Nilai terbesar (terkecil) suatu fungsi adalah nilai ordinat terbesar (terkecil) yang diterima pada interval yang dipertimbangkan.

Untuk mencari nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi, Anda perlu:

1. Periksa titik stasioner mana yang termasuk dalam segmen tertentu.
2. Hitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner dari langkah 3
3. Pilih nilai terbesar atau terkecil dari hasil yang diperoleh.

Untuk menemukan poin maksimum atau minimum, Anda perlu:

1. Temukan turunan dari fungsi $f"(x)$
2. Temukan titik stasioner dengan menyelesaikan persamaan $f"(x)=0$
3. Faktorkan turunan suatu fungsi.
4. Gambarlah garis koordinat, letakkan titik-titik stasioner di atasnya dan tentukan tanda-tanda turunannya pada interval yang dihasilkan, menggunakan notasi pada langkah 3.
5. Carilah titik maksimum atau minimum sesuai aturan: jika suatu titik turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka ini adalah titik maksimumnya (jika dari minus ke plus, maka ini adalah titik minimum). Dalam praktiknya, lebih mudah menggunakan gambar panah pada interval: pada interval yang turunannya positif, panah ditarik ke atas dan sebaliknya.

Tabel turunan beberapa fungsi dasar:

Fungsi	Turunan
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(dosa^2x)$
$karena^2x$	$-dosa2x$
$dosa^2x$	$dosa2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Aturan dasar diferensiasi

1. Turunan jumlah dan selisih sama dengan turunan masing-masing suku

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Cari turunan dari fungsi $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Turunan jumlah dan selisihnya sama dengan turunan masing-masing suku

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Turunan dari produk.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Cari turunan $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Turunan dari hasil bagi

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Temukan turunan $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Turunan fungsi yang kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi luar dan turunan fungsi dalam

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Tentukan titik minimum dari fungsi $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Temukan ODZ dari fungsi: $x+11>0; x>-11$

2. Tentukan turunan fungsi $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Temukan titik stasioner dengan menyamakan turunannya dengan nol

$(2x+21)/(x+11)=0$

Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Mari kita menggambar garis koordinat, menempatkan titik-titik diam di atasnya dan menentukan tanda-tanda turunannya pada interval yang dihasilkan. Untuk melakukannya, substitusikan bilangan apa pun dari daerah paling kanan ke dalam turunannya, misalnya nol.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Pada titik minimum, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, sehingga titik $-10.5$ adalah titik minimum.

Jawaban: $-10,5$

Menemukan nilai tertinggi fungsi $y=6x^5-90x^3-5$ pada interval $[-5;1]$

1. Temukan turunan dari fungsi $y′=30x^4-270x^2$

2. Samakan turunannya dengan nol dan temukan titik stasionernya

$30x^4-270x^2=0$

Mari kita keluarkan faktor total $30x^2$ dari tanda kurung

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Mari kita samakan setiap faktor dengan nol

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Pilih titik stasioner yang termasuk dalam segmen $[-5;1]$ tertentu

Poin stasioner $x=0$ dan $x=-3$ cocok untuk kita

4. Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung segmen dan pada titik-titik stasioner dari langkah 3

Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi

Nilai terbesar suatu fungsi adalah yang terbesar, nilai terkecil adalah nilai terkecil dari seluruh nilainya.

Suatu fungsi hanya boleh mempunyai satu nilai terbesar dan hanya satu nilai terkecil, atau mungkin tidak mempunyai nilai sama sekali. Mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi berkelanjutan didasarkan pada sifat-sifat berikut dari fungsi-fungsi ini:

1) Jika dalam interval tertentu (berhingga atau tak terhingga) fungsi y=f(x) kontinu dan hanya mempunyai satu ekstrem dan jika maksimum (minimum), maka itu adalah nilai terbesar (terkecil) dari fungsi tersebut dalam interval ini.

2) Jika fungsi f(x) kontinu pada suatu ruas tertentu, maka fungsi tersebut tentu mempunyai nilai terbesar dan terkecil pada ruas tersebut. Nilai-nilai ini dicapai baik pada titik ekstrem yang terletak di dalam segmen, atau pada batas segmen ini.

Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil pada suatu segmen, disarankan menggunakan skema berikut:

1. Temukan turunannya.

2. Temukan titik kritis dari fungsi yang =0 atau tidak ada.

3. Tentukan nilai fungsi pada titik kritis dan ujung ruas dan pilih f max terbesar dan f max terkecil.

Saat menyelesaikan masalah terapan, khususnya masalah optimasi, masalah mencari nilai terbesar dan terkecil (maksimum global dan minimum global) dari suatu fungsi pada interval X adalah penting , pilih variabel independen dan nyatakan nilai yang diteliti melalui variabel ini. Kemudian cari nilai terbesar atau terkecil yang diinginkan dari fungsi yang dihasilkan. Dalam hal ini interval perubahan variabel bebas, baik berhingga maupun tak terhingga, juga ditentukan dari kondisi permasalahan.

Contoh. Tangki yang berbentuk bagian atas terbuka sejajar dengan bagian bawah berbentuk persegi, bagian dalamnya harus dilapisi dengan timah. Berapa ukuran tangki jika kapasitasnya 108 liter? air agar biaya pengalengan minimal?

