Penentuan sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku. Sinus, kosinus, tangen dan kotangen: definisi trigonometri, contoh, rumus

Para guru berpandangan bahwa setiap siswa harus mampu melakukan perhitungan dan mengetahui rumus-rumus trigonometri, namun tidak semua guru menjelaskan apa itu sinus dan cosinus. Apa artinya, di mana digunakan? Mengapa kita berbicara tentang segitiga, tetapi buku pelajaran menunjukkan lingkaran? Mari kita coba menghubungkan semua fakta bersama-sama.

Mata pelajaran sekolah

Pembelajaran trigonometri biasanya dimulai pada kelas 7-8 sekolah menengah atas. Pada saat ini siswa dijelaskan apa itu sinus dan cosinus serta diminta menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan fungsi-fungsi tersebut. Lebih banyak muncul nanti rumus yang rumit dan ekspresi yang perlu diubah secara aljabar (rumus sudut ganda dan setengah, fungsi daya), pekerjaan dilakukan dengan lingkaran trigonometri.

Namun guru tidak selalu mampu menjelaskan dengan jelas makna konsep yang digunakan dan penerapan rumus. Oleh karena itu, siswa sering kali tidak memahami inti mata pelajaran ini, dan informasi yang dihafalnya cepat terlupakan. Namun, begitu Anda menjelaskan kepada seorang siswa sekolah menengah, misalnya, hubungan antara suatu fungsi dan gerak osilasi, hubungan logis tersebut akan diingat selama bertahun-tahun, dan lelucon tentang tidak bergunanya suatu benda akan menjadi masa lalu.

Penggunaan

Demi rasa penasaran, mari kita lihat berbagai cabang ilmu fisika. Apakah Anda ingin menentukan jangkauan proyektil? Atau apakah Anda sedang menghitung gaya gesekan antara suatu benda dan permukaan tertentu? Mengayunkan pendulum, mengamati sinar yang melewati kaca, menghitung induksi? Konsep trigonometri muncul di hampir semua rumus. Jadi apa itu sinus dan cosinus?

Definisi

Sinus suatu sudut adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring, cosinus adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi miring yang sama. Tidak ada yang rumit di sini. Mungkin siswa biasanya bingung dengan nilai yang dilihatnya pada tabel trigonometri karena menyangkut akar kuadrat. Ya, mendapatkan desimal darinya sangat tidak mudah, tapi siapa bilang semua angka dalam matematika harus sama?

Faktanya, Anda dapat menemukan petunjuk lucu di buku soal trigonometri: sebagian besar jawaban di sini genap dan, dalam kasus terburuk, mengandung akar dua atau tiga. Kesimpulannya sederhana: jika jawaban Anda ternyata berupa pecahan “bertingkat”, periksa kembali solusinya apakah ada kesalahan dalam perhitungan atau penalaran. Dan kemungkinan besar Anda akan menemukannya.

Apa yang perlu diingat

Seperti ilmu pengetahuan lainnya, trigonometri memiliki data yang perlu dipelajari.

Pertama, Anda harus menghafal nilai numerik sinus segitiga siku-siku, cosinus 0 dan 90, serta 30, 45 dan 60 derajat. Indikator-indikator ini terdapat pada sembilan dari sepuluh permasalahan sekolah. Dengan melihat nilai-nilai ini di buku teks, Anda akan kehilangan banyak waktu, dan tidak ada tempat untuk melihatnya selama ujian atau ujian.

Harus diingat bahwa nilai kedua fungsi tidak boleh melebihi satu. Jika dalam perhitungan Anda Anda mendapatkan nilai di luar kisaran 0-1, hentikan dan coba lagi soal tersebut.

Jumlah kuadrat sinus dan cosinus sama dengan satu. Jika Anda sudah menemukan salah satu nilainya, gunakan rumus ini untuk mencari nilai sisanya.

Teorema

Ada dua teorema dasar dalam trigonometri dasar: sinus dan cosinus.

Yang pertama menyatakan bahwa perbandingan masing-masing sisi suatu segitiga dengan sinus sudut yang berhadapan adalah sama. Yang kedua adalah bahwa kuadrat suatu sisi dapat diperoleh dengan menjumlahkan kuadrat dari dua sisi yang tersisa dan mengurangkan hasil kali gandanya dengan kosinus sudut yang terletak di antara kedua sisi tersebut.

Jadi, jika kita substitusikan nilai sudut 90 derajat ke dalam teorema kosinus, kita peroleh... teorema Pythagoras. Sekarang, jika Anda perlu menghitung luas suatu bangun yang bukan segitiga siku-siku, Anda tidak perlu khawatir lagi - kedua teorema yang dibahas akan sangat menyederhanakan penyelesaian masalah.

