homogeeninen, jos vapaa termi kaikille järjestelmän yhtälö on nolla. Esimerkiksi:

Se on täysin selvää homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen eli siihen on aina ratkaisu. Ja ennen kaikkea, mikä pistää silmään, on ns triviaalia ratkaisu . Triviaali, niille, jotka eivät ymmärrä adjektiivin merkitystä ollenkaan, tarkoittaa ilman esittelyä. Ei tietenkään akateemisesti, mutta ymmärrettävästi =) ...Miksi ryöstää, katsotaan onko tällä järjestelmällä muita ratkaisuja:

Esimerkki 1

Ratkaisu: homogeenisen järjestelmän ratkaisemiseksi on tarpeen kirjoittaa järjestelmämatriisi ja tuoda se porrastettuun muotoon alkeismuunnosten avulla. Huomaa, että täällä ei tarvitse kirjoittaa ylös pystypalkkia ja vapaiden termien nollasaraketta - loppujen lopuksi riippumatta siitä, mitä teet nollien kanssa, ne pysyvät nollina:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -3:lla.

(2) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä.

Kolmannen rivin jakaminen kolmella ei ole kovin järkevää.

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan ekvivalentti homogeeninen järjestelmä , ja Gaussin menetelmän käänteistä käyttämällä on helppo varmistaa, että ratkaisu on ainutlaatuinen.

Vastaus:

Muotoilkaamme ilmeinen kriteeri: homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on pelkkä triviaali ratkaisu, Jos järjestelmämatriisin arvo(tässä tapauksessa 3) on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä (tässä tapauksessa - 3 kappaletta).

Lämmitetään ja viritetään radiomme alkeismuutosten aaltoon:

Esimerkki 2

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Artikkelista Kuinka löytää matriisin sijoitus? Muistakaamme rationaalinen tekniikka, jossa matriisilukuja pienennetään samanaikaisesti. Muuten joudut leikkaamaan suuria ja usein purevia kaloja. Likimääräinen esimerkki tehtävästä oppitunnin lopussa.

Nollat ovat hyviä ja käteviä, mutta käytännössä tapaus on paljon yleisempi, kun järjestelmämatriisin rivit lineaarisesti riippuvainen. Ja sitten yleisen ratkaisun syntyminen on väistämätöntä:

Esimerkki 3

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu: kirjoitetaan järjestelmän matriisi muistiin ja viedään se alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon. Ensimmäisen toimenpiteen tarkoituksena ei ole vain yhden arvon saaminen, vaan myös ensimmäisen sarakkeen numeroiden vähentäminen:

(1) Kolmas rivi lisättiin ensimmäiselle riville kerrottuna -1:llä. Kolmas rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Vasemmassa yläkulmassa sain yksikön, jossa on "miinus", joka on usein paljon kätevämpi jatkomuunnoksille.

(2) Kaksi ensimmäistä riviä ovat samat, yksi niistä on poistettu. Rehellisesti sanottuna en painostanut ratkaisua - se osoittautui sellaiseksi. Jos teet muunnoksia mallipohjaisesti, niin lineaarinen riippuvuus rivit olisivat paljastuneet hieman myöhemmin.

(3) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna 3:lla.

(4) Ensimmäisen rivin merkki muutettiin.

Alkuainemuunnosten tuloksena saatiin vastaava järjestelmä:

Algoritmi toimii täsmälleen samalla tavalla kuin heterogeeniset järjestelmät. Muuttujat "istuu portailla" ovat tärkeimmät, muuttuja, joka ei saanut "askelta", on vapaa.

Ilmaistaan perusmuuttujat vapaalla muuttujalla:

Vastaus: yleinen ratkaisu:

Triviaali ratkaisu on mukana yleinen kaava, ja sitä ei tarvitse kirjoittaa erikseen.

Tarkastus suoritetaan myös tavanomaisen kaavion mukaisesti: tuloksena oleva yleinen ratkaisu on substituoitava järjestelmän kunkin yhtälön vasempaan puolelle ja kaikille substituutioille on saatava laillinen nolla.

Tämä olisi voinut päättyä hiljaa ja rauhallisesti, mutta päätös homogeeninen järjestelmä yhtälöt on usein esitettävä vektorimuodossa käyttämällä perustavanlaatuinen ratkaisujärjestelmä. Ole hyvä ja unohda se toistaiseksi analyyttinen geometria, koska nyt puhumme vektoreista yleisessä algebrallisessa mielessä, jota avasin hieman artikkelissa matriisin sijoitus. Terminologiaa ei tarvitse hämärtää, kaikki on melko yksinkertaista.

