Ketika kosinusnya sama. Rumus dasar trigonometri

Konsep sinus, kosinus, tangen, dan kotangen merupakan kategori utama trigonometri, salah satu cabang matematika, dan terkait erat dengan definisi sudut. Penguasaan ilmu matematika ini memerlukan hafalan dan pemahaman rumus dan teorema, serta pemikiran spasial yang dikembangkan. Hal inilah yang menyebabkan perhitungan trigonometri seringkali menimbulkan kesulitan bagi anak sekolah dan siswa. Untuk mengatasinya, sebaiknya Anda lebih mengenal fungsi dan rumus trigonometri.

Konsep dalam trigonometri

Untuk memahami konsep dasar trigonometri, Anda harus terlebih dahulu memahami apa itu segitiga siku-siku dan sudut dalam lingkaran, dan mengapa semua perhitungan dasar trigonometri dikaitkan dengannya. Segitiga yang salah satu sudutnya 90 derajat adalah persegi panjang. Secara historis, angka ini sering digunakan oleh orang-orang di bidang arsitektur, navigasi, seni, dan astronomi. Oleh karena itu, dengan mempelajari dan menganalisis sifat-sifat angka ini, orang-orang dapat menghitung rasio yang sesuai dari parameternya.

Kategori utama yang terkait dengan segitiga siku-siku adalah sisi miring dan kaki. Sisi miring adalah sisi segitiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku. Kakinya masing-masing adalah dua sisi yang tersisa. Jumlah sudut suatu segitiga selalu 180 derajat.

Trigonometri bola merupakan salah satu bagian trigonometri yang tidak dipelajari di sekolah, namun dalam ilmu terapan seperti astronomi dan geodesi, para ilmuwan menggunakannya. Keunikan segitiga dalam trigonometri bola adalah selalu mempunyai jumlah sudut lebih besar dari 180 derajat.

Sudut-sudut suatu segitiga

DI DALAM segitiga siku-siku Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut yang diinginkan dengan sisi miring segitiga. Dengan demikian, kosinus adalah rasio kaki yang berdekatan dan sisi miring. Kedua nilai ini selalu besarnya kurang dari satu, karena sisi miring selalu lebih panjang dari pada kakinya.

Garis singgung suatu sudut adalah nilai yang sama dengan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan dari sudut yang diinginkan, atau sinus terhadap kosinus. Kotangen, pada gilirannya, adalah perbandingan sisi yang berdekatan dari sudut yang diinginkan dengan sisi yang berlawanan. Kotangen suatu sudut juga dapat diperoleh dengan membagi satu dengan nilai tangennya.

Lingkaran satuan

Lingkaran satuan dalam geometri adalah lingkaran yang jari-jarinya sama dengan satu. Lingkaran seperti itu dibangun dalam sistem koordinat Cartesian, dengan pusat lingkaran bertepatan dengan titik asal, dan posisi awal vektor jari-jari ditentukan sepanjang arah positif sumbu X (sumbu absis). Setiap titik pada lingkaran mempunyai dua koordinat: XX dan YY, yaitu koordinat absis dan ordinat. Dengan memilih titik mana pun pada lingkaran pada bidang XX dan menjatuhkan garis tegak lurus dari titik tersebut ke sumbu absis, kita memperoleh segitiga siku-siku yang dibentuk oleh jari-jari titik yang dipilih (dilambangkan dengan huruf C), garis tegak lurus yang ditarik ke sumbu X (titik potong dilambangkan dengan huruf G), dan ruas sumbu absis berada di antara titik asal koordinat (titik dilambangkan dengan huruf A) dan titik potong G. Segitiga ACG yang dihasilkan adalah segitiga siku-siku bertuliskan sebuah lingkaran, dengan AG adalah sisi miring, dan AC dan GC adalah kaki-kakinya. Sudut antara jari-jari lingkaran AC dan ruas sumbu absis bertanda AG didefinisikan sebagai α (alpha). Jadi, cos α = AG/AC. Mengingat AC adalah jari-jari lingkaran satuan dan sama dengan satu, maka ternyata cos α=AG. Demikian pula sin α=CG.

Selain itu, dengan mengetahui data ini, Anda dapat menentukan koordinat titik C pada lingkaran, karena cos α=AG, dan sin α=CG, artinya titik C memiliki koordinat yang diberikan(cos α; dosa α). Mengetahui bahwa garis singgung sama dengan perbandingan sinus dan cosinus, kita dapat menentukan bahwa tan α = y/x, dan cot α = x/y. Dengan mempertimbangkan sudut dalam sistem koordinat negatif, Anda dapat menghitung bahwa nilai sinus dan kosinus beberapa sudut bisa bernilai negatif.

Perhitungan dan rumus dasar

Nilai fungsi trigonometri

Setelah mempertimbangkan esensi fungsi trigonometri melalui lingkaran satuan, kita dapat memperoleh nilai fungsi tersebut untuk beberapa sudut. Nilai-nilai tersebut tercantum pada tabel di bawah ini.