Larutan. Biaya melapisi tangki dengan timah akan minimal jika, untuk kapasitas tertentu, luas permukaannya minimal. Mari kita nyatakan dengan a dm sisi alasnya, b dm tinggi tangki. Maka luas S permukaannya sama dengan

DAN

Hubungan yang dihasilkan membentuk hubungan antara luas permukaan reservoir S (fungsi) dan sisi alas a (argumen). Mari kita periksa fungsi S secara ekstrim. Mari kita cari turunan pertama, samakan dengan nol dan selesaikan persamaan yang dihasilkan:

Jadi a = 6. (a) > 0 untuk a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Contoh. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada interval.

Larutan: Fungsi yang diberikan kontinu sepanjang garis bilangan. Turunan dari suatu fungsi

Turunan untuk dan untuk . Mari kita hitung nilai fungsi pada titik-titik ini:

.

Nilai fungsi pada ujung-ujung interval tertentu adalah sama. Oleh karena itu, nilai terbesar dari fungsi tersebut sama dengan pada , nilai terkecil dari fungsi tersebut sama dengan pada .

Pertanyaan tes mandiri

1. Merumuskan aturan L'Hopital untuk mengungkap ketidakpastian bentuk. Sebutkan berbagai jenis ketidakpastian yang dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan L'Hopital.

2. Merumuskan tanda-tanda kenaikan dan penurunan fungsi.

3. Menentukan maksimum dan minimum suatu fungsi.

4. Merumuskan kondisi yang diperlukan bagi keberadaan suatu ekstrem.

5. Nilai argumen apa (poin mana) yang disebut kritis? Bagaimana cara menemukan titik-titik tersebut?

6. Apa saja tanda-tanda cukup adanya suatu fungsi ekstrem? Buatlah garis besar skema untuk mempelajari suatu fungsi pada suatu ekstrem menggunakan turunan pertama.

7. Uraikan skema mempelajari suatu fungsi pada suatu ekstrem dengan menggunakan turunan kedua.

8. Definisi kecembungan dan kecekungan suatu kurva.

9. Apa yang disebut titik belok grafik suatu fungsi? Tunjukkan metode untuk menemukan titik-titik ini.

10. Merumuskan tanda-tanda kecembungan dan kecekungan suatu kurva yang perlu dan cukup pada suatu ruas tertentu.

11. Mendefinisikan asimtot suatu kurva. Cara mencari vertikal, horizontal dan asimtot miring grafik fungsi?

12. Garis Besar skema umum meneliti suatu fungsi dan memplot grafiknya.

13. Merumuskan aturan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada interval tertentu.

Biarkan fungsi $z=f(x,y)$ terdefinisi dan kontinu dalam suatu batasan daerah tertutup$D$. Biarkan fungsi tertentu di wilayah ini memiliki turunan parsial berhingga orde pertama (kecuali, mungkin, untuk sejumlah titik berhingga). Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi dua variabel pada suatu daerah tertutup tertentu, diperlukan tiga langkah algoritma sederhana.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=f(x,y)$ dalam domain tertutup $D$.

1. Temukan titik kritis dari fungsi $z=f(x,y)$ milik domain $D$. Hitung nilai fungsi pada titik kritis.
2. Selidiki perilaku fungsi $z=f(x,y)$ pada batas wilayah $D$, temukan titik-titik dari kemungkinan nilai maksimum dan minimum. Hitung nilai fungsi pada titik-titik yang diperoleh.
3. Dari nilai fungsi yang diperoleh pada dua paragraf sebelumnya, pilih yang terbesar dan terkecil.

Apa saja poin kritisnya? tampilkan\sembunyikan

Di bawah poin kritis menyiratkan titik-titik di mana kedua turunan parsial orde pertama sama dengan nol (yaitu $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ dan $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) atau setidaknya satu turunan parsial tidak ada.

Seringkali titik-titik di mana turunan parsial orde pertama sama dengan nol disebut titik stasioner. Jadi, titik stasioner adalah suatu himpunan bagian poin kritis.

Contoh No.1

Carilah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=x^2+2xy-y^2-4x$ pada daerah tertutup yang dibatasi oleh garis $x=3$, $y=0$ dan $y=x +1$.

Kita akan mengikuti cara di atas, tetapi pertama-tama kita akan menggambar suatu luas tertentu, yang akan kita tandai dengan huruf $D$. Kami diberikan persamaan tiga garis lurus yang membatasi daerah tersebut. Garis lurus $x=3$ melalui titik $(3;0)$ sejajar sumbu ordinat (sumbu Oy). Garis lurus $y=0$ merupakan persamaan sumbu absis (sumbu Sapi). Nah, untuk membuat garis $y=x+1$, kita akan mencari dua titik yang melaluinya kita akan menggambar garis tersebut. Anda tentu saja dapat mengganti beberapa nilai arbitrer alih-alih $x$. Misalnya, mengganti $x=10$, kita mendapatkan: $y=x+1=10+1=11$. Kita telah menemukan titik $(10;11)$ terletak pada garis $y=x+1$. Namun, lebih baik mencari titik di mana garis lurus $y=x+1$ memotong garis $x=3$ dan $y=0$. Mengapa ini lebih baik? Karena kita akan membunuh beberapa burung dengan satu batu: kita akan mendapatkan dua titik untuk membuat garis lurus $y=x+1$ dan sekaligus mencari tahu di titik mana garis lurus tersebut memotong garis lain yang membatasi luas tertentu. Garis $y=x+1$ memotong garis $x=3$ di titik $(3;4)$, dan garis $y=0$ berpotongan di titik $(-1;0)$. Agar tidak mengacaukan kemajuan solusi dengan penjelasan tambahan, saya akan mengajukan pertanyaan untuk mendapatkan dua poin ini dalam sebuah catatan.

