Интернетээс гурвалжны талбайг тооцоолох 10 гаруй томъёог олж болно мэдэгдэж байгаа талуудба гурвалжны өнцөг. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн тоо байдаг нарийн төвөгтэй жишээнүүддаалгаврын нөхцлийн дагуу гурвалжны зөвхөн нэг тал ба өнцгийг мэддэг, эсвэл хүрээлэгдсэн эсвэл бичээстэй тойргийн радиус ба өөр нэг шинж чанар. Ийм тохиолдолд энгийн томъёог хэрэглэх боломжгүй.

Доорх томьёо нь гурвалжны талбайг олоход шаардлагатай асуудлын 95 хувийг шийдэх болно.
Нийтлэг талбайн томъёог авч үзье.
Доорх зурагт үзүүлсэн гурвалжинг авч үзье

Зураг болон доорх томъёонд түүний бүх шинж чанарын сонгодог тэмдэглэгээг танилцуулсан болно.
a,b,c - гурвалжны талууд,
R - тойргийн радиус,
r - бичээстэй тойргийн радиус,
h[b],h[a],h[c] – a,b,c талуудын дагуу зурсан өндөр.
альфа, бета, хамма - оройн ойролцоох өнцөг.

Гурвалжны талбайн үндсэн томъёо

1. Талбай нь гурвалжингийн тал ба энэ тал руу буулгасан өндрийн үржвэрийн хагастай тэнцүү байна. Томъёоны хэлээр энэ тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно

Тиймээс хэрэв тал ба өндөр нь тодорхой бол сурагч бүр талбайг олох болно.
Дашрамд хэлэхэд, энэ томъёоноос өндрийн хоорондох нэг ашигтай хамаарлыг гаргаж авах боломжтой

2. Зэргэлдээ талын хажуугаар дамжин өнгөрөх гурвалжны өндөр нь хамаарлаар илэрхийлэгдэнэ гэдгийг харгалзан үзвэл

Дараа нь эхний талбайн томъёоны дараа ижил төрлийн хоёрдахь томъёог оруулна

Томьёог анхааралтай ажиглаарай - ажил нь хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг хамардаг тул санахад хялбар байдаг. Хэрэв бид гурвалжны талууд ба өнцгийг зөв зааж өгвөл (дээрх зураг дээрх шиг) бид хоёрыг авна. талууд a,b ба өнцөг нь гурав дахь нь холбогдсон байнаХамт (хамма).

3. Гурвалжны өнцгүүдийн хувьд хамаарал нь үнэн

Хамаарал нь гурвалжны талбайн хувьд дараахь томъёог тооцоолоход ашиглах боломжийг танд олгоно.

Энэ хамаарлын жишээ маш ховор боловч ийм томъёо байдаг гэдгийг санах хэрэгтэй.

4. Хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг томъёогоор олно

5. Зэргэлдээх өнцгүүдийн тал ба котангенсийн хувьд талбайн томьёо дараах байдалтай байна

Индексүүдийг дахин зохион байгуулснаар та бусад талуудын хамаарлыг олж авах боломжтой.

6. Гурвалжны оройг хавтгай дээр координатаар зааж өгсөн бодлогод доорх талбайн томьёог ашиглана. Энэ тохиолдолд талбай нь авсан модулийн тодорхойлогчийн хагастай тэнцүү байна.

7. Хероны томъёогурвалжны тодорхой талуудтай жишээнд ашигласан.
Эхлээд гурвалжны хагас периметрийг ол

Дараа нь томъёог ашиглан талбайг тодорхойлно

эсвэл

Үүнийг тооцоолуур програмын кодонд ихэвчлэн ашигладаг.

8. Гурвалжны бүх өндрийг мэддэг бол талбайг томъёогоор тодорхойлно

Тооцоолуур дээр тооцоолоход хэцүү байдаг ч MathCad, Mathematica, Maple багцуудад "цаг хоёр" гэсэн хэсэг байдаг.

9. Дараах томьёо нь бичээстэй болон хүрээлэгдсэн тойргийн мэдэгдэж буй радиусыг ашиглана.

Ялангуяа гурвалжны радиус ба талууд эсвэл түүний периметр нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг томъёоны дагуу тооцоолно.

10. Хязгаарлагдсан тойргийн талууд ба радиус эсвэл диаметрийг өгсөн жишээнүүдэд талбайг томъёогоор олно.

11. Гурвалжны тал ба өнцгийн хувьд гурвалжны талбайг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Эцэст нь - онцгой тохиолдлууд:
Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай a ба b хөлтэй нь тэдний бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна

Адил талт (энгийн) гурвалжны талбайн томъёо=

= Талын квадрат ба гурвын язгуурын үржвэрийн дөрөвний нэг.

Гурвалжны талбай - томъёо, асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Доор байна дурын гурвалжны талбайг олох томъёошинж чанар, өнцөг, хэмжээ зэргээс үл хамааран аливаа гурвалжны талбайг олоход тохиромжтой. Томьёог зураг хэлбэрээр үзүүлсэн бөгөөд тэдгээрийн хэрэглээний тайлбар эсвэл зөв эсэхийг нь үндэслэлийг энд мөн оруулсан болно. Мөн тусдаа зураг нь томьёо дахь үсгийн тэмдэг болон зураг дээрх график тэмдэгтүүдийн хоорондын захидал харилцааг харуулж байна.

Анхаарна уу . Хэрэв гурвалжин нь тусгай шинж чанартай (исс өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт) байвал доор өгөгдсөн томьёо болон зөвхөн эдгээр шинж чанартай гурвалжинд хүчинтэй нэмэлт тусгай томъёог ашиглаж болно.

• "Тэгш талт гурвалжны талбайн томъёо"

Гурвалжингийн талбайн томъёо

Томъёоны тайлбар:
a, b, c- талбайг нь олохыг хүссэн гурвалжны талуудын урт
r- гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус
Р- гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус
h- хажуу тийшээ доошлуулсан гурвалжны өндөр
х- гурвалжны хагас периметр, талуудын нийлбэрийн 1/2 (периметр)
α - гурвалжны а талын эсрэг талын өнцөг
β - гурвалжны b талын эсрэг талын өнцөг
γ - гурвалжны в талын эсрэг талын өнцөг
h а, h б , h в- гурвалжны өндрийг a, b, c тал руу буулгасан

Шийдвэрлэхдээ дээрх тэмдэглэгээ нь дээрх зурагтай тохирч байгааг анхаарна уу жинхэнэ асуудалГеометрийн хувьд орлуулах нь танд илүү хялбар байсан зөв газруудтомьёо нь зөв утга юм.

• Гурвалжны талбай нь гурвалжны өндрийн хагас үржвэр ба энэ өндрийг буулгах талын урт(Формула 1). Энэ томъёоны зөвийг логикоор ойлгож болно. Суурь руу буулгасан өндөр нь дурын гурвалжинг хоёр тэгш өнцөгт болгон хуваах болно. Хэрэв та тэдгээрийг тус бүрийг b ба h хэмжээтэй тэгш өнцөгт болгон барьвал эдгээр гурвалжны талбай нь тэгш өнцөгтийн талбайн яг хагастай тэнцүү байх болно (Spr = bh)
• Гурвалжны талбай нь түүний хоёр талын хагасын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синус(Формула 2) (энэ томъёог ашиглан асуудлыг шийдэх жишээг доороос үзнэ үү). Хэдийгээр өмнөхөөсөө ялгаатай мэт боловч амархан хувирч болно. Хэрэв бид өндрийг B өнцгөөс b тал руу буулгавал тэгш өнцөгт гурвалжны синусын шинж чанарын дагуу а тал ба γ өнцгийн синусын үржвэр нь бидний зурсан гурвалжны өндөртэй тэнцүү байна. , энэ нь бидэнд өмнөх томьёог өгдөг
• Дурын гурвалжны талбайг олж болно дамжуулан ажилдотор нь бичсэн тойргийн радиусын хагасыг түүний бүх талуудын уртын нийлбэрээр илэрхийлнэ(Формула 3), энгийнээр хэлбэл, та гурвалжны хагас периметрийг бичээстэй тойргийн радиусаар үржүүлэх хэрэгтэй (үүнийг санахад хялбар)
• Дурын гурвалжны талбайг түүний бүх талуудын үржвэрийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн 4 радиусаар хуваах замаар олж болно (Формула 4)
• Формула 5 нь гурвалжны талбайг талуудын урт ба хагас периметрээр нь (бүх талуудын нийлбэрийн хагас) олох явдал юм.
• Хероны томъёо(6) нь хагас периметрийн ойлголтыг ашиглахгүйгээр зөвхөн талуудын уртаар дамжуулан ижил томьёоны дүрслэл юм.
• Дурын гурвалжны талбай нь гурвалжны хажуугийн квадрат ба энэ талтай зэргэлдээх өнцгийн синусын үржвэрийг энэ талын эсрэг талын өнцгийн давхар синусанд хуваасантай тэнцүү байна (Формула 7)
• Дурын гурвалжны талбайг түүний өнцөг бүрийн синусаар тойрсон тойргийн хоёр квадратын үржвэрээр олж болно. (Формула 8)
• Хэрэв нэг талын урт ба зэргэлдээ хоёр өнцгийн утгууд мэдэгдэж байвал гурвалжны талбайг энэ талын квадратыг эдгээр өнцгийн котангентын давхар нийлбэрт хуваасан хэлбэрээр олж болно (Формула 9)
• Хэрэв гурвалжны өндөр тус бүрийн уртыг л мэддэг бол (Формула 10) ийм гурвалжны талбай нь Хероны томъёоны дагуу эдгээр өндрийн урттай урвуу пропорциональ байна.
• Формула 11 нь тооцоолох боломжийг танд олгоно оройнуудын координат дээр үндэслэн гурвалжны талбай, эдгээр нь орой тус бүрийн хувьд (x;y) утгуудаар тодорхойлогддог. Хувь хүний ​​(эсвэл бүр бүх) оройн координатууд сөрөг утгын бүсэд байж болох тул үр дүнгийн утгыг модулаар авах ёстойг анхаарна уу.

Анхаарна уу. Гурвалжны талбайг олохын тулд геометрийн асуудлыг шийдэх жишээг доор харуулав. Хэрэв та энд төстэй биш геометрийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Шийдэлд "тэмдэгтийн оронд" квадрат язгуур" sqrt () функцийг ашиглаж болох бөгөөд үүнд sqrt нь квадрат язгуур тэмдэг бөгөөд радикал илэрхийлэл нь хаалтанд бичигдсэн болно..Заримдаа энгийн зүйлд зориулагдсан радикал илэрхийллүүдтэмдэг ашиглаж болно √

Даалгавар. Өгөгдсөн хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ол

Гурвалжны талууд нь 5 ба 6 см, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 60 градус байна. Гурвалжны талбайг ол.

Шийдэл.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид хичээлийн онолын хэсгээс хоёр дахь томьёог ашигладаг.
Гурвалжны талбайг хоёр талын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар олж болох ба тэнцүү байх болно.
S=1/2 ab sin γ

Бидэнд шийдэлд шаардлагатай бүх өгөгдөл байгаа тул (томъёоны дагуу) бид асуудлын нөхцлийн утгыг зөвхөн томъёонд орлуулж болно.
S = 1/2 * 5 * 6 * нүгэл 60

Утгын хүснэгтэд тригонометрийн функцуудИлэрхийлэлд синусын 60 градусын утгыг олоод орлуулъя. Энэ нь гурвыг хоёр удаа үржүүлсэн үндэстэй тэнцүү байх болно.
S = 15 √3 / 2

Хариулах: 7.5 √3 (багшийн шаардлагаас хамааран та 15 √3/2 үлдээж болно)

Даалгавар. Тэгш талт гурвалжны талбайг ол

3 см талтай тэгш талт гурвалжны талбайг ол.

Шийдэл.

Гурвалжны талбайг Хероны томъёог ашиглан олж болно.

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c тул тэгш талт гурвалжны талбайн томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Хариулах: 9 √3 / 4.

Даалгавар. Хажуугийн уртыг өөрчлөх үед талбайг өөрчил

Талуудыг 4 дахин нэмэгдүүлбэл гурвалжны талбай хэд дахин нэмэгдэх вэ?

Шийдэл.

Гурвалжны талуудын хэмжээ нь бидэнд тодорхойгүй тул асуудлыг шийдэхийн тулд талуудын уртыг тус тус тэнцүү гэж үзнэ. дурын тоо a, b, c. Дараа нь асуудлын асуултанд хариулахын тулд бид өгөгдсөн гурвалжны талбайг олж, дараа нь талууд нь дөрөв дахин том гурвалжны талбайг олох болно. Эдгээр гурвалжны талбайн харьцаа нь бидэнд асуудлын хариултыг өгөх болно.

Доор бид асуудлын шийдлийн талаархи текст тайлбарыг алхам алхмаар өгдөг. Гэсэн хэдий ч эцэст нь ижил шийдлийг илүү тохиромжтой график хэлбэрээр толилуулж байна. Сонирхсон хүмүүс шийдлүүдийг нэн даруй буулгаж болно.

Шийдвэрлэхийн тулд бид Хероны томъёог ашигладаг (хичээлийн онолын хэсгээс үзнэ үү). Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(доорх зургийн эхний мөрийг үзнэ үү)

Дурын гурвалжны талуудын уртыг a, b, c хувьсагчаар тодорхойлно.
Хэрэв талуудыг 4 дахин нэмэгдүүлбэл шинэ c гурвалжны талбай нь:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(доорх зурган дээрх хоёр дахь мөрийг харна уу)

Таны харж байгаагаар 4 нь бүх дөрвөн илэрхийллээс хаалтанд багтах нийтлэг хүчин зүйл юм ерөнхий дүрэмматематик.
Дараа нь

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - зургийн гурав дахь мөрөнд
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - дөрөв дэх мөр

256 тооны язгуурыг төгс гаргаж авсан тул язгуураас нь гаргая
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(доорх зургийн тав дахь мөрийг харна уу)

Асуудлын асуултанд хариулахын тулд бид үүссэн гурвалжны талбайг анхны гурвалжны талбайд хуваах хэрэгтэй.
Илэрхийлэлүүдийг хооронд нь хувааж, үүссэн бутархайг багасгах замаар талбайн харьцааг тодорхойлъё.

Гурвалжин бол гурван тал, гурван оройноос бүрддэг хамгийн энгийн геометрийн дүрс юм. Энгийн байдлаас шалтгаалан гурвалжинг эрт дээр үеэс янз бүрийн хэмжилт хийхэд ашиглаж ирсэн бөгөөд өнөөдөр энэ дүрс нь практик болон өдөр тутмын асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болно.

Гурвалжны онцлог

Энэ зургийг эрт дээр үеэс тооцоололд ашиглаж ирсэн, тухайлбал газар судлаачид, одон орон судлаачид гурвалжны шинж чанарыг ашиглан газар нутаг, зайг тооцоолоход ашигладаг. Энэ зургийн талбайгаар ямар ч n-гонын талбайг илэрхийлэхэд хялбар байдаг бөгөөд энэ шинж чанарыг эртний эрдэмтэд олон өнцөгтийн талбайн томъёог гаргахад ашигладаг байжээ. Гурвалжин, ялангуяа тэгш өнцөгт гурвалжинтай тогтмол ажиллах нь математикийн бүхэл бүтэн салбар болох тригонометрийн үндэс суурь болсон.

Гурвалжингийн геометр

Үл хөдлөх хөрөнгө геометрийн дүрсЭрт дээр үеэс судалж ирсэн: гурвалжны тухай хамгийн анхны мэдээлэл нь 4000 жилийн өмнөх Египетийн папирусаас олдсон. Дараа нь уг зургийг судалжээ Эртний Грекгурвалжны геометрт хамгийн их хувь нэмэр оруулсан нь Евклид, Пифагор, Херон нар юм. Гурвалжны судалгаа хэзээ ч зогссонгүй бөгөөд 18-р зуунд Леонхард Эйлер дүрсийн ортоцентр ба Эйлерийн тойрог гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн. 19-20-р зууны зааг дээр гурвалжны талаар бүх зүйл мэдэгдэж байсан мэт санагдах үед Фрэнк Морли өнцгийн трисекторын теоремыг, Ваклав Сиерпински фрактал гурвалжинг санал болгов.

Бидэнд танил болсон хэд хэдэн төрлийн хавтгай гурвалжин байдаг сургуулийн курсгеометр:

• цочмог - зургийн бүх булангууд нь хурц;
• мохоо - зураг нэгтэй мохоо өнцөг(90 градусаас дээш);
• тэгш өнцөгт - зураг нь 90 градустай тэнцүү нэг зөв өнцгийг агуулна;
• isosceles - хоёр тэнцүү талтай гурвалжин;
• тэгш талт - бүх тэгш талуудтай гурвалжин.
• IN бодит амьдралБүх төрлийн гурвалжин байдаг бөгөөд зарим тохиолдолд геометрийн дүрсийн талбайг тооцоолох шаардлагатай болдог.

Гурвалжны талбай

Талбай гэдэг нь тухайн зураг хавтгайн хэр их хэсгийг хамарч байгааг тооцоолдог. Гурвалжны талбайг бичээстэй эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн талууд, өндөр, өнцөг, радиус, түүнчлэн Хероны томъёог ашиглан эсвэл хавтгайг хязгаарласан шугамын дагуу давхар интегралыг тооцоолох замаар зургаан аргаар олж болно. Хамгийн их энгийн томъёогурвалжны талбайг тооцоолохын тулд дараах байдлаар харагдана.

a нь гурвалжны тал, h нь түүний өндөр.

Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр геометрийн дүрсийн өндрийг олох нь бидэнд үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Манай тооны машины алгоритм нь дараахь зүйлийг мэдэж байгаа талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

• гурван тал;
• хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг;
• нэг тал ба хоёр булан.

Гурван талын талбайг тодорхойлохын тулд бид Хероны томъёог ашиглана:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

Энд p нь гурвалжны хагас периметр.

Хоёр тал ба өнцгийн талбайг сонгодог томъёогоор тооцоолно.

S = a × b × sin(alfa),

альфа нь a ба b талуудын хоорондох өнцөг юм.

Талбайг нэг тал ба хоёр өнцгөөр тодорхойлохын тулд бид дараахь харьцааг ашиглана.

a / нүгэл (альфа) = б / нүгэл (бета) = в / нүгэл (гамма)

Энгийн пропорцийг ашиглан бид хоёр дахь талын уртыг тодорхойлж, дараа нь S = a × b × sin (alfa) томъёог ашиглан талбайг тооцоолно. Энэхүү алгоритм нь бүрэн автоматжуулсан бөгөөд та зөвхөн заасан хувьсагчдыг оруулаад үр дүнгээ авахад хангалттай. Хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Амьдралаас авсан жишээнүүд

Хучилтын хавтан

Гурвалжин хавтангаар шалыг хучиж, тоо хэмжээг тодорхойлохыг хүсч байна гэж бодъё шаардлагатай материал, та нэг хавтангийн талбай, шалны талбайг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэмжээ нь a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см хэмжээтэй хавтанг ашиглан 6 квадрат метр гадаргууг боловсруулах шаардлагатай гэж бодъё, гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд тооцоолуур Хероны томъёог ашигладаг. үр дүн:

Тиймээс нэг хавтангийн элементийн талбай 0.021 болно квадрат метр, мөн шалыг сайжруулахын тулд танд 6/0.021 = 285 гурвалжин хэрэгтэй болно. 20, 21, 29 тоонууд нь Пифагорын гурвалсан тоог бүрдүүлдэг. Энэ нь зөв, манай тооны машин гурвалжны бүх өнцгийг тооцоолсон бөгөөд гамма өнцөг нь яг 90 градус байна.

Сургуулийн даалгавар

Сургуулийн асуудлын хувьд та гурвалжны талбайг олох хэрэгтэй, учир нь тал нь a = 5 см, альфа ба бета өнцөг нь тус тус 30 ба 50 градус байна. Энэ асуудлыг гараар шийдэхийн тулд эхлээд харьцааны харьцаа ба эсрэг өнцгийн синусыг ашиглан b талын утгыг олж, дараа нь S = a × b × sin(alfa) энгийн томъёогоор талбайг тодорхойлно. Цаг хэмнэж, тооцоолуурын маягт руу өгөгдлийг оруулаад шууд хариулт авцгаая

Тооцоологчийг ашиглахдаа өнцөг болон талыг зөв зааж өгөх нь чухал бөгөөд эс тэгвээс үр дүн нь буруу байх болно.

Дүгнэлт

Гурвалжин бол бодит амьдрал дээр ч, хийсвэр тооцоололд ч олддог өвөрмөц дүрс юм. Ямар ч төрлийн гурвалжны талбайг тодорхойлохын тулд манай онлайн тооцоолуурыг ашиглана уу.

Гурвалжны талбайг тодорхойлохын тулд та янз бүрийн томъёог ашиглаж болно. Бүх аргуудаас хамгийн хялбар бөгөөд хамгийн их ашиглагддаг нь өндрийг суурийн уртаар үржүүлж, дараа нь үр дүнг хоёроор хуваах явдал юм. Гэсэн хэдий ч энэ аргацорын ганцаас хол. Гурвалжны талбайг янз бүрийн томъёо ашиглан хэрхэн олохыг доороос уншиж болно.

Тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт гурвалжны тодорхой төрлүүдийн талбайг тооцоолох арга замыг тусад нь авч үзэх болно. Бид томьёо тус бүрийн мөн чанарыг ойлгоход туслах товч тайлбарыг дагалддаг.

Гурвалжны талбайг олох түгээмэл аргууд

Доорх томьёо нь тусгай тэмдэглэгээг ашигладаг. Бид тус бүрийг нь тайлах болно:

• a, b, c - бидний авч үзэж буй зургийн гурван талын урт;
• r нь бидний гурвалжинд бичиж болох тойргийн радиус;
• R нь тойргийн радиусыг тойрон тайлбарлаж болно;
• α - b ба c талуудын үүсгэсэн өнцгийн хэмжээ;
• β нь a ба c хоорондох өнцгийн хэмжээ;
• γ - a ба b талуудын үүсгэсэн өнцгийн хэмжээ;
• h нь α өнцгөөс а тал руу буулгасан гурвалжны өндөр;
• p – a, b, c талуудын нийлбэрийн хагас.

Гурвалжны талбайг яагаад ингэж олох нь логикийн хувьд ойлгомжтой юм. Гурвалжныг параллелограмм болгон хялбархан хийж болох бөгөөд гурвалжны нэг тал нь диагональ байх болно. Параллелограммын талбайг түүний аль нэг талын уртыг түүнд татсан өндрийн утгаар үржүүлэх замаар олно. Диагональ нь энэ нөхцөлт параллелограммыг 2 ижил гурвалжинд хуваана. Тиймээс бидний анхны гурвалжны талбай нь энэ туслах параллелограммын талбайн хагастай тэнцүү байх ёстой нь тодорхой байна.

S=½ a b sin γ

Энэ томъёоны дагуу гурвалжны талбайг түүний хоёр талын уртыг, өөрөөр хэлбэл a ба b-ийг тэдгээрийн үүсгэсэн өнцгийн синусаар үржүүлснээр олно. Энэ томъёо нь өмнөхөөсөө логикоор үүсэлтэй. Хэрэв бид өндрийг β өнцгөөс b тал руу буулгавал тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарын дагуу а талын уртыг γ өнцгийн синусаар үржүүлэхэд гурвалжны өндөр, өөрөөр хэлбэл h болно. .

Тухайн зургийн талбайг дотор нь бичиж болох тойргийн радиусын хагасыг периметрээр нь үржүүлснээр олно. Өөрөөр хэлбэл, хагас периметр ба дурдсан тойргийн радиусын үржвэрийг олно.

S= a b c/4R

Энэ томьёоны дагуу зургийн хажуугийн үржвэрийг тойргийн 4 радиусаар хуваах замаар бидэнд хэрэгтэй утгыг олж болно.

Эдгээр томьёо нь бүх нийтийнх бөгөөд тэдгээр нь аливаа гурвалжны талбайг (масштаб, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт) тодорхойлох боломжийг олгодог. Үүнийг илүү ихийг ашиглан хийж болно нарийн төвөгтэй тооцоолол, бид үүнийг нарийвчлан авч үзэхгүй.

Тодорхой шинж чанартай гурвалжны талбайнууд

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Энэ зургийн онцлог нь түүний хоёр тал нь нэгэн зэрэг өндөр юм. Хэрэв a ба b нь хөл бөгөөд c нь гипотенуз болвол бид талбайг дараах байдлаар олно.

Хэрхэн талбайг олох вэ тэгш өнцөгт гурвалжин? Энэ нь а урттай хоёр тал, b урттай нэг талтай. Үүний үр дүнд түүний талбайг 2-т а талын квадратын үржвэрийг γ өнцгийн синусын үржвэрт хуваах замаар тодорхойлж болно.

Тэгш талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнд бүх талуудын урт нь a-тай тэнцүү бөгөөд бүх өнцгийн хэмжээ нь α байна. Түүний өндөр нь а талын урт ба язгуур 3-ын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна. Энгийн гурвалжны талбайг олохын тулд а талын квадратыг 3-ын квадрат язгуураар үржүүлж, 3-т хуваах хэрэгтэй. 4.