Нарийн төвөгтэй функцийн хоёрдугаар эрэмбийн дериватив. Нарийн төвөгтэй деривативууд. Логарифмын дериватив. Хүч-экспоненциал функцийн дериватив

Урьдчилан их бууны бэлтгэл хийсний дараа 3-4-5 үүрний функц бүхий жишээнүүд нь аймшигтай биш байх болно. Дараах хоёр жишээ зарим хүнд төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй, гэхдээ хэрэв та тэдгээрийг ойлговол (хэн нэгэн нь зовох болно) бараг бүх зүйл дифференциал тооцооЭнэ нь хүүхдийн тоглоом шиг санагдах болно.

Жишээ 2

Функцийн деривативыг ол

Өмнө дурьдсанчлан деривативыг олох үед нарийн төвөгтэй функц, юуны түрүүнд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай ЗөвХөрөнгө оруулалтаа ОЙЛГООРОЙ. Эргэлзээтэй байгаа тохиолдолд би танд хэрэгтэй аргыг сануулж байна: бид жишээ нь "x"-ийн туршилтын утгыг авч, (сэтгэцийн эсвэл ноорог хэлбэрээр) орлуулахыг оролддог. өгөгдсөн үнэ цэнэ"аймшигтай илэрхийлэл" болж хувирав.

1) Эхлээд бид илэрхийллийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь нийлбэр нь хамгийн гүн шигтгээ гэсэн үг юм.

2) Дараа нь та логарифмыг тооцоолох хэрэгтэй:

4) Дараа нь косинусыг куб болгоно:

5) Тав дахь шатанд ялгаа:

6) Эцэст нь, хамгийн гадна талын функц нь квадрат язгуур юм:

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах томъёо хамгийн гадна талын функцээс хамгийн дотоод хүртэл урвуу дарааллаар хэрэгжинэ. Бид шийднэ:

Энэ нь алдаагүй юм шиг санагдаж байна:

1) Квадрат язгуурын деривативыг ав.

2) Дүрмийг ашиглан зөрүүний деривативыг авна

3) Гурав дахины дериватив нь тэг байна. Хоёр дахь гишүүнд бид градусын деривативыг (шоо) авна.

4) Косинусын деривативыг ав.

6) Эцэст нь бид хамгийн гүн шингээлтийн деривативыг авдаг.

Энэ нь хэтэрхий хэцүү мэт санагдаж болох ч энэ нь хамгийн харгис жишээ биш юм. Жишээлбэл, Кузнецовын цуглуулгыг авбал дүн шинжилгээ хийсэн деривативын бүх гоо үзэсгэлэн, энгийн байдлыг үнэлэх болно. Оюутан нийлмэл функцийн деривативыг хэрхэн олохыг ойлгож байна уу, эсвэл ойлгохгүй байна уу гэдгийг шалгахын тулд шалгалтанд ижил төстэй зүйл өгөх дуртай болохыг би анзаарсан.

Дараах жишээ нь та өөрөө шийдэх болно.

Жишээ 3

Функцийн деривативыг ол

Зөвлөгөө: Эхлээд бид шугаман байдлын дүрэм болон бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлнэ

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Илүү жижиг, илүү сайхан зүйл рүү шилжих цаг болжээ.
Хоёр биш, гурван функцийн үржвэрийг жишээгээр харуулах нь ердийн зүйл биш юм. -ийн деривативыг хэрхэн олох вэ гурвын бүтээгдэхүүнүржүүлэгч?

Жишээ 4

Функцийн деривативыг ол

Эхлээд бид гурван функцийн үржвэрийг хоёр функцийн үржвэр болгон хувиргах боломжтой юу? Жишээлбэл, хэрэв бид үржвэрт хоёр олон гишүүнтэй байсан бол хаалтыг нээж болно. Гэхдээ авч үзэж буй жишээн дээр бүх функцууд өөр өөр байдаг: градус, экспонент, логарифм.

Ийм тохиолдолд зайлшгүй шаардлагатай дараалсанбүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ хоёр удаа

Энэ заль мэх нь "y" -ээр бид хоёр функцийн үржвэрийг тэмдэглэдэг: "ve" -ээр бид логарифмыг тэмдэглэдэг. Яагаад үүнийг хийж болох вэ? Боломжтой юу - энэ нь хоёр хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн биш бөгөөд дүрэм ажиллахгүй байна уу?! Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй:

Одоо энэ дүрмийг хоёр дахь удаагаа хэрэглэх л үлдлээ хаалтанд:

Та мөн мушгиж, хаалтанд ямар нэгэн зүйл хийж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд хариултыг яг энэ хэлбэрээр үлдээх нь дээр - шалгахад хялбар байх болно.

Үзсэн жишээг хоёр дахь аргаар шийдэж болно.

Хоёр шийдэл нь туйлын тэнцүү юм.

Жишээ 5

Функцийн деривативыг ол

Энэ нь бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд үүнийг эхний аргыг ашиглан шийддэг.

Бутархайтай ижил төстэй жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 6

Функцийн деривативыг ол

Энд та хэд хэдэн арга замаар явж болно:

Эсвэл иймэрхүү:

Гэхдээ эхлээд хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглавал шийдэл илүү нягт бичигдэх болно , бүхэл тоологчийг авч үзвэл:

Зарчмын хувьд жишээ нь шийдэгдсэн, хэрэв байгаагаар нь үлдээвэл алдаа гарахгүй. Гэхдээ хэрэв танд цаг байгаа бол хариултыг хялбарчлах боломжтой эсэхийг шалгахын тулд төслийг үргэлж шалгаж үзэхийг зөвлөж байна уу?

Тоолуурын илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч болгон багасгаж, бутархайн гурван давхар бүтцээс салцгаая.:

Нэмэлт хялбаршуулсан сул тал нь деривативыг олохдоо бус харин сургуулийн өмнөх өөрчлөлтийн үед алдаа гаргах эрсдэлтэй байдаг. Нөгөөтэйгүүр, багш нар даалгавраас татгалзаж, деривативыг "санах" гэж хүсдэг.

Өөрөө шийдэх энгийн жишээ:

Жишээ 7

Функцийн деривативыг ол

Бид дериватив олох аргуудыг үргэлжлүүлэн эзэмшсээр байгаа бөгөөд одоо "аймшигтай" логарифмыг ялгахын тулд санал болгож буй ердийн тохиолдлыг авч үзэх болно.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёоны баталгааг өгөв. Нарийн төвөгтэй функц нь нэг эсвэл хоёр хувьсагчаас хамаарах тохиолдлуудыг нарийвчлан авч үздэг. Хэрэгт ерөнхий дүгнэлт хийсэн ямар ч тоохувьсагч.

Энд бид нийлмэл функцийн деривативын дараах томъёонуудын гарал үүслийг өгдөг.
Хэрэв бол
.
Хэрэв бол
.
Хэрэв бол
.

Нэг хувьсагчаас нийлмэл функцийн дериватив

x хувьсагчийн функцийг нийлмэл функцээр дараах хэлбэрээр илэрхийлье.
,
зарим функц байгаа газар. Энэ функц нь x хувьсагчийн зарим утгын хувьд дифференциал болно.
Дараа нь нийлмэл (нийлмэл) функц нь x цэг дээр ялгагдах бөгөөд түүний уламжлалыг томъёогоор тодорхойлно.
(1) .

Формула (1)-ийг мөн дараах байдлаар бичиж болно.
;
.

Баталгаа

Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.
;
.
Энд хувьсагчдын функц ба , хувьсагчийн функц ба .

Гэхдээ бид тооцоололд саад учруулахгүйн тулд эдгээр функцүүдийн аргументуудыг орхих болно.
;
.

Функцууд нь x ба цэгүүдэд тус тус ялгагддаг тул эдгээр цэгүүдэд эдгээр функцүүдийн деривативууд байдаг бөгөөд эдгээр нь дараах хязгаарууд юм.
.
Дараах функцийг авч үзье.
.
u хувьсагчийн тогтмол утгын хувьд функц нь .
.

Энэ нь ойлгомжтой
.
u хувьсагчийн тогтмол утгын хувьд функц нь .
.

Дараа нь

.

Функц нь цэг дээр дифференциалагдах функц тул тухайн цэг дээр тасралтгүй байна. Тийм ч учраас

Одоо бид деривативыг олно.

Томъёо нь батлагдсан.
,
Үр дагавар
.
Хэрэв x хувьсагчийн функцийг нийлмэл функцийн нийлмэл функцээр илэрхийлж болно

дараа нь түүний деривативыг томъёогоор тодорхойлно
Энд , мөн зарим ялгах функцууд байдаг.
.
Энэ томьёог батлахын тулд нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг ашиглан деривативыг дараалан тооцдог.
.
Нарийн төвөгтэй функцийг авч үзье
.
Энэ томьёог батлахын тулд нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг ашиглан деривативыг дараалан тооцдог.
.

Түүний дериватив

Анхны функцийг авч үзье Хоёр хувьсагчаас авсан нийлмэл функцийн дериватив.

Одоо нийлмэл функц хэд хэдэн хувьсагчаас хамааралтай байцгаая. Эхлээд харцгаая
,
хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцийн тохиолдол
x хувьсагчаас хамаарах функцийг дараах хэлбэрээр хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцээр илэрхийлье.
Хаана
(2) .

Баталгаа

мөн x хувьсагчийн зарим утгын хувьд ялгах функцууд байдаг;
;
.
- цэг дээр дифференциалагдах хоёр хувьсагчийн функц , .
;
.
Дараа нь нийлмэл функц нь тухайн цэгийн тодорхой хэсэгт тодорхойлогддог ба деривативтай бөгөөд үүнийг томъёогоор тодорхойлно.
;
.

Функцууд нь цэг дээр ялгагдах боломжтой байдаг тул тэдгээр нь энэ цэгийн тодорхой хөршид тодорхойлогддог, цэг дээр тасралтгүй байх ба тэдгээрийн деривативууд нь цэг дээр байдаг бөгөөд эдгээр нь дараах хязгаарууд юм.
(3) .
- цэг дээр дифференциалагдах хоёр хувьсагчийн функц , .

Энд
;

Нэг цэгт эдгээр функцүүдийн тасралтгүй байдлын улмаас бид дараах байдалтай байна:
Функц нь тухайн цэг дээр дифференциал болох тул энэ цэгийн тодорхой орчимд тодорхойлогддог, энэ цэг дээр тасралтгүй байх ба түүний өсөлтийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.
;
.
- функцийн аргументууд нь утгууд болон -ээр нэмэгдэх үед түүний өсөлт;
;
.

- хувьсагчдад хамаарах функцийн хэсэгчилсэн дериватив ба .

. :
.
Тогтмол утгуудын хувьд, ба нь хувьсагчийн функцууд болон.



.

Функц нь цэг дээр дифференциалагдах функц тул тухайн цэг дээр тасралтгүй байна. Тийм ч учраас

Тэд тэглэх хандлагатай байдаг ба:

Дээрх дүгнэлтийг нийлмэл функцийн хувьсагчийн тоо хоёроос дээш байх тохиолдолд хялбархан ерөнхийлж болно.

Жишээлбэл, хэрэв f бол гурван хувьсагчийн функц, Тэр
,
хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцийн тохиолдол
, мөн x хувьсагчийн зарим утгын хувьд ялгах функцүүд байдаг;
- , , цэг дээрх гурван хувьсагчийн дифференциал функц.
Дараа нь функцийн дифференциал байдлын тодорхойлолтоос бид дараахь зүйлийг олж авна.
(4)
.
Учир нь тасралтгүй байдлын улмаас
; ; ,
Тэр
;
;
.

(4)-г хувааж, хязгаарт хүрэхэд бид дараахь зүйлийг олж авна.
.

Тэгээд эцэст нь авч үзье ихэнх нь ерөнхий тохиолдол .
x хувьсагчийн функцийг n хувьсагчийн нийлмэл функцээр дараах хэлбэрээр илэрхийлье.
,
хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцийн тохиолдол
х хувьсагчийн зарим утгын хувьд ялгах функцууд байдаг;
- цэг дээрх n хувьсагчийн ялгах функц
, , ... , .
u хувьсагчийн тогтмол утгын хувьд функц нь .
.

Нарийн төвөгтэй төрлийн функцууд нь нарийн төвөгтэй функцийн тодорхойлолтод үргэлж нийцдэггүй. Хэрэв y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 хэлбэрийн функц байгаа бол y = sin 2 x-ээс ялгаатай нь нийлмэл гэж үзэж болохгүй.

Энэ нийтлэлд нарийн төвөгтэй функцийн тухай ойлголт, түүний тодорхойлолтыг харуулах болно. Дүгнэлт дэх шийдлийн жишээнүүдийн хамт деривативыг олох томьёотой ажиллацгаая. Деривативын хүснэгт ба ялгах дүрмийг ашиглах нь деривативыг олох хугацааг эрс багасгадаг.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Үндсэн тодорхойлолтууд

Тодорхойлолт 1

Аргумент нь мөн функц болох функцийг цогц функц гэнэ.

Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: f (g (x)). Бид g (x) функцийг f (g (x)) аргумент гэж үздэг.

Тодорхойлолт 2

Хэрэв f функц байгаа бөгөөд котангенс функц байвал g(x) = ln x функц болно байгалийн логарифм. f (g (x)) нийлмэл функц arctg(lnx) хэлбэрээр бичигдэхийг бид олж мэдсэн. Эсвэл g (x) = x 2 + 2 x - 3 нь бүхэл бүтэн рационал функц гэж тооцогддог 4-р зэрэглэлд өргөгдсөн функц болох f функцийг бид f (g (x)) = (x 2 +) гэж олж авна. 2 x - 3) 4 .

g(x) нь нарийн төвөгтэй байж болох нь ойлгомжтой. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 жишээнээс g-ийн утга нь бутархайн шоо язгууртай болох нь тодорхой байна. Энэ илэрхийллийг y = f (f 1 (f 2 (x))) гэж тэмдэглэж болно. Эндээс харахад f нь синусын функц, f 1 нь доор байрлах функц юм квадрат язгуур, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - бутархай рационал функц.

Тодорхойлолт 3

Үүрлэх зэрэг нь дурын натурал тоогоор тодорхойлогддог бөгөөд y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... f n (x)))))) гэж бичнэ.

Тодорхойлолт 4

Функцийн бүрэлдэхүүн гэдэг ойлголт нь асуудлын нөхцөлийн дагуу үүрлэсэн функцүүдийн тоог илэрхийлдэг. Шийдвэрлэхийн тулд хэлбэрийн нийлмэл функцийн деривативыг олох томъёог ашиглана уу

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Жишээ

Жишээ 1

y = (2 x + 1) 2 хэлбэрийн нийлмэл функцийн деривативыг ол.

Шийдэл

Нөхцөлөөс харахад f нь квадрат функц, g(x) = 2 x + 1 нь шугаман функц гэж тооцогддог.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив томъёог хэрэглэж, бичье.

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Функцийн хялбаршуулсан анхны хэлбэр бүхий деривативыг олох шаардлагатай. Бид авах:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Эндээс бидэнд ийм байна

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Үр дүн нь адилхан байсан.

Энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ f ба g (x) хэлбэрийн функц хаана байрлаж байгааг ойлгох нь чухал юм.

Жишээ 2

Та y = sin 2 x ба y = sin x 2 хэлбэрийн нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативуудыг олох хэрэгтэй.

Шийдэл

Эхний функцийн тэмдэглэгээ нь f нь квадратын функц, g(x) нь синусын функц юм. Дараа нь бид үүнийг авдаг

y " = (нүгэл 2 х) " = 2 нүгэл 2 - 1 x (нүгэл x) " = 2 нүгэл x cos x

Хоёр дахь оруулга нь f нь синус функц бөгөөд g(x) = x 2 гэж тэмдэглэсэн болохыг харуулж байна эрчим хүчний функц. Эндээс бид нийлмэл функцийн үржвэрийг бичнэ

y " = (нүгэл x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Дериватив y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) томъёог y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.)) гэж бичнэ. . ))) )) · . . . fn "(x)

Жишээ 3

y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) функцийн уламжлалыг ол.

Шийдэл

Энэ жишээ нь функцүүдийн байршлыг бичих, тодорхойлоход хүндрэлтэй байгааг харуулж байна. Дараа нь y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) нь синусын функц, өсгөх функц гэдгийг тэмдэглэнэ. 3 градус хүртэл, логарифм ба суурьтай функц e, арктангенс ба шугаман функц.

Нарийн төвөгтэй функцийг тодорхойлох томъёоноос бид үүнийг олж авна

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Бид олох ёстой зүйлээ авдаг

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) деривативын хүснэгтийн дагуу синусын дериватив, дараа нь f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4)) x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))) чадлын функцийн дериватив, дараа нь f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) логарифмын дериватив байдлаар, дараа нь f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) арктангентын дериватив, дараа нь f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. f 4 (x) = 2 x деривативыг олохдоо 1-тэй тэнцүү илтгэгчтэй чадлын функцийн деривативын томъёог ашиглан деривативын тэмдгээс 2-ыг хасаад f 4 "(x) = (2 x) болно. " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2.

Бид завсрын үр дүнг нэгтгэж, үүнийг авдаг

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Ийм функцүүдийн шинжилгээ нь үүрлэсэн хүүхэлдэйг санагдуулдаг. Дериватив хүснэгтийг ашиглан ялгах дүрмийг үргэлж тодорхой хэрэглэж болохгүй. Ихэнхдээ нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативыг олох томъёог ашиглах шаардлагатай байдаг.

Нарийн төвөгтэй харагдах байдал, нарийн төвөгтэй функцүүдийн хооронд зарим ялгаа байдаг. Үүнийг ялгах тодорхой чадвартай бол дериватив олох нь ялангуяа хялбар байх болно.

Жишээ 4

Ийм жишээ өгөхийг бодох хэрэгтэй. y = t g 2 x + 3 t g x + 1 хэлбэрийн функц байгаа бол g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 хэлбэрийн нийлмэл функц гэж үзэж болно. . Мэдээжийн хэрэг, нарийн төвөгтэй деривативын томъёог ашиглах шаардлагатай:

f " (г (х)) = (г 2 (х) + 3 г (х) + 1) " = (г 2 (х)) " + (3 г (х)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 хэлбэрийн функц нь t g x 2, 3 t g x ба 1-ийн нийлбэртэй тул нарийн төвөгтэй гэж үзэхгүй. Гэсэн хэдий ч t g x 2 нь нарийн төвөгтэй функц гэж тооцогддог бол бид g (x) = x 2 ба f хэлбэрийн чадлын функцийг олж авдаг бөгөөд энэ нь шүргэгч функц юм. Үүнийг хийхийн тулд дүнгээр нь ялгана. Бид үүнийг ойлгодог

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 учир 2 x

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг (t g x 2) олох руу шилжье ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Бид y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x гэсэн утгыг олж авна.

Нарийн төвөгтэй төрлийн функцууд нь нарийн төвөгтэй функцүүдэд багтаж болох ба нарийн төвөгтэй функцууд нь өөрөө нарийн төвөгтэй төрлийн функцүүдийн бүрэлдэхүүн хэсэг байж болно.

Жишээ 5

Жишээлбэл, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) хэлбэрийн цогц функцийг авч үзье.

Энэ функцийг y = f (g (x)) хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд f-ийн утга нь 3 суурь логарифмын функц, g (x) нь h (x) = хэлбэрийн хоёр функцийн нийлбэр гэж тооцогддог. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 ба k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Мэдээжийн хэрэг, y = f (h (x) + k (x)).

h(x) функцийг авч үзье. Энэ нь l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ба m (x) = e x 2 + 3 3 харьцаа юм.

Бидэнд l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) нь n (x) = x 2 + 7 ба p ( гэсэн хоёр функцийн нийлбэр юм. x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , энд p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) нь 3 тоон коэффициенттэй нийлмэл функц, p 1 нь куб функц, p 2 косинусын функцээр, p 3 (x) = 2 x + 1 шугаман функцээр.

m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) нь q (x) = e x 2 ба r (x) = 3 3 гэсэн хоёр функцийн нийлбэр болохыг олж мэдсэн бөгөөд энд q (x) = q 1 (q 2 (x)) нь нийлмэл функц, q 1 нь экспоненциалтай функц, q 2 (x) = x 2 нь чадлын функц юм.

Энэ нь h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) гэдгийг харуулж байна. (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x) хэлбэрийн илэрхийлэл рүү шилжих үед функц нь s (x) цогцолбор хэлбэрээр илэрхийлэгдэх нь тодорхой байна. = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) рационал бүхэл тоо t (x) = x 2 + 1, энд s 1 нь квадрат функц, s 2 (x) = ln x нь e суурьтай логарифм байна. .

Эндээс илэрхийлэл нь k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) хэлбэртэй болно.

Дараа нь бид үүнийг авдаг

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Функцийн бүтцэд үндэслэн илэрхийллийг ялгахдаа хэрхэн, ямар томьёог ашиглах шаардлагатай байгаа нь тодорхой болсон. Ийм асуудал, тэдгээрийн шийдлийн талаархи ойлголттой танилцахын тулд функцийг ялгах, өөрөөр хэлбэл түүний деривативыг олох цэг рүү шилжих шаардлагатай.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Тодорхойлолт.\(y = f(x) \) функцийг дотроо \(x_0\) цэгийг агуулсан тодорхой интервалд тодорхойл. Аргументад энэ интервалаас гарахгүй байхаар \(\Delta x \) нэмэгдэл өгье. \(\Delta y \) (\(x_0 \) цэгээс \(x_0 + \Delta x \) цэг рүү шилжих үед) функцийн харгалзах өсөлтийг олж \(\frac(\Delta) хамаарлыг байгуулъя. y)(\Дельта x) \). Хэрэв энэ харьцаанд \(\Дельта х \баруун сум 0\) хязгаар байгаа бол заасан хязгаарыг дуудна. функцийн дериватив\(y=f(x) \) цэг дээр \(x_0 \) ба \(f"(x_0) \) гэж тэмдэглэнэ.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Ү тэмдгийг ихэвчлэн деривативыг илэрхийлэхэд ашигладаг. y" = f(x) нь шинэ функц боловч дээрх хязгаар байгаа бүх x цэгүүдэд тодорхойлогдсон y = f(x) функцтэй угаасаа холбоотой болохыг анхаарна уу. Энэ функцийг ингэж нэрлэдэг: y = f(x) функцийн дериватив.

Деривативын геометрийн утгадараах байдалтай байна. Хэрэв y = f(x) функцийн графикт у тэнхлэгтэй параллель биш абсцисса x=a цэгт шүргэгч зурах боломжтой бол f(a) шүргэлтийн налууг илэрхийлнэ. :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \) тул \(f"(a) = tan(a) \) тэгш байдал үнэн болно.

Одоо деривативын тодорхойлолтыг ойролцоо тэгш байдлын үүднээс тайлбарлая. \(y = f(x)\) функц тодорхой \(x\) цэг дээр деривативтэй байг:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Энэ нь x цэгийн ойролцоо \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \prox f"(x) \), өөрөөр хэлбэл \(\Delta y \prox f"(x) \cdot\ гэсэн ойролцоо тэнцүү байна гэсэн үг. Delta x\). Үүний үр дүнд үүссэн ойролцоо тэгш байдлын утга учир нь дараах байдалтай байна: функцийн өсөлт нь аргументийн өсөлттэй "бараг пропорциональ" бөгөөд пропорциональ байдлын коэффициент нь деривативын утга юм. өгсөн оноо X. Жишээлбэл, \(y = x^2\) функцийн хувьд ойролцоогоор \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) хүчинтэй байна. Хэрэв бид деривативын тодорхойлолтыг сайтар судалж үзвэл түүнийг олох алгоритмыг агуулсан болохыг олж мэдэх болно.

Үүнийг томъёолъё.

y = f(x) функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

1. \(x\) утгыг засаад \(f(x)\)-г ол.
2. \(x\) аргументыг \(\Дельта x\) нэмж өгч, шинэ цэг рүү очно \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) олно.
3. Функцийн өсөлтийг ол: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) хамаарлыг үүсгэ.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$-г тооцоол.
Энэ хязгаар нь х цэг дээрх функцийн дериватив юм.

Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр деривативтай бол түүнийг х цэг дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. y = f(x) функцийн деривативыг олох процедурыг нэрлэнэ ялгах y = f(x) функцууд.

Дараах асуултын талаар ярилцъя: цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдал ба дифференциал байдал хоорондоо хэрхэн холбоотой вэ?

y = f(x) функцийг x цэг дээр дифференциалагдах гэж үзье. Дараа нь M(x; f(x)) цэг дээрх функцын график руу шүргэгчийг зурж болох ба шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь f "(x) -тэй тэнцүү гэдгийг санаарай. Ийм график "эвдэж" чадахгүй. M цэг дээр, өөрөөр хэлбэл функц нь x цэг дээр тасралтгүй байх ёстой.

Эдгээр нь "гар" аргументууд байсан. Илүү хатуу үндэслэлийг хэлье. Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ойролцоо тэнцүү байна. Хэрэв энэ тэгшитгэлд \(\Delta x) \) тэг болох хандлагатай бол \(\Delta y \) тэг болох хандлагатай байх ба энэ нь тухайн цэг дэх функцийн тасралтгүй байдлын нөхцөл юм.

Тэгэхээр, Хэрэв функц нь x цэг дээр дифференциал болох юм бол энэ нь тухайн цэг дээр тасралтгүй байна.

Урвуу мэдэгдэл нь үнэн биш юм. Жишээ нь: функц y = |x| хаа сайгүй, тухайлбал x = 0 цэг дээр үргэлжилдэг боловч “холболтын цэг” (0; 0) дээрх функцийн графикт шүргэгч байхгүй. Хэрэв аль нэг цэгт шүргэгчийг функцийн графикт зурах боломжгүй бол тухайн үед дериватив байхгүй болно.

Өөр нэг жишээ. \(y=\sqrt(x)\) функц нь x = 0 цэгийг оруулаад бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна. Мөн функцийн графикт шүргэгч нь x = 0 цэгийг оруулаад аль ч цэгт оршдог. Гэхдээ энэ үед шүргэгч нь у тэнхлэгтэй давхцдаг, өөрөөр хэлбэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр, түүний тэгшитгэл нь x = 0 хэлбэртэй байна. Налуугийн коэффициентийм мөр байхгүй, энэ нь \(f"(0) \) ч байхгүй гэсэн үг

Тиймээс бид функцийн шинэ шинж чанар болох дифференциалтай танилцсан. Функцийн графикаас ялгах боломжтой гэж яаж дүгнэх вэ?

Хариултыг үнэндээ дээр өгөв. Хэрэв аль нэг цэгт абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр биш функцийн графикт шүргэгч зурах боломжтой бол энэ үед функц дифференциал болно. Хэрэв аль нэг цэгт функцийн графикт шүргэгч байхгүй эсвэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр байвал энэ үед функц ялгах боломжгүй болно.

Ялгах дүрэм

Деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах. Энэ үйлдлийг гүйцэтгэхдээ та ихэнхдээ координат, нийлбэр, функцын бүтээгдэхүүн, түүнчлэн "функцийн функцүүд", өөрөөр хэлбэл нарийн төвөгтэй функцүүдтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэн бид энэ ажлыг хөнгөвчлөх ялгах дүрмийг гаргаж авч болно. Хэрэв C - тогтмол тооболон f=f(x), g=g(x) нь зарим дифференциалагдах функцууд байвал дараах нь үнэн болно ялгах дүрэм:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \баруун) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac) (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Зарим функцийн деривативын хүснэгт

$$ \left(\frac(1)(x) \баруун) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ доллар

Энэ нийтлэлд бид нийлмэл функц гэх мэт математикийн чухал ойлголтуудын талаар ярилцаж, нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг хэрхэн олох талаар сурах болно.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олж сурахаасаа өмнө нийлмэл функцийн тухай ойлголт, энэ нь юу болох, "юугаар иддэг", "хэрхэн зөв хоол хийх" зэргийг ойлгоцгооё.

Дурын функцийг авч үзье, жишээлбэл, энэ нь:

Функцийн тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талд байгаа аргумент нь ижил тоо буюу илэрхийлэл гэдгийг анхаарна уу.

Хувьсагчийн оронд бид жишээ нь дараах илэрхийллийг тавьж болно: . Тэгээд бид функцийг авна

Илэрхийллийг завсрын аргумент, функцийг гадаад функц гэж нэрлэе. Эдгээр нь хатуу математикийн ойлголтууд биш боловч нарийн төвөгтэй функц гэсэн ойлголтын утгыг ойлгоход тусалдаг.

Нарийн төвөгтэй функцийн тухай ойлголтын хатуу тодорхойлолт нь:

Функцийг олонлог дээр тодорхойлж, энэ функцийн утгуудын багц болго. Олонлог (эсвэл түүний дэд олонлог) нь функцийн тодорхойлолтын домэйн байг. Бүгдэд нь дугаар өгье. Тиймээс функц нь олонлог дээр тодорхойлогдох болно. Үүнийг функциональ бүрэлдэхүүн эсвэл цогц функц гэж нэрлэдэг.

Энэ тодорхойлолтод хэрэв бид нэр томъёогоо ашиглавал гадаад функц нь завсрын аргумент болно.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг дараах дүрмийн дагуу олно.

Илүү тодорхой болгохын тулд би энэ дүрмийг дараах байдлаар бичихийг хүсч байна.

Энэ илэрхийлэлд ашиглах нь завсрын функцийг илэрхийлнэ.

Тэгэхээр. Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олохын тулд танд хэрэгтэй

1. Аль функц гадаад болохыг тодорхойлж, деривативын хүснэгтээс харгалзах деривативыг ол.

2. Завсрын аргументыг тодорхойл.

Энэ процедурын хувьд хамгийн хэцүү зүйл бол гадаад функцийг олох явдал юм. Үүний тулд энгийн алгоритмыг ашигладаг:

А. Функцийн тэгшитгэлийг бичнэ үү.

б. Та x-ийн зарим утгын хувьд функцийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүнийг хийхийн тулд та энэ x утгыг функцийн тэгшитгэлд орлуулж, арифметикийг гүйцэтгэнэ. Таны хийх сүүлчийн үйлдэл бол гадаад функц юм.

Жишээлбэл, функцэд

Сүүлийн үйлдэл бол экспоненциал юм.

Энэ функцийн деривативыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид завсрын аргумент бичдэг