Ekspektasi matematis (Rata-rata populasi) adalah. Variabel acak. Variabel acak diskrit

Konsep harapan matematis dapat dilihat pada contoh pelemparan sebuah dadu. Dengan setiap lemparan, poin yang dijatuhkan dicatat. Untuk menyatakannya digunakan nilai natural pada rentang 1 – 6.

Setelah sejumlah lemparan tertentu, dengan menggunakan perhitungan sederhana, Anda dapat menemukan rata-rata aritmatika dari poin yang diperoleh.

Sama seperti kemunculan nilai mana pun dalam rentang tersebut, nilai ini akan bersifat acak.

Bagaimana jika Anda menambah jumlah lemparan beberapa kali? Pada dalam jumlah besar lemparan, rata-rata aritmatika poin akan mendekati angka tertentu, yang dalam teori probabilitas disebut ekspektasi matematis.

Jadi, yang kami maksud dengan ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata dari suatu variabel acak. Indikator ini juga dapat disajikan sebagai jumlah tertimbang dari nilai-nilai kemungkinan.

Konsep ini memiliki beberapa sinonim:

nilai rata-rata;
nilai rata-rata;
indikator tendensi sentral;
momen pertama.

Dengan kata lain, ini tidak lebih dari sebuah angka di mana nilai-nilai variabel acak didistribusikan.

Dalam berbagai bidang aktivitas manusia, pendekatan untuk memahami ekspektasi matematis akan sedikit berbeda.

Ini dapat dianggap sebagai:

rata-rata manfaat yang diperoleh dari pengambilan suatu keputusan, jika keputusan tersebut dipertimbangkan dari sudut pandang teori bilangan besar;
kemungkinan jumlah menang atau kalah (teori berjudi), dihitung rata-rata untuk setiap taruhan. Dalam bahasa gaul, terdengar seperti “keuntungan pemain” (positif untuk pemain) atau “keuntungan kasino” (negatif untuk pemain);
persentase keuntungan yang diterima dari kemenangan.

Ekspektasinya tidak wajib untuk semua variabel acak. Tidak ada bagi mereka yang memiliki perbedaan dalam jumlah atau integral yang sesuai.

Sifat ekspektasi matematis

Seperti parameter statistik lainnya, ekspektasi matematis memiliki sifat berikut:

Rumus dasar ekspektasi matematis

Perhitungan ekspektasi matematis dapat dilakukan baik untuk variabel acak yang bercirikan kontinuitas (rumus A) dan diskrit (rumus B):

M(X)=∑i=1nxi⋅pi, dengan xi adalah nilai variabel acak, pi adalah probabilitas:
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, dengan f(x) adalah kepadatan probabilitas yang diberikan.

Contoh penghitungan ekspektasi matematis

Contoh A.

Apakah mungkin untuk mengetahui tinggi rata-rata para kurcaci dalam dongeng tentang Putri Salju. Diketahui bahwa masing-masing dari 7 kurcaci tersebut memiliki tinggi badan tertentu: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 dan 0,81 m.

Algoritma perhitungannya cukup sederhana:

kami menemukan jumlah semua nilai indikator pertumbuhan (variabel acak):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
Bagilah jumlah yang dihasilkan dengan jumlah gnome:
6,31:7=0,90.

Jadi, tinggi rata-rata kurcaci dalam dongeng adalah 90 cm. Dengan kata lain, ini adalah ekspektasi matematis dari pertumbuhan kurcaci.

Rumus kerja - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Implementasi praktis dari ekspektasi matematis

Perhitungan indikator statistik ekspektasi matematis digunakan di berbagai bidang kegiatan praktik. Pertama-tama, kita berbicara tentang bidang komersial. Bagaimanapun, pengenalan indikator ini oleh Huygens dikaitkan dengan penentuan peluang yang mungkin menguntungkan, atau, sebaliknya, tidak menguntungkan, untuk suatu peristiwa.

Parameter ini banyak digunakan untuk menilai risiko, terutama dalam investasi keuangan.
Jadi, dalam bisnis, penghitungan ekspektasi matematis bertindak sebagai metode untuk menilai risiko saat menghitung harga.

