Berikan contoh berbagai cara untuk menyelesaikan kesenjangan irasional. Cara mengatasi pertidaksamaan linier

Salah satu topik yang memerlukan perhatian dan ketekunan maksimal dari siswa adalah penyelesaian kesenjangan. Sangat mirip dengan persamaan dan pada saat yang sama sangat berbeda dari persamaan tersebut. Karena penyelesaiannya memerlukan pendekatan khusus.

Properti yang diperlukan untuk menemukan jawabannya

Semuanya digunakan untuk mengganti entri yang sudah ada dengan entri yang setara. Kebanyakan dari mereka serupa dengan apa yang ada dalam persamaan. Namun ada juga perbedaan.

Suatu fungsi yang didefinisikan dalam ODZ, atau bilangan apa pun, dapat dijumlahkan pada kedua ruas pertidaksamaan awal.
Demikian pula, perkalian dapat dilakukan, tetapi hanya dengan fungsi atau bilangan positif.
Jika tindakan ini dilakukan dengan fungsi atau bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan harus diganti dengan kebalikannya.
Fungsi yang non-negatif dapat dipangkatkan positif.

Terkadang penyelesaian kesenjangan disertai dengan tindakan yang memberikan jawaban yang tidak relevan. Mereka perlu dikecualikan dengan membandingkan daerah ODZ dan banyak solusi.

Menggunakan Metode Interval

Esensinya adalah mereduksi pertidaksamaan menjadi persamaan yang ruas kanannya ada nol.

Tentukan area di mana mereka berada nilai yang valid variabel, yaitu ODZ.
Ubah pertidaksamaan tersebut menggunakan operasi matematika sehingga ruas kanannya bernilai nol.
Gantikan tanda pertidaksamaan dengan “=” dan selesaikan persamaan yang sesuai.
Pada sumbu numerik, tandai semua jawaban yang diperoleh selama penyelesaian, serta interval OD. Dalam kasus pertidaksamaan yang tegas, titik-titik tersebut harus digambarkan tertusuk. Jika ada tanda sama dengan, maka harus dicat ulang.
Tentukan tanda fungsi awal pada setiap interval yang diperoleh dari titik-titik ODZ dan jawaban yang membaginya. Jika tanda suatu fungsi tidak berubah ketika melewati suatu titik, maka fungsi tersebut termasuk dalam jawabannya. Jika tidak, maka dikecualikan.
Titik batas ODZ perlu dicek lebih lanjut baru kemudian dimasukkan atau tidak ke dalam jawaban.
Jawaban yang dihasilkan harus ditulis dalam bentuk himpunan gabungan.

Sedikit tentang kesenjangan ganda

Mereka menggunakan dua tanda pertidaksamaan sekaligus. Artinya, beberapa fungsi dibatasi oleh kondisi dua kali sekaligus. Pertidaksamaan tersebut diselesaikan sebagai sistem dua, ketika pertidaksamaan asli dibagi menjadi beberapa bagian. Dan dalam metode interval, jawaban dari penyelesaian kedua persamaan ditunjukkan.

Untuk mengatasinya, diperbolehkan juga menggunakan properti yang disebutkan di atas. Dengan bantuan mereka, akan lebih mudah untuk mengurangi ketimpangan hingga nol.

Bagaimana dengan pertidaksamaan yang mempunyai modulus?

Dalam hal ini, penyelesaian pertidaksamaan menggunakan sifat-sifat berikut, dan sifat-sifat tersebut valid untuk nilai positif “a”.

Jika “x” berbentuk ekspresi aljabar, maka penggantian berikut ini valid:

|x|< a на -a < х < a;
|x| > a sampai x< -a или х >A.

Jika pertidaksamaannya tidak tegas, maka rumusnya juga benar, hanya saja di dalamnya, selain tanda besar atau kecil, muncul “=”.

Bagaimana sistem kesenjangan diselesaikan?

Pengetahuan ini akan diperlukan jika tugas seperti itu diberikan atau ada catatan pertidaksamaan ganda atau modul muncul di catatan. Dalam situasi seperti ini, solusinya adalah nilai-nilai variabel yang memenuhi semua pertidaksamaan dalam catatan. Jika tidak ada angka seperti itu, maka sistem tidak memiliki solusi.

Rencana yang digunakan untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan:

selesaikan masing-masing secara terpisah;
gambarkan semua interval pada sumbu bilangan dan tentukan perpotongannya;
tuliskan respons sistem, yang merupakan kombinasi dari apa yang terjadi di paragraf kedua.

Apa yang harus dilakukan dengan pertidaksamaan pecahan?

Karena penyelesaiannya mungkin memerlukan perubahan tanda pertidaksamaan, Anda harus mengikuti semua poin rencana dengan sangat hati-hati dan cermat. Jika tidak, Anda mungkin mendapatkan jawaban sebaliknya.

Penyelesaian pertidaksamaan pecahan juga menggunakan metode interval. Dan rencana aksinya adalah seperti ini:

Dengan menggunakan sifat-sifat yang dijelaskan, berikan pecahan sedemikian rupa sehingga hanya tersisa nol di sebelah kanan tanda.
Gantikan pertidaksamaan tersebut dengan “=” dan tentukan titik-titik dimana fungsinya akan sama dengan nol.
Tandai mereka pada sumbu koordinat. Dalam hal ini, angka-angka yang diperoleh dari hasil perhitungan pada penyebutnya akan selalu dicoret. Semua yang lain didasarkan pada kondisi ketimpangan.
Tentukan interval keteguhan tanda.
Sebagai tanggapan, tuliskan gabungan interval-interval yang tandanya sesuai dengan pertidaksamaan awal.

Situasi ketika irasionalitas muncul dalam ketimpangan

Dengan kata lain, ada akar matematika dalam notasi tersebut. Sejak di kursus sekolah Dalam aljabar, sebagian besar tugas adalah untuk akar kuadrat, jadi inilah yang akan dipertimbangkan.

Larutan kesenjangan yang tidak rasional bermuara pada mendapatkan sistem dua atau tiga yang setara dengan yang asli.

Ketimpangan asli	kondisi	sistem yang setara
√ n(x)< m(х)	m(x) kurang dari atau sama dengan 0	tidak ada solusi
√ n(x)< m(х)	m(x) lebih besar dari 0	n(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 n(x) > (m(x)) 2
√ n(x) > m(x)		n(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 m(x) kurang dari 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) kurang dari 0	tidak ada solusi
√n(x) ≤ m(x)	m(x) lebih besar dari atau sama dengan 0	n(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		n(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 m(x) kurang dari 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 n(x) kurang dari m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) lebih besar dari 0 m(x) kurang dari 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) lebih besar dari 0 m(x) lebih besar dari 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) lebih besar dari 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) sama dengan 0 m(x) - apa saja
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) lebih besar dari 0
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) sama dengan 0 m(x) - apa saja

Contoh penyelesaian berbagai jenis ketidaksetaraan

Untuk menambah kejelasan teori tentang penyelesaian pertidaksamaan, contoh diberikan di bawah ini.

Contoh pertama. 2x - 4 > 1 + x

Solusi: Untuk menentukan ADI, yang harus Anda lakukan hanyalah mencermati ketimpangan. Itu terbentuk dari fungsi linier, oleh karena itu ditentukan untuk semua nilai variabel.

Sekarang Anda perlu mengurangi (1 + x) dari kedua sisi pertidaksamaan. Ternyata: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Setelah tanda kurung dibuka dan suku-suku sejenisnya diberi, maka pertidaksamaannya berbentuk: x - 5 > 0.

Menyamakannya dengan nol, mudah untuk menemukan solusinya: x = 5.

Sekarang titik dengan angka 5 ini harus ditandai pada sinar koordinat. Kemudian periksa tanda-tanda fungsi aslinya. Pada interval pertama dari minus tak terhingga hingga 5, Anda dapat mengambil angka 0 dan mensubstitusikannya ke dalam pertidaksamaan yang diperoleh setelah transformasi. Setelah dihitung ternyata -7 >0. di bawah busur interval Anda perlu menandatangani tanda minus.

Pada interval selanjutnya dari 5 sampai tak terhingga, kamu bisa memilih angka 6. Maka ternyata 1 > 0. Ada tanda “+” di bawah busur. Interval kedua ini akan menjadi jawaban atas pertidaksamaan tersebut.

Jawaban: x terletak pada interval (5; ∞).

Contoh kedua. Diperlukan penyelesaian sistem dua persamaan: 3x + 3 ≤ 2x + 1 dan 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Larutan. VA dari pertidaksamaan ini juga terletak pada daerah bilangan apa pun, karena diberikan fungsi linier.

Pertidaksamaan kedua berbentuk persamaan berikut: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Setelah transformasi: -x - 4 =0. Ini menghasilkan nilai variabel sama dengan -4.

Kedua angka ini perlu ditandai pada sumbu, yang menggambarkan interval. Karena pertidaksamaannya tidak ketat, semua titik perlu diarsir. Interval pertama adalah dari minus tak terhingga hingga -4. Biarkan angka -5 yang dipilih. Pertidaksamaan pertama bernilai -3, dan pertidaksamaan kedua bernilai 1. Artinya interval tersebut tidak termasuk dalam jawaban.

Interval kedua adalah dari -4 hingga -2. Anda dapat memilih angka -3 dan mensubstitusikannya ke kedua pertidaksamaan tersebut. Pada yang pertama dan kedua, nilainya -1. Artinya di bawah busur “-”.

Pada interval terakhir dari -2 hingga tak terhingga, bilangan terbaik adalah nol. Anda perlu menggantinya dan menemukan nilai pertidaksamaannya. Yang pertama menghasilkan bilangan positif, dan yang kedua menghasilkan nol. Kesenjangan ini juga harus dihilangkan dari jawabannya.

Dari ketiga interval tersebut, hanya satu yang merupakan solusi pertidaksamaan.

Jawaban: x milik [-4; -2].

Contoh ketiga. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Larutan. Langkah pertama adalah menentukan titik hilangnya fungsi-fungsi tersebut. Untuk yang kiri angkanya adalah 2, untuk yang kanan - 1. Mereka perlu ditandai pada balok dan interval keteguhan tanda harus ditentukan.

Pada interval pertama, dari minus tak terhingga hingga 1, fungsi diambil dari ruas kiri pertidaksamaan nilai-nilai positif, dan dari kanan - negatif. Di bawah busur Anda perlu menulis dua tanda “+” dan “-” berdampingan.

Interval berikutnya adalah dari 1 hingga 2. Pada interval tersebut, kedua fungsi bernilai positif. Artinya ada dua nilai tambah di bawah busur.

Interval ketiga dari 2 hingga tak terhingga akan memberikan hasil sebagai berikut: fungsi kiri negatif, fungsi kanan positif.

Dengan mempertimbangkan tanda-tanda yang dihasilkan, Anda perlu menghitung nilai pertidaksamaan untuk semua interval.

Persamaan pertama menghasilkan pertidaksamaan sebagai berikut: 2 - x > - 2 (x - 1). Minus sebelum dua pada pertidaksamaan kedua disebabkan oleh fakta bahwa fungsi ini negatif.

Setelah transformasi, pertidaksamaan terlihat seperti ini: x > 0. Ini langsung memberikan nilai variabel. Artinya, dari interval ini hanya interval 0 sampai 1 yang akan terjawab.

Yang kedua: 2 - x > 2 (x - 1). Transformasi tersebut menghasilkan pertidaksamaan berikut: -3x + 4 lebih besar dari nol. Nolnya adalah x = 4/3. Dengan memperhatikan tanda pertidaksamaan, ternyata x harus lebih kecil dari bilangan tersebut. Artinya interval ini dikurangi menjadi interval 1 hingga 4/3.

Persamaan terakhir memberikan pertidaksamaan berikut: - (2 - x) > 2 (x - 1). Transformasinya menghasilkan hal berikut: -x > 0. Artinya, persamaan tersebut benar jika x lebih kecil dari nol. Artinya pada interval yang diperlukan pertidaksamaan tersebut tidak memberikan solusi.

Pada dua interval pertama, angka pembatasnya ternyata 1. Perlu diperiksa secara terpisah. Artinya, substitusikan ke pertidaksamaan aslinya. Ternyata: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Perhitungan menunjukkan bahwa 1 lebih besar dari 0. Ini adalah pernyataan yang benar, jadi ada yang disertakan dalam jawabannya.

Jawaban: x terletak pada interval (0; 4/3).

Konsep ketimpangan matematika muncul pada zaman dahulu kala. Ini terjadi ketika manusia primitif ada kebutuhan untuk penghitungan dan operasi dengan berbagai item bandingkan jumlah dan ukurannya. Sejak zaman kuno, Archimedes, Euclid, dan ilmuwan terkenal lainnya: matematikawan, astronom, perancang, dan filsuf telah menggunakan ketidaksetaraan dalam penalaran mereka.

Namun mereka cenderung menggunakan terminologi verbal dalam karya mereka. Untuk pertama kalinya, tanda-tanda modern untuk menunjukkan konsep “lebih” dan “kurang” dalam bentuk yang diketahui setiap anak sekolah saat ini ditemukan dan dipraktikkan di Inggris. Ahli matematika Thomas Harriot memberikan layanan seperti itu kepada keturunannya. Dan ini terjadi sekitar empat abad lalu.

Ada banyak jenis kesenjangan yang diketahui. Diantaranya ada yang sederhana, memuat satu, dua atau lebih variabel, perbandingan kuadrat, pecahan, perbandingan kompleks, bahkan yang diwakili oleh sistem ekspresi. Cara terbaik untuk memahami cara mengatasi kesenjangan adalah dengan menggunakan berbagai contoh.

Jangan ketinggalan kereta

Pertama, bayangkan seorang penduduk pedesaan sedang bergegas menuju stasiun kereta api yang terletak 20 km dari desanya. Agar tidak ketinggalan kereta yang berangkat jam 11, ia harus berangkat rumah tepat waktu. Pada jam berapa hal ini harus dilakukan jika kecepatannya 5 km/jam? Penyelesaian masalah praktis ini adalah dengan memenuhi kondisi ekspresi: 5 (11 - X) ≥ 20, dimana X adalah waktu keberangkatan.

Hal ini dapat dimaklumi, karena jarak yang harus ditempuh seorang penduduk desa ke stasiun sama dengan kecepatan gerak dikalikan dengan jumlah jam perjalanan. Datang dulunya laki-laki mungkin, tapi tidak mungkin dia terlambat. Mengetahui cara menyelesaikan pertidaksamaan dan menerapkan keterampilan Anda dalam praktik, Anda akan mendapatkan X ≤ 7, itulah jawabannya. Artinya, penduduk desa harus berangkat ke stasiun kereta api pada pukul tujuh pagi atau lebih awal.

Interval numerik pada garis koordinat

Sekarang mari kita cari tahu bagaimana memetakan hubungan yang dijelaskan ke dalam persamaan di atas. Ketimpangan di atas tidaklah ketat. Artinya variabel tersebut dapat bernilai kurang dari 7, atau dapat sama dengan angka tersebut. Mari kita berikan contoh lainnya. Untuk melakukan ini, perhatikan baik-baik empat gambar di bawah ini.

Pada bagian pertama, Anda dapat melihat representasi grafis dari interval [-7; 7]. Terdiri dari sekumpulan angka yang ditempatkan pada garis koordinat dan terletak antara -7 dan 7, termasuk batasnya. Dalam hal ini, titik-titik pada grafik digambarkan sebagai lingkaran terisi, dan intervalnya dicatat menggunakan

Gambar kedua adalah representasi grafis dari ketimpangan yang sangat ketat. Dalam hal ini, angka batas -7 dan 7, yang ditunjukkan dengan titik tertusuk (tidak terisi), tidak termasuk dalam himpunan yang ditentukan. Dan intervalnya sendiri ditulis dalam tanda kurung sebagai berikut: (-7; 7).

Artinya, setelah mengetahui cara menyelesaikan pertidaksamaan jenis ini dan memperoleh jawaban yang serupa, kita dapat menyimpulkan bahwa pertidaksamaan tersebut terdiri dari bilangan-bilangan yang berada di antara batas yang dimaksud, kecuali -7 dan 7. Dua kasus berikutnya harus dievaluasi dalam a cara serupa. Gambar ketiga menunjukkan gambar interval (-∞; -7] U (0) (0).

Mari kita rangkum apa yang telah kita pelajari.
Katakanlah kita perlu menyelesaikan sistem pertidaksamaan: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Maka, interval ($x_1; x_2$) adalah solusi pertidaksamaan pertama.
Interval ($y_1; y_2$) adalah solusi pertidaksamaan kedua.
Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah perpotongan penyelesaian setiap pertidaksamaan.

Sistem ketimpangan tidak hanya terdiri dari ketimpangan tingkat pertama, namun juga jenis ketimpangan lainnya.

Aturan penting untuk menyelesaikan sistem ketidaksetaraan.
Jika salah satu pertidaksamaan suatu sistem tidak mempunyai solusi, maka keseluruhan sistem tidak mempunyai solusi.
Jika salah satu pertidaksamaan terpenuhi untuk sembarang nilai variabel, maka penyelesaian sistem tersebut akan menjadi penyelesaian pertidaksamaan lainnya.

Contoh.
Selesaikan sistem pertidaksamaan:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Larutan.
Mari kita selesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Mari kita selesaikan pertidaksamaan kedua.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah interval.
Mari kita menggambar kedua interval pada garis yang sama dan menemukan titik potongnya.
Perpotongan intervalnya adalah ruas (4; 6].
Jawaban: (4;6].

Memecahkan sistem kesenjangan.
a) $\begin(kasus)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(kasus)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(kasus )$.

Larutan.
a) Pertidaksamaan pertama mempunyai solusi x>1.
Mari kita cari diskriminan untuk pertidaksamaan kedua.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Mari kita ingat aturannya: jika salah satu pertidaksamaan tidak memiliki solusi, maka keseluruhan sistem tidak memiliki solusi.
Jawaban: Tidak ada solusi.

B) Pertidaksamaan pertama mempunyai solusi x>1.
Pertidaksamaan kedua lebih besar dari nol untuk semua x. Kemudian penyelesaian sistem tersebut bertepatan dengan penyelesaian pertidaksamaan pertama.
Jawaban: x>1.

Masalah pada sistem ketidaksetaraan untuk solusi independen

Memecahkan sistem ketidaksetaraan:
a) $\begin(kasus)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(kasus)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(kasus)x^2-25 d) $\begin(kasus)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(kasus)$
e) $\begin(kasus)x^2+36

Ketidaksamaan adalah ekspresi dengan, ≤, atau ≥. Misalnya, 3x - 5 Menyelesaikan pertidaksamaan berarti mencari semua nilai variabel yang pertidaksamaannya benar. Masing-masing bilangan tersebut merupakan penyelesaian pertidaksamaan, dan himpunan semua penyelesaian tersebut adalah bilangan tersebut banyak solusi. Pertidaksamaan yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama disebut kesenjangan yang setara.

Ketimpangan linier

Prinsip penyelesaian pertidaksamaan mirip dengan prinsip penyelesaian persamaan.

Prinsip-prinsip untuk mengatasi kesenjangan
Untuk sembarang bilangan real a, b, dan c:
Prinsip menambah pertidaksamaan: Jika sebuah Prinsip perkalian untuk pertidaksamaan: Jika a 0 benar maka ac Jika a bc juga benar.
Pernyataan serupa juga berlaku untuk a ≤ b.

Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan tersebut harus dibalik.
Pertidaksamaan tingkat pertama, seperti pada contoh 1 (di bawah), disebut kesenjangan linier.

Contoh 1 Selesaikan setiap pertidaksamaan berikut. Kemudian gambarkan himpunan solusinya.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Larutan
Bilangan apa pun yang kurang dari 11/5 adalah suatu penyelesaian.
Himpunan penyelesaiannya adalah (x|x
Untuk memeriksanya, kita dapat menggambar grafik y 1 = 3x - 5 dan y 2 = 6 - 2x. Maka jelas bahwa untuk x
Himpunan solusinya adalah (x|x ≤ 1), atau (-∞, 1).Grafik himpunan solusi ditunjukkan di bawah ini.

Ketimpangan ganda

Ketika dua pertidaksamaan dihubungkan dengan sebuah kata Dan, atau, lalu terbentuk ketimpangan ganda. Ketimpangan ganda seperti
-3 Dan 2x + 5 ≤ 7
ditelepon terhubung, karena menggunakan Dan. Entri -3 Pertidaksamaan rangkap dapat diselesaikan dengan menggunakan prinsip penjumlahan dan perkalian pertidaksamaan.

Contoh 2 Selesaikan -3 Larutan Kita punya

Himpunan solusi (x|x ≤ -1 atau x > 3). Kita juga dapat menuliskan penyelesaiannya dengan menggunakan notasi interval dan simbol untuk asosiasi atau memasukkan kedua himpunan: (-∞ -1] (3, ∞) Grafik himpunan solusi ditunjukkan di bawah ini.

Untuk memeriksanya, mari kita plot y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, dan y 3 = 1. Perhatikan bahwa untuk (x|x ≤ -1 atau x > 3), kamu 1 ≤ kamu 2 atau kamu 1 > kamu 3 .

Pertidaksamaan dengan nilai absolut (modulus)

Ketimpangan terkadang mengandung moduli. Properti berikut digunakan untuk menyelesaikannya.
Untuk a > 0 dan ekspresi aljabar x:
|x| |x| > a setara dengan x atau x > a.
Pernyataan serupa untuk |x| ≤ a dan |x| ≥ sebuah.

Contoh 4 Selesaikan setiap pertidaksamaan berikut. Buat grafik himpunan solusi.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Larutan
a) |3x + 2|

Himpunan solusinya adalah (x|-7/3