Temukan sudut tumpul antara garis lurus. Sudut antar garis lurus pada suatu bidang

Saya akan menjelaskan secara singkat. Sudut antara dua garis lurus sama dengan sudut antara vektor arahnya. Jadi, jika Anda berhasil menemukan koordinat vektor arah a = (x 1 ; y 1 ; z 1) dan b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), Anda dapat mencari sudutnya. Lebih tepatnya kosinus sudut menurut rumus:

Mari kita lihat cara kerja rumus ini menggunakan contoh spesifik:

Tugas. Dalam kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, titik E dan F ditandai - masing-masing titik tengah sisi A 1 B 1 dan B 1 C 1. Tentukan sudut antara garis AE dan BF.

Karena rusuk kubus tidak ditentukan, mari kita atur AB = 1. Kita perkenalkan sistem koordinat standar: titik asal berada di titik A, sumbu x, y, z masing-masing diarahkan sepanjang AB, AD dan AA 1. Segmen satuan sama dengan AB = 1. Sekarang mari kita cari koordinat vektor arah garis kita.

Mari kita cari koordinat vektor AE. Untuk ini kita membutuhkan titik A = (0; 0; 0) dan E = (0.5; 0; 1). Karena titik E adalah titik tengah ruas A 1 B 1, maka koordinatnya sama dengan rata-rata aritmatika dari koordinat ujung-ujungnya. Perhatikan bahwa titik asal vektor AE bertepatan dengan titik asal koordinat, jadi AE = (0,5; 0; 1).

Sekarang mari kita lihat vektor BF. Demikian pula kita menganalisis titik B = (1; 0; 0) dan F = (1; 0.5; 1), karena F adalah titik tengah ruas B 1 C 1. Kami memiliki:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Jadi, vektor arahnya sudah siap. Kosinus sudut antar garis lurus adalah kosinus sudut antara vektor-vektor arah, sehingga diperoleh:

Tugas. Dalam prisma segitiga beraturan ABCA 1 B 1 C 1, yang semua rusuknya sama dengan 1, ditandai dengan titik D dan E - masing-masing titik tengah rusuk A 1 B 1 dan B 1 C 1. Tentukan sudut antara garis AD dan BE.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat standar: titik asal berada di titik A, sumbu x diarahkan sepanjang AB, z - sepanjang AA 1. Mari kita arahkan sumbu y sehingga bidang OXY berimpit dengan bidang ABC. Segmen satuan sama dengan AB = 1. Mari kita cari koordinat vektor arah garis yang diinginkan.

Pertama, cari koordinat vektor AD. Perhatikan poin: A = (0; 0; 0) dan D = (0,5; 0; 1), karena D - bagian tengah segmen A 1 B 1. Karena titik asal vektor AD bertepatan dengan titik asal koordinat, maka diperoleh AD = (0,5; 0; 1).

Sekarang mari kita cari koordinat vektor BE. Titik B = (1; 0; 0) mudah dihitung. Dengan titik E - bagian tengah segmen C 1 B 1 - sedikit lebih rumit. Kami memiliki:

Masih mencari kosinus sudut:

Tugas. Dalam prisma heksagonal beraturan ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , yang semua rusuknya sama dengan 1, titik K dan L ditandai - masing-masing titik tengah rusuk A 1 B 1 dan B 1 C 1 . Tentukan sudut antara garis AK dan BL.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat standar untuk sebuah prisma: kita menempatkan titik asal koordinat di pusat alas bawah, sumbu x diarahkan sepanjang FC, sumbu y diarahkan melalui titik tengah segmen AB dan DE, dan z sumbu diarahkan vertikal ke atas. Segmen satuan lagi-lagi sama dengan AB = 1. Mari kita tuliskan koordinat tempat-tempat yang kita minati:

Titik K dan L masing-masing merupakan titik tengah ruas A 1 B 1 dan B 1 C 1, sehingga koordinatnya dicari melalui mean aritmatika. Mengetahui titik-titiknya, kita mencari koordinat vektor arah AK dan BL:

Sekarang mari kita cari kosinus sudutnya:

Tugas. Dalam piramida segi empat beraturan SABCD, yang semua rusuknya sama dengan 1, ditandai dengan titik E dan F - masing-masing titik tengah sisi SB dan SC. Tentukan sudut antara garis AE dan BF.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat standar: titik asal berada di titik A, sumbu x dan y masing-masing diarahkan sepanjang AB dan AD, dan sumbu z diarahkan vertikal ke atas. Segmen satuannya sama dengan AB = 1.

