Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг багасгах. Квадрат тэгшитгэлийн аман шийдэл ба Виетийн теорем

Виетийн теорем руу шилжихийн өмнө бид тодорхойлолтыг танилцуулж байна. Маягтын квадрат тэгшитгэл x² + px + q= 0-ийг багасгасан гэж нэрлэдэг. Энэ тэгшитгэлд тэргүүлэх коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, тэгшитгэл x² - 3 x- 4 = 0 буурсан байна. Маягтын аливаа квадрат тэгшитгэл сүх² + b x + в= 0-ийг тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах замаар багасгаж болно А≠ 0. Жишээ нь тэгшитгэл 4 x² + 4 x— 3 = 0-ийг 4-т хуваах нь дараах хэлбэртэй болно. x² + x— 3/4 = 0. Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гаргаж авъя ерөнхий үзэл: сүх² + bx + в = 0

Багасгасан тэгшитгэл x² + px + q= 0 нь ерөнхий тэгшитгэлтэй давхцаж байна А = 1, б = х, в = q.Тиймээс өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

сүүлчийн илэрхийлэл нь бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ томъёог ашиглах нь ялангуяа тохиромжтой r- тэгш тоо. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг шийдье x² - 14 x — 15 = 0

Үүний хариуд бид тэгшитгэлийг хоёр үндэстэй гэж бичнэ.

Эерэгтэй багасгасан квадрат тэгшитгэлийн хувьд дараах теорем хэрэгжинэ.

Вьетагийн теорем

Хэрэв x 1 ба x 2 - тэгшитгэлийн үндэс x² + px + q= 0 бол томъёонууд хүчинтэй байна:

x 1 + x 2 = — r

x 1 * x 2 = q,өөрөөр хэлбэл, бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй, язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.

Дээрх квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёонд үндэслэн бид:

Эдгээр тэгшитгэлийг нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна. x 1 + x 2 = —r.

Квадратуудын зөрүүг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийг үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хэрэв бид энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг хоёр ижил язгууртай гэж үзвэл дискриминант нь тэгтэй тэнцүү байх үед Виетийн теорем хүчинтэй болохыг анхаарна уу. x 1 = x 2 = — r/2.

Тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр x² - 13 x+ 30 = 0 нь язгуурын нийлбэр ба үржвэрийг ол x 1 ба x 2. энэ тэгшитгэл Д= 169 – 120 = 49 > 0 тул Виетийн теоремыг ашиглаж болно. x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Өөр хэдэн жишээ авч үзье. Тэгшитгэлийн язгууруудын нэг x² — px- 12 = 0 тэнцүү байна x 1 = 4. Коэффицентийг ол rба хоёр дахь үндэс xЭнэ тэгшитгэлийн 2. Вьетагийн теоремоор x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — r.Учир нь x 1 = 4, дараа нь 4 x 2 = - 12, хаанаас x 2 = — 3, r = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. Хариуд нь бид хоёр дахь язгуурыг бичнэ x 2 = - 3, коэффициент p = - 1.

Тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр x² + 2 x- 4 = 0 бол түүний язгууруудын квадратуудын нийлбэрийг олъё. Болъё x 1 ба x 2 - тэгшитгэлийн үндэс. Вьетагийн теоремоор x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Учир нь x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 тэгвэл x 1²+ x 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

3-р тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр ба үржвэрийг олъё x² + 4 x- 5 = 0. Энэ тэгшитгэл нь дискриминантаас хойш хоёр өөр үндэстэй Д= 16 + 4*3*5 > 0. Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид Виетийн теоремыг ашиглана. Энэ теорем нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд батлагдсан. Тэгэхээр энэ тэгшитгэлийг 3-т хуваая.

Тиймээс үндэснүүдийн нийлбэр нь -4/3, тэдгээрийн үржвэр нь -5/3-тай тэнцүү байна.