Indikator ini juga dapat digunakan untuk menghitung efektivitas tindakan tertentu, misalnya perlindungan tenaga kerja. Berkat itu, Anda dapat menghitung kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.

Area penerapan lain dari parameter ini adalah manajemen. Itu juga dapat dihitung selama kontrol kualitas produk. Misalnya menggunakan mat. ekspektasi, Anda dapat menghitung kemungkinan jumlah suku cadang cacat yang diproduksi.

Ekspektasi matematis juga ternyata sangat diperlukan ketika melakukan pengolahan statistik terhadap hasil yang diperoleh selama penelitian ilmiah. Ini memungkinkan Anda menghitung kemungkinan hasil yang diinginkan atau tidak diinginkan dari suatu eksperimen atau penelitian tergantung pada tingkat pencapaian tujuan. Bagaimanapun, pencapaiannya dapat dikaitkan dengan untung dan rugi, dan kegagalannya dapat dikaitkan dengan kerugian atau kerugian.

Menggunakan ekspektasi matematis dalam Forex

Penerapan praktis parameter statistik ini dimungkinkan ketika melakukan transaksi di pasar valuta asing. Dengan bantuannya, Anda dapat menganalisis keberhasilan transaksi perdagangan. Selain itu, peningkatan nilai ekspektasi menunjukkan peningkatan keberhasilan mereka.

Penting juga untuk diingat bahwa ekspektasi matematis tidak boleh dianggap sebagai satu-satunya parameter statistik yang digunakan untuk menganalisis kinerja trader. Penggunaan beberapa parameter statistik beserta nilai rata-ratanya meningkatkan keakuratan analisis secara signifikan.

Parameter ini telah membuktikan dirinya dengan baik dalam memantau observasi akun perdagangan. Berkat itu, penilaian cepat atas pekerjaan yang dilakukan pada rekening deposito dilakukan. Jika aktivitas trader berhasil dan dia terhindar dari kerugian, tidak disarankan untuk hanya menggunakan perhitungan ekspektasi matematis. Dalam kasus ini, risiko tidak diperhitungkan, sehingga mengurangi efektivitas analisis.

Studi yang dilakukan mengenai taktik trader menunjukkan bahwa:

Taktik yang paling efektif adalah taktik yang didasarkan pada entri acak;
Yang paling tidak efektif adalah taktik yang didasarkan pada masukan terstruktur.

Dalam mencapai hasil positif, yang tidak kalah pentingnya adalah:

taktik pengelolaan uang;
strategi keluar.

Dengan menggunakan indikator seperti ekspektasi matematis, Anda dapat memprediksi berapa untung atau ruginya ketika berinvestasi 1 dolar. Diketahui bahwa indikator ini, yang dihitung untuk semua permainan yang dilakukan di kasino, menguntungkan perusahaan. Inilah yang memungkinkan Anda menghasilkan uang. Dalam kasus serangkaian permainan yang panjang, kemungkinan klien kehilangan uang meningkat secara signifikan.

Permainan yang dimainkan oleh pemain profesional dibatasi dalam jangka waktu singkat, sehingga meningkatkan kemungkinan menang dan mengurangi risiko kalah. Pola yang sama diamati ketika melakukan operasi investasi.

Seorang investor dapat memperoleh keuntungan besar dengan memiliki ekspektasi positif dan melakukan transaksi dalam jumlah besar dalam waktu singkat.

Ekspektasi dapat dianggap sebagai selisih antara persentase keuntungan (PW) dikalikan dengan rata-rata keuntungan (AW) dan probabilitas kerugian (PL) dikalikan dengan rata-rata kerugian (AL).

Sebagai contoh, perhatikan hal berikut: posisi – 12,5 ribu dolar, portofolio – 100 ribu dolar, risiko deposit – 1%. Profitabilitas transaksi adalah 40% kasus dengan keuntungan rata-rata 20%. Jika terjadi kerugian, rata-rata kerugiannya adalah 5%. Menghitung ekspektasi matematis untuk transaksi tersebut menghasilkan nilai $625.

Variabel acak selain hukum distribusi, mereka juga dapat dijelaskan karakteristik numerik .

Harapan matematis M (x) suatu variabel acak disebut nilai rata-ratanya.

Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit dihitung menggunakan rumus

Di mana – nilai variabel acak, hal Saya- probabilitas mereka.

Mari kita perhatikan sifat-sifat ekspektasi matematis:

1. Ekspektasi matematis suatu konstanta sama dengan konstanta itu sendiri

2. Jika suatu variabel acak dikalikan dengan bilangan tertentu k, maka ekspektasi matematisnya akan dikalikan dengan bilangan yang sama

M (kx) = kmM (x)

3. Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Untuk variabel acak bebas x 1, x 2, … x n, ekspektasi matematis dari hasil kali sama dengan hasil kali ekspektasi matematisnya

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M(x - M(x)) = M(x) - M(M(x)) = M(x) - M(x) = 0

Mari kita hitung ekspektasi matematis untuk variabel acak dari Contoh 11.

M(x) = = .

Contoh 12. Biarkan variabel acak x 1, x 2 ditentukan sesuai dengan hukum distribusi:

x 1 Tabel 2

x 2 Tabel 3

Mari kita hitung M (x 1) dan M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Ekspektasi matematis dari kedua variabel acak adalah sama - keduanya sama dengan nol. Namun, sifat penyebarannya berbeda. Jika nilai x 1 berbeda sedikit dari ekspektasi matematisnya, maka nilai x 2 sangat berbeda dari ekspektasi matematisnya, dan kemungkinan penyimpangan tersebut tidak sedikit. Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa tidak mungkin menentukan dari nilai rata-rata penyimpangan mana yang terjadi, baik yang lebih kecil maupun yang lebih besar. Begitu juga dengan hal yang sama rata-rata Berdasarkan curah hujan tahunan di kedua wilayah tersebut, tidak dapat dikatakan bahwa wilayah tersebut sama-sama menguntungkan untuk pekerjaan pertanian. Mirip dengan rata-rata upah Tidaklah mungkin untuk menilai proporsi pekerja berupah tinggi dan rendah. Oleh karena itu, karakteristik numerik diperkenalkan - penyebaran D(x) , yang mencirikan derajat penyimpangan suatu variabel acak dari nilai rata-ratanya:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Dispersi adalah ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat suatu variabel acak dari ekspektasi matematis. Untuk variabel acak diskrit, variansnya dihitung menggunakan rumus:

D(x)= = (3)

Dari definisi dispersi maka D (x) 0.

Sifat dispersi:

1. Varians dari konstanta adalah nol

2. Jika suatu variabel acak dikalikan dengan bilangan tertentu k, maka variansnya akan dikalikan dengan kuadrat bilangan tersebut

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. Untuk variabel acak bebas berpasangan x 1 , x 2 , … x n varians dari jumlah tersebut sama dengan jumlah variansnya.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

Mari kita hitung varians variabel acak dari Contoh 11.

Ekspektasi matematis M (x) = 1. Oleh karena itu, menurut rumus (3) kita mempunyai:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Perhatikan bahwa menghitung varians lebih mudah jika Anda menggunakan properti 3:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Mari kita hitung varians variabel acak x 1 , x 2 dari Contoh 12 menggunakan rumus ini. Ekspektasi matematis dari kedua variabel acak adalah nol.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Semakin dekat nilai varians ke nol, semakin kecil penyebaran variabel acak tersebut relatif terhadap nilai rata-rata.

Besarannya disebut deviasi standar. Mode variabel acak X tipe diskrit Md Nilai suatu variabel acak yang mempunyai probabilitas tertinggi disebut.

Mode variabel acak X tipe kontinyu Md, adalah bilangan real yang didefinisikan sebagai titik maksimum kepadatan distribusi probabilitas f(x).