Titik E dan F masing-masing merupakan titik tengah ruas SB dan SC, sehingga koordinatnya dicari sebagai mean aritmatika dari ujung-ujungnya. Mari kita tuliskan koordinat tempat-tempat yang kita minati:
SEBUAH = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Mengetahui titik-titiknya, kita mencari koordinat vektor arah AE dan BF:

Koordinat vektor AE bertepatan dengan koordinat titik E, karena titik A merupakan titik asal. Masih mencari kosinus sudut:

Biarkan garis lurus diberikan dalam ruang aku Dan M. Melalui suatu titik A dalam ruang kita menggambar garis lurus aku 1 || aku Dan M 1 || M(Gbr. 138).

Perhatikan bahwa titik A dapat dipilih secara sembarang, khususnya, titik tersebut dapat terletak pada salah satu garis ini. Jika lurus aku Dan M berpotongan, maka A dapat diambil sebagai titik potong garis-garis tersebut ( aku 1 = aku Dan M 1 = m).

Sudut antar garis yang tidak sejajar aku Dan M disebut nilai terkecil dari sudut yang berdekatan dibentuk oleh garis-garis yang berpotongan aku 1 Dan M 1 (aku 1 || aku, M 1 || M). Sudut antara garis sejajar dianggap sama dengan nol.

Sudut antar garis lurus aku Dan M dinotasikan dengan \(\widehat((l;m))\). Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa jika diukur dalam derajat, maka 0° < \(\topi lebar((l;m)) \) < 90°, dan jika dalam radian, maka 0 < \(\topi lebar((l;m)) \) < π / 2 .

Tugas. Diberikan sebuah kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Gbr. 139).

Tentukan sudut antara garis lurus AB dan DC 1.

Garis lurus AB dan DC 1 berpotongan. Karena garis lurus DC sejajar dengan garis lurus AB, maka sudut antara garis lurus AB dan DC 1 menurut definisinya sama dengan \(\widehat(C_(1)DC)\).

Oleh karena itu, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Langsung aku Dan M dipanggil tegak lurus, jika \(\topi lebar((l;m)) \) = π / 2. Misalnya saja dalam sebuah kubus

Perhitungan sudut antar garis lurus.

Masalah menghitung sudut antara dua garis lurus dalam ruang diselesaikan dengan cara yang sama seperti pada bidang. Mari kita nyatakan dengan φ besar sudut antar garis aku 1 Dan aku 2, dan melalui ψ - besarnya sudut antara vektor arah A Dan B garis lurus ini.

Lalu jika

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Gbr. 206.6), maka φ = 180° - ψ. Jelasnya, dalam kedua kasus persamaan cos φ = |cos ψ| adalah benar. Menurut rumus (kosinus sudut antara vektor bukan nol a dan b sama dengan produk skalar dari vektor-vektor ini dibagi dengan hasil kali panjangnya) yang kita miliki

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

karena itu,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Biarkan garis-garis tersebut diberikan oleh persamaan kanoniknya

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Dan \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Kemudian sudut φ antar garis ditentukan dengan menggunakan rumus

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Jika salah satu garis (atau keduanya) diberikan oleh persamaan non-kanonik, maka untuk menghitung sudut Anda perlu mencari koordinat vektor arah garis-garis tersebut, dan kemudian menggunakan rumus (1).

Tugas 1. Hitung sudut antar garis

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;dan\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Vektor arah garis lurus memiliki koordinat:

a = (-√2 ; √2 ; -2), B = (√3 ; √3 ; √6 ).