IN ерөнхий тохиолдолтэгшитгэлийн үндэс сүх² + b x + в= 0 нь дараах тэгшитгэлээр холбогдоно. x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a,Эдгээр томьёог олж авахын тулд энэ квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваахад хангалттай А ≠ 0 Үүссэн бууруулсан квадрат тэгшитгэлд Виетийн теоремыг хэрэглэнэ. Нэг жишээг авч үзье: та язгуур нь бууруулсан квадрат тэгшитгэл үүсгэх хэрэгтэй x 1 = 3, x 2 = 4. Учир нь x 1 = 3, x 2 = 4 - квадрат тэгшитгэлийн үндэс x² + px + q= 0, дараа нь Виетийн теоремоор r = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Бид хариултыг гэж бичнэ x² - 7 x+ 12 = 0. Зарим бодлого бодохдоо дараах теоремыг ашиглана.

Теорем нь Вьетагийн теоремтой эсрэг байна

Хэрэв тоонууд r, q, x 1 , x 2 нь ийм байна x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, Тэр x 1Тэгээд x 2- тэгшитгэлийн үндэс x² + px + q= 0. Зүүн талд орлуулна x² + px + qоронд нь rилэрхийлэл - ( x 1 + x 2), оронд нь q- ажил x 1 * x 2.Бид авах: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2).Тиймээс хэрэв тоонууд r, q, x 1 ба x 2 нь эдгээр харилцаагаар холбогддог, тэгвэл бүгдэд нь Xтэгш байдал хадгалагдана x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2),үүнээс үүдэн гарч ирдэг x 1 ба x 2 - тэгшитгэлийн үндэс x² + px + q= 0. Виетийн теоремтой урвуу теоремыг ашигласнаар квадрат тэгшитгэлийн үндсийг сонгох замаар заримдаа олж болно. Жишээ авч үзье, x² - 5 x+ 6 = 0. Энд r = — 5, q= 6. Хоёр тоог сонгоцгооё x 1 ба x 2 тэгэхээр x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Виетийн теоремтой урвуу теоремоор 6 = 2 * 3, 2 + 3 = 5 болохыг анзаарч, бид үүнийг олж авна. x 1 = 2, x 2 = 3 - тэгшитгэлийн үндэс x² - 5 x + 6 = 0.

Энэ аргын мөн чанар нь ялгаварлагчийн тусламжгүйгээр үндсийг олох явдал юм. Хоёр өөр бодит язгууртай x2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийн хувьд хоёр мэдэгдэл үнэн болно.

Эхний мэдэгдэлд энэ тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь x хувьсагчийн коэффициентийн утгатай тэнцүү байна (энэ тохиолдолд энэ нь b), харин эсрэг тэмдэгтэй байна. Харагдах байдал нь дараах байдалтай байна: x1 + x2 = −b.

Хоёр дахь мэдэгдэл нь нийлбэртэй холбоотой байхаа больсон, харин эдгээр хоёр ижил язгуурын үржвэртэй холбоотой байна. Энэ бүтээгдэхүүн нь чөлөөт коэффициенттэй тэнцүү байна, i.e. в. Эсвэл, x1 * x2 = c. Эдгээр хоёр жишээг системд шийддэг.

Виетийн теорем нь шийдлийг маш хялбаршуулсан боловч нэг хязгаарлалттай. Энэ аргыг ашиглан үндсийг нь олох боломжтой квадрат тэгшитгэлийг багасгах шаардлагатай. Дээрх тэгшитгэлд x2-ийн урд байгаа a коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна. Илэрхийллийг эхний коэффициентээр хуваах замаар аливаа тэгшитгэлийг ижил төстэй хэлбэрт оруулж болно, гэхдээ үргэлж биш энэ ажиллагааоновчтой.

Теоремын баталгаа

Эхлэхийн тулд квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хайх нь ямар заншилтай байдгийг санах хэрэгтэй. Эхний болон хоёр дахь үндэс олддог, тухайлбал: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Ерөнхийдөө энэ нь 2a-д хуваагддаг боловч аль хэдийн дурдсанчлан теоремыг зөвхөн a=1 үед л хэрэглэж болно.

Виетийн теоремоос харахад язгууруудын нийлбэр нь хасах тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна. Энэ нь x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b гэсэн үг юм.

Үл мэдэгдэх үндэсийн үржвэрийн хувьд мөн адил байна: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Хариуд нь D = b2-4c (дахин a=1). Үр дүн нь: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Өгөгдсөн энгийн нотолгооноос зөвхөн нэг дүгнэлтийг гаргаж болно: Виетийн теорем бүрэн батлагдсан.

Хоёр дахь томъёолол ба нотолгоо

Виетийн теорем өөр тайлбартай. Илүү нарийвчлалтай хэлэхэд энэ нь тайлбар биш, харин томъёолол юм. Баримт нь хэрэв эхний тохиолдолтой ижил нөхцөл хангагдсан бол: хоёр өөр бодит үндэс байгаа бол теоремыг өөр томъёогоор бичиж болно.

Энэ тэгш байдал дараах байдалтай байна: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Хэрэв P(x) функц нь x1 ба x2 гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог бол P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) гэж бичиж болно. Хэрэв P нь хоёр дахь зэрэгтэй бөгөөд анхны илэрхийлэл нь яг иймэрхүү харагдаж байвал R байна анхны тоо, тухайлбал 1. Тэгэхгүй бол тэгш байдал биелэхгүй гэсэн шалтгаанаар энэ мэдэгдэл үнэн юм. Хаалт нээх үед x2 коэффициент нь нэгээс ихгүй байх ёстой бөгөөд илэрхийлэл нь дөрвөлжин хэвээр байх ёстой.

Квадрат тэгшитгэлийн Вьета теоремын томъёолол ба нотолгоо. Вьетагийн эсрэг теорем. Куб тэгшитгэл ба дурын дарааллын тэгшитгэлийн Виетийн теорем.

Квадрат тэгшитгэл

Вьетагийн теорем

Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тэмдэглэе
(1) .
Дараа нь язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан коэффициенттэй тэнцүү байна. Үндэсний бүтээгдэхүүн нь чөлөөт нэр томъёотой тэнцүү байна:
;
.

Олон үндэстний тухай тэмдэглэл

(1) тэгшитгэлийн дискриминант тэг бол энэ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй байна. Гэхдээ төвөгтэй томъёололоос зайлсхийхийн тулд энэ тохиолдолд тэгшитгэл (1) нь хоёр олон буюу тэнцүү үндэстэй болохыг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг.
.

Нэг нотолгоо

(1) тэгшитгэлийн язгуурыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд квадрат тэгшитгэлийн үндэсийн томъёог хэрэглэнэ.
;
;
.

Үндэсүүдийн нийлбэрийг ол:
.

Бүтээгдэхүүнийг олохын тулд дараах томъёог ашиглана уу.
.
Дараа нь

.

Теорем нь батлагдсан.

Баталгаа хоёр

Хэрэв тоонууд нь квадрат тэгшитгэлийн (1) үндэс бол
.
Хаалт нээх.

.
Тиймээс (1) тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
.
(1)-тэй харьцуулбал бид дараахь зүйлийг олно.
;
.

Теорем нь батлагдсан.

Вьетагийн эсрэг теорем

Байг дурын тоо. Дараа нь ба нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно
,
Хаана
(2) ;
(3) .

Вьетагийн эсрэг теоремын баталгаа

Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье
(1) .
Хэрэв ба, тэгвэл ба нь (1) тэгшитгэлийн үндэс гэдгийг батлах хэрэгтэй.

(2) ба (3)-ыг (1) орлуулъя:
.
Бид тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа нэр томъёог бүлэглэв.
;
;
(4) .

(4)-д орлъё:
;
.

(4)-д орлъё:
;
.
Тэгшитгэл биелнэ. Өөрөөр хэлбэл, тоо нь (1) тэгшитгэлийн үндэс юм.

Теорем нь батлагдсан.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийн Виетийн теорем

Одоо бүрэн квадрат тэгшитгэлийг авч үзье
(5) ,
хаана , мөн зарим тоонууд байна. Түүнээс гадна.