Bagaimana poin $(3;4)$ dan $(-1;0)$ diperoleh? tampilkan\sembunyikan

Mari kita mulai dari titik potong garis $y=x+1$ dan $x=3$. Koordinat titik yang diinginkan termasuk dalam garis lurus pertama dan kedua, oleh karena itu, untuk mencari koordinat yang tidak diketahui, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \kiri \( \begin(rata) & y=x+1;\\ & x=3. \end(rata) \kanan. $$

Solusi untuk sistem seperti ini sangatlah mudah: dengan mensubstitusi $x=3$ ke dalam persamaan pertama kita akan mendapatkan: $y=3+1=4$. Titik $(3;4)$ adalah titik potong yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $x=3$.

Sekarang mari kita cari titik potong garis $y=x+1$ dan $y=0$. Mari kita kembali menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \kiri \( \begin(rata) & y=x+1;\\ & y=0. \end(rata) \kanan. $$

Mengganti $y=0$ ke persamaan pertama, kita mendapatkan: $0=x+1$, $x=-1$. Titik $(-1;0)$ adalah titik potong yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $y=0$ (sumbu x).

Semuanya siap untuk membuat gambar yang akan terlihat seperti ini:

Pertanyaan tentang catatan itu tampak jelas, karena semuanya terlihat di gambar. Namun perlu diingat bahwa gambar tidak bisa dijadikan bukti. Gambar ini hanya untuk tujuan ilustrasi.

Area kami ditentukan menggunakan persamaan garis yang membatasinya. Jelas sekali, garis-garis ini mendefinisikan sebuah segitiga, bukan? Atau tidak sepenuhnya jelas? Atau mungkin kita diberi luas berbeda, dibatasi oleh garis yang sama:

Tentu saja kondisinya mengatakan area tersebut tertutup sehingga gambar yang ditampilkan tidak tepat. Namun untuk menghindari ambiguitas seperti itu, lebih baik mendefinisikan wilayah berdasarkan kesenjangan. Apakah kita tertarik pada bagian bidang yang terletak di bawah garis lurus $y=x+1$? Oke, jadi $y ≤ x+1$. Haruskah area kita terletak di atas garis $y=0$? Bagus, itu berarti $y ≥ 0$. Omong-omong, dua pertidaksamaan terakhir dapat dengan mudah digabungkan menjadi satu: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \kiri \( \begin(rata) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(rata) \kanan. $$

Ketimpangan ini mendefinisikan wilayah $D$, dan mendefinisikannya secara jelas, tanpa menimbulkan ambiguitas. Namun bagaimana hal ini membantu kita menjawab pertanyaan yang disebutkan di awal catatan ini? Ini juga akan membantu :) Kita perlu memeriksa apakah titik $M_1(1;1)$ termasuk dalam area $D$. Mari kita substitusikan $x=1$ dan $y=1$ ke dalam sistem ketidaksetaraan yang mendefinisikan wilayah ini. Jika kedua pertidaksamaan tersebut terpenuhi, maka titik tersebut terletak di dalam daerah tersebut. Jika paling sedikit salah satu pertidaksamaan tersebut tidak terpenuhi, maka titik tersebut bukan milik daerah. Jadi:

$$ \kiri \( \begin(rata) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(rata) \kanan. \;\; \kiri \( \begin(rata) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(rata) \kanan $$.

Kedua ketidaksetaraan itu valid. Titik $M_1(1;1)$ milik wilayah $D$.

Sekarang saatnya mempelajari perilaku fungsi pada batas wilayah, yaitu. ayo pergi ke. Mari kita mulai dengan garis lurus $y=0$.

Garis lurus $y=0$ (sumbu absis) membatasi daerah $D$ dengan syarat $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita substitusikan $y=0$ ke dalam fungsi yang diberikan $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Kami menyatakan fungsi dari satu variabel $x$ yang diperoleh sebagai hasil substitusi sebagai $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sekarang untuk fungsi $f_1(x)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita cari turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2.$$

Nilai $x=2$ termasuk dalam segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, jadi kita juga akan menambahkan $M_2(2;0)$ ke daftar poin. Selain itu, mari kita hitung nilai fungsi $z$ di ujung segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, yaitu. di titik $M_3(-1;0)$ dan $M_4(3;0)$. Omong-omong, jika titik $M_2$ tidak termasuk dalam segmen yang dipertimbangkan, tentu saja, nilai fungsi $z$ di dalamnya tidak perlu dihitung.

Jadi, mari kita hitung nilai fungsi $z$ di titik $M_2$, $M_3$, $M_4$. Anda tentu saja dapat mengganti koordinat titik-titik ini ke dalam ekspresi awal $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Misalnya, untuk poin $M_2$ kita mendapatkan:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Namun perhitungannya bisa sedikit disederhanakan. Untuk melakukan ini, perlu diingat bahwa pada segmen $M_3M_4$ kita memiliki $z(x,y)=f_1(x)$. Saya akan menuliskannya secara detail:

\mulai(sejajar) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(sejajar)

Tentu saja, catatan rinci seperti itu biasanya tidak diperlukan, dan di masa depan kami akan menuliskan semua perhitungan secara singkat:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sekarang mari kita beralih ke garis lurus $x=3$. Garis lurus ini membatasi daerah $D$ dengan syarat $0 ≤ y ≤ 4$. Mari kita substitusikan $x=3$ ke dalam fungsi $z$ yang diberikan. Sebagai hasil dari substitusi ini kita mendapatkan fungsi $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Untuk fungsi $f_2(y)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada interval $0 ≤ y ≤ 4$. Mari kita cari turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Nilai $y=3$ termasuk dalam segmen $0 ≤ y ≤ 4$, jadi kita juga akan menambahkan $M_5(3;3)$ ke titik yang ditemukan sebelumnya. Selain itu, Anda perlu menghitung nilai fungsi $z$ pada titik-titik di ujung segmen $0 ≤ y ≤ 4$, yaitu. di titik $M_4(3;0)$ dan $M_6(3;4)$. Pada titik $M_4(3;0)$ kita telah menghitung nilai $z$. Mari kita hitung nilai fungsi $z$ di titik $M_5$ dan $M_6$. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa pada segmen $M_4M_6$ kita memiliki $z(x,y)=f_2(y)$, oleh karena itu:

\mulai(sejajar) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(sejajar)

Dan terakhir, perhatikan batas terakhir wilayah $D$, yaitu. garis lurus $y=x+1$. Garis lurus ini membatasi daerah $D$ dengan syarat $-1 ≤ x ≤ 3$. Mengganti $y=x+1$ ke dalam fungsi $z$, kita akan mendapatkan:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Sekali lagi kita memiliki fungsi dari satu variabel $x$. Dan sekali lagi kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi ini pada interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita cari turunan dari fungsi $f_(3)(x)$ dan samakan dengan nol:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1.$$

Nilai $x=1$ termasuk dalam interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Jika $x=1$, maka $y=x+1=2$. Mari tambahkan $M_7(1;2)$ ke daftar poin dan cari tahu berapa nilai fungsi $z$ pada titik ini. Titik di ujung ruas $-1 ≤ x ≤ 3$, mis. poin $M_3(-1;0)$ dan $M_6(3;4)$ telah dipertimbangkan sebelumnya, kami telah menemukan nilai fungsi di dalamnya.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Langkah kedua dari solusi selesai. Kami menerima tujuh nilai:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Mari kita beralih ke. Memilih nilai terbesar dan terkecil dari angka-angka yang diperoleh pada paragraf ketiga, kita akan mendapatkan:

$$z_(menit)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Masalahnya sudah terpecahkan, tinggal menuliskan jawabannya.

Menjawab: $z_(menit)=-4; \; z_(maks)=6$.

Contoh No.2

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=x^2+y^2-12x+16y$ pada daerah $x^2+y^2 ≤ 25$.

Pertama, mari kita membuat gambar. Persamaan $x^2+y^2=25$ (ini adalah garis batas suatu luas tertentu) mendefinisikan sebuah lingkaran dengan pusat di titik asal (yaitu di titik $(0;0)$) dan berjari-jari 5. Pertidaksamaan $x^2 +y^2 ≤ $25 memenuhi semua titik di dalam dan pada lingkaran tersebut.

Kami akan bertindak sesuai dengan. Mari kita cari turunan parsial dan cari tahu titik kritisnya.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Tidak ada titik di mana turunan parsial yang ditemukan tidak ada. Mari kita cari tahu di titik mana kedua turunan parsial sama dengan nol secara bersamaan, yaitu. mari kita cari titik stasioner.

$$ \kiri \( \begin(rata) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(rata) \kanan. \;\; \kiri \( \begin(rata) & x =6;\\ & y=-8.\end(sejajar) \kanan $$.

Kita telah memperoleh titik stasioner $(6;-8)$. Namun, titik yang ditemukan bukan milik wilayah $D$. Ini mudah untuk ditunjukkan bahkan tanpa harus menggambar. Mari kita periksa apakah pertidaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$ berlaku, yang mendefinisikan wilayah kita $D$. Jika $x=6$, $y=-8$, maka $x^2+y^2=36+64=100$, mis. pertidaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$ tidak berlaku. Kesimpulan: titik $(6;-8)$ bukan termasuk area $D$.

Jadi, tidak ada titik kritis di dalam wilayah $D$. Mari kita lanjutkan ke... Kita perlu mempelajari perilaku suatu fungsi pada batas suatu wilayah tertentu, mis. pada lingkaran $x^2+y^2=25$. Tentu saja kita dapat menyatakan $y$ dalam bentuk $x$, dan kemudian mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam fungsi $z$. Dari persamaan lingkaran kita mendapatkan: $y=\sqrt(25-x^2)$ atau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Mengganti, misalnya, $y=\sqrt(25-x^2)$ ke dalam fungsi yang diberikan, kita akan mendapatkan:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5.$$

Penyelesaian selanjutnya akan sepenuhnya identik dengan mempelajari perilaku fungsi pada batas daerah pada contoh No. 1 sebelumnya. Namun, menurut saya lebih masuk akal untuk menerapkan metode Lagrange dalam situasi ini. Kami hanya akan tertarik pada bagian pertama dari metode ini. Setelah menerapkan bagian pertama metode Lagrange, kita akan memperoleh titik di mana kita akan memeriksa fungsi $z$ untuk nilai minimum dan maksimum.