Median dari variabel acak X tipe kontinyu Mn adalah bilangan real yang memenuhi persamaan tersebut

Larutan:

6.1.2 Sifat ekspektasi matematis

1. Ekspektasi matematis dari suatu nilai konstanta sama dengan konstanta itu sendiri.

2. Faktor konstanta dapat diambil sebagai tanda ekspektasi matematis.

3. Ekspektasi matematis dari hasil kali dua variabel acak independen sama dengan hasil kali ekspektasi matematisnya.

Properti ini berlaku untuk nomor berapa pun variabel acak.

4. Ekspektasi matematis dari jumlah dua variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis suku-suku tersebut.

Properti ini juga berlaku untuk sejumlah variabel acak yang berubah-ubah.

Contoh: M(X) = 5, KU)= 2. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak Z, menerapkan sifat-sifat ekspektasi matematis, jika diketahui Z=2X+3Y.

Larutan: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) ekspektasi matematis dari jumlah tersebut sama dengan jumlah ekspektasi matematis

2) faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda ekspektasi matematis

Misalkan n percobaan bebas dilakukan, peluang terjadinya kejadian A sama dengan p. Maka teorema berikut ini berlaku:

Dalil. Ekspektasi matematis M(X) dari banyaknya kejadian A dalam n percobaan bebas sama dengan hasil kali banyaknya percobaan dan peluang terjadinya kejadian dalam setiap percobaan.

6.1.3 Dispersi variabel acak diskrit

Ekspektasi matematis tidak dapat sepenuhnya mencirikan proses acak. Selain ekspektasi matematis, perlu dimasukkan nilai yang mencirikan deviasi nilai variabel acak dari ekspektasi matematis.

Penyimpangan ini sama dengan selisih antara variabel acak dan ekspektasi matematisnya. Dalam hal ini, ekspektasi matematis dari deviasi adalah nol. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa beberapa kemungkinan penyimpangan adalah positif, yang lain negatif, dan sebagai akibat dari pembatalan timbal baliknya, diperoleh nol.

Dispersi (hamburan) dari variabel acak diskrit adalah ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat variabel acak dari ekspektasi matematisnya.

Dalam praktiknya, metode penghitungan varians ini merepotkan karena menyebabkan perhitungan rumit untuk sejumlah besar nilai variabel acak.

Oleh karena itu, metode lain digunakan.

Dalil. Variansnya sama dengan selisih antara ekspektasi matematis kuadrat variabel acak X dan kuadrat ekspektasi matematisnya.

Bukti. Dengan mempertimbangkan fakta bahwa ekspektasi matematis M(X) dan kuadrat ekspektasi matematis M2(X) adalah besaran konstan, kita dapat menulis:

Contoh. Temukan varians dari variabel acak diskrit yang diberikan oleh hukum distribusi.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Solusi: .

6.1.4 Sifat dispersi

1. Varians suatu nilai konstan adalah nol. .

2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya. .

3. Varians jumlah dua variabel acak independen sama dengan jumlah varians variabel-variabel tersebut. .

4. Varians selisih dua variabel acak independen sama dengan jumlah varians variabel-variabel tersebut. .

Dalil. Varians banyaknya kemunculan kejadian A dalam n percobaan bebas, yang masing-masing peluang p terjadinya kejadian tersebut adalah konstan, sama dengan hasil kali banyaknya percobaan dengan peluang terjadinya dan non- terjadinya peristiwa pada setiap percobaan.

Contoh: Carilah varians DSV X - banyaknya kemunculan kejadian A dalam 2 percobaan bebas, jika peluang terjadinya kejadian dalam percobaan tersebut sama dan diketahui M(X) = 1,2.

Mari kita terapkan teorema dari bagian 6.1.2:

M(X) = np

M(X) = 1,2; N= 2. Ayo temukan P:

1,2 = 2∙P

P = 1,2/2

Q = 1 – P = 1 – 0,6 = 0,4

Mari kita cari variansnya menggunakan rumus:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Standar deviasi suatu variabel acak diskrit

Deviasi standar variabel acak X disebut akar kuadrat dari varians.

(25)

Dalil. Simpangan baku dari jumlah sejumlah variabel acak yang saling bebas adalah sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat simpangan baku besaran-besaran tersebut.

