Metode penyelesaian sistem persamaan dengan dua variabel. Sistem persamaan - informasi dasar

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda e-mail dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Sistem persamaan linier dengan dua hal yang tidak diketahui - ini adalah dua atau lebih persamaan linier yang semuanya perlu dicari solusi umum. Kami akan mempertimbangkan sistem dua persamaan linier dalam dua hal yang tidak diketahui. Gambaran umum sistem dua persamaan linier dengan dua hal yang tidak diketahui ditunjukkan pada gambar di bawah ini:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Di sini x dan y adalah variabel yang tidak diketahui, a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah bilangan real. Penyelesaian sistem dua persamaan linier dalam dua bilangan yang tidak diketahui adalah sepasang bilangan (x,y) sehingga jika bilangan-bilangan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, maka setiap persamaan sistem tersebut menjadi persamaan sejati. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Mari kita perhatikan salah satu cara menyelesaikan sistem persamaan linear, yaitu metode penjumlahan.

Algoritma penyelesaian dengan metode penjumlahan

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui menggunakan metode penjumlahan.

1. Jika diperlukan, dengan menggunakan transformasi ekuivalen, samakan koefisien salah satu variabel yang tidak diketahui pada kedua persamaan.

2. Dengan menjumlahkan atau mengurangkan persamaan yang dihasilkan, diperoleh persamaan linier dengan satu persamaan yang tidak diketahui

3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel yang tidak diketahui dan temukan salah satu variabelnya.

4. Gantikan ekspresi yang dihasilkan ke salah satu dari dua persamaan sistem dan selesaikan persamaan ini, sehingga diperoleh variabel kedua.

5. Periksa solusinya.

Contoh penyelesaian dengan menggunakan metode penjumlahan

Agar lebih jelas, mari kita selesaikan sistem persamaan linear dengan dua bilangan tak diketahui berikut ini dengan menggunakan metode penjumlahan:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Karena tidak ada satupun variabel yang mempunyai koefisien yang sama, maka kita samakan koefisien variabel y. Caranya, kalikan persamaan pertama dengan tiga, dan persamaan kedua dengan dua.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Kami mengerti sistem persamaan berikut:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Sekarang kita kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua. Kami menyajikan istilah serupa dan menyelesaikan persamaan linier yang dihasilkan.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Kami mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan pertama dari sistem asli kami dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan.

(3*(-6) + 2*kamu =10;
(2*kamu=28; kamu =14;

Hasilnya adalah sepasang bilangan x=6 dan y=14. Kami sedang memeriksa. Mari kita melakukan substitusi.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Seperti yang Anda lihat, kami mendapatkan dua persamaan yang benar, oleh karena itu, kami menemukan solusi yang tepat.

Pertama-tama mari kita perhatikan kasus ketika jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel, yaitu. m = n. Maka matriks sistem tersebut berbentuk persegi, dan determinannya disebut determinan sistem.

Metode matriks terbalik

Mari kita perhatikan secara umum sistem persamaan AX = B dengan matriks persegi A yang tidak berdegenerasi. Dalam hal ini, terdapat matriks terbalik SEBUAH -1. Kalikan kedua ruas dengan A -1 di sebelah kiri. Kita peroleh A -1 AX = A -1 B. Maka EX = A -1 B dan

Persamaan terakhir adalah rumus matriks untuk mencari solusi sistem persamaan tersebut. Penggunaan rumus ini disebut metode matriks invers

Misalnya, mari gunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem berikut:

;

Di akhir penyelesaian sistem, Anda dapat memeriksanya dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang ditemukan ke dalam persamaan sistem. Dengan melakukan hal ini, mereka harus berubah menjadi kesetaraan sejati.

Untuk contoh yang dipertimbangkan, mari kita periksa:

Metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan matriks persegi menggunakan rumus Cramer

Misalkan n= 2:

Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan pertama dengan a 22, dan kedua ruas persamaan kedua dengan (-a 12), lalu menjumlahkan persamaan yang dihasilkan, maka kita menghilangkan variabel x 2 dari sistem. Demikian pula, Anda dapat menghilangkan variabel x 1 (dengan mengalikan kedua ruas persamaan pertama dengan (-a 21), dan kedua ruas persamaan kedua dengan a 11). Hasilnya, kami mendapatkan sistem:

Ekspresi dalam tanda kurung adalah determinan sistem

Mari kita tunjukkan

Maka sistem akan berbentuk:

Dari sistem yang dihasilkan dapat disimpulkan bahwa jika determinan sistem adalah 0, maka sistem tersebut konsisten dan pasti. Solusi satu-satunya dapat dihitung menggunakan rumus:

Jika = 0, a 1 0 dan/atau  2 0, maka persamaan sistemnya berbentuk 0*x 1 = 2 dan/atau 0*x 1 = 2. Dalam hal ini, sistem akan menjadi tidak konsisten.

Dalam kasus ketika = 1 = 2 = 0, sistem akan konsisten dan tidak terbatas (akan memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas), karena akan berbentuk:

teorema Cramer(kami akan menghilangkan buktinya). Jika determinan matriks suatu sistem persamaan  tidak sama dengan nol, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik yang ditentukan dengan rumus:

dimana  j adalah determinan matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke-j dengan kolom suku bebas.

Rumus di atas disebut Rumus Cramer.