Menggunakan rumus (1) kita temukan

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Jadi, sudut antara garis-garis tersebut adalah 60°.

Tugas 2. Hitung sudut antar garis

$$ \begin(kasus)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(kasus) dan \begin(kasus)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(kasus) $$

Di belakang vektor panduan A Pada baris pertama kita ambil hasil kali vektor dari vektor-vektor normal N 1 = (3; 0; -12) dan N 2 = (1; 1; -3) bidang yang membatasi garis ini. Dengan menggunakan rumus \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) kita peroleh

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Demikian pula, kita menemukan vektor arah garis lurus kedua:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Tetapi dengan menggunakan rumus (1) kita menghitung kosinus sudut yang diinginkan:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Jadi, sudut antara garis-garis tersebut adalah 90°.

Tugas 3. Pada piramida segitiga MABC, sisi MA, MB dan MC saling tegak lurus (Gbr. 207);

panjangnya masing-masing 4, 3, 6. Titik D adalah [MA] tengah. Tentukan sudut φ antara garis CA dan DB.

Misalkan CA dan DB adalah vektor arah garis lurus CA dan DB.

Mari kita ambil titik M sebagai titik asal koordinat. Berdasarkan kondisi persamaan kita memiliki A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Oleh karena itu \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Mari kita gunakan rumus (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Dengan menggunakan tabel kosinus, kita mengetahui bahwa sudut antara garis lurus CA dan DB kira-kira 72°.

Akan bermanfaat bagi setiap siswa yang sedang mempersiapkan Ujian Negara Bersatu bidang matematika untuk mengulang topik “Mencari sudut antara garis lurus”. Statistik menunjukkan bahwa ketika lulus ujian sertifikasi, tugas-tugas di bagian stereometri ini menyebabkan kesulitan bagi banyak siswa. Pada saat yang sama, tugas-tugas yang memerlukan pencarian sudut antara garis lurus ditemukan dalam Ujian Negara Terpadu baik dasar maupun tingkat profil. Artinya setiap orang harus bisa menyelesaikannya.

Highlight

Ada 4 jenis posisi relatif garis dalam ruang. Mereka bisa bertepatan, berpotongan, sejajar atau berpotongan. Sudut di antara keduanya bisa lancip atau lurus.

Untuk mencari sudut antar garis dalam Ujian Negara Terpadu atau misalnya dalam penyelesaian, anak sekolah di Moskow dan kota lain dapat menggunakan beberapa cara untuk menyelesaikan masalah pada bagian stereometri ini. Anda dapat menyelesaikan tugas menggunakan konstruksi klasik. Untuk melakukan ini, ada baiknya mempelajari aksioma dasar dan teorema stereometri. Siswa harus mampu bernalar secara logis dan membuat gambar untuk membawa tugas ke masalah planimetri.

Anda juga dapat menggunakan metode koordinat vektor menggunakan rumus sederhana, aturan dan algoritma. Hal utama dalam hal ini adalah melakukan semua perhitungan dengan benar. Asah keterampilan Anda dalam memecahkan masalah di bidang stereometri dan bidang lainnya kursus sekolah Proyek pendidikan Shkolkovo akan membantu Anda.

instruksi

Harap dicatat

Periode fungsi trigonometri Garis singgungnya sama dengan 180 derajat, artinya sudut kemiringan garis lurus secara absolut tidak boleh melebihi nilai ini.

Saran yang berguna

Jika koefisien sudutnya sama satu sama lain, maka sudut antara garis-garis tersebut adalah 0, karena garis-garis tersebut berimpit atau sejajar.

Untuk menentukan nilai sudut antar garis yang berpotongan, kedua garis (atau salah satunya) perlu dipindahkan ke posisi baru dengan menggunakan metode translasi paralel hingga keduanya berpotongan. Setelah ini, Anda harus mencari sudut antara garis berpotongan yang dihasilkan.