6.1.6 Modus dan median suatu variabel acak diskrit

Mode M o DSV nilai yang paling mungkin dari suatu variabel acak disebut (yaitu nilai yang memiliki probabilitas tertinggi)

Median M dan DSV adalah nilai variabel acak yang membagi deret distribusi menjadi dua. Jika banyaknya nilai suatu variabel acak genap, maka mediannya ditemukan sebagai mean aritmatika dari dua nilai rata-rata.

Contoh: Temukan mode dan median DSV X:

X
P	0.2	0.3	0.1	0.4

Aku = = 5,5

Kemajuan pekerjaan

1. Biasakan diri Anda dengan bagian teoretis karya ini (ceramah, buku teks).

2. Selesaikan tugas sesuai versi Anda sendiri.

3. Membuat laporan hasil pekerjaan.

4. Lindungi pekerjaan Anda.

2. Tujuan pekerjaan.

3. Kemajuan pekerjaan.

4. Putuskan pilihan Anda sendiri.

6.4 Pilihan tugas untuk pekerjaan mandiri

Opsi #1

1. Temukan ekspektasi matematis, dispersi, deviasi standar, modus dan median DSV X, yang diberikan oleh hukum distribusi.

X
P	0.1	0.6	0.2	0.1

2. Tentukan ekspektasi matematis dari variabel acak Z jika ekspektasi matematis X dan Y diketahui: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. Tentukan varians DSV X - banyaknya kemunculan kejadian A dalam dua percobaan bebas, jika peluang terjadinya kejadian dalam percobaan tersebut sama dan diketahui M (X) = 1.

4. Daftar nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit diberikan X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3

Opsi No.2

X
P	0.3	0.1	0.2	0.4

2. Tentukan ekspektasi matematis dari variabel acak Z jika ekspektasi matematis X dan Y diketahui: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. Tentukan varians DSV X - banyaknya kemunculan kejadian A dalam tiga percobaan bebas, jika peluang terjadinya kejadian dalam percobaan tersebut sama dan diketahui M (X) = 0,9.

x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10, dan ekspektasi matematis dari nilai ini dan kuadratnya juga diketahui: , . Temukan probabilitas , , , yang sesuai dengan nilai yang mungkin dari , , dan buatlah hukum distribusi DSV.

Opsi #3

1. Temukan ekspektasi matematis, varians, dan deviasi standar DSV X yang diberikan oleh hukum distribusi.

X
P	0.5	0.1	0.2	0.3

2. Tentukan ekspektasi matematis dari variabel acak Z jika ekspektasi matematis X dan Y diketahui: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. Tentukan varians DSV X - banyaknya kemunculan kejadian A dalam empat percobaan bebas, jika peluang terjadinya kejadian dalam percobaan tersebut sama dan diketahui M (x) = 1,2.

4. Daftar nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit X diberikan: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4= 5, dan ekspektasi matematis dari nilai ini dan kuadratnya juga diketahui: , . Temukan probabilitas , , , yang sesuai dengan nilai yang mungkin dari , , dan buatlah hukum distribusi DSV.

Opsi No.4

1. Temukan ekspektasi matematis, varians, dan deviasi standar DSV X yang diberikan oleh hukum distribusi.

– jumlah anak laki-laki di antara 10 bayi baru lahir.

Jelas sekali bahwa jumlah ini tidak diketahui sebelumnya, dan sepuluh anak yang lahir berikutnya mungkin termasuk:

Atau anak laki-laki - satu dan hanya satu dari opsi yang terdaftar.

Dan, agar tetap bugar, sedikit pendidikan jasmani:

– jarak lompat jauh (di beberapa unit).

Bahkan seorang ahli olahraga pun tidak dapat memprediksinya :)

Namun hipotesis Anda?

2) Variabel acak kontinu – menerima Semua nilai numerik dari beberapa interval berhingga atau tak terhingga.

Catatan : V literatur pendidikan singkatan populer DSV dan NSV

Pertama, mari kita analisis variabel acak diskrit, lalu - kontinu.

