Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн дискриминантыг хэрхэн олох вэ. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Зүгээр л. Томъёо, ойлгомжтой, энгийн дүрмийн дагуу. Эхний шатанд

өгөгдсөн тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл. маягт руу:

Хэрэв тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр аль хэдийн өгсөн бол эхний шатыг хийх шаардлагагүй. Хамгийн гол нь үүнийг зөв хийх явдал юм

бүх коэффициентийг тодорхойлох; А, бТэгээд в.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо.

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийллийг дуудна ялгаварлагч . Таны харж байгаагаар X-г олохын тулд бид

бид ашигладаг зөвхөн a, b ба c. Тэдгээр. -аас коэффициентүүд квадрат тэгшитгэл. Зүгээр л болгоомжтой тохируулаарай

үнэт зүйлс a, b ба cБид энэ томъёогоор тооцоолно. Бид орлоно тэднийтэмдэг!

Жишээ нь, тэгшитгэлд:

А =1; б = 3; в = -4.

Бид утгыг орлуулж бичнэ:

Жишээ нь бараг шийдэгдсэн:

Энэ бол хариулт юм.

Хамгийн түгээмэл алдаа бол тэмдгийн утгыг төөрөгдүүлэх явдал юм а, бТэгээд -тай. Өөрөөр хэлбэл, орлуулах замаар

үндсийг тооцоолох томъёонд сөрөг утгыг оруулна. Томъёоны нарийвчилсан бичлэг энд аврах ажилд ирдэг

тодорхой тоогоор. Хэрэв танд тооцоо хийхэд асуудал байгаа бол үүнийг хий!

Бид дараах жишээг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.

Энд а = -6; б = -5; в = -1

Бид бүх зүйлийг нарийвчлан, анхааралтай, бүх тэмдэг, хаалтанд оруулалгүйгээр дүрсэлсэн болно.

Квадрат тэгшитгэл нь ихэвчлэн арай өөр харагддаг. Жишээлбэл, иймэрхүү:

Одоо алдааны тоог эрс багасгадаг практик аргуудыг анхаарч үзээрэй.

Эхний уулзалт. Өмнө нь битгий залхуу бай квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхстандарт хэлбэрт оруулах.

Энэ юу гэсэн үг вэ?

Бүх хувиргалтын дараа та дараах тэгшитгэлийг авна гэж бодъё.

Үндэс томъёог бичих гэж бүү яар! Та магадлалыг бараг л хольж хутгана a, b ба c.

Жишээг зөв зохио. Эхлээд X квадрат, дараа нь квадратгүй, дараа нь чөлөөт гишүүн. Үүнтэй адил:

Хасах зүйлээс сал. Яаж? Бид бүхэл тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авах:

Харин одоо та үндэсийн томъёог аюулгүй бичиж, ялгаварлагчийг тооцоолж, жишээг шийдэж дуусгах боломжтой.

Өөрийнхөө төлөө шийд. Та одоо 2 ба -1 үндэстэй байх ёстой.

Хоёр дахь хүлээн авалт.Үндэсийг шалгана уу! By Вьетагийн теорем.

Өгөгдсөн зүйлийг шийдэхийн тулд квадрат тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл коэффициент бол

x 2 +bx+c=0,

Дараа ньx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−б

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд a≠1:

x 2 +бx+в=0,

тэгшитгэлийг бүхэлд нь хуваана Х:

→ →

Хаана x 1Тэгээд x 2 - тэгшитгэлийн үндэс.

Гурав дахь хүлээн авалт. Хэрэв таны тэгшитгэл бутархай коэффициенттэй бол бутархайг зайлуул! Үржүүлэх

нийтлэг хуваагчтай тэгшитгэл.

Дүгнэлт. Практик зөвлөгөө:

1. Шийдвэрлэхийн өмнө квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулж, байгуулна Зөв.

2. Хэрвээ X квадратын өмнө сөрөг коэффициент байгаа бол бид бүгдийг үржүүлж хасна

тэгшитгэл -1.

3. Хэрэв коэффициентүүд нь бутархай бол бид бүхэл тэгшитгэлийг харгалзах тоогоор үржүүлж бутархайг арилгана.

хүчин зүйл.

4. Хэрэв x квадрат нь цэвэр бол түүний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү бол шийдлийг хялбархан шалгаж болно

"Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" сэдвийг үргэлжлүүлснээр энэ нийтлэл дэх материал нь квадрат тэгшитгэлтэй танилцах болно.

Бүгдийг нарийвчлан авч үзье: квадрат тэгшитгэлийн мөн чанар, бүртгэл, холбогдох нэр томъёог тодорхойлох, бүрэн бус, бүрэн бус асуудлыг шийдэх схемд дүн шинжилгээ хийх. бүрэн тэгшитгэл, бид үндэс ба ялгаварлагчийн томьёотой танилцаж, үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын холбоог тогтоож, мэдээжийн хэрэг практик жишээнүүдэд харааны шийдлийг өгөх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадрат тэгшитгэл, түүний төрлүүд

Тодорхойлолт 1

Квадрат тэгшитгэлгэж бичсэн тэгшитгэл юм a x 2 + b x + c = 0, Хаана x– хувьсагч, a, b ба в- зарим тоо, харин атэг биш.

Ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлийг хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, учир нь үндсэндээ квадрат тэгшитгэл нь хоёрдугаар зэргийн алгебрийн тэгшитгэл юм.

Өгөгдсөн тодорхойлолтыг жишээ болгон тайлбарлая: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 гэх мэт. Эдгээр нь квадрат тэгшитгэл юм.

Тодорхойлолт 2

a, b ба тоонууд вквадрат тэгшитгэлийн коэффициентууд юм a x 2 + b x + c = 0, коэффициент байхад аэхний, эсвэл ахлах, эсвэл x 2 дахь коэффициент гэж нэрлэдэг, b - хоёр дахь коэффициент, эсвэл коэффициент x, А вчөлөөт гишүүн гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлд 6 x 2 − 2 x − 11 = 0тэргүүлэх коэффициент нь 6, хоёр дахь коэффициент − 2 , мөн чөлөөт нэр томъёо нь тэнцүү байна − 11 . Коэффициентүүд байхад анхаарлаа хандуулцгаая бба/эсвэл c сөрөг байвал хэрэглэнэ богино хэлбэргэх мэт бичлэгүүд 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, үгүй 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Энэ талыг бас тодруулъя: хэрэв коэффициентүүд байвал аба/эсвэл бтэнцүү 1 эсвэл − 1 , дараа нь тэд квадрат тэгшитгэлийг бичихэд тодорхой оролцохгүй байж болох бөгөөд энэ нь заасан тоон коэффициентийг бичих онцлогтой холбоотой юм. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлд y 2 − y + 7 = 0тэргүүлэх коэффициент нь 1, хоёр дахь коэффициент нь − 1 .

Буурагдсан ба бууруулаагүй квадрат тэгшитгэл

Эхний коэффициентийн утгыг үндэслэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан ба буураагүй гэж хуваана.

Тодорхойлолт 3

Багасгасан квадрат тэгшитгэлнь тэргүүлэх коэффициент нь 1 байх квадрат тэгшитгэл юм. Тэргүүлэх коэффициентийн бусад утгуудын хувьд квадрат тэгшитгэлийг бууруулаагүй болно.

Жишээ дурдъя: квадрат тэгшитгэлүүд x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, тэргүүлэгч коэффициент тус бүр нь 1 байна.

9 x 2 − x − 2 = 0- эхний коэффициент нь ялгаатай буураагүй квадрат тэгшитгэл 1 .

Аль ч буураагүй квадрат тэгшитгэлийг хоёр талыг эхний коэффициентээр (тэнцүү хувиргалт) хуваах замаар багасгасан тэгшитгэл болгон хувиргаж болно. Хувиргасан тэгшитгэл нь өгөгдсөн бууруулаагүй тэгшитгэлтэй ижил үндэстэй эсвэл огт үндэсгүй байх болно.

Тодорхой жишээг авч үзэх нь буураагүй квадрат тэгшитгэлээс бууруулсан тэгшитгэл рүү шилжих шилжилтийг тодорхой харуулах боломжийг бидэнд олгоно.

Жишээ 1

6 x 2 + 18 x − 7 = 0 тэгшитгэл өгөгдсөн . Анхны тэгшитгэлийг багасгасан хэлбэрт шилжүүлэх шаардлагатай.

Шийдэл

Дээрх схемийн дагуу бид анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг тэргүүлэх коэффициент 6-д хуваана. Дараа нь бид авна: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, мөн энэ нь дараахтай ижил байна: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0ба цааш нь: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.Эндээс: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Тиймээс өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг олж авна.

Хариулт: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Бүрэн ба бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт руу орцгооё. Үүнд бид үүнийг тодорхойлсон a ≠ 0. Тэгшитгэлийн хувьд ижил төстэй нөхцөл шаардлагатай a x 2 + b x + c = 0цагаас хойш яг дөрвөлжин байсан a = 0энэ нь үндсэндээ болж хувирдаг шугаман тэгшитгэл b x + c = 0.

Коэффициент болсон тохиолдолд бТэгээд втэгтэй тэнцүү (энэ нь тус тусдаа болон хамтад нь боломжтой), квадрат тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 4

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл- ийм квадрат тэгшитгэл a x 2 + b x + c = 0,коэффициентүүдийн дор хаяж нэг нь хаана байна бТэгээд в(эсвэл хоёулаа) тэг байна.

Бүрэн квадрат тэгшитгэл– бүх тоон коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш квадрат тэгшитгэл.

Квадрат тэгшитгэлийн төрлүүдийг яагаад яг ийм нэрээр нэрлэсэн талаар ярилцъя.

b = 0 үед квадрат тэгшитгэл хэлбэрийг авна a x 2 + 0 x + c = 0, энэ нь ижил байна a x 2 + c = 0. At c = 0квадрат тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ a x 2 + b x + 0 = 0, энэ нь тэнцүү байна a x 2 + b x = 0. At b = 0Тэгээд c = 0тэгшитгэл нь хэлбэртэй болно a x 2 = 0. Бидний олж авсан тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлээс ялгаатай бөгөөд тэдгээрийн зүүн талд x хувьсагчтай гишүүн, чөлөөт гишүүн эсвэл хоёуланг нь агуулаагүй болно. Үнэн хэрэгтээ энэ баримт нь энэ төрлийн тэгшитгэлийн нэрийг өгсөн - бүрэн бус.

Жишээлбэл, x 2 + 3 x + 4 = 0 ба − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 нь бүрэн квадрат тэгшитгэл; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Дээр өгөгдсөн тодорхойлолт нь дараах төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүдийг ялгах боломжийг олгодог.

a x 2 = 0, энэ тэгшитгэл нь коэффициентуудтай тохирч байна b = 0ба c = 0;
a · x 2 + c = 0 үед b = 0;
a · x 2 + b · x = 0 үед c = 0.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн төрөл бүрийн шийдлийг дараалан авч үзье.

a x 2 =0 тэгшитгэлийн шийдэл

Дээр дурдсанчлан энэ тэгшитгэл нь коэффициентуудтай тохирч байна бТэгээд в, тэгтэй тэнцүү. Тэгшитгэл a x 2 = 0эквивалент тэгшитгэл болгон хувиргаж болно x 2 = 0, бид анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг тоонд хуваах замаар олж авна а, тэгтэй тэнцүү биш. Тодорхой баримт бол тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 = 0учир нь энэ тэг байна 0 2 = 0 . Энэ тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй бөгөөд үүнийг зэрэглэлийн шинж чанараар тайлбарлаж болно: дурын тооны хувьд p,тэгтэй тэнцүү биш, тэгш бус байдал нь үнэн p 2 > 0, үүнээс энэ нь хэзээ гэсэн үг p ≠ 0тэгш байдал p 2 = 0хэзээ ч хүрэхгүй.

Тодорхойлолт 5

Ийнхүү a x 2 = 0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн хувьд нэг язгуур байна x = 0.

Жишээ 2

Жишээлбэл, бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдье − 3 x 2 = 0. Энэ нь тэгшитгэлтэй тэнцүү юм x 2 = 0, түүний цорын ганц үндэс x = 0, тэгвэл анхны тэгшитгэл нь нэг язгууртай - тэг.

Товчхондоо шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

a x 2 + c = 0 тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Дараагийн мөрөнд бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдэл байна, энд b = 0, c ≠ 0, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгшитгэлүүд байна. a x 2 + c = 0. Тэгшитгэлийн нэг талаас гишүүнийг нөгөө тал руу шилжүүлж, тэмдгийг эсрэг талд нь сольж, тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгтэй тэнцүү биш тоонд хуваах замаар энэ тэгшитгэлийг хувиргая.

шилжүүлэх втэгшитгэлийг өгдөг баруун гар талд a x 2 = − c;
тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана а, бид x = - c a гэж төгсдөг.

Үүний дагуу бидний хувиргалт нь тэнцүү бөгөөд үр дүнд нь гарсан тэгшитгэл нь анхныхтай тэнцүү бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын талаар дүгнэлт хийх боломжийг олгодог. Үнэт зүйлс нь юу вэ аТэгээд вилэрхийллийн утга - c a хамаарна: энэ нь хасах тэмдэгтэй байж болно (жишээлбэл, хэрэв a = 1Тэгээд c = 2, дараа нь - c a = - 2 1 = - 2) эсвэл нэмэх тэмдэг (жишээлбэл, хэрэв a = − 2Тэгээд c = 6, дараа нь - c a = - 6 - 2 = 3); тэг биш учраас c ≠ 0. Нөхцөл байдлын талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзье - c a< 0 и - c a > 0 .

тохиолдолд - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа х p 2 = - c a тэгш байдал үнэн байж болохгүй.

- c a > 0 үед бүх зүйл өөр байна: квадрат язгуурыг санаарай, тэгвэл x 2 = - c a тэгшитгэлийн үндэс нь - c a тоо байх нь тодорхой болно, учир нь - c a 2 = - c a. - - c a тоо нь мөн x 2 = - c a тэгшитгэлийн язгуур гэдгийг ойлгоход хэцүү биш: үнэхээр, - - c a 2 = - c a.

Тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй болно. Үүнийг бид зөрчилдөх аргыг ашиглан харуулж чадна. Эхлэхийн тулд дээр дурдсан язгууруудын тэмдэглэгээг тодорхойлъё x 1Тэгээд − x 1. x 2 = - c a тэгшитгэл мөн язгууртай гэж үзье x 2, энэ нь үндэснээс ялгаатай x 1Тэгээд − x 1. Үүнийг тэгшитгэлд орлуулах замаар бид мэднэ xҮүний үндэс нь бид тэгшитгэлийг шударга тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг.

Учир нь x 1Тэгээд − x 1бид бичнэ: x 1 2 = - c a , мөн төлөө x 2- x 2 2 = - c a . Тоон тэгш байдлын шинж чанарууд дээр үндэслэн бид нэг зөв тэгш байдлын нэр томъёог нөгөөгөөсөө хасах бөгөөд энэ нь бидэнд дараахь зүйлийг өгнө. x 1 2 − x 2 2 = 0. Бид сүүлийн тэгшитгэлийг дахин бичихийн тулд тоонуудтай үйлдлийн шинж чанарыг ашигладаг (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Эдгээр тоонуудын ядаж нэг нь тэг байвал хоёр тооны үржвэр нь тэг болно гэдгийг мэддэг. Дээрхээс харахад ийм байна x 1 − x 2 = 0ба/эсвэл x 1 + x 2 = 0, энэ нь адилхан x 2 = x 1ба/эсвэл x 2 = − x 1. Эхлээд тэгшитгэлийн үндэс гэж тохиролцсон тул илт зөрчилдөөн гарч ирэв x 2-аас ялгаатай x 1Тэгээд − x 1. Тэгэхээр тэгшитгэл нь x = - c a, x = - - c a -аас өөр үндэсгүй гэдгийг бид нотолсон.

Дээрх бүх аргументуудыг нэгтгэн дүгнэж үзье.

Тодорхойлолт 6

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 + c = 0 x 2 = - c a тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь:

- c a -д үндэс байхгүй болно< 0 ;
- c a > 0-ийн хувьд x = - c a ба x = - - c a гэсэн хоёр үндэстэй болно.

Тэгшитгэлийг шийдэх жишээг өгье a x 2 + c = 0.

Жишээ 3

Квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн 9 x 2 + 7 = 0.Үүний шийдлийг олох шаардлагатай байна.

Шийдэл

Чөлөөт гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун тал руу шилжүүлье, тэгвэл тэгшитгэл хэлбэрээ авна 9 x 2 = − 7.
Үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж үзье 9 , бид x 2 = - 7 9-д хүрнэ. Баруун талд бид хасах тэмдэгтэй тоог харж байгаа бөгөөд энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэл нь үндэсгүй гэсэн үг юм. Дараа нь анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэл 9 x 2 + 7 = 0үндэсгүй болно.

Хариулт:тэгшитгэл 9 x 2 + 7 = 0үндэсгүй.

Жишээ 4

Тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй − x 2 + 36 = 0.

Шийдэл

36-г баруун тийш шилжүүлье: − x 2 = − 36.
Хоёр хэсгийг хоёуланг нь хувааж үзье − 1 , бид авдаг x 2 = 36. Баруун талд эерэг тоо байгаа бөгөөд үүнээс бид үүнийг дүгнэж болно x = 36 эсвэл x = - 36.
Үндэсийг гаргаж аваад эцсийн үр дүнг бичье: бүрэн бус квадрат тэгшитгэл − x 2 + 36 = 0хоёр үндэстэй x = 6эсвэл x = − 6.

Хариулт: x = 6эсвэл x = − 6.

a x 2 +b x=0 тэгшитгэлийн шийдэл

Гурав дахь төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе c = 0. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох a x 2 + b x = 0, бид хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашиглах болно. Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа олон гишүүнтийг хаалтанд оруулан нийтлэг хүчин зүйлийг хасъя. x. Энэ алхам нь анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг түүний эквивалент болгон хувиргах боломжийг олгоно x (a x + b) = 0. Мөн энэ тэгшитгэл нь эргээд тэгшитгэлийн багцтай тэнцэнэ x = 0Тэгээд a x + b = 0. Тэгшитгэл a x + b = 0шугаман ба түүний үндэс: x = − b a.

Тодорхойлолт 7

Ийнхүү бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 + b x = 0хоёр үндэстэй болно x = 0Тэгээд x = − b a.

Материалыг жишээгээр бататгая.

Жишээ 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 тэгшитгэлийн шийдийг олох шаардлагатай.

Шийдэл

Бид үүнийг гаргана xхаалтны гадна бид x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 тэгшитгэлийг авна. Энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна x = 0ба 2 3 x - 2 2 7 = 0. Одоо та үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Тэгшитгэлийн шийдлийг дараах байдлаар товч бичнэ үү.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 эсвэл 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 эсвэл x = 3 3 7

Хариулт: x = 0, x = 3 3 7.

Дискриминант, квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо

Квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд язгуур томъёо байдаг.

Тодорхойлолт 8

x = - b ± D 2 · a, энд D = b 2 − 4 a c– квадрат тэгшитгэлийн дискриминант гэж нэрлэгддэг.

x = - b ± D 2 · a гэж бичих нь үндсэндээ x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a гэсэн үг юм.

Энэ томъёог хэрхэн гаргаж авсан, хэрхэн хэрэглэхийг ойлгох нь ашигтай байх болно.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёо гарган авах

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх даалгавартай тулгарцгаая a x 2 + b x + c = 0. Хэд хэдэн ижил төстэй өөрчлөлтүүдийг хийцгээе:

тэгшитгэлийн хоёр талыг тоонд хуваана а, тэгээс ялгаатай нь бид дараах квадрат тэгшитгэлийг олж авна: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Гарсан тэгшитгэлийн зүүн талд бүрэн квадратыг сонгоцгооё.
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + в а
Үүний дараа тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Одоо сүүлийн хоёр нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлж, тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх боломжтой бөгөөд үүний дараа бид дараахь зүйлийг авна: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
Эцэст нь бид сүүлчийн тэгш байдлын баруун талд бичигдсэн илэрхийллийг хувиргана.
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.

Ингээд бид анхны тэгшитгэлтэй тэнцэх x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 тэгшитгэлд хүрнэ. a x 2 + b x + c = 0.

Бид өмнөх догол мөрөнд ийм тэгшитгэлийн шийдлийг судалж үзсэн (бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх). Өмнө нь олж авсан туршлага нь x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 тэгшитгэлийн язгуурын талаар дүгнэлт хийх боломжтой болгодог.

b 2 - 4 a c 4 a 2-тай< 0 уравнение не имеет действительных решений;
b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 үед тэгшитгэл нь x + b 2 · a 2 = 0, тэгвэл x + b 2 · a = 0 болно.

Эндээс цорын ганц язгуур х = - b 2 · a тодорхой байна;

b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0-ийн хувьд дараах нь үнэн байх болно: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 эсвэл x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , энэ нь x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 эсвэл x = - b 2 · a - b 2 - 4 -тэй ижил байна · a · c 4 · a 2, i.e. тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (тиймээс анхны тэгшитгэл) тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх нь b илэрхийллийн тэмдгээс хамаарна гэж дүгнэж болно. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 баруун талд бичигдсэн. Мөн энэ илэрхийллийн тэмдэг нь тоологчийн тэмдгээр өгөгдөнө, (хүлээн авагч 4 a 2үргэлж эерэг байх болно), өөрөөр хэлбэл илэрхийллийн тэмдэг b 2 − 4 a c. Энэ илэрхийлэл b 2 − 4 a cнэрийг өгсөн - квадрат тэгшитгэлийн ялгаварлагч ба D үсэг нь түүний тэмдэглэгээ гэж тодорхойлогддог. Энд та ялгаварлагчийн мөн чанарыг бичиж болно - түүний утга, тэмдэг дээр үндэслэн тэд квадрат тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэстэй байх эсэх, хэрэв тийм бол язгуурын тоо хэд вэ - нэг эсвэл хоёр байна.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 тэгшитгэл рүү буцъя. Үүнийг ялгах тэмдэглэгээг ашиглан дахин бичье: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Дахин дүгнэлтээ хийцгээе:

Тодорхойлолт 9

цагт Д< 0 тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй;
цагт D=0тэгшитгэл нь нэг язгууртай x = - b 2 · a ;
цагт D > 0тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 эсвэл x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Радикалуудын шинж чанарт үндэслэн эдгээр үндэсийг дараах хэлбэрээр бичиж болно: x = - b 2 · a + D 2 · a эсвэл - b 2 · a - D 2 · a. Мөн бид модулиудыг нээж, бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваачвал: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Тиймээс бидний үндэслэлийн үр дүн нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гаргаж авсан явдал юм.

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, дискриминант Дтомъёогоор тооцоолно D = b 2 − 4 a c.

Эдгээр томьёо нь дискриминант тэгээс их байх үед жинхэнэ язгуурыг хоёуланг нь тодорхойлох боломжтой болгодог. Дискриминант нь тэг байх үед хоёр томьёог хэрэглэснээр квадрат тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэлтэй ижил язгуур гарна. Ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг байгаа тохиолдолд квадрат язгуурын томъёог ашиглахыг оролдвол сөрөг тооны язгуурыг авах шаардлагатай тулгарах бөгөөд энэ нь биднийг бодит тооны хамрах хүрээнээс халах болно. Сөрөг дискриминанттай бол квадрат тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй байх болно, гэхдээ бидний олж авсан ижил язгуур томъёогоор тодорхойлогддог хос цогц коньюгат язгуур боломжтой.

Үндэс томьёо ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

Квадрат тэгшитгэлийг язгуур томьёо ашиглан шууд шийдэх боломжтой боловч ерөнхийдөө нийлмэл язгуурыг олох шаардлагатай үед үүнийг хийдэг.

Ихэнх тохиолдолд энэ нь нарийн төвөгтэй биш, харин квадрат тэгшитгэлийн бодит язгуурыг хайх гэсэн үг юм. Дараа нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахын өмнө эхлээд дискриминантыг тодорхойлж, сөрөг биш эсэхийг шалгах нь оновчтой юм (эсвэл бид тэгшитгэл нь бодит язгуургүй гэж дүгнэх болно), дараа нь тооцооллыг үргэлжлүүлнэ. язгуурын үнэ цэнэ.

Дээрх үндэслэл нь квадрат тэгшитгэлийг шийдэх алгоритмыг боловсруулах боломжийг олгодог.

Тодорхойлолт 10

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх a x 2 + b x + c = 0, шаардлагатай:

томъёоны дагуу D = b 2 − 4 a cялгах утгыг олох;
дээр D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
D = 0-ийн хувьд x = - b 2 · a томъёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг ол;
D > 0 бол квадрат тэгшитгэлийн хоёр бодит язгуурыг x = - b ± D 2 · a томъёогоор тодорхойлно.

Дискриминант нь тэг байх үед та x = - b ± D 2 · a томъёог ашиглаж болно, энэ нь x = - b 2 · a томъёотой ижил үр дүнг өгөх болно гэдгийг анхаарна уу.

Жишээнүүдийг харцгаая.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Жишээнүүдийн шийдлийг өгье өөр өөр утгатайялгаварлагч.

Жишээ 6

Бид тэгшитгэлийн язгуурыг олох хэрэгтэй x 2 + 2 x − 6 = 0.

Шийдэл

Квадрат тэгшитгэлийн тоон коэффициентүүдийг бичье: a = 1, b = 2 ба c = − 6. Дараа нь бид алгоритмын дагуу үргэлжлүүлнэ, өөрөөр хэлбэл. Дискриминантыг тооцоолж эхэлцгээе, үүний төлөө бид a, b коэффициентүүдийг орлуулах болно. Тэгээд вялгах томъёонд: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28.

Тэгэхээр бид D > 0 гарна, энэ нь анхны тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай болно гэсэн үг юм.
Тэдгээрийг олохын тулд бид x = - b ± D 2 · a язгуур томъёог ашигладаг бөгөөд харгалзах утгуудыг орлуулснаар бид дараахийг авна: x = - 2 ± 28 2 · 1. Үүссэн илэрхийлэлийг язгуур тэмдэгээс хүчин зүйлийг хасч, дараа нь бутархайг багасгаж хялбаршуулъя.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 эсвэл x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 эсвэл x = - 1 - 7

Хариулт: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Жишээ 7

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Шийдэл

Ялгаварлагчийг тодорхойлъё: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Дискриминантийн энэ утгаар анхны тэгшитгэл нь x = - b 2 · a томъёогоор тодорхойлогддог зөвхөн нэг язгууртай болно.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

Хариулт: x = 3.5.

Жишээ 8

Тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй 5 у 2 + 6 у + 2 = 0

Шийдэл

Энэ тэгшитгэлийн тоон коэффициентүүд нь: a = 5, b = 6, c = 2 байна. Бид ялгагчийг олохын тулд эдгээр утгуудыг ашигладаг: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4. Тооцоолсон дискриминант нь сөрөг тул анхны квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй болно.

Хэрэв даалгавар нь нийлмэл үндэсийг зааж өгөх юм бол бид язгуур томъёог ашиглан цогцолбор тоогоор үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 эсвэл x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i эсвэл x = - 3 5 - 1 5 · i.

Хариулт:жинхэнэ үндэс байхгүй; нийлмэл үндэс нь дараах байдалтай байна: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт нарийн төвөгтэй үндэс хайх стандарт шаардлага байхгүй тул хэрэв шийдлийн явцад ялгаварлагч сөрөг гэж тодорхойлогдвол жинхэнэ үндэс байхгүй гэсэн хариултыг шууд бичнэ.

Тэгш хоёр дахь коэффициентийн үндэс томъёо

Үндсэн томьёо x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) нь илүү авсаархан өөр томьёог олж авах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь x-ийн тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг олох боломжийг олгодог. эсвэл 2 · n хэлбэрийн коэффициенттэй, жишээлбэл, 2 3 эсвэл 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Энэ томьёо хэрхэн гарсныг харуулъя.

a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох даалгавартай тулгаръя. Бид алгоритмын дагуу ажиллана: бид D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 - a c) ялгагчийг тодорхойлж, үндсэн томъёог ашиглана:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

n 2 − a · c илэрхийллийг D 1 гэж тэмдэглэе (заримдаа үүнийг D " гэж тэмдэглэдэг). Дараа нь 2 · n хоёр дахь коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын томъёо дараах хэлбэртэй болно.

x = - n ± D 1 a, энд D 1 = n 2 - a · c.

D = 4 · D 1, эсвэл D 1 = D 4 гэдгийг харахад хялбар байдаг. Өөрөөр хэлбэл D 1 нь ялгаварлагчийн дөрөвний нэг юм. Мэдээжийн хэрэг, D 1 тэмдэг нь D тэмдэгтэй ижил бөгөөд энэ нь D 1 тэмдэг нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсвэл байхгүй байгааг илтгэх үзүүлэлт болж чадна гэсэн үг юм.

Тодорхойлолт 11

Тиймээс 2 n хоёр дахь коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

олох D 1 = n 2 − a · c ;
D 1 дээр< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
D 1 = 0 үед x = - n a томъёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг тодорхойлно;
D 1 > 0-ийн хувьд x = - n ± D 1 a томъёогоор хоёр бодит язгуурыг тодорхойлно.

Жишээ 9

5 x 2 − 6 x − 32 = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай.

Шийдэл

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийг 2 · (− 3) гэж илэрхийлж болно. Дараа нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, a = 5, n = - 3 ба c = - 32 гэж дахин бичнэ.

Дириминантийн дөрөв дэх хэсгийг тооцоолъё: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Үр дүнгийн утга нь эерэг бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай гэсэн үг юм. Харгалзах язгуур томъёог ашиглан тэдгээрийг тодорхойлно уу:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 эсвэл x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 эсвэл x = - 2

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын ердийн томъёог ашиглан тооцоо хийх боломжтой боловч энэ тохиолдолд шийдэл нь илүү төвөгтэй байх болно.

Хариулт: x = 3 1 5 эсвэл x = - 2.

Квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах

Заримдаа анхны тэгшитгэлийн хэлбэрийг оновчтой болгох боломжтой бөгөөд энэ нь үндсийг тооцоолох үйл явцыг хялбаршуулах болно.

Жишээ нь: 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 квадрат тэгшитгэлийг 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0-ээс илүү хялбар шийдэх нь ойлгомжтой.

Ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах нь түүний хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах замаар хийгддэг. Жишээлбэл, дээр бид хоёр талыг 100-д хуваах замаар олж авсан 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 тэгшитгэлийн хялбаршуулсан дүрслэлийг үзүүлэв.

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь хоёрдогч анхны тоо биш үед ийм хувиргалт хийх боломжтой. Дараа нь бид ихэвчлэн тэгшитгэлийн хоёр талыг хамгийн их нийтлэг хуваагчаар хуваадаг үнэмлэхүй утгуудтүүний коэффициентүүд.

Жишээ болгон бид 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 квадрат тэгшитгэлийг ашигладаг. Түүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгуудын GCD-ийг тодорхойлъё: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Анхны квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг 6-д хувааж, 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 тэнцүү квадрат тэгшитгэлийг олъё.

Квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлснээр та ихэвчлэн бутархай коэффициентээс салдаг. Энэ тохиолдолд тэдгээр нь түүний коэффициентүүдийн хуваагчдын хамгийн бага нийтлэг үржвэрээр үржүүлнэ. Жишээлбэл, 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 квадрат тэгшитгэлийн хэсэг бүрийг LCM (6, 3, 1) = 6-аар үржүүлбэл энэ нь илүү их бичигдэх болно. энгийн хэлбэрээр x 2 + 4 x − 18 = 0.

Эцэст нь бид квадрат тэгшитгэлийн эхний коэффициент дэх хасахаас бараг үргэлж салдаг гэдгийг тэмдэглэж, тэгшитгэлийн гишүүн бүрийн тэмдгүүдийг өөрчлөх замаар хоёр талыг - 1-ээр үржүүлэх (эсвэл хуваах) үр дүнд хүрдэг. Жишээлбэл, − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 квадрат тэгшитгэлээс та түүний хялбаршуулсан хувилбар 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 руу очиж болно.

Үндэс ба коэффициент хоорондын хамаарал

Бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо x = - b ± D 2 · a нь тэгшитгэлийн язгуурыг тоон коэффициентээр нь илэрхийлдэг. Үндэслэн энэ томъёо, язгуур болон коэффициентийн хоорондох бусад хамаарлыг тодорхойлох боломж бидэнд байна.

Хамгийн алдартай бөгөөд хэрэглэх боломжтой нь Вьетагийн теоремын томъёо юм.

x 1 + x 2 = - b a ба x 2 = c a.

Тодруулбал, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициент бөгөөд язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хараад түүний язгууруудын нийлбэр 7 3, язгуурын үржвэр нь 22 3 болохыг шууд тодорхойлох боломжтой.

Та мөн квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хооронд хэд хэдэн өөр холболтыг олж болно. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэрийг коэффициентээр илэрхийлж болно.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Илүү энгийн аргаар. Үүнийг хийхийн тулд z-г хаалтнаас гарга. Та дараахийг авна: z(аz + b) = 0. Хүчин зүйлүүдийг бичиж болно: z=0 ба аz + b = 0, учир нь хоёулангийнх нь үр дүн тэг байж болно. az + b = 0 тэмдэглэгээнд бид хоёр дахь нь баруун тийш өөр тэмдгээр шилжинэ. Эндээс бид z1 = 0 ба z2 = -b/a болно. Эдгээр нь эхийн үндэс юм.

Хэрэв az² + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус тэгшитгэл байгаа бол энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн баруун талд чөлөөт гишүүнийг зөөх замаар олно. Мөн тэмдгийг өөрчил. Үр дүн нь az² = -с болно. z² = -c/a илэрхийлнэ. Үндэсийг аваад эерэг ба сөрөг квадрат язгуур гэсэн хоёр шийдлийг бич.

Анхаарна уу

Хэрэв тэгшитгэлд бутархай коэффициент байгаа бол бутархайг арилгахын тулд тэгшитгэлийг бүхэлд нь тохирох хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаархи мэдлэг нь сургуулийн сурагчид болон оюутнуудад зайлшгүй шаардлагатай байдаг. Хэд хэдэн тодорхой шийдлийн аргууд байдаг.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

a*x^2+b*x+c=0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл. Х коэффициент нь хүссэн хувьсагч, a, b, c нь тоон коэффициент юм. "+" тэмдэг нь "-" тэмдэг болж өөрчлөгдөж болно гэдгийг санаарай.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд Виетийн теоремыг ашиглах эсвэл дискриминантыг олох шаардлагатай. Хамгийн түгээмэл арга бол ялгагчийг олох явдал юм, учир нь a, b, c-ийн зарим утгуудын хувьд Виетийн теоремыг ашиглах боломжгүй байдаг.

Дискриминантыг (D) олохын тулд D=b^2 - 4*a*c томъёог бичих хэрэгтэй. D утга нь тэгээс их, бага эсвэл тэгтэй тэнцүү байж болно. Хэрэв D нь тэгээс их эсвэл бага бол D = 0 бол зөвхөн нэг үндэс үлдэх болно, энэ тохиолдолд D нь хоёр ижил үндэстэй гэж хэлж болно; Томъёонд мэдэгдэж буй a, b, c коэффициентүүдийг орлуулж утгыг тооцоол.

Дискриминантыг олсны дараа томьёог ашиглан х-г ол: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a энд sqrt нь задлах гэсэн утгатай функц юм квадрат язгуур-аас өгсөн дугаар. Эдгээр илэрхийллийг тооцоолсны дараа та тэгшитгэлийнхээ хоёр үндэсийг олох бөгөөд үүний дараа тэгшитгэлийг шийдсэн гэж үзнэ.

Хэрэв D тэгээс бага бол үндэстэй хэвээр байна. Энэ хэсгийг сургуульд бараг судлаагүй. Үндэс дор сөрөг тоо гарч байгааг их сургуулийн оюутнууд мэдэж байх ёстой. Тэд төсөөллийн хэсгийг тодруулснаар үүнээс ангижрах болно, өөрөөр хэлбэл язгуурын доорх -1 нь үргэлж ижил эерэг тоогоор язгуураар үржүүлсэн төсөөллийн "i" элементтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, D=sqrt(-20) бол хувиргасны дараа D=sqrt(20)*i болно. Энэ хувиргалтын дараа тэгшитгэлийг шийдэх нь дээр дурдсантай ижил язгуурыг олох хүртэл буурна.

Виетийн теорем нь x(1) ба x(2) утгуудыг сонгохоос бүрдэнэ. Хоёр ижил тэгшитгэлийг ашигласан: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Түүнээс гадна, маш чухал цэг бол b коэффициентийн урд байгаа тэмдэг бөгөөд энэ тэмдэг нь тэгшитгэлийн эсрэг байна гэдгийг санаарай. Өнгөц харахад x(1) ба x(2)-ыг тооцоолох нь маш энгийн мэт боловч шийдвэрлэхдээ та тоонуудыг сонгох хэрэгтэй болно.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх элементүүд

Математикийн дүрмийн дагуу заримыг нь хүчин зүйлээр ангилж болно: (a+x(1))*(b-x(2))=0, хэрэв та энэ квадрат тэгшитгэлийг математикийн томьёо ашиглан ижил төстэй байдлаар хувиргаж чадсан бол эргэлзэхгүй байна. хариултыг бичнэ үү. x(1) ба x(2) нь хаалтанд байгаа зэргэлдээх коэффициентүүдтэй тэнцүү байх боловч эсрэг тэмдэгтэй байна.

Мөн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн талаар бүү мартаарай. Та зарим нэр томъёог алдаж магадгүй бол түүний бүх коэффициентүүд зүгээр л тэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв x^2 эсвэл x-ийн өмнө юу ч байхгүй бол a ба b коэффициентүүд 1-тэй тэнцүү байна.

Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Эрт дээр үед хүн тэгшитгэлийг ашигладаг байсан бөгөөд түүнээс хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Дискриминант нь ямар ч квадрат тэгшитгэлийг ашиглан шийдвэрлэх боломжийг олгодог ерөнхий томъёо, энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

Ялгаварлах томъёо нь олон гишүүнтийн зэргээс хамаарна. Дээрх томъёо нь дараах хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой.

Дискриминант нь дараахь шинж чанаруудтай бөгөөд үүнийг мэдэх шаардлагатай.

* Олон гишүүнт олон үндэстэй (тэнцүү үндэстэй) "D" нь 0;

* "D" нь олон гишүүнтийн язгуурт хамаарах тэгш хэмтэй олон гишүүнт тул түүний коэффициентүүд нь олон гишүүнт юм; түүгээр ч барахгүй уг олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь үндэс авсан өргөтгөлөөс үл хамааран бүхэл тоо юм.

Дараах хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн гэж үзье.

1 тэгшитгэл

Томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.

\-ээс хойш тэгшитгэл нь 2 үндэстэй. Тэдгээрийг тодорхойлъё:

Дискриминант онлайн шийдэгч ашиглан тэгшитгэлийг хаанаас шийдэж болох вэ?

Та манай https://site сайтаас тэгшитгэлийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг хэдхэн секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та мөн манай вэбсайтаас видео зааврыг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар олж мэдэх боломжтой бөгөөд хэрэв танд асуулт байвал манай ВКонтакте группээс http://vk.com/pocketteacher асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.

Бид сэдвийг үргэлжлүүлэн судалж байна " тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" Бид шугаман тэгшитгэлтэй аль хэдийн танилцаж, танилцах гэж байна квадрат тэгшитгэл.

Эхлээд бид квадрат тэгшитгэл гэж юу болох, хэрхэн бичигдсэнийг авч үзэх болно ерөнхий үзэл, мөн бид өгөх болно холбогдох тодорхойлолтууд. Үүний дараа бид бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байгааг жишээгээр нарийвчлан судлах болно. Дараа нь бид бүрэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, язгуур томъёог олж авах, квадрат тэгшитгэлийн дискриминанттай танилцах, ердийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг авч үзэх болно. Эцэст нь язгуур болон коэффициентүүдийн хоорондын уялдаа холбоог авч үзье.

Хуудасны навигаци.

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ? Тэдний төрлүүд

Эхлээд та квадрат тэгшитгэл гэж юу болохыг тодорхой ойлгох хэрэгтэй. Тиймээс квадрат тэгшитгэлийн тухай яриаг квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт, түүнчлэн холбогдох тодорхойлолтоор эхлүүлэх нь логик юм. Үүний дараа та квадрат тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэж болно: бууруулсан ба буураагүй, түүнчлэн бүрэн ба бүрэн бус тэгшитгэл.

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт ба жишээ

Тодорхойлолт.

Квадрат тэгшитгэлхэлбэрийн тэгшитгэл юм a x 2 +b x+c=0, энд x нь хувьсагч, a, b, c нь зарим тоо, а нь тэг биш юм.

Квадрат тэгшитгэлийг ихэвчлэн хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг гэдгийг шууд хэлье. Энэ нь квадрат тэгшитгэл нь байгаатай холбоотой юм алгебрийн тэгшитгэл хоёрдугаар зэрэг.

Энэхүү тодорхойлолт нь квадрат тэгшитгэлийн жишээг өгөх боломжийг бидэнд олгодог. Тэгэхээр 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 гэх мэт. Эдгээр нь квадрат тэгшитгэл юм.

Тодорхойлолт.

Тоонууд a, b, c гэж нэрлэдэг квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд a·x 2 +b·x+c=0, а коэффициентийг эхний буюу хамгийн өндөр буюу x 2-ын коэффициент, b нь хоёр дахь коэффициент буюу х-ийн коэффициент, в нь чөлөөт гишүүн юм. .

Жишээ нь: 5 x 2 −2 x −3=0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг авч үзье, энд тэргүүлэх коэффициент нь 5, хоёр дахь коэффициент нь −2, чөлөөт гишүүн нь −3-тай тэнцүү байна. Сая өгөгдсөн жишээний адил b ба/эсвэл c коэффициентүүд сөрөг байх үед квадрат тэгшитгэлийн богино хэлбэр нь 5 x 2 +(−2 ) биш харин 5 x 2 −2 x−3=0 болохыг анхаарна уу. ·x+(−3)=0 .

Хэрэв a ба/эсвэл b коэффициентүүд 1 эсвэл -1-тэй тэнцүү байвал квадрат тэгшитгэлд ихэвчлэн тодорхой байдаггүй бөгөөд энэ нь үүнийг бичих онцлогтой холбоотой юм. Жишээлбэл, y 2 −y+3=0 квадрат тэгшитгэлийн тэргүүлэх коэффициент нь нэг, у-ийн коэффициент нь −1-тэй тэнцүү байна.

Буурагдсан ба бууруулаагүй квадрат тэгшитгэл

Тэргүүлэх коэффициентийн утгаас хамааран бууруулсан ба буураагүй квадрат тэгшитгэлийг ялгадаг. Холбогдох тодорхойлолтуудыг өгье.

Тодорхойлолт.

Тэргүүлэх коэффициент нь 1 байх квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл. Үгүй бол квадрат тэгшитгэл нь байна хөндөгдөөгүй.

дагуу энэ тодорхойлолт, квадрат тэгшитгэл x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 гэх мэт. – өгөгдсөн бол тус бүрт эхний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна. 5 x 2 −x−1=0 гэх мэт. - бууруулаагүй квадрат тэгшитгэлүүд, тэдгээрийн тэргүүлэх коэффициентүүд нь 1-ээс ялгаатай.

Аль ч бууруулаагүй квадрат тэгшитгэлээс хоёр талыг тэргүүлэгч коэффициентээр хуваах замаар та багасгасан нэг рүү очиж болно. Энэ үйлдэл нь эквивалент хувиргалт бөгөөд өөрөөр хэлбэл ийм аргаар олж авсан бууруулсан квадрат тэгшитгэл нь анхны бууруулаагүй квадрат тэгшитгэлтэй ижил үндэстэй, эсвэл үүнтэй адил үндэсгүй байна.

Буураагүй квадрат тэгшитгэлээс бууруулсан тэгшитгэл рүү шилжих жишээг авч үзье.

Жишээ.

3 x 2 +12 x−7=0 тэгшитгэлээс харгалзах багасгасан квадрат тэгшитгэл рүү оч.

Шийдэл.

Бид зүгээр л анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг тэргүүлэх коэффициент 3-т хуваах хэрэгтэй, энэ нь тэг биш тул бид энэ үйлдлийг хийж чадна. Бидэнд (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 байгаа нь ижил, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, дараа нь (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, хаанаас . Ингэж бид бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд энэ нь анхныхтай тэнцүү юм.

Хариулт:

Бүрэн ба бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт нь a≠0 нөхцөлийг агуулна. Энэ нөхцөл нь a x 2 + b x + c = 0 тэгшитгэл нь квадрат байх шаардлагатай, учир нь a = 0 үед энэ нь үнэндээ b x + c = 0 хэлбэрийн шугаман тэгшитгэл болдог.

b ба c коэффициентүүдийн хувьд тус тусад нь болон хамтдаа тэгтэй тэнцүү байж болно. Эдгээр тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт.

a x 2 +b x+c=0 квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ бүрэн бус, хэрэв b, c коэффициентүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол.

Эргээд

Тодорхойлолт.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлбүх коэффициентүүд нь тэгээс ялгаатай тэгшитгэл юм.

Ийм нэрийг санамсаргүй байдлаар өгөөгүй. Энэ нь дараах хэлэлцүүлгээс тодорхой болно.

Хэрэв b коэффициент тэг бол квадрат тэгшитгэл нь a·x 2 +0·x+c=0 хэлбэртэй байх ба a·x 2 +c=0 тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Хэрэв c=0, өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэл нь a·x 2 +b·x+0=0 хэлбэртэй байвал a·x 2 +b·x=0 гэж дахин бичиж болно. Мөн b=0 ба c=0 байвал a·x 2 =0 квадрат тэгшитгэлийг авна. Гарсан тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлээс ялгаатай бөгөөд тэдгээрийн зүүн талд x хувьсагчтай гишүүн, чөлөөт гишүүн эсвэл хоёуланг нь агуулаагүй болно. Тиймээс тэдний нэр - бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.

Тэгэхээр x 2 +x+1=0 ба −2 x 2 −5 x+0.2=0 тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлийн жишээ бөгөөд x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 болно. , −x 2 −5 x=0 нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл юм.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Өмнөх догол мөр дэх мэдээллээс үзэхэд байна гурван төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл:

a·x 2 =0, b=0 ба c=0 коэффициентүүд түүнд тохирно;
b=0 үед a x 2 +c=0;
ба c=0 үед a·x 2 +b·x=0 байна.

Эдгээр төрөл бүрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байгааг дарааллаар нь авч үзье.

a x 2 = 0

b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг өөрөөр хэлбэл a x 2 =0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр шийдэж эхэлцгээе. a·x 2 =0 тэгшитгэл нь x 2 =0 тэгшитгэлтэй тэнцэх бөгөөд энэ нь хоёр хэсгийг тэг биш a тоонд хуваах замаар эх хувилбараас гаргаж авсан. 0 2 =0 учраас x 2 =0 тэгшитгэлийн язгуур нь тэг байх нь ойлгомжтой. Энэ тэгшитгэлд өөр язгуур байхгүй бөгөөд үүнийг ямар ч тэгээс бусад p тооны хувьд p 2 >0 тэгш бус байдал хангагдсанаар тайлбарлагддаг бөгөөд энэ нь p≠0-ийн хувьд p 2 =0 тэгшитгэл хэзээ ч хүрдэггүй гэсэн үг юм.

Тэгэхээр a·x 2 =0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь x=0 нэг язгууртай байна.

Жишээ болгон бид −4 x 2 =0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдийг өгч байна. Энэ нь x 2 =0 тэгшитгэлтэй тэнцүү, түүний цорын ганц язгуур нь x=0 тул анхны тэгшитгэл нь нэг язгуур тэгтэй байна.

Энэ тохиолдолд богино шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Одоо b коэффициент нь тэг ба c≠0, өөрөөр хэлбэл a x 2 +c=0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая. Тэгшитгэлийн нэг талаас нөгөө тал руу эсрэг тэмдгээр гишүүнийг шилжүүлэх, мөн тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр тоонд хуваах нь тэнцүү тэгшитгэлийг өгдөг гэдгийг бид мэднэ. Иймд бид a x 2 +c=0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн дараах эквивалент хувиргалтыг хийж болно.

c-г баруун тийш шилжүүлэх нь a x 2 =−c тэгшитгэлийг өгнө.
ба хоёр талыг а-д хуваахад бид .

Үүссэн тэгшитгэл нь түүний үндэсийн талаар дүгнэлт хийх боломжийг бидэнд олгодог. a ба c-ийн утгуудаас хамааран илэрхийллийн утга нь сөрөг (жишээлбэл, a=1 ба c=2 бол ) эсвэл эерэг (жишээлбэл, a=−2 ба c=6 бол) байж болно. дараа нь ), энэ нь тэг биш, учир нь нөхцөлөөр c≠0. Хэргийг тусад нь авч үзье.

Хэрэв бол тэгшитгэл нь үндэсгүй болно. Энэ мэдэгдэл нь дурын тооны квадрат нь сөрөг бус тоо байдгаас үүдэлтэй. Үүнээс үзэхэд , тэгвэл аль ч p тооны хувьд тэгш байдал үнэн байж болохгүй.

Хэрэв , тэгвэл тэгшитгэлийн язгуурын нөхцөл өөр байна. Энэ тохиолдолд, хэрэв бид тухай санаж байвал тэгшитгэлийн үндэс нь шууд тодорхой болно, учир нь . Энэ тоо нь тэгшитгэлийн үндэс мөн гэдгийг таахад хялбар байдаг. Энэ тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй бөгөөд үүнийг жишээ нь зөрчилдөөнөөр харуулж болно. Үүнийг хийцгээе.

Сая зарласан тэгшитгэлийн язгуурыг x 1 ба −x 1 гэж тэмдэглэе. Тэгшитгэл нь заасан x 1 ба −x 1 язгууруудаас өөр өөр нэг x 2 язгууртай гэж бодъё. Үүний үндэсийг x-ийн оронд тэгшитгэлд орлуулснаар тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг нь мэдэгдэж байна. x 1 ба −x 1-ийн хувьд бид , харин x 2-ийн хувьд бид байна. Тоон тэгшитгэлийн шинж чанарууд нь зөв тоон тэгшитгэлийг гишүүнээр нь хасах боломжийг олгодог тул тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг хасвал x 1 2 −x 2 2 =0 болно. Тоотой үйлдлийн шинж чанарууд нь үүссэн тэгшитгэлийг (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 гэж дахин бичих боломжийг олгодог. Хоёр тооны үржвэр нь зөвхөн, ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л тэгтэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Иймээс үүссэн тэгшитгэлээс x 1 −x 2 =0 ба/эсвэл x 1 +x 2 =0, энэ нь ижил, x 2 =x 1 ба/эсвэл x 2 =−x 1 болно. Ингээд бид анхандаа x 2 тэгшитгэлийн язгуур нь x 1 ба −x 1-ээс өөр гэж хэлснээс хойш зөрчилд хүрсэн. Энэ нь тэгшитгэл нь ба -аас өөр үндэсгүй болохыг баталж байна.

Энэ догол мөр дэх мэдээллийг тоймлон хүргэе. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 +c=0 нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

үндэс байхгүй бол,
хоёр үндэстэй ба хэрэв .

a·x 2 +c=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээнүүдийг авч үзье.

9 x 2 +7=0 квадрат тэгшитгэлээс эхэлье. Чөлөөт гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлсний дараа 9 x 2 =−7 хэлбэрийг авна. Үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг 9-д хуваахад бид . Баруун тал нь сөрөг тоотой тул энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй тул анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэл 9 x 2 +7 = 0 үндэсгүй болно.

Өөр −x 2 +9=0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдье. Бид есийг баруун тийш шилжүүлнэ: −x 2 =−9. Одоо бид хоёр талыг −1-д хуваавал x 2 =9 болно. Баруун талд эерэг тоо байгаа бөгөөд үүнээс бид үүнийг дүгнэж байна. Дараа нь бид эцсийн хариултыг бичнэ: −x 2 +9=0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь x=3 эсвэл x=−3 гэсэн хоёр үндэстэй.

a x 2 +b x=0

Сүүлийн төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг c=0 байхад л шийдэх хэрэгтэй. a x 2 + b x = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд нь шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно. хүчин зүйлчлэлийн арга. Мэдээжийн хэрэг, бид тэгшитгэлийн зүүн талд байрлах боломжтой бөгөөд үүний тулд нийтлэг х хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргахад хангалттай. Энэ нь анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэлээс x·(a·x+b)=0 хэлбэрийн эквивалент тэгшитгэл рүү шилжих боломжийг олгодог. Мөн энэ тэгшитгэл нь x=0 ба a·x+b=0 гэсэн хоёр тэгшитгэлийн багцтай тэнцэх бөгөөд сүүлийнх нь шугаман бөгөөд x=−b/a язгууртай.

Тэгэхээр бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a·x 2 +b·x=0 нь x=0 ба x=−b/a гэсэн хоёр язгууртай.

Материалыг нэгтгэхийн тулд бид тодорхой жишээний шийдлийг шинжлэх болно.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Хаалтнаас x-г гаргаснаар тэгшитгэл гарч ирнэ. Энэ нь x=0 ба хоёр тэгшитгэлтэй тэнцэнэ. Бид үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийдэж: , хуваалтыг гүйцэтгэнэ холимог тоодээр энгийн бутархай, бид олдог. Иймд анхны тэгшитгэлийн үндэс нь x=0 ба .

Шаардлагатай практикийг олж авсны дараа ийм тэгшитгэлийн шийдлүүдийг товч бичиж болно.

Хариулт:

x=0, .

Дискриминант, квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд язгуур томъёо байдаг. Үүнийг бичээд үзье квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо: , Хаана D=b 2 −4 a c- гэж нэрлэгддэг квадрат тэгшитгэлийн дискриминант. Оруулга нь үндсэндээ үүнийг илэрхийлдэг.

Үндэс томъёог хэрхэн гаргаж авсан, квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хэрхэн ашигладаг талаар мэдэх нь ашигтай. Үүнийг олж мэдье.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёо гарган авах

a·x 2 +b·x+c=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Зарим ижил төстэй хувиргалтуудыг хийцгээе:

Бид энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг тэг биш a тоогоор хувааж болох бөгөөд үр дүнд нь дараах квадрат тэгшитгэл гарч ирнэ.
Одоо бүрэн дөрвөлжин сонгоно уутүүний зүүн талд: . Үүний дараа тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна.
Энэ үе шатанд сүүлийн хоёр нэр томъёог эсрэг тэмдгээр баруун тал руу шилжүүлэх боломжтой, бид .
Мөн баруун талд байгаа илэрхийллийг өөрчилье: .

Үүний үр дүнд бид анхны квадрат тэгшитгэл a·x 2 +b·x+c=0-тэй тэнцэх тэгшитгэлд хүрнэ.

Өмнөх догол мөрөнд бид ижил төстэй тэгшитгэлүүдийг судалж үзэхэд аль хэдийн шийдэгдсэн. Энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын талаар дараахь дүгнэлтийг гаргах боломжийг бидэнд олгоно.

Хэрэв бол тэгшитгэлд бодит шийдэл байхгүй;
хэрэв , тэгвэл тэгшитгэл нь түүний цорын ганц язгуур харагдахуйц , тиймийн тул, хэлбэртэй байна;
хэрэв , тэгвэл эсвэл , эсвэл -тэй ижил, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

Тиймээс тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх, тиймээс анхны квадрат тэгшитгэл нь баруун талд байгаа илэрхийллийн тэмдгээс хамаарна. Хариуд нь 4·a 2 хуваагч нь үргэлж эерэг, өөрөөр хэлбэл b 2 −4·a·c илэрхийллийн тэмдгээр тодорхойлогддог тул энэ илэрхийллийн тэмдгийг тоологчийн тэмдгээр тодорхойлно. Энэ b 2 −4 a c илэрхийллийг дуудсан квадрат тэгшитгэлийн дискриминантмөн үсгээр томилогдсон Д. Эндээс ялгаварлагчийн мөн чанар тодорхой байна - түүний утга, тэмдэг дээр үндэслэн тэд квадрат тэгшитгэл бодит язгууртай эсэх, хэрэв тийм бол тэдгээрийн тоо хэд вэ - нэг эсвэл хоёр гэсэн дүгнэлтэд хүрдэг.

Тэгшитгэл рүү буцаж, ялгах тэмдэглэгээг ашиглан дахин бичье: . Тэгээд бид дүгнэлт хийж байна:

хэрэв Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
хэрэв D=0 бол энэ тэгшитгэл нь нэг язгууртай;
Эцэст нь, хэрэв D>0 бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй буюу эсвэл хэлбэрээр дахин бичиж болох ба бутархайг томруулж, нийтлэг хуваагч руу авсны дараа бид олж авна.

Тиймээс бид квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёог гаргаж авсан бөгөөд тэдгээр нь D=b 2 −4·a·c томьёогоор ялгаварлан гадуурхагч D-ийг тооцоолсон хэлбэртэй байна.

Тэдгээрийн тусламжтайгаар эерэг дискриминантын тусламжтайгаар квадрат тэгшитгэлийн бодит язгуурыг хоёуланг нь тооцоолж болно. Дискриминант нь тэг байх үед хоёр томьёо нь квадрат тэгшитгэлийн өвөрмөц шийдэлд тохирсон язгуурын ижил утгыг өгнө. Сөрөг дискриминантын тусламжтайгаар квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахыг оролдох үед бид сөрөг тооны квадрат язгуурыг гаргаж авахтай тулгардаг бөгөөд энэ нь биднийг хамрах хүрээнээс хэтрүүлдэг. сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. Сөрөг дискриминанттай бол квадрат тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй боловч хостой байна нарийн төвөгтэй коньюгатбидний олж авсан ижил үндэс томъёог ашиглан олж болох үндэс.

Үндэс томьёо ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

Практикт квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн утгыг тооцоолохын тулд язгуур томъёог шууд ашиглаж болно. Гэхдээ энэ нь нарийн төвөгтэй үндэс олохтой илүү холбоотой юм.

Гэсэн хэдий ч, онд сургуулийн курсАлгебр нь ихэвчлэн төвөгтэй биш, харин квадрат тэгшитгэлийн бодит язгуурыг авч үздэг. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахын өмнө эхлээд ялгаварлагчийг олж, сөрөг биш эсэхийг шалгахыг зөвлөж байна (өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь бодит язгуургүй гэж дүгнэж болно), зөвхөн дараа нь үндэсийн утгыг тооцоолно.

Дээрх үндэслэл нь бидэнд бичих боломжийг олгодог квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм. a x 2 +b x+c=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

D=b 2 −4·a·c ялгах томьёог ашиглан түүний утгыг тооцоолох;
ялгаварлагч сөрөг байвал квадрат тэгшитгэл бодит үндэсгүй гэж дүгнэх;
D=0 бол томьёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг тооцоолох;
Квадрат тэгшитгэлийн хоёр бодит язгуурыг ялгах нь эерэг бол язгуур томъёог ашиглан ол.

Дириминант нь 0-тэй тэнцүү бол энэ нь ижил утгыг өгөх болно гэдгийг энд тэмдэглэж байна.

Та квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг ашиглах жишээнүүд рүү шилжиж болно.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Эерэг, сөрөг, тэг дискриминант бүхий гурван квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүдийг авч үзье. Тэдгээрийн шийдлийг авч үзсэний дараа ижил төстэй байдлаар бусад квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно. Эхэлцгээе.

Жишээ.

x 2 +2·x−6=0 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл.

Энэ тохиолдолд бид квадрат тэгшитгэлийн дараах коэффициентүүдтэй байна: a=1, b=2 ба c=−6. Алгоритмын дагуу та эхлээд ялгаварлагчийг тооцоолох хэрэгтэй, бид ялгах томъёонд заасан a, b ба c-ийг орлуулна; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0, өөрөөр хэлбэл дискриминант нь тэгээс их байх тул квадрат тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай болно. Үндэс томъёог ашиглан тэдгээрийг олцгооё, бид олж авлаа, эндээс та үр дүнгийн илэрхийллийг хялбарчилж болно үржүүлэгчийг үндсэн тэмдгээс цааш хөдөлгөхдараа нь фракцыг багасгах:

Хариулт:

Дараагийн ердийн жишээ рүү шилжье.

Жишээ.

−4 x 2 +28 x−49=0 квадрат тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Бид ялгагчийг хайж эхэлдэг: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Иймд энэ квадрат тэгшитгэл нь нэг язгууртай бөгөөд бид үүнийг , өөрөөр хэлбэл

Хариулт:

x=3.5.

Сөрөг дискриминант бүхий квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар авч үзэх хэвээр байна.

Жишээ.

5·y 2 +6·y+2=0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд: a=5, b=6, c=2. Бид эдгээр утгыг ялгах томъёонд орлуулж байна D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискриминант нь сөрөг тул энэ квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй.

Хэрэв та нийлмэл язгуурыг зааж өгөх шаардлагатай бол квадрат тэгшитгэлийн язгуурын сайн мэддэг томъёог хэрэглэж, гүйцэтгэнэ. нийлмэл тоо бүхий үйлдлүүд:

Хариулт:

жинхэнэ үндэс байхгүй, нийлмэл үндэс нь: .

Хэрэв квадрат тэгшитгэлийн дискриминант сөрөг байвал сургуульд тэд ихэвчлэн бодит үндэс байхгүй, нарийн төвөгтэй язгуур олдохгүй гэсэн хариултыг шууд бичдэг гэдгийг дахин тэмдэглэе.

Тэгш хоёр дахь коэффициентийн үндэс томъёо

D=b 2 −4·a·c нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёо нь илүү авсаархан хэлбэрийн томьёог олж авах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь x-ийн тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг (эсвэл зүгээр л a-аар) шийдвэрлэх боломжийг олгодог. 2·n хэлбэртэй коэффициент, жишээ нь 14· ln5=2·7·ln5). Түүнийг гаргацгаая.

a x 2 +2 n x+c=0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье. Бидний мэддэг томьёо ашиглан түүний үндсийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид ялгаварлагчийг тооцоолно D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), дараа нь бид үндсэн томъёог ашиглана:

n 2 −a c илэрхийллийг D 1 (заримдаа D " гэж тэмдэглэдэг) гэж тэмдэглэе. Дараа нь авч үзэж буй квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын томъёо 2 n хоёр дахь коэффициенттэй болно. , энд D 1 =n 2 −a·c.

D=4·D 1, эсвэл D 1 =D/4 гэдгийг харахад амархан. Өөрөөр хэлбэл D 1 нь дискриминантийн дөрөв дэх хэсэг юм. D 1-ийн тэмдэг нь D-ийн тэмдэгтэй ижил байх нь тодорхой байна. Өөрөөр хэлбэл, D 1 тэмдэг нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсвэл байхгүй байгааг илтгэдэг үзүүлэлт юм.

Тэгэхээр хоёр дахь коэффициент 2·n квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй

Тооцоолох D 1 =n 2 −a·c ;
Хэрэв D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Хэрэв D 1 =0 бол томъёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг тооцоол;
Хэрэв D 1 >0 бол томьёог ашиглан хоёр жинхэнэ язгуурыг ол.

Энэ догол мөрөнд олж авсан язгуур томъёог ашиглан жишээг шийдвэрлэх талаар авч үзье.

Жишээ.

5 x 2 −6 x −32=0 квадрат тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийг 2·(−3) гэж илэрхийлж болно. Өөрөөр хэлбэл, та анхны квадрат тэгшитгэлийг 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, энд a=5, n=−3 ба c=−32 хэлбэрээр дахин бичиж, дөрөв дэх хэсгийг тооцоолж болно. ялгаварлагч: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Түүний утга эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай. Тохирох язгуур томъёог ашиглан тэдгээрийг олъё:

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын хувьд ердийн томъёог ашиглах боломжтой байсан ч энэ тохиолдолд илүү их тооцооллын ажил хийх шаардлагатай болно гэдгийг анхаарна уу.

Хариулт:

Квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах

Заримдаа квадрат тэгшитгэлийн үндсийг томъёогоор тооцоолж эхлэхээсээ өмнө "Энэ тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах боломжтой юу?" Гэсэн асуултыг асуухад гэмгүй. Тооцооллын хувьд 1100 x 2 −400 x−600=0-ээс илүү 11 x 2 −4 x−6=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар байх болно гэдгийг хүлээн зөвшөөр.

Дүрмээр бол квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах нь хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах замаар хийгддэг. Жишээлбэл, өмнөх догол мөрөнд хоёр талыг 100-д хуваах замаар 1100 x 2 −400 x −600=0 тэгшитгэлийг хялбарчлах боломжтой байсан.

Үүнтэй төстэй хувиргалтыг коэффициентүүд нь биш квадрат тэгшитгэлээр гүйцэтгэдэг. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн хоёр талыг ихэвчлэн түүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгуудад хуваадаг. Жишээ нь 12 x 2 −42 x+48=0 квадрат тэгшитгэлийг авч үзье. түүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгууд: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Анхны квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг 6-д хуваахад бид 2 x 2 −7 x+8=0 квадрат тэгшитгэлд хүрнэ.

Квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх нь бутархай коэффициентээс ангижрахын тулд ихэвчлэн хийгддэг. Энэ тохиолдолд үржүүлгийг түүний коэффициентүүдийн хуваагчаар гүйцэтгэдэг. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг LCM(6, 3, 1)=6-аар үржүүлбэл илүү хялбар х 2 +4·x−18=0 хэлбэрийг авна.

Энэ зүйлийн төгсгөлд бид квадрат тэгшитгэлийн хамгийн өндөр коэффициент дэх хасах утгыг бүх гишүүний тэмдгийг өөрчилснөөр бараг үргэлж салдаг болохыг тэмдэглэж байгаа бөгөөд энэ нь хоёр талыг −1-ээр үржүүлэх (эсвэл хуваах) юм. Жишээлбэл, ихэвчлэн −2 x 2 −3 x+7=0 квадрат тэгшитгэлээс 2 x 2 +3 x−7=0 шийдэл рүү шилждэг.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хамаарал

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо нь тэгшитгэлийн язгуурыг коэффициентээр нь илэрхийлдэг. Үндэс томъёонд үндэслэн та үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын бусад хамаарлыг олж авах боломжтой.

Вьетагийн теоремоос хамгийн алдартай бөгөөд хэрэглэх боломжтой томьёо нь ба хэлбэртэй байна. Тодруулбал, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй, язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрээр бид язгууруудын нийлбэр нь 7/3, язгуурын үржвэр нь 22/3-тай тэнцүү гэж шууд хэлж болно.

Аль хэдийн бичигдсэн томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондох бусад хэд хэдэн холболтыг олж авах боломжтой. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэрийг коэффициентээр нь илэрхийлж болно: .

Лавлагаа.

Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А.Г.Алгебр. 8-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.