Sebagai contoh, mari kita gunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem yang sebelumnya diselesaikan menggunakan metode matriks invers:

Kerugian dari metode yang dipertimbangkan:

1) intensitas tenaga kerja yang signifikan (menghitung determinan dan mencari matriks invers);

2) cakupan terbatas (untuk sistem dengan matriks persegi).

Situasi ekonomi riil sering kali dimodelkan dengan sistem yang jumlah persamaan dan variabelnya cukup signifikan, dan terdapat lebih banyak persamaan daripada variabel. Oleh karena itu, dalam praktiknya, metode berikut ini lebih umum.

Metode Gaussian (metode eliminasi variabel secara berurutan)

Metode ini digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier m dengan n variabel masuk pandangan umum. Esensinya terletak pada penerapan sistem transformasi ekuivalen pada matriks yang diperluas, yang dengannya sistem persamaan diubah menjadi bentuk yang solusinya mudah ditemukan (jika ada).

Ini adalah tampilan di mana bagian kiri atas matriks sistem akan menjadi matriks bertahap. Hal ini dicapai dengan menggunakan teknik yang sama yang digunakan untuk mendapatkan matriks langkah untuk menentukan peringkat. Dalam hal ini, transformasi dasar diterapkan pada matriks yang diperluas, yang memungkinkan diperolehnya sistem persamaan yang setara. Setelah itu, matriks yang diperluas akan berbentuk:

Memperoleh matriks seperti itu disebut lurus ke depan metode Gauss.

Menemukan nilai-nilai variabel dari sistem persamaan yang bersesuaian disebut sebaliknya metode Gauss. Mari kita pertimbangkan.

Perhatikan bahwa persamaan terakhir (m – r) akan berbentuk:

Jika setidaknya salah satu angkanya
tidak sama dengan nol, maka persamaan yang bersangkutan akan salah, dan keseluruhan sistem akan menjadi tidak konsisten.

Oleh karena itu, untuk sistem gabungan apa pun
. Dalam hal ini, persamaan terakhir (m – r) untuk setiap nilai variabel akan menjadi identitas 0 = 0, dan persamaan tersebut dapat diabaikan saat menyelesaikan sistem (buang saja baris yang bersesuaian).

Setelah itu, sistem akan terlihat seperti:

Mari kita perhatikan kasus ketika r=n. Maka sistem akan berbentuk:

Dari persamaan terakhir sistem, x r dapat dicari secara unik.

Mengetahui x r, kita dapat dengan jelas menyatakan x r -1 darinya. Kemudian dari persamaan sebelumnya, dengan mengetahui x r dan x r -1, kita dapat menyatakan x r -2, dst. hingga x 1 .

Jadi, dalam hal ini sistemnya akan bersifat bersama dan ditentukan.

Sekarang perhatikan kasus ketika r dasar(utama), dan sisanya - non-dasar(non-inti, gratis). Persamaan terakhir dari sistem ini adalah:

Dari persamaan ini kita dapat menyatakan variabel dasar x r dalam bentuk variabel non-dasar:

Persamaan kedua dari belakang akan terlihat seperti:

Dengan mensubstitusi ekspresi yang dihasilkan sebagai pengganti x r, variabel dasar x r -1 dapat dinyatakan dalam variabel non-dasar. Dll. ke variabelx 1 . Untuk mendapatkan solusi sistem, Anda dapat menyamakan variabel non-dasar dengan nilai arbitrer dan kemudian menghitung variabel dasar menggunakan rumus yang dihasilkan. Jadi, dalam hal ini sistem akan konsisten dan tidak terbatas (memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas).

Misalnya, mari kita selesaikan sistem persamaan:

Kami akan memanggil himpunan variabel dasar dasar sistem. Kita juga akan memanggil himpunan kolom koefisiennya dasar(kolom dasar), atau dasar kecil matriks sistem. Penyelesaian sistem yang semua variabel nonbasanya sama dengan nol disebut solusi dasar.

Pada contoh sebelumnya, solusi dasarnya adalah (4/5; -17/5; 0; 0) (variabel x 3 dan x 4 (c 1 dan c 2) disetel ke nol, dan variabel dasar x 1 dan x 2 dihitung melalui mereka) . Untuk memberikan contoh solusi non-dasar, kita perlu menyamakan x 3 dan x 4 (c 1 dan c 2) dengan bilangan sembarang yang tidak sekaligus nol, dan menghitung variabel yang tersisa melalui bilangan tersebut. Misalnya, dengan c 1 = 1 dan c 2 = 0, kita memperoleh solusi non-basa - (4/5; -12/5; 1; 0). Dengan substitusi, mudah untuk memverifikasi bahwa kedua solusi tersebut benar.

Jelaslah bahwa dalam sistem tak tentu terdapat solusi non-basa yang jumlahnya tak terhingga. Berapa banyak solusi dasar yang ada? Setiap baris matriks yang ditransformasi harus sesuai dengan satu variabel basis. Ada n variabel dalam soal, dan r garis dasar. Oleh karena itu, jumlah semua himpunan variabel dasar yang mungkin tidak boleh melebihi jumlah kombinasi n kali 2. Ini mungkin kurang dari , karena tidak selalu mungkin untuk mengubah sistem ke bentuk sedemikian rupa sehingga kumpulan variabel tertentu menjadi dasarnya.

Jenis apa ini? Ini adalah tipe dimana matriks yang dibentuk dari kolom-kolom koefisien untuk variabel-variabel tersebut akan dilangkahkan, dan pada saat yang sama akan terdiri dari r baris. Itu. pangkat matriks koefisien untuk variabel-variabel tersebut harus sama dengan r. Tidak boleh lebih besar karena jumlah kolomnya sama. Jika ternyata lebih kecil dari r, maka ini menunjukkan ketergantungan linier kolom terhadap variabel. Kolom seperti itu tidak dapat menjadi dasar.