Hukum distribusi variabel acak diskrit

- Ini korespondensi antara nilai yang mungkin dari besaran ini dan probabilitasnya. Paling sering, hukum ditulis dalam sebuah tabel:

Istilah ini cukup sering muncul baris distribusi, tetapi dalam beberapa situasi kedengarannya ambigu, jadi saya akan tetap berpegang pada "hukum".

Dan sekarang poin yang sangat penting: karena variabel acak Perlu akan menerima salah satu nilai, lalu bentuk acara terkait kelompok penuh dan jumlah peluang terjadinya sama dengan satu:

atau jika ditulis ringkas:

Jadi, misalnya, hukum distribusi probabilitas poin yang dilempar pada sebuah dadu memiliki bentuk sebagai berikut:

Tidak ada komentar.

Anda mungkin mendapat kesan bahwa variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat yang “baik”. Mari kita hilangkan ilusi - mereka bisa berupa apa saja:

Contoh 1

Beberapa permainan memiliki hukum distribusi kemenangan sebagai berikut:

...Anda mungkin sudah lama memimpikan tugas seperti itu :) Saya akan memberi tahu Anda sebuah rahasia - saya juga. Apalagi setelah selesai mengerjakan teori lapangan.

Larutan: karena variabel acak hanya dapat mengambil satu dari tiga nilai, maka kejadian yang bersesuaian akan terbentuk kelompok penuh , yang berarti jumlah probabilitasnya sama dengan satu:

Mengungkap “partisan”:

– jadi, probabilitas memenangkan unit konvensional adalah 0,4.

Pengendalian: itulah yang perlu kami pastikan.

Menjawab:

Bukan hal yang aneh jika Anda perlu membuat undang-undang distribusi sendiri. Untuk ini mereka menggunakan definisi klasik tentang probabilitas, teorema perkalian/penjumlahan untuk probabilitas kejadian dan chip lainnya tervera:

Contoh 2

Kotak itu berisi 50 tiket lotre, di antaranya ada 12 pemenang, dan 2 di antaranya memenangkan masing-masing 1000 rubel, dan sisanya - masing-masing 100 rubel. Buatlah hukum untuk distribusi variabel acak - besarnya kemenangan, jika satu tiket diambil secara acak dari kotak.

Larutan: seperti yang Anda perhatikan, nilai variabel acak biasanya ditempatkan di dalamnya dalam urutan menaik. Oleh karena itu, kita mulai dengan kemenangan terkecil, yaitu rubel.

Total ada 50 tiket seperti itu - 12 = 38, dan menurut definisi klasik:
– kemungkinan tiket yang diambil secara acak akan kalah.

Dalam kasus lain, semuanya sederhana. Peluang memenangkan rubel adalah:

Periksa: – dan ini adalah momen yang sangat menyenangkan untuk melakukan tugas seperti itu!

Menjawab: hukum pembagian kemenangan yang diinginkan:

Tugas berikut ini harus Anda selesaikan sendiri:

Contoh 3

Peluang penembak mengenai sasaran adalah . Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak - jumlah pukulan setelah 2 tembakan.

...Aku tahu kamu merindukannya :) Mari kita ingat teorema perkalian dan penjumlahan. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Hukum distribusi secara lengkap mendeskripsikan variabel acak, namun dalam praktiknya akan berguna (dan terkadang lebih berguna) jika mengetahui hanya sebagian saja. karakteristik numerik .

Ekspektasi variabel acak diskrit

Secara sederhana, ini adalah nilai rata-rata yang diharapkan ketika pengujian diulang berkali-kali. Biarkan variabel acak mengambil nilai dengan probabilitas masing-masing. Maka ekspektasi matematis dari variabel acak ini sama dengan jumlah produk semua nilainya dengan probabilitas yang sesuai:

atau runtuh:

Mari kita hitung, misalnya, ekspektasi matematis dari variabel acak - jumlah poin yang dilempar pada dadu:

Sekarang mari kita mengingat permainan hipotetis kita:

Timbul pertanyaan: apakah menguntungkan memainkan game ini? ...siapa yang punya kesan? Jadi Anda tidak bisa mengatakannya “begitu saja”! Tetapi pertanyaan ini dapat dengan mudah dijawab dengan menghitung ekspektasi matematis, pada dasarnya - rata-rata tertimbang berdasarkan kemungkinan menang:

Demikian ekspektasi matematis dari game ini kekalahan.

Jangan percaya kesan Anda - percayalah pada angka-angkanya!

Ya, di sini Anda bisa menang 10 atau bahkan 20-30 kali berturut-turut, tetapi dalam jangka panjang, kehancuran yang tak terhindarkan menanti kita. Dan saya tidak menyarankan Anda memainkan game seperti itu :) Yah, mungkin saja untuk bersenang-senang.

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa ekspektasi matematis bukan lagi nilai ACAK.

tugas kreatif Untuk penelitian independen:

Contoh 4

Tuan X memainkan roulette Eropa menggunakan sistem berikut: dia terus-menerus bertaruh 100 rubel pada “merah”. Buatlah hukum distribusi variabel acak - kemenangannya. Hitung ekspektasi matematis dari kemenangan dan bulatkan ke kopeck terdekat. Berapa banyak rata-rata Apakah pemain kalah untuk setiap seratus taruhannya?

Referensi : rolet Eropa berisi 18 sektor merah, 18 hitam dan 1 sektor hijau (“nol”). Jika “merah” muncul, pemain dibayar dua kali lipat dari taruhannya, jika tidak maka akan masuk ke pendapatan kasino

Ada banyak sistem roulette lain di mana Anda dapat membuat tabel probabilitas Anda sendiri. Namun hal ini terjadi ketika kita tidak memerlukan hukum atau tabel distribusi apa pun, karena sudah dipastikan bahwa ekspektasi matematis pemain akan sama persis. Satu-satunya hal yang berubah dari sistem ke sistem adalah

Ekspektasi matematis adalah definisinya

Skakmat menunggu adalah salah satu konsep terpenting dalam statistik matematika dan teori probabilitas, yang mencirikan distribusi nilai atau probabilitas variabel acak. Biasanya dinyatakan sebagai rata-rata tertimbang dari semua parameter yang mungkin dari variabel acak. Banyak digunakan dalam analisis teknikal, studi tentang deret angka, dan studi tentang proses yang berkesinambungan dan jangka panjang. Penting dalam menilai risiko, memprediksi indikator harga saat berdagang di pasar keuangan, dan digunakan dalam mengembangkan strategi dan metode taktik permainan di teori perjudian.

Skakmat menunggu- Ini nilai rata-rata variabel acak, distribusi probabilitas variabel acak dipertimbangkan dalam teori probabilitas.

Skakmat menunggu adalah ukuran nilai rata-rata variabel acak dalam teori probabilitas. Skakmat ekspektasi variabel acak X dilambangkan dengan M(x).

Ekspektasi matematis (Rata-rata populasi) adalah

Skakmat menunggu adalah

Skakmat menunggu adalah dalam teori probabilitas, rata-rata tertimbang dari semua nilai yang mungkin diambil oleh variabel acak.

Skakmat menunggu adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas nilai-nilai ini.

Ekspektasi matematis (Rata-rata populasi) adalah

Skakmat menunggu adalah manfaat rata-rata dari suatu keputusan tertentu, asalkan keputusan tersebut dapat dipertimbangkan dalam kerangka teori jumlah besar dan jarak jauh.

Skakmat menunggu adalah dalam teori perjudian, jumlah kemenangan yang dapat diperoleh atau dikalahkan oleh seorang spekulan, secara rata-rata, pada setiap taruhan. Dalam bahasa perjudian spekulan ini terkadang disebut "keuntungan" spekulan" (jika positif bagi spekulan) atau "house edge" (jika negatif bagi spekulan).

Ekspektasi matematis (Rata-rata populasi) adalah

Cookies ini disajikan untuk Presentasi terbaik di Situs Web. Jika Situs Web ini weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OKE