(5) тэгшитгэлийг дараах байдлаар хуваая.
.
Энэ нь бид өгөгдсөн тэгшитгэлийг авсан
,
Хаана; .

Тэгвэл бүрэн квадрат тэгшитгэлийн Виетийн теорем дараах хэлбэртэй байна.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тэмдэглэе
.
Дараа нь үндэсийн нийлбэр ба үржвэрийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
;
.

Куб тэгшитгэлийн Виетийн теорем

Үүнтэй адилаар бид куб тэгшитгэлийн язгууруудын хооронд холболт үүсгэж болно. Куб тэгшитгэлийг авч үзье
(6) ,
Энд , , , зарим тоонууд байна. Түүнээс гадна.
Энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар хуваая.
(7) ,
Хаана , , .
, , тэгшитгэлийн язгуур (7) (болон тэгшитгэл (6)) байг. Дараа нь

.

(7) тэгшитгэлтэй харьцуулбал бид дараахь зүйлийг олно.
;
;
.

n-р зэргийн тэгшитгэлийн Виетийн теорем

Үүнтэй адил тэгшитгэлийн , , ... , , язгууруудын хоорондын холболтыг олж болно. n-р зэрэг
.

Виетийн теорем n-р тэгшитгэлзэрэг нь дараах хэлбэртэй байна.
;
;
;

.

Эдгээр томъёог олж авахын тулд бид тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.
.
Дараа нь , , , ... -ын коэффициентүүдийг тэнцүүлж, чөлөөт гишүүнийг харьцуулна.

Ашигласан уран зохиол:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.
CM. Никольский, М.К. Потапов нар, Алгебр: ерөнхий боловсролын байгууллагуудын 8-р ангийн сурах бичиг, Москва, Боловсрол, 2006 он.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын нэг нь ашиглах явдал юм VIET томъёо, түүнийг Франсуа Вьеттийн нэрээр нэрлэсэн.

Тэрээр 16-р зуунд Францын хаанд үйлчилж байсан алдартай хуульч байжээ. Чөлөөт цагаараа тэрээр одон орон, математикийн чиглэлээр суралцдаг байв. Тэрээр квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын холбоог тогтоосон.

Томъёоны давуу талууд:

1 . Томьёог хэрэглэснээр та шийдлийг хурдан олох боломжтой. Хоёрдахь коэффициентийг квадрат руу оруулах шаардлагагүй тул түүнээс 4ac-ыг хасаад ялгаварлагчийг олоод утгыг томъёонд орлуулж үндсийг нь олно.

2 . Шийдэлгүйгээр та үндэсийн шинж тэмдгийг тодорхойлж, үндэсийн утгыг сонгож болно.

3 . Хоёр бичлэгийн системийг шийдэж, үндсийг нь өөрсдөө олоход хэцүү биш юм. Дээрх квадрат тэгшитгэлд язгууруудын нийлбэр нь хасах тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициентийн утгатай тэнцүү байна. Дээрх квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын үржвэр нь гурав дахь коэффициентийн утгатай тэнцүү байна.

4 . Эдгээр язгуурыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг бичнэ үү, өөрөөр хэлбэл урвуу асуудлыг шийднэ үү. Жишээлбэл, энэ аргыг онолын механикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

5 . Тэргүүлэх коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байх үед томъёог ашиглах нь тохиромжтой.

Алдаа:

1 . Томъёо нь бүх нийтийнх биш юм.

Вьетагийн теорем 8-р анги

Томъёо
Хэрэв x 1 ба x 2 нь x 2 + px + q = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийн үндэс бол:

Жишээ
x 1 = -1; x 2 = 3 - тэгшитгэлийн үндэс x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Эсрэг теорем

Томъёо
Хэрэв x 1, x 2, p, q тоонууд дараах нөхцлөөр хамааралтай бол:

Тэгвэл x 1 ба x 2 нь x 2 + px + q = 0 тэгшитгэлийн үндэс болно.

Жишээ
Үндэсүүдийг нь ашиглан квадрат тэгшитгэл байгуулъя:

X 1 = 2 -? 3 ба x 2 = 2 +? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Шаардлагатай тэгшитгэл нь: x 2 - 4x + 1 = 0 хэлбэртэй байна.

Энэ лекцээр бид квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба түүний коэффициентүүдийн хоорондох сонирхолтой хамааралтай танилцах болно. Эдгээр харилцааг Францын математикч Франсуа Вьет (1540-1603) анх нээжээ.

Жишээлбэл, 3x 2 - 8x - 6 = 0 тэгшитгэлийн хувьд үндсийг нь олохгүйгээр та Виетийн теоремыг ашиглан язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү, язгуурын үржвэр нь тэнцүү гэж шууд хэлж болно.
өөрөөр хэлбэл - 2. x 2 - 6x + 8 = 0 тэгшитгэлийн хувьд бид дүгнэж байна: язгууруудын нийлбэр нь 6, үндэсийн үржвэр нь 8; Дашрамд хэлэхэд, үндэс нь юутай тэнцүү болохыг таахад хэцүү биш юм: 4 ба 2.
Вьетагийн теоремын баталгаа. ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн x 1 ба x 2 язгуурыг томъёогоор олно.

Энд D = b 2 - 4ac нь тэгшитгэлийн дискриминант юм. Эдгээр үндсийг нэгтгэж,
бид авдаг

Одоо x 1 ба x 2 үндэсүүдийн үржвэрийг тооцоолъё. Бидэнд байна

Хоёр дахь хамаарал нь батлагдсан:
Сэтгэгдэл. Виетийн теорем нь квадрат тэгшитгэл нь нэг язгууртай (өөрөөр хэлбэл D = 0 үед) тохиолдолд мөн адил хүчинтэй бөгөөд энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь дээрх харилцааг ашигласан хоёр ижил язгууртай гэж үздэг.
Х 2 + px + q = 0 гэсэн бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн батлагдсан хамаарал нь ялангуяа энгийн хэлбэрийг авна.

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
тэдгээр. бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй, язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.
Виетийн теоремыг ашигласнаар квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын бусад хамаарлыг олж авч болно. Жишээлбэл, x 1 ба x 2 нь x 2 + px + q = 0 гэсэн бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн үндэс байцгаая. Дараа нь

Гэхдээ Виетийн теоремын гол зорилго нь квадрат тэгшитгэлийн язгуур болон коэффициентүүдийн хоорондын зарим хамаарлыг илэрхийлэхэд оршдоггүй. Илүү чухал зүйл бол Вьетагийн теоремыг ашиглан задралын томъёог гаргаж авсан явдал юм квадрат гурвалжинхүчин зүйл болгон хувиргах бөгөөд үүнийг бид ирээдүйд хийх боломжгүй болно.

Баталгаа. Бидэнд байна

Жишээ 1. Квадрат гурвалсан тоог 3х 2 - 10х + 3 гэж тооц.
Шийдэл. 3x 2 - 10x + 3 = 0 тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид 3x 2 - 10x + 3 гурвалсан квадратын язгуурыг олно: x 1 = 3, x2 = .
Теорем 2-ыг ашиглан бид олж авна

Үүний оронд 3x - 1 гэж бичих нь утга учиртай. Дараа нь бид 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1) авна.
Өгөгдсөн квадрат гурвалжийг теорем 2-ыг хэрэглэхгүйгээр бүлэглэх аргыг ашиглан үржвэрлэх боломжтой гэдгийг анхаарна уу.

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Гэхдээ таны харж байгаагаар энэ аргын амжилт нь бид амжилттай бүлэглэл олж чадах эсэхээс хамаарна, харин эхний аргын амжилт нь баталгаатай байдаг.
Жишээ 1. Бутархай хэсгийг багасгах

Шийдэл. 2x 2 + 5x + 2 = 0 тэгшитгэлээс бид x 1 = - 2-г ​​олно.

x2 - 4x - 12 = 0 тэгшитгэлээс бид x 1 = 6, x 2 = -2-ийг олно. Тийм ч учраас
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Одоо өгөгдсөн бутархайг багасгая:

