선형 독립 벡터 시스템의 예. 선형 의존성과 벡터 독립성

에이 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, 에이 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, 에이 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

해결책.찾고 있는 중 일반 솔루션방정식 시스템

에이 1 엑스 1 + 에이 2 엑스 2 + 에이 3 엑스 3 = Θ

가우스 방법. 이를 위해 우리는 이 동종 시스템을 좌표로 기록합니다.

시스템 매트릭스

허용되는 시스템의 형식은 다음과 같습니다. (r A = 2, N= 3). 시스템은 협력적이고 불확실합니다. 일반적인 솔루션( 엑스 2 – 자유 변수): 엑스 3 = 13엑스 2 ; 3엑스 1 – 2엑스 2 – 13엑스 2 = 0 => 엑스 1 = 5엑스 2 => 엑스오 = . 예를 들어, 0이 아닌 특정 솔루션이 존재한다는 것은 벡터가 에이 1 , 에이 2 , 에이 3 선형 의존적입니다.

예시 2.

주어진 벡터 시스템이 선형 종속인지 선형 독립인지 확인합니다.

1. 에이 1 = { -20, -15, - 4 }, 에이 2 = { –7, -2, -4 }, 에이 3 = { 3, –1, –2 }.

해결책.동차 방정식 시스템을 고려하십시오. 에이 1 엑스 1 + 에이 2 엑스 2 + 에이 3 엑스 3 = Θ

또는 확장된 형태(좌표 기준)

시스템은 균질합니다. 퇴화되지 않은 경우 고유한 솔루션이 있는 것입니다. 경우에 동종 시스템– 제로(사소한) 솔루션. 이는 이 경우 벡터 시스템이 독립적이라는 것을 의미합니다. 시스템이 퇴화되면 0이 아닌 솔루션을 가지므로 종속됩니다.

우리는 시스템의 퇴화를 확인합니다.

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

시스템은 퇴화되지 않았으므로 벡터는 에이 1 , 에이 2 , 에이 3 선형 독립.

과제.주어진 벡터 시스템이 선형 종속인지 선형 독립인지 확인합니다.

1. 에이 1 = { -4, 2, 8 }, 에이 2 = { 14, -7, -28 }.

2. 에이 1 = { 2, -1, 3, 5 }, 에이 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. 에이 1 = { -7, 5, 19 }, 에이 2 = { -5, 7 , -7 }, 에이 3 = { -8, 7, 14 }.

4. 에이 1 = { 1, 2, -2 }, 에이 2 = { 0, -1, 4 }, 에이 3 = { 2, -3, 3 }.

5. 에이 1 = { 1, 8 , -1 }, 에이 2 = { -2, 3, 3 }, 에이 3 = { 4, -11, 9 }.

6. 에이 1 = { 1, 2 , 3 }, 에이 2 = { 2, -1 , 1 }, 에이 3 = { 1, 3, 4 }.

7. 에이 1 = {0, 1, 1 , 0}, 에이 2 = {1, 1 , 3, 1}, 에이 3 = {1, 3, 5, 1}, 에이 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. 에이 1 = {-1, 7, 1 , -2}, 에이 2 = {2, 3 , 2, 1}, 에이 3 = {4, 4, 4, -3}, 에이 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. 다음을 포함하는 경우 벡터 시스템이 선형 종속임을 증명하십시오.

a) 두 개의 동일한 벡터;

b) 두 개의 비례 벡터.

정의. 벡터의 선형 조합 a 1 , ..., 계수 x 1 , ..., x n 을 갖는 n 을 벡터라고 합니다.

x 1 a 1 + ... + x n a n .

하찮은, 모든 계수 x 1, ..., x n이 0인 경우.

정의. 선형 조합 x 1 a 1 + ... + x n a n은 다음과 같습니다. 사소하지 않은, 계수 x 1, ..., x n 중 하나 이상이 0이 아닌 경우.

선형독립, 0 벡터와 동일한 이러한 벡터의 중요하지 않은 조합이 없는 경우.

즉, 벡터 a 1, ..., an n은 x 1 a 1 + ... + x n a n = 0인 경우 x 1 = 0, ..., x n = 0인 경우에만 선형 독립입니다.

정의. 벡터 a 1, ..., an n을 호출합니다. 선형 종속, 이러한 벡터의 사소한 조합이 0 벡터와 동일한 경우.

선형 종속 벡터의 속성:

2차원 및 3차원 벡터의 경우.

