6. Муруйн хөдөлгөөн. Биеийн өнцгийн шилжилт, өнцгийн хурд ба хурдатгал. Зам ба хөдөлгөөн муруйн хөдөлгөөнбие.

Муруйн хөдөлгөөн– энэ бол траектори нь муруй шугам (жишээлбэл, тойрог, эллипс, гипербол, парабол) хэлбэртэй хөдөлгөөн юм. Муруй шугамын хөдөлгөөний жишээ бол гаригуудын хөдөлгөөн, цагийн зүүний төгсгөл гэх мэт. IN ерөнхий тохиолдол муруйн хурдхэмжээ, чиглэлийн өөрчлөлт.

Муруйн хөдөлгөөн материаллаг цэг модуль бол жигд хөдөлгөөн гэж үзнэ хурд тогтмол (жишээлбэл, тойрог дахь жигд хөдөлгөөн), модуль ба чиглэлтэй бол жигд хурдасдаг хурд өөрчлөлтүүд (жишээлбэл, хэвтээ өнцөгт шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн).

Цагаан будаа. 1.19. Муруйн хөдөлгөөний үед хөдөлгөөний траектор ба вектор.

Муруй зам дагуу хөдөлж байх үед шилжилтийн вектор хөвчний дагуу чиглэсэн (Зураг 1.19), ба л- урт замнал . Биеийн агшин зуурын хурд (өөрөөр хэлбэл замын хөдөлгөөний өгөгдсөн цэг дэх биеийн хурд) нь хөдөлгөөнт бие яг одоо байгаа траекторийн цэг дээр тангенциал байдлаар чиглэгддэг (Зураг 1.20).

Цагаан будаа. 1.20. Муруй хөдөлгөөний үед агшин зуурын хурд.

Муруйн хөдөлгөөн нь үргэлж түргэвчилсэн хөдөлгөөн юм. Тэр нь муруй хөдөлгөөний үед хурдатгалхурдны модуль өөрчлөгдөөгүй ч гэсэн үргэлж байдаг, гэхдээ зөвхөн хурдны чиглэл өөрчлөгддөг. Нэгж цаг тутамд хурдны өөрчлөлт тангенциал хурдатгал :

эсвэл

Хаана v τ ,v 0 - тухайн үеийн хурдны утгууд т 0 +ΔtТэгээд т 0 тус тус.

Тангенциал хурдатгал траекторийн өгөгдсөн цэг дээр чиглэл нь биеийн хөдөлгөөний хурдны чиглэлтэй давхцаж эсвэл түүний эсрэг байна.

Ердийн хурдатгал Энэ нь нэгж хугацаанд хурдны чиглэлийн өөрчлөлт юм:

Ердийн хурдатгалтраекторийн муруйлтын радиусын дагуу (эргэлтийн тэнхлэг рүү) чиглэсэн. Хэвийн хурдатгал нь хурдны чиглэлд перпендикуляр байна.

Төв рүү тэмүүлэх хурдатгал- энэ нь тойрог дотор жигд хөдөлгөөн хийх үед хэвийн хурдатгал юм.

Биеийн жигд муруйн хөдөлгөөний үед нийт хурдатгалтэнцүү байна:

Муруй зам дагуух биеийн хөдөлгөөнийг ойролцоогоор тодорхой тойргийн нумын дагуух хөдөлгөөнөөр дүрсэлж болно (Зураг 1.21).

Цагаан будаа. 1.21. Муруй шугамын хөдөлгөөний үед биеийн хөдөлгөөн.

Муруйн хөдөлгөөн

Муруй шугамын хөдөлгөөнүүд- зам нь шулуун биш, муруй шугамтай хөдөлгөөнүүд. Гаригууд болон голын ус нь муруй шугамын дагуу хөдөлдөг.

Хурдны үнэмлэхүй утга тогтмол байсан ч муруй шугамын хөдөлгөөн нь үргэлж хурдатгалтай хөдөлгөөн юм. Тогтмол хурдатгалтай муруй шугамын хөдөлгөөн нь цэгийн хурдатгалын векторууд болон анхны хурдууд байрладаг хавтгайд үргэлж тохиолддог. Хавтгайд тогтмол хурдатгалтай муруйн хөдөлгөөнтэй тохиолдолд xOyтөсөөлөл v xТэгээд v yтэнхлэг дээрх түүний хурд ҮхэрТэгээд Өөба координатууд xТэгээд yямар ч үед оноо ттомъёогоор тодорхойлно

Муруй шугамын хөдөлгөөний онцгой тохиолдол бол дугуй хөдөлгөөн юм. Тойргийн хөдөлгөөн, тэр ч байтугай жигд, үргэлж хурдатгалтай хөдөлгөөн юм: хурдны модуль нь үргэлж траекторийн чиглэлд тангенциал чиглүүлж, чиглэлээ байнга өөрчилдөг тул дугуй хөдөлгөөн үргэлж төв рүү чиглэсэн хурдатгалтай явагддаг. r- тойргийн радиус.

Тойрог дотор хөдөлж байх үед хурдатгалын вектор нь тойргийн төв рүү чиглэсэн ба хурдны вектортой перпендикуляр байна.

Муруй шугамын хөдөлгөөнд хурдатгалыг хэвийн ба тангенциал бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нийлбэрээр илэрхийлж болно.

Хэвийн (төв рүү чиглэсэн) хурдатгал нь траекторийн муруйлтын төв рүү чиглэсэн бөгөөд хурдны чиглэлийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог.

v -агшин зуурын хурдны утга, r– өгөгдсөн цэг дэх траекторийн муруйлтын радиус.

Тангенциал (шүргэх) хурдатгал нь траекторийн чиглэлд тангенциал чиглүүлж, хурдны модулийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог.

Материалын цэгийн хөдөлгөөний нийт хурдатгал нь дараахтай тэнцүү байна.

Төв рүү чиглэсэн хурдатгалаас гадна жигд дугуй хөдөлгөөний хамгийн чухал шинж чанарууд нь эргэлтийн үе ба давтамж юм.

Эргэлтийн хугацаа- энэ бол бие нь нэг хувьсгал хийх хугацаа юм .

Хугацааг үсгээр зааж өгсөн болно Т(в) дараах томъёогоор тодорхойлогдоно.

Хаана т- эргэлтийн хугацаа, n- энэ хугацаанд хийгдсэн хувьсгалуудын тоо.

Давтамж- энэ нь цаг хугацааны нэгжид гүйцэтгэсэн эргэлтүүдийн тоотой тэнцүү тоо юм.

Давтамжийг Грек үсгээр (nu) тэмдэглэсэн бөгөөд дараах томъёогоор олно.

Давтамжийг 1/с-ээр хэмждэг.

Хугацаа ба давтамж нь харилцан урвуу хэмжигдэхүүн юм:

Хэрэв бие нь тойрог хэлбэрээр хурдтай хөдөлдөг бол v,нэг эргэлт хийвэл энэ биеийн туулсан зайг хурдыг үржүүлж олно vнэг хувьсгалын үед:

l = vT.Нөгөө талаас энэ зам нь 2π тойргийн тойрогтой тэнцүү байна r. Тийм ч учраас

vT = 2π r,

Хаана w(s -1) - өнцгийн хурд.

Тогтмол эргэлтийн давтамжтай үед төв рүү чиглэсэн хурдатгал нь хөдөлж буй бөөмсөөс эргэлтийн төв хүртэлх зайтай шууд пропорциональ байна.

Өнцгийн хурд (w) – эргэлтийн цэгийн байрлаж буй радиусын эргэлтийн өнцгийн энэ эргэлт гарсан хугацааны харьцаатай тэнцүү утга:

.

Шугаман ба өнцгийн хурдны хамаарал:

Цэг бүр хэрхэн хөдөлж байгааг мэдэж байх үед л биеийн хөдөлгөөнийг мэддэг гэж үзэж болно. Хатуу биетүүдийн хамгийн энгийн хөдөлгөөн бол орчуулга юм. ПрогрессивЭнэ биед татсан аливаа шулуун шугам өөртэйгөө параллель хөдөлж буй хатуу биеийн хөдөлгөөн юм.

Аливаа муруйн хөдөлгөөн нь хурдны өнцөгт чиглэсэн хүчний нөлөөн дор явагддаг гэдгийг бид мэднэ. Тойрог тойрон жигд хөдөлгөөн хийх тохиолдолд энэ өнцөг зөв байх болно. Үнэн хэрэгтээ, жишээ нь, хэрэв та олсоор уясан бөмбөгийг эргүүлэх юм бол бөмбөгний хурдны чиглэл нь олстой перпендикуляр байна.

Бөмбөгийг тойрог дээр барьж буй олсны хурцадмал хүч нь олсны дагуу эргэлтийн төв рүү чиглэнэ.

Ньютоны хоёр дахь хуулийн дагуу энэ хүч нь биеийг нэг чиглэлд хурдасгахад хүргэдэг. Эргэлтийн төв рүү радиаль чиглэсэн хурдатгал гэж нэрлэдэг төв рүү чиглэсэн хурдатгал .

Төв рүү тэлэх хурдатгалын хэмжээг тодорхойлох томъёог гаргая.

Юуны өмнө дугуй хөдөлгөөн бол нарийн төвөгтэй хөдөлгөөн гэдгийг анхаарна уу. Төв рүү чиглэсэн хүчний нөлөөн дор бие нь эргэлтийн төв рүү шилжиж, инерцийн тусламжтайгаар энэ төвөөс тойрог руу тангенциал байдлаар шилждэг.

t хугацааны туршид v хурдтай жигд хөдөлж буй бие D цэгээс Е хүртэл шилжсэн гэж бодъё. Бие D цэг дээр байх агшинд төв рүү чиглэсэн хүч түүнд үйлчлэхээ болино гэж бодъё. Дараа нь t хугацааны дараа DL шүргэгч дээр байрлах K цэг рүү шилжинэ. Хэрэв эхний мөчид бие нь зөвхөн нэг төв рүү чиглэсэн хүчний нөлөөн дор байсан бол (инерцийн дагуу хөдөлдөггүй) t хугацаанд жигд хурдасгаж, DC шулуун дээр байрлах F цэг рүү шилжих болно. t хугацааны туршид эдгээр хоёр хөдөлгөөнийг нэмсний үр дүнд DE нумын дагуух хөдөлгөөнийг олж авна.

Төв рүү тэлэх хүч

Эргэдэг биеийг тойрог дээр барьж, эргэлтийн төв рүү чиглэсэн хүчийг нэрлэдэг төв рүү чиглэсэн хүч .

Төв рүү чиглэсэн хүчний хэмжээг тооцоолох томъёог олж авахын тулд та ямар ч муруйн хөдөлгөөнд хамаарах Ньютоны хоёр дахь хуулийг ашиглах хэрэгтэй.

F = ma томъёонд төв рүү чиглэсэн хурдатгалын утгыг a = v 2 / R орлуулснаар бид төв рүү чиглэсэн хүчний томъёог олж авна.

F = mv 2 / R

Төв рүү чиглэсэн хүчний хэмжээ нь биеийн массыг шугаман хурдны квадратыг радиуст хуваасан үржвэртэй тэнцүү байна..

Хэрэв биеийн өнцгийн хурдыг өгсөн бол төв рүү чиглэсэн хүчийг томъёогоор тооцоолох нь илүү тохиромжтой: F = m? 2 R, хаана? 2 R - төв рүү чиглэсэн хурдатгал.

Эхний томъёоноос харахад ижил хурдтай байх нь тодорхой байна жижиг радиустойрог байх тусам төв рүү чиглэсэн хүч их байх болно. Тиймээс, замын эргэлтийн үед хөдөлж буй бие (галт тэрэг, машин, унадаг дугуй) муруйн төв рүү чиглэсэн байх ёстой, хүч их байх тусам эргэлт нь илүү хурц байх болно, өөрөөр хэлбэл муруйн радиус бага байх болно.

Төв рүү тэлэх хүч шугаман хурдаас хамаардаг: хурд нэмэгдэх тусам нэмэгддэг. Үүнийг бүх уран гулгагчид, цаначид, дугуйчид сайн мэддэг: хурдан хөдлөх тусам эргэлт хийхэд хэцүү байдаг. Өндөр хурдтай машиныг огцом эргүүлэх нь ямар аюултайг жолооч нар сайн мэднэ.

Шугаман хурд

Төвөөс зугтах механизмууд

Хэвтээ өнцөгт шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн

Зарим биеийг тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидье. Хөдөлгөөнийг нь ажигласнаар бие эхлээд дээшээ муруй дагуу хөдөлж, дараа нь муруй дагуу доошоо унаж байгааг анзаарах болно.

Хэрэв та өөр өөр өнцгөөр усны урсгалыг тэнгэрийн хаяанд чиглүүлбэл эхлээд өнцөг ихсэх тусам урсгал улам бүр ойртож байгааг харж болно. Тэнгэрийн хаяанд 45 ° өнцгөөр (хэрэв та агаарын эсэргүүцлийг тооцохгүй бол) хүрээ хамгийн их байна. Өнцөг улам ихсэх тусам хүрээ багасна.

Тэнгэрийн хаяа руу өнцгөөр шидэгдсэн биеийн траекторийг байгуулахын тулд бид OA хэвтээ шулуун шугамыг зурж, өгөгдсөн өнцгөөр OS шулуун шугамыг зурна.

Сонгосон масштабын OS шугам дээр бид шидэх чиглэлд явсан замтай тоон хувьд тэнцүү сегментүүдийг байрлуулна (0-1, 1-2, 2-3, 3-4). 1, 2, 3 гэх мэт цэгүүдээс бид ОА-д перпендикуляруудыг буулгаж, тэдгээр дээр чөлөөтэй унаж буй биетийн 1 секунд (1-I), 2 секунд (2-II) туулсан замтай тоогоор тэнцүү сегментүүдийг байрлуулна. ), 3 сек (3-III) гэх мэт Бид 0, I, II, III, IV гэх мэт цэгүүдийг гөлгөр муруйгаар холбодог.

Биеийн зам нь IV цэгээр дамжин өнгөрөх босоо шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

Агаарын эсэргүүцэл нь нислэгийн хүрээ болон нислэгийн хамгийн дээд өндрийг хоёуланг нь багасгаж, замнал нь тэгш бус болдог. Эдгээр нь жишээлбэл, бүрхүүл, сумны замнал юм. Зураг дээр хатуу муруй нь агаарт байгаа пуужингийн траекторийг схемийн дагуу, тасархай муруй нь агааргүй орон зайд харагдаж байна. Агаарын эсэргүүцэл нь нислэгийн хүрээг хэр их өөрчилж байгааг дараах жишээнээс харж болно. Агаарын эсэргүүцэл байхгүй үед тэнгэрийн хаяанд 20 ° өнцгөөр харвасан 76 мм-ийн их бууны сум 24 км ниснэ. Агаарт энэ сум ойролцоогоор 7 км нисдэг.

Ньютоны гурав дахь хууль

Хэвтээ байдлаар шидсэн биеийн хөдөлгөөн

Хөдөлгөөний бие даасан байдал

Аливаа муруйн хөдөлгөөн нь биеийн хурдтай өнцгөөр чиглэсэн хүчний нөлөөн дор инерцийн хөдөлгөөн, хөдөлгөөнөөс бүрдэх цогц хөдөлгөөн юм. Үүнийг дараах жишээнд харуулж болно.

Бөмбөг ширээний дагуу жигд, шулуун шугамаар хөдөлдөг гэж үзье. Бөмбөлөг ширээнээс өнхрөхөд түүний жин нь ширээний даралтын хүчээр тэнцвэржихээ больж, инерцийн улмаас жигд, шугаман хөдөлгөөнийг хадгалж, нэгэн зэрэг унаж эхэлдэг. Хөдөлгөөнүүдийг нэмсэний үр дүнд - инерцээр жигд шулуун, таталцлын нөлөөн дор жигд хурдасдаг - бөмбөг муруй шугамын дагуу хөдөлдөг.

Эдгээр хөдөлгөөнүүд бие биенээсээ хамааралгүй гэдгийг туршилтаар харуулж болно.

Зурагт пүршийг харуулсан бөгөөд энэ нь алхны цохилтын дор нугалж, нэг бөмбөгийг хэвтээ чиглэлд хөдөлгөж, нөгөө бөмбөгийг нэгэн зэрэг суллаж, хоёулаа нэгэн зэрэг хөдөлж эхэлдэг. : эхнийх нь муруй дагуу, хоёр дахь нь босоо доош. Хоёр бөмбөг хоёулаа нэгэн зэрэг шалан дээр унах болно; тиймээс хоёр бөмбөгний унах хугацаа ижил байна. Эндээс бид таталцлын нөлөөн дор бөмбөгний хөдөлгөөн нь бөмбөг эхний мөчид амарч байсан эсэх эсвэл хэвтээ чиглэлд хөдөлж байгаа эсэхээс хамаардаггүй гэж дүгнэж болно.

Энэхүү туршилт нь механикийн маш чухал цэгийг харуулж байна Хөдөлгөөний бие даасан байдлын зарчим.

Тойрог тойрон жигд хөдөлгөөн хийх

Муруй шугамын хөдөлгөөний хамгийн энгийн бөгөөд түгээмэл хэлбэрүүдийн нэг бол тойрог дахь биеийн жигд хөдөлгөөн юм. Жишээлбэл, нисдэг дугуйны хэсгүүд, дэлхийн гадаргуу дээрх цэгүүд нь дэлхийг өдөр бүр эргүүлэх үед тойрог дагуу хөдөлдөг гэх мэт.

Энэ хөдөлгөөнийг тодорхойлдог хэмжигдэхүүнүүдийг танилцуулъя. Зургийг харцгаая. Биеийг эргүүлэх үед түүний нэг цэг нь t хугацаанд А цэгээс В цэг рүү шилждэг гэж бодъё. (Грек "фи"). Цэгийн эргэлтийн хурдыг өнцгийн харьцааны хэмжээгээр тодорхойлж болох уу? t цаг, өөрөөр хэлбэл? /т.

Өнцгийн хурд

Хөдөлгөөнт цэгийг эргэлтийн төвтэй холбосон радиусын эргэлтийн өнцгийн харьцааг энэ эргэлт үүсэх хугацаатай харьцуулна. өнцгийн хурд.

Грек үсгээр өнцгийн хурдыг тэмдэглэх үү? ("омега") гэж бичиж болно:

? = ? /т

Өнцгийн хурд нь цаг хугацааны нэгж дэх эргэлтийн өнцөгтэй тоогоор тэнцүү байна.

Тойрог дахь жигд хөдөлгөөнтэй бол өнцгийн хурд нь тогтмол хэмжигдэхүүн юм.

Өнцгийн хурдыг тооцоолохдоо эргэлтийн өнцгийг ихэвчлэн радианаар хэмждэг. Радиан байна төв өнцөг, нумын урт нь энэ нумын радиустай тэнцүү байна.

Хурдны өнцгөөр чиглэсэн хүчний үйл ажиллагааны дор биетүүдийн хөдөлгөөн

Бодож байхдаа шулуун хөдөлгөөнХэрэв биеийн хөдөлгөөн хөдөлгөөний чиглэлд хүч үйлчилвэл биеийн хөдөлгөөн шулуун хэвээр байх болно. Зөвхөн хурд өөрчлөгдөнө. Түүнчлэн, хэрэв хүчний чиглэл нь хурдны чиглэлтэй давхцаж байвал хөдөлгөөн нь шулуун, хурдасгах болно. Хүчний эсрэг чиглэлтэй тохиолдолд хөдөлгөөн нь шулуун, удаан байх болно. Тухайлбал, босоо доошоо шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн, босоо тэнхлэгт дээш шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн юм.

Хурдны чиглэлийн өнцөгт чиглэсэн хүчний нөлөөн дор бие хэрхэн хөдөлж байгааг одоо авч үзье.

Эхлээд туршлагыг харцгаая. Соронзон ойролцоо ган бөмбөлгийн хөдөлгөөний траекторийг бүтээцгээе. Соронзноос хол бөмбөг шулуун шугамаар хөдөлж байсныг бид тэр даруй анзаарсан боловч соронз руу ойртох үед бөмбөгний зам нь нугалж, бөмбөг муруй дагуу хөдөлсөн. Түүний хурдны чиглэл байнга өөрчлөгдөж байв. Үүний шалтгаан нь бөмбөг дээрх соронзны үйлдэл байв.

Хэрэв хүч нь биеийн хөдөлгөөний хурдтай өнцгөөр чиглэгдэж байвал бид түүнийг түлхэж, уясан утсыг татах гэх мэтээр шулуун шугаман хөдөлгөөнт биеийг муруй дагуу хөдөлгөж чадна.

Тиймээс биеийн муруйн хөдөлгөөн нь биеийн хурдны чиглэлийн өнцөгт чиглэсэн хүчний үйл ажиллагааны дор явагддаг.

Бие махбодид үйлчлэх хүчний чиглэл, хэмжээнээс хамааран муруйн хөдөлгөөн нь маш олон янз байж болно. Ихэнх энгийн төрлүүдМуруй шугамын хөдөлгөөн нь тойрог, парабол, эллипс дэх хөдөлгөөн юм.

Төв рүү чиглэсэн хүчний үйл ажиллагааны жишээ

Зарим тохиолдолд төв рүү тэлэх хүч нь тойрог хэлбэрээр хөдөлж буй биед үйлчлэх хоёр хүчний үр дүн юм.

Ийм хэдэн жишээг авч үзье.

1. Хүнхэр гүүрээр машин v хурдтай явж байгаа бөгөөд машины масс t, гүүрний муруйлтын радиус R. Гүүрний хамгийн доод цэгт машин ямар даралт үзүүлэх вэ?

Эхлээд машинд ямар хүч нөлөөлж байгааг олж мэдье. Ийм хоёр хүч байдаг: машины жин ба машин дээрх гүүрний даралтын хүч. (Бид энэ болон дараагийн бүх ялагчдын үрэлтийн хүчийг тооцохгүй).

Машин хөдөлгөөнгүй байх үед эдгээр хүч нь тэнцүү хэмжээтэй, эсрэг чиглэлд чиглэгддэг тул бие биенээ тэнцвэржүүлдэг.

Машин гүүрэн дээгүүр хөдөлж байх үед тойрог хэлбэрээр хөдөлж буй аливаа биетэй адил төв рүү чиглэсэн хүч түүн дээр ажилладаг. Энэ хүчний эх үүсвэр юу вэ? Энэ хүчний эх үүсвэр нь зөвхөн машин дээрх гүүрний үйлдэл байж болно. Хөдөлгөөнтэй машин дээр гүүр дарах Q хүч нь машины P жинг тэнцвэржүүлж зогсохгүй түүнийг тойрог хэлбэрээр хөдөлгөж, үүний үр дүнд шаардлагатай F хүчийг үүсгэдэг Энэ нь хөдөлж буй тээврийн хэрэгсэл болон гүүр хоорондын харилцан үйлчлэлийн үр дүн учраас P ба Q хүч.

Муруйн хөдөлгөөний үед хурдны векторын чиглэл өөрчлөгддөг. Үүний зэрэгцээ түүний модуль, өөрөөр хэлбэл урт нь өөрчлөгдөж болно. Энэ тохиолдолд хурдатгалын векторыг траекторт шүргэгч ба перпендикуляр гэсэн хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг болгон задалдаг (Зураг 10). Бүрэлдэхүүн хэсэг гэж нэрлэдэг шүргэгч(шүргэх) хурдатгал, бүрэлдэхүүн хэсэг - хэвийн(төв рүү чиглэсэн) хурдатгал.

Муруй хөдөлгөөний үед хурдатгал

Тангенциал хурдатгал нь шугаман хурдны өөрчлөлтийн хурдыг, хэвийн хурдатгал нь хөдөлгөөний чиглэлийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог.

Нийт хурдатгал нь тангенциал ба хэвийн хурдатгалын векторын нийлбэртэй тэнцүү байна.

(15)

Нийт хурдатгалын модуль нь дараахтай тэнцүү байна.

.

Тойрог дагуух цэгийн жигд хөдөлгөөнийг авч үзье. Үүний зэрэгцээ Тэгээд . Үзэж буй t цаг мөчид цэг 1-р байрлалд байна (Зураг 11). Δt хугацааны дараа цэг нь замыг туулж 2-р байрлалд байх болно Δs, 1-2 нумантай тэнцүү. Энэ тохиолдолд v цэгийн хурд нэмэгдэнэ Δv, үүний үр дүнд хурдны вектор хэмжээ нь өөрчлөгдөөгүй өнцгөөр эргэлдэнэ. Δφ , уртын нуман дээр тулгуурласан төв өнцөгтэй хэмжээтэй давхцаж байна Δs:

(16)

Энд R нь цэгийн дагуу хөдөлж буй тойргийн радиус юм. Хурдны векторын өсөлтийг олъё.Үүний тулд векторыг хөдөлгөе Ингэснээр түүний эхлэл нь векторын эхлэлтэй давхцдаг. Дараа нь вектор нь векторын төгсгөлөөс векторын төгсгөл хүртэл зурсан сегментээр дүрслэгдэх болно . Энэ сегмент нь суурь болж өгдөг тэгш өнцөгт гурвалжинталуудтай болон ба орой дээрх өнцөг Δφ. Хэрэв Δφ өнцөг бага бол (энэ нь жижиг Δt-ийн хувьд үнэн) бол энэ гурвалжны талуудын хувьд бид ойролцоогоор бичиж болно:

.

Энд (16) Δφ-г орлуулснаар бид векторын модулийн илэрхийлэлийг олж авна.

.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг Δt-д хувааж, хязгаарт хүрснээр бид төв рүү чиглэсэн хурдатгалын утгыг олж авна.

Энд тоо хэмжээ vТэгээд Ртогтмол байдаг тул тэдгээрийг хязгаарын тэмдэгээс хэтрүүлэн авч болно. Харьцааны хязгаар нь хурдны модуль юм Үүнийг мөн шугаман хурд гэж нэрлэдэг.

Гулзайлтын радиус

R тойргийн радиусыг нэрлэдэг муруйлтын радиусзамнал. R-ийн урвууг траекторийн муруйлт гэж нэрлэдэг.

.

Энд R нь тухайн тойргийн радиус юм. Хэрэв α нь s тойргийн нуманд тохирох төв өнцөг юм бол R, α ба s хоорондын хамаарал нь мэдэгдэж байгаагаар:

s = Rα. (18)

Муруйн радиусын тухай ойлголт нь зөвхөн тойрог төдийгүй ямар ч муруй шугамд хамаарна. Гулзайлтын радиус (эсвэл түүний урвуу утга - муруйлт) нь шугамын муруйлтын зэргийг тодорхойлдог. Муруйн радиус бага байх тусам муруйлт их байх тусам шугам нь илүү хүчтэй муруй болно. Энэ ойлголтыг нарийвчлан авч үзье.

Хавтгай шугамын тодорхой А цэг дэх муруйлтын тойрог нь А цэг болон бусад хоёр B 1 ба B 2 цэгүүдээр дамжин өнгөрөх тойргийн хязгаарлагдмал байрлал бөгөөд тэдгээр нь А цэгт хязгааргүй ойртож байна (Зураг 12-т муруйг а хатуу шугам ба муруйлтын тойрог нь тасархай шугамаар). Гулзайлтын тойргийн радиус нь А цэг дээрх муруйн муруйлтын радиусыг өгөх ба энэ тойргийн төв нь ижил А цэгийн муруйн муруйлтын төвийг өгнө.

B 1 ба B 2 цэгүүдэд B 1 D ба B 2 E шүргэгчийг B 1, A, B 2 цэгүүдийг дайран өнгөрөх тойрог руу зур. Эдгээр B 1 C ба B 2 C шүргэлтийн нормууд нь тойргийн R радиусыг илэрхийлэх ба түүний C төвд огтлолцох болно. B1 C ба B 2 C нормуудын хоорондох Δα өнцгийг танилцуулъя; энэ нь B 1 D ба B 2 E шүргэгчийн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. B 1 ба B 2 цэгүүдийн хоорондох муруй хэсгийг Δs гэж тэмдэглэе. Дараа нь (18) томъёоны дагуу:

.

Хавтгай муруй шугамын муруйлтын тойрог

Хавтгай муруйн муруйлтыг тодорхойлох өөр өөр цэгүүд

Зураг дээр. 13-р зурагт янз бүрийн цэгүүд дэх хавтгай шугамын муруйлтын тойргийг үзүүлэв. Муруй илүү хавтгай байх A 1 цэг дээр муруйлтын радиус А 2 цэгээс тус тус их байх ба А 1 цэг дээрх шугамын муруйлт А 2 цэгээс бага байх болно. A 3 цэг дээр муруй нь A 1 ба A 2 цэгүүдээс бүр хавтгай байх тул энэ цэг дэх муруйлтын радиус илүү их, муруйлт бага байх болно. Үүнээс гадна, А 3 цэг дээрх муруйлтын тойрог нь муруйн нөгөө талд байрладаг. Тиймээс энэ цэг дэх муруйлтыг A 1 ба A 2 цэгүүдийн муруйлтын тэмдгийн эсрэг тэмдэгтээр тодорхойлно: хэрэв А 1 ба А 2 цэг дээрх муруйлтыг эерэг гэж үзвэл А 3 цэг дээрх муруйлт нь байна. сөрөг.

Замын хөдөлгөөний хэлбэрээс хамааран хөдөлгөөнийг шулуун ба муруй шугаман гэж хувааж болно. Ихэнх тохиолдолд та траекторийг муруй хэлбэрээр дүрсэлсэн үед муруйн хөдөлгөөнтэй тулгардаг. Энэ төрлийн хөдөлгөөний жишээ бол тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биеийн зам, нарны эргэн тойрон дахь дэлхийн хөдөлгөөн, гаригууд гэх мэт.

Зураг 1. Муруй хөдөлгөөн дэх траектор ба хөдөлгөөн

Тодорхойлолт 1

Муруйн хөдөлгөөнтраектори нь муруй шугамтай хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг. Хэрэв бие муруй замаар хөдөлж байвал s → нүүлгэн шилжүүлэх вектор нь 1-р зурагт үзүүлсэн шиг хөвчний дагуу чиглэсэн байх ба l нь замын урт юм. Биеийн хөдөлгөөний агшин зуурын хурдны чиглэл нь траекторийн ижил цэг дээр тангенциал байдлаар явдаг. одоогоорхөдөлж буй объектыг Зураг 2-т үзүүлсэн шиг байрлуулна.

Зураг 2. Муруй хөдөлгөөний үед агшин зуурын хурд

Тодорхойлолт 2

Материаллаг цэгийн муруйн хөдөлгөөнхурдны модуль тогтмол (тойрог хөдөлгөөн) үед жигд хурдасгах ба чиглэл ба хурдны модуль өөрчлөгдөх үед жигд хурдасдаг (шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн).

Муруй шугамын хөдөлгөөн үргэлж хурдасдаг. Энэ нь өөрчлөгдөөгүй хурдны модуль, өөрчлөгдсөн чиглэлтэй байсан ч хурдатгал үргэлж байдаг гэдгийг тайлбарлаж байна.

Материаллаг цэгийн муруйн хөдөлгөөнийг судлахын тулд хоёр аргыг ашигладаг.

Зам нь тусдаа хэсгүүдэд хуваагддаг бөгөөд тус бүрийг 3-р зурагт үзүүлсэн шиг шулуун гэж үзэж болно.

Зураг 3. Муруйн хөдөлгөөнийг хөрвүүлэх хөдөлгөөнд хуваах

Одоо шулуун шугаман хөдөлгөөний хуулийг хэсэг бүрт хэрэглэж болно. Энэ зарчмыг зөвшөөрдөг.

Хамгийн тохиромжтой шийдлийн аргыг Зураг 4-т үзүүлсэн шиг дугуй нумын дагуух хэд хэдэн хөдөлгөөний багц хэлбэрээр дүрсэлсэн гэж үздэг. Хуваалтын тоо нь өмнөх аргынхаас хамаагүй бага байх болно, үүнээс гадна тойрог дагуух хөдөлгөөн аль хэдийн муруйсан байна.

Зураг 4. Муруйн хөдөлгөөнийг дугуй нумын дагуу хөдөлгөөнд хуваах

Тайлбар 1

Муруй шугамын хөдөлгөөнийг бүртгэхийн тулд та тойрог доторх хөдөлгөөнийг дүрслэх чадвартай байх ёстой бөгөөд эдгээр тойргийн нумын дагуух хөдөлгөөнүүдийн багц хэлбэрээр дур зоргоороо хөдөлгөөнийг илэрхийлэх ёстой.

Муруй шугамын хөдөлгөөнийг судлах нь энэхүү хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн кинематик тэгшитгэлийн эмхэтгэлийг багтаасан бөгөөд боломжтой анхны нөхцөл дээр үндэслэн хөдөлгөөний бүх шинж чанарыг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Жишээ 1

4-р зурагт үзүүлсэн шиг муруй дагуу хөдөлж буй материаллаг цэг өгөгдсөн. O 1, O 2, O 3 тойргийн төвүүд нэг шулуун дээр байрладаг. Шилжилтийг олох хэрэгтэй
s → ба А цэгээс В цэг рүү шилжих замын урт l.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид тойргийн төвүүд ижил шулуун шугамд хамаарах тул:

s → = R 1 + 2 R 2 + R 3.

Хөдөлгөөний зам нь хагас тойргийн нийлбэр тул:

l ~ A B = π R 1 + R 2 + R 3 .

Хариулт: s → = R 1 + 2 R 2 + R 3, l ~ A B = π R 1 + R 2 + R 3.

Жишээ 2

Биеийн туулсан зайн цаг хугацааны хамаарлыг s (t) = A + B t + C t 2 + D t 3 (C = 0.1 м / с 2, D = 0.003 м / с) тэгшитгэлээр илэрхийлнэ. 3). Хөдөлгөөн эхэлснээс хойш хэдэн цагийн дараа биеийн хурдатгал 2 м / с 2-тэй тэнцүү болохыг тооцоол.

Шийдэл

Хариулт: t = 60 сек.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Траекторын хэлбэрээс хамааран хөдөлгөөнийг шулуун ба муруй шугаман гэж хуваадаг. IN бодит ертөнцЗамын чиглэл нь муруй шугам байх үед бид ихэнхдээ муруйн хөдөлгөөнтэй харьцдаг. Ийм хөдөлгөөний жишээ бол тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биеийн замнал, нарны эргэн тойронд дэлхийн хөдөлгөөн, гаригуудын хөдөлгөөн, цагны зүүний төгсгөл гэх мэт.

Зураг 1. Муруй хөдөлгөөний үеийн траектор ба шилжилт

Тодорхойлолт

Муруй шугамын хөдөлгөөн нь муруй шугам (жишээлбэл, тойрог, эллипс, гипербол, парабол) хэлбэртэй хөдөлгөөн юм. Муруй шугамын дагуу хөдөлж байх үед нүүлгэн шилжүүлэх вектор $\overrightarrow(s)$ нь хөвчний дагуу чиглэнэ (Зураг 1), l нь траекторийн урт юм. Биеийн агшин зуурын хурд (өөрөөр хэлбэл замын хөдөлгөөний өгөгдсөн цэг дэх биеийн хурд) нь хөдөлгөөнт бие яг одоо байгаа траекторийн цэг дээр тангенциал байдлаар чиглэгддэг (Зураг 2).

Зураг 2. Муруй хөдөлгөөний үед агшин зуурын хурд

Гэсэн хэдий ч дараах арга нь илүү тохиромжтой. Энэ хөдөлгөөнийг дугуй нумын дагуух хэд хэдэн хөдөлгөөнийг хослуулан дүрсэлж болно (4-р зургийг үз). Өмнөх тохиолдолтой харьцуулахад ийм хуваалтууд цөөн байх болно, үүнээс гадна тойрог дагуух хөдөлгөөн нь өөрөө муруй хэлбэртэй байдаг.

Зураг 4. Муруйн хөдөлгөөнийг дугуй нумын дагуух хөдөлгөөнд хуваах

Дүгнэлт

Муруй шугамын хөдөлгөөнийг дүрслэхийн тулд та тойрог доторх хөдөлгөөнийг дүрсэлж сурах хэрэгтэй бөгөөд дараа нь дугуй нумын дагуух хөдөлгөөнүүдийн багц хэлбэрээр дур зоргоороо хөдөлгөөнийг илэрхийлэх хэрэгтэй.

Материаллаг цэгийн муруйн хөдөлгөөнийг судлах даалгавар бол энэ хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн кинематик тэгшитгэлийг бүрдүүлэх бөгөөд өгөгдсөн анхны нөхцөл дээр үндэслэн энэ хөдөлгөөний бүх шинж чанарыг тодорхойлох боломжийг олгодог.