Anda akan membutuhkannya

• Penggaris, segitiga siku-siku, pensil, busur derajat.

instruksi

Jadi, misalkan vektor V = (a, b, c) dan bidang A x + B y + C z = 0, dimana A, B dan C adalah koordinat garis normal N. Maka kosinus sudutnya α antara vektor V dan N sama dengan: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Untuk menghitung sudut dalam derajat atau radian, Anda perlu menghitung invers fungsi kosinus dari ekspresi yang dihasilkan, yaitu. arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Contoh: temukan sudut di antara vektor(5, -3, 8) dan pesawat, diberikan persamaan umum 2 x – 5 y + 3 z = 0. Penyelesaian: tuliskan koordinat vektor normal bidang N = (2, -5, 3). Gantikan semuanya nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus yang diberikan: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video tentang topik tersebut

Garis lurus yang mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran bersinggungan dengan lingkaran. Ciri lain dari garis singgung adalah selalu tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik singgung, yaitu garis singgung dan jari-jari membentuk garis lurus. sudut. Jika dua garis singgung lingkaran AB dan AC ditarik dari satu titik A, maka keduanya selalu sama besar. Menentukan sudut antara garis singgung ( sudut ABC) dibuat dengan menggunakan teorema Pythagoras.

instruksi

Untuk menentukan sudut, Anda perlu mengetahui jari-jari lingkaran OB dan OS serta jarak titik awal garis singgung dari pusat lingkaran - O. Jadi, sudut ABO dan ACO sama besar, jari-jari OB adalah, misal 10 cm, dan jarak ke pusat lingkaran AO adalah 15 cm. Tentukan panjang garis singgung menggunakan rumus sesuai teorema Pythagoras: AB = akar kuadrat dari AO2 – OB2 atau 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

Materi ini dikhususkan untuk konsep sudut antara dua garis yang berpotongan. Di paragraf pertama kami akan menjelaskan apa itu dan menunjukkannya dalam ilustrasi. Kemudian kita akan melihat bagaimana Anda dapat menemukan sinus, kosinus dari sudut ini dan sudut itu sendiri (kami akan mempertimbangkan secara terpisah kasus-kasus dengan bidang dan ruang tiga dimensi), kami akan memberikan rumus yang diperlukan dan menunjukkan dengan contoh bagaimana tepatnya mereka digunakan dalam praktik.

Yandex.RTB RA-339285-1

Untuk memahami besarnya sudut yang terbentuk pada perpotongan dua garis, kita perlu mengingat pengertian sudut, tegak lurus, dan titik potong.

Definisi 1

Kita menyebut dua garis berpotongan jika keduanya mempunyai satu poin umum. Titik ini disebut titik potong dua garis.

Setiap garis lurus dibagi oleh titik potong menjadi sinar-sinar. Kedua garis lurus tersebut membentuk 4 sudut, dua diantaranya vertikal dan dua lagi berdekatan. Jika kita mengetahui ukuran salah satunya, maka kita dapat menentukan sisanya.

Katakanlah kita mengetahui bahwa salah satu sudutnya sama dengan α. Dalam hal ini, sudut vertikal terhadapnya juga akan sama dengan α. Untuk mencari sudut yang tersisa, kita perlu menghitung selisih 180° - . Jika α sama dengan 90 derajat, maka semua sudut siku-siku. Garis yang berpotongan tegak lurus disebut tegak lurus (artikel terpisah dikhususkan untuk konsep tegak lurus).

Lihatlah gambar:

Mari kita beralih ke merumuskan definisi utama.

Definisi 2

Sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan adalah besar sudut yang lebih kecil dari 4 sudut yang membentuk kedua garis tersebut.

Kesimpulan penting harus ditarik dari definisi tersebut: besar sudut dalam hal ini akan dinyatakan dengan bilangan real apa pun dalam interval (0, 90). Jika garis-garisnya tegak lurus, maka sudut di antara keduanya akan tetap sama. sama dengan 90 derajat.

Kemampuan mencari besar sudut antara dua garis yang berpotongan berguna untuk memecahkan banyak masalah praktis. Metode penyelesaiannya dapat dipilih dari beberapa pilihan.

