선형 방정식의 균질 시스템은 무엇입니까? 선형 대수 방정식 시스템. 선형 대수 방정식의 동차 시스템

체계 중 선형 방정식기음 N미지수라고 함 선형 균질 시스템모든 자유 항이 0인 경우 방정식. 이러한 시스템은 다음과 같습니다.

어디 그리고 ij (나 = 1, 2, …, 중; j = 1, 2, …, N) - 주어진 숫자; x 나는- 알려지지 않은.

선형 시스템 동차방정식항상 공동이기 때문에 아르 자형(아) = 아르 자형(). 항상 최소 0( 하찮은) 솔루션(0; 0; …; 0).

동종 시스템이 0이 아닌 솔루션을 갖는 조건을 고려해 보겠습니다.

정리 1.선형 동차 방정식 시스템은 주 행렬의 순위가 다음과 같은 경우에만 0이 아닌 해를 갖습니다. 아르 자형알려지지 않은 항목이 적음 N, 즉. 아르 자형 < N.

□ 1). 선형 동차 방정식 시스템이 0이 아닌 해를 갖는다고 가정합니다. 순위는 행렬의 크기를 초과할 수 없으므로 분명히 아르 자형 ≤ N. 허락하다 아르 자형 = N. 그런 다음 작은 크기 중 하나 n n제로와는 다릅니다. 따라서 해당 선형 방정식 시스템에는 다음과 같은 고유한 솔루션이 있습니다. . 이는 사소한 해결책 외에는 다른 해결책이 없다는 것을 의미합니다. 따라서 사소하지 않은 해결책이 있다면 아르 자형 < N.

2). 허락하다 아르 자형 < N. 그러면 일관성이 있는 동종 시스템은 불확실합니다. 이는 무한한 수의 솔루션이 있음을 의미합니다. 0이 아닌 솔루션이 있습니다. ■

동종 시스템을 고려하십시오. N선형 방정식 c N알려지지 않은:

(2)

정리 2.동종 시스템 N선형 방정식 c N미지수(2)는 행렬식이 0인 경우에만 0이 아닌 해를 가집니다: = 0.

□ 시스템 (2)에 0이 아닌 솔루션이 있으면 = 0입니다. 시스템에 0 솔루션이 하나만 있을 때이기 때문입니다. = 0이면 순위 아르 자형시스템의 주요 행렬은 미지수의 수보다 적습니다. 즉, 아르 자형 < N. 따라서 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다. 0이 아닌 솔루션이 있습니다. ■

시스템 (1)의 해를 나타내자 엑스 1 = 케이 1 , 엑스 2 = 케이 2 , …, xn = 케이엔문자열로 .

선형 동차 방정식 시스템의 해는 다음과 같은 속성을 갖습니다.

1. 만약 라인 은 시스템 (1)에 대한 솔루션이고, 라인은 시스템 (1)에 대한 솔루션입니다.

2. 만약 라인 그리고 - 시스템 (1)의 해, 임의의 값에 대한 해 와 함께 1과 와 함께 2 그들의 선형 조합은 또한 시스템 (1)에 대한 솔루션입니다.

이러한 속성의 타당성은 이를 시스템의 방정식에 직접 대입하여 확인할 수 있습니다.

공식화된 속성에 따르면 선형 균질 방정식 시스템에 대한 솔루션의 선형 조합도 이 시스템에 대한 솔루션입니다.

선형 독립 솔루션 시스템 이자형 1 , 이자형 2 , …, 어~라고 불리는 근본적인, 시스템 (1)의 각 해가 이러한 해의 선형 결합인 경우 이자형 1 , 이자형 2 , …, 어.

정리 3.순위라면 아르 자형계수 행렬 시스템 변수선형 균질 방정식 (1)이 변수 수보다 적습니다. N, 시스템 (1)에 대한 솔루션의 기본 시스템은 다음으로 구성됩니다. n–r결정.

그렇기 때문에 일반 솔루션 선형 균질 방정식 시스템 (1)의 형식은 다음과 같습니다.

어디 이자형 1 , 이자형 2 , …, 어– 시스템(9)에 대한 솔루션의 기본 시스템, 와 함께 1 , 와 함께 2 , …, p와 함께 – 임의의 숫자, 아르 자형 = n–r.

정리 4.시스템의 일반적인 솔루션 중선형 방정식 c N미지수는 해당 선형 균질 방정식 시스템의 일반 해(1)와 이 시스템의 임의의 특정 해(1)의 합과 같습니다.

예.시스템을 해결하다

해결책.이 시스템의 경우 중 = N= 3. 행렬식

정리 2에 따르면 시스템에는 사소한 해결책만 있습니다. 엑스 = 와이 = 지 = 0.

예. 1) 시스템의 일반 및 특수 솔루션 찾기

2) 해결의 근본체계를 찾아라.

해결책. 1) 이 시스템의 경우 중 = N= 3. 행렬식

정리 2에 따르면 시스템에는 0이 아닌 해가 있습니다.

시스템에는 단 하나의 독립 방정식만 있으므로

엑스 + 와이 – 4지 = 0,

그러면 그것으로부터 우리는 표현할 것입니다 엑스 =4지- 와이. 무한한 수의 솔루션을 어디서 얻을 수 있습니까? (4 지- 와이, 와이, 지) – 이것은 시스템의 일반적인 솔루션입니다.

~에 지= 1, 와이= -1이면 하나의 특정 해(5, -1, 1)를 얻습니다. 퍼팅 지= 3, 와이= 2이면 두 번째 특정 해인 (10, 2, 3) 등을 얻습니다.

2) 일반해법에서 (4 지- 와이, 와이, 지) 변수 와이그리고 지무료이며 변수는 엑스- 그들에게 의존해요. 해의 기본 시스템을 찾기 위해 자유 변수에 값을 할당해 보겠습니다. 와이 = 1, 지= 0, 그러면 와이 = 0, 지= 1. 우리는 해의 기본 시스템을 형성하는 부분 해(-1, 1, 0), (4, 0, 1)를 얻습니다.

일러스트레이션:

쌀. 1 선형 방정식 시스템의 분류

쌀. 2 선형 방정식 시스템 연구

프리젠테이션:

· 솔루션 SLAE_matrix 방법

· SLAE_Cramer 방식의 솔루션

· 솔루션 SLAE_Gauss 방법

· 수학 문제 해결을 위한 패키지 매스매티카, 매스캐드: 선형 방정식 시스템에 대한 분석적 및 수치적 해 찾기

보안 질문 :

1. 선형 방정식 정의

2. 어떤 유형의 시스템처럼 보입니까? 중선형 방정식 N알려지지 않은?

3. 선형 방정식의 풀이 시스템을 무엇이라고 합니까?

4. 어떤 시스템을 동등하다고 부르나요?

5. 호환되지 않는 시스템은 무엇입니까?

6. 조인트라고 불리는 시스템은 무엇입니까?

7. 어떤 시스템을 확정이라고 부르나요?

8. 무기한이라고 불리는 시스템

9. 선형 방정식 시스템의 기본 변환을 나열하십시오.

10. 행렬의 기본 변환을 나열하십시오.

11. 선형 방정식 시스템에 기본 변환을 적용하는 정리를 공식화합니다.

12. 매트릭스 방법을 사용하여 어떤 시스템을 해결할 수 있습니까?

13. Cramer의 방법으로 어떤 시스템을 해결할 수 있습니까?

14. 가우스 방법으로 어떤 시스템을 풀 수 있나요?

15. 가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 풀 때 발생할 수 있는 3가지 경우를 나열하십시오.

16. 선형 방정식 시스템을 풀기 위한 행렬 방법을 설명합니다.

17. 선형 방정식 시스템을 푸는 Cramer의 방법을 설명하십시오.

18. 선형 방정식 시스템을 푸는 가우스의 방법을 설명하십시오.

19. 어떤 시스템을 사용하여 해결할 수 있습니까? 역행렬?

20. Cramer 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 풀 때 발생할 수 있는 3가지 경우를 나열하십시오.

문학:

1. 경제학자를 위한 고등 수학: 대학 교과서 / N.Sh. 크레머, 학사 푸트코, I.M. 트리신, M.N. 에드. N.Sh. 크레머. – M .: UNITY, 2005. – 471 p.

2. 경제학자를 위한 고등수학 일반과정: 교과서. / 에드. V.I. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655p.

3. 경제학자를 위한 고등수학 문제 모음: 지도 시간/ 편집자: V.I. Ermakova. M .: INFRA-M, 2006. – 574p.

4. Gmurman V. E. 확률 이론 및 마그마 통계 문제 해결 가이드. -M .: 고등 학교, 2005. – 400p.

5. 그무르만. V.E 확률 이론 및 수학적 통계. - M .: 고등학교, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. 연습과 문제에서 더 높은 수학. 1부, 2부. – M.: Onyx 21세기: 평화와 교육, 2005. – 304p. 1부; – 416쪽. 2부.

7. 경제학 수학: 교과서: 2부 / A.S. 솔로도브니코프, V.A. Babaytsev, A.V. 브라일로프, I.G. 샨다라. – M.: 금융 및 통계, 2006.

8. Shipachev V.S. 고등 수학: 학생들을 위한 교과서. 대학교 - M .: 고등학교, 2007. - 479 p.

관련 정보.

필드에 대한 동차 선형 방정식 시스템

정의. 방정식 시스템 (1)에 대한 기본 솔루션 시스템을 비어 있지 않은 선형 시스템이라고 합니다. 독립 시스템해당 솔루션의 선형 범위는 시스템 (1)의 모든 솔루션 세트와 일치합니다.

해가 0인 동차 선형 방정식 시스템에는 기본 해 시스템이 없다는 점에 유의하십시오.

제안 3.11. 동질적인 선형 방정식 시스템에 대한 두 가지 기본 해 시스템은 동일한 수의 해로 구성됩니다.

증거. 실제로, 동차 방정식 시스템(1)에 대한 두 가지 기본 해 시스템은 동일하며 선형 독립입니다. 따라서 발의안 1.12에 따르면 이들의 순위는 동일합니다. 결과적으로, 하나의 기본 시스템에 포함된 솔루션의 수는 다른 기본 솔루션 시스템에 포함된 솔루션의 수와 같습니다.

동차 방정식 시스템(1)의 주 행렬 A가 0이면 의 모든 벡터는 시스템(1)에 대한 해가 됩니다. 이 경우 선형 독립 벡터 집합은 해의 기본 시스템입니다. 행렬 A의 열 순위가 와 같으면 시스템 (1)에는 0이라는 단 하나의 해만 있습니다. 따라서 이 경우 방정식 (1) 시스템에는 기본 솔루션 시스템이 없습니다.

정리 3.12. 동차 선형 연립방정식(1)의 주 행렬의 순위가 변수 수보다 작으면 시스템(1)은 해로 구성된 기본 해 시스템을 갖습니다.

증거. 동종 시스템(1)의 주 행렬 A의 순위가 0 또는 이면 정리가 참이라는 것이 위에 표시되었습니다. 따라서 아래에서는 가정하면 행렬 A의 첫 번째 열이 선형 독립이라고 가정합니다. 이 경우 행렬 A는 행 방향으로 축소된 계단식 행렬과 동일하며 시스템 (1)은 다음과 같이 축소된 계단식 방정식 시스템과 동일합니다.

시스템 (2)의 자유 변수 값 시스템이 시스템 (2)에 대한 단 하나의 솔루션에 해당하므로 시스템 (1)에 해당하는지 쉽게 확인할 수 있습니다. 특히, 시스템 (2)와 시스템 (1)의 제로 솔루션만이 제로 값 시스템에 해당합니다.

시스템 (2)에서는 자유 변수 중 하나에 1과 같은 값을 할당하고 나머지 변수에는 0 값을 할당합니다. 결과적으로 우리는 다음 행렬 C의 행 형태로 작성하는 방정식 (2) 시스템에 대한 해를 얻습니다.

이 행렬의 행 시스템은 선형 독립입니다. 실제로, 등식의 스칼라에 대해

평등은 따른다

그러므로 평등

행렬 C의 행 시스템의 선형 범위가 시스템 (1)에 대한 모든 해의 집합과 일치함을 증명해 보겠습니다.

시스템 (1)의 임의 솔루션. 그런 다음 벡터

시스템 (1)에 대한 솔루션이기도 합니다.

가우시안 방법에는 여러 가지 단점이 있습니다. 가우시안 방법에 필요한 모든 변환이 수행될 때까지는 시스템이 일관성이 있는지 여부를 알 수 없습니다. 가우스 방법은 문자 계수를 사용하는 시스템에는 적합하지 않습니다.

선형 방정식 시스템을 푸는 다른 방법을 고려해 보겠습니다. 이러한 방법은 행렬 순위의 개념을 사용하고 일관된 시스템의 솔루션을 Cramer의 규칙이 적용되는 시스템의 솔루션으로 축소합니다.

예시 1.환원된 동차 시스템에 대한 기본 해 시스템과 비균질 시스템에 대한 특정 해를 사용하여 다음 선형 방정식 시스템에 대한 일반 해를 구합니다.

1. 행렬 만들기 에이및 확장 시스템 매트릭스(1)

2. 시스템 탐색 (1) 공생을 위해. 이를 위해 행렬의 순위를 찾습니다. 에이및 https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). 그것이 밝혀지면 시스템은 (1) 호환되지 않습니다. 우리가 그걸 얻으면 , 그러면 이 시스템은 일관성이 있으며 우리는 이를 해결할 것입니다. (호환성 연구는 Kronecker-Capelli 정리를 기반으로 합니다.)

에이. 우리는 찾는다 라.

찾으려면 라, 우리는 행렬의 첫 번째, 두 번째 등 순서의 0이 아닌 마이너를 순차적으로 고려할 것입니다. 에이그리고 그들을 둘러싼 미성년자들.

M1=1≠0 (행렬의 왼쪽 상단에서 1을 취합니다. 에이).

우리는 국경을 맞대고 있다 M1이 행렬의 두 번째 행과 두 번째 열입니다. . 우리는 계속 국경을 맞대고 있다 M1두 번째 줄과 세 번째 열..gif" width="37" height="20 src=">. 이제 0이 아닌 마이너와 경계를 맞춥니다. M2'두 번째 주문.

우리는: (처음 두 열은 동일하기 때문에)

(두 번째와 세 번째 줄은 비례하기 때문입니다.)

우리는 그것을 본다 rA=2, a는 행렬의 기초 마이너입니다. 에이.

비. 우리는 찾습니다.

아주 기본적인 마이너 M2'행렬 에이자유 용어 열과 모든 행이 있는 테두리(마지막 행만 있음)

. 그것은 다음과 같습니다 M3′′매트릭스의 기본 마이너로 남아 있습니다 https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

왜냐하면 M2'- 행렬의 기초 마이너 에이시스템 (2) , 이 시스템은 다음 시스템과 동일합니다. (3) , 시스템의 처음 두 방정식으로 구성됨 (2) (을 위한 M2'는 행렬 A의 처음 두 행에 있습니다).

(3)

기본 미성년자 https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

이 시스템에는 두 개의 자유 미지수( x2 그리고 x4 ). 그렇기 때문에 FSR 시스템 (4) 두 가지 솔루션으로 구성됩니다. 그것을 찾기 위해 우리는 무료로 알려지지 않은 것을 할당합니다. (4) 가치를 먼저 x2=1 , x4=0 , 그런 다음 - x2=0 , x4=1 .

~에 x2=1 , x4=0 우리는 다음을 얻습니다:

이 시스템은 이미 유일한 것 해결책(Cramer의 법칙이나 다른 방법을 사용하여 찾을 수 있음). 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면 다음을 얻습니다.

그녀의 해결책은 다음과 같습니다 x1= -1 , x3=0 . 주어진 가치 x2 그리고 x4 , 우리는 시스템의 첫 번째 기본 솔루션을 얻습니다. (2) : .

이제 우리는 믿습니다 (4) x2=0 , x4=1 . 우리는 다음을 얻습니다:

우리는 Cramer의 정리를 사용하여 이 시스템을 해결합니다.

우리는 시스템의 두 번째 기본 솔루션을 얻습니다. (2) : .

솔루션 β1 , β2 그리고 구성하다 FSR 시스템 (2) . 그러면 일반적인 해결책은 다음과 같습니다.

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

여기 C1 , C2 – 임의의 상수.

4. 하나 찾아보자 사적인 해결책 이기종 시스템(1) . 단락에서와 같이 3 , 시스템 대신 (1) 동등한 시스템을 고려해 봅시다 (5) , 시스템의 처음 두 방정식으로 구성됨 (1) .

(5)

자유로운 미지수를 오른쪽으로 이동시키자 x2그리고 x4.

(6)

미지수를 무료로 제공하자 x2 그리고 x4 임의의 값(예: x2=2 , x4=1 그리고 그것들을 넣어라 (6) . 시스템을 갖추자

이 시스템은 독특한 해를 가지고 있습니다. M2'0). 이를 해결하면(Cramer의 정리 또는 Gauss의 방법을 사용하여) 다음을 얻습니다. x1=3 , x3=3 . 자유 미지수의 값을 고려하면 x2 그리고 x4 , 우리는 얻는다 불균일한 시스템의 특정 솔루션(1)α1=(3,2,3,1).

5. 이제 적어보는 일만 남았습니다 불균일계의 일반해 α(1) : 합과 같다 프라이빗 솔루션이 시스템과 축소된 균질 시스템의 일반적인 솔루션 (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

이는 다음을 의미합니다. (7)

6. 시험.시스템을 올바르게 해결했는지 확인하려면 (1) , 우리는 일반적인 해결책이 필요합니다 (7) 대체하다 (1) . 각 방정식이 항등식( C1 그리고 C2 제거해야 함) 그러면 솔루션이 올바르게 발견됩니다.

우리가 대신해줄게 (7) 예를 들어 시스템의 마지막 방정식만 (1) (엑스1 + 엑스2 + 엑스3 ‑9 엑스4 =‑1) .

우리는 다음을 얻습니다: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

여기서 -1=-1입니다. 우리는 정체성을 얻었습니다. 우리는 시스템의 다른 모든 방정식에 대해 이 작업을 수행합니다. (1) .

논평.수표는 일반적으로 매우 번거롭습니다. 다음과 같은 "부분 검사"를 권장할 수 있습니다. 시스템의 일반적인 솔루션에서 (1) 임의의 상수에 일부 값을 할당하고 결과 부분 솔루션을 폐기된 방정식에만 대체합니다(즉, (1) , 에는 포함되지 않았습니다. (5) ). 신분증을 얻으면 가능성이 더 높음, 시스템 솔루션 (1) 올바르게 발견되었습니다(그러나 이러한 검사는 정확성을 완전히 보장하지 않습니다!). 예를 들어, (7) 놓다 C2=- 1 , C1=1, 그러면 x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0을 얻습니다. 시스템 (1)의 마지막 방정식을 대체하면 다음과 같습니다. - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , 즉 -1=-1입니다. 우리는 정체성을 얻었습니다.

예시 2.선형 연립방정식의 일반해 찾기 (1) , 기본 미지수를 자유 미지수로 표현합니다.

해결책.에서와 같이 예시 1, 행렬을 구성하다 에이그리고 이 행렬의 https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. 이제 우리는 시스템의 방정식만 남깁니다. (1) , 그 계수는 이 기본 부전공에 포함되며(즉, 처음 두 개의 방정식이 있음) 시스템 (1)과 동등한 이들로 구성된 시스템을 고려합니다.

자유 미지수를 이 방정식의 우변으로 옮깁니다.

체계 (9) 우변을 자유 항으로 간주하여 가우스 방법으로 해결합니다.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

옵션 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

옵션 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

옵션 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 높이=106" height="106">

옵션 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

동종 시스템은 항상 일관되며 사소한 해결책을 갖습니다.
. 중요하지 않은 솔루션이 존재하려면 행렬의 순위가 다음과 같아야 합니다. 알 수 없는 항목 수보다 적습니다.

솔루션의 기본 시스템 동종 시스템
열 벡터 형태로 해 시스템을 호출합니다.
, 이는 표준 기반에 해당합니다. 즉 임의의 상수가 있는 기초
교대로 1로 설정되고 나머지는 0으로 설정됩니다.

그런 다음 동종 시스템의 일반적인 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

어디
- 임의의 상수. 즉, 전체 솔루션은 솔루션의 기본 시스템의 선형 조합입니다.

따라서 자유 미지수에 차례로 1의 값이 주어지고 다른 모든 값은 0으로 설정되면 일반 솔루션에서 기본 솔루션을 얻을 수 있습니다.

예. 시스템의 해결책을 찾아보자

수락하면 다음과 같은 형식의 솔루션을 얻을 수 있습니다.

이제 기본 솔루션 시스템을 구축해 보겠습니다.

일반적인 솔루션은 다음과 같이 작성됩니다.

동차 선형 방정식 시스템의 해는 다음과 같은 속성을 갖습니다.

즉, 동종 시스템에 대한 솔루션의 선형 조합은 다시 솔루션입니다.

가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템 풀기

선형 방정식 시스템을 푸는 것은 수세기 동안 수학자들의 관심을 끌었습니다. 첫 번째 결과는 18세기에 얻어졌습니다. 1750년에 G. Kramer(1704-1752)는 정사각 행렬의 행렬식에 관한 연구를 발표하고 역행렬을 찾는 알고리즘을 제안했습니다. 1809년에 가우스는 소거법으로 알려진 새로운 해법을 제시했습니다.

가우스 방법 또는 미지수를 순차적으로 제거하는 방법은 기본 변환을 사용하여 방정식 시스템이 계단형(또는 삼각형) 형태의 등가 시스템으로 축소된다는 사실로 구성됩니다. 이러한 시스템을 사용하면 모든 미지의 항목을 특정 순서로 순차적으로 찾을 수 있습니다.

시스템 (1)에서 다음과 같이 가정하자.
(항상 가능합니다).

(1)

첫 번째 방정식에 소위 말하는 것을 하나씩 곱하면 됩니다. 적당한 숫자

곱셈 결과를 시스템의 해당 방정식에 추가하면 첫 번째 방정식을 제외한 모든 방정식에서 미지수가 없는 등가 시스템을 얻습니다. 엑스 1

(2)

이제 시스템 (2)의 두 번째 방정식에 적절한 숫자를 곱해 보겠습니다.

더 낮은 값과 함께 추가하면 변수가 제거됩니다. 모든 방정식에서 세 번째부터 시작합니다.

이 과정을 계속한 후
우리가 얻는 단계:

(3)

숫자 중 하나라도 해당된다면
가 0이 아니면 해당 동등성은 모순되며 시스템 (1)은 일관성이 없습니다. 반대로, 모든 연결 번호 시스템의 경우
0과 같습니다. 숫자 시스템 (1)의 행렬 순위에 지나지 않습니다.

시스템 (1)에서 (3)으로의 전환을 호출합니다. 곧장 가우스 방법 및 (3)에서 미지수 찾기 - 반대로 .

논평 : 방정식 자체를 사용하지 않고 시스템(1)의 확장 행렬을 사용하여 변환을 수행하는 것이 더 편리합니다.

예. 시스템의 해결책을 찾아보자

시스템의 확장 행렬을 작성해 보겠습니다.

첫 번째 항목을 2,3,4행에 추가하고 각각 (-2), (-3), (-2)를 곱해 보겠습니다.

행 2와 3을 바꾼 다음 결과 행렬에서 행 2를 행 4에 더하고 다음을 곱합니다. :

4행에 더하고 3행에 곱하기
:

그것은 분명하다
, 따라서 시스템은 일관성이 있습니다. 결과 방정식 시스템에서

우리는 역치환을 통해 해결책을 찾습니다:

,
,
,
.

예시 2.시스템에 대한 솔루션을 찾으십시오.

시스템이 일관성이 없다는 것은 명백합니다.
, 에이
.

가우스 방법의 장점 :

Cramer의 방법보다 노동 집약적이지 않습니다.

시스템의 호환성을 명확하게 설정하고 솔루션을 찾을 수 있도록 합니다.

모든 행렬의 순위를 결정할 수 있습니다.

예시 1. 시스템에 대한 일반적인 솔루션과 몇 가지 기본 솔루션 찾기

해결책계산기를 사용하여 찾아보세요. 해법 알고리즘은 선형 불균일 방정식 시스템의 경우와 동일합니다.
행만을 사용하여 행렬의 순위, 기저 마이너를 찾습니다. 우리는 종속적이고 자유로운 미지수를 선언하고 일반적인 해결책을 찾습니다.

첫 번째와 두 번째 줄은 비례하므로 그중 하나를 지웁니다.

.
종속 변수 – x 2, x 3, x 5, 자유 – x 1, x 4. 첫 번째 방정식 10x 5 = 0에서 x 5 = 0을 찾은 다음

; .
일반적인 해결책은 다음과 같습니다.

우리는 (n-r) 솔루션으로 구성된 기본 솔루션 시스템을 찾습니다. 우리의 경우 n=5, r=3이므로 해의 기본 시스템은 두 개의 해로 구성되며 이러한 해는 선형 독립이어야 합니다. 행이 선형 독립이 되려면 행의 요소로 구성된 행렬의 순위가 행 수, 즉 2와 같아야 합니다. 자유 미지수 x 1과 x 4 2차 행렬식의 행에서 0이 아닌 값을 구하고 x 2 , x 3 , x 5 를 계산합니다. 0이 아닌 가장 간단한 행렬식은 입니다.
따라서 첫 번째 해결책은 다음과 같습니다.

, 두번째 -

.
이 두 가지 결정은 기본적인 의사결정 시스템을 구성합니다. 기본 시스템은 고유하지 않습니다(0이 아닌 행렬식을 원하는 만큼 만들 수 있음).

예시 2. 시스템의 솔루션의 일반 솔루션과 기본 시스템을 찾습니다
해결책.

,
행렬의 순위는 3이고 미지수의 수와 같습니다. 이는 시스템에 알 수 없는 문제가 없으므로 고유한 솔루션(사소한 솔루션)이 있음을 의미합니다.

운동 . 선형 방정식 시스템을 탐색하고 풀어보세요.
실시예 4

운동 . 각 시스템의 일반 솔루션과 특정 솔루션을 찾아보세요.
해결책.시스템의 주요 매트릭스를 적어 보겠습니다.

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	4개	x 5

행렬을 삼각형 형태로 줄여보겠습니다. 행렬 행에 0이 아닌 숫자를 곱하고 이를 시스템의 다른 행에 추가하는 것은 방정식에 동일한 숫자를 곱하고 이를 다른 방정식과 추가하는 것을 의미하므로 행에 대해서만 작업할 것입니다. 이는 방정식의 해를 변경하지 않습니다. 체계.
두 번째 줄에 (-5)를 곱합니다. 첫 번째 줄에 두 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

두 번째 줄에 (6)을 곱해 봅시다. 세 번째 줄에 (-1)을 곱합니다. 두 번째 줄에 세 번째 줄을 추가해 보겠습니다.
행렬의 순위를 구해 봅시다.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	4개	x 5

선택된 마이너는 (가능한 마이너 중) 가장 높은 차수를 가지며 0이 아니므로(역대각선에 있는 요소의 곱과 동일) rang(A) = 2입니다.
이 마이너는 기본입니다. 여기에는 미지수 x 1 , x 2 에 대한 계수가 포함되어 있습니다. 이는 미지수 x 1 , x 2 가 종속적(기본)이고 x 3 , x 4 , x 5 가 자유라는 것을 의미합니다.
왼쪽에 작은 기저만 남겨두고 행렬을 변환해 보겠습니다.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	4개	x 3	x 5

이 행렬의 계수를 갖는 시스템은 원래 시스템과 동일하며 다음과 같은 형식을 갖습니다.
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
알려지지 않은 요소를 제거하는 방법을 사용하여 다음을 찾습니다. 사소하지 않은 해결책:
우리는 자유 변수 x 3 , x 4 , x 5 를 통해 종속 변수 x 1 , x 2 를 표현하는 관계를 얻었습니다. 일반 솔루션:
x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
우리는 (n-r) 솔루션으로 구성된 기본 솔루션 시스템을 찾습니다.
우리의 경우 n=5, r=2이므로 해의 기본 시스템은 3개의 해로 구성되며 이들 해는 선형독립이어야 합니다.
행이 선형독립이 되기 위해서는 행 요소로 구성된 행렬의 랭크가 행의 개수, 즉 3과 같아야 하고 충분하다.
0이 아닌 3차 행렬식의 선에서 자유 미지수 x 3 , x 4 , x 5 값을 제공하고 x 1 , x 2 를 계산하는 것으로 충분합니다.
0이 아닌 가장 간단한 행렬식은 단위 행렬입니다.