Mari kita pertimbangkan solusi dasar lainnya yang dapat ditemukan dalam contoh yang dibahas di atas. Untuk melakukan ini, pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi empat variabel, masing-masing dua variabel dasar. Akan ada kombinasi seperti itu
, dan salah satunya (x 1 dan x 2) telah dipertimbangkan.

Mari kita ambil variabel x 1 dan x 3. Mari kita cari pangkat matriks koefisiennya:

Karena sama dengan dua, maka keduanya bisa menjadi dasar. Mari kita samakan variabel non-basis x 2 dan x 4 dengan nol: x 2 = x 4 = 0. Maka dari rumus x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 diperoleh x 1 = 4 /5, dan dari rumus x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 maka x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Jadi, kita memperoleh solusi dasar (4/5; 0; 17/5; 0).

Demikian pula, Anda dapat memperoleh solusi dasar untuk variabel dasar x 1 dan x 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 dan x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 dan x 4 – (0; 0; 9; 4).

Variabel x 2 dan x 3 dalam contoh ini tidak dapat dianggap sebagai variabel dasar, karena rank matriks yang bersesuaian sama dengan satu, yaitu. kurang dari dua:

Pendekatan lain untuk menentukan apakah mungkin atau tidak untuk membangun suatu basis dari variabel-variabel tertentu juga dimungkinkan. Saat menyelesaikan contoh, sebagai hasil transformasi matriks sistem ke bentuk bertahap, diperoleh bentuk:

Dengan memilih pasangan variabel, dimungkinkan untuk menghitung minor yang sesuai dari matriks ini. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa untuk semua pasangan kecuali x 2 dan x 3 mereka tidak sama dengan nol, mis. kolom-kolomnya bebas linier. Dan hanya untuk kolom dengan variabel x 2 dan x 3
, yang menunjukkan ketergantungan liniernya.

Mari kita lihat contoh lainnya. Mari kita selesaikan sistem persamaannya

Jadi, persamaan yang bersesuaian dengan baris ketiga matriks terakhir adalah kontradiktif - menghasilkan persamaan 0 = -1 yang salah, oleh karena itu, sistem ini tidak konsisten.

Metode Jordan-Gauss 3 merupakan pengembangan dari metode Gaussian. Esensinya adalah matriks perluasan sistem diubah menjadi bentuk yang koefisien-koefisien variabelnya membentuk matriks identitas sampai dengan permutasi baris atau kolom 4 (di mana r adalah pangkat matriks sistem).

Mari selesaikan sistem menggunakan metode ini:

Pertimbangkan matriks yang diperluas dari sistem:

Dalam matriks ini kita memilih elemen satuan. Misalnya, koefisien x 2 pada batasan ketiga adalah 5. Mari kita pastikan bahwa baris yang tersisa di kolom ini berisi angka nol, mis. mari kita jadikan kolomnya tunggal. Selama proses transformasi kita akan menyebutnya demikian kolompermisif(terkemuka, kunci). Batasan ketiga (ketiga garis) kami juga akan menelepon permisif. Saya sendiri elemen, yang berdiri di perpotongan baris dan kolom penyelesaian (ini dia salah satunya), disebut juga permisif.

Baris pertama sekarang berisi koefisien (-1). Untuk mendapatkan angka nol pada tempatnya, kalikan baris ketiga dengan (-1) dan kurangi hasilnya dari baris pertama (yaitu cukup tambahkan baris pertama ke baris ketiga).

Baris kedua berisi koefisien 2. Untuk mendapatkan nol pada tempatnya, kalikan baris ketiga dengan 2 dan kurangi hasilnya dari baris pertama.

Hasil transformasinya akan terlihat seperti:

Dari matriks ini terlihat jelas bahwa salah satu dari dua batasan pertama dapat dihilangkan (baris-baris yang bersesuaian adalah proporsional, yaitu persamaan-persamaan ini mengikuti satu sama lain). Mari kita coret, misalnya, yang kedua:

Jadi, sistem baru memiliki dua persamaan. Kolom satuan (detik) diperoleh, dan satuan di sini muncul di baris kedua. Mari kita ingat bahwa persamaan kedua dari sistem baru akan sesuai dengan variabel dasar x 2.

Mari kita pilih variabel dasar untuk baris pertama. Ini dapat berupa variabel apa pun kecuali x 3 (karena untuk x 3 batasan pertama memiliki koefisien nol, yaitu himpunan variabel x 2 dan x 3 tidak dapat menjadi variabel dasar di sini). Anda dapat mengambil variabel pertama atau keempat.

Mari kita pilih x 1. Maka elemen penyelesaiannya akan menjadi 5, dan kedua ruas persamaan penyelesaian harus dibagi lima untuk mendapatkan satu di kolom pertama pada baris pertama.

Mari kita pastikan bahwa baris yang tersisa (yaitu baris kedua) memiliki angka nol di kolom pertama. Karena sekarang baris kedua tidak berisi nol, tetapi 3, kita perlu mengurangi dari baris kedua elemen baris pertama yang diubah, dikalikan 3:

Dari matriks yang dihasilkan seseorang dapat langsung mengekstrak satu solusi dasar, menyamakan variabel non-dasar dengan nol, dan variabel dasar dengan suku bebas dalam persamaan yang sesuai: (0,8; -3,4; 0; 0). Anda juga dapat menurunkan rumus umum yang menyatakan variabel dasar melalui variabel non-dasar: x 1 = 0,8 – 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Rumus ini menjelaskan seluruh himpunan solusi sistem yang tak terhingga (dengan menyamakan x 3 dan x 4 dengan bilangan sembarang, Anda dapat menghitung x 1 dan x 2).

Perhatikan bahwa inti dari transformasi pada setiap tahap metode Jordan-Gauss adalah sebagai berikut:

1) garis resolusi dibagi dengan elemen resolusi sehingga diperoleh satuan pada tempatnya,

2) dari semua baris lainnya, resolusi yang diubah dikurangi, dikalikan dengan elemen yang ada pada baris tertentu di kolom resolusi, untuk mendapatkan nol sebagai pengganti elemen ini.

Mari kita perhatikan kembali matriks perluasan sistem yang ditransformasikan:

Dari catatan ini terlihat jelas bahwa rank matriks sistem A sama dengan r.

Dalam perjalanan pemikiran kami, kami menetapkan bahwa sistem akan kooperatif jika dan hanya jika
. Artinya matriks yang diperluas dari sistem akan terlihat seperti:

Dengan membuang baris nol, kita memperoleh bahwa pangkat matriks yang diperluas dari sistem juga sama dengan r.

Teorema Kronecker-Capelli. Suatu sistem persamaan linier dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem tersebut sama dengan pangkat matriks yang diperluas dari sistem tersebut.

Ingatlah bahwa pangkat suatu matriks sama dengan jumlah maksimum baris-barisnya yang bebas linier. Oleh karena itu, jika pangkat matriks yang diperluas lebih kecil dari jumlah persamaan, maka persamaan sistem tersebut bergantung linier, dan satu atau lebih persamaan tersebut dapat dikeluarkan dari sistem (karena persamaan tersebut linier kombinasi yang lain). Suatu sistem persamaan akan bebas linier hanya jika pangkat matriks yang diperluas sama dengan banyaknya persamaan.

Selain itu, untuk sistem persamaan linier simultan, dapat dikatakan bahwa jika pangkat matriks sama dengan jumlah variabel, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik, dan jika lebih kecil dari jumlah variabel, maka sistem ini tidak terbatas dan memiliki banyak solusi yang tak terhingga.

1Misalnya, ada lima baris dalam matriks (urutan baris aslinya adalah 12345). Kita perlu mengubah baris kedua dan kelima. Agar baris kedua menggantikan baris kelima dan “bergerak” ke bawah, kita berturut-turut mengubah baris yang berdekatan sebanyak tiga kali: baris kedua dan ketiga (13245), baris kedua dan keempat (13425) dan baris kedua dan kelima (13452). ). Kemudian, agar baris kelima menggantikan baris kedua dalam matriks asli, baris kelima perlu “digeser” ke atas hanya dengan dua perubahan berturut-turut: baris kelima dan keempat (13542) dan baris kelima dan ketiga. (15342).

2Jumlah kombinasi dari n ke r mereka menyebut jumlah semua himpunan bagian r-elemen yang berbeda dari himpunan n-elemen (yang memiliki komposisi elemen berbeda dianggap himpunan berbeda; urutan pemilihan tidak penting). Itu dihitung menggunakan rumus:
.
0!=1.)

Mari kita mengingat kembali arti tanda “!” (faktorial):

3 Karena metode ini lebih umum daripada metode Gaussian yang telah dibahas sebelumnya, dan pada dasarnya merupakan kombinasi langkah maju dan mundur dari metode Gaussian, terkadang metode ini juga disebut metode Gaussian, dengan menghilangkan bagian pertama namanya.
.

4Misalnya,

5Jika tidak ada satuan dalam matriks sistem, maka, misalnya, kedua ruas persamaan pertama dapat dibagi dua, dan koefisien pertama akan menjadi satu; atau sejenisnya Dengan video ini saya memulai serangkaian pelajaran yang didedikasikan untuk sistem persamaan. Hari ini kita akan berbicara tentang penyelesaian sistem persamaan linear- Ini adalah salah satu metode paling sederhana, tetapi sekaligus salah satu yang paling efektif.

Metode penjumlahan terdiri dari tiga langkah sederhana:

Perhatikan sistemnya dan pilih variabel yang memiliki koefisien identik (atau berlawanan) di setiap persamaan;
Lakukan pengurangan aljabar (untuk bilangan berlawanan - penjumlahan) persamaan satu sama lain, lalu turunkan suku-suku serupa;
Selesaikan persamaan baru yang diperoleh setelah langkah kedua.

Jika semuanya dilakukan dengan benar, maka pada output kita akan mendapatkan satu persamaan dengan satu variabel- tidak akan sulit untuk menyelesaikannya. Maka yang tersisa hanyalah mengganti akar yang ditemukan ke dalam sistem asli dan mendapatkan jawaban akhir.

Namun, dalam praktiknya, semuanya tidak sesederhana itu. Ada beberapa alasan untuk ini:

Menyelesaikan persamaan dengan metode penjumlahan berarti semua garis harus memuat variabel yang koefisiennya sama/berlawanan. Apa yang harus dilakukan jika persyaratan ini tidak dipenuhi?
Tidak selalu, setelah menjumlahkan/mengurangi persamaan dengan cara yang ditunjukkan, kita mendapatkan konstruksi indah yang dapat diselesaikan dengan mudah. Apakah mungkin untuk menyederhanakan penghitungan dan mempercepat penghitungan?

Untuk mendapatkan jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini, dan pada saat yang sama memahami beberapa seluk-beluk tambahan yang banyak siswa gagal, tonton video pelajaran saya:

Dengan pelajaran ini kita memulai serangkaian perkuliahan yang membahas tentang sistem persamaan. Dan kita akan mulai dari yang paling sederhana yaitu yang memuat dua persamaan dan dua variabel. Masing-masing akan linier.

Sistem adalah materi kelas 7, tetapi pelajaran ini juga akan berguna bagi siswa sekolah menengah yang ingin memperdalam pengetahuan mereka tentang topik ini.

Secara umum, ada dua metode untuk menyelesaikan sistem tersebut:

Metode penambahan;
Suatu metode untuk menyatakan suatu variabel dalam variabel lain.

Hari ini kita akan membahas metode pertama - kita akan menggunakan metode pengurangan dan penjumlahan. Namun untuk melakukannya, Anda perlu memahami fakta berikut: setelah Anda memiliki dua persamaan atau lebih, Anda dapat mengambil dua persamaan tersebut dan menjumlahkannya satu sama lain. Mereka ditambahkan anggota demi anggota, mis. “X” ditambahkan ke “X” dan diberikan yang serupa, “Y” dengan “Y” serupa lagi, dan yang di sebelah kanan tanda sama dengan juga ditambahkan satu sama lain, dan yang serupa juga diberikan di sana .

Hasil intrik tersebut akan menjadi persamaan baru, yang jika mempunyai akar-akar pasti akan berada di antara akar-akar persamaan aslinya. Oleh karena itu, tugas kita adalah melakukan pengurangan atau penjumlahan sedemikian rupa sehingga $x$ atau $y$ menghilang.

Bagaimana mencapainya dan alat apa yang digunakan - kita akan membicarakannya sekarang.

Memecahkan masalah mudah menggunakan penjumlahan

Jadi, kita belajar menggunakan metode penjumlahan dengan menggunakan contoh dua ekspresi sederhana.

Tugas No.1

\[\kiri\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Perhatikan bahwa $y$ memiliki koefisien $-4$ pada persamaan pertama, dan $+4$ pada persamaan kedua. Mereka saling bertolak belakang, jadi masuk akal untuk berasumsi bahwa jika kita menjumlahkannya, maka dalam jumlah yang dihasilkan, “permainan” tersebut akan saling dihancurkan. Tambahkan dan dapatkan:

Mari selesaikan konstruksi paling sederhana:

Hebat, kami menemukan "x". Apa yang harus kita lakukan sekarang? Kami mempunyai hak untuk mensubstitusikannya ke dalam persamaan mana pun. Mari kita gantikan yang pertama:

\[-4y=12\kiri| :\kiri(-4 \kanan) \kanan.\]

Jawaban: $\kiri(2;-3 \kanan)$.

Masalah No.2

\[\kiri\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Situasi di sini sangat mirip, hanya dengan “X”. Mari kita jumlahkan:

Kita mempunyai persamaan linier yang paling sederhana, mari kita selesaikan:

Sekarang mari kita cari $x$:

Jawaban: $\kiri(-3;3 \kanan)$.

Poin penting

Jadi, kita baru saja menyelesaikan dua sistem persamaan linear sederhana dengan menggunakan metode penjumlahan. Poin-poin penting lagi:

Jika terdapat koefisien yang berlawanan untuk salah satu variabel, maka semua variabel dalam persamaan tersebut perlu dijumlahkan. Dalam hal ini, salah satu dari mereka akan hancur.
Kami mengganti variabel yang ditemukan ke dalam persamaan sistem mana pun untuk menemukan persamaan kedua.
Catatan tanggapan akhir dapat disajikan dengan cara yang berbeda. Misalnya seperti ini - $x=...,y=...$, atau dalam bentuk koordinat titik - $\left(...;... \right)$. Opsi kedua lebih disukai. Hal utama yang perlu diingat adalah koordinat pertama adalah $x$, dan koordinat kedua adalah $y$.
Aturan penulisan jawaban dalam bentuk koordinat titik tidak selalu berlaku. Misalnya, ini tidak dapat digunakan jika variabelnya bukan $x$ dan $y$, tetapi, misalnya, $a$ dan $b$.

Dalam soal berikut kita akan membahas teknik pengurangan jika koefisiennya tidak berlawanan.

Menyelesaikan soal mudah menggunakan metode pengurangan

Tugas No.1

\[\kiri\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Perhatikan bahwa tidak ada koefisien yang berlawanan di sini, tetapi ada koefisien yang identik. Oleh karena itu, kita kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama:

Sekarang kita substitusikan nilai $x$ ke dalam persamaan sistem mana pun. Ayo pergi dulu:

Jawaban: $\kiri(2;5\kanan)$.

Masalah No.2

\[\kiri\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Kita kembali melihat koefisien yang sama yaitu $5$ untuk $x$ pada persamaan pertama dan kedua. Oleh karena itu, masuk akal untuk berasumsi bahwa Anda perlu mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama:

Kami telah menghitung satu variabel. Sekarang mari kita cari yang kedua, misalnya dengan mensubstitusi nilai $y$ ke dalam konstruksi kedua:

Jawaban: $\kiri(-3;-2 \kanan)$.

Nuansa solusinya

Jadi apa yang kita lihat? Intinya, skema ini tidak berbeda dengan solusi sistem sebelumnya. Satu-satunya perbedaan adalah kita tidak menjumlahkan persamaan, tetapi mengurangkannya. Kami melakukan pengurangan aljabar.

Dengan kata lain, segera setelah Anda melihat sistem yang terdiri dari dua persamaan dalam dua hal yang tidak diketahui, hal pertama yang perlu Anda lihat adalah koefisiennya. Jika persamaannya sama, persamaannya dikurangi, dan jika kebalikannya, digunakan metode penjumlahan. Hal ini selalu dilakukan agar salah satunya hilang, dan pada persamaan akhir yang tersisa setelah pengurangan, hanya satu variabel yang tersisa.

Tentu saja bukan itu saja. Sekarang kita akan membahas sistem yang persamaannya umumnya tidak konsisten. Itu. Tidak ada variabel di dalamnya yang sama atau berlawanan. Dalam hal ini, untuk menyelesaikan sistem tersebut digunakan teknik tambahan, yaitu mengalikan setiap persamaan dengan koefisien khusus. Bagaimana menemukannya dan bagaimana menyelesaikan sistem seperti itu secara umum, kita akan membicarakannya sekarang.

Menyelesaikan masalah dengan mengalikannya dengan koefisien

Contoh #1

\[\kiri\( \begin(sejajarkan)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Kita melihat bahwa baik untuk $x$ maupun $y$, koefisiennya tidak hanya saling berlawanan, tetapi juga sama sekali tidak berkorelasi dengan persamaan lainnya. Koefisien-koefisien ini tidak akan hilang dengan cara apa pun, meskipun kita menambah atau mengurangi persamaan satu sama lain. Oleh karena itu, perlu diterapkan perkalian. Mari kita coba menghilangkan variabel $y$. Caranya, kita mengalikan persamaan pertama dengan koefisien $y$ dari persamaan kedua, dan persamaan kedua dengan koefisien $y$ dari persamaan pertama, tanpa menyentuh tandanya. Kami mengalikan dan mendapatkan sistem baru:

\[\kiri\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Mari kita lihat: pada $y$ koefisiennya berlawanan. Dalam situasi seperti ini, perlu menggunakan metode penjumlahan. Mari tambahkan:

Sekarang kita perlu mencari $y$. Untuk melakukan ini, gantikan $x$ ke dalam ekspresi pertama:

\[-9y=18\kiri| :\kiri(-9 \kanan) \kanan.\]

Jawaban: $\kiri(4;-2 \kanan)$.

Contoh No.2

\[\kiri\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Sekali lagi, tidak ada koefisien untuk semua variabel yang konsisten. Mari kita kalikan dengan koefisien $y$:

\[\kiri\( \mulai(sejajarkan)& 11x+4y=-18\kiri| 6 \kanan. \\& 13x-6y=-32\kiri| 4 \kanan. \\\end(sejajarkan) \kanan .\]

\[\kiri\( \begin(sejajarkan)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Sistem baru kita setara dengan sistem sebelumnya, namun koefisien $y$ saling berlawanan, dan oleh karena itu mudah untuk menerapkan metode penjumlahan di sini:

Sekarang mari kita cari $y$ dengan mensubstitusikan $x$ ke persamaan pertama:

Jawaban: $\kiri(-2;1 \kanan)$.

Nuansa solusinya

Aturan utamanya di sini adalah sebagai berikut: kami selalu mengalikan hanya dengan angka positif - ini akan menyelamatkan Anda dari kesalahan bodoh dan menyinggung yang terkait dengan perubahan tanda. Secara umum, skema solusinya cukup sederhana:

Kami melihat sistem dan menganalisis setiap persamaan.
Jika kita melihat bahwa baik $y$ maupun $x$ koefisiennya konsisten, mis. keduanya tidak sama atau berlawanan, lalu kita lakukan hal berikut: kita pilih variabel yang ingin kita hilangkan, lalu kita lihat koefisien persamaannya. Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan koefisien dari persamaan kedua, dan persamaan kedua, mengalikannya dengan koefisien dari persamaan pertama, maka pada akhirnya kita akan mendapatkan sistem yang sepenuhnya setara dengan persamaan sebelumnya, dan koefisien $ y$ akan konsisten. Semua tindakan atau transformasi kita ditujukan hanya untuk mendapatkan satu variabel dalam satu persamaan.
Kami menemukan satu variabel.
Kami mengganti variabel yang ditemukan ke dalam salah satu dari dua persamaan sistem dan menemukan yang kedua.
Jawabannya kita tuliskan dalam bentuk koordinat titik jika kita mempunyai variabel $x$ dan $y$.

Namun algoritme sederhana seperti itu pun memiliki kehalusannya sendiri, misalnya koefisien $x$ atau $y$ dapat berupa pecahan dan bilangan “jelek” lainnya. Kami sekarang akan mempertimbangkan kasus-kasus ini secara terpisah, karena di dalamnya Anda dapat bertindak sedikit berbeda dari pada algoritma standar.

Menyelesaikan masalah pecahan

Contoh #1

\[\kiri\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Pertama, perhatikan bahwa persamaan kedua mengandung pecahan. Namun perhatikan bahwa Anda dapat membagi $4$ dengan $0,8$. Kami akan menerima $5$. Mari kalikan persamaan kedua dengan $5$:

\[\kiri\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Kami mengurangi persamaan satu sama lain:

Kita menemukan $n$, sekarang mari kita hitung $m$:

Jawaban: $n=-4;m=5$

Contoh No.2

\[\kiri\( \begin(sejajarkan)& 2,5p+1,5k=-13\kiri| 4 \kanan. \\& 2p-5k=2\kiri| 5 \kanan. \\\end(sejajarkan )\ Kanan.\]

Di sini, seperti pada sistem sebelumnya, terdapat koefisien pecahan, tetapi tidak ada satupun variabel yang koefisiennya cocok satu sama lain beberapa kali bilangan bulat. Oleh karena itu, kami menggunakan algoritma standar. Singkirkan $p$:

\[\kiri\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Kami menggunakan metode pengurangan:

Mari kita cari $p$ dengan mengganti $k$ ke dalam konstruksi kedua:

Jawaban: $p=-4;k=-2$.

Nuansa solusinya

Itu semua optimasi. Pada persamaan pertama, kita tidak mengalikan dengan apa pun, tetapi mengalikan persamaan kedua dengan $5$. Hasilnya, kami mendapatkan persamaan yang konsisten dan bahkan identik untuk variabel pertama. Pada sistem kedua kami mengikuti algoritma standar.

Tapi bagaimana Anda menemukan angka yang dapat digunakan untuk mengalikan persamaan? Lagi pula, jika kita mengalikan dengan pecahan, kita mendapatkan pecahan baru. Oleh karena itu, pecahan harus dikalikan dengan bilangan yang menghasilkan bilangan bulat baru, dan setelah itu variabel harus dikalikan dengan koefisien, mengikuti algoritma standar.

Sebagai penutup, saya ingin menarik perhatian Anda pada format pencatatan tanggapan. Seperti yang sudah saya katakan, karena di sini kita tidak memiliki $x$ dan $y$, tetapi nilai lain, kita menggunakan notasi non-standar dalam bentuk:

Memecahkan sistem persamaan yang kompleks

Sebagai catatan terakhir pada video tutorial hari ini, mari kita lihat beberapa sistem yang sangat kompleks. Kompleksitasnya terletak pada kenyataan bahwa mereka akan memiliki variabel di kiri dan kanan. Oleh karena itu, untuk mengatasinya kita harus menerapkan preprocessing.

Sistem No.1

\[\kiri\( \mulai(sejajarkan)& 3\kiri(2x-y \kanan)+5=-2\kiri(x+3y \kanan)+4 \\& 6\kiri(y+1 \kanan )-1=5\kiri(2x-1 \kanan)+8 \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Setiap persamaan membawa kompleksitas tertentu. Oleh karena itu, mari kita perlakukan setiap ekspresi seperti konstruksi linier biasa.

Secara total, kami mendapatkan sistem final yang setara dengan sistem asli:

\[\kiri\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Mari kita lihat koefisien $y$: $3$ cocok dengan $6$ dua kali, jadi mari kalikan persamaan pertama dengan $2$:

\[\kiri\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Koefisien $y$ sekarang sama, jadi kita kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama: $$

Sekarang mari kita cari $y$:

Jawaban: $\kiri(0;-\frac(1)(3) \kanan)$

Sistem No.2

\[\kiri\( \mulai(sejajarkan)& 4\kiri(a-3b \kanan)-2a=3\kiri(b+4 \kanan)-11 \\& -3\kiri(b-2a \kanan )-12=2\kiri(a-5 \kanan)+b \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Mari kita ubah ekspresi pertama:

Mari kita bahas yang kedua:

\[-3\kiri(b-2a \kanan)-12=2\kiri(a-5 \kanan)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Secara total, sistem awal kami akan mengambil bentuk berikut:

\[\kiri\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Melihat koefisien $a$, kita melihat bahwa persamaan pertama perlu dikalikan dengan $2$:

\[\kiri\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Kurangi konstruksi kedua dari konstruksi pertama:

Sekarang mari kita cari $a$:

Jawaban: $\kiri(a=\frac(1)(2);b=0 \kanan)$.

Itu saja. Saya harap video tutorial ini dapat membantu Anda memahami topik sulit ini, yaitu menyelesaikan sistem persamaan linear sederhana. Akan ada lebih banyak pelajaran mengenai topik ini di masa depan: kita akan melihat contoh yang lebih kompleks, di mana akan ada lebih banyak variabel, dan persamaannya sendiri akan menjadi nonlinier. Sampai jumpa lagi!

Pembelajaran dan presentasi dengan topik: "Sistem persamaan. Metode substitusi, metode penjumlahan, metode memasukkan variabel baru"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator di toko online Integral untuk kelas 9
Simulator untuk buku teks oleh Atanasyan L.S. Simulator untuk buku teks Pogorelova A.V.

Metode penyelesaian sistem pertidaksamaan

Teman-teman, kita telah mempelajari sistem persamaan dan mempelajari cara menyelesaikannya menggunakan grafik. Sekarang mari kita lihat apa saja cara lain untuk menyelesaikan sistem?
Hampir semua metode penyelesaiannya tidak berbeda dengan yang kita pelajari di kelas 7. Sekarang kita perlu melakukan beberapa penyesuaian sesuai dengan persamaan yang telah kita pelajari untuk menyelesaikannya.
Inti dari semua metode yang dijelaskan dalam pelajaran ini adalah mengganti sistem dengan sistem ekuivalen yang bentuk dan penyelesaiannya lebih sederhana. Teman-teman, ingat apa itu sistem ekuivalen.

Metode substitusi

Cara pertama untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan dua variabel sudah kita ketahui - ini adalah metode substitusi. Kami menggunakan metode ini untuk menyelesaikan persamaan linear. Sekarang mari kita lihat bagaimana menyelesaikan persamaan dalam kasus umum?

Bagaimana sebaiknya Anda melanjutkan ketika mengambil keputusan?
1. Nyatakan salah satu variabel dalam variabel lain. Variabel yang paling sering digunakan dalam persamaan adalah x dan y. Dalam salah satu persamaan kita menyatakan satu variabel dalam variabel lain. Tip: Perhatikan kedua persamaan dengan cermat sebelum Anda mulai menyelesaikannya, dan pilih persamaan yang lebih mudah untuk menyatakan variabelnya.
2. Gantikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua, bukan variabel yang dinyatakan.
3. Selesaikan persamaan yang kita peroleh.
4. Substitusikan solusi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua. Jika terdapat beberapa solusi, maka Anda perlu menggantinya secara berurutan agar tidak kehilangan beberapa solusi.
5. Hasilnya, Anda akan mendapatkan sepasang angka $(x;y)$ yang harus dituliskan sebagai jawabannya.

Contoh.
Selesaikan sistem dengan dua variabel menggunakan metode substitusi: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Larutan.
Mari kita lihat lebih dekat persamaan kita. Jelasnya, menyatakan y dalam bentuk x pada persamaan pertama jauh lebih sederhana.
$\begin(kasus)y=5-x, \\xy=6\end(kasus)$.
Mari kita substitusikan ekspresi pertama ke dalam persamaan kedua $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Mari selesaikan persamaan kedua secara terpisah:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Kami memperoleh dua solusi untuk persamaan kedua $x_1=2$ dan $x_2=3$.
Substitusikan secara berurutan ke dalam persamaan kedua.
Jika $x=2$, maka $y=3$. Jika $x=3$, maka $y=2$.
Jawabannya adalah dua pasang angka.
Jawaban: $(2;3)$ dan $(3;2)$.

Metode penjumlahan aljabar

Kami juga mempelajari metode ini di kelas 7.
Diketahui bahwa persamaan rasional dua variabel dapat kita kalikan dengan bilangan berapapun, dengan tidak lupa mengalikan kedua ruas persamaan tersebut. Kami mengalikan salah satu persamaan dengan angka tertentu sehingga ketika menambahkan persamaan yang dihasilkan ke persamaan kedua sistem, salah satu variabelnya dimusnahkan. Kemudian persamaan diselesaikan untuk variabel yang tersisa.
Cara ini masih berhasil, meskipun tidak selalu mungkin untuk menghancurkan salah satu variabel. Tapi ini memungkinkan Anda menyederhanakan bentuk salah satu persamaan secara signifikan.

Contoh.
Selesaikan sistem: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Larutan.
Mari kalikan persamaan pertama dengan 2.
$\begin(kasus)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(kasus)$.
Mari kita kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Seperti yang Anda lihat, bentuk persamaan yang dihasilkan jauh lebih sederhana daripada persamaan aslinya. Sekarang kita bisa menggunakan metode substitusi.
$\begin(kasus)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(kasus)$.
Mari kita nyatakan x dalam bentuk y dalam persamaan yang dihasilkan.
$\begin(kasus)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(kasus)$.
Kita mendapat $y=-1$ dan $y=-3$.
Mari kita substitusikan nilai-nilai ini secara berurutan ke dalam persamaan pertama. Kami mendapatkan dua pasang angka: $(1;-1)$ dan $(-1;-3)$.
Jawaban: $(1;-1)$ dan $(-1;-3)$.

Metode untuk memperkenalkan variabel baru

Kami juga mempelajari metode ini, tapi mari kita lihat lagi.

Contoh.
Selesaikan sistem: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Larutan.
Mari kita perkenalkan penggantinya $t=\frac(x)(y)$.
Mari kita tulis ulang persamaan pertama dengan variabel baru: $t+\frac(2)(t)=3$.
Mari selesaikan persamaan yang dihasilkan:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Kita mendapat $t=2$ atau $t=1$. Mari kita perkenalkan perubahan kebalikannya $t=\frac(x)(y)$.
Kita mendapatkan: $x=2y$ dan $x=y$.

Untuk setiap ekspresi, sistem asli harus diselesaikan secara terpisah:
$\begin(kasus)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\7y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kasus)$.

Contoh.
$\begin(kasus)x=y, \\y=±1\end(kasus)$.

Larutan.
$\begin(kasus)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=±1, \\y=±1\end(kasus)$.
Kami menerima empat pasang solusi.
Jawaban: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Selesaikan sistem: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(kasus)$.
Mari kita perkenalkan penggantinya: $z=\frac(2)(x-3y)$ dan $t=\frac(3)(2x+y)$.
Mari kita tulis ulang persamaan awal dengan variabel baru:
$\begin(kasus)z+t=2, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
Mari kita gunakan metode penjumlahan aljabar:
$\begin(kasus)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)7z=7, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)z=1, \\-3t=1-4\end(kasus)$.
$\begin(kasus)z=1, \\t=1\end(kasus)$.
Mari kita perkenalkan substitusi terbalik:
$\begin(kasus)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x-3y=2, \\2x+y=3\end(kasus)$.
Mari kita gunakan metode substitusi:

$\begin(kasus)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(kasus)$.

$\begin(kasus)x=2+3y, \\7y=-1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(kasus)$.
Jawaban: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.
Masalah pada sistem persamaan untuk solusi independen
Memecahkan sistem: