Ижил суурьтай логарифм нэмэх дүрэм. Логарифм. Хоёртын логарифм, натурал логарифм, аравтын логарифмын тодорхойлолт; экспоненциал функц exp(x), тоо e. Лог, Лн. Чадлын томьёо ба логарифм. Логарифм ашиглан, 12-р

Энэ нийтлэлийн гол зүйл бол логарифм. Энд бид логарифмын тодорхойлолтыг өгч, хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг үзүүлж, логарифмын жишээг өгч, натурал ба аравтын логарифмын тухай ярих болно. Үүний дараа бид үндсэн логарифмын таних тэмдгийг авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Логарифмын тодорхойлолт

Логарифмын тухай ойлголт нь асуудлыг тодорхой утгаар урвуу утгаар шийдвэрлэх үед гарч ирэх үед илтгэгчийг олох шаардлагатай үед үүсдэг. мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэзэрэг ба мэдэгдэж буй үндэслэл.

"Логарифм гэж юу вэ" гэсэн асуултанд хариулах цаг нь хангалттай оршил үг юм уу? Холбогдох тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

b-ийн логарифм нь a суурь, энд a>0, a≠1 ба b>0 нь үр дүнд нь b авахын тулд a тоог өсгөх шаардлагатай илтгэгч юм.

Энэ үе шатанд "логарифм" гэсэн үг нь "ямар тоо" ба "ямар үндэслэлээр" гэсэн хоёр асуултыг нэн даруй гаргах ёстойг бид тэмдэглэж байна. Өөрөөр хэлбэл, зүгээр л логарифм гэж байдаггүй, зөвхөн тоон зарим суурь хүртэлх логарифм байдаг.

Шууд орцгооё логарифмын тэмдэглэгээ: b тооны а суурьтай байх логарифмыг ихэвчлэн log a b гэж тэмдэглэдэг. b тооны суурь e ба 10 суурьтай логарифм нь lnb ба logb гэсэн тусгай тэмдэглэгээтэй, өөрөөр хэлбэл log e b биш, харин lnb, log 10 b биш, харин lgb гэж бичдэг.

Одоо бид өгч болно: .
Мөн бичлэгүүд утгагүй, учир нь тэдгээрийн эхнийх нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, хоёр дахь нь суурь дээр сөрөг тоо, гурав дахь нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, нэг нэгж байна. суурь.

Одоо ярилцъя логарифм унших дүрэм. a b тэмдэглэгээг "а суурьтай b-ийн логарифм" гэж уншина. Жишээлбэл, log 2 3 нь 2 суурьтай гурвын логарифм бөгөөд 2 суурьтай хоёрын гуравны хоёрын логарифм юм. квадрат язгууртаваас. e суурийн логарифм гэж нэрлэдэг байгалийн логарифм, мөн lnb тэмдэглэгээ нь "b-ийн натурал логарифм" гэж уншина. Жишээлбэл, ln7 нь долоогийн натурал логарифм бөгөөд бид үүнийг pi-ийн натурал логарифм гэж унших болно. Үндсэн 10 логарифм нь мөн тусгай нэртэй байдаг - аравтын логарифм, мөн lgb нь "b-ийн аравтын логарифм" гэж уншина. Жишээлбэл, lg1 нь нэгийн аравтын логарифм, lg2.75 нь хоёр цэгийн долоон таван зуутын аравтын логарифм юм.

Логарифмын тодорхойлолтыг өгсөн a>0, a≠1 ба b>0 нөхцлүүдийг тусад нь авч үзэх нь зүйтэй. Эдгээр хязгаарлалтууд хаанаас ирснийг тайлбарлая. Дээр өгөгдсөн логарифмын тодорхойлолтоос шууд гарах хэлбэрийн тэгш байдал нь үүнийг хийхэд тусална.

a≠1-ээс эхэлцгээе. Нэг нь нэгтэй тэнцүү тул тэгш байдал нь b=1 үед л үнэн байх боловч log 1 1 нь ямар ч бодит тоо байж болно. Энэ хоёрдмол байдлаас зайлсхийхийн тулд a≠1 гэж үзнэ.

a>0 нөхцлийн тохиромжтойг зөвтгөж үзье. a=0 байхад логарифмын тодорхойлолтоор бид тэгш эрхтэй байх ба энэ нь зөвхөн b=0 байхад л боломжтой. Харин тэгээс тэгээс өөр ямар ч хүчин чадал нь тэг байх тул log 0 0 нь ямар ч тэгээс өөр бодит тоо байж болно. a≠0 нөхцөл нь энэ хоёрдмол байдлаас зайлсхийх боломжийг бидэнд олгодог. Тэгээд хэзээ а<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Эцэст нь, a>0 тэгш бус байдлаас b>0 нөхцөл үүснэ, учир нь эерэг суурьтай a зэрэглэлийн утга үргэлж эерэг байна.

Энэ цэгийг дүгнэхийн тулд логарифмын тодорхойлсон тодорхойлолт нь логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь суурийн тодорхой хүч байх үед логарифмын утгыг шууд зааж өгөх боломжийг танд олгоно гэж бодъё. Үнэн хэрэгтээ логарифмын тодорхойлолт нь b=a p бол b тооны логарифм нь а суурьтай тэнцүү гэдгийг хэлэх боломжийг бидэнд олгодог. Өөрөөр хэлбэл log a a p =p тэгш байдал үнэн байна. Жишээлбэл, 2 3 =8, дараа нь лог 2 8=3 гэдгийг бид мэднэ. Энэ талаар бид нийтлэлд илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, ОХУ-ын төрийн байгууллагуудын хүсэлтийн үндсэн дээр - өөрийн хувийн мэдээллийг задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Харьцаагаар

нөгөө хоёр өгөгдсөн тооноос гурван тооны аль нэгийг нь олох даалгаврыг тавьж болно. Хэрэв a ба дараа нь N өгөгдсөн бол тэдгээрийг илтгэгчээр олно. Хэрэв N ба дараа нь a-г х зэрэглэлийн үндсийг авч (эсвэл түүнийг зэрэгт өсгөж) өгвөл. Одоо a ба N өгөгдсөн тохиолдолд бид x-ийг олох хэрэгтэй болсон тохиолдлыг авч үзье.

N тоо эерэг байг: а тоо эерэг ба нэгтэй тэнцүү биш: .

Тодорхойлолт. N тооны а суурийн логарифм нь N тоог авахын тулд а-г өсгөх ёстой илтгэгч юм; логарифмыг тэмдэглэнэ

Тиймээс (26.1) тэгш байдлын хувьд илтгэгчийг N-ийн логарифм гэж олно. Бичлэгүүд

ижил утгатай. Тэгш байдлыг (26.1) заримдаа логарифмын онолын үндсэн шинж чанар гэж нэрлэдэг; бодит байдал дээр энэ нь логарифмын ойлголтын тодорхойлолтыг илэрхийлдэг. By энэ тодорхойлолтЛогарифмын суурь нь үргэлж эерэг бөгөөд нэгдлээс ялгаатай; логарифмын тоо N эерэг байна. Сөрөг тоо ба тэг нь логарифмгүй. Өгөгдсөн суурьтай ямар ч тоо тодорхой логарифмтай болохыг баталж болно. Тиймээс тэгш байдал нь . Энд байгаа нөхцөл нь чухал гэдгийг анхаарна уу, эс тэгвээс дүгнэлт нь үндэслэлгүй болно, учир нь тэгш байдал нь x ба y-ийн аль ч утгын хувьд үнэн юм.

Жишээ 1. Хай

Шийдэл. Тоо авахын тулд та 2-р суурийг өсгөх ёстой.

Ийм жишээг шийдвэрлэхдээ та дараах хэлбэрээр тэмдэглэл хийж болно.

Жишээ 2. Ол.

Шийдэл. Бидэнд байна

1 ба 2-р жишээн дээр бид логарифмын тоог рационал илтгэгчтэй суурийн зэрэглэлээр төлөөлүүлэн хүссэн логарифмийг хялбархан олсон. IN ерөнхий тохиолдол, жишээ нь, for, гэх мэт, логарифм нь иррациональ утгатай тул үүнийг хийх боломжгүй. Энэ мэдэгдэлтэй холбоотой нэг асуудалд анхаарлаа хандуулъя. 12-р зүйлд бид өгөгдсөн эерэг тооны бодит хүчийг тодорхойлох боломжийн тухай ойлголтыг өгсөн. Энэ нь ерөнхийдөө иррационал тоо байж болох логарифмуудыг нэвтрүүлэхэд шаардлагатай байсан.

Логарифмын зарим шинж чанарыг харцгаая.

Өмч чанар 1. Хэрэв тоо ба суурь нь тэнцүү бол логарифм нь нэгтэй тэнцүү, харин эсрэгээр логарифм нь нэгтэй тэнцүү бол тоо ба суурь нь тэнцүү байна.

Баталгаа. Логарифмын тодорхойлолтоор бидэнд байгаа ба хаанаас

Үүний эсрэгээр, тодорхойлолтоор Дараа нь үзье

Өмч 2. Аль ч суурийн нэгээс логарифм нь тэгтэй тэнцүү.

Баталгаа. Логарифмын тодорхойлолтоор (ямар ч эерэг суурийн тэг хүч нь нэгтэй тэнцүү, (10.1)-ийг үзнэ үү). Эндээс

Q.E.D.

Эсрэг заалт нь бас үнэн: хэрэв , тэгвэл N = 1. Үнэхээр бид .

Логарифмын дараагийн шинж чанарыг томъёолохын өмнө a ба b хоёр тоо нь хоёулаа c-ээс их эсвэл c-ээс бага бол гурав дахь c тооны нэг талд оршдог гэдгийг хэлье. Хэрэв эдгээр тоонуудын аль нэг нь c-ээс их, нөгөө нь c-ээс бага бол бид тэдгээрийг хамт байна гэж хэлэх болно. өөр өөр талуудтосгоноос

Өмч 3. Хэрэв тоо ба суурь нь нэг талын нэг талд байвал логарифм эерэг байна; Хэрэв тоо ба суурь нь нэг талын эсрэг талд байвал логарифм нь сөрөг байна.

3-р өмчийн нотолгоо нь суурь нь нэгээс их, илтгэгч нь эерэг эсвэл суурь нь нэгээс бага, илтгэгч нь сөрөг байвал a-ийн чадал нэгээс их байх дээр үндэслэсэн болно. Суурь нь нэгээс их, илтгэгч нь сөрөг эсвэл суурь нь нэгээс бага, илтгэгч нь эерэг байвал хүч нь нэгээс бага байна.

Дөрвөн тохиолдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй:

Бид тэдгээрийн эхнийх нь дүн шинжилгээ хийхээр хязгаарлагдах болно, үлдсэнийг нь уншигч өөрөө авч үзэх болно.

Тэгэхэд экспонент нь сөрөг эсвэл тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тиймээс энэ нь эерэг, өөрөөр хэлбэл нотлох шаардлагатай байна.

Жишээ 3. Доорх логарифмуудын аль нь эерэг, аль нь сөрөг болохыг олж мэд.

Шийдэл, a) 15 тоо ба 12 суурь нь нэг талын нэг талд байрладаг тул;

б) 1000 ба 2 нь нэгжийн нэг талд байрладаг тул; энэ тохиолдолд суурь нь логарифмын тооноос их байх нь чухал биш;

в) 3.1 ба 0.8 нь нэгдмэл байдлын эсрэг талд байрладаг тул;

G); Яагаад?

г); Яагаад?

Дараах 4-6 шинж чанаруудыг ихэвчлэн логарифмын дүрэм гэж нэрлэдэг: тэдгээр нь зарим тоонуудын логарифмуудыг мэдэхийн тулд тэдгээрийн үржвэрийн логарифм, коэффициент, тэдгээрийн зэрэглэлийг олох боломжийг олгодог.

Property 4 (бүтээгдэхүүний логарифмын дүрэм). Хэд хэдэн эерэг тооны үржвэрийн логарифм энэ үндэсэдгээр тоонуудын логарифмын нийлбэр нь ижил суурьтай тэнцүү.

Баталгаа. Өгөгдсөн тоонууд эерэг байг.

Тэдний үржвэрийн логарифмын хувьд бид логарифмийг тодорхойлсон тэгшитгэлийг (26.1) бичнэ.

Эндээс бид олох болно

Эхний болон сүүлчийн илэрхийлэлүүдийн илтгэгчийг харьцуулж үзвэл бид шаардлагатай тэгш байдлыг олж авна.

Нөхцөл байдал зайлшгүй шаардлагатай гэдгийг анхаарна уу; хоёр сөрөг тооны үржвэрийн логарифм нь утга учиртай боловч энэ тохиолдолд бид олж авна

Ерөнхийдөө хэрэв хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр эерэг байвал түүний логарифм нь эдгээр хүчин зүйлсийн үнэмлэхүй утгуудын логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.

5-р шинж чанар (хэсгийн логарифм авах дүрэм). Эерэг тоонуудын категорийн логарифм нь ногдол ашиг ба хуваагчийн логарифмуудын ялгааг ижил суурьтай тэнцүү байна. Баталгаа. Бид байнга олдог

Q.E.D.

Property 6 (чадлын логарифмын дүрэм). Аливаа эерэг тооны чадлын логарифм нь тухайн тооны логарифмыг илтгэгчээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Баталгаа. Тооны үндсэн таних тэмдгийг (26.1) дахин бичье.

Q.E.D.

Үр дагавар. Эерэг тооны язгуурын логарифм нь радикалын логарифмыг язгуурын илтгэгчид хуваасантай тэнцүү байна.

Энэ үр дүнгийн үнэн зөвийг өмч 6 хэрхэн, хэрхэн ашиглахыг төсөөлж батлах боломжтой.

Жишээ 4. Логарифмыг a үндэс болгон авна уу:

a) (b, c, d, e бүх утгууд эерэг байна гэж үздэг);

б) (энэ гэж таамаглаж байна).

Шийдэл, a) Энэ илэрхийлэлд бутархай тоонд шилжих нь тохиромжтой.

(26.5)-(26.7) тэгшитгэл дээр үндэслэн бид одоо бичиж болно:

Тоонуудын логарифмууд дээр тоонуудаас илүү энгийн үйлдлүүд хийгдэж байгааг бид анзаарч байна: тоог үржүүлэхдээ тэдгээрийн логарифмуудыг нэмж, хуваахдаа хасах гэх мэт.

Тийм ч учраас логарифмыг тооцоолох практикт ашигладаг (29-р зүйлийг үз).

Логарифмын урвуу үйлдлийг потенциац гэж нэрлэдэг, тухайлбал: потенциал гэдэг нь тухайн тооны өгөгдсөн логарифмээс тухайн тоог олох үйлдэл юм. Үндсэндээ потенциаци гэдэг нь ямар нэгэн онцгой үйлдэл биш юм: энэ нь суурийг (тооны логарифмтай тэнцүү) зэрэгт хүргэх явдал юм. "Потенциаци" гэсэн нэр томъёог "exponentiation" гэсэн нэр томъёотой ижил утгатай гэж үзэж болно.

Потенциацилахдаа логарифмын дүрэмтэй урвуу дүрмийг ашиглах ёстой: логарифмын нийлбэрийг бүтээгдэхүүний логарифм, логарифмын зөрүүг хуваалтын логарифмээр солих гэх мэт. Ялангуяа, хэрэв урд талын хүчин зүйл байвал. логарифмын тэмдгийн дагуу, дараа нь потенциацийн үед логарифмын тэмдгийн дор экспонентын зэрэгт шилжих ёстой.

Жишээ 5. Мэдэгдэж байгаа бол N-г ол

Шийдэл. Дөнгөж хэлсэн потенциацийн дүрэмтэй холбогдуулан бид энэ тэгшитгэлийн баруун талд байгаа логарифмын тэмдгийн өмнө байрлах 2/3 ба 1/3 хүчин зүйлийг эдгээр логарифмын тэмдгийн дор илтгэгч болгон шилжүүлнэ; бид авдаг

Одоо бид логарифмын зөрүүг хэсгийн логарифмээр орлуулж байна:

Энэ тэгшитгэлийн гинжин хэлхээний сүүлчийн бутархайг олж авахын тулд бид өмнөх бутархайг хуваагч дахь иррационал байдлаас чөлөөлсөн (25-р хэсэг).

Өмч чанар 7. Хэрэв суурь нь нэгээс их бол том тоо нь том логарифмтай (бага нь бага байх), суурь нь нэгээс бага бол том тоо нь жижиг логарифмтай (мөн жижиг нь бага байна) нэг нь том хэмжээтэй).

Энэ шинж чанарыг тэгш бус байдлын логарифм авах дүрэм болгон томъёолсон бөгөөд хоёр тал нь эерэг байна.

Тэгш бус байдлыг нэгээс их суурьтай болгоход тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдах ба нэгээс бага суурьтай тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө (80-р зүйлийг мөн үзнэ үү).

Баталгаажуулалт нь 5 ба 3-р шинж чанарууд дээр суурилдаг. Хэрэв , тэгвэл, логарифмуудыг авч үзвэл бид гарах тохиолдлыг авч үзье.

(a ба N/M нь нэгдмэл байдлын нэг талд оршдог). Эндээс

Дараах тохиолдолд уншигч үүнийг өөрөө олох болно.

Натурал логарифмын үндсэн шинж чанарууд, график, тодорхойлолтын муж, утгын багц, үндсэн томъёо, дериватив, интеграл, тэлэлт эрчим хүчний цуврал ln x функцийг комплекс тоо ашиглан дүрслэх.

Тодорхойлолт

Байгалийн логарифмнь y = функц юм ln x, экспоненциалын урвуу нь x = e y ба e тооны суурийн логарифм юм: ln x = log e x.

Байгалийн логарифм нь математикт өргөн хэрэглэгддэг, учир нь түүний дериватив нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байдаг. (ln x)′ = 1/ x.

Үндэслэн тодорхойлолтууд, натурал логарифмын суурь нь тоо юм д:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

y = функцийн график ln x.

Натурал логарифмын график (функц у = ln x) нь y = x шулуунтай харьцуулахад толин тусгалаар экспоненциал графикаас гарна.

Натурал логарифм нь тодорхойлогдсон байна эерэг утгуудхувьсагч х.

Энэ нь тодорхойлолтын хүрээнд монотоноор нэмэгддэг. 0 x → дээр

натурал логарифмын хязгаар нь хасах хязгааргүй (-∞) юм.

x → + ∞ тул натурал логарифмын хязгаар нь хязгааргүй (+ ∞) байна. Том х-ийн хувьд логарифм нэлээд удаан өсдөг. А эерэг үзүүлэлттэй аливаа х a чадлын функц логарифмаас хурдан өсдөг.

Натурал логарифмын шинж чанарууд

Тодорхойлолт, утгын багц, экстремум, өсөлт, бууралт

Натурал логарифм нь монотон өсөн нэмэгдэж буй функц тул экстремумгүй. Байгалийн логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг хүснэгтэд үзүүлэв.

ln x утгууд

ln 1 = 0

Байгалийн логарифмын үндсэн томъёо

Урвуу функцийн тодорхойлолтоос үүссэн томъёонууд:

Логарифмын үндсэн шинж чанар ба түүний үр дагавар

Суурь солих томъёо

Аливаа логарифмыг үндсэн орлуулалтын томъёог ашиглан натурал логарифмын хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Эдгээр томъёоны нотолгоог "Логарифм" хэсэгт үзүүлэв.

Урвуу функц

Натурал логарифмын урвуу нь экспонент юм.

Хэрэв бол

Хэрэв тийм бол.

Дериватив ln x
.
Натурал логарифмын дериватив:
.
X модулийн натурал логарифмын дериватив:
.
n-р эрэмбийн дериватив:

Томьёог гарган авах > > >

Интеграл
.
Интегралыг хэсгүүдээр интегралд тооцно.

Тэгэхээр,

Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл
.
z цогцолбор хувьсагчийн функцийг авч үзье. Комплекс хувьсагчийг илэрхийлье z модулиар дамжуулан r φ :
.
болон маргаан
.
Логарифмын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараах байдалтай байна.
.
φ аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв та тавьсан бол
, энд n нь бүхэл тоо,
Энэ нь өөр n-ийн хувьд ижил тоо байх болно.

Тиймээс комплекс хувьсагчийн функц болох натурал логарифм нь нэг утгатай функц биш юм.

Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл

Өргөтгөх үед:

Ашигласан уран зохиол:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.

Өнөөдөр бид ярих болно логарифмын томъёомөн заалт өгнө шийдлийн жишээнүүд.

Тэд өөрсдөө логарифмын үндсэн шинж чанаруудын дагуу шийдлийн хэв маягийг илэрхийлдэг. Логарифмын томъёог шийдвэрлэхийн тулд ашиглахын өмнө бүх шинж чанаруудыг сануулъя:

Одоо эдгээр томьёо (шинж чанар) дээр үндэслэн бид харуулах болно Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ.

Томьёонд үндэслэн логарифмыг шийдвэрлэх жишээ.

Логарифм a суурийн эерэг тоо b (log a b гэж тэмдэглэсэн) нь b > 0, a > 0, 1-тэй b-ийг авахын тулд a-г өсгөх ёстой илтгэгч юм.

Тодорхойлолтоор log a b = x буюу a x = b-тэй тэнцэх тул log a a x = x гэж бичнэ.

Логарифм, жишээнүүд:

бүртгэл 2 8 = 3, учир нь 2 3 = 8

бүртгэл 7 49 = 2, учир нь 7 2 = 49

бүртгэл 5 1/5 = -1, учир нь 5 -1 = 1/5

Аравтын логарифм- энэ бол энгийн логарифм бөгөөд суурь нь 10. Үүнийг lg гэж тэмдэглэнэ.

бүртгэл 10 100 = 2, учир нь 10 2 = 100

Байгалийн логарифм- мөн энгийн логарифм, логарифм, гэхдээ суурь нь e (e = 2.71828... - иррационал тоо). ln гэж тэмдэглэсэн.

Логарифмын томьёо эсвэл шинж чанарыг цээжлэхийг зөвлөж байна, учир нь логарифмыг шийдвэрлэх үед бидэнд хэрэгтэй болно. логарифм тэгшитгэлба тэгш бус байдал. Томьёо тус бүрийг жишээн дээр дахин боловсруулъя.

• Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Бүтээгдэхүүний логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Хэсгийн логарифм нь логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 бүртгэл 5 50 /9 бүртгэл 5 2 = 9 бүртгэл 5 50- бүртгэл 5 2 = 9 бүртгэл 5 25 = 9 2 = 81

• Логарифмын тооны чадлын шинж чанарууд ба логарифмын суурийн суурь

  Логарифмын тооны илтгэгч log a b m = mllog a b

  Логарифмын суурийн илтгэгч log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  хэрэв m = n бол log a n b n = log a b болно

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Шинэ суурь руу шилжих
  log a b = log c b/log c a,

  хэрэв c = b бол бид log b b = 1 болно

  дараа нь log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Таны харж байгаагаар логарифмын томъёо нь санагдсан шиг тийм ч төвөгтэй биш юм. Одоо логарифмыг шийдэх жишээнүүдийг харсны дараа бид логарифмын тэгшитгэл рүү шилжиж болно. Бид логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг "" гэсэн нийтлэлд илүү нарийвчлан авч үзэх болно. Үүнийг бүү алдаарай!

Хэрэв танд шийдлийн талаар асуулт байгаа бол тэдгээрийг нийтлэлийн сэтгэгдэлд бичээрэй.

Жич: Бид сонголтоор өөр ангид боловсрол эзэмшиж, гадаадад суралцахаар шийдсэн.