Annetut matriisit

Etsi: 1) aA - bB,

Ratkaisu: 1) Löydämme sen peräkkäin käyttämällä sääntöjä, joissa matriisi kerrotaan luvulla ja lisätään matriisit.

2. Etsi A*B jos

Ratkaisu: Käytämme matriisin kertolaskua

Vastaus:

3. Etsi tietylle matriisille molli M 31 ja laske determinantti.

Ratkaisu: Pieni M 31 on A:sta saadun matriisin determinantti

rivin 3 ja sarakkeen 1 yliviivauksen jälkeen. Löydämme

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Muunnetaan matriisi A muuttamatta sen determinanttia (tehdään nollia riville 1)





-3, -, -4

-10			-15
-20			-25
-4			-5

Nyt lasketaan matriisin A determinantti laajentamalla riviä 1 pitkin

Vastaus: M 31 = 0, detA = 0

Ratkaise Gaussin menetelmällä ja Cramerin menetelmällä.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Ratkaisu: Tarkistetaan

Voit käyttää Cramerin menetelmää

Järjestelmän ratkaisu: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Sovelletaan Gaussin menetelmää.

Pelkistetään järjestelmän laajennettu matriisi kolmion muotoon.

Laskennan helpottamiseksi vaihdetaan rivit:

Kerro toinen rivi luvulla (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ja lisää kolmanteen:



	1 / 2		7 / 2

Kerro ensimmäinen rivi luvulla (k = -2 / 2 = -1 ) ja lisää kohtaan 2:

Nyt alkuperäinen järjestelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6 x 3)

Toiselta riviltä ilmaisemme

1. riviltä ilmaisemme

Ratkaisu on sama.

Vastaus: (2; -5; 3)

Etsi järjestelmän ja FSR:n yleinen ratkaisu

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Ratkaisu: Sovelletaan Gaussin menetelmää. Pelkistetään järjestelmän laajennettu matriisi kolmion muotoon.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3


x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Kerro ensimmäinen rivi arvolla (-11). Kerro toinen rivi (13). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:


-2	-2	-3

Kerro toinen rivi arvolla (-5). Kerrotaan kolmas rivi (11). Lisätään 3. rivi toiseen:

Kerro 3. rivi arvolla (-7). Kerrotaan neljäs rivi (5). Lisätään neljäs rivi kolmanteen:

Toinen yhtälö on muiden lineaarinen yhdistelmä

Etsitään matriisin sijoitus.

	-18	-24	-18	-27

x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Valitulla mollilla on korkein kertaluku (mahdollisista alaväreistä) ja se on nollasta poikkeava (se on yhtä suuri kuin käänteisen diagonaalin elementtien tulo), joten rang(A) = 2.

Tämä alaikäinen on perus. Se sisältää kertoimet tuntemattomille x 1 , x 2 , mikä tarkoittaa, että tuntemattomat x 1 , x 2 ovat riippuvaisia (perus) ja x 3 , x 4 , x 5 ovat vapaita.

Tämän matriisin kertoimilla varustettu järjestelmä vastaa alkuperäistä järjestelmää ja sen muoto on:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Käyttämällä menetelmää tuntemattomien poistamiseksi löydämme yleinen ratkaisu:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Löydämme perusratkaisujärjestelmän (FSD), joka koostuu (n-r) ratkaisuista. Tässä tapauksessa n=5, r=2, joten perusratkaisujärjestelmä koostuu 3 ratkaisusta, ja näiden ratkaisujen tulee olla lineaarisesti riippumattomia.

Jotta rivit olisivat lineaarisesti riippumattomia, on välttämätöntä ja riittävää, että rivielementeistä koostuvan matriisin järjestys on yhtä suuri kuin rivien lukumäärä, eli 3.

Riittää, kun annetaan vapaat tuntemattomat x 3 , x 4 , x 5 arvot 3. kertaluvun determinantin riveistä, ei-nolla, ja lasketaan x 1 , x 2 .

Yksinkertaisin nollasta poikkeava determinantti on identiteettimatriisi.

Mutta se on kätevämpi ottaa täältä

Löydämme käyttämällä yleistä ratkaisua:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

FSR:n I päätös: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR-liuos: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

FSR:n III päätös: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; -9; 0; 0;6)

6. Annettu: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Etsi: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Ratkaisu: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Vastaus: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Jatkamme teknologiamme hiomista alkeellisia muunnoksia päällä homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Ensimmäisten kappaleiden perusteella materiaali saattaa tuntua tylsältä ja keskinkertaiselta, mutta tämä vaikutelma on petollinen. Tekniikkojen jatkokehityksen lisäksi tulee paljon uutta tietoa, joten yritä olla laiminlyömättä tämän artikkelin esimerkkejä.

Mikä on homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä?

Vastaus ehdottaa itseään. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on homogeeninen, jos vapaa termi kaikille järjestelmän yhtälö on nolla. Esimerkiksi:

Esimerkki 1

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -3:lla.

(2) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä.

Kolmannen rivin jakaminen kolmella ei ole kovin järkevää.

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan ekvivalentti homogeeninen järjestelmä , ja Gaussin menetelmän käänteistä käyttämällä on helppo varmistaa, että ratkaisu on ainutlaatuinen.

Vastaus:

Lämmitetään ja viritetään radiomme alkeismuutosten aaltoon:

Esimerkki 2

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Algoritmin vahvistamiseksi lopuksi analysoidaan lopullinen tehtävä:

Esimerkki 7

Ratkaise homogeeninen järjestelmä, kirjoita vastaus vektorimuodossa.

Ratkaisu: kirjoitetaan järjestelmän matriisi ja viedään se alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon:

(1) Ensimmäisen rivin merkki on muutettu. Jälleen kerran kiinnitän huomion monta kertaa kohdattuun tekniikkaan, jonka avulla voit yksinkertaistaa huomattavasti seuraavaa toimintaa.

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin 2. ja 3. riville. Ensimmäinen rivi, kerrottuna kahdella, lisättiin 4. riville.

(3) Kolme viimeistä riviä ovat suhteellisia, kaksi niistä on poistettu.

Tuloksena saadaan standardi askelmatriisi, ja ratkaisu jatkuu uurrettua rataa pitkin:

– perusmuuttujat;
- vapaat muuttujat.

Ilmaistaan perusmuuttujat vapailla muuttujilla. Toisesta yhtälöstä:

– korvaa 1. yhtälö:

Joten yleinen ratkaisu on:

Koska tarkasteltavassa esimerkissä on kolme vapaata muuttujaa, perusjärjestelmä sisältää kolme vektoria.

Korvataan kolminkertaiset arvot yleisratkaisuun ja saada vektori, jonka koordinaatit täyttävät jokaisen homogeenisen järjestelmän yhtälön. Ja taas toistan, että on erittäin suositeltavaa tarkistaa jokainen vastaanotettu vektori - se ei vie paljon aikaa, mutta se suojaa sinua täysin virheiltä.

Kolmen arvojen puolesta etsi vektori

Ja lopuksi kolmelle saamme kolmannen vektorin:

Vastaus:, missä

Ne, jotka haluavat välttää murto-osia, voivat harkita kolmosia ja saat vastauksen vastaavassa muodossa:

Murtoluvuista puheen ollen. Katsotaanpa tehtävässä saatua matriisia ja kysykäämme itseltämme: onko mahdollista yksinkertaistaa lisäratkaisua? Loppujen lopuksi täällä ilmaistiin ensin perusmuuttuja murtolukujen kautta, sitten murto-osien kautta perusmuuttuja, ja minun on sanottava, että tämä prosessi ei ollut yksinkertaisin eikä miellyttävin.

Toinen ratkaisu:

Ideana on kokeilla valitse muut perusmuuttujat. Katsotaanpa matriisia ja huomataan kaksi matriisia kolmannessa sarakkeessa. Joten miksi ei olisi nolla yläosassa? Suoritetaan vielä yksi perusmuunnos:

Kutsutaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa kaikki vapaat termit ovat yhtä suuria kuin nolla homogeeninen :

Mikä tahansa homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen, koska se on aina ollut nolla (triviaalia ) ratkaisu. Herää kysymys, missä olosuhteissa homogeenisella järjestelmällä on ei-triviaali ratkaisu.

Lause 5.2.Homogeenisella järjestelmällä on ei-triviaali ratkaisu silloin ja vain, jos taustalla olevan matriisin järjestys on pienempi kuin sen tuntemattomien lukumäärä.

Seuraus. Neliömäisellä homogeenisella järjestelmällä on ei-triviaali ratkaisu silloin ja vain, jos determinantti on perustava matriiseja järjestelmä ei ole nolla.

Esimerkki 5.6. Määritä parametrin l arvot, joilla järjestelmällä on ei-triviaaleja ratkaisuja, ja etsi nämä ratkaisut:

Ratkaisu. Tällä järjestelmällä on ei-triviaali ratkaisu, kun päämatriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla:

Siten järjestelmä on ei-triviaali, kun l=3 tai l=2. Kun l=3, järjestelmän päämatriisin järjestys on 1. Jäljelle jää sitten vain yksi yhtälö ja oletetaan, että y=a Ja z=b, saamme x=b-a, eli

Kun l = 2, järjestelmän päämatriisin sijoitus on 2. Sitten valitessaan perustaksi molli:

saamme yksinkertaistetun järjestelmän

Täältä löydämme sen x=z/4, y=z/2. uskoa z=4a, saamme

Homogeenisen järjestelmän kaikkien ratkaisujen joukolla on erittäin tärkeä lineaarinen omaisuus : jos sarakkeet X 1 ja X 2 - Homogeenisen järjestelmän ratkaisut AX = 0, sitten mikä tahansa niiden lineaarinen yhdistelmä a X 1 + b X 2 on myös ratkaisu tähän järjestelmään. Todellakin, siitä lähtien KIRVES 1 = 0 Ja KIRVES 2 = 0 , Tuo A(a X 1 + b X 2) = a KIRVES 1 + b KIRVES 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Tästä ominaisuudesta johtuen, että jos lineaarisella järjestelmällä on useampi kuin yksi ratkaisu, niin näitä ratkaisuja on ääretön määrä.

Lineaarisesti riippumattomat sarakkeet E 1 , E 2 , E k, jotka ovat homogeenisen järjestelmän ratkaisuja, kutsutaan perustavanlaatuinen ratkaisujärjestelmä homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jos tämän järjestelmän yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa näiden sarakkeiden lineaarisena yhdistelmänä:

Jos homogeeninen järjestelmä on n muuttujat, ja järjestelmän päämatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin r, Tuo k = n-r.

Esimerkki 5.7. Etsi perusratkaisujärjestelmä seuraavalle lineaariyhtälöjärjestelmälle:

Ratkaisu. Etsitään järjestelmän päämatriisin sijoitus:

Siten tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisujoukko muodostaa ulottuvuuden lineaarisen aliavaruuden n-r= 5 - 2 = 3. Valitaan perusteeksi molli

Jättäen sitten vain perusyhtälöt (loput ovat näiden yhtälöiden lineaarinen yhdistelmä) ja perusmuuttujat (siirrämme loput, ns. vapaat muuttujat oikealle), saamme yksinkertaistetun yhtälöjärjestelmän:

uskoa x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, löydämme

, .

uskoa a= 1, b = c= 0, saadaan ensimmäinen perusratkaisu; uskoen b= 1, a = c= 0, saadaan toinen perusratkaisu; uskoen c= 1, a = b= 0, saadaan kolmas perusratkaisu. Tämän seurauksena normaali perusratkaisujärjestelmä saa muodon

Perusjärjestelmää käyttämällä homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa

X = aE 1 + olla 2 + cE 3. a

Huomioikaa joitakin ratkaisujen ominaisuuksia epähomogeeniseen lineaariyhtälöjärjestelmään AX=B ja niiden suhde vastaavaan homogeeniseen yhtälöjärjestelmään AX = 0.

Epähomogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisuon yhtä suuri kuin vastaavan homogeenisen järjestelmän yleisen ratkaisun AX = 0 ja epähomogeenisen järjestelmän mielivaltaisen erityisratkaisun summa. Todellakin, anna Y 0 on mielivaltainen erityinen ratkaisu epähomogeenisesta järjestelmästä, ts. AY 0 = B, Ja Y- heterogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu, ts. AY=B. Vähentämällä yksi yhtäläisyys toisesta, saamme
A(Y-Y 0) = 0, ts. Y-Y 0 on vastaavan homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu KIRVES=0. Siten, Y-Y 0 = X, tai Y = Y 0 + X. Q.E.D.

Olkoon epähomogeenisella järjestelmällä muoto AX = B 1 + B 2 . Tällöin tällaisen järjestelmän yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa X = X 1 + X 2 , missä AX 1 = B 1 ja AX 2 = B 2. Tämä ominaisuus ilmaisee minkä tahansa universaalin ominaisuuden lineaariset järjestelmät(algebrallinen, differentiaalinen, funktionaalinen jne.). Fysiikassa tätä ominaisuutta kutsutaan superpositioperiaate, sähkö- ja radiotekniikassa - superposition periaate. Esimerkiksi lineaarisen teoriassa sähköpiirit minkä tahansa piirin virta voidaan saada kunkin energialähteen erikseen aiheuttamien virtojen algebrallisena summana.