과장법의 일반적인 견해. 과장법의 정의. 초점과 이심률
정의. 쌍곡선은 평면에 있는 점들의 궤적입니다. 절대값초점이라고 불리는 이 평면의 주어진 두 지점으로부터 각각의 거리의 차이, y는 이 값이 0이 아니고 초점 사이의 거리보다 작다면 일정한 값을 갖습니다.
쌍곡선의 각 점에서 초점까지의 거리 차이의 계수와 동일한 상수 값으로 초점 사이의 거리를 (조건에 따라) 표시하겠습니다. 타원의 경우와 마찬가지로 초점을 통해 가로축을 그리고 세그먼트의 중앙을 좌표의 원점으로 사용합니다(그림 44 참조). 그러한 시스템의 초점은 좌표를 갖게 됩니다. 우리는 선택된 좌표계에서 쌍곡선의 방정식을 유도합니다. 쌍곡선의 정의에 따르면, 그것의 어떤 점에 대해 우리는 또는
하지만 . 그러므로 우리는 얻는다
타원 방정식을 유도할 때와 유사한 단순화를 거쳐 다음 방정식을 얻습니다.
이는 방정식 (33)의 결과입니다.
이 방정식이 타원에 대해 얻은 방정식 (27)과 일치한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 방정식 (34)에서 차이는 입니다. 왜냐하면 쌍곡선의 경우 이기 때문입니다. 그러므로 우리는
그런 다음 방정식 (34)는 다음 형식으로 축소됩니다.
이 방정식을 표준 쌍곡선 방정식이라고 합니다. 방정식 (33)의 결과로 방정식 (36)은 쌍곡선의 임의 점의 좌표에 의해 충족됩니다. 쌍곡선 위에 있지 않은 점의 좌표는 식 (36)을 만족하지 않음을 알 수 있다.
표준 방정식을 사용하여 쌍곡선의 형태를 확립해 보겠습니다. 이 방정식에는 현재 좌표의 짝수 거듭제곱만 포함됩니다. 결과적으로 쌍곡선에는 두 개의 대칭축이 있으며 이 경우 좌표축과 일치합니다. 다음에서 우리는 쌍곡선의 대칭축을 쌍곡선의 축이라고 부르고, 그 교차점을 쌍곡선의 중심이라고 부를 것입니다. 초점이 위치한 쌍곡선의 축을 초점축이라고 합니다. 1분기 쌍곡선의 형태를 살펴보겠습니다.
그렇지 않으면 y는 허수값을 취하게 됩니다. x가 a에서 으로 증가하면 0에서 으로 증가합니다. 1/4에 있는 쌍곡선의 일부는 그림에 표시된 호가 됩니다. 47.
쌍곡선은 좌표축을 기준으로 대칭으로 위치하므로 이 곡선은 그림 1과 같은 형태를 갖습니다. 47.
초점 축과 쌍곡선의 교차점을 정점이라고 합니다. 방정식에서 쌍곡선을 가정하면 정점의 가로좌표를 찾습니다. 따라서 쌍곡선에는 두 개의 꼭지점이 있습니다: . 쌍곡선은 세로축과 교차하지 않습니다. 실제로 방정식에 쌍곡선을 넣으면 y에 대한 허수값을 얻을 수 있습니다. 따라서 쌍곡선의 초점축을 실수축이라고 하고, 초점축에 수직인 대칭축을 쌍곡선의 허수축이라고 합니다.
실수축은 쌍곡선의 꼭지점을 연결하는 선분이라고도 하며, 그 길이는 2a이다. 점을 연결하는 선분(그림 47 참조)과 그 길이를 쌍곡선의 허수축이라고 합니다. 숫자 a와 b는 각각 쌍곡선의 실수 및 허수 반축이라고 합니다.
이제 1분기에 위치하며 함수의 그래프인 쌍곡선을 고려해 보겠습니다.
이 그래프에서 좌표 원점으로부터 충분히 먼 거리에 있는 점들이 임의적으로 직선에 가깝다는 것을 보여드리겠습니다.
원점을 통과하며 경사가 있음
이를 위해 동일한 가로좌표를 갖고 곡선(37)과 직선(38)(그림 48) 위에 각각 놓여 있는 두 점을 고려하고 이 점들의 세로 좌표 간의 차이를 계산합니다.
이 분수의 분자는 상수 값이고, 분모는 무제한 증가로 무한정 증가합니다. 따라서 차이는 0이 되는 경향이 있습니다. 즉, 가로좌표가 무한정 증가함에 따라 점 M과 N이 무한정 더 가까워집니다.
좌표축에 대한 쌍곡선의 대칭으로 인해 쌍곡선의 점이 원점으로부터 무제한 거리에서 임의로 가까워지는 직선이 하나 더 있습니다. 직접
쌍곡선의 점근선이라고 불립니다.
그림에서. 49는 쌍곡선과 그 점근선의 상대적 위치를 보여줍니다. 이 그림은 또한 쌍곡선의 점근선을 구성하는 방법을 보여줍니다.
이렇게 하려면 중심이 원점에 있고 변이 축에 평행하고 이에 상응하는 와 같은 직사각형을 구성합니다. 이 직사각형을 주 직사각형이라고 합니다. 양방향으로 무한정 연장된 각 대각선은 쌍곡선의 점근선입니다. 쌍곡선을 구성하기 전에 점근선을 구성하는 것이 좋습니다.
쌍곡선의 실제 반축에 대한 초점 사이의 거리 절반 비율을 쌍곡선의 이심률이라고 하며 일반적으로 다음 문자로 표시합니다.
쌍곡선의 경우 쌍곡선의 이심률은 1보다 큽니다. 이심률은 쌍곡선의 모양을 특징으로 합니다.
실제로, 식 (35)로부터 다음과 같은 결과가 나온다. 이것으로부터 쌍곡선의 이심률이 작을수록,
반축의 비율이 작을수록. 그러나 관계는 쌍곡선의 주요 직사각형의 모양을 결정하고 따라서 쌍곡선 자체의 모양을 결정합니다. 쌍곡선의 이심률이 낮을수록 주 직사각형이 (초점 축 방향으로) 더 길어집니다.
쌍곡선은 평면 위의 점들의 궤적이며, 각 점에서 주어진 두 점 F_1 및 F_2까지의 거리 차이 계수는 상수 값(2a)이며 주어진 점 사이의 거리(2c)보다 작습니다(그림 3.40, 가). 이 기하학적 정의는 쌍곡선의 초점 속성.
쌍곡선의 초점 속성
점 F_1과 F_2는 쌍곡선의 초점이라고 하며, 두 점 사이의 거리 2c=F_1F_2는 초점 거리, F_1F_2 선분의 중간 O는 쌍곡선의 중심, 숫자 2a는 쌍곡선의 실수 축의 길이입니다. 쌍곡선(따라서 a는 쌍곡선의 실수 반축입니다). 쌍곡선의 임의의 점 M과 그 초점을 연결하는 세그먼트 F_1M과 F_2M을 점 M의 초점 반경이라고 합니다. 쌍곡선의 두 점을 연결하는 선분을 쌍곡선의 현이라고 합니다.
e=\frac(c)(a) 관계(여기서 c=\sqrt(a^2+b^2) )는 다음과 같습니다. 쌍곡선의 이심률. 정의에서 (2a<2c) следует, что e>1 .
쌍곡선의 기하학적 정의초점 속성을 표현하는 는 분석적 정의(표준 쌍곡선 방정식에 의해 주어진 선)와 동일합니다.
\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.
실제로 직각 좌표계를 소개하겠습니다(그림 3.40, b). 우리는 쌍곡선의 중심 O를 좌표계의 원점으로 삼습니다. 초점(초점 축)을 통과하는 직선을 가로축으로 사용합니다(양의 방향은 F_1 지점에서 F_2 지점까지입니다). 가로축에 수직이고 쌍곡선의 중심을 세로축으로 통과하는 직선을 세로축으로 사용합니다(세로축의 방향은 직교 좌표계 Oxy가 맞도록 선택됩니다).
초점 속성을 표현하는 기하학적 정의를 사용하여 쌍곡선에 대한 방정식을 만들어 보겠습니다. 선택한 좌표계에서 초점 F_1(-c,0) 및 F_2(c,0) 의 좌표를 결정합니다. 쌍곡선에 속하는 임의의 점 M(x,y)에 대해 다음을 얻습니다.
\왼쪽||\overright화살표(F_1M)|-|\overright화살표(F_2M)|\right|=2a.
이 방정식을 좌표 형식으로 작성하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.
타원 방정식을 도출하는 데 사용된 것과 유사한 변환을 수행하여(즉, 비합리성 제거) 표준 쌍곡선 방정식에 도달합니다.
\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,
여기서 b=\sqrt(c^2-a^2) , 즉 선택한 좌표계는 표준입니다.
추론을 역순으로 수행하면 좌표가 식 (3.50)을 만족하는 모든 점과 그 점들만이 쌍곡선이라는 점의 자취에 속한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 쌍곡선의 분석적 정의는 다음과 동일합니다. 기하학적 정의.
쌍곡선의 디렉토리 속성
쌍곡선의 방향선은 동일한 거리에서 표준 좌표계의 세로축에 평행하게 지나가는 두 개의 직선입니다. a^2\!\!\not(\phantom(|))\,c그것으로부터 (그림 3.41, a). a=0일 때, 쌍곡선이 한 쌍의 교차선으로 변질되면 방향선이 일치합니다.
이심률 e=1인 쌍곡선은 평면에 있는 점의 궤적으로 정의될 수 있으며, 각 점에 대해 주어진 점 F(초점)까지의 거리 대 주어진 직선 d(준선)까지의 거리가 통과하지 않습니다. ~을 통해 주어진 포인트, 일정하고 이심률 e와 같습니다( 쌍곡선의 방향성 속성). 여기서 F와 d는 쌍곡선의 초점 중 하나이자 준선 중 하나이며, 표준 좌표계의 세로축 한쪽에 위치합니다.
실제로, 예를 들어 초점 F_2와 방향선 d_2(그림 3.41, a)의 경우 조건은 다음과 같습니다. \frac(r_2)(\rho_2)=e좌표 형식으로 쓸 수 있습니다.
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\left(x-\frac(a^2)(c)\right)
불합리함을 없애고 교체하기 e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, 우리는 정식 쌍곡선 방정식(3.50)에 도달합니다. 초점 F_1과 방향선 d_1에 대해서도 비슷한 추론을 수행할 수 있습니다.
\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \right ).
극좌표계의 쌍곡선 방정식
극좌표계 F_2r\varphi(그림 3.41,b)에서 쌍곡선의 오른쪽 가지 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), 여기서 p=\frac(p^2)(a) - 쌍곡선의 초점 매개변수.
실제로 쌍곡선의 올바른 초점 F_2를 극좌표계의 극점으로 선택하고, 직선 F_1F_2에 속하지만 점 F_1을 포함하지 않는 점 F_2에서 시작하는 광선을 선택하겠습니다(그림 .3.41,b)를 극축으로 합니다. 그러면 쌍곡선의 기하학적 정의(초점 속성)에 따라 쌍곡선의 오른쪽 가지에 속하는 임의의 점 M(r,\varphi)에 대해 F_1M-r=2a가 됩니다. 우리는 점 M(r,\varphi)와 F_1(2c,\pi) 사이의 거리를 표현합니다(설명 2.8의 단락 2 참조).
F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).
따라서 좌표 형식에서 쌍곡선 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.
우리는 방정식의 양변을 제곱하고 4로 나눈 근호를 분리하고 유사한 용어를 제시합니다.
R^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac(c)(a)\cos\varphi\ 오른쪽)r=c^2-a^2.
극 반경 r을 표현하고 대입합니다. e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi) ) )) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),
Q.E.D. 극좌표에서 쌍곡선과 타원의 방정식은 일치하지만 이심률이 다르기 때문에 서로 다른 선을 설명합니다( 쌍곡선의 경우 e>1, 0\leqslant e<1 для эллипса).
쌍곡선 방정식에서 계수의 기하학적 의미
쌍곡선(그림 3.42, a)과 가로축(쌍곡선의 꼭지점)의 교차점을 찾아보겠습니다. 방정식에 y=0을 대입하면 교차점의 가로좌표를 찾을 수 있습니다: x=\pm a. 따라서 정점의 좌표는 (-a,0),\,(a,0) 입니다. 꼭지점을 연결하는 선분의 길이는 2a입니다. 이 선분을 쌍곡선의 실수축이라고 하며, 숫자 a는 쌍곡선의 실수 반축입니다. x=0을 대입하면 y=\pm ib가 됩니다. 점 (0,-b),\,(0,b)를 연결하는 y축 선분의 길이는 2b와 같습니다. 이 세그먼트를 쌍곡선의 허수축이라고 하며, 숫자 b는 쌍곡선의 허수 반축입니다. 쌍곡선은 실수 축을 포함하는 선과 교차하지만 허수 축을 포함하는 선과 교차하지 않습니다.
참고 3.10.
1. 직선 x=\pm a,~y=\pm b는 쌍곡선이 위치한 좌표 평면의 주 직사각형을 제한합니다(그림 3.42, a).
2. 주 직사각형의 대각선을 포함하는 직선을 쌍곡선의 점근선이라고 합니다(그림 3.42, a).
을 위한 정쌍곡선방정식(즉, a=b의 경우)으로 설명되는 주요 직사각형은 대각선이 수직인 정사각형입니다. 따라서 등변 쌍곡선의 점근선도 수직이며 직교 좌표계 Ox"y"의 좌표축으로 사용할 수 있습니다(그림 3.42, b). 이 좌표계에서 쌍곡선 방정식의 형식은 다음과 같습니다. y"=\frac(a^2)(2x")(쌍곡선은 반비례 관계를 표현하는 기본 함수의 그래프와 일치합니다).
실제로 표준 좌표계를 각도만큼 회전시켜 보겠습니다. \varphi=-\frac(\pi)(4)(그림 3.42, b). 이 경우 기존 좌표계와 새 좌표계의 점 좌표는 등식으로 관련됩니다.
\left\(\!\begin(정렬)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(aligned)\right \quad \Leftrightarrow \quad \ left \(\!\begin(정렬)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \ cdot(y"-x")\end(정렬)\right.
이러한 표현을 Eq. \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1등변 쌍곡선과 유사한 용어를 가져오면, 우리는 다음을 얻습니다.
\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac(a^2)(2\cdot x").
3. (표준 좌표계의) 좌표축은 쌍곡선의 대칭축(쌍곡선의 주축이라고 함)이며 그 중심은 대칭의 중심입니다.
실제로, 점 M(x,y)가 쌍곡선에 속한다면. 그러면 좌표축을 기준으로 점 M에 대칭인 점 M"(x,y) 및 M""(-x,y)도 동일한 쌍곡선에 속합니다.
쌍곡선의 초점이 위치한 대칭축은 초점축입니다.
4. 극좌표의 쌍곡선 방정식으로부터 r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(그림 3.41, b 참조) 초점 매개 변수의 기하학적 의미가 명확 해졌습니다. 이는 초점 축에 수직 인 초점을 통과하는 쌍곡선 현 길이의 절반입니다 ( r = p ~에서 \varphi=\frac(\pi)(2)).
5. 이심률 e는 쌍곡선의 모양을 나타냅니다. e가 클수록 쌍곡선의 가지가 더 넓어지고, e가 1에 가까울수록 쌍곡선의 가지가 더 좁아집니다(그림 3.43, a).
실제로, 가지를 포함하는 쌍곡선의 점근선 사이의 각도 값 \gamma는 주 직사각형의 변의 비율에 의해 결정됩니다: \operatorname(tg)\frac(\gamma)(2)=\frac(b)(2). e=\frac(c)(a) 및 c^2=a^2+b^2 를 고려하면 다음을 얻습니다.
E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\left(\frac(b)(a)\right )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}
e가 클수록 각도 \gamma도 커집니다. 등변 쌍곡선(a=b)의 경우 e=\sqrt(2)와 \gamma=\frac(\pi)(2). e>\sqrt(2)의 경우 각도 \gamma는 둔각이고 1의 경우 6. 다음 방정식에 의해 동일한 좌표계에서 정의된 두 쌍곡선 \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1그리고 불려진다 서로 연결되어 있다. 켤레 쌍곡선은 동일한 점근선을 갖습니다(그림 3.43b). 켤레 쌍곡선의 방정식 -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1좌표축의 이름을 바꾸면(3.38) 정식으로 축소됩니다. 7. 방정식 \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1점 O"(x_0,y_0)에 중심을 두고 쌍곡선을 정의하며 그 축은 좌표축과 평행합니다(그림 3.43, c). 이 방정식은 평행 이동(3.36)을 사용하여 표준 방정식으로 축소됩니다. -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 O"(x_0,y_0) 점을 중심으로 켤레 쌍곡선을 정의합니다. 표준 좌표계에서 쌍곡선의 매개변수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. \begin(cases)x=a\cdot\operatorname(ch)t,\\y=b\cdot\operatorname(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R), 어디 \operatorname(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- 쌍곡선 코사인, \operatorname(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2)쌍곡사인. 실제로 좌표 표현식을 방정식 (3.50)으로 대체하면 주요 쌍곡선 항등식에 도달합니다. \operatorname(ch)^2t-\operatorname(sh)^2t=1. 예제 3.21.과장법을 그리다 \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1표준 좌표계 Oxy에서. 반축, 초점 거리, 이심률, 초점 매개변수, 점근선 방정식과 준선 방정식을 찾습니다. 해결책.주어진 방정식을 표준 방정식과 비교하여 반축을 결정합니다: a=2 - 실수 반축, b=3 - 쌍곡선의 가상 반축. 우리는 원점을 중심으로 변이 2a=4,~2b=6인 주 직사각형을 만듭니다(그림 3.44). 주 직사각형의 대각선을 확장하여 점근선을 그립니다. 좌표축에 대한 대칭을 고려하여 쌍곡선을 구성합니다. 필요한 경우 쌍곡선의 일부 점의 좌표를 결정하십시오. 예를 들어 x=4를 쌍곡선 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다. \frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt (3). 따라서 좌표가 (4;3\sqrt(3)) 및 (4;-3\sqrt(3))인 점은 쌍곡선에 속합니다. 초점 거리 계산 2\cdot c=2\cdot\sqrt(a^2+b^2)=2\cdot\sqrt(2^2+3^2)=2\sqrt(13) 이심률 e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(13))(2); 초점 매개변수 p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. 점근선의 방정식을 작성합니다 y=\pm\frac(b)(a)\,x, 즉 y=\pm\frac(3)(2)\,x및 준선 방정식은 다음과 같습니다. x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)). 나는 나머지 독자들에게 포물선과 쌍곡선에 대한 학교 지식을 크게 확장할 것을 제안합니다. 쌍곡선과 포물선 - 단순합니까? ...기다려요 =) 자료 표현의 일반적인 구조는 이전 단락과 유사합니다. 쌍곡선의 일반적인 개념과 이를 구성하는 작업부터 시작하겠습니다. 쌍곡선의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 여기서 는 양의 실수입니다. 달리 참고해주세요 타원, 여기서는 조건이 부과되지 않습니다. 즉, "a" 값이 "be" 값보다 작을 수 있습니다. 아주 뜻밖에도... "학파" 쌍곡선의 방정식은 정식 표기법과 아주 유사하지도 않습니다. 하지만 이 미스터리는 여전히 우리를 기다려야 할 것입니다. 하지만 지금은 머리를 긁적이며 문제의 곡선이 어떤 특징을 가지고 있는지 기억해 봅시다. 상상의 화면에 펼쳐보자 함수 그래프 …. 쌍곡선에는 두 개의 대칭 가지가 있습니다. 나쁘지 않은 진전! 모든 과장법에는 이러한 속성이 있으며 이제 우리는 이 라인의 네크라인을 진심으로 감탄하면서 살펴보겠습니다. 실시예 4 방정식에 의해 주어진 쌍곡선을 구성하십시오 해결책: 첫 번째 단계에서는 이 방정식을 표준 형식으로 만듭니다. 표준 절차를 기억하십시오. 오른쪽에서는 "1"을 구해야 하므로 원래 방정식의 양변을 20으로 나눕니다. 여기서 두 분수를 모두 줄일 수 있지만 각각을 수행하는 것이 더 최적입니다. 3층짜리: 그 후에야 축소를 수행하십시오. 분모에서 사각형을 선택합니다. 이런 식으로 변환을 수행하는 것이 더 나은 이유는 무엇입니까? 결국, 왼쪽의 분수는 즉시 감소되어 얻어질 수 있습니다. 사실 고려 중인 예에서 우리는 약간 운이 좋았습니다. 숫자 20은 4와 5로 나눌 수 있습니다. 일반적인 경우이 번호는 작동하지 않습니다. 예를 들어 방정식을 고려하십시오. 여기서 모든 것은 가분성이 있든 없든 더 슬프다 3층 분수더 이상 가능하지 않음: 이제 우리 노력의 결실인 표준 방정식을 사용해 보겠습니다. 쌍곡선을 구성하는 방법에는 기하학과 대수라는 두 가지 접근 방식이 있습니다. 다음 알고리즘을 준수하는 것이 좋습니다. 먼저 완성된 도면을 작성한 다음 주석을 작성하는 것입니다. 실제로, 임의의 각도에 의한 회전과 쌍곡선의 평행 이동의 조합이 종종 발생합니다. 이 상황은 수업 시간에 논의됩니다. 2차선 방정식을 정식 형식으로 축소. 끝났어요! 그녀는 그 사람입니다. 많은 비밀을 밝힐 준비가 되었습니다. 포물선의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 여기서 는 실수입니다. 표준 위치에서 포물선은 "측면에 있고" 꼭지점은 원점에 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이 경우 함수는 이 라인의 상위 분기를 지정하고 함수는 하위 분기를 지정합니다. 포물선이 축을 중심으로 대칭임을 알 수 있습니다. 실제로, 왜 귀찮게: 실시예 6 포물선 구성 해결책: 꼭지점을 알고 있으므로 추가 점을 찾아보겠습니다. 방정식 계산 기록을 단축하기 위해 "하나의 브러시로" 계산을 수행합니다. 컴팩트한 기록의 경우 결과를 표로 요약할 수 있습니다. 초보적인 점별 그리기를 수행하기 전에 엄격한 기준을 공식화해 봅시다. 포물선은 주어진 점과 그 점을 통과하지 않는 주어진 선으로부터 등거리에 있는 평면의 모든 점의 집합입니다. 포인트라고 합니다 집중하다포물선, 직선 - 여자 교장 (하나의 "es"로 철자됨)포물선. 표준 방정식의 상수 "pe"는 다음과 같습니다. 초점 매개변수, 이는 초점에서 준선까지의 거리와 같습니다. 이 경우. 이 경우 초점은 좌표를 갖고 준선은 방정식으로 주어진다. 축하해요! 오늘 많은 분들이 진정한 발견을 하셨습니다. 쌍곡선과 포물선은 전혀 "일반적인" 함수의 그래프가 아니지만 뚜렷한 기하학적 기원을 가지고 있는 것으로 나타났습니다. 분명히 초점 매개변수가 증가함에 따라 그래프의 가지가 위아래로 "상승"하여 축에 무한히 가까워집니다. "pe" 값이 감소하면 축을 따라 압축 및 늘어나기 시작합니다. 포물선의 이심률은 1과 같습니다. 포물선은 수학에서 가장 일반적인 선 중 하나이므로 정말 자주 만들어야 합니다. 따라서 이 곡선의 위치에 대한 일반적인 옵션에 대해 논의할 강의의 마지막 단락에 특별한 주의를 기울이시기 바랍니다. ! 메모
: 이전 곡선의 경우와 마찬가지로 좌표축의 회전 및 평행 이동에 대해 이야기하는 것이 더 정확하지만 저자는 독자가 이러한 변환에 대한 기본 이해를 가질 수 있도록 프레젠테이션의 단순화된 버전으로 제한합니다. 추가 자료 8학년을 위한 Integral 온라인 상점의 교육 보조 장치 및 시뮬레이터
$y=\frac(1)(x)$ 함수 그래프. 쌍곡선에는 대칭 중심뿐만 아니라 대칭축도 있습니다. 여러분, $y=x$ 선을 그리고 그래프가 어떻게 나누어지는지 살펴보세요. $y=x$ 직선 위에 있는 부분이 아래에 있는 부분에 겹쳐지면 두 부분이 일치한다는 것을 알 수 있습니다. 이는 직선에 대해 대칭을 의미합니다. 우리는 $y=\frac(1)(x)$ 함수를 플로팅했지만 일반적인 경우에는 $y=\frac(k)(x)$, $k>0$이 발생합니다. 예를 들어 $y=\frac(10)(x)$ 함수의 그래프는 다음과 같습니다. 함수 $y=\frac(k)(x)$, $k의 속성 쌍곡선교차하지 않는 두 개의 개별 곡선으로 구성된 2차 평면 곡선입니다. 쌍곡선- 이것은 평면 위의 점 집합입니다. 초점이라고 하는 두 점의 거리 차이 계수는 일정한 값입니다. 속성: 1. 광학적 특성:쌍곡선의 초점 중 하나에 위치한 광원의 빛은 반사된 광선의 연장이 두 번째 초점에서 교차하는 방식으로 쌍곡선의 두 번째 가지에 의해 반사됩니다. 2. 쌍곡선 위에 있는 모든 점의 경우, 이 점에서 초점까지의 거리와 같은 점에서 준선까지의 거리의 비율은 일정한 값입니다. 3. 과장법은 실수축과 허수축에 대한 거울 대칭, 그리고 또한 회전 대칭쌍곡선의 중심을 기준으로 180° 각도로 회전할 때. 4. 각 과장법은 다음과 같습니다. 켤레 쌍곡선, 실제 축과 가상 축의 위치가 바뀌지만 점근선은 동일하게 유지됩니다. 쌍곡선의 속성: 1) 쌍곡선에는 두 개의 대칭축(쌍곡선의 주축)과 대칭 중심(쌍곡선의 중심)이 있습니다. 이 경우, 이들 축 중 하나는 쌍곡선의 정점이라고 불리는 두 지점에서 쌍곡선과 교차합니다. 쌍곡선의 실수축(축)이라고 합니다. 오좌표계의 정식 선택을 위해). 다른 축에는 없습니다. 공통점쌍곡선을 사용하며 허수 축이라고 합니다(표준 좌표계에서 축 오). 그것의 양쪽에는 쌍곡선의 오른쪽과 왼쪽 가지가 있습니다. 쌍곡선의 초점은 실수 축에 위치합니다. 2) 쌍곡선의 가지에는 다음 방정식에 의해 결정되는 두 개의 점근선이 있습니다. 3) 쌍곡선(11.3)과 함께 표준 방정식으로 정의되는 소위 공액 쌍곡선을 고려할 수 있습니다. 동일한 점근선을 유지하면서 실수 축과 허수 축이 교체됩니다. 4) 쌍곡선의 이심률 이자형> 1. 5) 거리 비율 나는쌍곡선 점에서 초점까지 나는먼 곳으로 디 나는이 지점에서 초점에 해당하는 준선까지의 값은 쌍곡선의 이심률과 같습니다. 42.
과장법두 고정점까지의 거리 차이 계수가 다음과 같은 평면의 점 집합입니다. 에프 1과 에프이 비행기의 2대 트릭는 상수 값입니다. 동일한 표기법을 사용하여 타원 방정식의 유도와 유사하게 쌍곡선의 표준 방정식을 유도해 보겠습니다. |r 1 - r 2 | = 2에이, 어디에서 우리가 표시하면 비² = 기음² - 에이², 여기에서 다음을 얻을 수 있습니다. - 표준 쌍곡선 방정식. (11.3) 초점과 주어진 직선에 대한 거리의 비가 일정하고 1보다 큰 점의 자취를 쌍곡선이라고 합니다. 주어진 상수를 쌍곡선의 이심률이라고 합니다. 정의 11.6.이심률쌍곡선은 양이라고 불린다 e = c/a. 이심률: 정의 11.7.여자 교장 디 나는초점에 해당하는 쌍곡선 나는, 과 동일한 반평면에 위치한 직선이라고 합니다. 나는축을 기준으로 오축에 수직 오멀리서 a/e원산지에서. 43. 켤레 축퇴 쌍곡선의 경우 (완전히 아님) 각 과장법에는 켤레 쌍곡선, 실제 축과 가상 축의 위치가 바뀌지만 점근선은 동일하게 유지됩니다. 교체에 해당합니다 에이그리고 비쌍곡선을 설명하는 공식에서 서로의 위에. 켤레 쌍곡선은 초기 쌍곡선을 90° 각도로 회전한 결과가 아닙니다. 두 쌍곡선 모두 모양이 다릅니다. 쌍곡선의 점근선이 서로 수직이면 쌍곡선을 호출합니다. 등변
. 공통 점근선을 갖지만 가로 축과 켤레 축이 재배열된 두 개의 쌍곡선을 호출합니다. 서로 공액하다
.파라메트릭 쌍곡선 방정식
계산을 수행하려면 ActiveX 컨트롤을 활성화해야 합니다!
쌍곡선과 그 표준 방정식
쌍곡선을 구성하는 방법은 무엇입니까?
실용적인 관점에서 보면 나침반으로 그리는 것... 심지어 유토피아적이라고 말하고 싶기 때문에 다시 한 번 간단한 계산을 사용하여 도움을 주는 것이 훨씬 더 유익합니다.
포물선과 그 정식 방정식
포물선의 위쪽 호를 결정하면 방정식은 아래쪽 호를 결정합니다.
포물선의 정의:
우리의 예에서는: 
포물선의 정의는 타원과 쌍곡선의 정의보다 이해하기가 훨씬 쉽습니다. 포물선 위의 모든 점에 대해 선분의 길이(초점에서 점까지의 거리)는 수직선의 길이(점에서 준선까지의 거리)와 같습니다. 포물선의 회전 및 평행 이동
주제에 대한 프레젠테이션 및 강의:
"함수의 쌍곡선, 정의, 속성"
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기하학을 위한 전자 교육 테이블입니다. 7~9학년
대수학을 위한 전자 교육 테이블. 7~9등급"과장법, 정의
여러분, 오늘 우리는 새로운 함수를 연구하고 그래프를 만들어 보겠습니다.
$y=\frac(k)(x)$, $k≠0$ 함수를 생각해 보세요.
계수 $k$ – 0을 제외한 모든 실수 값을 사용할 수 있습니다. 단순화를 위해 $k=1$인 경우부터 함수 분석을 시작하겠습니다.
$y=\frac(1)(x)$ 함수를 그려보겠습니다.
언제나 그렇듯이 테이블을 만드는 것부터 시작해 보겠습니다. 사실, 이번에는 테이블을 두 부분으로 나누어야 합니다. $x>0$인 경우를 생각해보자.
표에 주어진 좌표 $(x;y)$로 6개의 점을 표시하고 선으로 연결해야 합니다. 
이제 음수 x로 무엇을 얻는지 살펴보겠습니다. 
같은 일을 하고, 점들을 표시하고 선으로 연결해 봅시다. 
우리는 그래프의 두 부분을 만들었습니다. 이를 결합해 보겠습니다. 
이러한 함수의 그래프를 "쌍곡선"이라고 합니다.쌍곡선의 속성
동의하세요. 그래프는 꽤 멋져 보이며 원점을 기준으로 대칭입니다. 첫 번째 분기부터 세 번째 분기까지 좌표 원점을 통과하는 직선을 그리면 좌표 원점에서 같은 거리에 있는 두 지점에서 그래프와 교차합니다.
쌍곡선은 원점을 기준으로 대칭인 두 부분으로 구성됩니다. 이러한 부분을 쌍곡선의 가지라고 합니다.
한 방향(왼쪽 및 오른쪽)의 쌍곡선 가지는 점점 더 x축을 향하는 경향이 있지만 결코 교차하지 않습니다. 다른 방향(위 및 아래)에서는 세로축을 향하는 경향이 있지만 결코 교차하지 않습니다(0으로 나누는 것이 불가능하기 때문). 그러한 경우, 대응하는 선을 점근선이라고 합니다. 쌍곡선 그래프에는 x축과 y축이라는 두 개의 점근선이 있습니다.
그래프는 실제로 다르지 않습니다. 결과는 동일한 가지를 갖는 쌍곡선이 됩니다. $k$가 많을수록 가지가 좌표 원점에서 더 멀리 제거되고, $k$가 작을수록 좌표 원점에 더 가까워집니다.
그래프가 "더 넓어지고" 원점에서 멀어졌습니다.
하지만 마이너스 $k$는 어떻습니까? $y=-f(x)$ 함수의 그래프는 x축을 기준으로 $y=f(x)$ 그래프와 대칭입니다. 이를 거꾸로 뒤집어야 합니다.
이 속성을 활용하여 $y=-\frac(1)(x)$ 함수를 플로팅해 보겠습니다. 
얻은 지식을 요약해 보겠습니다.
$y=\frac(k)(x)$, $k≠0$ 함수의 그래프는 $k>0$ ($k에 대해 첫 번째와 세 번째(두 번째와 네 번째) 좌표 분기에 위치한 쌍곡선입니다.함수 $y=\frac(k)(x)$, $k>0$의 속성
1. 정의 영역: $x=0$을 제외한 모든 숫자.
2. $x>0$ 및 $y에 대해 $y>0$ 3. 함수는 $(-무한대;0)$ 및 $(0;+무한대)$ 간격에서 감소합니다.
7. 값 범위: $(-무한대;0)U(0;+무한대)$.
1. 정의 영역: $x=0$을 제외한 모든 숫자.
2. $x 0$에 대해 $y>0$.
3. 함수는 $(-무한대;0)$ 및 $(0;+무한대)$ 구간에서 증가합니다.
4. 기능은 위 또는 아래로 제한되지 않습니다.
5. 가장 위대하고 가장 낮은 값아니요.
6. 이 함수는 $(-무한대;0)U(0;+무한대)$ 구간에서 연속이고 $x=0$ 지점에서 불연속성을 갖습니다.
7. 값 범위: $(-무한대;0)U(0;+무한대)$.
과장법 공식 y = k/x, 단, 케이같지 않다 0
. 즉, 쌍곡선의 꼭짓점은 0이 되는 경향이 있지만 절대 교차하지 않습니다.
즉, F1과 F2가 쌍곡선의 초점이면 쌍곡선의 임의의 점 X에서의 접선은 각도 ∠F1XF2의 이등분선입니다.
