Дериватив томъёоны баталгааг өгсөн болно нарийн төвөгтэй функц. Нарийн төвөгтэй функц нь нэг эсвэл хоёр хувьсагчаас хамаарах тохиолдлуудыг нарийвчлан авч үздэг. Хэрэгт ерөнхий дүгнэлт хийсэн ямар ч тоохувьсагч.

Энд бид нийлмэл функцийн деривативын дараах томъёонуудын гарал үүслийг өгдөг.
Хэрэв бол
.
Хэрэв бол
.
Хэрэв бол
.

Нэг хувьсагчаас нийлмэл функцийн дериватив

x хувьсагчийн функцийг нийлмэл функцээр дараах хэлбэрээр илэрхийлье.
,
зарим функц байгаа газар. Энэ функц нь x хувьсагчийн зарим утгын хувьд дифференциал болно.
Функц нь хувьсагчийн утгаар дифференциалагдана.
(1) .

Дараа нь нийлмэл (нийлмэл) функц нь x цэг дээр ялгагдах бөгөөд түүний уламжлалыг томъёогоор тодорхойлно.
;
.

Формула (1)-ийг мөн дараах байдлаар бичиж болно.

Баталгаа
;
.
Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.

Энд хувьсагчдын функц ба , хувьсагчийн функц ба .
;
.

Гэхдээ бид тооцоололд саад учруулахгүйн тулд эдгээр функцүүдийн аргументуудыг орхих болно.
.
Функцууд нь x ба цэгүүдэд тус тус ялгагддаг тул эдгээр цэгүүдэд эдгээр функцүүдийн деривативууд байдаг бөгөөд эдгээр нь дараах хязгаарууд юм.
.
Дараах функцийг авч үзье.
.

u хувьсагчийн тогтмол утгын хувьд функц нь .
.
Дараах функцийг авч үзье.
.

Энэ нь ойлгомжтой

.

Дараа нь

Функц нь цэг дээр дифференциалагдах функц тул тухайн цэг дээр тасралтгүй байна. Тийм ч учраас

Одоо бид деривативыг олно.
,
Томъёо нь батлагдсан.
.
Үр дагавар

Хэрэв x хувьсагчийн функцийг нийлмэл функцийн нийлмэл функцээр илэрхийлж болно
дараа нь түүний деривативыг томъёогоор тодорхойлно
.
Энд , мөн зарим ялгах функцууд байдаг.
.
Энэ томьёог батлахын тулд нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг ашиглан деривативыг дараалан тооцдог.
.
Энд , мөн зарим ялгах функцууд байдаг.
.

Нарийн төвөгтэй функцийг авч үзье

Түүний дериватив Анхны функцийг авч үзье.

Хоёр хувьсагчаас авсан нийлмэл функцийн дериватив
,
Одоо нийлмэл функц хэд хэдэн хувьсагчаас хамааралтай байцгаая. Эхлээд харцгаая
хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцийн тохиолдол
- цэг дээр дифференциалагдах хоёр хувьсагчийн функц , .
(2) .

Формула (1)-ийг мөн дараах байдлаар бичиж болно.

Дараа нь нийлмэл функц нь тухайн цэгийн тодорхой хэсэгт тодорхойлогддог ба деривативтай бөгөөд үүнийг томъёогоор тодорхойлно.
;
.
Бид нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг ашигладаг.
;
.
Функцууд нь цэг дээр ялгагдах боломжтой байдаг тул тэдгээр нь энэ цэгийн тодорхой хөршид тодорхойлогддог, цэг дээр тасралтгүй байх ба тэдгээрийн деривативууд нь цэг дээр байдаг бөгөөд эдгээр нь дараах хязгаарууд юм.
;
.

Нэг цэгт эдгээр функцүүдийн тасралтгүй байдлын улмаас бид дараах байдалтай байна:
(3) .
Бид нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг ашигладаг.

Функц нь тухайн цэг дээр дифференциал болох тул энэ цэгийн тодорхой орчимд тодорхойлогддог, энэ цэг дээр тасралтгүй байх ба түүний өсөлтийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.
;

- функцийн аргументууд нь утгууд болон -ээр нэмэгдэх үед түүний өсөлт;
- хувьсагчдад хамаарах функцийн хэсэгчилсэн дериватив ба .
;
.
Тогтмол утгуудын хувьд, ба нь хувьсагчийн функцууд болон.
;
.

Тэд тэглэх хандлагатай байдаг ба:

. :
.
Түүнээс хойш, дараа нь



.

Дараа нь

Функцийн өсөлт:

Орлуулах (3):

Хэд хэдэн хувьсагчаас авсан цогц функцийн дериватив Дээрх дүгнэлтийг нийлмэл функцийн хувьсагчийн тоо хоёроос дээш байх тохиолдолд хялбархан ерөнхийлж болно.Жишээлбэл, хэрэв f бол
,
Одоо нийлмэл функц хэд хэдэн хувьсагчаас хамааралтай байцгаая. Эхлээд харцгаая
гурван хувьсагчийн функц
, Тэр
, мөн x хувьсагчийн зарим утгын хувьд ялгах функцүүд байдаг;
(4)
.
- , , цэг дээрх гурван хувьсагчийн дифференциал функц.
; ; ,
Дараа нь функцийн дифференциал байдлын тодорхойлолтоос бид дараахь зүйлийг олж авна.
;
;
.

Учир нь тасралтгүй байдлын улмаас
.

Тэр (4)-г хувааж, хязгаарт хүрэхэд бид дараахь зүйлийг олж авна. Тэгээд эцэст нь авч үзье .
ихэнх нь
,
Одоо нийлмэл функц хэд хэдэн хувьсагчаас хамааралтай байцгаая. Эхлээд харцгаая
ерөнхий тохиолдол
x хувьсагчийн функцийг n хувьсагчийн нийлмэл функцээр дараах хэлбэрээр илэрхийлье.
, , ... , .
Дараах функцийг авч үзье.
.

х хувьсагчийн зарим утгын хувьд ялгах функцууд байдаг;

- цэг дээрх n хувьсагчийн дифференциалагдах функц

Энэ нийтлэлд бид нийлмэл функц гэх мэт математикийн чухал ойлголтуудын талаар ярилцаж, нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг хэрхэн олох талаар сурах болно.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олж сурахаасаа өмнө нийлмэл функцийн тухай ойлголт, энэ нь юу болох, "юугаар иддэг", "хэрхэн зөв хоол хийх" зэргийг ойлгоцгооё.

Дурын функцийг авч үзье, жишээлбэл, энэ нь:

Функцийн тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талд байгаа аргумент нь ижил тоо буюу илэрхийлэл гэдгийг анхаарна уу.

Хувьсагчийн оронд бид жишээ нь дараах илэрхийллийг тавьж болно: . Тэгээд бид функцийг авна

Функцийг олонлог дээр тодорхойлж, энэ функцийн утгуудын багц болго. Олонлог (эсвэл түүний дэд олонлог) нь функцийн тодорхойлолтын домэйн байг. Бүгдэд нь дугаар өгье. Тиймээс функц нь олонлог дээр тодорхойлогдох болно. Үүнийг функциональ бүрэлдэхүүн эсвэл цогц функц гэж нэрлэдэг.

Энэ тодорхойлолтод хэрэв бид нэр томъёогоо ашиглавал гадаад функц нь завсрын аргумент болно.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг дараах дүрмийн дагуу олно.

Илүү тодорхой болгохын тулд би энэ дүрмийг дараах байдлаар бичихийг хүсч байна.

Энэ илэрхийлэлд ашиглах нь завсрын функцийг илэрхийлнэ.

Тэгэхээр. Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олохын тулд танд хэрэгтэй

1. Аль функц гадаад болохыг тодорхойлж, деривативын хүснэгтээс харгалзах деривативыг ол.

2. Завсрын аргументыг тодорхойл.

Энэ процедурын хувьд хамгийн хэцүү зүйл бол гадаад функцийг олох явдал юм. Үүний тулд энгийн алгоритмыг ашигладаг:

А. Функцийн тэгшитгэлийг бичнэ үү.

б. Та x-ийн зарим утгын хувьд функцийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүнийг хийхийн тулд та энэ x утгыг функцийн тэгшитгэлд орлуулж, арифметикийг гүйцэтгэнэ. Таны хийх сүүлчийн үйлдэл бол гадаад функц юм.

Жишээлбэл, функцэд

Сүүлийн үйлдэл бол экспоненциал юм.

Энэ функцийн деривативыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид завсрын аргумент бичдэг

Урьдчилан их бууны бэлтгэл хийсний дараа 3-4-5 үүрний функц бүхий жишээнүүд нь аймшигтай биш байх болно. Дараах хоёр жишээ зарим хүнд төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй, гэхдээ хэрэв та тэдгээрийг ойлговол (хэн нэгэн нь зовох болно) бараг бүх зүйл дифференциал тооцооЭнэ нь хүүхдийн тоглоом шиг санагдах болно.

Жишээ 2

Функцийн деривативыг ол

Өмнө дурьдсанчлан, нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олохын тулд юуны түрүүнд шаардлагатай болно ЗөвХөрөнгө оруулалтаа ОЙЛГООРОЙ. Эргэлзээтэй байгаа тохиолдолд би танд хэрэгтэй аргыг сануулж байна: бид жишээ нь "x"-ийн туршилтын утгыг авч, (сэтгэцийн эсвэл ноорог хэлбэрээр) орлуулахыг оролддог. өгөгдсөн үнэ цэнэ"аймшигтай илэрхийлэл" болж хувирав.

1) Эхлээд бид илэрхийллийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь нийлбэр нь хамгийн гүн шигтгээ гэсэн үг юм.

2) Дараа нь та логарифмыг тооцоолох хэрэгтэй:

4) Дараа нь косинусыг куб болгоно:

5) Тав дахь шатанд ялгаа:

6) Эцэст нь, хамгийн гадна талын функц нь квадрат язгуур юм:

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах томъёо хамгийн гадна талын функцээс хамгийн дотоод хүртэл урвуу дарааллаар хэрэгжинэ. Бид шийднэ:

Алдаа байхгүй бололтой:

1) Квадрат язгуурын деривативыг ав.

2) Дүрмийг ашиглан зөрүүний деривативыг авна

3) Гурав дахины дериватив нь тэг байна. Хоёр дахь гишүүнд бид градусын деривативыг (шоо) авна.

4) Косинусын деривативыг ав.

6) Эцэст нь бид хамгийн гүн шингээлтийн деривативыг авдаг.

Энэ нь хэтэрхий хэцүү мэт санагдаж болох ч энэ нь хамгийн харгис жишээ биш юм. Жишээлбэл, Кузнецовын цуглуулгыг авбал дүн шинжилгээ хийсэн деривативын бүх гоо үзэсгэлэн, энгийн байдлыг үнэлэх болно. Оюутан нийлмэл функцийн деривативыг хэрхэн олохыг ойлгож байна уу, эсвэл ойлгохгүй байна уу гэдгийг шалгахын тулд шалгалтанд ижил төстэй зүйл өгөх дуртай болохыг би анзаарсан.

Дараах жишээ нь та өөрөө шийдэх болно.

Жишээ 3

Функцийн деривативыг ол

Зөвлөгөө: Эхлээд бид шугаман байдлын дүрэм болон бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлнэ

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Илүү жижиг, илүү сайхан зүйл рүү шилжих цаг болжээ.
Хоёр биш, гурван функцийн үржвэрийг жишээгээр харуулах нь ердийн зүйл биш юм. -ийн деривативыг хэрхэн олох вэ гурвын бүтээгдэхүүнүржүүлэгч?

Жишээ 4

Функцийн деривативыг ол

Эхлээд бид гурван функцийн үржвэрийг хоёр функцийн үржвэр болгон хувиргах боломжтой юу? Жишээлбэл, хэрэв бид үржвэрт хоёр олон гишүүнтэй байсан бол хаалтыг нээж болно. Гэхдээ авч үзэж буй жишээн дээр бүх функцууд өөр өөр байдаг: градус, экспонент, логарифм.

Ийм тохиолдолд зайлшгүй шаардлагатай дараалсанбүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ хоёр удаа

Энэ заль мэх нь "y" -ээр бид хоёр функцийн үржвэрийг тэмдэглэдэг: "ve" -ээр бид логарифмыг тэмдэглэдэг. Яагаад үүнийг хийж болох вэ? Үнэхээр тийм үү - энэ нь хоёр хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн биш бөгөөд дүрэм ажиллахгүй байна уу?! Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй:

Одоо энэ дүрмийг хоёр дахь удаагаа хэрэглэх л үлдлээ хаалтанд:

Та мөн мушгиж, хаалтанд ямар нэгэн зүйл хийж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд хариултыг яг энэ хэлбэрээр үлдээх нь дээр - шалгахад хялбар байх болно.

Үзсэн жишээг хоёр дахь аргаар шийдэж болно.

Хоёр шийдэл нь туйлын тэнцүү юм.

Жишээ 5

Функцийн деривативыг ол

Энэ нь бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд үүнийг эхний аргыг ашиглан шийддэг.

Бутархайтай ижил төстэй жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 6

Функцийн деривативыг ол

Энд та хэд хэдэн арга замаар явж болно:

Эсвэл иймэрхүү:

Гэхдээ эхлээд хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглавал шийдэл илүү нягт бичигдэх болно , бүхэл тоологчийг авч үзвэл:

Зарчмын хувьд жишээ нь шийдэгдсэн, хэрэв байгаагаар нь үлдээвэл алдаа гарахгүй. Гэхдээ хэрэв танд цаг байгаа бол хариултыг хялбарчлах боломжтой эсэхийг шалгахын тулд төслийг үргэлж шалгаж үзэхийг зөвлөж байна уу?

Тоолуурын илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч болгон багасгаж, бутархайн гурван давхар бүтцээс салцгаая.:

Нэмэлт хялбаршуулсан сул тал нь деривативыг олохдоо бус харин сургуулийн өмнөх өөрчлөлтийн үед алдаа гаргах эрсдэлтэй байдаг. Нөгөөтэйгүүр, багш нар даалгавраас татгалзаж, деривативыг "санах" гэж хүсдэг.

Өөрөө шийдэх энгийн жишээ:

Жишээ 7

Функцийн деривативыг ол

Бид дериватив олох аргуудыг үргэлжлүүлэн эзэмшсээр байгаа бөгөөд одоо "аймшигтай" логарифмыг ялгахын тулд санал болгож буй ердийн тохиолдлыг авч үзэх болно.

Нарийн төвөгтэй деривативууд. Логарифмын дериватив.
Эрчим хүчний дериватив экспоненциал функц

Бид ялгах техникээ үргэлжлүүлэн сайжруулсаар байна. Энэ хичээлээр бид авч үзсэн материалаа нэгтгэж, илүү төвөгтэй деривативуудыг авч үзэхээс гадна дериватив, ялангуяа логарифмын дериватив олох шинэ арга техник, заль мэхтэй танилцах болно.

Бэлтгэл багатай уншигчид энэ нийтлэлд хандаарай Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ, энэ нь танд ур чадвараа бараг эхнээс нь дээшлүүлэх боломжийг олгоно. Дараа нь та хуудсыг сайтар судлах хэрэгтэй Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив, ойлгож, шийдвэрлэх Бүгдминий өгсөн жишээнүүд. Энэ хичээл нь логикийн хувьд гурав дахь дараалсан хичээл бөгөөд үүнийг эзэмшсэний дараа та нэлээд төвөгтэй функцуудыг итгэлтэйгээр ялгах болно. “Өөр хаана байна? Тийм ээ, хангалттай! туршилтуудпрактикт байнга тулгардаг.

Дахин давтахаас эхэлцгээе. Ангидаа Нарийн төвөгтэй функцийн деривативБид нарийвчилсан тайлбар бүхий хэд хэдэн жишээг авч үзсэн. Дифференциал тооцоолол болон математикийн шинжилгээний бусад салбарыг судлах явцад та маш олон удаа ялгах шаардлагатай бөгөөд жишээг нарийвчлан тайлбарлах нь үргэлж тохиромжтой биш (мөн үргэлж шаардлагатай биш). Тиймээс бид үүсмэл хэлбэрийг амаар олох дасгал хийх болно. Үүнд хамгийн тохиромжтой "нэр дэвшигчид" нь хамгийн энгийн нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативууд юм, жишээлбэл:

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу :

Ирээдүйд бусад матан сэдвүүдийг судлахдаа ийм нарийвчилсан бүртгэл ихэвчлэн шаардлагагүй байдаг тул оюутан ийм деривативыг автомат жолоодлого дээр хэрхэн олохыг мэддэг гэж үздэг. Шөнийн 3 цагт нэг байсан гэж төсөөлөөд үз дээ утасны дуудлага, мөн аятайхан хоолой асуув: "Хоёр X-ийн шүргэгчийн дериватив нь юу вэ?" Үүний дараа бараг шуурхай бөгөөд эелдэг хариу өгөх ёстой: .

Эхний жишээ нь нэн даруй бие даасан шийдэлд зориулагдсан болно.

Жишээ 1

Дараах деривативуудыг нэг үйлдлээр амаар олоорой, жишээлбэл: . Даалгавраа дуусгахын тулд та зөвхөн ашиглах хэрэгтэй энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт(хэрэв та үүнийг хараахан санахгүй байгаа бол). Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал би хичээлээ дахин уншихыг зөвлөж байна Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Хичээлийн төгсгөлд хариултууд

Нарийн төвөгтэй деривативууд

Урьдчилан их бууны бэлтгэл хийсний дараа 3-4-5 үүрний функц бүхий жишээнүүд нь аймшигтай биш байх болно. Дараах хоёр жишээ зарим хүмүүст төвөгтэй мэт санагдаж болох ч хэрэв та тэдгээрийг ойлговол (хэн нэгэн нь зовох болно) дифференциал тооцооллын бараг бүх зүйл хүүхдийн тоглоом шиг санагдах болно.

Жишээ 2

Функцийн деривативыг ол

Өмнө дурьдсанчлан, нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олохын тулд юуны түрүүнд шаардлагатай болно ЗөвХөрөнгө оруулалтаа ОЙЛГООРОЙ. Эргэлзээтэй байгаа тохиолдолд би танд хэрэгтэй аргыг сануулж байна: жишээ нь бид "x"-ийн туршилтын утгыг авч, (сэтгэцийн хувьд эсвэл ноорог хэлбэрээр) энэ утгыг "аймшигтай илэрхийлэл" болгон орлуулахыг оролддог.

1) Эхлээд бид илэрхийллийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь нийлбэр нь хамгийн гүн шигтгээ гэсэн үг юм.

2) Дараа нь та логарифмыг тооцоолох хэрэгтэй:

4) Дараа нь косинусыг куб болгоно:

5) Тав дахь шатанд ялгаа:

6) Эцэст нь, хамгийн гадна талын функц нь квадрат язгуур юм:

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах томъёо хамгийн гадна талын функцээс хамгийн дотоод хүртэл урвуу дарааллаар хэрэгжинэ. Бид шийднэ:

Ямар ч алдаа байхгүй юм шиг байна ...

(1) Квадрат язгуурын деривативыг ав.

(2) Бид дүрмийг ашиглан ялгааны деривативыг авдаг

(3) Гурав дахины дериватив нь тэг байна. Хоёр дахь гишүүнд бид градусын деривативыг (шоо) авна.

(4) Косинусын деривативыг ав.

(5) Логарифмын деривативыг ав.

(6) Эцэст нь бид хамгийн гүн шингээлтийн деривативыг авдаг.

Энэ нь хэтэрхий хэцүү мэт санагдаж болох ч энэ нь хамгийн харгис жишээ биш юм. Жишээлбэл, Кузнецовын цуглуулгыг авбал дүн шинжилгээ хийсэн деривативын бүх гоо үзэсгэлэн, энгийн байдлыг үнэлэх болно. Оюутан нийлмэл функцийн деривативыг хэрхэн олохыг ойлгож байна уу, эсвэл ойлгохгүй байна уу гэдгийг шалгахын тулд шалгалтанд ижил төстэй зүйл өгөх дуртай болохыг би анзаарсан.

Дараах жишээ нь та өөрөө шийдэх болно.

Жишээ 3

Функцийн деривативыг ол

Зөвлөгөө: Эхлээд бид шугаман байдлын дүрэм болон бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлнэ

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Илүү жижиг, илүү сайхан зүйл рүү шилжих цаг болжээ.
Хоёр биш, гурван функцийн үржвэрийг жишээгээр харуулах нь ердийн зүйл биш юм. Гурван хүчин зүйлийн үржвэрийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 4

Функцийн деривативыг ол

Эхлээд бид гурван функцийн үржвэрийг хоёр функцийн үржвэр болгон хувиргах боломжтой юу? Жишээлбэл, хэрэв бид үржвэрт хоёр олон гишүүнтэй байсан бол хаалтыг нээж болно. Гэхдээ авч үзэж буй жишээн дээр бүх функцууд өөр өөр байдаг: градус, экспонент, логарифм.

Ийм тохиолдолд зайлшгүй шаардлагатай дараалсанбүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ хоёр удаа

Энэ заль мэх нь "y" -ээр бид хоёр функцийн үржвэрийг тэмдэглэдэг: "ve" -ээр бид логарифмыг тэмдэглэдэг. Яагаад үүнийг хийж болох вэ? Үнэхээр тийм үү – энэ нь хоёр хүчин зүйлийн үр дүн биш бөгөөд дүрэм ажиллахгүй байна уу? Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй:

Одоо энэ дүрмийг хоёр дахь удаагаа хэрэглэх л үлдлээ хаалтанд:

Та мөн мушгиж, хаалтанд ямар нэгэн зүйл хийж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд хариултыг яг энэ хэлбэрээр үлдээх нь дээр - шалгахад хялбар байх болно.

Үзсэн жишээг хоёр дахь аргаар шийдэж болно.

Хоёр шийдэл нь туйлын тэнцүү юм.

Жишээ 5

Функцийн деривативыг ол

Энэ нь бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд үүнийг эхний аргыг ашиглан шийддэг.

Бутархайтай ижил төстэй жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 6

Функцийн деривативыг ол

Энд та хэд хэдэн арга замаар явж болно:

Эсвэл иймэрхүү:

Гэхдээ эхлээд хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглавал шийдэл илүү нягт бичигдэх болно , бүхэл тоологчийг авч үзвэл:

Зарчмын хувьд жишээ нь шийдэгдсэн, хэрэв байгаагаар нь үлдээвэл алдаа гарахгүй. Гэхдээ хэрэв танд цаг байгаа бол хариултыг хялбарчлах боломжтой эсэхийг шалгахын тулд төслийг үргэлж шалгаж үзэхийг зөвлөж байна уу? Тоолуурын илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулъя Гурван давхар фракцаас салцгаая:

Нэмэлт хялбаршуулсан сул тал нь деривативыг олохдоо бус харин сургуулийн өмнөх өөрчлөлтийн үед алдаа гаргах эрсдэлтэй байдаг. Нөгөөтэйгүүр, багш нар даалгавраас татгалзаж, деривативыг "санах" гэж хүсдэг.

Өөрөө шийдэх энгийн жишээ:

Жишээ 7

Функцийн деривативыг ол

Бид дериватив олох аргуудыг үргэлжлүүлэн эзэмшсээр байгаа бөгөөд одоо "аймшигтай" логарифмыг ялгахын тулд санал болгож буй ердийн тохиолдлыг авч үзэх болно.

Жишээ 8

Функцийн деривативыг ол

Энд та нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглан урт замыг туулж чадна:

Гэхдээ хамгийн эхний алхам нь таныг шууд цөхрөлд автуулдаг - та бутархай, дараа нь бутархайгаас тааламжгүй деривативыг авах хэрэгтэй.

Тийм ч учраас өмнө"нарийн төвөгтэй" логарифмын деривативыг хэрхэн яаж авах вэ, үүнийг эхлээд сургуулийн алдартай шинж чанаруудыг ашиглан хялбаршуулсан болно.

! Хэрэв танд дасгалын дэвтэр байгаа бол эдгээр томъёог шууд хуулж ав. Хэрэв танд дэвтэр байхгүй бол тэдгээрийг цаасан дээр хуулж ав, учир нь хичээлийн үлдсэн жишээнүүд эдгээр томьёог тойрон эргэлдэх болно.

Шийдлийг өөрөө дараах байдлаар бичиж болно.

Функцийг өөрчилье:

Деривативыг олох нь:

Функцийг урьдчилан хөрвүүлэх нь шийдлийг маш хялбаршуулсан. Тиймээс ижил төстэй логарифмыг ялгахын тулд санал болгож байгаа бол үүнийг "задлах" нь үргэлж тохиромжтой байдаг.

Одоо та өөрөө шийдэх хэд хэдэн энгийн жишээ байна:

Жишээ 9

Функцийн деривативыг ол

Жишээ 10

Функцийн деривативыг ол

Бүх өөрчлөлтүүд болон хариултууд хичээлийн төгсгөлд байна.

Логарифмын дериватив

Хэрэв логарифмын дериватив нь ийм сайхан хөгжим юм бол асуулт гарч ирнэ: зарим тохиолдолд логарифмыг зохиомлоор зохион байгуулах боломжтой юу? Чадах! Тэгээд бүр шаардлагатай.

Жишээ 11

Функцийн деривативыг ол

Саяхан бид ижил төстэй жишээнүүдийг харлаа. Юу хийх вэ? Та хуваалтыг ялгах дүрмийг дараалан хэрэглэж болно, дараа нь бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэж болно. Энэ аргын сул тал нь та гурван давхар том хэсэгтэй болж, үүнийг огтхон ч шийдвэрлэхийг хүсэхгүй байгаа явдал юм.

Гэхдээ онол, практикт логарифмын дериватив гэх гайхалтай зүйл байдаг. Логарифмуудыг хоёр талд нь "өлгөх" замаар зохиомлоор зохион байгуулж болно.

Одоо та баруун талын логарифмыг аль болох "задлах" хэрэгтэй (нүдний өмнөх томъёонууд?). Би энэ үйл явцыг нарийвчлан тайлбарлах болно:

Ялгахаас эхэлцгээе.
Бид хоёр хэсгийг үндсэн хэсэгт дүгнэж байна:

Баруун талын дериватив нь маш энгийн бөгөөд би энэ талаар тайлбар хийхгүй, учир нь та энэ текстийг уншиж байгаа бол үүнийг өөртөө итгэлтэйгээр даван туулах хэрэгтэй.

Зүүн тал нь яах вэ?

Зүүн талд нь бид байна нарийн төвөгтэй функц. "Яагаад логарифмын доор нэг "Y" үсэг байгаа юм бэ?" Гэсэн асуултыг би таамаглаж байна.

Үнэн хэрэгтээ энэ "нэг үсэгтэй тоглоом" - ӨӨРӨӨ ФУНКЦ ҮҮ(хэрэв энэ нь тийм ч тодорхой биш бол далд хэлбэрээр заасан функцийн дериватив өгүүллийг үзнэ үү). Тиймээс логарифм нь гадаад функц, "y" нь дотоод функц юм. Мөн бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг :

Зүүн талд нь ид шидтэй мэт бид деривативтай. Дараа нь пропорциональ дүрмийн дагуу бид "y" -ийг зүүн талын хуваагчаас баруун талын дээд талд шилжүүлнэ.

Одоо бид ялгах явцад ямар төрлийн "тоглогч" функцийн талаар ярилцсанаа санацгаая? Нөхцөл байдлыг харцгаая:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 12

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энэ төрлийн жишээний загвар дизайныг хичээлийн төгсгөлд оруулсан болно.

Логарифмын деривативыг ашигласнаар 4-7-р жишээнүүдийн аль нэгийг шийдэх боломжтой байсан, өөр нэг зүйл бол тэнд байгаа функцууд илүү энгийн, магадгүй логарифмын деривативыг ашиглах нь тийм ч үндэслэлгүй юм.

Хүч-экспоненциал функцийн дериватив

Бид энэ функцийг хараахан авч үзээгүй байна. Чадлын экспоненциал функц нь түүнд зориулагдсан функц юм зэрэг ба суурь нь "x" -ээс хамаарна.. Аливаа сурах бичиг, лекц дээр танд өгөх сонгодог жишээ:

Хүч-экпоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

Энэ нь саяхан хэлэлцсэн техникийг ашиглах шаардлагатай - логарифмын дериватив. Бид хоёр талдаа логарифмуудыг өлгөдөг.

Дүрмээр бол баруун талд градусыг логарифмын доороос авна.

Үүний үр дүнд баруун талд бид хоёр функцийн үржвэртэй байгаа бөгөөд үүнийг стандарт томъёоны дагуу ялгах болно. .

Бид үүнийг хийх деривативыг олж, бид хоёр хэсгийг цус харвах дор хавсаргана.

Цаашдын үйлдлүүд нь энгийн:

Эцэст нь:

Хэрэв ямар нэгэн хөрвүүлэлт бүрэн тодорхойгүй байвал Жишээ №11-ийн тайлбарыг анхааралтай уншина уу.

IN практик даалгаварХүчин чадлын экспоненциал функц нь лекц дээр хэлэлцсэн жишээнээс илүү төвөгтэй байх болно.

Жишээ 13

Функцийн деривативыг ол

Бид логарифмын деривативыг ашигладаг.

Баруун талд нь тогтмол ба хоёр хүчин зүйлийн үржвэр байдаг - "x" ба "логарифм x" (өөр логарифм логарифмын доор байрладаг). Ялгахдаа, бидний санаж байгаагаар тогтмолыг үүсмэл тэмдгээс нэн даруй шилжүүлэх нь дээр бөгөөд ингэснээр саад болохгүй; Мэдээжийн хэрэг, бид мэддэг дүрмийг хэрэгжүүлдэг :

Таны харж байгаагаар логарифмын деривативыг ашиглах алгоритм нь ямар нэгэн тусгай заль мэх, заль мэхийг агуулаагүй бөгөөд хүчирхэг экспоненциал функцийн деривативыг олох нь ихэвчлэн "тарчлах" -тай холбоогүй юм.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив. Шийдлийн жишээ

Энэ хичээлээр бид хэрхэн олох талаар сурах болно нийлмэл функцийн дериватив. Хичээл бол хичээлийн логик үргэлжлэл юм Деривативыг хэрхэн олох вэ?, үүн дээр бид хамгийн энгийн деривативуудыг судалж, мөн ялгах дүрэм, дериватив олох зарим техникийн техниктэй танилцсан. Тиймээс, хэрэв та функцийн деривативын талаар тийм ч сайн биш эсвэл энэ нийтлэлийн зарим зүйл бүрэн ойлгомжгүй байвал эхлээд дээрх хичээлийг уншина уу. Ноцтой сэтгэл хөдлөлөө аваарай - материал нь тийм ч энгийн биш, гэхдээ би үүнийг энгийн бөгөөд ойлгомжтой байдлаар танилцуулахыг хичээх болно.

Практик дээр та нарийн төвөгтэй функцийн деривативтай маш олон удаа харьцах хэрэгтэй болдог, тэр ч байтугай дериватив олох даалгавар өгөх үед бараг үргэлж гэж хэлэх болно.

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн (№ 5) хүснэгтийг бид харж байна.

Үүнийг олж мэдье. Юуны өмнө оруулгад анхаарлаа хандуулъя. Энд бид хоёр функцтэй - ба , функц нь дүрсээр хэлбэл функц дотор байрласан байна. Ийм төрлийн функцийг (нэг функц нөгөөд нь үүрлэсэн үед) нийлмэл функц гэж нэрлэдэг.

Би функцийг дуудах болно гадаад функц, болон функц – дотоод (эсвэл үүрлэсэн) функц.

! Эдгээр тодорхойлолтууд нь онолын хувьд биш бөгөөд даалгаврын эцсийн загварт тусгагдаагүй байх ёстой. Би зөвхөн материалыг ойлгоход хялбар болгох үүднээс "гадаад функц", "дотоод" функцийг албан бус хэллэгээр ашигладаг.

Нөхцөл байдлыг тодруулахын тулд дараахь зүйлийг анхаарч үзээрэй.

Жишээ 1

Функцийн деривативыг ол

Синусын доор бид зөвхөн "X" үсэг биш, харин бүхэл бүтэн илэрхийлэл байдаг тул үүсмэлийг хүснэгтээс шууд олох нь ажиллахгүй болно. Энд эхний дөрвөн дүрмийг хэрэгжүүлэх боломжгүй гэдгийг бид анзаарч байна, ялгаа байгаа мэт боловч синусыг "хэсэг болгон хувааж" болохгүй.

Энэ жишээнд функц нь нийлмэл функц, олон гишүүнт нь дотоод функц (суулгах), гадаад функц болох нь миний тайлбараас аль хэдийн ойлгомжтой болсон.

Эхний алхамнийлмэл функцийн деривативыг олоход юу хийх хэрэгтэй вэ? аль функц нь дотоод, аль нь гадаад болохыг ойлгох.

тохиолдолд энгийн жишээнүүдСинусын дор олон гишүүнт багтсан нь тодорхой юм шиг байна. Гэхдээ бүх зүйл тодорхойгүй байвал яах вэ? Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг хэрхэн зөв тодорхойлох вэ? Үүнийг хийхийн тулд оюун ухаанаар эсвэл ноорог хэлбэрээр хийж болох дараах техникийг ашиглахыг санал болгож байна.

Илэрхийллийн утгыг тооцоолохын тулд тооны машин ашиглах хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ (нэгний оронд ямар ч тоо байж болно).

Бид эхлээд юуг тооцох вэ? Юуны өмнөхийх шаардлагатай болно дараагийн үйлдэл: , тиймээс олон гишүүнт дотоод функц болно:

Хоёрдугаартолох шаардлагатай тул синус нь гадаад функц болно:

Бидний дараа ХУДАЛДААДотоод болон гадаад функцтэй бол нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг хэрэглэх цаг болжээ.

Шийдвэрлэж эхэлцгээе. Ангиасаа Деривативыг хэрхэн олох вэ?Аливаа деривативын шийдлийн загвар үргэлж ингэж эхэлдэг гэдгийг бид санаж байна - бид илэрхийлэлийг хаалтанд хийж, баруун дээд буланд зураас тавьдаг:

Эхэндээгадаад функцийн деривативыг (синус) олох, деривативын хүснэгтийг хар үндсэн функцуудмөн бид үүнийг анзаарч байна. Хэрэв "x"-г нийлмэл илэрхийллээр сольсон бол хүснэгтийн бүх томьёо мөн хамаарна, энэ тохиолдолд:

Дотоод функцийг анхаарна уу өөрчлөгдөөгүй, бид үүнд хүрдэггүй.

За энэ нь ойлгомжтой

Томьёог хэрэглэсний эцсийн үр дүн дараах байдалтай байна.

Тогтмол хүчин зүйлийг ихэвчлэн илэрхийллийн эхэнд байрлуулдаг.

Хэрэв үл ойлголцол байвал шийдлийг цаасан дээр бичиж, тайлбарыг дахин уншина уу.

Жишээ 2

Функцийн деривативыг ол

Жишээ 3

Функцийн деривативыг ол

Бид үргэлж бичдэг:

Бидэнд гаднах функц, дотоод функц хаана байгааг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид (сэтгэцийн хувьд эсвэл ноорог хэлбэрээр) илэрхийллийн утгыг тооцоолохыг оролддог. Та эхлээд юу хийх ёстой вэ? Юуны өмнө та суурь нь юутай тэнцүү болохыг тооцоолох хэрэгтэй: тиймээс олон гишүүнт нь дотоод функц юм.

Зөвхөн дараа нь экспонентацийг хийнэ, тиймээс, эрчим хүчний функцгадаад функц нь:

Томъёоны дагуу та эхлээд гадаад функцийн деривативыг, энэ тохиолдолд зэргийг олох хэрэгтэй. Хүснэгтээс шаардлагатай томьёог хайж байна: . Бид дахин давтана: Хүснэгтийн аливаа томьёо нь зөвхөн "X"-д төдийгүй нийлмэл илэрхийлэлд хүчинтэй байна. Тиймээс нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэсний үр дүн дараах байдалтай байна.

Бид гаднах функцийн деривативыг авах үед бидний дотоод функц өөрчлөгддөггүй гэдгийг би дахин онцолж байна.

Одоо зөвхөн дотоод функцийн маш энгийн деривативыг олж, үр дүнг бага зэрэг өөрчлөхөд л үлдлээ.

Жишээ 4

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын талаархи ойлголтоо нэгтгэхийн тулд би тайлбаргүйгээр жишээ өгөх болно, үүнийг өөрөө олж мэдэхийг хичээ, гадаад, дотоод функц хаана байгааг, яагаад даалгавруудыг ингэж шийддэг вэ?

Жишээ 5

a) Функцийн деривативыг ол

б) Функцийн деривативыг ол

Жишээ 6

Функцийн деривативыг ол

Энд бид язгууртай бөгөөд уг үндсийг ялгахын тулд түүнийг хүч гэж төлөөлөх ёстой. Тиймээс бид эхлээд функцийг ялгахад тохиромжтой хэлбэрт оруулна.

Функцийг задлан шинжилж үзэхэд бид гурван гишүүний нийлбэр нь дотоод функц, хүчирхэг болгох нь гадаад функц гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Бид нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг ашигладаг.

Бид дахин градусыг радикал (үндэс) болгон төлөөлдөг бөгөөд дотоод функцийн деривативын хувьд бид нийлбэрийг ялгах энгийн дүрмийг ашигладаг.

Бэлэн. Мөн та илэрхийллийг хаалтанд нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, бүгдийг нэг бутархай болгон бичиж болно. Энэ нь мэдээжийн хэрэг үзэсгэлэнтэй, гэхдээ урт урт деривативуудыг олж авбал үүнийг хийхгүй байх нь дээр (төөрөлдөх, шаардлагагүй алдаа гаргах, багш шалгахад эвгүй байх болно).

Жишээ 7

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).

Заримдаа та нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн оронд хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглаж болно гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. , гэхдээ ийм шийдэл нь инээдтэй гажуудал мэт харагдах болно. Энд ердийн жишээ байна:

Жишээ 8

Функцийн деривативыг ол

Энд та хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглаж болно , гэхдээ цогц функцийг ялгах дүрмээр дамжуулан деривативыг олох нь илүү ашигтай байдаг.

Бид функцийг ялгахад бэлтгэдэг - бид хасах тэмдгийг дериватив тэмдгээс гаргаж, косинусыг тоологч руу өсгөнө.

Косинус нь дотоод функц, экспоненциал нь гадаад функц юм.
Манай дүрмийг ашиглацгаая:

Бид дотоод функцийн деривативыг олж, косинусыг дахин тохируулна:

Бэлэн. Үзэж буй жишээн дээр шинж тэмдгүүдэд андуурахгүй байх нь чухал юм. Дашрамд хэлэхэд, дүрмийг ашиглан үүнийг шийдэхийг хичээ , хариултууд таарч байх ёстой.

Жишээ 9

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).

Одоогоор бид нарийн төвөгтэй функцэд зөвхөн нэг үүрлэсэн тохиолдлуудыг авч үзсэн. Практик даалгаврын хувьд та үүрлэх хүүхэлдэй гэх мэт 3 эсвэл бүр 4-5 функцийг нэг дор байрлуулдаг деривативуудыг олох боломжтой.

Жишээ 10

Функцийн деривативыг ол

Энэ функцийн хавсралтыг ойлгоцгооё. Туршилтын утгыг ашиглан илэрхийллийг тооцоолохыг оролдъё. Тооны машинд бид яаж тооцох вэ?

Эхлээд та олох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь нумын синус нь хамгийн гүн шигтгээ гэсэн үг юм:

Дараа нь нэгийн нумыг квадрат болгох хэрэгтэй:

Эцэст нь бид долоог хүчирхэг болгож өсгөв:

Өөрөөр хэлбэл, энэ жишээнд бид гурван өөр функц, хоёр суулгацтай бөгөөд хамгийн дотоод функц нь арксинус, хамгийн гадна талын функц нь экспоненциал функц юм.

Шийдвэрлэж эхэлцгээе

Дүрмийн дагуу та эхлээд гадаад функцийн деривативыг авах хэрэгтэй. Бид деривативын хүснэгтийг хараад экспоненциал функцийн деривативыг олно: Цорын ганц ялгаа нь "x"-ийн оронд нийлмэл илэрхийлэл байгаа нь энэ томъёоны хүчинтэй байдлыг үгүйсгэхгүй. Тиймээс нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэсний үр дүн дараах байдалтай байна.

Цус харвалтын дор бид дахин нарийн төвөгтэй функцтэй болсон! Гэхдээ энэ нь аль хэдийн илүү хялбар болсон. Дотоод функц нь арксинус, гаднах функц нь градус гэдгийг шалгахад хялбар байдаг. Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу та эхлээд чадлын деривативыг авах хэрэгтэй.