Tujuan dan sasaran

Mempelajari trigonometri akan menjadi lebih mudah bila Anda menyadari satu fakta sederhana: semua tindakan yang Anda lakukan ditujukan untuk mencapai satu tujuan saja. Parameter segitiga apa pun dapat ditemukan jika Anda mengetahui informasi minimum tentangnya - ini bisa berupa nilai satu sudut dan panjang dua sisi atau, misalnya, tiga sisi.

Untuk menentukan sinus, kosinus, tangen sudut mana pun, data ini cukup, dan dengan bantuannya Anda dapat dengan mudah menghitung luas bangun tersebut. Hampir selalu, jawabannya memerlukan salah satu nilai yang disebutkan, dan nilai tersebut dapat ditemukan menggunakan rumus yang sama.

Inkonsistensi dalam pembelajaran trigonometri

Salah satu pertanyaan membingungkan yang sebaiknya dihindari siswa adalah menemukan hubungan antara berbagai konsep dalam trigonometri. Tampaknya segitiga digunakan untuk mempelajari sinus dan cosinus suatu sudut, tetapi karena alasan tertentu simbol-simbol tersebut sering ditemukan pada gambar dengan lingkaran. Selain itu, ada grafik seperti gelombang yang benar-benar tidak dapat dipahami yang disebut gelombang sinus, yang tidak memiliki kemiripan luar dengan lingkaran atau segitiga.

Selain itu, sudut diukur dalam derajat atau radian, dan angka Pi, yang ditulis hanya sebagai 3,14 (tanpa satuan), untuk beberapa alasan muncul dalam rumus, sesuai dengan 180 derajat. Bagaimana semua ini terhubung?

Satuan pengukuran

Mengapa Pi persisnya 3,14? Apakah Anda ingat apa artinya ini? Ini adalah jumlah jari-jari yang membentuk busur pada setengah lingkaran. Jika diameter lingkaran adalah 2 sentimeter, maka kelilingnya adalah 3,14 * 2, atau 6,28.

Poin kedua: Anda mungkin telah memperhatikan kesamaan antara kata “radian” dan “radius”. Faktanya adalah bahwa satu radian secara numerik sama dengan sudut yang dibentuk dari pusat lingkaran ke busur yang panjangnya satu jari-jari.

Sekarang kita akan menggabungkan pengetahuan yang diperoleh dan memahami mengapa “Pi menjadi dua” ditulis di atas sumbu koordinat dalam trigonometri, dan “Pi” ditulis di sebelah kiri. Ini adalah nilai sudut yang diukur dalam radian, karena setengah lingkaran adalah 180 derajat, atau 3,14 radian. Dan di mana ada derajat, di situ ada sinus dan cosinus. Sangat mudah untuk menggambar segitiga dari titik yang diinginkan dengan menyisihkan segmen ke pusat dan ke sumbu koordinat.

Mari kita melihat ke masa depan

Trigonometri, yang dipelajari di sekolah, berkaitan dengan sistem koordinat bujursangkar, di mana, betapapun anehnya kedengarannya, garis lurus tetaplah garis lurus.

Tapi masih ada lagi cara yang rumit bekerja dengan ruang: jumlah sudut segitiga di sini akan lebih dari 180 derajat, dan garis lurus dalam pandangan kita akan terlihat seperti busur nyata.

Mari beralih dari kata ke tindakan! Ambil sebuah apel. Buatlah tiga potongan dengan pisau sehingga jika dilihat dari atas diperoleh segitiga. Keluarkan potongan apel yang dihasilkan dan lihat “tulang rusuk” di mana kulitnya berakhir. Mereka tidak lurus sama sekali. Buah di tangan Anda secara konvensional bisa disebut bulat, tetapi sekarang bayangkan betapa rumitnya rumus yang dapat digunakan untuk mencari luas potongan. Namun beberapa ahli memecahkan masalah seperti itu setiap hari.

Fungsi trigonometri dalam kehidupan

Pernahkah Anda memperhatikan bahwa rute terpendek pesawat dari titik A ke titik B di permukaan planet kita memiliki bentuk busur yang jelas? Alasannya sederhana: Bumi berbentuk bulat, artinya Anda tidak dapat menghitung banyak menggunakan segitiga - Anda harus menggunakan rumus yang lebih rumit.

Anda tidak dapat melakukannya tanpa sinus/kosinus sudut lancip dalam pertanyaan apa pun yang berkaitan dengan ruang. Menariknya, banyak faktor yang bersatu di sini: fungsi trigonometri diperlukan saat menghitung pergerakan planet dalam lingkaran, elips, dan berbagai lintasan dengan bentuk yang lebih kompleks; proses peluncuran roket, satelit, pesawat ulang-alik, pelepasan kendaraan penelitian; pemantauan bintang yang jauh dan studi tentang galaksi yang tidak dapat dijangkau manusia di masa mendatang.

Secara umum, bidang kegiatan seseorang yang mengetahui trigonometri sangat luas dan tampaknya hanya akan berkembang seiring berjalannya waktu.

Kesimpulan

Hari ini kita mempelajari, atau setidaknya mengulangi, apa itu sinus dan kosinus. Ini adalah konsep yang tidak perlu Anda takuti - cukup inginkan dan Anda akan memahami maknanya. Ingatlah bahwa trigonometri bukanlah tujuan, tetapi hanya alat yang dapat digunakan untuk memenuhi kebutuhan nyata manusia: membangun rumah, menjamin keselamatan lalu lintas, bahkan menjelajahi luasnya alam semesta.

Memang sains itu sendiri mungkin tampak membosankan, tetapi begitu Anda menemukan cara untuk mencapai tujuan dan realisasi diri Anda, proses pembelajaran akan menjadi menarik dan motivasi pribadi Anda akan meningkat.

Sebagai pekerjaan rumah Cobalah mencari cara untuk menerapkan fungsi trigonometri dalam bidang aktivitas yang Anda minati. Bayangkan, gunakan imajinasi Anda, dan Anda mungkin akan menemukan bahwa pengetahuan baru akan berguna bagi Anda di masa depan. Selain itu, matematika bermanfaat untuk perkembangan berpikir secara umum.

Konsep sinus, kosinus, tangen, dan kotangen merupakan kategori utama trigonometri, salah satu cabang matematika, dan terkait erat dengan definisi sudut. Penguasaan ilmu matematika ini memerlukan hafalan dan pemahaman rumus dan teorema, serta pemikiran spasial yang dikembangkan. Hal inilah yang menyebabkan perhitungan trigonometri seringkali menimbulkan kesulitan bagi anak sekolah dan siswa. Untuk mengatasinya, sebaiknya Anda lebih mengenal fungsi dan rumus trigonometri.

Konsep dalam trigonometri

Untuk memahami konsep dasar trigonometri, Anda harus terlebih dahulu memahami apa itu segitiga siku-siku dan sudut dalam lingkaran, dan mengapa semua perhitungan dasar trigonometri dikaitkan dengannya. Segitiga yang salah satu sudutnya 90 derajat adalah persegi panjang. Secara historis, angka ini sering digunakan oleh orang-orang di bidang arsitektur, navigasi, seni, dan astronomi. Oleh karena itu, dengan mempelajari dan menganalisis sifat-sifat angka ini, orang-orang dapat menghitung rasio yang sesuai dari parameternya.

Kategori utama yang terkait dengan segitiga siku-siku adalah sisi miring dan kaki. Sisi miring - sisi segitiga yang berhadapan sudut kanan. Kakinya masing-masing adalah dua sisi yang tersisa. Jumlah sudut suatu segitiga selalu 180 derajat.

Trigonometri bola merupakan salah satu bagian trigonometri yang tidak dipelajari di sekolah, namun dalam ilmu terapan seperti astronomi dan geodesi, para ilmuwan menggunakannya. Keunikan segitiga dalam trigonometri bola adalah selalu mempunyai jumlah sudut lebih besar dari 180 derajat.

Sudut-sudut suatu segitiga

DI DALAM segitiga siku-siku Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut yang diinginkan dengan sisi miring segitiga. Dengan demikian, kosinus adalah rasio kaki yang berdekatan dan sisi miring. Kedua nilai ini selalu besarnya kurang dari satu, karena sisi miring selalu lebih panjang dari pada kakinya.

Garis singgung suatu sudut adalah nilai yang sama dengan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan dari sudut yang diinginkan, atau sinus terhadap kosinus. Kotangen, pada gilirannya, adalah perbandingan sisi yang berdekatan dari sudut yang diinginkan dengan sisi yang berlawanan. Kotangen suatu sudut juga dapat diperoleh dengan membagi satu dengan nilai tangennya.