두 개의 선형 종속 벡터는 동일선상에 있습니다. (공선상 벡터는 선형 종속적입니다.)

3차원 벡터의 경우.

세 개의 선형 종속 벡터가 동일 평면에 있습니다. (3개의 동일 평면 벡터는 선형 종속적입니다.)

n차원 벡터의 경우.
n + 1개 벡터는 항상 선형 종속입니다.

벡터의 선형 의존성과 선형 독립에 관한 문제의 예:

예시 1. 벡터 a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0)이 선형독립인지 확인 .

해결책:

벡터의 차원이 벡터 수보다 작기 때문에 벡터는 선형 종속적입니다.

예제 2. 벡터 a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1)이 선형독립인지 확인합니다.

해결책:

	엑스 1 + 엑스 2 = 0
	엑스 1 + 2x 2 - 엑스 3 = 0
	엑스 1 + 엑스 3 = 0

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	1

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0		0	-1	1

첫 번째 줄에서 두 번째 줄을 뺍니다. 세 번째 줄에 두 번째 줄을 추가합니다.

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1
	0	1	-1	0		0	1	-1
	0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0		0	0	0

이 솔루션은 시스템에 많은 솔루션이 있음을 보여줍니다. 즉, 벡터 a, b, c의 선형 조합이 다음과 같도록 숫자 x 1, x 2, x 3 값의 0이 아닌 조합이 있음을 보여줍니다. 예를 들어, 0 벡터:

A + b + c = 0

이는 벡터 a, b, c가 선형 종속적임을 의미합니다.

답변:벡터 a, b, c는 선형 종속입니다.

예제 3. 벡터 a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2)가 선형독립인지 확인합니다.

해결책:이 벡터의 선형 결합이 0 벡터와 같아지는 계수의 값을 찾아 보겠습니다.

x1a + x2b + x3c1 = 0

이 벡터 방정식은 시스템으로 작성될 수 있습니다. 선형 방정식

	엑스 1 + 엑스 2 = 0
	엑스 1 + 2x 2 - 엑스 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

가우스 방법을 사용하여 이 시스템을 풀어보겠습니다.

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	2

두 번째 줄에서 첫 번째 줄을 뺍니다. 세 번째 줄에서 첫 번째 줄을 뺍니다.

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0		0	-1	2

첫 번째 줄에서 두 번째 줄을 뺍니다. 세 번째 줄에 두 번째를 추가하십시오.

벡터 시스템은 다음과 같이 불립니다. 선형 종속, 그 중 적어도 하나가 0과 다른 숫자가 있는 경우 https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

이 동등성이 all 인 경우에만 충족되면 벡터 시스템이 호출됩니다. 선형독립.

정리.벡터 시스템은 선형 종속벡터 중 적어도 하나가 다른 벡터의 선형 결합인 경우에만 가능합니다.

예시 1.다항식 다항식 https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">의 선형 조합입니다. 다항식은 선형이 아닙니다. 종속 시스템, 다항식 https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24"> 이후.

예시 2.행렬 시스템 https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src=">는 선형 결합이 다음과 같기 때문에 선형 독립입니다. https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text인 경우에만 제로 행렬 /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> 선형 종속.

해결책.

이 벡터의 선형 조합을 만들어 보겠습니다 https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" 높이=" 22">.

동일한 벡터의 동일한 좌표를 동일시하면 https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">를 얻습니다.

마침내 우리는 얻는다

그리고

시스템에는 고유하고 간단한 솔루션이 있으므로 모든 계수가 0과 같은 경우에만 이러한 벡터의 선형 조합이 0과 같습니다. 따라서 이 벡터 시스템은 선형 독립입니다.

예시 4.벡터는 선형독립입니다. 벡터 시스템은 어떤 모습일까요?

에이).;

비).?

해결책.

에이).일차결합을 만들어 0과 동일시하자

선형 공간의 벡터 연산 속성을 사용하여 마지막 등식을 다음 형식으로 다시 작성합니다.

벡터는 선형 독립이므로 계수는 0과 같아야 합니다. 즉, gif" width="12" height="23 src=">

결과 방정식 시스템에는 고유한 사소한 해법이 있습니다. .

평등 이후 (*) https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - 선형 독립인 경우에만 실행됩니다.

비).평등을 만들자 https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

비슷한 추론을 적용하면

가우스 방법으로 방정식 시스템을 풀면

또는

후자 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다 https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. 따라서 비- 동등성을 유지하는 제로 계수 세트 (**) . 따라서 벡터 시스템은 – 선형 종속.

실시예 5벡터 시스템은 선형 독립이고 벡터 시스템은 선형 종속입니다..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

평등하게 (***) . 실제로 에서 시스템은 선형 종속적입니다.

관계에서 (***) 우리는 얻는다 또는 나타내자 .

우리는 얻는다

독립적인 해결을 위한 문제(교실 내)

1. 영 벡터를 포함하는 시스템은 선형 종속입니다.

2. 하나의 벡터로 구성된 시스템 에이는 다음과 같은 경우에만 선형 종속입니다. a=0.

3. 두 개의 벡터로 구성된 시스템은 벡터가 비례하는 경우(즉, 벡터 중 하나가 숫자를 곱하여 다른 벡터에서 얻어지는 경우)에만 선형 종속입니다.

4. 선형 종속 시스템에 벡터를 추가하면 선형 종속 시스템이 됩니다.

5. 선형 독립 시스템에서 벡터를 제거하면 결과 벡터 시스템은 선형 독립입니다.

6. 시스템의 경우 에스선형독립이지만 벡터를 더하면 선형종속이 됩니다. 비, 그 다음 벡터 비시스템 벡터를 통해 선형적으로 표현됨 에스.

기음). 2차 행렬 공간의 행렬 시스템 , .

10. 벡터 시스템을 보자 에이,비,기음벡터 공간은 선형독립입니다. 다음 벡터 시스템의 선형 독립성을 증명하십시오.

에이).에이+비,비,씨.

비).에이+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–임의의 숫자

기음).에이+b, a+c, b+c.

11. 허락하다 에이,비,기음– 삼각형이 형성될 수 있는 평면 위의 세 벡터. 이 벡터들은 선형 종속적일까요?

12. 두 개의 벡터가 주어집니다. a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). 4차원 벡터 두 개를 더 찾아보세요. a3 및a4그래서 시스템은 a1,a2,a3,a4선형 독립이었다 .

이 기사에서는 다음 내용을 다룰 것입니다.

동일선상 벡터란 무엇입니까?
벡터의 공선성의 조건은 무엇입니까?
동일선상 벡터의 어떤 속성이 존재합니까?
동일선상 벡터의 선형 의존성은 무엇입니까?

Yandex.RTB R-A-339285-1 정의 1

동일선상 벡터는 한 선에 평행하거나 한 선 위에 있는 벡터입니다.

실시예 1

벡터의 공선성 조건

다음 조건 중 하나가 참인 경우 두 벡터는 동일 선상에 있습니다.

조건 1 . a = λb인 숫자 λ가 있는 경우 벡터 a와 b는 동일선상에 있습니다.
조건 2 . 벡터 a와 b는 동일한 좌표 비율로 동일선상에 있습니다.

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a 슨 b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

조건 3 . 외적과 영 벡터가 동일하다면 벡터 a와 b는 동일선상에 있습니다.

a |b ⇔ a, b = 0

참고 1

조건 2 벡터 좌표 중 하나가 0인 경우에는 적용할 수 없습니다.

참고 2

조건 3 공간에 지정된 벡터에만 적용됩니다.

벡터의 공선성을 연구하는 문제의 예

실시예 1

벡터 a = (1; 3)과 b = (2; 1)의 공선성을 검사합니다.

어떻게 해결하나요?

이 경우 2차 공선성 조건을 사용해야 한다. 주어진 벡터의 경우 다음과 같습니다.

평등은 거짓입니다. 이것으로부터 우리는 벡터 a와 b가 동일선상에 있지 않다는 결론을 내릴 수 있습니다.

답변 : 에 | | 비

실시예 2

벡터가 동일선상이 되기 위해서는 벡터 a = (1; 2) 및 b = (- 1; m)의 어떤 값 m이 필요합니까?

어떻게 해결하나요?

두 번째 공선성 조건을 사용하면 좌표가 비례하는 경우 벡터가 동일선상에 있게 됩니다.

이는 m = - 2임을 보여줍니다.

답변: m = - 2 .

벡터 시스템의 선형 종속성 및 선형 독립성에 대한 기준

정리

벡터 공간의 벡터 시스템은 시스템의 벡터 중 하나가 이 시스템의 나머지 벡터로 표현될 수 있는 경우에만 선형 종속입니다.

증거

시스템을 e 1 , e 2 , . . . , en 은 선형 종속입니다. 영 벡터와 동일한 이 시스템의 선형 조합을 작성해 보겠습니다.

1e 1 + 2e 2 + . . . + 엔 엔 = 0

여기서 조합 계수 중 적어도 하나는 0이 아닙니다.

a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , N.

우리는 평등의 양쪽을 0이 아닌 계수로 나눕니다.

a k - 1 (ak - 1 a 1) e 1 + (ak - 1 a k) e k + . . . + (ak - 1 an) en = 0

다음을 나타내자:

A k - 1 am , 여기서 m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

이 경우:

β1e1+. . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n n = 0

또는 e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- βn) 엔

시스템의 벡터 중 하나는 시스템의 다른 모든 벡터를 통해 표현됩니다. 이것이 증명되어야 하는 것입니다(등등).

적절

벡터 중 하나를 시스템의 다른 모든 벡터를 통해 선형으로 표현합니다.

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n n

벡터 e k를 이 등식의 오른쪽으로 이동합니다.

0 = γ1e1 + . . . + γ k - 1 ek - 1 - ek + γ k + 1 ek + 1 + . . . + γ n n

벡터 e k의 계수는 - 1 ≠ 0과 같기 때문에 벡터 e 1, e 2, . . . , en , 이는 결국 이 벡터 시스템이 선형 종속적임을 의미합니다. 이것이 증명되어야 하는 것입니다(등등).

결과:

벡터 시스템은 벡터 중 어느 것도 시스템의 다른 모든 벡터로 표현될 수 없는 경우 선형 독립입니다.
0 벡터 또는 두 개의 동일한 벡터를 포함하는 벡터 시스템은 선형 종속입니다.

선형 종속 벡터의 속성

2차원 및 3차원 벡터의 경우 다음 조건이 충족됩니다. 두 개의 선형 종속 벡터가 동일선상에 있습니다. 두 개의 동일선상 벡터는 선형 종속입니다.
3차원 벡터의 경우 다음 조건이 충족됩니다. 세 개의 선형 종속 벡터가 동일 평면에 있습니다. (3개의 동일 평면 벡터는 선형 종속적입니다.)
을 위한 n차원 벡터조건이 충족됩니다. n + 1개의 벡터는 항상 선형 종속입니다.

벡터의 선형 종속성 또는 선형 독립성과 관련된 문제 해결의 예

실시예 3

벡터 a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0의 선형 독립성을 확인해 보겠습니다.

해결책. 벡터의 차원이 벡터 수보다 작기 때문에 벡터는 선형 종속입니다.

실시예 4

벡터 a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1의 선형 독립성을 확인해 보겠습니다.

해결책. 선형 결합이 0 벡터와 같아지는 계수 값을 찾습니다.

x1a + x2b + x3c1 = 0

벡터 방정식을 선형 형식으로 작성합니다.

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

우리는 Gauss 방법을 사용하여 이 시스템을 해결합니다.

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

두 번째 줄에서 세 번째 - 첫 번째 줄에서 첫 번째를 뺍니다.

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

첫 번째 줄에서 두 번째 줄을 빼고, 세 번째 줄에 두 번째 줄을 더합니다.

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

솔루션에 따르면 시스템에는 많은 솔루션이 있습니다. 이는 a, b, c의 선형 조합이 0 벡터와 같은 숫자 x 1, x 2, x 3 값의 0이 아닌 조합이 있음을 의미합니다. 따라서 벡터 a, b, c는 다음과 같습니다. 선형 의존적입니다.

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

벡터, 그 속성 및 동작

벡터, 벡터를 사용한 동작, 선형 벡터 공간.

벡터는 유한한 수의 실수를 순서대로 모아 놓은 것입니다.

행위: 1. 벡터에 숫자를 곱합니다: 람다*벡터 x=(람다*x 1, 람다*x 2 ... 람다*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. 벡터의 추가(동일 벡터 공간에 속함) 벡터 x + 벡터 y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. 벡터 0=(0,0…0)---n E n – n차원(선형 공간) 벡터 x + 벡터 0 = 벡터 x

정리. n차원 선형 공간인 n 벡터의 시스템이 선형 종속이 되기 위해서는 벡터 중 하나가 다른 벡터의 선형 결합이면 충분합니다.

정리. 현상의 n차원 선형 공간에 대한 n+ 첫 번째 벡터의 집합입니다. 선형 의존적입니다.

벡터의 추가, 벡터의 숫자 곱셈. 벡터 빼기.

두 벡터의 합은 시작 부분이 벡터의 끝 부분과 일치하는 경우 벡터의 시작 부분에서 벡터 끝 부분으로 향하는 벡터입니다. 벡터가 기본 단위 벡터의 확장으로 제공되면 벡터를 추가할 때 해당 좌표가 추가됩니다.

데카르트 좌표계의 예를 사용하여 이를 고려해 보겠습니다. 허락하다

그걸 보여주자

그림 3에서 알 수 있듯이

유한한 수의 벡터의 합은 다각형 규칙(그림 4)을 사용하여 찾을 수 있습니다. 유한한 수의 벡터의 합을 구성하려면 각 후속 벡터의 시작 부분을 이전 벡터의 끝 부분과 결합하면 충분합니다. 첫 번째 벡터의 시작 부분과 마지막 벡터의 끝 부분을 연결하는 벡터를 구성합니다.

벡터 추가 작업의 속성:

이 표현식에서 m, n은 숫자입니다.

벡터 간의 차이를 벡터라고 합니다. 두 번째 항은 벡터의 방향은 반대지만 길이는 같은 벡터입니다.

따라서 벡터의 뺄셈 연산은 덧셈 연산으로 대체됩니다.

시작이 원점에 있고 점 A(x1, y1, z1)에서 끝나는 벡터를 점 A의 반경 벡터라고 하며 간단히 표시합니다. 좌표가 점 A의 좌표와 일치하므로 단위 벡터의 확장은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

A(x1, y1, z1) 지점에서 시작하여 B(x2, y2, z2) 지점에서 끝나는 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 r 2는 점 B의 반경 벡터입니다. r 1 - 점 A의 반경 벡터.

따라서 단위 벡터의 벡터 확장은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

그 길이는 점 A와 B 사이의 거리와 같습니다

곱셈

그래서 그 경우에는 비행기 문제 a = (ax; ay)와 숫자 b의 벡터 곱은 다음 공식으로 구합니다.

a b = (ax b; ay b)

예 1. 벡터 a = (1; 2)의 곱을 3으로 구합니다.

3a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

따라서 공간 문제의 경우 벡터 a = (ax; ay; az)와 숫자 b의 곱은 다음 공식으로 구됩니다.

a b = (ax b; ay b; az b)

예 1. 벡터 a = (1; 2; -5)의 곱을 2로 구합니다.

2a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

벡터의 내적과 벡터와 사이의 각도는 어디입니까? 그렇다면

스칼라 곱의 정의에 따르면 다음과 같습니다.

예를 들어 는 벡터 방향에 대한 벡터 투영의 크기입니다.

스칼라 제곱 벡터:

내적의 속성:

좌표의 내적

만약에 저것

벡터 사이의 각도

벡터 사이의 각도 - 이러한 벡터 방향 사이의 각도(최소 각도)입니다.

외적(두 벡터의 외적) -이는 두 요소로 구성된 평면에 수직인 유사 벡터이며, 이는 3차원 유클리드 공간의 벡터에 대한 이진 연산 "벡터 곱셈"의 결과입니다. 곱은 가환적도 결합적도 아니며(반교환적) 벡터의 내적과 다릅니다. 많은 공학 및 물리학 문제에서는 두 개의 기존 벡터에 수직인 벡터를 구성할 수 있어야 합니다. 벡터 제품이런 기회를 제공합니다. 외적은 벡터의 수직성을 "측정"하는 데 유용합니다. 두 벡터의 외적 길이는 두 벡터가 수직인 경우 길이의 곱과 같고 벡터가 평행하거나 역평행인 경우 0으로 감소합니다.

외적은 3차원 공간과 7차원 공간에서만 정의됩니다. 스칼라 곱과 마찬가지로 벡터 곱의 결과는 유클리드 공간의 미터법에 따라 달라집니다.

3차원 직교 좌표계의 좌표에서 스칼라 곱 벡터를 계산하는 공식과 달리 외적 공식은 직교 좌표계의 방향, 즉 "카이랄성"에 따라 달라집니다.

벡터의 공선성.

0이 아닌 두 개의 벡터(0이 아님)가 평행선 또는 동일한 선에 있는 경우 이를 동일선상이라고 합니다. 허용 가능하지만 권장되지 않는 동의어는 "병렬" 벡터입니다. 동일선상 벡터는 동일한 방향("동방향") 또는 반대 방향(후자의 경우 "반공선형" 또는 "역평행"이라고도 함)일 수 있습니다.

벡터의 혼합곱( 가, 비, 다)- 벡터 a의 스칼라 곱과 벡터 b 및 c의 벡터 곱:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

가끔 트리플이라고 부르기도 함 스칼라 곱벡터는 결과가 스칼라(보다 정확하게는 의사스칼라)이기 때문일 가능성이 높습니다.

기하학적 의미: 혼합 생성물의 모듈러스는 벡터에 의해 형성된 평행육면체의 부피와 수치적으로 동일합니다. (알파벳) .

속성

혼합 제품은 모든 인수와 관련하여 비대칭입니다. 즉, e. 두 가지 요소를 재배열하면 제품의 부호가 변경됩니다. 올바른 데카르트 좌표계(정규 직교 기반)의 혼합 곱은 벡터로 구성된 행렬의 행렬식과 같습니다.

왼쪽 데카르트 좌표계(정규 직교 기준)의 혼합 곱은 벡터로 구성된 행렬의 행렬식과 동일하며 마이너스 기호를 사용합니다.

특히,

두 벡터가 평행하면 세 번째 벡터와 함께 0과 같은 혼합 곱을 형성합니다.

세 개의 벡터가 선형 종속인 경우(즉, 동일 평면에 있고 동일한 평면에 있는 경우) 혼합된 곱은 0과 같습니다.

기하학적 의미 - 혼합 제품은 벡터에 의해 형성된 평행 육면체 (그림 참조)의 부피와 절대 값이 같습니다. 부호는 이 세 개의 벡터가 오른손잡이인지 왼손잡이인지에 따라 달라집니다.

벡터의 동일 평면성.

세 개의 벡터(또는 그 이상)가 다음과 같이 축소되면 동일 평면이라고 합니다. 일반적인 시작, 같은 비행기에 누워

동일 평면성 속성

세 벡터 중 하나 이상이 0이면 세 벡터도 동일 평면에 있는 것으로 간주됩니다.

한 쌍의 동일선상 벡터를 포함하는 세 개의 벡터가 동일 평면상에 있습니다.

동일 평면 벡터의 혼합 제품입니다. 이는 세 벡터의 동일 평면성에 대한 기준입니다.

동일 평면 벡터는 선형 종속적입니다. 이는 동일 평면성의 기준이기도 합니다.

3차원 공간에서는 동일 평면에 있지 않은 3개의 벡터가 기초를 형성합니다.

선형 종속 벡터와 선형 독립 벡터입니다.

선형 종속 및 독립 벡터 시스템.정의. 벡터 시스템이 호출됩니다. 선형 종속, 영 벡터와 동일한 벡터의 중요하지 않은 선형 조합이 하나 이상 있는 경우. 그렇지 않으면, 즉 주어진 벡터의 사소한 선형 조합만이 널 벡터와 같으면 해당 벡터를 호출합니다. 선형독립.

정리(선형 종속 기준). 선형 공간의 벡터 시스템이 선형 종속이 되기 위해서는 이들 벡터 중 적어도 하나가 다른 벡터의 선형 결합이면 충분합니다.

1) 벡터 중에 영 벡터가 하나 이상 있으면 전체 벡터 시스템은 선형 종속입니다.

실제로, 예를 들어 , 이라고 가정하면, 우리는 중요하지 않은 선형 조합 을 갖게 됩니다.▲

2) 벡터 중 일부가 선형 종속 시스템을 형성하면 전체 시스템이 선형 종속 시스템이 됩니다.

실제로, 벡터 , 가 선형 종속적이라고 가정합니다. 이는 영 벡터와 동일한 중요하지 않은 선형 조합이 있음을 의미합니다. 그런데 가정해보면 , 우리는 또한 영 벡터와 동일한 중요한 선형 조합을 얻습니다.

2. 기초 및 치수. 정의. 시스템 선형 독립 벡터 벡터 공간이라고 불린다. 기초의 임의의 벡터가 이 시스템 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있는 경우 이 공간의 각 벡터에는 실수가 있습니다 이러한 평등이 유지됩니다. 벡터 분해기초와 숫자에 따라 호출된다 기저를 기준으로 한 벡터의 좌표(또는 기초에) .