기하학적 진행 단계. 무한 감소하는 기하수열과 제노의 역설의 합

이제 무한의 합에 관한 문제를 생각해 봅시다. 기하학적 진행. 주어진 무한 수열의 부분합을 첫 번째 항의 합이라고 부르자. 부분합을 기호로 나타내자

모든 무한 진행에 대해

부분합의 (또한 무한한) 시퀀스를 구성할 수 있습니다.

무제한으로 증가하는 시퀀스에 제한이 있도록 하세요.

이 경우 수 S, 즉 수열의 부분합의 극한을 무한수열의 합이라고 한다. 우리는 무한 감소하는 기하 수열에는 항상 합이 있음을 증명하고 이 합에 대한 공식을 유도할 것입니다(무한 수열에 합이 없으면 존재하지 않는다는 것도 보여줄 수도 있습니다).

부분합에 대한 표현식을 공식 (91.1)에 따라 수열 항의 합으로 작성하고 부분합의 극한을 다음과 같이 고려해 보겠습니다.

정리 89로부터 감소하는 수열에 대해 다음이 알려져 있습니다. 따라서 차이 극한 정리를 적용하면 다음을 찾을 수 있습니다.

(여기서 규칙도 사용됩니다. 상수 요소는 극한 기호를 넘어서는 것입니다). 존재가 입증되고 동시에 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합에 대한 공식이 얻어집니다.

평등(92.1)은 다음 형식으로 작성할 수도 있습니다.

여기서 무한한 수의 항의 합에 매우 명확한 유한 값이 할당된다는 것이 역설적으로 보일 수 있습니다.

이 상황을 설명하기 위해 명확한 예를 제시할 수 있습니다. 한 변이 1인 정사각형을 생각해 보세요(그림 72). 이 정사각형을 수평선으로 나누어 두 개의 동일한 부분으로 나누고 위쪽 부분을 아래쪽 부분에 부착하여 직사각형이 변 2 및 으로 형성되도록 합니다. 그런 다음 이 직사각형의 오른쪽 절반을 다시 수평선으로 반으로 나누고 위쪽 부분을 아래쪽 부분에 연결합니다(그림 72 참조). 이 과정을 계속하면서 우리는 면적이 1인 원래 정사각형을 계속해서 다음과 같이 변환합니다. 같은 크기의 숫자(계단이 얇아지는 계단 형태를 취함).

이 과정이 무한히 계속됨에 따라 정사각형의 전체 영역은 무한한 수의 항으로 분해됩니다. 즉, 밑변이 1이고 높이가 동일한 직사각형 영역은 정확하게 무한 감소하는 진행, 즉 그 합을 형성합니다.

즉, 예상대로 정사각형의 면적과 같습니다.

예. 다음 무한 진행의 합을 구합니다.

해결책, a) 우리는 이 진행을 알아차렸습니다. 따라서 공식(92.2)을 사용하여 다음을 찾습니다.

b) 여기서는 동일한 공식(92.2)을 사용하여 다음을 의미합니다.

c) 따라서 우리는 이 수열에 합이 없음을 발견합니다.

단락 5에서 우리는 주기율의 역전으로 무한히 감소하는 진행의 항의 합에 대한 공식의 적용을 보여주었습니다. 소수공통 분수로.

수업 과정

1. 무한히 감소하는 기하수열의 합은 3/5이고 처음 네 항의 합은 13/27입니다. 진행의 첫 번째 항과 분모를 찾으세요.

2. 두 번째 항이 첫 번째 항보다 35만큼 작고 세 번째 항이 네 번째 항보다 560만큼 큰 교대 기하학적 수열을 형성하는 4개의 숫자를 찾습니다.

3. 순서가 다음과 같다는 것을 보여주세요.

무한히 감소하는 기하학적 수열을 형성한 다음 수열

어쨌든 그것은 무한히 감소하는 기하학적 진행을 형성합니다. 다음 경우에 이 말이 사실이 될까요?

기하수열 항의 곱에 대한 공식을 도출하세요.

수업의 목적: 학생들에게 새로운 유형의 수열, 즉 무한히 감소하는 기하학적 수열을 소개합니다.
작업:
수치 시퀀스의 한계에 대한 초기 아이디어를 공식화합니다.
무한히 감소하는 기하 수열의 합에 대한 공식을 사용하여 무한 주기 분수를 일반 분수로 변환하는 다른 방법을 알고 있습니다.
논리적 사고, 평가 행동 능력, 일반화 등 학생 성격의 지적 자질 개발;
활동, 상호 지원, 집단주의 및 주제에 대한 관심을 장려합니다.

다운로드:

시사:

주제에 대한 수업 “무한히 감소하는 기하수열”(대수학, 10학년)

수업 목표: 학생들에게 새로운 유형의 수열, 즉 무한히 감소하는 기하학적 수열을 소개합니다.

작업:

수치 시퀀스의 한계에 대한 초기 아이디어를 공식화합니다. 무한히 감소하는 기하 수열의 합에 대한 공식을 사용하여 무한 주기 분수를 일반 분수로 변환하는 다른 방법을 알고 있습니다.

논리적 사고, 평가 행동 능력, 일반화 등 학생 성격의 지적 자질 개발;

활동, 상호 지원, 집단주의 및 주제에 대한 관심을 장려합니다.

장비: 컴퓨터 수업, 프로젝터, 스크린.

수업 유형: 수업 - 새로운 주제를 학습합니다.

수업 진행

I. 조직. 순간. 수업의 주제와 목적을 설명합니다.

II. 학생들의 지식을 업데이트합니다.

9학년 때 산술수열과 기하수열을 공부했습니다.

질문

1. 정의 산술 진행.

(산술수열은 각 구성원이

두 번째부터 같은 숫자에 이전 항을 더한 것과 같습니다.)

2. 공식 n 산술수열의 번째 항

3. 첫 번째 합계의 공식 N 산술 진행의 용어.

( 또는 )

4. 기하학적 진행의 정의.

(기하수열은 0이 아닌 숫자의 수열입니다.

두 번째부터 시작하는 각 항은 이전 항에 다음을 곱한 것과 같습니다.

같은 번호).

5. 공식 n 기하학적 수열의 번째 항

6. 첫 번째 합계의 공식 N 기하학적 진행의 구성원.

7. 당신이 알고 있는 다른 공식은 무엇입니까?

(, 어디 ; ;

; , )

퀘스트

1. 산술 진행은 공식으로 제공됩니다 n = 7 - 4n . 10을 찾아보세요. (-33)

2. 산술진행 중 a 3 = 7 및 a 5 = 1 . 4 를 찾으세요. (4)

3. 산술진행 중 a 3 = 7 및 a 5 = 1 . 17 을 찾으세요. (-35)

4. 산술진행 중 a 3 = 7 및 a 5 = 1 . S17을 찾으세요. (-187)

5. 기하학적 진행의 경우다섯번째 항을 찾아보세요.

6. 기하학적 진행의 경우 n 번째 항을 찾으세요.

7. 기하급수적으로 b3 = 8이고 b5 = 2입니다. b 4 를 찾으세요. (4)

8. 기하급수적으로 b3 = 8이고 b5 = 2입니다. b 1과 q를 찾으세요.

9. 기하급수적으로 b3 = 8이고 b5 = 2입니다. S5를 찾아보세요. (62)

III. 새로운 주제 학습(프레젠테이션 시연).

변이 1인 정사각형을 생각해 보세요. 변이 첫 번째 정사각형 크기의 절반인 또 다른 정사각형을 그리고 그 변이 두 번째 정사각형의 절반인 또 다른 정사각형, 그 다음 다음 정사각형 등을 그려 봅시다. 매번 새로운 정사각형의 변은 이전 정사각형의 절반과 같습니다.

결과적으로 우리는 일련의 정사각형 변을 얻었습니다.분모를 가지고 기하학적 수열을 형성하는 것.

그리고 매우 중요한 것은 그러한 사각형을 더 많이 만들수록 사각형의 측면이 더 작아진다는 것입니다.예를 들어 ,

저것들. 숫자 n이 증가함에 따라 진행 조건은 0에 가까워집니다.

이 그림을 사용하여 다른 시퀀스를 고려할 수 있습니다.

예를 들어, 정사각형 영역의 순서는 다음과 같습니다.

그리고, 만약 n이라면 무한정 증가하면 원하는 만큼 영역이 0에 가까워집니다.

또 다른 예를 살펴보겠습니다. 정삼각형측면이 1cm와 같습니다. 삼각형의 중간선에 관한 정리에 따라 첫 번째 삼각형의 변의 중간점에 꼭지점을 사용하여 다음 삼각형을 만들어 보겠습니다. 두 번째 변은 첫 번째 변의 절반, 세 번째 변은 같습니다. 두 번째 변의 절반과 같습니다. 다시 우리는 삼각형 변의 길이 시퀀스를 얻습니다.

에 .

음의 분모를 갖는 기하학적 수열을 고려한다면.

그러다가 또 숫자가 늘어나면서 N 진행 상황이 0에 접근합니다.

이 시퀀스의 분모에 주목해 봅시다. 모든 곳에서 분모의 절대값이 1보다 작았습니다.

결론을 내릴 수 있습니다. 분모의 계수가 1보다 작으면 기하학적 수열은 무한히 감소합니다.

정면 작업.

정의:

기하수열은 분모의 계수가 1보다 작으면 무한히 감소한다고 합니다..

정의를 사용하면 기하학적 진행이 무한히 감소하는지 여부를 결정할 수 있습니다.

일

수열이 다음 공식으로 주어지면 무한히 감소하는 기하학적 수열입니까?

해결책:

q를 찾아보자.

; ; ; .

이 기하학적 진행은 무한히 감소합니다.

비) 이 수열은 무한히 감소하는 기하학적 수열이 아닙니다.

한 변의 길이가 1인 정사각형을 생각해 보세요. 이를 반으로 나누고, 반쪽 중 하나를 반으로 나누는 등의 방식으로 나누세요. 결과로 생성되는 모든 직사각형의 영역은 무한히 감소하는 기하학적 진행을 형성합니다.

이 방법으로 얻은 모든 직사각형의 면적의 합은 첫 번째 정사각형의 면적과 같고 1과 같습니다.

그러나 이 평등의 좌변에는 무한한 수의 항의 합이 있습니다.

처음 n 항의 합을 생각해 봅시다.

기하수열의 처음 n 항의 합에 대한 공식에 따르면, 이는 다음과 같습니다:.

만약 n 무제한으로 증가한 다음

또는 . 그러므로, 즉 .

무한히 감소하는 기하수열의 합순서 제한이 있습니다 S1, S2, S3, …, Sn, ….

예를 들어 진행을 위해,

우리는

왜냐하면

무한히 감소하는 기하학적 수열의 합공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

III. 이해와 통합(작업 완료).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. 요약하자면.

오늘은 어떤 순서로 알게 되었나요?

무한히 감소하는 기하학적 진행을 정의합니다.

기하학적 수열이 무한히 감소한다는 것을 어떻게 증명할 수 있나요?

무한히 감소하는 기하학적 수열의 합에 대한 공식을 제시하십시오.

V. 숙제.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

시사:

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슬라이드 캡션:

물리학자와 시인, 트랙터 운전사와 화학자 모두가 일관되게 생각하고, 증거를 가지고 판단하고, 잘못된 결론을 반박할 수 있어야 합니다. E. Kolman 수학에서는 공식이 아니라 사고 과정을 기억해야 합니다. V.P.Ermakov 수학자보다 한 수 앞서는 것보다 원의 제곱을 찾는 것이 더 쉽습니다. 아우구스투스 드 모건(Augustus de Morgan) 어떤 과학이 수학보다 더 고상하고, 더 존경스럽고, 인류에게 더 유용할 수 있습니까? 프랭클린

무한히 감소하는 기하수열 10등급

나. 산술 및 기하학적 진행. 질문 1. 산술진행의 정의. 등차수열은 두 번째부터 시작하는 각 항이 이전 항에 같은 숫자를 더한 것과 동일한 수열입니다. 2. 산술수열의 n번째 항에 대한 공식. 3. 산술수열의 처음 n항의 합을 구하는 공식. 4. 기하학적 진행의 정의. 기하수열은 0이 아닌 숫자의 수열로, 두 번째부터 시작하는 각 항은 이전 항에 같은 숫자 5를 곱한 것과 같습니다. 기하수열의 n번째 항에 대한 공식입니다. 6. 기하수열의 처음 n항의 합을 구하는 공식.

II. 산술 진행. 작업 산술 수열은 다음 공식으로 제공됩니다. a n = 7 – 4 n a 10 을 찾습니다. (-33) 2. 산술수열에서는 a 3 = 7, a 5 = 1이다. 4 를 찾으세요. (4) 3. 산술수열에서 a 3 = 7, a 5 = 1. 17 을 찾으세요. (-35) 4. 산술수열에서는 a 3 = 7, a 5 = 1이다. S17을 찾으세요. (-187)

II. 기하학적 진행. 작업 5. 기하수열의 경우 다섯 번째 항을 찾으세요. 6. 기하수열의 경우 n번째 항을 찾으세요. 7. 기하수열에서 b 3 = 8이고 b 5 = 2입니다. b 4 를 찾으세요. (4) 8. 기하수열에서 b 3 = 8 및 b 5 = 2. b 1과 q를 찾으세요. 9. 기하수열에서 b 3 = 8이고 b 5 = 2입니다. S5를 찾아보세요. (62)

정의: 분모의 계수가 1보다 작은 경우 기하학적 수열을 무한 감소라고 합니다.

문제 번호 1 다음 공식으로 주어지면 수열은 무한히 감소하는 기하 수열입니까? 풀이: a) 이 기하 수열은 무한히 감소합니다. b) 이 수열은 무한히 감소하는 기하학적 수열이 아닙니다.

무한히 감소하는 기하학적 수열의 합은 수열 S 1, S 2, S 3, ..., Sn, ...의 극한입니다. 예를 들어, 우리가 가지고 있는 수열의 경우 무한히 감소하는 기하 수열의 합은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

작업 완료 첫 번째 항은 3, 두 번째 항은 0.3으로 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합을 구합니다. 2. 13번; 14호; 교과서, p. 138 3. No. 15(1;3); No.16(1;3) No.18(1;3); 4. 19호; 20호.

오늘은 어떤 순서로 알게 되었나요? 무한히 감소하는 기하학적 진행을 정의합니다. 기하학적 수열이 무한히 감소한다는 것을 어떻게 증명할 수 있나요? 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합에 대한 공식을 제시하십시오. 질문

폴란드의 유명한 수학자 휴고 슈타인하우스(Hugo Steinhaus)는 다음과 같이 공식화된 법칙이 있다고 농담으로 주장합니다. 수학자라면 더 잘할 것입니다. 즉, 수학자인 두 사람에게 익숙하지 않은 작업을 수행하도록 맡기면 결과는 항상 다음과 같습니다. 수학자가 더 잘할 것입니다. 휴고 슈타인하우스 1887년 1월 14일부터 1972년 2월 25일까지

물리학과 수학의 일부 문제는 숫자 계열의 속성을 사용하여 해결할 수 있습니다. 학교에서 가르치는 가장 간단한 두 가지 수열은 대수학과 기하학입니다. 이 기사에서는 무한 감소하는 기하 수열의 합을 찾는 방법에 대한 질문을 자세히 살펴볼 것입니다.

기하학적 진행

이 단어는 요소 a가 다음 표현식을 만족하는 일련의 실수를 의미합니다.

여기서 i는 행의 요소 번호이고, r은 상수, 이를 분모라고 합니다.

이 정의는 진행의 구성원과 분모를 알면 전체 숫자 계열을 복원할 수 있음을 보여줍니다. 예를 들어, 10번째 요소를 알고 있는 경우 이를 r로 나누면 9번째 요소가 얻어지고, 다시 나누면 8번째 요소가 얻어지는 식입니다. 이러한 간단한 인수를 사용하면 고려 중인 일련의 숫자에 유효한 표현식을 작성할 수 있습니다.

분모가 2인 진행의 예는 다음 시리즈입니다.

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

분모가 -2이면 완전히 다른 계열이 얻어집니다.

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

기하학적 진행은 대수적 진행보다 훨씬 빠릅니다. 즉, 항이 빠르게 증가하고 빠르게 감소합니다.

i번째 진행항의 합

실제 문제를 해결하려면 고려 중인 숫자 시퀀스의 여러 요소의 합을 계산해야 하는 경우가 많습니다. 이 경우 다음 공식이 유효합니다.

Si = a 1 *(ri -1)/(r-1)

i 항의 합을 계산하려면 a 1과 r이라는 두 숫자만 알아야 한다는 것을 알 수 있습니다. 이는 전체 시퀀스를 고유하게 결정하므로 논리적입니다.

감소 수열과 해당 항의 합

이제 특별한 경우를 살펴보겠습니다. 분모 r의 모듈러스는 1, 즉 -1을 초과하지 않는다고 가정합니다.

감소하는 기하수열은 항의 무한합이 유한한 실수로 변하는 경향이 있기 때문에 고려하는 것이 흥미롭습니다.

합에 대한 공식을 구해 봅시다. 이전 단락에서 주어진 S i에 대한 표현식을 작성하면 쉽게 할 수 있습니다. 우리는:

Si = a 1 *(ri -1)/(r-1)

i->무한인 경우를 생각해 봅시다. 분모의 모듈러스는 1보다 작기 때문에 이를 무한 거듭제곱으로 올리면 0이 됩니다. 이는 r=0.5의 예를 사용하여 확인할 수 있습니다.

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

결과적으로 무한 감소하는 기하학적 진행의 항의 합은 다음과 같은 형식을 취합니다.

이 공식은 실제로 그림의 면적을 계산하는 데 자주 사용됩니다. 거북이와 아킬레스건으로 엘레아의 제논의 역설을 해결하는 데에도 사용된다.

무한한 기하 증가 수열(r>1)의 합을 고려하면 S = + 0이라는 결과가 나올 것이 분명합니다.

수열의 첫 번째 항을 찾는 작업

문제 해결의 예를 사용하여 위 공식을 적용하는 방법을 보여 드리겠습니다. 무한한 기하수열의 합은 11인 것으로 알려져 있습니다. 또한, 7번째 항은 3번째 항보다 6배 적습니다. 이 숫자 계열의 첫 번째 요소는 무엇입니까?

먼저 7번째와 3번째 요소를 결정하는 두 가지 식을 작성해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

첫 번째 식을 두 번째 식으로 나누고 분모를 표현하면 다음과 같습니다.

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

일곱 번째 항과 세 번째 항의 비율이 문제 설명에 나와 있으므로 이를 대체하여 r을 찾을 수 있습니다.

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≒ 0.63894

r을 소수점 이하 5자리까지 계산했습니다. 결과 값이 1보다 작기 때문에 진행이 감소하므로 무한 합계에 대한 공식 사용이 정당화됩니다. 합 S 의 관점에서 첫 번째 항에 대한 표현식을 작성해 보겠습니다.

알려진 값을 이 공식에 대체하고 답을 얻습니다.

1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166.

빠른 아킬레스건과 느린 거북이에 대한 제논의 유명한 역설

엘레아의 제노(Zeno of Elea)는 기원전 5세기에 살았던 유명한 그리스 철학자입니다. 이자형. 수학에서 무한히 큰 문제와 무한히 작은 문제가 공식화되는 수많은 정점이나 역설이 오늘날에 이르렀습니다.

Zeno의 유명한 역설 중 하나는 아킬레스건과 거북이 간의 경쟁입니다. Zeno는 아킬레스가 거북이에게 거리에서 약간의 이점을 주면 결코 따라잡을 수 없을 것이라고 믿었습니다. 예를 들어, 아킬레스가 예를 들어 100미터 앞에 있는 동물이 기어가는 것보다 10배 더 빠르게 달리도록 합시다. 전사가 100m를 달리면 거북이는 10m를 기어갑니다. 다시 10m를 달린 후 아킬레스는 거북이가 1m를 더 기어가는 것을 봅니다. 이런 식으로 무한히 주장할 수 있습니다. 경쟁자 사이의 거리가 실제로 줄어들지만 거북이는 항상 앞에 있을 것입니다.

Zeno는 움직임이 존재하지 않으며 주변 물체의 모든 움직임은 환상이라는 결론에 도달했습니다. 물론 고대 그리스 철학자는 틀렸습니다.

역설에 대한 해결책은 지속적으로 감소하는 세그먼트의 무한한 합이 유한한 수로 변하는 경향이 있다는 사실에 있습니다. 위의 경우 아킬레스가 달린 거리에 대해 다음을 얻습니다.

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

무한 기하학적 진행의 합에 대한 공식을 적용하면 다음을 얻습니다.

S = 100 /(1-0.1) ≒ 111.111미터

이 결과는 아킬레스가 거북이가 11.111미터만 기어가도 거북이를 따라잡을 것이라는 것을 보여줍니다.

고대 그리스인들은 수학에서 무한한 양을 다루는 방법을 몰랐습니다. 그러나 아킬레스가 극복해야 할 무한한 간격이 아니라 주자가 목표에 도달하기 위해 필요한 유한한 걸음 수에 주의를 기울이면 이 역설은 해결될 수 있습니다.

지침

10, 30, 90, 270...

기하학적 수열의 분모를 찾아야 합니다.
해결책:

옵션 1. 진행의 임의의 항(예: 90)을 취해 이를 이전 항(30)으로 나눕니다: 90/30=3.

기하 수열의 여러 항의 합 또는 감소하는 기하 수열의 모든 항의 합을 알고 있는 경우 수열의 분모를 찾으려면 적절한 공식을 사용하십시오.
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), 여기서 Sn은 기하수열의 처음 n 항의 합이고
S = b1/(1-q), 여기서 S는 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합(분모가 1보다 작은 수열의 모든 항의 합)입니다.
예.

감소하는 기하수열의 첫 번째 항은 1과 같고 모든 항의 합은 2와 같습니다.

이 진행의 분모를 결정하는 것이 필요합니다.
해결책:

문제의 데이터를 공식에 대입합니다. 결과는 다음과 같습니다.
2=1/(1-q), 여기서 – q=1/2.

진행은 일련의 숫자입니다. 기하학적 수열에서 각 후속 항은 이전 항에 수열의 분모라고 하는 특정 수 q를 곱하여 얻습니다.

지침

두 개의 인접한 기하학적 항 b(n+1) 및 b(n)이 알려진 경우 분모를 얻으려면 더 큰 숫자를 그 앞의 숫자로 나누어야 합니다. q=b(n+1)/b (N). 이는 진행의 정의와 분모에서 비롯됩니다. 중요한 조건은 진행의 첫 번째 항과 분모가 0이 아니라는 것입니다. 그렇지 않으면 무한한 것으로 간주됩니다.

따라서 수열 항 사이에는 다음과 같은 관계가 설정됩니다: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. 공식 b(n)=b1 q^(n-1)을 사용하여 분모 q와 항 b1이 알려진 기하학적 수열의 모든 항을 계산할 수 있습니다. 또한 각 진행은 모듈러스가 이웃 구성원의 평균과 동일합니다. |b(n)|=√, 여기서 진행은 .

기하학적 진행의 유사체는 가장 간단한 지수 함수 y=a^x입니다. 여기서 x는 지수이고 a는 특정 숫자입니다. 이 경우 수열의 분모는 첫 번째 항과 일치하고 숫자 a와 같습니다. 인수 x가 자연수 n(카운터)으로 간주되면 함수 y의 값은 수열의 n번째 항으로 이해될 수 있습니다.

기하수열의 처음 n 항의 합에 대해 존재합니다: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). 이 공식은 q≠1에 유효합니다. q=1이면 처음 n 항의 합은 S(n)=n b1 공식으로 계산됩니다. 그런데 q가 1보다 크고 b1이 양수일 때 진행은 증가라고 합니다. 진행의 분모가 절대값에서 1을 초과하지 않으면 진행이 감소한다고 합니다.

기하수열의 특별한 경우는 무한히 감소하는 기하수열(무한히 감소하는 기하수열)입니다. 사실 감소하는 기하학적 진행의 항은 계속해서 감소하지만 결코 0에 도달하지 않습니다. 그럼에도 불구하고 그러한 진행의 모든 용어의 합계를 찾는 것이 가능합니다. 이는 S=b1/(1-q) 공식으로 결정됩니다. 항 n의 총 개수는 무한합니다.

무한대를 얻지 않고도 무한한 숫자를 더할 수 있는 방법을 시각화하려면 케이크를 굽습니다. 절반을 잘라냅니다. 그런 다음 1/2을 반으로 잘라냅니다. 당신이 얻게 될 조각은 분모가 1/2인 무한히 감소하는 기하학적 진행의 구성원에 지나지 않습니다. 이 조각들을 모두 더하면 원래의 케이크가 나옵니다.

기하학 문제는 공간적 사고가 필요한 특별한 유형의 연습입니다. 기하학을 풀 수 없다면 일, 아래 규칙을 따라보세요.

지침

작업 조건을 매우 주의 깊게 읽으십시오. 기억나지 않거나 이해하지 못하는 내용이 있으면 다시 읽으십시오.

예를 들어 계산 문제, 어떤 값을 찾아야 하는 경우, 논리적 추론 체인이 필요한 문제, 나침반과 자를 사용한 구성 문제 등 어떤 유형의 기하학적 문제인지 판단해 보세요. 혼합 유형의 더 많은 작업. 문제의 유형을 파악한 후에는 논리적으로 생각해 보십시오.

주어진 작업에 필요한 정리를 적용하십시오. 그러나 의심이 가거나 옵션이 전혀 없다면 관련 주제에 대해 공부한 이론을 기억해 보십시오.

또한 문제에 대한 해결책을 초안 형식으로 적어 두십시오. 솔루션의 정확성을 확인하려면 알려진 방법을 사용해 보십시오.

문제의 답을 지우거나 줄을 그어 지우지 말고 노트에 주의 깊게 작성하세요. 가장 중요한 것은 첫 번째 기하학적 문제를 해결하는 데 시간과 노력이 필요할 수 있다는 것입니다. 하지만 이 과정을 익히자마자 미친 듯이 클릭하는 작업을 즐기게 될 것입니다!

기하수열은 b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n)이 되는 일련의 숫자 b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n)입니다. ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. 즉, 수열의 각 항은 수열 q의 0이 아닌 분모를 곱하여 이전 항에 얻어집니다.

지침

수열 문제는 수열 b1의 첫 번째 항과 수열 q의 분모에 관한 시스템을 작성하고 따르는 방식으로 해결되는 경우가 가장 많습니다. 방정식을 만들려면 몇 가지 공식을 기억하는 것이 유용합니다.

수열의 첫 번째 항과 수열의 분모를 통해 수열의 n번째 항을 표현하는 방법: b(n)=b1*q^(n-1).

|q|의 경우를 별도로 고려해 보겠습니다.<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

기하학적 진행산술에 비해 수학에서는 덜 중요하지 않습니다. 기하수열은 일련의 숫자 b1, b2,..., b[n]이며, 각 다음 항은 이전 항에 상수를 곱하여 얻습니다. 성장 속도 또는 진행 감소를 나타내는 이 숫자를 다음과 같이 부릅니다. 기하학적 진행의 분모그리고 표시하다

기하학적 수열을 완전히 지정하려면 분모 외에 첫 번째 항을 알거나 결정하는 것이 필요합니다. 분모의 양수 값의 경우 진행은 단조 수열이며, 이 수열이 단조 감소하는 경우와 단조 증가하는 경우입니다. 분모가 1과 같은 경우는 실제로 고려되지 않습니다. 왜냐하면 우리는 동일한 숫자의 시퀀스를 가지고 있고 그 합은 실질적인 관심이 없기 때문입니다.

기하학적 진행의 일반 용어공식으로 계산

기하수열의 처음 n 항의 합공식에 의해 결정됨

고전적인 기하학적 수열 문제에 대한 해결책을 살펴보겠습니다. 이해하기 가장 간단한 것부터 시작해 보겠습니다.

예 1. 기하수열의 첫 번째 항은 27이고 분모는 1/3입니다. 기하수열의 처음 6개 항을 구합니다.

해결책: 문제 상황을 형식으로 작성해 보겠습니다.

계산을 위해 기하수열의 n번째 항에 대한 공식을 사용합니다.

이를 바탕으로 우리는 진행의 알려지지 않은 용어를 찾습니다.