Lingkaran satuan

Lingkaran satuan dalam geometri adalah lingkaran yang jari-jarinya sama dengan satu. Lingkaran seperti itu dibangun dalam sistem koordinat Cartesian, dengan pusat lingkaran bertepatan dengan titik asal, dan posisi awal vektor jari-jari ditentukan sepanjang arah positif sumbu X (sumbu absis). Setiap titik pada lingkaran mempunyai dua koordinat: XX dan YY, yaitu koordinat absis dan ordinat. Dengan memilih titik mana pun pada lingkaran pada bidang XX dan menjatuhkan garis tegak lurus dari titik tersebut ke sumbu absis, kita memperoleh segitiga siku-siku yang dibentuk oleh jari-jari titik yang dipilih (dilambangkan dengan huruf C), garis tegak lurus yang ditarik ke sumbu X (titik potong dilambangkan dengan huruf G), dan ruas sumbu absis berada di antara titik asal koordinat (titik dilambangkan dengan huruf A) dan titik potong G. Segitiga ACG yang dihasilkan adalah segitiga siku-siku bertuliskan sebuah lingkaran, dengan AG adalah sisi miring, dan AC dan GC adalah kaki-kakinya. Sudut antara jari-jari lingkaran AC dan ruas sumbu absis bertanda AG didefinisikan sebagai α (alpha). Jadi, cos α = AG/AC. Mengingat AC adalah jari-jari lingkaran satuan dan sama dengan satu, maka ternyata cos α=AG. Demikian pula sin α=CG.

Selain itu, dengan mengetahui data ini, Anda dapat menentukan koordinat titik C pada lingkaran, karena cos α=AG, dan sin α=CG, artinya titik C memiliki koordinat yang diberikan(cos α; dosa α). Mengetahui bahwa garis singgung sama dengan perbandingan sinus dan cosinus, kita dapat menentukan bahwa tan α = y/x, dan cot α = x/y. Dengan mempertimbangkan sudut dalam sistem koordinat negatif, Anda dapat menghitung bahwa nilai sinus dan kosinus beberapa sudut bisa bernilai negatif.

Perhitungan dan rumus dasar

Nilai fungsi trigonometri

Setelah mempertimbangkan esensi fungsi trigonometri melalui lingkaran satuan, kita dapat memperoleh nilai fungsi tersebut untuk beberapa sudut. Nilai-nilai tersebut tercantum pada tabel di bawah ini.

Identitas trigonometri paling sederhana

Persamaan yang didalamnya terdapat nilai yang tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri disebut trigonometri. Identitas dengan nilai sin x = α, k - bilangan bulat apa pun:

sin x = 0, x = πk.
2. dosa x = 1, x = π/2 + 2πk.
dosa x = -1, x = -π/2 + 2πk.
dosa x = a, |a| > 1, tidak ada solusi.
dosa x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identitas dengan nilai cos x = a, dengan k adalah bilangan bulat apa pun:

karena x = 0, x = π/2 + πk.
karena x = 1, x = 2πk.
karena x = -1, x = π + 2πk.
karena x = a, |a| > 1, tidak ada solusi.
karena x = a, |a| ≦ 1, x = ±arcos α + 2πk.

Identitas dengan nilai tg x = a, dengan k adalah bilangan bulat apa pun:

tan x = 0, x = π/2 + πk.
tan x = a, x = arctan α + πk.

Identitas dengan nilai ctg x = a, dengan k adalah bilangan bulat apa pun:

cot x = 0, x = π/2 + πk.
ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Rumus reduksi

Kategori rumus konstanta ini menunjukkan metode yang dapat digunakan untuk berpindah dari fungsi trigonometri bentuk ke fungsi argumen, yaitu, mengurangi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut dengan nilai berapa pun ke indikator sudut yang sesuai. interval dari 0 hingga 90 derajat untuk kemudahan penghitungan.

Rumus pengurangan fungsi sinus suatu sudut adalah sebagai berikut:

dosa(900 - α) = α;
dosa(900 + α) = cos α;
dosa(1800 - α) = dosa α;
sin(1800 + α) = -sin α;
dosa(2700 - α) = -cos α;
dosa(2700 + α) = -cos α;
dosa(3600 - α) = -dosa α;
dosa(3600 + α) = dosa α.

Untuk kosinus sudut:

cos(900 - α) = dosa α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = dosa α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

Penggunaan rumus di atas dimungkinkan dengan tunduk pada dua aturan. Pertama, jika sudut dapat direpresentasikan sebagai nilai (π/2 ± a) atau (3π/2 ± a), nilai fungsinya berubah:

dari dosa ke cos;
dari cos ke dosa;
dari tg ke ctg;
dari ctg ke tg.

Nilai fungsi tetap tidak berubah jika sudut dapat direpresentasikan sebagai (π ± a) atau (2π ± a).

Kedua, tanda fungsi tereduksi tidak berubah: jika awalnya positif, tetap demikian. Sama dengan fungsi negatif.

Rumus penjumlahan

Rumus ini menyatakan nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari jumlah dan selisih dua sudut rotasi melalui fungsi trigonometrinya. Biasanya sudut dilambangkan sebagai α dan β.

Rumusnya terlihat seperti ini:

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Rumus ini berlaku untuk semua sudut α dan β.

Rumus sudut rangkap dua dan rangkap tiga

Rumus trigonometri sudut rangkap dua dan rangkap tiga merupakan rumus yang menghubungkan fungsi sudut 2α dan 3α berturut-turut dengan fungsi trigonometri sudut α. Berasal dari rumus penjumlahan:

sin2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2 α.
tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
dosa3α = 3sinα - 4sin^3 α.
cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Transisi dari jumlah ke produk

Mengingat 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), dengan menyederhanakan rumus ini, kita memperoleh identitas sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Demikian pula sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = dosa(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = dosa(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Transisi dari produk ke jumlah

Rumus berikut mengikuti identitas transisi suatu jumlah ke suatu produk:

dosaα * dosaβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2*.

Rumus pengurangan derajat

Dalam identitas ini, pangkat kuadrat dan pangkat tiga dari sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk sinus dan kosinus pangkat pertama suatu kelipatan sudut:

sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Substitusi universal

Rumus substitusi trigonometri universal menyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk garis singgung setengah sudut.

sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), dengan x = π + 2πn;
cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), dimana x = π + 2πn;
tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), dimana x = π + 2πn;
cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), dengan x = π + 2πn.

Kasus khusus

Kasus khusus dari persamaan trigonometri paling sederhana diberikan di bawah ini (k adalah bilangan bulat apa pun).

Hasil bagi untuk sinus:

Nilai dosa x	nilai x
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk atau 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk atau -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk atau 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk atau -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk atau 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk atau -2π/3 + 2πk

Hasil bagi untuk kosinus:

karena nilai x	nilai x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Hasil bagi untuk tangen:

nilai tgx	nilai x
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Hasil bagi untuk kotangen:

nilai ctgx	nilai x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teorema

Teorema sinus

Ada dua versi teorema - sederhana dan diperluas. Teorema sinus sederhana: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Dalam hal ini, a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, dan α, β, γ masing-masing adalah sudut yang berhadapan.

Teorema sinus yang diperluas untuk segitiga sembarang: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Dalam identitas ini, R menunjukkan jari-jari lingkaran di mana segitiga tersebut berada.

Teorema kosinus

Identitasnya ditampilkan sebagai berikut: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Dalam rumusnya, a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, dan α adalah sudut yang berhadapan dengan sisi a.

Teorema tangen

Rumus tersebut menyatakan hubungan antara garis singgung dua sudut dan panjang sisi-sisi yang berhadapan dengannya. Sisi-sisinya diberi label a, b, c, dan sudut-sudut yang berhadapan adalah α, β, γ. Rumus teorema tangen: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Teorema kotangen

Menghubungkan jari-jari lingkaran pada segitiga dengan panjang sisi-sisinya. Jika a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, dan A, B, C berturut-turut adalah sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi tersebut, r adalah jari-jari lingkaran, dan p adalah setengah keliling segitiga, maka persamaan berikut identitas yang valid:

cot A/2 = (p-a)/r;
cot B/2 = (p-b)/r;
tempat tidur C/2 = (p-c)/r.

Aplikasi

Trigonometri - tidak hanya ilmu teoritis berhubungan dengan rumus matematika. Sifat-sifatnya, teorema dan aturannya digunakan dalam praktik oleh berbagai cabang aktivitas manusia - astronomi, navigasi udara dan laut, teori musik, geodesi, kimia, akustik, optik, elektronik, arsitektur, ekonomi, teknik mesin, pekerjaan pengukuran, grafik komputer, kartografi, oseanografi, dan banyak lainnya.

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen adalah konsep dasar trigonometri, yang dengannya seseorang dapat menyatakan secara matematis hubungan antara sudut dan panjang sisi-sisi dalam sebuah segitiga, dan menemukan besaran yang diperlukan melalui identitas, teorema, dan aturan.

Trigonometri, sebagai ilmu, berasal dari Timur Kuno. Rasio trigonometri pertama diturunkan oleh para astronom untuk menciptakan kalender dan orientasi bintang yang akurat. Perhitungan ini berkaitan dengan trigonometri bola, sedangkan dalam kursus sekolah mempelajari perbandingan sisi dan sudut suatu segitiga bidang.

Trigonometri adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat fungsi trigonometri dan hubungan antara sisi dan sudut segitiga.

Pada masa kejayaan kebudayaan dan ilmu pengetahuan pada milenium 1 M, ilmu pengetahuan menyebar dari Timur Kuno hingga Yunani. Namun penemuan utama trigonometri adalah kelebihan orang-orang Kekhalifahan Arab. Secara khusus, ilmuwan Turkmenistan al-Marazwi memperkenalkan fungsi-fungsi seperti tangen dan kotangen, dan menyusun tabel nilai pertama untuk sinus, garis singgung, dan kotangen. Konsep sinus dan cosinus diperkenalkan oleh para ilmuwan India. Trigonometri mendapat banyak perhatian dalam karya-karya tokoh besar zaman kuno seperti Euclid, Archimedes, dan Eratosthenes.

Besaran dasar trigonometri

Fungsi trigonometri dasar argumen numerik adalah sinus, kosinus, tangen, dan kotangen. Masing-masing memiliki grafiknya sendiri: sinus, kosinus, tangen, dan kotangen.

Rumus untuk menghitung nilai besaran ini didasarkan pada teorema Pythagoras. Anak sekolah lebih mengenal rumusan: “Celana Pythagoras sama besar ke segala arah”, karena pembuktiannya diberikan dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku sama kaki.

Sinus, kosinus, dan hubungan lainnya membentuk hubungan antara sudut lancip dan sisi-sisi segitiga siku-siku. Mari kita sajikan rumus untuk menghitung besaran sudut A ini dan menelusuri hubungan antara fungsi trigonometri:

Seperti yang Anda lihat, tg dan ctg adalah fungsi terbalik. Jika kita bayangkan kaki a sebagai hasil kali sin A dan sisi miring c, dan kaki b sebagai cos A * c, kita peroleh rumus tangen dan kotangen berikut:

Lingkaran trigonometri

Secara grafis, hubungan antara besaran-besaran tersebut dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Lingkaran, dalam hal ini, mewakili semua kemungkinan nilai sudut α - dari 0° hingga 360°. Seperti dapat dilihat dari gambar, setiap fungsi mempunyai nilai negatif atau nilai positif tergantung besar kecilnya sudut. Misalnya, sin α akan bertanda “+” jika α berada pada kuarter ke-1 dan ke-2 lingkaran, yaitu antara 0° hingga 180°. Untuk α dari 180° hingga 360° (kuartal III dan IV), sin α hanya dapat bernilai negatif.

Mari kita coba membuat tabel trigonometri untuk sudut tertentu dan mencari tahu arti besarannya.

Nilai α yang sama dengan 30°, 45°, 60°, 90°, 180° dan seterusnya disebut kasus khusus. Nilai fungsi trigonometri dihitung dan disajikan dalam bentuk tabel khusus.

Sudut-sudut ini tidak dipilih secara acak. Penunjukan π dalam tabel adalah untuk radian. Rad adalah sudut dimana panjang busur lingkaran sama dengan jari-jarinya. Nilai ini diperkenalkan untuk menetapkan ketergantungan universal; saat menghitung dalam radian, panjang jari-jari sebenarnya dalam cm tidak menjadi masalah.

Sudut dalam tabel fungsi trigonometri sesuai dengan nilai radian:

Jadi, tidak sulit untuk menebak bahwa 2π adalah lingkaran penuh atau 360°.

Sifat-sifat fungsi trigonometri: sinus dan kosinus

Untuk memperhatikan dan membandingkan sifat-sifat dasar sinus dan kosinus, tangen dan kotangen, perlu digambarkan fungsinya. Hal ini dapat dilakukan dalam bentuk kurva yang terletak pada sistem koordinat dua dimensi.

Mempertimbangkan tabel perbandingan sifat sinus dan kosinus:

Gelombang sinus	Kosinus
y = dosa x	kamu = karena x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, untuk x = πk, dimana k ϵ Z	cos x = 0, untuk x = π/2 + πk, dimana k ϵ Z
sin x = 1, untuk x = π/2 + 2πk, dimana k ϵ Z	cos x = 1, pada x = 2πk, dimana k ϵ Z
sin x = - 1, pada x = 3π/2 + 2πk, dimana k ϵ Z	cos x = - 1, untuk x = π + 2πk, dimana k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, yaitu fungsinya ganjil	cos (-x) = cos x, yaitu fungsinya genap
	fungsinya periodik, periode terkecil adalah 2π
sin x › 0, dengan x termasuk pada kuarter I dan II atau dari 0° hingga 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, dengan x termasuk pada kuarter I dan IV atau dari 270° hingga 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, dengan x termasuk pada kuarter ketiga dan keempat atau dari 180° hingga 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, dengan x termasuk pada kuarter ke-2 dan ke-3 atau dari 90° hingga 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
peningkatan interval [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	meningkat pada interval [-π + 2πk, 2πk]
berkurang pada interval [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	berkurang secara interval
turunan (sin x)’ = cos x	turunan (cos x)’ = - sin x

Menentukan suatu fungsi genap atau tidak sangatlah sederhana. Cukup dengan membayangkan sebuah lingkaran trigonometri dengan tanda-tanda besaran trigonometri dan secara mental “melipat” grafiknya relatif terhadap sumbu OX. Jika tanda-tandanya bertepatan, maka fungsinya genap, jika tidak maka ganjil.

Pengenalan radian dan daftar sifat dasar gelombang sinus dan kosinus memungkinkan kita untuk menyajikan pola berikut:

Sangat mudah untuk memverifikasi kebenaran rumusnya. Misalnya, untuk x = π/2, sinusnya adalah 1, begitu pula cosinus dari x = 0. Pemeriksaan dapat dilakukan dengan melihat tabel atau dengan menelusuri kurva fungsi untuk nilai tertentu.

Sifat-sifat tangentsoid dan kotangentsoid

Grafik fungsi tangen dan kotangen berbeda nyata dengan fungsi sinus dan kosinus. Nilai tg dan ctg saling berbanding terbalik.

Y = tan x.
Garis singgungnya cenderung ke nilai y di x = π/2 + πk, tetapi tidak pernah mencapainya.
Periode positif terkecil dari tangentoid adalah π.
Tg (- x) = - tg x, yaitu fungsinya ganjil.
Tg x = 0, untuk x = πk.
Fungsinya semakin meningkat.
Tg x › 0, untuk x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, untuk x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Turunan (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Perhatikan gambar grafis kotangentoid di bawah ini dalam teks.

Sifat utama kotangentoid:

Y = tempat tidur x.
Berbeda dengan fungsi sinus dan cosinus, pada tangentoid Y dapat mengambil nilai himpunan semua bilangan real.
Kotangentoid cenderung ke nilai y di x = πk, tetapi tidak pernah mencapainya.
Periode positif terkecil dari kotangentoid adalah π.
Ctg (- x) = - ctg x, yaitu fungsinya ganjil.
Ctg x = 0, untuk x = π/2 + πk.
Fungsinya semakin berkurang.
Ctg x › 0, untuk x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, untuk x ϵ (π/2 + πk, πk).
Turunan (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Benar

Kosinus merupakan fungsi trigonometri yang terkenal, yang juga merupakan salah satu fungsi utama trigonometri. Kosinus suatu sudut pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi-sisi yang berdekatan dengan sisi miring segitiga. Paling sering, definisi kosinus dikaitkan dengan segitiga persegi panjang. Tetapi juga terjadi bahwa sudut yang diperlukan untuk menghitung kosinus dalam segitiga siku-siku tidak terletak di segitiga siku-siku ini. Lalu apa yang harus dilakukan? Bagaimana cara mencari kosinus sudut suatu segitiga?

Jika Anda perlu menghitung kosinus suatu sudut dalam segitiga siku-siku, maka semuanya sangat sederhana. Anda hanya perlu mengingat kembali pengertian cosinus yang berisi solusi dari permasalahan tersebut. Anda hanya perlu mencari hubungan yang sama antara sisi yang berdekatan dan sisi miring segitiga. Memang tidak sulit untuk menyatakan kosinus sudut di sini. Rumusnya sebagai berikut: - cosα = a/c, di sini “a” adalah panjang kaki, dan sisi “c” adalah panjang sisi miring. Misalnya, kosinus sudut lancip segitiga siku-siku dapat dicari menggunakan rumus ini.

Jika Anda tertarik pada alasannya sama dengan cosinus sudut dalam segitiga sembarang, maka teorema kosinus akan membantu, yang harus digunakan kasus serupa. Teorema kosinus menyatakan bahwa kuadrat salah satu sisi suatu segitiga secara apriori sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang tersisa dari segitiga yang sama, tetapi tanpa menggandakan hasil kali sisi-sisi tersebut dengan kosinus sudut yang terletak di antara keduanya.

Jika Anda ingin mencari kosinus sudut lancip dalam sebuah segitiga, Anda perlu menggunakan rumus berikut: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
Jika Anda perlu mencari kosinus dalam segitiga sudut tumpul, maka Anda perlu menggunakan rumus berikut: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Sebutan dalam rumus - a dan b - adalah panjang sisi yang berdekatan dengan sudut yang diinginkan, c - adalah panjang sisi yang berhadapan dengan sudut yang diinginkan.

Kosinus suatu sudut juga dapat dihitung dengan menggunakan teorema sinus. Dinyatakan bahwa semua sisi suatu segitiga sebanding dengan sinus sudut-sudut yang berhadapan. Dengan menggunakan teorema sinus, Anda dapat menghitung sisa elemen segitiga, dengan informasi hanya tentang dua sisi dan sudut yang berhadapan dengan satu sisi, atau dari dua sudut dan satu sisi. Pertimbangkan ini dengan sebuah contoh. Kondisi masalah: a=1; b=2; c=3. Sudut yang berhadapan dengan sisi “A” dilambangkan dengan α, maka berdasarkan rumusnya kita peroleh: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Jawaban: 1.

Jika kosinus suatu sudut perlu dihitung bukan dalam segitiga, tetapi dalam segitiga sembarang lainnya sosok geometris, maka segalanya menjadi sedikit lebih rumit. Besarnya sudut terlebih dahulu harus ditentukan dalam radian atau derajat, baru kemudian kosinus harus dihitung dari nilai tersebut. Cosinus dengan nilai numerik ditentukan menggunakan tabel Bradis, kalkulator teknik atau aplikasi matematika khusus.

Aplikasi matematika khusus mungkin memiliki fungsi seperti menghitung kosinus sudut pada bangun tertentu secara otomatis. Keindahan dari aplikasi semacam itu adalah mereka memberikan jawaban yang benar, dan pengguna tidak membuang waktu untuk memecahkan masalah yang terkadang cukup rumit. Di sisi lain, dengan penggunaan terus-menerus secara eksklusif aplikasi untuk memecahkan masalah, semua keterampilan dalam menyelesaikan masalah matematika dalam mencari kosinus sudut dalam segitiga, serta bangun sembarang lainnya, hilang.

Perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring disebut sinus sudut lancip segitiga siku-siku.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosinus sudut lancip segitiga siku-siku

Perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring disebut cosinus sudut lancip segitiga siku-siku.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Garis singgung sudut lancip segitiga siku-siku

Perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan disebut garis singgung sudut lancip segitiga siku-siku.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangen sudut lancip segitiga siku-siku

Perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan disebut kotangen sudut lancip segitiga siku-siku.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus sudut sembarang

Ordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut \alfa disebut sinus dari sudut sembarang rotasi \alpha .

\dosa \alfa=y

Kosinus sudut sembarang

Absis suatu titik pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut \alfa disebut kosinus sudut sembarang rotasi \alpha .

\cos \alfa=x

Garis singgung sudut sembarang

Perbandingan sinus sudut rotasi sembarang \alfa terhadap kosinusnya disebut garis singgung suatu sudut sembarang rotasi \alpha .

tan \alfa = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangen dari sudut sembarang

Rasio kosinus sudut rotasi sembarang \alfa terhadap sinusnya disebut kotangen dari sudut sembarang rotasi \alpha .

ctg\alfa =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Contoh mencari sudut sembarang

Jika \alpha adalah suatu sudut AOM, dimana M adalah sebuah titik pada lingkaran satuan, maka

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Misalnya jika \sudut AOM = -\frac(\pi)(4), maka: ordinat titik M sama dengan -\frac(\sqrt(2))(2), absisnya sama \frac(\sqrt(2))(2) dan karena itu

\sin \kiri (-\frac(\pi)(4) \kanan)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \kiri (\frac(\pi)(4) \kanan)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \kiri (-\frac(\pi)(4) \kanan)=-1.

Tabel nilai sinus cosinus tangen kotangen

Nilai sudut utama yang sering muncul diberikan dalam tabel:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\kiri(\frac(\pi)(6)\kanan)	45^(\circ)\kiri(\frac(\pi)(4)\kanan)	60^(\circ)\kiri(\frac(\pi)(3)\kanan)	90^(\circ)\kiri(\frac(\pi)(2)\kanan)	180^(\circ)\kiri(\pi\kanan)	270^(\circ)\kiri(\frac(3\pi)(2)\kanan)	360^(\circ)\kiri(2\pi\kanan)
\dosa\alfa	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—