Жишээ 3. Илэрхийллийн хүчин зүйл:
a)x4 + 5x 2 +6; б) 2х+-3
Шийдэл a) y = x2 шинэ хувьсагчийг оруулъя. Энэ нь өгөгдсөн илэрхийллийг y хувьсагчийн хувьд квадрат гурвалсан хэлбэрээр, тухайлбал y 2 + bу + 6 хэлбэрээр дахин бичих боломжийг олгоно.
y 2 + bу + 6 = 0 тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид квадрат гурвалсан y 2 + 5у + 6 язгуурыг олно: y 1 = - 2, y 2 = -3. Одоо теорем 2-ыг ашиглая; бид авдаг

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
y = x 2, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн илэрхийлэл рүү буцна гэдгийг санах хэрэгтэй. Тэгэхээр,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
б) y = шинэ хувьсагчийг оруулъя. Энэ нь өгөгдсөн илэрхийллийг y хувьсагчийн хувьд квадрат гурвалсан хэлбэрээр, тухайлбал 2y 2 + y - 3 хэлбэрээр дахин бичих боломжийг олгоно. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа
2у 2 + у - 3 = 0, 2у 2 + у - 3 квадрат гурвалжингийн язгуурыг ол:
y 1 = 1, y 2 =. Дараа нь теорем 2-ыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

y =, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн илэрхийлэл рүү буцна гэдгийг санах хэрэгтэй. Тэгэхээр,

Хэсгийн төгсгөлд - Виетийн теоремтой, эс тэгвээс эсрэг заалттай холбоотой зарим үндэслэл:
хэрэв x 1, x 2 тоонууд нь x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q байвал эдгээр тоо нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
Энэхүү мэдэгдлийг ашигласнаар та язгуур томьёо ашиглахгүйгээр олон квадрат тэгшитгэлийг амаар шийдэж, мөн өгөгдсөн язгууртай квадрат тэгшитгэлийг зохиож болно. Жишээ хэлье.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Энд x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. x 1 = 8, x 2 = 3 гэдгийг таахад амархан.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Энд x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. x 1 = -5, x 2 = -6 гэдгийг таахад амархан.
Хэрэв тэгшитгэлийн дамми гишүүн эерэг тоо байвал хоёр үндэс нь эерэг эсвэл сөрөг байна гэдгийг анхаарна уу; Үндэс сонгохдоо үүнийг анхаарч үзэх нь чухал юм.

3) x 2 + x - 12 = 0. Энд x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. x 1 = 3, x2 = -4 гэдгийг таахад хялбар байдаг.
Анхаарна уу: хэрэв тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн сөрөг тоо байвал үндэс нь өөр өөр тэмдэгтэй байна; Үндэс сонгохдоо үүнийг анхаарч үзэх нь чухал юм.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. x = 1 нь тэгшитгэлийг хангаж байгааг харахад хялбар байдаг, өөрөөр хэлбэл. x 1 = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс юм. x 1 x 2 = -, мөн x 1 = 1 тул бид x 2 = -ийг олж авна.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Энд x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Хэрэв та 2830 = 283 гэдгийг анхаарч үзвэл. 10, ба 293 = 283 + 10, тэгвэл x 1 = 283, x 2 = 10 болох нь тодорхой болно (одоо энэ квадрат тэгшитгэлийг стандарт томъёогоор шийдэхийн тулд ямар тооцоолол хийх ёстойг төсөөлөөд үз дээ).

6) Үндэс нь x 1 = 8, x 2 = - 4 тоо байхаар квадрат тэгшитгэл зохиоё. Ийм тохиолдолд ихэвчлэн x 2 + px + q = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг хийдэг.
Бидэнд x 1 + x 2 = -p байгаа тул 8 - 4 = -p, өөрөөр хэлбэл p = -4 байна. Цаашлаад x 1 x 2 = q, i.e. 8 «(-4) = q, бид хаанаас q = -32 авдаг. Тэгэхээр p = -4, q = -32, энэ нь шаардлагатай квадрат тэгшитгэл нь x 2 -4x-32 = 0 хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.