Identitas trigonometri paling sederhana

Persamaan yang berada di bawah tanda fungsi trigonometri ada nilai yang tidak diketahui disebut trigonometri. Identitas dengan nilai sin x = α, k - bilangan bulat apa pun:

sin x = 0, x = πk.
2. dosa x = 1, x = π/2 + 2πk.
dosa x = -1, x = -π/2 + 2πk.
dosa x = a, |a| > 1, tidak ada solusi.
dosa x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identitas dengan nilai cos x = a, dengan k adalah bilangan bulat apa pun:

karena x = 0, x = π/2 + πk.
karena x = 1, x = 2πk.
karena x = -1, x = π + 2πk.
karena x = a, |a| > 1, tidak ada solusi.
karena x = a, |a| ≦ 1, x = ±arcos α + 2πk.

Identitas dengan nilai tg x = a, dengan k adalah bilangan bulat apa pun:

tan x = 0, x = π/2 + πk.
tan x = a, x = arctan α + πk.

Identitas dengan nilai ctg x = a, dengan k adalah bilangan bulat apa pun:

cot x = 0, x = π/2 + πk.
ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Rumus reduksi

Kategori rumus konstanta ini menunjukkan metode yang dengannya Anda dapat berpindah dari fungsi trigonometri bentuk ke fungsi argumen, yaitu, mengurangi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut dengan nilai berapa pun ke indikator sudut yang sesuai. interval dari 0 hingga 90 derajat untuk kemudahan perhitungan.

Rumus pengurangan fungsi sinus suatu sudut adalah sebagai berikut:

dosa(900 - α) = α;
dosa(900 + α) = cos α;
dosa(1800 - α) = dosa α;
sin(1800 + α) = -sin α;
dosa(2700 - α) = -cos α;
dosa(2700 + α) = -cos α;
dosa(3600 - α) = -dosa α;
dosa(3600 + α) = dosa α.

Untuk kosinus sudut:

cos(900 - α) = dosa α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = dosa α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

Penggunaan rumus di atas dimungkinkan dengan tunduk pada dua aturan. Pertama, jika sudut dapat direpresentasikan sebagai nilai (π/2 ± a) atau (3π/2 ± a), nilai fungsinya berubah:

dari dosa ke cos;
dari cos ke dosa;
dari tg ke ctg;
dari ctg ke tg.

Nilai fungsi tetap tidak berubah jika sudut dapat direpresentasikan sebagai (π ± a) atau (2π ± a).

Kedua, tanda fungsi tereduksi tidak berubah: jika awalnya positif, tetap demikian. Sama dengan fungsi negatif.

Rumus penjumlahan

Rumus ini menyatakan nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari jumlah dan selisih dua sudut rotasi melalui fungsi trigonometrinya. Biasanya sudut dilambangkan sebagai α dan β.

Rumusnya terlihat seperti ini:

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Rumus ini berlaku untuk semua sudut α dan β.

Rumus sudut rangkap dua dan rangkap tiga

Rumus trigonometri sudut rangkap dua dan rangkap tiga merupakan rumus yang menghubungkan fungsi sudut 2α dan 3α berturut-turut dengan fungsi trigonometri sudut α. Berasal dari rumus penjumlahan:

sin2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2 α.
tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
dosa3α = 3sinα - 4sin^3 α.
cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Transisi dari jumlah ke produk

Mengingat 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), dengan menyederhanakan rumus ini, kita memperoleh identitas sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Demikian pula sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = dosa(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = dosa(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Transisi dari produk ke jumlah

Rumus berikut mengikuti identitas transisi suatu jumlah ke suatu produk:

dosaα * dosaβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2*.

Rumus pengurangan derajat

Dalam identitas ini, pangkat kuadrat dan pangkat tiga dari sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk sinus dan kosinus pangkat pertama suatu kelipatan sudut:

sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Substitusi universal

Rumus substitusi trigonometri universal menyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk garis singgung setengah sudut.

sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), dengan x = π + 2πn;
cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), dimana x = π + 2πn;
tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), dimana x = π + 2πn;
cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), dengan x = π + 2πn.

Kasus khusus

Kasus khusus dari persamaan trigonometri paling sederhana diberikan di bawah ini (k adalah bilangan bulat apa pun).

Hasil bagi untuk sinus:

Nilai dosa x	nilai x
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk atau 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk atau -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk atau 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk atau -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk atau 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk atau -2π/3 + 2πk

Hasil bagi untuk kosinus:

karena nilai x	nilai x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Hasil bagi untuk tangen:

nilai tgx	nilai x
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Hasil bagi untuk kotangen:

nilai ctgx	nilai x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teorema

Teorema sinus

Ada dua versi teorema - sederhana dan diperluas. Teorema sinus sederhana: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Dalam hal ini, a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, dan α, β, γ masing-masing adalah sudut yang berhadapan.

Teorema sinus yang diperluas untuk segitiga sembarang: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Dalam identitas ini, R menunjukkan jari-jari lingkaran di mana segitiga tersebut berada.

Teorema kosinus

Identitasnya ditampilkan sebagai berikut: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Dalam rumusnya, a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, dan α adalah sudut yang berhadapan dengan sisi a.

Teorema tangen

Rumus tersebut menyatakan hubungan antara garis singgung dua sudut dan panjang sisi-sisi yang berhadapan dengannya. Sisi-sisinya diberi label a, b, c, dan sudut-sudut yang berhadapan adalah α, β, γ. Rumus teorema tangen: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Teorema kotangen

Menghubungkan jari-jari lingkaran pada segitiga dengan panjang sisi-sisinya. Jika a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, dan A, B, C berturut-turut adalah sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi tersebut, r adalah jari-jari lingkaran, dan p adalah setengah keliling segitiga, maka persamaan berikut identitas yang valid:

cot A/2 = (p-a)/r;
cot B/2 = (p-b)/r;
tempat tidur C/2 = (p-c)/r.

Aplikasi

Trigonometri - tidak hanya ilmu teoritis berhubungan dengan rumus matematika. Sifat-sifatnya, teorema dan aturannya digunakan dalam praktik oleh berbagai cabang aktivitas manusia - astronomi, navigasi udara dan laut, teori musik, geodesi, kimia, akustik, optik, elektronik, arsitektur, ekonomi, teknik mesin, pekerjaan pengukuran, grafik komputer, kartografi, oseanografi, dan banyak lainnya.

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen adalah konsep dasar trigonometri, yang dengannya seseorang dapat menyatakan secara matematis hubungan antara sudut dan panjang sisi-sisi dalam sebuah segitiga, dan menemukan besaran yang diperlukan melalui identitas, teorema, dan aturan.

Hubungan antara fungsi trigonometri dasar - sinus, kosinus, tangen, dan kotangen - ditentukan rumus trigonometri. Dan karena terdapat cukup banyak hubungan antara fungsi trigonometri, hal ini menjelaskan banyaknya rumus trigonometri. Beberapa rumus menghubungkan fungsi trigonometri dengan sudut yang sama, yang lain - fungsi kelipatan sudut, yang lain - memungkinkan Anda untuk mengurangi derajat, yang keempat - menyatakan semua fungsi melalui garis singgung setengah sudut, dll.

Pada artikel ini kami akan mencantumkan semua rumus dasar trigonometri secara berurutan, yang cukup untuk menyelesaikan sebagian besar masalah trigonometri. Untuk kemudahan menghafal dan penggunaan, kami akan mengelompokkannya berdasarkan tujuan dan memasukkannya ke dalam tabel.

Navigasi halaman.

Identitas trigonometri dasar

Identitas trigonometri dasar mendefinisikan hubungan antara sinus, cosinus, tangen dan kotangen suatu sudut. Mereka mengikuti pengertian sinus, cosinus, tangen dan kotangen, serta konsep lingkaran satuan. Mereka memungkinkan Anda untuk mengekspresikan satu fungsi trigonometri dalam fungsi lainnya.

Untuk penjelasan rinci tentang rumus trigonometri ini, turunannya dan contoh penerapannya, lihat artikel.

Rumus reduksi

Rumus reduksi mengikuti sifat-sifat sinus, kosinus, tangen, dan kotangen, yaitu mencerminkan sifat periodisitas fungsi trigonometri, sifat simetri, serta sifat pergeseran sudut tertentu. Rumus trigonometri ini memungkinkan Anda beralih dari bekerja dengan sudut sembarang ke bekerja dengan sudut mulai dari nol hingga 90 derajat.

Alasan rumus-rumus ini, aturan mnemonik untuk menghafalnya dan contoh penerapannya dapat dipelajari di artikel.

Rumus penjumlahan

Rumus penjumlahan trigonometri Tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri dari jumlah atau selisih dua sudut dinyatakan dalam fungsi trigonometri sudut-sudut tersebut. Rumus-rumus ini menjadi dasar untuk menurunkan rumus trigonometri berikut.

Rumus untuk ganda, tiga kali lipat, dll. sudut

Rumus untuk ganda, tiga kali lipat, dll. sudut (disebut juga rumus sudut ganda) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri rangkap dua, rangkap tiga, dan seterusnya. sudut () dinyatakan dalam fungsi trigonometri suatu sudut. Penurunannya didasarkan pada rumus penjumlahan.

Lagi informasi rinci dikumpulkan dalam artikel rumus untuk double, triple, dll. sudut

Rumus setengah sudut

Rumus setengah sudut Tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri setengah sudut dinyatakan dalam kosinus seluruh sudut. Rumus trigonometri ini mengikuti rumus sudut ganda.

Kesimpulan dan contoh penerapannya dapat ditemukan di artikel.

Rumus pengurangan derajat

Rumus trigonometri untuk mengurangi derajat dimaksudkan untuk memfasilitasi transisi dari derajat alami fungsi trigonometri terhadap sinus dan kosinus derajat pertama, tetapi kelipatan sudut. Dengan kata lain, mereka memungkinkan Anda untuk mereduksi pangkat fungsi trigonometri menjadi satu.

Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri

Tujuan utama rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri adalah menuju ke hasil kali fungsi, yang sangat berguna saat menyederhanakan ekspresi trigonometri. Rumus ini juga banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri karena memungkinkan Anda memfaktorkan jumlah dan selisih sinus dan cosinus.

Rumus hasil kali sinus, cosinus, dan sinus dengan kosinus

Peralihan dari hasil kali fungsi trigonometri ke jumlah atau selisih dilakukan dengan menggunakan rumus hasil kali sinus, cosinus, dan sinus dengan kosinus.

Bashmakov M.I. Aljabar dan awal mula analisis: Buku Ajar. untuk kelas 10-11. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.

Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk kelas 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov. - Edisi ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 hal.: sakit.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Hak Cipta oleh siswa yang pandai

Semua hak dilindungi undang-undang.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.situs, termasuk materi internal dan tampilannya, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.

Mari kita pahami konsep sederhana: sinus dan kosinus dan perhitungan cosinus kuadrat dan sinus kuadrat.

Sinus dan kosinus dipelajari dalam trigonometri (ilmu yang mempelajari segitiga siku-siku).

Oleh karena itu, mari kita ingat dulu konsep dasar segitiga siku-siku:

Sisi miring- sisi yang selalu berhadapan dengan sudut siku-siku (sudut 90 derajat). Sisi miring adalah sisi terpanjang dari segitiga siku-siku.

Dua sisi yang tersisa pada segitiga siku-siku disebut kaki.

Anda juga harus ingat bahwa tiga sudut dalam segitiga selalu berjumlah 180°.

Sekarang mari kita beralih ke cosinus dan sinus sudut alpha (∠α)(ini bisa disebut sudut tidak langsung apa pun dalam segitiga atau digunakan sebagai sebutan x - "x", yang tidak mengubah esensi).

Sinus sudut alfa (sin ∠α)- ini adalah suatu sikap di depan kaki (sisi yang berhadapan dengan sudut yang bersesuaian) ke sisi miring. Jika dilihat pada gambar, maka sin ∠ABC = AC / BC

Kosinus sudut alfa (cos ∠α)- sikap bersebelahan ke sudut kaki ke sisi miring. Perhatikan kembali gambar di atas, cos ∠ABC = AB / BC

Dan sebagai pengingat: cosinus dan sinus tidak akan pernah lebih besar dari satu, karena setiap gulungan lebih pendek dari sisi miring (dan sisi miring adalah sisi terpanjang dari segitiga mana pun, karena sisi terpanjang terletak di seberang sudut terbesar dalam segitiga) .

Cosinus kuadrat, sinus kuadrat

Sekarang mari kita beralih ke rumus dasar trigonometri: menghitung kosinus kuadrat dan sinus kuadrat.

Untuk menghitungnya, Anda harus mengingat identitas trigonometri dasar:

sin 2 α + cos 2 α = 1(sinus persegi ditambah kosinus persegi suatu sudut selalu sama dengan satu).

Dari identitas trigonometri kita menarik kesimpulan tentang sinus:

sin 2 α = 1 - cos 2 α

sinus kuadrat alfa sama dengan satu dikurangi kosinus sudut ganda alfa dan bagi semuanya dengan dua.

dosa 2 = (1 – cos(2α)) / 2

Dari identitas trigonometri kita menarik kesimpulan tentang kosinus:

cos 2 α = 1 - dosa 2 α

atau versi rumus yang lebih kompleks: alfa kuadrat kosinus sama dengan satu ditambah kosinus sudut ganda alfa dan juga membagi semuanya dengan dua.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Keduanya lebih banyak rumus yang rumit sinus kuadrat dan kosinus kuadrat juga disebut “pengurangan derajat kuadrat fungsi trigonometri”. Itu. ada tingkat kedua, mereka menurunkannya ke tingkat pertama dan perhitungan menjadi lebih nyaman.

Konsep sinus(), cosinus(), tangen(), kotangen() tidak dapat dipisahkan dengan konsep sudut. Untuk memiliki pemahaman yang baik tentang konsep-konsep yang tampaknya kompleks ini (yang menyebabkan kengerian pada banyak anak sekolah), dan untuk memastikan bahwa “iblis tidak seburuk yang dilukiskannya,” mari kita mulai dari sangat awal dan memahami konsep sudut.

Konsep sudut: radian, derajat

Mari kita lihat gambarnya. Vektor telah “berputar” relatif terhadap suatu titik dengan jumlah tertentu. Jadi ukuran rotasi ini relatif terhadap posisi awalnya adalah sudut.

Apa lagi yang perlu Anda ketahui tentang konsep sudut? Tentu saja, satuan sudut!

Sudut, baik dalam geometri maupun trigonometri, dapat diukur dalam derajat dan radian.

Sudut (satu derajat) disebut sudut tengah dalam lingkaran, berdasarkan busur lingkaran yang sama dengan bagian lingkaran. Jadi, seluruh lingkaran terdiri dari “potongan” busur lingkaran, atau sudut yang dibatasi lingkaran adalah sama besar.

Artinya, gambar di atas menunjukkan sudut yang sama besar, yaitu sudut tersebut bertumpu pada busur lingkaran yang besarnya keliling.

Sudut dalam radian adalah sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Nah, apakah Anda sudah mengetahuinya? Jika tidak, mari kita cari tahu dari gambarnya.

Jadi, pada gambar tersebut terdapat sudut yang sama dengan radian, yaitu sudut tersebut bertumpu pada busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran (panjangnya sama dengan panjang atau jari-jari sama dengan panjangnya busur). Jadi, panjang busur dihitung dengan rumus:

Dimana sudut pusat dalam radian.

Nah, dengan mengetahui hal tersebut, bisakah kamu menjawab berapa jumlah radian yang terdapat pada sudut yang dibatasi lingkaran? Ya, untuk ini Anda perlu mengingat rumus keliling. Ini dia:

Nah, sekarang mari kita korelasikan kedua rumus ini dan temukan bahwa sudut yang dibatasi lingkaran adalah sama besar. Artinya, dengan mengkorelasikan nilai dalam derajat dan radian, kita memperolehnya. Masing-masing, . Seperti yang Anda lihat, tidak seperti "derajat", kata "radian" dihilangkan, karena satuan pengukuran biasanya jelas dari konteksnya.

Ada berapa radian? Itu benar!

Mengerti? Kemudian lanjutkan dan perbaiki:

Mengalami kesulitan? Lalu lihat jawaban:

Segitiga siku-siku: sinus, cosinus, tangen, kotangen sudut

Jadi, kami menemukan konsep sudut. Tapi apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, segitiga siku-siku akan membantu kita.

Sisi-sisi segitiga siku-siku disebut apa? Benar, sisi miring dan kaki: sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku (dalam contoh kita ini adalah sisinya); kaki adalah dua sisi yang tersisa dan (yang berdekatan sudut kanan), dan, jika kita mempertimbangkan kaki-kaki relatif terhadap sudut, maka kaki tersebut adalah kaki yang berdekatan, dan kaki tersebut adalah kebalikannya. Nah, sekarang mari kita jawab pertanyaannya: apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut?

Sinus sudut- ini adalah perbandingan kaki yang berlawanan (jauh) dengan sisi miring.

Di segitiga kita.

Kosinus sudut- ini adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.

Di segitiga kita.

Garis singgung sudut- ini adalah perbandingan sisi yang berlawanan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).

Di segitiga kita.

Kotangen sudut- ini adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan kaki yang berlawanan (jauh).

Di segitiga kita.

Definisi-definisi ini diperlukan Ingat! Agar lebih mudah mengingat kaki mana yang akan dibagi menjadi apa, Anda perlu memahaminya dengan jelas garis singgung Dan kotangens hanya kakinya yang duduk, dan sisi miring hanya muncul di dalam sinus Dan kosinus. Dan kemudian Anda dapat membuat rantai asosiasi. Misalnya yang ini:

Cosinus→sentuh→sentuh→berdekatan;

Kotangen→sentuh→sentuh→berdekatan.

Pertama-tama, perlu diingat bahwa sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sebagai perbandingan sisi-sisi suatu segitiga tidak bergantung pada panjang sisi-sisi tersebut (pada sudut yang sama). Tidak percaya padaku? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:

Misalnya, cosinus suatu sudut. Menurut definisinya, dari sebuah segitiga: , tetapi kita dapat menghitung kosinus suatu sudut dari sebuah segitiga: . Soalnya, panjang sisinya berbeda-beda, tetapi nilai cosinus salah satu sudutnya sama. Jadi, nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen hanya bergantung pada besar sudut.

Jika Anda memahami definisinya, lanjutkan dan gabungkan!

Untuk segitiga yang ditunjukkan pada gambar di bawah, kita temukan.

Nah, apakah kamu mengerti? Kemudian coba sendiri: hitung hal yang sama untuk sudutnya.

Lingkaran satuan (trigonometri).

Memahami konsep derajat dan radian, kita menganggap lingkaran dengan jari-jari sama dengan. Lingkaran seperti ini disebut lajang. Ini akan sangat berguna ketika mempelajari trigonometri. Oleh karena itu, mari kita lihat lebih detail.

Seperti yang Anda lihat, lingkaran ini dibangun dalam sistem koordinat Cartesian. Jari-jari lingkaran sama dengan satu, sedangkan pusat lingkaran terletak di titik asal koordinat, posisi awal vektor jari-jari tetap sepanjang arah sumbu positif (dalam contoh kita, ini adalah jari-jari).

Setiap titik pada lingkaran berhubungan dengan dua angka: koordinat sumbu dan koordinat sumbu. Berapakah bilangan koordinat tersebut? Dan secara umum, apa hubungannya dengan topik yang sedang dibahas? Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat tentang segitiga siku-siku yang dianggap. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat dua segitiga siku-siku utuh. Pertimbangkan sebuah segitiga. Berbentuk persegi panjang karena tegak lurus terhadap sumbunya.

Segitiga itu sama dengan apa? Itu benar. Selain itu kita mengetahui bahwa itu adalah jari-jari lingkaran satuan yang artinya . Mari kita substitusikan nilai ini ke dalam rumus kosinus kita. Inilah yang terjadi:

Segitiga itu sama dengan apa? Tentu saja! Gantikan nilai radius ke dalam rumus ini dan dapatkan:

Jadi, bisakah kamu mengetahui koordinat titik yang termasuk dalam lingkaran? Ya, tidak mungkin? Bagaimana jika Anda menyadarinya dan itu hanyalah angka? Koordinat manakah yang sesuai? Tentu saja koordinatnya! Dan koordinat apa yang sesuai dengannya? Benar, koordinat! Jadi, titik.

Lalu apa yang dimaksud dan disamakan? Itu benar, mari kita gunakan definisi yang sesuai dari tangen dan kotangen dan dapatkan, a.

Bagaimana jika sudutnya lebih besar? Misalnya saja seperti pada gambar ini:

Apa yang berubah dalam contoh ini? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, mari kita kembali ke segitiga siku-siku. Pertimbangkan segitiga siku-siku: sudut (yang berdekatan dengan sudut). Berapakah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? Itu benar, kami mematuhi definisi fungsi trigonometri yang sesuai:

Seperti yang Anda lihat, nilai sinus sudut masih sesuai dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen terhadap perbandingan yang bersangkutan. Jadi, hubungan ini berlaku untuk setiap rotasi vektor radius.

Telah disebutkan bahwa posisi awal vektor jari-jari adalah sepanjang arah sumbu positif. Sejauh ini kita telah memutar vektor ini berlawanan arah jarum jam, tetapi apa yang terjadi jika kita memutarnya searah jarum jam? Tidak ada yang luar biasa, Anda juga akan mendapatkan sudut dengan nilai tertentu, tetapi hanya negatif. Jadi, ketika vektor jari-jari diputar berlawanan arah jarum jam, kita mendapatkan sudut positif, dan ketika berputar searah jarum jam - negatif.

Jadi, kita mengetahui bahwa seluruh putaran vektor jari-jari mengelilingi lingkaran adalah atau. Apakah mungkin untuk memutar vektor jari-jari ke atau ke? Ya, tentu saja bisa! Oleh karena itu, dalam kasus pertama, vektor jari-jari akan membuat satu putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.

Dalam kasus kedua, yaitu vektor jari-jari akan membuat tiga putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.

Jadi, dari contoh di atas kita dapat menyimpulkan bahwa sudut-sudut yang berbeda sebesar atau (jika ada bilangan bulat) berhubungan dengan posisi vektor jari-jari yang sama.

Gambar di bawah menunjukkan sebuah sudut. Gambar yang sama berhubungan dengan sudut, dll. Daftar ini tidak ada habisnya. Semua sudut ini dapat ditulis dengan rumus umum atau (dimana bilangan bulatnya)

Nah, setelah mengetahui definisi fungsi dasar trigonometri dan menggunakan lingkaran satuan, coba jawab berapa nilainya:

Berikut lingkaran satuan untuk membantu Anda:

Mengalami kesulitan? Kalau begitu mari kita cari tahu. Jadi kita tahu bahwa:

Dari sini, kita menentukan koordinat titik-titik yang bersesuaian dengan besar sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulai secara berurutan: sudut di berhubungan dengan suatu titik dengan koordinat, oleh karena itu:

Tidak ada;

Selanjutnya, dengan mengikuti logika yang sama, kita menemukan bahwa sudut-sudut di masing-masing bersesuaian dengan titik-titik dengan koordinat. Mengetahui hal ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik-titik yang bersesuaian. Cobalah sendiri terlebih dahulu, lalu periksa jawabannya.

Jawaban:

Tidak ada

Dengan demikian, kita dapat membuat tabel berikut:

Tidak perlu mengingat semua nilai-nilai ini. Cukup mengingat korespondensi antara koordinat titik-titik pada lingkaran satuan dan nilai fungsi trigonometri:

Namun nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan pada tabel di bawah, harus diingat:

Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan satu contohnya cukup sederhana untuk mengingat nilai-nilai yang sesuai:

Untuk menggunakan metode ini, penting untuk mengingat nilai sinus untuk ketiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut. Mengetahui nilai-nilai ini, memulihkan seluruh tabel cukup sederhana - nilai kosinus ditransfer sesuai dengan panah, yaitu:

Mengetahui hal ini, Anda dapat mengembalikan nilainya. Pembilang " " akan cocok dan penyebut " " akan cocok. Nilai kotangen ditransfer sesuai dengan panah yang ditunjukkan pada gambar. Jika Anda memahami hal ini dan mengingat diagram dengan panah, maka cukup mengingat semua nilai dari tabel.

Koordinat suatu titik pada lingkaran

Apakah mungkin menemukan suatu titik (koordinatnya) pada sebuah lingkaran, mengetahui koordinat pusat lingkaran, jari-jarinya dan sudut putarannya?

Ya, tentu saja bisa! Mari kita keluarkan rumus umum untuk mencari koordinat suatu titik.

Misalnya, berikut adalah lingkaran di depan kita:

Diketahui bahwa titik adalah pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Koordinat suatu titik perlu dicari dengan memutar titik tersebut sebesar derajat.

Terlihat dari gambar, koordinat titik sesuai dengan panjang ruas. Panjang ruas sesuai dengan koordinat pusat lingkaran, yaitu sama. Panjang suatu segmen dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi kosinus:

Lalu kita punya itu untuk koordinat titik.

Dengan menggunakan logika yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik tersebut. Dengan demikian,

Jadi, di pandangan umum koordinat titik ditentukan dengan rumus:

Koordinat pusat lingkaran,

Jari-jari lingkaran,

Sudut rotasi jari-jari vektor.

Seperti yang Anda lihat, untuk lingkaran satuan yang kita pertimbangkan, rumus ini dikurangi secara signifikan, karena koordinat pusatnya sama dengan nol, dan jari-jarinya sama dengan satu:

Baiklah, mari kita coba rumus-rumus tersebut dengan berlatih mencari titik pada lingkaran?

1. Temukan koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.

2. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.

3. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.

4. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.

5. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.

Kesulitan mencari koordinat suatu titik pada lingkaran?

Pecahkan lima contoh ini (atau jadilah ahli dalam memecahkannya) dan Anda akan belajar menemukannya!

Anda bisa memperhatikannya. Tapi kita tahu apa yang berhubungan dengan revolusi penuh dari titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:

2. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:

Anda bisa memperhatikannya. Kita tahu apa yang berhubungan dengan dua putaran penuh pada titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:

Sinus dan kosinus adalah nilai tabel. Kami mengingat maknanya dan mendapatkan:

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

3. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:

Anda bisa memperhatikannya. Mari kita gambarkan contoh yang dimaksud pada gambar:

Jari-jari membuat sudut sama dengan dan terhadap sumbu. Mengetahui bahwa nilai tabel cosinus dan sinus adalah sama, dan setelah menentukan bahwa kosinus di sini bernilai negatif dan sinus bernilai positif, kita memperoleh:

Contoh-contoh tersebut dibahas lebih rinci ketika mempelajari rumus-rumus pengurangan fungsi trigonometri pada topik.

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi)

Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus yang bersesuaian, kita membuat lingkaran dan sudut satuan:

Seperti yang Anda lihat, nilainya positif, dan nilainya negatif. Mengetahui nilai tabel dari fungsi trigonometri yang bersesuaian, kita memperoleh bahwa:

Mari kita substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam rumus kita dan temukan koordinatnya:

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

5. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan rumus dalam bentuk umum, dimana

Koordinat pusat lingkaran (dalam contoh kita,

Jari-jari lingkaran (sesuai syarat)

Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi).

Mari kita substitusikan semua nilai ke dalam rumus dan dapatkan:

dan - nilai tabel. Mari kita ingat dan substitusikan ke dalam rumus:

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan (jauh) dengan sisi miring.

Kosinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.

Garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).

Kotangen suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berdekatan (dekat) dengan sisi yang berhadapan (jauh).

Trigonometri adalah salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari fungsi trigonometri dan kegunaannya dalam geometri. Perkembangan trigonometri dimulai sejak dahulu kala Yunani kuno. Selama Abad Pertengahan, para ilmuwan dari Timur Tengah dan India memberikan kontribusi penting bagi perkembangan ilmu ini.

Artikel ini dikhususkan untuk konsep dasar dan definisi trigonometri. Membahas tentang pengertian fungsi dasar trigonometri: sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Maknanya dijelaskan dan diilustrasikan dalam konteks geometri.

Yandex.RTB RA-339285-1

Awalnya, definisi fungsi trigonometri yang argumennya adalah sudut dinyatakan dalam perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku.

Definisi fungsi trigonometri

Sinus suatu sudut (sin α) adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut tersebut dengan sisi miringnya.

Kosinus sudut (cos α) - rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Sudut singgung (t g α) - perbandingan sisi yang berlawanan dengan sisi yang berdekatan.

Kotangen sudut (c t g α) - rasio sisi yang berdekatan dengan sisi yang berlawanan.

Definisi ini diberikan untuk sudut lancip segitiga siku-siku!

Mari kita beri ilustrasi.

DI DALAM segitiga ABC dengan sudut siku-siku C, sinus sudut A sama dengan perbandingan kaki BC dan sisi miring AB.

Definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen memungkinkan Anda menghitung nilai fungsi-fungsi ini dari panjang sisi-sisi segitiga yang diketahui.

Penting untuk diingat!

Kisaran nilai sinus dan kosinus adalah dari -1 sampai 1. Dengan kata lain sinus dan kosinus mengambil nilai dari -1 sampai 1. Kisaran nilai tangen dan kotangen adalah keseluruhan garis bilangan, artinya, fungsi-fungsi ini dapat mengambil nilai apa pun.

Definisi yang diberikan di atas berlaku untuk sudut lancip. Dalam trigonometri, konsep sudut rotasi diperkenalkan, yang nilainya, tidak seperti sudut lancip, tidak dibatasi pada 0 hingga 90 derajat. Sudut rotasi dalam derajat atau radian dinyatakan dengan bilangan real apa pun dari - ∞ hingga + ∞.

Dalam konteks ini, kita dapat mendefinisikan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut yang besarnya berubah-ubah. Mari kita bayangkan sebuah lingkaran satuan dengan pusatnya di titik asal sistem koordinat Kartesius.

Titik awal A dengan koordinat (1, 0) berputar mengelilingi pusat lingkaran satuan melalui sudut tertentu dan menuju ke titik A 1. Definisi tersebut diberikan dalam bentuk koordinat titik A 1 (x, y).

Sinus (sin) sudut rotasi

Sinus sudut rotasi adalah ordinat titik A 1 (x, y). dosa α = y

Cosinus (cos) dari sudut rotasi

Kosinus sudut rotasi adalah absis titik A 1 (x, y). karena α = x

Tangen (tg) sudut putaran

Garis singgung sudut rotasi adalah perbandingan ordinat titik A 1 (x, y) dengan absisnya. tg α = yx

Kotangen (ctg) dari sudut rotasi

Kotangen sudut rotasi adalah perbandingan absis titik A 1 (x, y) terhadap ordinatnya. ctg α = x y

Sinus dan kosinus ditentukan untuk setiap sudut rotasi. Hal ini logis, karena absis dan ordinat suatu titik setelah rotasi dapat ditentukan pada sudut mana pun. Lain halnya dengan tangen dan kotangen. Garis singgung tidak terdefinisi bila suatu titik setelah rotasi menuju ke titik yang absisnya nol (0, 1) dan (0, - 1). Dalam kasus seperti itu, ekspresi tangen t g α = y x tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Situasinya mirip dengan kotangen. Perbedaannya adalah kotangen tidak terdefinisi jika ordinat suatu titik mendekati nol.

Penting untuk diingat!

Sinus dan kosinus didefinisikan untuk sembarang sudut α.

Garis singgung didefinisikan untuk semua sudut kecuali α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangen didefinisikan untuk semua sudut kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Saat menyelesaikan contoh praktis, jangan ucapkan “sinus sudut rotasi α”. Kata “sudut rotasi” dihilangkan begitu saja, menyiratkan bahwa dari konteksnya sudah jelas apa yang sedang dibahas.

Angka

Bagaimana dengan pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan, dan bukan sudut putarnya?

Sinus, cosinus, tangen, kotangen suatu bilangan

Sinus, cosinus, tangen dan kotangen suatu bilangan T adalah bilangan yang masing-masing sama dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen in T radian.

Misalnya sinus bilangan 10 π sama dengan sinus sudut rotasi 10 π rad.

Ada pendekatan lain untuk menentukan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan. Mari kita lihat lebih dekat.

Bilangan real apa pun T suatu titik pada lingkaran satuan dikaitkan dengan pusat di titik asal sistem koordinat kartesius persegi panjang. Sinus, cosinus, tangen dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini.

Titik pangkal lingkaran adalah titik A dengan koordinat (1, 0).

Angka positif T

Angka negatif T sesuai dengan titik ke mana titik awal akan pergi jika bergerak mengelilingi lingkaran berlawanan arah jarum jam dan akan pergi sesuai keinginannya T.

Setelah hubungan antara bilangan dan titik pada lingkaran telah diketahui, kita beralih ke definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen.

Sinus (dosa) dari t

Sinus suatu bilangan T- ordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan tersebut T. dosa t = y

Kosinus (cos) dari t

Kosinus suatu bilangan T- absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan tersebut T. biaya t = x

Garis singgung (tg) dari t

Garis singgung suatu bilangan T- rasio ordinat terhadap absis suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan tersebut T. t g t = y x = dosa t biaya t

Definisi yang terakhir ini sesuai dan tidak bertentangan dengan definisi yang diberikan pada awal paragraf ini. Tunjuk lingkaran yang sesuai dengan nomor tersebut T, bertepatan dengan titik tujuan titik awal setelah berbelok suatu sudut T radian.

Fungsi trigonometri argumen sudut dan numerik

Setiap nilai sudut α sesuai dengan nilai sinus dan kosinus tertentu dari sudut tersebut. Sama seperti semua sudut α selain α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) bersesuaian dengan nilai tangen tertentu. Kotangen, sebagaimana dinyatakan di atas, didefinisikan untuk semua α kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Kita dapat mengatakan bahwa sin α, cos α, t g α, c t g α adalah fungsi dari sudut alpha, atau fungsi dari argumen sudut.

Demikian pula, kita dapat membicarakan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen sebagai fungsi argumen numerik. Setiap bilangan real T sesuai dengan nilai tertentu dari sinus atau kosinus suatu bilangan T. Semua bilangan selain π 2 + π · k, k ∈ Z, berhubungan dengan nilai tangen. Kotangen juga didefinisikan untuk semua bilangan kecuali π · k, k ∈ Z.

Fungsi dasar trigonometri

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen adalah fungsi dasar trigonometri.

Biasanya jelas dari konteks argumen fungsi trigonometri mana (argumen sudut atau argumen numerik) yang kita hadapi.

Mari kita kembali ke definisi yang diberikan di awal dan sudut alfa, yang berkisar antara 0 hingga 90 derajat. Definisi trigonometri sinus, kosinus, tangen, dan kotangen sepenuhnya konsisten dengan definisi geometris, diberikan dengan menggunakan rasio aspek segitiga siku-siku. Mari kita tunjukkan.

Mari kita ambil lingkaran satuan yang berpusat pada sistem koordinat kartesius persegi panjang. Mari kita putar titik awal A (1, 0) dengan sudut hingga 90 derajat dan gambar garis tegak lurus terhadap sumbu absis dari titik yang dihasilkan A 1 (x, y). Pada segitiga siku-siku yang dihasilkan, sudut A 1 O H sama dengan sudut putar , panjang kaki O H sama dengan absis titik A 1 (x, y). Panjang kaki yang berhadapan dengan sudut sama dengan ordinat titik A 1 (x, y), dan panjang sisi miringnya sama dengan satu, karena merupakan jari-jari lingkaran satuan.

Sesuai dengan definisi geometri, sinus sudut α sama dengan perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring.

dosa α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Artinya, menentukan sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku melalui rasio aspek sama dengan menentukan sinus sudut rotasi α, dengan alfa berada pada kisaran 0 hingga 90 derajat.

Demikian pula, korespondensi definisi dapat ditunjukkan untuk kosinus, tangen, dan kotangen.