Linearitas fungsi. Fungsi linier dan grafiknya

Mari kita pertimbangkan masalahnya. Seorang pengendara sepeda motor yang meninggalkan kota A menuju saat ini terletak 20 km darinya. Pada jarak s (km) dari A pengendara sepeda motor akan berada setelah t jam jika ia bergerak dengan kecepatan 40 km/jam?

Jelasnya, dalam waktu t jam pengendara sepeda motor akan menempuh jarak 50t km. Akibatnya, setelah t jam dia akan berada pada jarak (20 + 50t) km dari A, yaitu. s = 50t + 20, dimana t ≥ 0.

Setiap nilai t berhubungan dengan satu nilai s.

Rumus s = 50t + 20, dimana t ≥ 0, mendefinisikan fungsi tersebut.

Mari kita pertimbangkan satu masalah lagi. Untuk pengiriman telegram dikenakan biaya 3 kopeck untuk setiap kata dan tambahan 10 kopeck. Berapa kopeck (u) yang harus Anda bayar untuk mengirim telegram yang berisi n kata?

Karena pengirim harus membayar 3n kopeck untuk n kata, maka biaya pengiriman telegram yang terdiri dari n kata dapat dicari dengan menggunakan rumus u = 3n + 10, dimana n adalah sembarang bilangan asli.

Dalam kedua soal yang dibahas, kita menemukan fungsi yang diberikan oleh rumus berbentuk y = kx + l, di mana k dan l adalah beberapa bilangan, dan x dan y adalah variabel.

Suatu fungsi yang dapat ditentukan dengan rumus berbentuk y = kx + l, dimana k dan l adalah suatu bilangan, disebut linier.

Karena ekspresi kx + l masuk akal untuk x apa pun, domain definisi fungsi linier dapat berupa himpunan semua bilangan atau himpunan bagian mana pun darinya.

Kasus khusus dari fungsi linier adalah proporsionalitas langsung yang telah dibahas sebelumnya. Ingatlah bahwa untuk l = 0 dan k ≠ 0 rumus y = kx + l berbentuk y = kx, dan rumus ini, seperti diketahui, untuk k ≠ 0 menetapkan proporsionalitas langsung.

Mari kita memplot fungsi linier f yang diberikan oleh rumus
kamu = 0,5x + 2.

Mari kita dapatkan beberapa nilai variabel y yang sesuai untuk beberapa nilai x:

X	-6	-4	-2	0	2	4	6	8
kamu	-1	0	1	2	3	4	5	6

Mari kita tandai titik-titik tersebut dengan koordinat yang kita peroleh: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Jelasnya, titik-titik yang dibangun terletak pada suatu garis tertentu. Tidak berarti bahwa grafik fungsi ini adalah garis lurus.

Untuk mengetahui seperti apa bentuk grafik fungsi f yang dimaksud, mari kita bandingkan dengan grafik proporsionalitas langsung x – y yang sudah dikenal, dimana x = 0,5.

Untuk setiap x, nilai ekspresi 0,5x + 2 lebih besar dari nilai ekspresi 0,5x sebanyak 2 unit. Oleh karena itu, ordinat setiap titik pada grafik fungsi f adalah 2 satuan lebih besar dari ordinat yang bersesuaian pada grafik proporsionalitas langsung.

Oleh karena itu, grafik fungsi f yang dimaksud dapat diperoleh dari grafik proporsionalitas langsung dengan translasi paralel sebanyak 2 satuan searah ordinat.

Karena grafik proporsionalitas langsung berupa garis lurus, maka grafik fungsi linier f yang ditinjau juga merupakan garis lurus.

Secara umum grafik fungsi yang diberikan rumus bentuk y = kx + l adalah garis lurus.

Kita tahu bahwa untuk membuat garis lurus cukup menentukan posisi kedua titiknya.

Misalnya, Anda perlu memplot fungsi yang diberikan oleh rumus
kamu = 1,5x – 3.

Mari kita ambil dua nilai sembarang x, misalnya x 1 = 0 dan x 2 = 4. Hitung nilai fungsi y 1 = -3, y 2 = 3, buatlah titik A (-3; 0) dan B (4; 0) pada bidang koordinat 3) dan tarik garis lurus melalui titik-titik tersebut. Garis lurus ini adalah grafik yang diinginkan.

Jika domain definisi fungsi linier tidak terwakili sepenuhnya bilangan, maka grafiknya akan menjadi himpunan titik-titik pada suatu garis (misalnya sinar, ruas, himpunan titik-titik individual).

Letak grafik fungsi yang ditentukan dengan rumus y = kx + l bergantung pada nilai l dan k. Secara khusus, sudut kemiringan grafik fungsi linier terhadap sumbu x bergantung pada koefisien k. Jika k adalah bilangan positif, maka sudut ini lancip; jika k bilangan negatif maka sudutnya tumpul. Bilangan k disebut kemiringan garis.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Perhatikan fungsinya y=k/y. Grafik fungsi ini berbentuk garis, dalam matematika disebut hiperbola. Gambaran umum hiperbola ditunjukkan pada gambar di bawah ini. (Grafik menunjukkan fungsi y sama dengan k dibagi x, sehingga k sama dengan satu.)

Terlihat grafiknya terdiri dari dua bagian. Bagian-bagian ini disebut cabang hiperbola. Perlu juga dicatat bahwa setiap cabang hiperbola mendekat ke salah satu arah yang semakin dekat ke sumbu koordinat. Sumbu koordinat dalam hal ini disebut asimtot.

Secara umum, setiap garis lurus yang mendekati tak terhingga grafik suatu fungsi tetapi tidak mencapainya disebut asimtot. Hiperbola, seperti parabola, memiliki sumbu simetri. Untuk hiperbola yang ditunjukkan pada gambar di atas, ini adalah garis y=x.

Sekarang mari kita bahas dua kasus umum hiperbola. Grafik fungsi y = k/x, untuk k ≠0, adalah hiperbola yang cabang-cabangnya terletak pada sudut koordinat pertama dan ketiga, untuk k>0, atau pada sudut koordinat kedua dan keempat, garpu<0.

Sifat dasar fungsi y = k/x, untuk k>0

Grafik fungsi y = k/x, untuk k>0

5. y>0 pada x>0; y6. Fungsinya menurun baik pada interval (-∞;0) maupun pada interval (0;+∞).

10. Rentang nilai fungsi adalah dua interval terbuka (-∞;0) dan (0;+∞).

Sifat dasar fungsi y = k/x, untuk k<0

Grafik fungsi y = k/x, di k<0

1. Titik (0;0) merupakan pusat simetri hiperbola.

2. Sumbu koordinat - asimtot hiperbola.

4. Daerah definisi fungsi semua x kecuali x=0.

5. y>0 pada x0.

6. Fungsinya bertambah baik pada interval (-∞;0) maupun pada interval (0;+∞).

7. Fungsinya tidak dibatasi baik dari bawah maupun dari atas.

8. Suatu fungsi tidak mempunyai nilai maksimum dan minimum.

9. Fungsi tersebut kontinu pada interval (-∞;0) dan pada interval (0;+∞). Memiliki celah di x=0.

Definisi Fungsi Linier

Mari kita perkenalkan definisi fungsi linier

Definisi

Fungsi berbentuk $y=kx+b$, dengan $k$ bukan nol, disebut fungsi linier.

Grafik fungsi linier berupa garis lurus. Bilangan $k$ disebut kemiringan garis.

Ketika $b=0$ fungsi linier disebut fungsi proporsionalitas langsung $y=kx$.

Perhatikan Gambar 1.

Beras. 1. Arti geometris dari kemiringan suatu garis

Perhatikan segitiga ABC. Kita melihat bahwa $ВС=kx_0+b$. Mari kita cari titik potong garis $y=kx+b$ dengan sumbu $Ox$:

\ \

Jadi $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Mari kita cari perbandingan sisi-sisinya:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Sebaliknya, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Dengan demikian, kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut:

Kesimpulan

Arti geometris dari koefisien $k$. Koefisien sudut garis lurus $k$ sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis lurus tersebut terhadap sumbu $Ox$.

Mempelajari fungsi linier $f\left(x\right)=kx+b$ dan grafiknya

Pertama, pertimbangkan fungsi $f\left(x\right)=kx+b$, di mana $k > 0$.

$f"\kiri(x\kanan)=(\kiri(kx+b\kanan))"=k>0$. Akibatnya, fungsi ini meningkat secara keseluruhan domain definisi. Tidak ada poin ekstrim.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
Grafik (Gbr. 2).

Beras. 2. Grafik fungsi $y=kx+b$, untuk $k > 0$.

Sekarang perhatikan fungsi $f\left(x\right)=kx$, di mana $k

Domain definisinya adalah semua bilangan.
Rentang nilainya adalah semua angka.
$f\kiri(-x\kanan)=-kx+b$. Fungsinya tidak genap dan ganjil.
Untuk $x=0,f\kiri(0\kanan)=b$. Ketika $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Titik potong dengan sumbu koordinat: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ dan $\left(0,\ b\right)$

$f"\kiri(x\kanan)=(\kiri(kx\kanan))"=k
$f^("")\left(x\right)=k"=0$. Oleh karena itu, fungsi tersebut tidak memiliki titik belok.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
Grafik (Gbr. 3).

Konsep fungsi numerik. Metode untuk menentukan suatu fungsi. Properti fungsi.

Fungsi numerik adalah fungsi yang berpindah dari satu ruang numerik (himpunan) ke ruang numerik lainnya (himpunan).

Tiga cara utama untuk mendefinisikan suatu fungsi: analitis, tabel, dan grafis.

1. Analitis.

Cara menentukan suatu fungsi dengan menggunakan rumus disebut analitis. Metode ini adalah yang utama di matras. analisis, namun dalam praktiknya hal ini tidak mudah.

2. Metode tabel untuk menentukan suatu fungsi.

Suatu fungsi dapat ditentukan menggunakan tabel yang berisi nilai argumen dan nilai fungsi yang sesuai.

3. Metode grafis untuk menentukan suatu fungsi.

Suatu fungsi y=f(x) dikatakan diberikan secara grafis jika grafiknya dibuat. Metode penentuan fungsi ini memungkinkan untuk menentukan nilai fungsi hanya secara perkiraan, karena membuat grafik dan menemukan nilai fungsi di dalamnya dikaitkan dengan kesalahan.

Sifat-sifat suatu fungsi yang harus diperhatikan saat membuat grafiknya:

1) Daerah definisi fungsi.

Domain fungsinya, yaitu, nilai-nilai yang dapat diambil oleh argumen x dari fungsi F =y (x).

2) Interval fungsi naik dan turun.

Fungsinya disebut meningkat pada interval yang dipertimbangkan, jika nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih besar y(x). Artinya jika dua argumen sembarang x 1 dan x 2 diambil dari interval yang dipertimbangkan, dan x 1 > x 2, maka y(x 1) > y(x 2).

Fungsi tersebut disebut menurun pada interval yang dipertimbangkan, jika nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih kecil y(x). Artinya jika dua argumen sembarang x 1 dan x 2 diambil dari interval yang ditinjau, dan x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Fungsi nol.

Titik-titik di mana fungsi F = y (x) memotong sumbu absis (diperoleh dengan menyelesaikan persamaan y(x) = 0) disebut nol dari fungsi tersebut.

4) Kemerataan dan keanehan fungsi.

Fungsi tersebut disebut genap, jika untuk semua nilai argumen dari ruang lingkup

kamu(-x) = kamu(x).

Jadwal bahkan berfungsi simetris terhadap sumbu ordinat.

Fungsi tersebut disebut ganjil, jika untuk semua nilai argumen dari domain definisi

kamu(-x) = -y(x).

Grafik suatu fungsi genap simetris terhadap titik asal.

Banyak fungsi yang tidak genap maupun ganjil.

5) Periodisitas fungsi.

Fungsi tersebut disebut periodik, jika terdapat bilangan P sedemikian rupa sehingga untuk semua nilai argumen dari domain definisi

kamu(x + P) = kamu(x).

Fungsi linier, properti dan grafiknya.

Fungsi linier adalah fungsi bentuk kamu = kx + b, didefinisikan pada himpunan semua bilangan real.

k – lereng(bilangan asli)

B– suku dummy (bilangan real)

X– variabel bebas.

· Dalam kasus khusus, jika k = 0, diperoleh fungsi konstanta y = b, yang grafiknya berupa garis lurus sejajar sumbu Ox melalui titik dengan koordinat (0; b).

· Jika b = 0, maka diperoleh fungsi y = kx yang merupakan proporsionalitas langsung.

o Arti geometri koefisien b adalah panjang ruas yang dipotong oleh garis lurus sepanjang sumbu Oy, dihitung dari titik asal.

o Arti geometri koefisien k adalah sudut kemiringan garis lurus terhadap arah positif sumbu Ox, dihitung berlawanan arah jarum jam.

Sifat-sifat fungsi linier:

1) Daerah definisi fungsi linier adalah seluruh sumbu real;

2) Jika k ≠ 0, maka rentang nilai fungsi linier adalah seluruh sumbu real.

Jika k = 0, maka rentang nilai fungsi linier terdiri dari bilangan b;

3) Kegenapan dan keanehan suatu fungsi linier bergantung pada nilai koefisien k dan b.

a) b ≠ 0, k = 0, maka y = b – genap;

b) b = 0, k ≠ 0, maka y = kx – ganjil;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, maka y = kx + b adalah suatu fungsi pandangan umum;

d) b = 0, k = 0, maka y = 0 merupakan fungsi genap dan ganjil.

4) Fungsi linier tidak memiliki sifat periodisitas;

5) Titik potong dengan sumbu koordinat:

Sapi: y = kx + b = 0, x = -b/k, maka (-b/k; 0) adalah titik potong dengan sumbu absis.

Oy: y = 0k + b = b, maka (0; b) adalah titik potong dengan ordinatnya.

Komentar. Jika b = 0 dan k = 0, maka fungsi y = 0 hilang untuk sembarang nilai variabel x. Jika b ≠ 0 dan k = 0, maka fungsi y = b tidak hilang untuk sembarang nilai variabel x.

6) Interval keteguhan tanda bergantung pada koefisien k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – positif di x dari (-b/k; +∞),

y = kx + b – negatif untuk x dari (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – positif di x dari (-∞; -b/k),

y = kx + b – negatif untuk x dari (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b positif di seluruh domain definisi,

k = 0,b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Interval monotonisitas suatu fungsi linier bergantung pada koefisien k.

k > 0, oleh karena itu y = kx + b meningkat di seluruh domain definisi,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Fungsi y = ax 2 + bx + c, sifat-sifatnya dan grafiknya.

Fungsi y = ax 2 + bx + c (a, b, c adalah konstanta, a ≠ 0) disebut kuadrat Dalam kasus paling sederhana, y = ax 2 (b = c = 0) grafiknya adalah garis lengkung yang melalui titik asal. Kurva yang menjadi grafik fungsi y = ax 2 adalah parabola. Setiap parabola mempunyai sumbu simetri yang disebut sumbu parabola. Titik O tempat perpotongan parabola dengan sumbunya disebut.

titik puncak parabola Grafiknya dapat dibuat menurut skema berikut: 1) Tentukan koordinat titik puncak parabola x 0 = -b/2a; kamu 0 = kamu(x 0). 2) Kita membuat beberapa titik lagi yang termasuk dalam parabola; ketika membangun, kita dapat menggunakan kesimetrian parabola terhadap garis lurus x = -b/2a.

3) Hubungkan titik-titik yang ditunjukkan dengan garis halus.

Contoh. Gambarkan fungsi b = x 2 + 2x - 3. Solusi. Grafik fungsinya adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas. Absis titik puncak parabola x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, ordinatnya y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Jadi titik puncak parabola tersebut adalah titik (-1; -4). Mari kita buat tabel nilai beberapa titik yang terletak di sebelah kanan sumbu simetri parabola - garis lurus x = -1.

Properti fungsi. "Titik kritis suatu fungsi" - Poin kritis

. Di antara titik-titik kritis tersebut terdapat titik-titik ekstrem. Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem. Jawaban: 2. Definisi. Namun jika f" (x0) = 0, maka titik x0 tidak perlu menjadi titik ekstrem. Titik ekstrem (pengulangan). Titik kritis fungsi. Titik ekstrem. "Bidang koordinat kelas 6" - Matematika kelas 6. 1. X. 1. Cari dan tuliskan koordinatnya poin A, B< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

,C,D: -6. Bidang koordinat. HAI.-3. 7.kamu. “Fungsi dan grafiknya” - Kontinuitas. Yang terbesar dan. nilai terkecil fungsi. Konsep fungsi invers. Linier. Logaritma. Nada datar. Jika k > 0, maka sudut yang terbentuk lancip, jika k

“Pelajaran Persamaan Tangen” - 1. Memperjelas konsep garis singgung grafik suatu fungsi. Leibniz mempertimbangkan masalah menggambar garis singgung pada kurva sembarang. ALGORITMA PEMBUATAN PERSAMAAN SINGKAT GRAFIK FUNGSI y=f(x). Topik pelajaran: Tes: mencari turunan suatu fungsi. Persamaan tangen. Fluksi. kelas 10. Menguraikan apa yang disebut Isaac Newton sebagai fungsi turunan.

“Buatlah grafik suatu fungsi” - Fungsi y=3cosx diberikan. Grafik fungsi y=m*sin x. Buat grafik fungsinya. Isi: Diketahui fungsi: y=sin (x+?/2). Meregangkan grafik y=cosx sepanjang sumbu y. Untuk melanjutkan, klik l. Tombol tetikus. Diketahui fungsi y=cosx+1. Grafik perpindahan y=sinx vertikal. Diketahui fungsinya y=3sinx. Perpindahan horizontal grafik y=cosx.

Ada total 25 presentasi dalam topik tersebut