Kami membuat fungsi Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Kami menemukan turunan parsial dari fungsi Lagrange dan menyusun sistem persamaan yang sesuai:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \kiri \( \begin (sejajar) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \kiri \( \begin(rata) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( sejajar)\kanan.$ $

Untuk mengatasi sistem ini, mari kita segera tunjukkan bahwa $\lambda\neq -1$. Mengapa $\lambda\neq -1$? Mari kita coba substitusikan $\lambda=-1$ ke dalam persamaan pertama:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Kontradiksi $0=6$ yang dihasilkan menunjukkan bahwa nilai $\lambda=-1$ tidak dapat diterima. Keluaran: $\lambda\neq -1$. Mari kita nyatakan $x$ dan $y$ dalam bentuk $\lambda$:

\mulai(sejajar) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(sejajar)

Saya yakin di sini menjadi jelas mengapa kami secara khusus menetapkan kondisi $\lambda\neq -1$. Hal ini dilakukan untuk menyesuaikan ekspresi $1+\lambda$ ke dalam penyebut tanpa gangguan. Yaitu, untuk memastikan bahwa penyebutnya $1+\lambda\neq 0$.

Mari kita gantikan ekspresi yang dihasilkan untuk $x$ dan $y$ ke dalam persamaan ketiga sistem, yaitu. dalam $x^2+y^2=25$:

$$ \kiri(\frac(6)(1+\lambda) \kanan)^2+\kiri(\frac(-8)(1+\lambda) \kanan)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Dari persamaan yang dihasilkan maka $1+\lambda=2$ atau $1+\lambda=-2$. Oleh karena itu kita mempunyai dua nilai parameter $\lambda$, yaitu: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Oleh karena itu, kita mendapatkan dua pasang nilai $x$ dan $y$:

\begin(sejajar) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(sejajar)

Jadi, kami memperoleh dua titik dari kemungkinan ekstrem bersyarat, yaitu. $M_1(3;-4)$ dan $M_2(-3;4)$. Mari kita cari nilai fungsi $z$ di titik $M_1$ dan $M_2$:

\mulai(sejajar) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(sejajar)

Kita harus memilih nilai terbesar dan terkecil dari yang kita peroleh pada langkah pertama dan kedua. Namun dalam hal ini pilihannya kecil :) Kami punya:

$$ z_(menit)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Menjawab: $z_(menit)=-75; \; z_(maks)=$125.

Studi tentang objek analisis matematis seperti suatu fungsi sangatlah penting arti dan di bidang ilmu pengetahuan lainnya. Misalnya, di analisis ekonomi perilaku terus-menerus perlu dinilai fungsi keuntungan, yaitu menentukan sebesar-besarnya arti dan mengembangkan strategi untuk mencapainya.

instruksi

Studi tentang perilaku apa pun harus selalu dimulai dengan pencarian domain definisi. Biasanya, berdasarkan kondisi masalah tertentu, perlu ditentukan masalah terbesar arti fungsi baik di seluruh wilayah ini, atau pada interval tertentu dengan batas terbuka atau tertutup.

Berdasarkan , yang terbesar adalah arti fungsi y(x0), yang mana untuk titik mana pun dalam domain definisi, pertidaksamaan y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) berlaku. Secara grafis, titik ini akan menjadi yang tertinggi jika nilai argumen ditempatkan pada sumbu absis, dan fungsi itu sendiri ditempatkan pada sumbu ordinat.

Untuk menentukan yang terbesar arti fungsi, ikuti algoritma tiga langkah. Harap dicatat bahwa Anda harus bisa mengerjakan satu sisi dan , serta menghitung turunannya. Jadi, misalkan suatu fungsi y(x) diberikan dan Anda perlu mencari fungsi terbesarnya arti pada interval tertentu dengan nilai batas A dan B.

Cari tahu apakah interval ini termasuk dalam cakupan definisi fungsi. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukannya dengan mempertimbangkan semua kemungkinan batasan: keberadaan pecahan dalam ekspresi, akar kuadrat dll. Domain definisi adalah himpunan nilai argumen yang fungsinya masuk akal. Tentukan apakah interval tertentu merupakan bagian dari interval tersebut. Jika ya, lanjutkan ke langkah berikutnya.

Temukan turunannya fungsi dan selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan menyamakan turunannya dengan nol. Dengan cara ini Anda akan mendapatkan nilai yang disebut titik stasioner. Evaluasi apakah paling sedikit salah satunya termasuk dalam interval A, B.

Pada tahap ketiga, pertimbangkan titik-titik ini dan substitusikan nilainya ke dalam fungsi. Tergantung pada jenis interval, lakukan langkah tambahan berikut. Jika ada segmen berbentuk [A, B], titik batasnya termasuk dalam interval; Hitung Nilai fungsi untuk x = A dan x = B. Jika intervalnya terbuka (A, B), nilai batasnya tertusuk, yaitu. tidak termasuk di dalamnya. Selesaikan limit satu sisi untuk x→A dan x→B. Interval gabungan berbentuk [A, B) atau (A, B), yang salah satu batasnya termasuk dalam interval tersebut, sedangkan batas lainnya tidak termasuk dalam interval tersebut. Tentukan limit satu sisi karena x cenderung ke nilai yang tertusuk, dan substitusikan yang lain ke dalam fungsi. Interval dua sisi tak hingga (-∞, +∞) atau interval tak hingga satu sisi yang bentuknya: , (-∞, B). Untuk limit real A dan B, lanjutkan sesuai prinsip yang telah dijelaskan, dan untuk tak terhingga, carilah limit masing-masing x→-∞ dan x→+∞.

Tugas pada tahap ini

Dan untuk mengatasinya, Anda memerlukan pengetahuan minimal tentang topik tersebut. Satu tahun ajaran lagi telah berakhir, semua orang ingin pergi berlibur, dan untuk mendekatkan momen ini, saya akan langsung ke intinya:

Mari kita mulai dengan areanya. Daerah yang dimaksud dalam kondisi tersebut adalah terbatas tertutup kumpulan titik pada suatu bidang. Misalnya himpunan titik-titik yang dibatasi oleh suatu segitiga, termasuk segitiga SELURUH (jika dari perbatasan“tusuk” minimal satu titik, maka wilayah tersebut tidak akan ditutup lagi). Dalam praktiknya, ada juga bidang yang berbentuk persegi panjang, bulat, dan sedikit lebih rumit. Perlu dicatat bahwa dalam teori analisis matematis definisi yang ketat diberikan keterbatasan, isolasi, batasan, dll., tapi menurut saya semua orang mengetahui konsep ini pada tingkat intuitif, dan sekarang tidak diperlukan lagi.

Daerah datar secara standar dilambangkan dengan surat itu , dan, sebagai suatu peraturan, ditentukan secara analitis - dengan beberapa persamaan (belum tentu linier); lebih jarang kesenjangan. Kata-kata yang umum: “area tertutup, dibatasi oleh garis ».

Bagian integral dari tugas yang sedang dipertimbangkan adalah konstruksi suatu area dalam gambar. Bagaimana cara melakukan ini? Anda perlu menggambar semua garis yang terdaftar (dalam hal ini 3 lurus) dan menganalisis apa yang terjadi. Area yang dicari biasanya diberi sedikit bayangan, dan batasnya ditandai dengan garis tebal:


Area yang sama juga dapat diatur kesenjangan linier: , yang karena alasan tertentu sering kali ditulis sebagai daftar yang disebutkan, bukan sistem.
Karena batas itu milik daerah, maka segala ketimpangan tentu saja tidak ada. longgar.

Dan sekarang inti masalahnya. Bayangkan sumbunya keluar lurus ke arah Anda dari titik asal. Pertimbangkan fungsi itu kontinu di masing-masing titik daerah. Grafik fungsi ini mewakili beberapa permukaan, dan kebahagiaan kecilnya adalah untuk menyelesaikan masalah saat ini kita tidak perlu mengetahui seperti apa permukaannya. Letaknya bisa lebih tinggi, lebih rendah, melintasi bidang - semua ini tidak masalah. Dan yang berikut ini penting: menurut Teorema Weierstrass, kontinu V terbatas tertutup dimana fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya (paling atas") dan yang paling sedikit (“yang “terendah”) nilai-nilai yang perlu ditemukan. Nilai-nilai seperti itu tercapai atau V titik stasioner, milik wilayah tersebutD , atau di titik-titik yang terletak di perbatasan daerah ini. Hal ini mengarah pada algoritma solusi yang sederhana dan transparan:

Contoh 1

Di area tertutup terbatas

Larutan: Pertama-tama, Anda perlu menggambarkan area pada gambar. Sayangnya, secara teknis sulit bagi saya untuk membuat model interaktif dari permasalahan tersebut, oleh karena itu saya akan segera menyajikan ilustrasi akhir yang menunjukkan semua poin “mencurigakan” yang ditemukan selama penelitian. Mereka biasanya dicantumkan satu demi satu saat ditemukan:

Berdasarkan pembukaan, keputusan tersebut secara mudah dapat dibagi menjadi dua poin:

I) Temukan titik stasioner. Ini adalah tindakan standar yang kami lakukan berulang kali di kelas. tentang ekstrem dari beberapa variabel:

Ditemukan titik stasioner milik bidang: (tandai pada gambar), yang berarti kita harus menghitung nilai fungsi pada suatu titik tertentu:

- seperti di artikel Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen, saya akan menyorot hasil penting dengan huruf tebal. Lebih mudah untuk menjiplaknya di buku catatan dengan pensil.

Perhatikan kebahagiaan kedua kita - tidak ada gunanya memeriksanya kondisi cukup untuk ekstrem. Mengapa? Bahkan jika suatu titik fungsi tersebut tercapai, misalnya, minimum lokal, maka ini BUKAN BERARTI nilai yang dihasilkan akan seperti itu minimal di seluruh wilayah (lihat awal pelajaran tentang ekstrem tanpa syarat) .

Apa yang harus dilakukan jika titik stasioner BUKAN milik wilayah tersebut? Hampir tidak ada apa-apa! Perlu dicatat itu dan lanjutkan ke poin berikutnya.

II) Kami menjelajahi perbatasan wilayah.

Karena batasnya terdiri dari sisi-sisi segitiga, maka akan lebih mudah untuk membagi penelitian menjadi 3 subbagian. Tapi lebih baik tidak melakukannya. Dari sudut pandang saya, pertama-tama lebih menguntungkan untuk mempertimbangkan segmen-segmen yang sejajar dengan sumbu koordinat, dan pertama-tama, segmen-segmen yang terletak pada sumbu itu sendiri. Untuk memahami keseluruhan urutan dan logika tindakan, cobalah mempelajari akhir cerita “dalam satu tarikan napas”:

1) Mari kita lihat sisi bawah segitiga. Untuk melakukan ini, substitusikan langsung ke dalam fungsi:

Alternatifnya, Anda dapat melakukannya seperti ini:

Secara geometris, ini berarti bidang koordinat (yang juga diberikan oleh persamaan)"mengukir" dari permukaan parabola "spasial", yang puncaknya langsung dicurigai. Mari kita cari tahu dimana dia berada:

– nilai yang dihasilkan “jatuh” ke dalam area tersebut, dan mungkin saja terjadi pada titik tersebut (ditandai pada gambar) fungsinya mencapai nilai terbesar atau terkecil di seluruh wilayah. Dengan satu atau lain cara, mari kita lakukan perhitungan:

“Kandidat” lainnya, tentu saja, adalah ujung dari segmen tersebut. Mari kita hitung nilai fungsi pada titik (ditandai pada gambar):

Di sini, omong-omong, Anda dapat melakukan pemeriksaan kecil lisan menggunakan versi "dipreteli":

2) Untuk mempelajari sisi kanan segitiga, substitusikan ke dalam fungsi dan “urutkan”:

Di sini kita akan segera melakukan pemeriksaan kasar, “membunyikan” ujung segmen yang sudah diproses:
, Besar.

Situasi geometris terkait dengan poin sebelumnya:

– nilai yang dihasilkan juga “masuk ke dalam lingkup kepentingan kita”, yang berarti kita perlu menghitung berapa fungsi pada titik yang muncul sama dengan:

Mari kita periksa ujung kedua segmen ini:

Menggunakan fungsi , mari kita lakukan pemeriksaan kontrol:

3) Mungkin semua orang bisa menebak bagaimana cara menjelajahi sisi yang tersisa. Kami menggantinya ke dalam fungsi dan melakukan penyederhanaan:

Ujung segmen sudah diteliti, namun pada draftnya masih kami cek apakah sudah menemukan fungsinya dengan benar :
– bertepatan dengan hasil sub-ayat ke-1;
– bertepatan dengan hasil sub-paragraf ke-2.

Masih mencari tahu apakah ada sesuatu yang menarik di dalam segmen tersebut:

- Ada! Mengganti garis lurus ke dalam persamaan, kita mendapatkan ordinat dari “ketertarikan” ini:

Kami menandai suatu titik pada gambar dan menemukan nilai fungsi yang sesuai:

Mari kita periksa perhitungannya menggunakan versi “anggaran”. :
, memesan.

Dan langkah terakhir: Kami dengan HATI-HATI memeriksa semua angka yang “tebal”, saya sarankan agar para pemula membuat satu daftar saja:

dari mana kita memilih nilai terbesar dan terkecil. Menjawab Mari kita tuliskan sesuai gaya masalah penemuannya nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen:

Untuk berjaga-jaga, saya akan mengomentari sekali lagi arti geometris dari hasilnya:
– inilah titik tertinggi permukaan di wilayah tersebut;
– ini adalah titik terendah dari permukaan di area tersebut.

Dalam tugas yang dianalisis, kami mengidentifikasi 7 poin yang “mencurigakan”, tetapi jumlahnya bervariasi dari satu tugas ke tugas lainnya. Untuk wilayah segitiga, "kumpulan penelitian" minimum terdiri dari tiga poin. Ini terjadi ketika suatu fungsi, misalnya, menentukan pesawat– jelas sekali bahwa tidak ada titik stasioner, dan fungsi tersebut hanya dapat mencapai nilai maksimum/terkecilnya pada titik sudut segitiga. Tetapi hanya ada satu atau dua contoh serupa - biasanya Anda harus berurusan dengan beberapa contoh permukaan orde ke-2.

Jika Anda menyelesaikan tugas seperti itu sedikit, maka segitiga dapat membuat kepala Anda pusing, dan itulah mengapa saya telah menyiapkan contoh yang tidak biasa bagi Anda untuk menjadikannya persegi :))

Contoh 2

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu area tertutup yang dibatasi oleh garis

Contoh 3

Temukan nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi dalam daerah tertutup terbatas.

Berikan perhatian khusus pada tatanan rasional dan teknik mempelajari batas wilayah, serta rantai pemeriksaan perantara, yang hampir sepenuhnya menghindari kesalahan komputasi. Secara umum, Anda dapat menyelesaikannya sesuka Anda, tetapi dalam beberapa masalah, misalnya pada Contoh 2, ada kemungkinan membuat hidup Anda jauh lebih sulit. Contoh contoh tugas akhir di akhir pembelajaran.

Mari kita mensistematisasikan algoritme solusinya, jika tidak, dengan ketekunan saya sebagai laba-laba, algoritme tersebut entah bagaimana akan hilang dalam rangkaian panjang komentar pada contoh pertama:

– Pada langkah pertama, kita membangun area tersebut, disarankan untuk mengarsirnya dan menyorot perbatasan dengan garis tebal. Selama penyelesaian, akan muncul titik-titik yang perlu ditandai pada gambar.

– Temukan titik stasioner dan hitung nilai fungsinya hanya pada mereka yang termasuk dalam wilayah tersebut. Kami menyorot nilai yang dihasilkan dalam teks (misalnya, lingkari dengan pensil). Jika suatu titik stasioner BUKAN milik wilayah tersebut, maka kami menandai fakta ini dengan ikon atau secara lisan. Jika tidak ada titik stasioner sama sekali, maka kita menarik kesimpulan tertulis bahwa titik tersebut tidak ada. Bagaimanapun, poin ini tidak boleh dilewati!

– Kami sedang menjelajahi perbatasan wilayah. Pertama, memahami garis lurus yang sejajar dengan sumbu koordinat akan bermanfaat (jika ada sama sekali). Kami juga menyoroti nilai fungsi yang dihitung pada titik “mencurigakan”. Banyak yang telah dikatakan di atas tentang teknik solusi dan hal lain akan dikatakan di bawah - baca, baca ulang, selidiki!

– Dari bilangan yang dipilih, pilih nilai terbesar dan terkecil dan berikan jawabannya. Terkadang suatu fungsi mencapai nilai tersebut di beberapa titik sekaligus - dalam hal ini, semua poin ini harus tercermin dalam jawabannya. Misalkan, dan ternyata ini adalah nilai terkecil. Lalu kami menuliskannya

Contoh terakhir mencakup ide-ide berguna lainnya yang akan berguna dalam praktik:

Contoh 4

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di daerah tertutup .

Saya mengingatkan Anda bahwa dengan nonlinier kami menemukan ketidaksetaraan pada , dan jika Anda tidak memahami arti geometris dari notasi tersebut, mohon jangan menunda dan memperjelas situasinya sekarang ;-)

Larutan, seperti biasa, dimulai dengan membangun area yang mewakili semacam “satu-satunya”:

Hmm, terkadang Anda tidak hanya harus mengunyah granit ilmu pengetahuan saja...

I) Temukan titik stasioner:

Sistem ini adalah impian orang bodoh :)

Suatu titik stasioner termasuk dalam wilayah, yaitu terletak pada batasnya.

Jadi, tidak apa-apa... pelajarannya berjalan dengan baik - inilah arti minum teh yang benar =)

II) Kami menjelajahi perbatasan wilayah. Tanpa basa-basi lagi, mari kita mulai dengan sumbu x:

1) Jika , maka

Mari kita cari letak titik puncak parabola:
– hargai momen-momen seperti itu – Anda telah “mencapai” titik di mana semuanya sudah jelas. Namun kami tetap tidak lupa untuk memeriksa:

Mari kita hitung nilai fungsi di ujung segmen:

2) Mari kita berurusan dengan bagian bawah "satu-satunya" "dalam satu kesempatan" - tanpa kerumitan apa pun, kita substitusikan ke dalam fungsi, dan kita hanya akan tertarik pada segmennya:

Kontrol:

Hal ini sudah membawa keseruan dalam berkendara monoton di sepanjang jalur knurled. Mari kita temukan poin-poin penting:

Mari kita putuskan persamaan kuadrat, apakah kamu ingat hal lain tentang ini? ...Namun, ingat, tentu saja, jika tidak, Anda tidak akan membaca baris ini =) Jika dalam dua contoh sebelumnya perhitungan masuk desimal(yang, omong-omong, jarang terjadi), maka yang biasa menunggu kita di sini pecahan biasa. Kami menemukan akar “X” dan menggunakan persamaan tersebut untuk menentukan koordinat “permainan” yang sesuai dari titik “kandidat”:


Mari kita hitung nilai fungsi pada titik yang ditemukan:

Periksa sendiri fungsinya.

Sekarang kami mempelajari dengan cermat piala yang dimenangkan dan menuliskannya menjawab:

Ini adalah “kandidat”, ini adalah “kandidat”!

Untuk mengatasinya sendiri:

Contoh 5

Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi di area tertutup

Entri dengan kurung kurawal berbunyi seperti ini: “sekumpulan titik sedemikian rupa.”

Terkadang mereka menggunakan contoh seperti itu Metode pengali Lagrange, tapi sepertinya tidak ada kebutuhan nyata untuk menggunakannya. Jadi, misalnya, jika suatu fungsi dengan luas “de” yang sama diberikan, maka setelah disubstitusikan ke dalamnya – dengan turunannya tidak ada kesulitan; Apalagi semuanya disusun dalam “satu garis” (dengan tanda) tanpa perlu mempertimbangkan setengah lingkaran atas dan bawah secara terpisah. Tapi, tentu saja masih ada lagi kasus yang kompleks, dimana tanpa fungsi Lagrange (di mana, misalnya, persamaan lingkarannya sama) Sulit untuk bertahan hidup – sama seperti sulitnya bertahan hidup tanpa istirahat yang cukup!

Selamat bersenang-senang semuanya dan sampai jumpa musim depan!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Larutan: Mari kita gambarkan luas pada gambar: