Sudut-sudut yang berdekatan dan sifat-sifatnya. Sudut yang berdekatan

Dua sudut yang terletak pada garis lurus yang sama dan mempunyai titik sudut yang sama disebut bertetangga.

Sebaliknya, jika jumlah dua sudut pada satu garis lurus sama dengan 180 derajat dan kedua sudut tersebut mempunyai satu sisi yang sama, maka kedua sudut tersebut adalah sudut-sudut yang berdekatan.

1 sudut berdekatan + 1 sudut berdekatan = 180 derajat.

Sudut yang berdekatan- ini adalah dua sudut yang satu sisinya bersekutu, dan dua sisi lainnya umumnya membentuk garis lurus.

Jumlah dua sudut yang berdekatan selalu 180 derajat. Misalnya, jika salah satu sudutnya 60 derajat, maka sudut lainnya pasti sama dengan 120 derajat (180-60).

Sudut AOC dan BOC merupakan sudut berdekatan karena semua syarat ciri-ciri sudut berdekatan terpenuhi:

1.OS - sisi umum dari dua sudut

2.AO - sisi sudut AOS, OB - sisi sudut BOS. Bersama-sama sisi-sisi ini membentuk garis lurus AOB.

3. Ada dua sudut dan jumlah keduanya 180 derajat.

Mengingat kursus sekolah geometri, tentang sudut-sudut yang berdekatan kita dapat mengatakan sebagai berikut:

Sudut-sudut yang berdekatan mempunyai satu sisi yang sama, dan kedua sisi yang lain berada pada garis lurus yang sama, yaitu berada pada satu garis lurus. Jika menurut gambar, maka sudut SOB dan BOA adalah sudut-sudut yang berdekatan, yang jumlahnya selalu 180, karena keduanya membagi sudut lurus, dan sudut lurus selalu sama dengan 180.

Sudut yang berdekatan adalah konsep yang mudah dalam geometri. Sudut-sudut yang berdekatan, sudut ditambah sudut, berjumlah 180 derajat.

Dua sudut yang berdekatan akan menjadi satu sudut terbuka.

Masih ada beberapa properti lagi. Dengan sudut yang berdekatan, soal mudah diselesaikan dan teorema mudah dibuktikan.

Sudut-sudut yang berdekatan dibentuk dengan menggambar sinar dari suatu titik sembarang pada suatu garis lurus. Maka titik sembarang ini menjadi titik sudut, sinar adalah sisi persekutuan dari sudut-sudut yang berdekatan, dan garis lurus dari mana sinar itu ditarik adalah dua sisi tersisa dari sudut-sudut yang berdekatan. Sudut-sudut yang berdekatan bisa sama pada kasus balok tegak lurus, atau berbeda pada balok miring. Mudah dipahami bahwa jumlah sudut yang berdekatan sama dengan 180 derajat atau sekadar garis lurus. Cara lain untuk menjelaskan sudut ini adalah contoh sederhana- mula-mula Anda berjalan dalam satu arah dalam garis lurus, kemudian Anda berubah pikiran, memutuskan untuk kembali dan, berbalik 180 derajat, berangkat sepanjang garis lurus yang sama ke arah yang berlawanan.

Jadi, apa yang dimaksud dengan sudut berdekatan? Definisi:

Dua sudut yang mempunyai titik sudut yang sama dan satu sisi yang sama disebut bertetangga, dan dua sisi lainnya dari sudut-sudut ini terletak pada satu garis lurus.

Dan video pelajaran singkat yang secara arif memperlihatkan tentang sudut-sudut bersebelahan, sudut-sudut vertikal, ditambah tentang garis-garis tegak lurus, yang merupakan kasus khusus dari sudut-sudut bersebelahan dan vertikal.

Sudut-sudut yang berdekatan adalah sudut-sudut yang salah satu sisinya sejajar dan sisi lainnya merupakan satu garis.

Sudut-sudut yang berdekatan adalah sudut-sudut yang bergantung satu sama lain. Artinya, jika sisi persekutuannya diputar sedikit, maka salah satu sudutnya akan berkurang beberapa derajat dan otomatis sudut kedua akan bertambah banyak derajatnya. Sifat sudut yang berdekatan ini memungkinkan seseorang untuk memecahkan berbagai masalah dalam Geometri dan melakukan pembuktian berbagai teorema.

Jumlah sudut-sudut yang berdekatan selalu 180 derajat.

Dari mata kuliah geometri (seingat saya di kelas 6 SD), dua sudut disebut bertetangga, yang salah satu sisinya persekutuan, dan sisi lainnya adalah sinar tambahan, jumlah sudut yang berdekatan adalah 180. Masing-masing dua sudut-sudut yang berdekatan saling melengkapi dengan sudut yang diperluas. Contoh sudut berdekatan:

Sudut-sudut yang berdekatan adalah dua sudut yang mempunyai titik sudut yang sama, salah satu sisinya bersekutu, dan sisi-sisinya yang lain terletak pada satu garis lurus yang sama (tidak berhimpitan). Jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah seratus delapan puluh derajat. Secara umum, semua ini sangat mudah ditemukan di Google atau buku teks geometri.

Dua sudut disebut bertetangga jika kedua sudut tersebut mempunyai titik sudut dan salah satu sisi yang sama, serta kedua sisi lainnya membentuk garis lurus. Jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180 derajat.

Pada gambar, sudut AOB dan BOC berdekatan.

Sudut-sudut yang berdekatan adalah sudut-sudut yang mempunyai titik sudut yang sama, satu sisi yang sama, dan sisi-sisi yang lain merupakan lanjutan satu sama lain dan membentuk sudut yang diperpanjang. Sifat luar biasa dari sudut-sudut yang berdekatan adalah bahwa jumlah sudut-sudut ini selalu sama dengan 180 derajat.

Sudut-sudut yang mempunyai titik sudut yang sama dan satu sisi yang sama dalam geometri disebut bertetangga

Jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180 derajat

Perlu diperhatikan bahwa sudut-sudut yang berdekatan memiliki sinus yang sama besar

Untuk mempelajari lebih lanjut tentang sudut-sudut yang berdekatan, baca di sini

Sudut yang salah satu sisinya bersekutu dan sisi lainnya terletak pada garis lurus yang sama (pada gambar, sudut 1 dan 2 berdekatan). Beras. untuk Seni. Sudut yang berdekatan... Ensiklopedia Besar Soviet

SUDUT YANG BERDEKATAN- sudut-sudut yang mempunyai titik sudut yang sama dan satu sisi yang sama, serta kedua sisinya yang lain terletak pada satu garis lurus... Ensiklopedia Politeknik Besar

Lihat Sudut... Besar Kamus Ensiklopedis

SUDUT BERDEKATAN, dua sudut yang besarnya 180°. Masing-masing sudut saling melengkapi dengan sudut penuh... Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis

Lihat Sudut. * * * SUDUT BERDEKATAN, lihat Sudut (lihat SUDUT) ... Kamus Ensiklopedis

- (Sudut-sudut yang berdekatan) yang mempunyai titik sudut yang sama dan sisi yang sama. Pada dasarnya nama ini mengacu pada sudut C. tersebut, dua sisi lainnya terletak pada arah yang berlawanan dari satu garis lurus yang ditarik melalui titik sudut ... Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

Lihat Sudut... Ilmu pengetahuan alam. Kamus Ensiklopedis

Dua garis lurus berpotongan membentuk sepasang sudut vertikal. Satu pasang terdiri dari sudut A dan B, pasangan lainnya terdiri dari C dan D. Dalam geometri, dua sudut disebut vertikal jika dibuat oleh perpotongan dua ... Wikipedia

Sepasang sudut yang saling melengkapi sampai dengan 90 derajat adalah sepasang sudut yang saling melengkapi sampai dengan 90 derajat. Jika dua sudut yang saling melengkapi berdekatan (yaitu keduanya mempunyai titik sudut yang sama dan hanya dipisahkan... ... Wikipedia

Sepasang sudut yang saling berkomplemen sampai dengan 90 derajat Sudut berkomplemen adalah sepasang sudut yang saling berkomplemen sampai dengan 90 derajat. Jika dua sudut yang saling melengkapi berada pada... Wikipedia

Buku

Tentang pembuktian geometri, A.I. Fetisov Buku ini akan diproduksi sesuai pesanan Anda dengan menggunakan teknologi Print-on-Demand.
Suatu hari, di awal tahun ajaran, saya mendengar percakapan antara dua gadis. Yang tertua di antara mereka...

Buku catatan komprehensif untuk memantau pengetahuan. Geometri. kelas 7. Standar Pendidikan Negara Federal, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Manual ini menyajikan materi kontrol dan pengukuran (CMM) dalam geometri untuk melakukan kontrol kualitas pengetahuan saat ini, tematik dan akhir siswa kelas 7. Isi panduan...

Memulai dengan Sudut

Mari kita diberi dua sinar sembarang. Mari kita letakkan mereka di atas satu sama lain. Kemudian

Definisi 1

Kita akan menyebut suatu sudut sebagai dua sinar yang mempunyai titik asal yang sama.

Definisi 2

Titik awal sinar-sinar dalam kerangka Definisi 3 disebut titik sudut tersebut.

Sudut akan kita nyatakan dengan tiga titik berikut: titik sudut, titik pada salah satu sinar dan titik pada sinar lainnya, dan titik sudut ditulis di tengah-tengah penandaannya (Gbr. 1).

Sekarang mari kita tentukan berapa besar sudutnya.

Untuk melakukan ini, kita perlu memilih semacam "sudut referensi", yang akan kita ambil sebagai satu kesatuan. Biasanya, sudut ini adalah sudut yang sama dengan bagian $\frac(1)(180)$ dari sudut terbuka. Besaran ini disebut derajat. Setelah memilih sudut seperti itu, kami membandingkan sudut-sudut itu dengannya, yang nilainya perlu dicari.

Ada 4 jenis sudut:

Definisi 3

Suatu sudut disebut lancip jika kurang dari $90^0$.

Suatu sudut disebut tumpul jika lebih besar dari $90^0$.

Definisi 5

Suatu sudut disebut dikembangkan jika sama dengan $180^0$.

Definisi 6

Suatu sudut disebut siku-siku jika besarnya sama dengan $90^0$.

Selain jenis-jenis sudut yang telah dijelaskan di atas, kita juga dapat membedakan jenis-jenis sudut yang hubungannya satu sama lain, yaitu sudut vertikal dan sudut berdekatan.

Sudut yang berdekatan

Perhatikan sudut terbalik $COB$. Dari puncaknya kita menggambar sinar $OA$. Sinar ini akan membagi sinar aslinya menjadi dua sudut. Kemudian

Definisi 7

Kita akan menyebut dua sudut berdekatan jika sepasang sisinya merupakan sudut maju, dan pasangan lainnya berimpit (Gbr. 2).

Dalam hal ini, sudut $COA$ dan $BOA$ berdekatan.

Teorema 1

Jumlah sudut yang berdekatan adalah $180^0$.

Bukti.

Mari kita lihat Gambar 2.

Menurut definisi 7, sudut $COB$ di dalamnya akan sama dengan $180^0$. Karena pasangan kedua sisi sudut yang berdekatan berimpit, maka sinar $OA$ akan membagi sudut terbuka dengan 2, maka

$∠COA+∠BOA=180^0$

Teorema tersebut telah terbukti.

Mari kita pertimbangkan untuk memecahkan masalah menggunakan konsep ini.

Contoh 1

Temukan sudut $C$ dari gambar di bawah ini

Berdasarkan Definisi 7 kita menemukan bahwa sudut $BDA$ dan $ADC$ berdekatan. Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1, kita peroleh

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Berdasarkan teorema jumlah sudut dalam segitiga, kita peroleh

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Jawaban: $40^0$.

Sudut vertikal

Pertimbangkan sudut terbuka $AOB$ dan $MOC$. Mari kita sejajarkan titik sudutnya satu sama lain (yaitu, letakkan titik $O"$ di titik $O$) sehingga tidak ada sisi dari sudut-sudut ini yang berhimpitan. Lalu

Definisi 8

Kita akan menyebut dua sudut vertikal jika pasangan sisinya merupakan sudut terbuka dan nilainya bertepatan (Gbr. 3).

Dalam hal ini, sudut $MOA$ dan $BOC$ adalah vertikal dan sudut $MOB$ dan $AOC$ juga vertikal.

Teorema 2

Sudut vertikal sama besar satu sama lain.

Bukti.

Mari kita lihat Gambar 3. Mari kita buktikan, misalnya, bahwa sudut $MOA$ sama dengan sudut $BOC$.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat dan memahami konsep sudut-sudut yang berdekatan. Mari kita pertimbangkan sebuah teorema yang menyangkut mereka. Mari kita perkenalkan konsep “sudut vertikal”. Mari kita lihat beberapa fakta pendukung tentang sudut-sudut ini. Selanjutnya kita rumuskan dan buktikan dua akibat wajar tentang sudut antara garis-bagi sudut vertikal. Di akhir pelajaran kita akan melihat beberapa masalah tentang topik ini.

Mari kita mulai pelajaran kita dengan konsep “sudut-sudut yang berdekatan”. Gambar 1 menunjukkan sudut maju ∠AOC dan sinar OB, yang membagi sudut ini menjadi 2 sudut.

Beras. 1. Sudut ∠AOC

Mari kita perhatikan sudut ∠AOB dan ∠BOC. Sangat jelas bahwa mereka memiliki sisi VO yang sama, dan sisi AO dan OS berlawanan. Sinar OA dan OS saling melengkapi, artinya terletak pada satu garis lurus. Sudut ∠AOB dan ∠BOC berdekatan.

Definisi: Jika dua sudut mempunyai sisi yang sama, dan dua sisi lainnya merupakan sinar-sinar yang saling berkomplementer, maka sudut-sudut tersebut disebut bersebelahan.

Teorema 1: Jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180 o.

Beras. 2. Menggambar untuk Teorema 1

∠MOL + ∠LON = 180 o. Pernyataan ini benar, karena sinar OL membagi sudut terbuka MON menjadi dua sudut yang berdekatan. Artinya, kita tidak mengetahui besaran derajat sudut mana pun yang berdekatan, tetapi kita hanya mengetahui jumlahnya - 180 derajat.

Perhatikan perpotongan dua garis. Gambar tersebut menunjukkan perpotongan dua garis di titik O.

Beras. 3. Sudut vertikal ∠ВОА dan ∠СOD

Definisi: Jika sisi-sisi suatu sudut merupakan kelanjutan dari sudut kedua, maka sudut-sudut tersebut disebut vertikal. Oleh karena itu, gambar menunjukkan dua pasang sudut vertikal: ∠AOB dan ∠COD, serta ∠AOD dan ∠BOC.

Teorema 2: Sudut vertikal sama besar.

Mari kita gunakan Gambar 3. Perhatikan sudut rotasi ∠AOC. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180 o - β. Mari kita perhatikan sudut yang dikembangkan ∠BOD. ∠COD = ∠BОD - ∠BOC = 180 o - β.

Dari pertimbangan tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa ∠AOB = ∠COD = α. Demikian pula, ∠AOD = ∠BOS = β.

Akibat wajar 1: Sudut antara garis bagi sudut-sudut yang berdekatan adalah 90°.

Beras. 4. Menggambar akibat wajar 1

Karena OL adalah garis bagi sudut ∠BOA, maka sudut ∠LOB = , serupa dengan ∠BOA = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Jumlah sudut α + β sama dengan 180°, karena sudut-sudut ini berdekatan.

Akibat wajar 2: Sudut antara garis bagi sudut vertikal sama dengan 180°.

Beras. 5. Menggambar akibat wajar 2

KO adalah garis bagi ∠AOB, LO adalah garis bagi ∠COD. Jelasnya, ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o. Jumlah sudut α + β sama dengan 180°, karena sudut-sudut ini berdekatan.

Mari pertimbangkan beberapa tugas:

Tentukan sudut yang berdekatan dengan ∠AOC jika ∠AOC = 111 o.

Mari kita membuat gambar untuk tugas tersebut:

Beras. 6. Menggambar misalnya 1

Karena ∠AOC = β dan ∠COD = α merupakan sudut-sudut yang berdekatan, maka α + β = 180 o. Artinya, 111 o + β = 180 o.

Artinya β = 69 o.

Jenis soal ini memanfaatkan teorema jumlah sudut berdekatan.

Salah satu sudut yang berdekatan adalah sudut siku-siku, manakah sudut yang lain (lancip, tumpul, atau siku-siku)?

Jika salah satu sudutnya siku-siku, dan jumlah kedua sudutnya 180°, maka sudut yang lain juga siku-siku. Soal ini menguji pengetahuan tentang jumlah sudut yang berdekatan.

Benarkah sudut-sudut yang berdekatan sama besar maka sudut-sudut tersebut siku-siku?

Mari kita buat persamaannya: α + β = 180 o, tetapi karena α = β, maka β + β = 180 o, artinya β = 90 o.

Jawaban: Ya, pernyataan tersebut benar.

Diberikan dua sudut yang sama besar. Benarkah sudut-sudut yang berdekatan juga sama besar?

Beras. 7. Menggambar misalnya 4

Jika dua sudut sama besar , maka sudut yang berdekatan adalah 180 o - . Artinya, mereka akan setara satu sama lain.

Jawaban: Pernyataan tersebut benar.

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. dan lain-lain. Geometri 7. - M.: Pendidikan.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. dan lain-lain. Geometri 7. edisi ke-5. - M.: Pencerahan.
\Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometri 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, diedit oleh V.A. Sadovnichigo. - M.: Pendidikan, 2010.

Pengukuran segmen ().
Pelajaran umum geometri di kelas 7 ().
Garis lurus, ruas ().

Nomor 13, 14. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometri 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, diedit oleh V.A. Sadovnichigo. - M.: Pendidikan, 2010.
Temukan dua sudut yang berdekatan jika salah satu sudutnya 4 kali sudut lainnya.
Mengingat sudutnya. Buatlah sudut yang berdekatan dan vertikal untuk itu. Berapa banyak sudut yang dapat dibuat?
* Dalam hal manakah diperoleh pasangan sudut vertikal yang lebih banyak: bila tiga garis lurus berpotongan di satu titik atau di tiga titik?

Dalam proses pembelajaran mata kuliah geometri, konsep “sudut”, “sudut vertikal”, “sudut berdekatan” cukup sering muncul. Memahami setiap istilah akan membantu Anda memahami masalah dan menyelesaikannya dengan benar. Berapakah sudut-sudut yang berdekatan dan bagaimana cara menentukannya?

Sudut yang berdekatan - definisi konsep

Istilah “sudut-sudut yang berdekatan” mencirikan dua sudut yang dibentuk oleh sinar persekutuan dan dua garis setengah tambahan yang terletak pada satu garis lurus. Ketiga sinar tersebut keluar dari titik yang sama. Setengah garis persekutuan sekaligus merupakan sisi dari salah satu sudut dan sudut lainnya.

Sudut yang berdekatan - sifat dasar

1. Berdasarkan rumusan sudut-sudut yang berdekatan, mudah diketahui bahwa jumlah sudut-sudut tersebut selalu membentuk sudut terbalik yang besar derajatnya adalah 180°:

Jika μ dan η merupakan sudut-sudut yang berdekatan, maka μ + η = 180°.
Mengetahui besar salah satu sudut yang berdekatan (misalnya, μ), Anda dapat dengan mudah menghitung besaran derajat sudut kedua (η) menggunakan persamaan η = 180° – μ.

2. Sifat sudut ini memungkinkan kita menarik kesimpulan sebagai berikut: sudut yang berdekatan sudut kanan, juga akan langsung.

3. Menimbang fungsi trigonometri(sin, cos, tg, ctg), berdasarkan rumus reduksi sudut berdekatan μ dan η, berlaku persamaan berikut:

sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Sudut yang berdekatan - contoh

Contoh 1

Diberikan sebuah segitiga dengan titik sudut M, P, Q – ΔMPQ. Tentukan sudut yang berdekatan dengan sudut ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

Mari kita perpanjang setiap sisi segitiga dengan garis lurus.
Mengetahui bahwa sudut-sudut yang berdekatan saling melengkapi hingga membentuk sudut terbalik, kita mengetahui bahwa:

berdekatan dengan sudut ∠QMP adalah ∠LMP,

berdekatan dengan sudut ∠MPQ adalah ∠SPQ,

berdekatan dengan sudut ∠PQM adalah ∠HQP.

Contoh 2

Nilai salah satu sudut yang berdekatan adalah 35°. Berapa besar derajat sudut kedua yang berdekatan?

Dua sudut yang berdekatan berjumlah 180°.
Jika ∠μ = 35°, maka didekatnya ∠η = 180° – 35° = 145°.

Contoh 3

Tentukan nilai sudut-sudut yang berdekatan jika diketahui besar derajat salah satunya tiga kali lebih besar dari besar sudut yang lain.

Mari kita nyatakan besarnya satu sudut (lebih kecil) dengan – ∠μ = λ.
Kemudian sesuai dengan kondisi soal, nilai sudut kedua akan sama dengan ∠η = 3λ.
Berdasarkan sifat dasar sudut berdekatan, μ + η = 180° sebagai berikut

λ + 3λ = μ + η = 180°,

= 180°/4 = 45°.

Artinya sudut pertama adalah ∠μ = λ = 45°, dan sudut kedua adalah ∠η = 3λ = 135°.

Kemampuan menggunakan terminologi, serta pengetahuan tentang sifat dasar sudut yang berdekatan, akan membantu Anda memecahkan banyak masalah geometri.