Untuk memulainya, kita dapat mengambil metode geometris. Jika kita mengetahui sesuatu tentang sudut-sudut yang saling melengkapi, maka kita dapat mengasosiasikannya dengan sudut yang kita perlukan dengan menggunakan sifat-sifat bangun datar yang sama besar atau sebangun. Misalnya, jika kita mengetahui sisi-sisi suatu segitiga dan perlu menghitung sudut antara garis-garis di mana sisi-sisi tersebut berada, maka teorema kosinus cocok untuk penyelesaian kita. Jika kondisi kita adalah segitiga siku-siku, maka untuk perhitungannya kita juga perlu mengetahui sinus, kosinus, dan tangen sudut tersebut.

Metode koordinat juga sangat cocok untuk memecahkan masalah jenis ini. Mari kami jelaskan cara menggunakannya dengan benar.

Kita mempunyai sistem koordinat persegi panjang (Kartesius) O x y, yang di dalamnya diberikan dua garis lurus. Mari kita nyatakan dengan huruf a dan b. Garis lurus dapat dijelaskan dengan menggunakan beberapa persamaan. Garis asal mempunyai titik potong M. Bagaimana cara menentukan sudut yang diperlukan (sebut saja α) antara garis lurus ini?

Mari kita mulai dengan merumuskan prinsip dasar mencari sudut dalam kondisi tertentu.

Kita mengetahui bahwa konsep garis lurus erat kaitannya dengan konsep vektor arah dan vektor normal. Jika kita mempunyai persamaan garis tertentu, kita dapat mengambil koordinat vektor-vektor tersebut dari persamaan tersebut. Kita bisa melakukan ini untuk dua garis yang berpotongan sekaligus.

Sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan dapat dicari dengan menggunakan:

• sudut antar vektor arah;
• sudut antara vektor normal;
• sudut antara vektor normal suatu garis dan vektor arah garis lainnya.

Sekarang mari kita lihat setiap metode secara terpisah.

1. Misalkan kita mempunyai garis a dengan vektor arah a → = (ax, a y) dan garis b dengan vektor arah b → (b x, b y). Sekarang mari kita gambarkan dua vektor a → dan b → dari titik potong. Setelah ini kita akan melihat bahwa masing-masingnya akan ditempatkan pada garis lurusnya masing-masing. Lalu kita mempunyai empat pilihan untuk pengaturan relatifnya. Lihat ilustrasi:

Jika sudut antara dua vektor tidak tumpul, maka itulah sudut yang kita perlukan antara perpotongan garis a dan b. Jika tumpul, maka sudut yang diinginkan sama dengan sudut yang berdekatan dengan sudut a →, b → ^. Jadi, α = a → , b → ^ jika a → , b → ^ ≤ 90 ° , dan α = 180 ° - a → , b → ^ jika a → , b → ^ > 90 ° .

Berdasarkan fakta bahwa kosinus sudut-sudut yang sama besar adalah sama, kita dapat menulis ulang persamaan yang dihasilkan sebagai berikut: cos α = cos a →, b → ^, jika a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, jika a →, b → ^ > 90°.

Dalam kasus kedua, rumus reduksi digunakan. Dengan demikian,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Mari kita tulis rumus terakhir dengan kata-kata:

Definisi 3

Kosinus sudut yang dibentuk oleh dua garis lurus yang berpotongan sama dengan modulus kosinus sudut antara vektor arahnya.

Bentuk umum rumus kosinus sudut antara dua vektor a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) terlihat seperti ini:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Dari situ kita dapat memperoleh rumus kosinus sudut antara dua garis lurus tertentu:

cos α = a x b x + a y + b ya a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b ya a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Maka sudutnya sendiri dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Di sini a → = (ax , a y) dan b → = (b x , b y) adalah vektor arah dari garis-garis tertentu.

Mari kita beri contoh penyelesaian masalah.

Contoh 1

Dalam sistem koordinat persegi panjang pada suatu bidang, diberikan dua garis berpotongan a dan b. Mereka dapat dijelaskan dengan persamaan parametrik x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R dan x 5 = y - 6 - 3. Hitung sudut antara garis-garis ini.

Larutan

Kita mempunyai persamaan parametrik dalam kondisi kita, artinya untuk garis ini kita dapat langsung menuliskan koordinat vektor arahnya. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil nilai koefisien untuk parameternya, mis. garis lurus x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R mempunyai vektor arah a → = (4, 1).

Baris kedua dijelaskan menggunakan persamaan kanonik x 5 = y - 6 - 3. Di sini kita dapat mengambil koordinat dari penyebutnya. Jadi, garis ini mempunyai vektor arah b → = (5 , - 3) .

Selanjutnya kita langsung mencari sudutnya. Caranya, cukup substitusikan koordinat kedua vektor yang ada ke dalam rumus di atas α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Kami mendapatkan yang berikut:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Menjawab: Garis lurus ini membentuk sudut 45 derajat.

Kita dapat menyelesaikan masalah serupa dengan mencari sudut antara vektor normal. Jika kita mempunyai garis a dengan vektor normal n a → = (n a x , n a y) dan garis b dengan vektor normal n b → = (n b x , n b y), maka sudut antara keduanya sama dengan sudut antara n a → dan n b → atau sudut yang berdekatan dengan n a →, n b → ^. Cara ini ditunjukkan pada gambar:

Rumus untuk menghitung kosinus sudut antara garis berpotongan dan sudut itu sendiri menggunakan koordinat vektor normal adalah sebagai berikut:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Di sini n a → dan n b → menyatakan vektor normal dari dua garis tertentu.

Contoh 2

Dalam sistem koordinat persegi panjang, dua garis lurus ditentukan menggunakan persamaan 3 x + 5 y - 30 = 0 dan x + 4 y - 17 = 0. Temukan sinus dan kosinus sudut di antara keduanya dan besar sudut itu sendiri.

Larutan

Garis asal ditentukan menggunakan persamaan garis normal berbentuk A x + B y + C = 0. Kami menyatakan vektor normal sebagai n → = (A, B). Mari kita cari koordinat vektor normal pertama untuk satu garis dan tuliskan: n a → = (3, 5) . Untuk baris kedua x + 4 y - 17 = 0, vektor normalnya mempunyai koordinat n b → = (1, 4). Sekarang mari tambahkan nilai yang diperoleh ke rumus dan hitung totalnya:

cos α = cos na → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Jika kita mengetahui kosinus suatu sudut, maka kita dapat menghitung sinusnya menggunakan identitas trigonometri dasar. Karena sudut α yang dibentuk oleh garis lurus tidak tumpul, maka sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

Dalam hal ini, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Jawaban: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Mari kita analisis kasus terakhir - mencari sudut antara garis lurus jika kita mengetahui koordinat vektor arah suatu garis lurus dan vektor normal garis lainnya.

Misalkan garis lurus a mempunyai vektor arah a → = (ax , a y) , dan garis lurus b mempunyai vektor normal n b → = (n b x , n b y) . Kita perlu mengesampingkan vektor-vektor ini dari titik perpotongannya dan mempertimbangkan semua opsi untuk posisi relatifnya. Lihat di gambar:

Jika sudut antara vektor yang diberikan tidak lebih dari 90 derajat, ternyata akan melengkapi sudut antara a dan b menjadi siku-siku.

a → , n b → ^ = 90 ° - α jika a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Jika kurang dari 90 derajat, maka diperoleh hasil sebagai berikut:

a → , n b → ^ > 90 ° , maka a → , n b → ^ = 90 ° + α

Dengan menggunakan aturan persamaan kosinus sudut yang sama, kita menulis:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α untuk a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α untuk a → , n b → ^ > 90 ° .

Dengan demikian,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Mari kita merumuskan kesimpulan.

Definisi 4

Untuk mencari sinus sudut antara dua garis yang berpotongan pada suatu bidang, Anda perlu menghitung modulus kosinus sudut antara vektor arah garis pertama dan vektor normal garis kedua.

Mari kita tuliskan rumus yang diperlukan. Mencari sinus suatu sudut:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Menemukan sudut itu sendiri:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Di sini a → adalah vektor arah garis pertama, dan n b → adalah vektor normal garis kedua.

Contoh 3

Dua garis berpotongan diberikan oleh persamaan x - 5 = y - 6 3 dan x + 4 y - 17 = 0. Temukan sudut persimpangan.

Larutan

Kami mengambil koordinat panduan dan vektor normal dari persamaan yang diberikan. Ternyata a → = (- 5, 3) dan n → b = (1, 4). Kita ambil rumus α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 dan hitung:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Harap dicatat bahwa kami mengambil persamaan dari soal sebelumnya dan memperoleh hasil yang persis sama, tetapi dengan cara yang berbeda.

Menjawab:α = a r c sin 7 2 34

Mari kita tunjukkan cara lain untuk mencari sudut yang diinginkan menggunakan koefisien sudut garis lurus tertentu.

Kita mempunyai garis a, yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang menggunakan persamaan y = k 1 x + b 1, dan garis b, yang didefinisikan sebagai y = k 2 x + b 2. Ini adalah persamaan garis lurus dengan kemiringan. Untuk mencari sudut potong, kita menggunakan rumus:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, dimana k 1 dan k 2 adalah koefisien sudut diberi garis lurus. Untuk memperoleh notasi tersebut digunakan rumus penentuan sudut melalui koordinat vektor normal.

Contoh 4

Ada dua garis yang berpotongan pada suatu bidang, diberikan oleh persamaan y = - 3 5 x + 6 dan y = - 1 4 x + 17 4. Hitung nilai sudut potongnya.

Larutan

Koefisien sudut garis kita sama dengan k 1 = - 3 5 dan k 2 = - 1 4. Mari kita tambahkan ke rumus α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 dan hitung:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Menjawab:α = a r c cos 23 2 34

Dalam kesimpulan paragraf ini, perlu diperhatikan bahwa rumus mencari sudut yang diberikan di sini tidak harus dihafal. Untuk melakukan ini, cukup mengetahui koordinat pemandu dan/atau vektor normal dari garis tertentu dan dapat menentukannya dengan jenis yang berbeda persamaan. Namun ada baiknya mengingat atau menuliskan rumus menghitung kosinus suatu sudut.

Cara menghitung sudut antar garis yang berpotongan dalam ruang

Perhitungan sudut tersebut dapat direduksi menjadi menghitung koordinat vektor-vektor arah dan menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut. Untuk contoh seperti itu, alasan yang sama yang kami berikan sebelumnya digunakan.

Misalkan kita mempunyai sistem koordinat persegi panjang yang terletak pada ruang tiga dimensi. Ini berisi dua garis lurus a dan b dengan titik potong M. Untuk menghitung koordinat vektor arah, kita perlu mengetahui persamaan garis-garis tersebut. Mari kita nyatakan vektor arah a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) . Untuk menghitung kosinus sudut di antara keduanya, kita menggunakan rumus:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Untuk mencari sudutnya sendiri, kita membutuhkan rumus berikut:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Contoh 5

Kita mempunyai garis yang didefinisikan dalam ruang tiga dimensi menggunakan persamaan x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Diketahui berpotongan dengan sumbu O z. Hitung sudut potong dan kosinus sudut tersebut.

Larutan

Mari kita nyatakan sudut yang perlu dihitung dengan huruf α. Mari kita tuliskan koordinat vektor arah garis lurus pertama – a → = (1, - 3, - 2) . Untuk penerapan sumbu, kita dapat mengambil vektor koordinat k → = (0, 0, 1) sebagai panduan. Kami telah menerima data yang diperlukan dan dapat menambahkannya ke rumus yang diinginkan:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Hasilnya, kami menemukan bahwa sudut yang kami butuhkan sama dengan a r c cos 1 2 = 45 °.

Menjawab: karena α = 1 2 , α = 45° .

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter