Хүч чадлын зөрүүг хүчин зүйл болгон хуваахыг бид аль хэдийн мэддэг болсон - "Квадратуудын ялгаа" ба "шоо дөрвөлжингийн ялгаа" сэдвийг судлахдаа бид дөрвөлжин эсвэл шоо хэлбэрээр илэрхийлж болох илэрхийллийн зөрүүг бүтээгдэхүүн болгон дүрсэлж сурсан. илэрхийлэл эсвэл тоо.

Үржүүлэх товчилсон томъёо

Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан:

квадратуудын зөрүүг хоёр тоо эсвэл илэрхийллийн зөрүү ба тэдгээрийн нийлбэрийн үржвэрээр илэрхийлж болно

Кубуудын зөрүүг нийлбэрийн бүрэн бус квадратаар хоёр тооны зөрүүний үржвэрээр илэрхийлж болно.

Илэрхийллийн зөрүү рүү 4-р зэрэглэл рүү шилжих

Квадратуудын зөрүүний томьёо дээр үндэслэн $a^4-b^4$ илэрхийллийг хүчин зүйлээр ангилж үзье.

Зэрэг хэрхэн дээшилдэгийг санацгаая - үүний тулд суурь нь хэвээр үлдэж, илтгэгчийг үржүүлдэг, өөрөөр хэлбэл $((a^n))^m=a^(n*m)$

Дараа нь та төсөөлж болно:

$a^4=(((a)^2))^2$

$b^4=(((b)^2))^2$

Энэ нь бидний илэрхийлэлийг $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$ хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн үг юм.

Одоо эхний хаалтанд бид дахин тооны зөрүүг хүлээн авсан бөгөөд энэ нь бид үүнийг хоёр тоо эсвэл илэрхийллийн зөрүүний үржвэр болгон тэдгээрийн нийлбэрээр дахин үржүүлж болно гэсэн үг юм: $a^2-b^2=\left(a-b\right) )(a+b)$.

Одоо олон гишүүнтийн үржвэрийн дүрмийг ашиглан хоёр ба гурав дахь хаалтны үржвэрийг тооцоолъё - эхний олон гишүүнт гишүүн бүрийг хоёр дахь олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлж үр дүнг нэмнэ. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд эхний олон гишүүнтийн эхний гишүүн - $a$ - хоёр дахь гишүүний эхний ба хоёр дахь гишүүнээр ($a^2$ ба $b^2$) үржүүлнэ. бид $a\cdot a^2+a\cdot b^2$-ийг аваад дараа нь -$b$- эхний олон гишүүнтийн хоёр дахь гишүүнийг хоёр дахь олон гишүүнтийн нэг ба хоёр дахь гишүүнээр үржүүлнэ ($a^2$ ба $b^2$), тэдгээр. бид $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$-г авч, үүссэн илэрхийллийн нийлбэрийг байгуулна.

$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

Тооцоолсон бүтээгдэхүүнийг харгалзан 4-р зэргийн мономиалуудын зөрүүг бичье.

$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +b^2)$=$\ \left(a-b\right)(a+b)(a^2+b^2)\ $=

Илэрхийллийн зөрүү рүү 6-р зэрэглэл рүү шилжих

Квадратуудын зөрүүний томьёо дээр үндэслэн $a^6-b^6$ илэрхийллийг хүчин зүйлээр ангилж үзье.

Зэрэг хэрхэн дээшилдэгийг санацгаая - үүний тулд суурь нь хэвээр үлдэж, илтгэгчийг үржүүлнэ, өөрөөр хэлбэл $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$

Дараа нь та төсөөлж болно:

$a^6=(((a)^3))^2$

$b^6=(((b)^3))^2$

Энэ нь бидний илэрхийлэлийг $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$ хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн үг юм.

Эхний хаалтанд бид мономиалуудын шоо дөрвөлжингийн зөрүүг, хоёрдугаарт мономиалуудын шоо нийлбэрийг авсан бол одоо бид мономиалуудын шоо нийлбэрийг нийлбэрийн бүрэн бус квадратаар хоёр тооны зөрүүний үржвэр болгон дахин хүчинжүүлэх боломжтой. $a^3-b^3=\зүүн(a-b\баруун)( a^2+ab+b^2)$

Анхны илэрхийлэл нь хэлбэрийг авдаг

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\зүүн(a^3+b^3\баруун)=\зүүн(a-b\баруун)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$

Хоёр болон гурав дахь хаалтны үржвэрийг олон гишүүнтийн үржвэрийн дүрмийг ашиглан тооцоолъё - эхний олон гишүүнт гишүүн бүрийг хоёр дахь олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлж үр дүнг нэмнэ.

$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$

Тооцоолсон бүтээгдэхүүнийг харгалзан 6-р зэргийн мономиалуудын зөрүүг бичье.

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\зүүн(a^3+b^3\баруун)=\зүүн(a-b\баруун)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$

Хүчин чадлын зөрүүг хүчин зүйл болгох

Кубын зөрүү, $4$ градусын зөрүү, $6$ градусын зөрүүний томъёонд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Эдгээр өргөтгөл бүрд зарим нэг зүйрлэл байгааг бид харж байгаа бөгөөд үүнийг ерөнхийд нь авч үзье.

Жишээ 1

$(32x)^(10)-(243y)^(15)$ хүчин зүйлээр ангил

Шийдэл:Эхлээд мономиал бүрийг 5-р зэрэглэлийн мономиал болгон төлөөлүүлье.

\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]

Бид чадлын зөрүүний томъёог ашигладаг

Зураг 1.

Онлайн тооцоолуур.
Хоёр гишүүний квадратыг салгаж, дөрвөлжин гурвалсан тоогоор ялгах.

Энэ математикийн програм дөрвөлжин хоёр гишүүнийг квадрат гурвалсанаас ялгадаг, өөрөөр хэлбэл дараах өөрчлөлтийг хийдэг.
\(ax^2+bx+c \баруун сум a(x+p)^2+q \) ба квадрат гурвалжийг үржвэржүүлэх: \(ax^2+bx+c \баруун сум a(x+n)(x+m) \)

Тэдгээр. \(p, q\) ба \(n, m\) тоонуудыг олох хүртэл асуудал гардаг.

Програм нь асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна шийдвэрлэх үйл явцыг харуулдаг.

Энэ хөтөлбөр нь ахлах ангийн сурагчдад хэрэг болох юм дунд сургуулиуд-д бэлтгэж байна туршилтуудболон шалгалтууд, Улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах боломжтой. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу?Математик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно.

Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Хэрэв та квадрат гурвалжинд орох дүрмийг мэдэхгүй бол тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Квадрат олон гишүүнт оруулах дүрэм

Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.
Жишээ нь: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) гэх мэт.

Тоонуудыг бүхэл болон бутархай тоогоор оруулж болно.
Түүнээс гадна, бутархай тоозөвхөн аравтын бутархай бус энгийн бутархай хэлбэрээр оруулж болно.

Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Аравтын бутархайн хувьд бутархай хэсгийг бүхэл хэсгээс цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээлбэл, та орж болно аравтын бутархайүүнтэй адил: 2.5x - 3.5x^2

Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна.

Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.

Тоон бутархай оруулахдаа тоологчийг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. /
Бүхэл хэсгийг бутархайгаас амперсанд тэмдгээр тусгаарлана. &
Оролт: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Үр дүн: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Илэрхийлэл оруулах үед та хаалт ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд шийдвэрлэхдээ танилцуулсан илэрхийллийг эхлээд хялбаршуулсан болно.
Жишээ нь: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Жишээ нарийвчилсан шийдэл

Хоёр гишүүний квадратыг тусгаарлах.$$ ax^2+bx+c \баруун сум a(x+p)^2+q $$ $2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \баруун)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\зүүн (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \баруун)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \баруун)^2 \баруун)-\frac(9) )(2) = $$ $$2\зүүн(x+\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) $$ Хариулт:$$2х^2+2х-4 = 2\зүүн(x+\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) $$ Factorization.$$ ax^2+bx+c \баруун сум a(x+n)(x+m) $$ $2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\зүүн(x^2+x-2 \баруун) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \баруун) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Хариулт:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Шийдэх

Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлэх хэрэгтэй.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв та шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Бүү март ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Хоёр гишүүний квадратыг дөрвөлжин гурвалсанаас тусгаарлах

Хэрэв дөрвөлжин гурвалсан тэнхлэг 2 +bx+c нь a(x+p) 2 +q хэлбэрээр дүрслэгдсэн бол p ба q нь бодит тоо бол бид үүнийг дараахаас хэлнэ. квадрат гурвалсан, хоёр гишүүний квадратыг тодруулсан.

2х 2 +12х+14 гурвалсан тооноос бид хоёр гишүүний квадратыг гаргаж авдаг.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Үүнийг хийхийн тулд 6x-ийг 2*3*x-ийн үржвэр гэж төсөөлөөд дараа нь 3 2-ыг нэмж хасах хэрэгтэй. Бид авах:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Тэр. Бид дөрвөлжин хоёр гишүүнийг дөрвөлжин гурвалсанаас гаргаж ав, мөн үүнийг харуулсан:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Квадрат гурвалжны коэффициент

Хэрэв квадрат гурвалсан тэнхлэг 2 +bx+c нь a(x+n)(x+m) хэлбэрээр дүрслэгдсэн бол n ба m нь бодит тоо бол үйлдлийг гүйцэтгэсэн гэж үзнэ. квадрат гурвалжны үржүүлэх.

Энэ хувиргалт хэрхэн хийгдсэнийг жишээгээр харуулъя.

Квадрат гурвалсан 2х 2 +4х-6-г үржүүлье.

А коэффициентийг хаалтнаас авч үзье, өөрөөр хэлбэл. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Хаалтанд байгаа илэрхийллийг хувиргацгаая.
Үүнийг хийхийн тулд 2x-ийг 3x-1x-ийн зөрүү, -3-ыг -1*3 гэж төсөөл. Бид авах:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Тэр. Бид квадрат гурвалжийг хүчинтэй болгов, мөн үүнийг харуулсан:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Квадрат гурвалжийг хүчин зүйл болгох нь зөвхөн дараах тохиолдолд боломжтой гэдгийг анхаарна уу. квадрат тэгшитгэл, энэ гурвалжинд харгалзах нь үндэстэй.
Тэдгээр. манай тохиолдолд 2х 2 +4х-6 =0 квадрат тэгшитгэл язгууртай бол 2х 2 +4х-6 гурвалсан тоог үржүүлэх боломжтой. Үржүүлэх үйл явцад бид 2x 2 + 4x-6 = 0 тэгшитгэл нь 1 ба -3 гэсэн хоёр үндэстэй болохыг тогтоосон. эдгээр утгуудаар 2(x-1)(x+3)=0 тэгшитгэл жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирна.

Ном (сурах бичиг) Улсын нэгдсэн шалгалтын хураангуй болон Улсын нэгдсэн шалгалтын тестийн онлайн тоглоомууд, оньсого тоглоомууд Функцийн графикуудыг зурах Орос хэлний зөв бичгийн дүрмийн толь бичиг Орос сургуулийн залуучуудын хэллэгийн толь бичиг ОХУ-ын дунд боловсролын байгууллагуудын каталог Оросын их дээд сургуулиудын каталогийн жагсаалт даалгавруудын

Олон гишүүнт хүчин зүйл хийх. 1-р хэсэг

Факторжуулалтнь нарийн төвөгтэй тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг бүх нийтийн арга юм. Баруун талд нь тэг байгаа тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хамгийн түрүүнд толгойд орж ирэх бодол бол зүүн талыг хүчин зүйлээр тооцох явдал юм.

Гол зүйлийг жагсаацгаая олон гишүүнт хүчин зүйл тооцох арга:

• нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж байна
• үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан
• квадрат гурвалжийг хүчин зүйл болгох томъёог ашиглан
• бүлэглэх арга
• олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах
• тодорхойгүй коэффициентийн арга

Энэ нийтлэлд бид эхний гурван аргыг нарийвчлан авч үзэх болно, үлдсэнийг нь дараагийн өгүүллээр авч үзэх болно.

1. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах.

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргахын тулд эхлээд үүнийг олох хэрэгтэй. Нийтлэг үржүүлэгч хүчин зүйлбүх коэффициентүүдийн хамгийн том нийтлэг хуваагчтай тэнцүү.

Захидлын хэсэгнийтлэг хүчин зүйл нь гишүүн бүрт багтсан хамгийн бага илтгэгчтэй илэрхийллийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Нийтлэг үржүүлэгчийг хуваарилах схем дараах байдалтай байна.

Анхаар!
Хаалтанд байгаа нэр томъёоны тоо нь анхны илэрхийлэл дэх нэр томъёоны тоотой тэнцүү байна. Хэрэв нэр томъёоны аль нэг нь нийтлэг хүчин зүйлтэй давхцаж байвал түүнийг нийтлэг хүчин зүйлээр хуваахдаа бид нэгийг авна.

Жишээ 1.

Олон гишүүнт хүчин зүйл:

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая. Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд үүнийг олох болно.

1. Олон гишүүнтийн бүх коэффициентийн хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол, i.e. 20, 35, 15 тоо. Энэ нь 5-тай тэнцүү.

2. Бид хувьсагч бүх гишүүнд агуулагдаж байгаа бөгөөд түүний илтгэгчийн хамгийн бага нь 2-той тэнцүү байна. Хувьсагч бүх гишүүнд агуулагдаж, хамгийн бага илтгэгч нь 3 байна.

Хувьсагч нь зөвхөн хоёр дахь гишүүнд агуулагддаг тул энэ нь нийтлэг хүчин зүйлийн нэг хэсэг биш юм.

Тэгэхээр нийт хүчин зүйл нь

3. Бид дээр өгөгдсөн диаграммыг ашиглан үржүүлэгчийг хаалтнаас гаргана.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл. Тэгшитгэлийн зүүн талыг үржвэр болгоё. Хаалтанд байгаа хүчин зүйлийг авч үзье:

Тиймээс бид тэгшитгэлийг олж авна

Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүлье:

Бид эхний тэгшитгэлийн үндэсийг олж авна.

Үндэс:

Хариулт: -1, 2, 4

2. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан үржүүлэх.

Хэрэв бидний үржүүлэх гэж буй олон гишүүнт гишүүний тоо гурваас бага буюу тэнцүү бол бид үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглахыг оролддог.

1. Хэрэв олон гишүүнт байвалхоёр нэр томъёоны зөрүү, дараа нь бид өргөдөл гаргахыг хичээдэг квадрат зөрүүний томъёо:

эсвэл кубын зөрүүний томъёо:

Энд захидал байна мөн тоо эсвэл алгебрийн илэрхийлэлийг тэмдэглэнэ.

2. Хэрэв олон гишүүнт нь хоёр гишүүний нийлбэр бол үүнийг ашиглан хүчин зүйлээр ялгах боломжтой куб томъёоны нийлбэр:

3. Хэрэв олон гишүүнт гурван гишүүнээс бүрддэг бол бид хэрэглэхийг оролддог квадрат нийлбэрийн томъёо:

эсвэл квадрат ялгааны томъёо:

Эсвэл бид хүчин зүйлээр тооцохыг хичээдэг квадрат гурвалжийг хүчин зүйлээр ялгах томьёо:

Энд ба квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд байна

Жишээ 3.Илэрхийллийн хүчин зүйл:

Шийдэл. Бидний өмнө хоёр гишүүний нийлбэр байна. Шоо нийлбэрийн томъёог хэрэглэхийг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд нэр томъёо бүрийг ямар нэгэн илэрхийллийн шоо хэлбэрээр төлөөлж, дараа нь кубуудын нийлбэрийн томъёог хэрэглэнэ.

Жишээ 4.Илэрхийллийн хүчин зүйл:

Шийдвэр. Энд бид хоёр илэрхийллийн квадратуудын ялгааг олж авна. Эхний илэрхийлэл: , хоёр дахь илэрхийлэл:

Квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглая:

Хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ хичээлээр бид олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгохын өмнө судалж байсан бүх аргуудыг эргэн дурсаж, тэдгээрийн хэрэглээний жишээг авч үзэх болно, үүнээс гадна бид шинэ аргыг - бүрэн квадратыг тусгаарлах аргыг судалж, янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглах талаар сурах болно. .

Сэдэв:Олон гишүүнт хүчин зүйл

Хичээл:Олон гишүүнт хүчин зүйлс. Бүрэн квадратыг сонгох арга. Аргын хослол

Өмнө нь судалж байсан олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгох үндсэн аргуудыг эргэн санацгаая.

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах арга, өөрөөр хэлбэл олон гишүүнтийн бүх гишүүнд байгаа хүчин зүйл. Нэг жишээг харцгаая:

Мономиал нь хүч ба тооны үржвэр гэдгийг санаарай. Бидний жишээн дээр хоёр нэр томъёо нь нийтлэг, ижил элементүүдтэй байдаг.

Тиймээс, нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая:

;

Гарсан коэффициентийг хаалтанд үржүүлснээр хасагдсан хүчин зүйлийн зөв эсэхийг шалгах боломжтой гэдгийг сануулъя.

Бүлэглэх арга. Олон гишүүнт нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж авах нь үргэлж боломжгүй байдаг. Энэ тохиолдолд та гишүүдээ бүлгүүдэд хуваах хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр бүлэг бүрээс нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж аваад, бүлгүүдийн хүчин зүйлсийг хассаны дараа бүлэгт нийтлэг хүчин зүйл гарч ирэхийн тулд үүнийг задлахыг хичээх хэрэгтэй. бүх илэрхийлэл, мөн та задралыг үргэлжлүүлж болно. Нэг жишээг харцгаая:

Нэгдүгээр гишүүнийг дөрөв дэх, хоёр дахь нь тав, гурав дахь нь зургаа дахь гишүүнтэй бүлэглэе.

Бүлгүүдийн нийтлэг хүчин зүйлсийг авч үзье:

Энэ илэрхийлэл нь одоо нийтлэг хүчин зүйлтэй болсон. Үүнийг гаргаж авцгаая:

Үржүүлэх товчилсон томъёоны хэрэглээ. Нэг жишээг харцгаая:

;

Илэрхийлэлийг дэлгэрэнгүй бичье:

Мэдээжийн хэрэг, бид хоёр илэрхийллийн квадратуудын нийлбэр бөгөөд тэдгээрийн давхар үржвэрийг хассан тул квадрат зөрүүний томъёо бидний өмнө байна. Томьёог ашиглая:

Өнөөдөр бид өөр аргыг сурах болно - бүрэн квадратыг сонгох арга. Энэ нь нийлбэрийн квадрат ба зөрүүний квадратын томьёонд суурилдаг. Тэдэнд сануулъя:

Нийлбэрийн квадратын томъёо (ялгаа);

Эдгээр томьёоны онцлог нь хоёр илэрхийллийн квадратууд болон тэдгээрийн давхар үржвэрийг агуулсан байдаг. Нэг жишээг харцгаая:

Илэрхийлэлийг бичье:

Тэгэхээр эхний илэрхийлэл нь , хоёр дахь илэрхийлэл нь .

Нийлбэр эсвэл зөрүүний квадратын томьёог үүсгэхийн тулд илэрхийллийн үржвэрийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх нь хангалтгүй юм. Үүнийг нэмэх, хасах шаардлагатай:

Нийлбэрийн квадратыг гүйцээцгээе:

Үр дүнгийн илэрхийлэлийг өөрчилье:

Хоёр илэрхийллийн квадратуудын зөрүү нь тэдгээрийн үржвэр ба тэдгээрийн зөрүүний нийлбэр гэдгийг санаарай, квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглацгаая.

Тэгэхээр, энэ аргаЮуны өмнө квадрат болох a, b илэрхийллийг тодорхойлох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл энэ жишээнд аль илэрхийлэл квадрат болохыг тодорхойлох шаардлагатай. Үүний дараа та давхар үржвэр байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй бөгөөд хэрэв байхгүй бол нэмэх, хасах нь жишээний утгыг өөрчлөхгүй, харин олон гишүүнтийг квадратын томъёог ашиглан хүчин зүйлээр ангилж болно. боломжтой бол квадратуудын нийлбэр буюу зөрүү ба зөрүү.

Жишээнүүдийг шийдвэрлэх рүү шилжье.

Жишээ 1 - хүчин зүйлчлэл:

Квадрат хэлбэртэй илэрхийллүүдийг олцгооё.

Тэдний давхар бүтээгдэхүүн ямар байх ёстойг бичье.

Давхар үржвэрийг нэмж хасъя:

Нийлбэрийн квадратыг гүйцээж, ижил төстэй тоог өгье.

Үүнийг квадратуудын зөрүүг томъёогоор бичье.

Жишээ 2 - тэгшитгэлийг шийд:

;

Тэгшитгэлийн зүүн талд гурвалсан тоо байна. Та үүнийг хүчин зүйл болгон тооцох хэрэгтэй. Бид квадрат зөрүүний томъёог ашигладаг:

Бидэнд эхний илэрхийллийн квадрат ба давхар үржвэр байгаа, хоёр дахь илэрхийллийн квадрат дутуу байна, үүнийг нэмж, хасъя:

Бүтэн квадратыг нугалж, ижил төстэй нэр томъёог өгье.

Квадратуудын зөрүүг томъёогоор ашиглая:

Тэгэхээр бидэнд тэгшитгэл байна

Хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бүтээгдэхүүн тэгтэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Үүний үндсэн дээр дараах тэгшитгэлийг байгуулъя.

Эхний тэгшитгэлийг шийдье:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдье:

Хариулт: эсвэл

;

Бид өмнөх жишээтэй ижил төстэй байдлаар ажиллана - ялгааны квадратыг сонгоно уу.

Ихэнх тохиолдолд бутархайн хуваагч ба хуваагч нь алгебрийн илэрхийлэл бөгөөд үүнийг эхлээд хүчин зүйлээр нь ялгаж, дараа нь тэдгээрийн дунд ижил утгатайг олж, тоологч ба хуваагчийг хоёуланг нь хувааж, өөрөөр хэлбэл бутархайг багасгадаг. 7-р ангийн алгебрийн сурах бичгийн бүхэл бүтэн бүлэг олон гишүүнт хүчин зүйл ангилах даалгаварт зориулагдсан болно. Factorization хийж болно 3 арга, түүнчлэн эдгээр аргуудын хослол.

1. Үржүүлэх товчилсон томъёоны хэрэглээ

Мэдэгдэж байгаагаар, to олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх, та нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг нөгөө олон гишүүний гишүүн бүрээр үржүүлж, үр дүнг нэмэх хэрэгтэй. Үзэл баримтлалд багтсан олон гишүүнтийг үржүүлэх хамгийн багадаа 7 (долоо) тохиолдол байдаг. Жишээ нь,

Хүснэгт 1. 1-р аргаар хүчин зүйл ангилах

2. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах

Энэ арга нь тархалтын үржүүлгийн хуулийг хэрэглэхэд суурилдаг. Жишээ нь,

Бид анхны илэрхийллийн гишүүн бүрийг гаргаж авсан хүчин зүйлээр нь хувааж, хаалтанд илэрхийлэл авдаг (өөрөөр хэлбэл, бидний гаргаж авсан зүйлд байсан зүйлийг хуваах үр дүн нь хаалтанд үлдэнэ). Юуны өмнө танд хэрэгтэй үржүүлэгчийг зөв тодорхойлох, үүнийг хаалтаас гаргах ёстой.

Нийтлэг хүчин зүйл нь хаалтанд олон гишүүнт байж болно:

"Үйлчлэх хүчин зүйл" даалгаврыг гүйцэтгэхдээ нийт коэффициентийг хаалтанд оруулахдаа тэмдгүүдэд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Хаалтанд байгаа нэр томъёо бүрийн тэмдгийг өөрчлөх (б - а), нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая -1 , мөн хаалтанд байгаа нэр томъёо бүрийг -1-д хуваана: (б - а) = - (а - б) .

Хэрэв хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь дөрвөлжин хэлбэртэй байвал (эсвэл тэгш түвшинд) байвал хаалт доторх тоонуудыг сольж болно бүрэн чөлөөтэй, учир нь хаалтнаас хасагдсан хасах нь үржүүлснээр нэмэх болно. (b - a) 2 = (a - b) 2, (б - а) 4 = (а - б) 4 гэх мэт...

3. Бүлэглэх арга

Заримдаа илэрхийлэл дэх бүх нэр томъёо нь нийтлэг хүчин зүйлтэй байдаггүй, гэхдээ зөвхөн зарим нь байдаг. Дараа нь та оролдож болно бүлгийн нэр томъёо тус бүрээс зарим хүчин зүйлийг гаргаж авахын тулд хаалтанд оруулна. Бүлэглэх арга- энэ нь нийтлэг хүчин зүйлсийг хаалтаас давхар хассан явдал юм.

4. Хэд хэдэн аргыг нэгэн зэрэг ашиглах

Заримдаа олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх нэг биш, хэд хэдэн аргыг нэгэн зэрэг ашиглах хэрэгтэй болдог.

Энэ бол сэдвийн хураангуй юм "Факторжуулалт". Дараа нь юу хийхээ сонгоно уу:

• Дараагийн хураангуй руу очих: