Тривиаль тэгшитгэлийн систем. Шугаман алгебр тэгшитгэлийн систем шийдвэрлэх арга, жишээ

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем

Хичээлийн нэг хэсэг болгон Гауссын аргаТэгээд Нийтлэг шийдэл бүхий үл нийцэх систем/систембид авч үзсэн гетероген системүүд шугаман тэгшитгэл , Хаана чөлөөт гишүүн(энэ нь ихэвчлэн баруун талд байдаг) ядаж нэгтэгшитгэлээс тэгээс ялгаатай байв.
Тэгээд одоо сайн халсаны дараа матрицын зэрэглэл, бид техникийг үргэлжлүүлэн өнгөлөх болно анхан шатны өөрчлөлтүүддээр шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем.
Эхний догол мөрөнд үндэслэн материал нь уйтгартай, дунд зэргийн мэт санагдаж болох ч энэ сэтгэгдэл нь хуурамч юм. Техникийн техникийг цаашид хөгжүүлэхээс гадна олон зүйл байх болно шинэ мэдээлэл, тиймээс энэ нийтлэл дэх жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем гэж юу вэ?

Хариулт нь өөрийгөө харуулж байна. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь чөлөөт гишүүн бол нэгэн төрлийн байна хүн бүрсистемийн тэгшитгэл тэг байна. Жишээ нь:

Энэ нь туйлын тодорхой юм нэгэн төрлийн систем нь үргэлж тогтвортой байдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь үргэлж шийдэлтэй байдаг. Юуны өмнө таны анхаарлыг татдаг зүйл бол энэ юм өчүүхэншийдэл . Өчүүхэн гэдэг нь нэр үгийн утгыг огт ойлгодоггүй хүмүүсийн хувьд шоудах зүйлгүй гэсэн үг. Мэдээжийн хэрэг, эрдэм шинжилгээний хувьд биш, гэхдээ ойлгомжтой =) ...Яагаад бутыг тойрон цохих вэ, энэ системд өөр шийдэл байгаа эсэхийг олж мэдье:

Жишээ 1

Шийдэл: нэгэн төрлийн системийг шийдэхийн тулд бичих шаардлагатай системийн матрицмөн энгийн өөрчлөлтүүдийн тусламжтайгаар шаталсан хэлбэрт аваачна. Энд босоо бар болон чөлөөт нэр томъёоны тэг баганыг бичих шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу - эцэст нь та тэгтэй юу ч хийсэн хамаагүй тэд тэг хэвээр байх болно.

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн.

(2) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн.

Гурав дахь мөрийг 3-т хуваах нь тийм ч утгагүй юм.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд ижил төстэй нэгэн төрлийн системийг олж авдаг , мөн Гауссын аргын урвуу аргыг ашиглан шийдэл нь өвөрмөц эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Хариулах:

Тодорхой шалгуурыг томъёолъё: шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем байна зүгээр л өчүүхэн шийдэл, Хэрэв системийн матрицын зэрэглэл(энэ тохиолдолд 3) нь хувьсагчийн тоотой тэнцүү (энэ тохиолдолд - 3 ширхэг).

Радиогоо дулаацуулж, энгийн өөрчлөлтийн давалгаанд тохируулцгаая.

Жишээ 2

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг шийд

Нийтлэлээс Матрицын зэрэглэлийг хэрхэн олох вэ?Матрицын тоог нэгэн зэрэг багасгах оновчтой техникийг эргэн санацгаая. Үгүй бол та том, ихэвчлэн хаздаг загасыг огтлох хэрэгтэй болно. Хичээлийн төгсгөлд хийх даалгаврын ойролцоо жишээ.

Тэг нь сайн бөгөөд тохиромжтой, гэхдээ практик дээр системийн матрицын эгнээ байх үед тохиолдол илүү түгээмэл байдаг шугаман хамааралтай. Дараа нь ерөнхий шийдэл гарч ирэх нь зайлшгүй юм:

Жишээ 3

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг шийд

Шийдэл: системийн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя. Эхний үйлдэл нь зөвхөн нэг утгыг олж авахаас гадна эхний баганад байгаа тоог багасгахад чиглэгддэг.

(1) Гурав дахь мөрийг эхний мөрөнд нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. Гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Зүүн дээд талд би "хасах" тэмдэгтэй нэгжийг авсан бөгөөд энэ нь цаашдын өөрчлөлтөд илүү тохиромжтой байдаг.

(2) Эхний хоёр мөр нь адилхан, нэгийг нь устгасан. Үнэнийг хэлэхэд, би шийдлийг түлхээгүй - энэ нь тийм болсон. Хэрэв та загвар хэлбэрээр хувиргалтыг хийвэл шугаман хамаарал мөрүүд хэсэг хугацааны дараа илчлэгдэх байсан.

(3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 3-аар үржүүлсэн.

(4) Эхний мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн үр дүнд ижил төстэй системийг олж авав.

Алгоритм нь дараахтай яг адилхан ажилладаг гетероген системүүд. "Шатан дээр сууж буй" хувьсагч нь гол хувьсагч бөгөөд "алхам" аваагүй хувьсагч үнэ төлбөргүй байна.

Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье.

Хариулах: ерөнхий шийдэл:

Өчүүхэн шийдэл нь багтсан болно ерөнхий томъёо, мөн үүнийг тусад нь бичих шаардлагагүй.

Шалгалт нь ердийн схемийн дагуу хийгддэг: үр дүнд нь ерөнхий шийдлийг системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулах ёстой бөгөөд бүх орлуулалтын хувьд хууль ёсны тэгийг авах ёстой.

Энэ нь чимээгүйхэн, тайван замаар дуусч болох байсан ч шийдвэр нэгэн төрлийн системтэгшитгэлийг ихэвчлэн илэрхийлэх шаардлагатай байдаг вектор хэлбэрээрашиглан шийдлийн үндсэн систем. Энэ тухай одоохондоо мартаарай аналитик геометр, одооноос хойш бид ерөнхий алгебрийн утгаараа векторуудын талаар ярих болно, үүнийг миний нийтлэлд бага зэрэг нээсэн. матрицын зэрэглэл. Нэр томьёог эргэлзэх шаардлагагүй, бүх зүйл маш энгийн.

Өгөгдсөн матрицууд

Олно: 1) aA - bB,

Шийдэл: 1) Бид матрицыг тоогоор үржүүлэх, матриц нэмэх дүрмийг ашиглан дарааллаар нь олдог.

2. Хэрэв A*B-г ол

Шийдэл: Бид матрицыг үржүүлэх дүрмийг ашигладаг

Хариулт:

3. Өгөгдсөн матрицын хувьд минор M 31-ийг олж тодорхойлогчийг тооцоол.

Шийдэл: Minor M 31 нь А-аас олж авсан матрицын тодорхойлогч юм

3-р мөр ба 1-р баганыг тасалсны дараа бид олдог

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

А матрицыг тодорхойлогчийг өөрчлөхгүйгээр хувиргацгаая (1-р мөрөнд тэгийг хийцгээе)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Одоо бид А матрицын тодорхойлогчийг 1-р эгнээний дагуу тэлэх замаар тооцоолно

Хариулт: M 31 = 0, detA = 0

Гауссын арга, Крамерын аргыг ашиглан шийднэ.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2х 1 + х 2 + 2х 3 = 5

Шийдэл: Шалгацгаая

Та Крамерын аргыг ашиглаж болно

Системийн шийдэл: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Гауссын аргыг хэрэглэцгээе.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулъя.

Тооцоолоход хялбар болгохын тулд мөрүүдийг сольж үзье:

2-р мөрийг (k = -1 / 2 =) үржүүлнэ -1 / 2 ) ба 3-т нэмнэ:

	1 / 2		7 / 2

1-р мөрийг (k = -2 / 2 =) үржүүлнэ -1 ) ба 2-т нэмнэ:

Одоо анхны системийг дараах байдлаар бичиж болно.

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

2-р мөрөнд бид илэрхийлнэ

1-р мөрөнд бид илэрхийлнэ

Шийдэл нь адилхан.

Хариулт: (2; -5; 3)

Систем ба FSR-ийн ерөнхий шийдлийг ол

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5х 1 + 4х 2 + 7х 3 + 4х 4 + 6х 5 = 0

7х 1 + 2х 2 + 5х 3 + 2х 4 + 3х 5 = 0

Шийдэл: Гауссын аргыг хэрэглэцгээе. Системийн өргөтгөсөн матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулъя.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

1-р мөрийг (-11) үржүүлнэ. 2-р мөрийг (13)-аар үржүүлнэ. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:

	-2		-2	-3

2-р мөрийг (-5) үржүүлнэ. 3-р мөрийг (11)-ээр үржүүлье. 3-р мөрийг 2-т нэмье:

3-р мөрийг (-7) үржүүлнэ. 4-р мөрийг (5) үржүүлье. 4-р мөрийг 3-т нэмье:

Хоёр дахь тэгшитгэл нь бусдын шугаман хослол юм

Матрицын зэрэглэлийг олцгооё.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Сонгогдсон минор нь хамгийн өндөр эрэмбтэй (боломжтой насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн тоо) бөгөөд тэг биш (энэ нь урвуу диагональ дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү) тул rang(A) = 2 байна.

Энэ насанд хүрээгүй хүүхэд бол үндсэн юм. Үүнд x 1 , x 2 үл мэдэгдэх коэффициентүүд багтсан бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх x 1 , x 2 нь хамааралтай (үндсэн), x 3, x 4, x 5 нь чөлөөтэй гэсэн үг юм.

Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7х 1 + 2х 2 = - 5х 3 - 2х 4 - 3х 5

Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргыг ашиглан бид олдог ерөнхий шийдэл:

x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Бид (n-r) шийдлүүдээс бүрдсэн шийдлийн үндсэн системийг (FSD) олдог. Манай тохиолдолд n=5, r=2 тул шийдлийн үндсэн систем нь 3 шийдээс бүрдэх ба эдгээр шийдлүүд нь шугаман бие даасан байх ёстой.

Мөрүүд шугаман бие даасан байхын тулд эгнээний элементүүдээс бүрдэх матрицын зэрэглэл нь мөрийн тоотой тэнцүү буюу 3 байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Тэг биш 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийн мөрүүдээс x 3, x 4, x 5 гэсэн үнэгүй үл мэдэгдэх утгуудыг өгч, x 1, x 2-ийг тооцоолоход хангалттай.

Хамгийн энгийн тэг биш тодорхойлогч нь таних матриц юм.

Гэхдээ энд авч явах нь илүү тохиромжтой

Бид ерөнхий шийдлийг ашиглан олдог:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

FSR-ийн I шийдвэр: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR шийдэл: (0; -6; 0; 6;0)

в) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

FSR-ийн III шийдвэр: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Өгөгдсөн: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Олно: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Шийдэл: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Хариулт: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 – 0.3i

Бид технологио үргэлжлүүлэн өнгөлөх болно анхан шатны өөрчлөлтүүддээр шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем.
Эхний догол мөрөнд үндэслэн материал нь уйтгартай, дунд зэргийн мэт санагдаж болох ч энэ сэтгэгдэл нь хуурамч юм. Техникийг цаашид хөгжүүлэхээс гадна маш олон шинэ мэдээлэл гарах тул энэ нийтлэл дэх жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем гэж юу вэ?

Хариулт нь өөрийгөө харуулж байна. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь чөлөөт гишүүн бол нэгэн төрлийн байна хүн бүрсистемийн тэгшитгэл тэг байна. Жишээ нь:

Энэ нь туйлын тодорхой юм нэгэн төрлийн систем нь үргэлж тогтвортой байдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь үргэлж шийдэлтэй байдаг. Юуны өмнө таны анхаарлыг татдаг зүйл бол энэ юм өчүүхэншийдэл . Өчүүхэн гэдэг нь нэр үгийн утгыг огт ойлгодоггүй хүмүүсийн хувьд шоудах зүйлгүй гэсэн үг. Мэдээжийн хэрэг, эрдэм шинжилгээний хувьд биш, гэхдээ ойлгомжтой =) ...Яагаад бутыг тойрон цохих вэ, энэ системд өөр шийдэл байгаа эсэхийг олж мэдье:

Жишээ 1

Шийдэл: нэгэн төрлийн системийг шийдэхийн тулд бичих шаардлагатай системийн матрицмөн энгийн өөрчлөлтүүдийн тусламжтайгаар шаталсан хэлбэрт аваачна. Энд босоо бар болон чөлөөт нэр томъёоны тэг баганыг бичих шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу - эцэст нь та тэгтэй юу ч хийсэн хамаагүй тэд тэг хэвээр байх болно.

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн.

(2) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн.

Гурав дахь мөрийг 3-т хуваах нь тийм ч утгагүй юм.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд ижил төстэй нэгэн төрлийн системийг олж авдаг , мөн Гауссын аргын урвуу аргыг ашиглан шийдэл нь өвөрмөц эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Хариулах:

Тодорхой шалгуурыг томъёолъё: шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем байна зүгээр л өчүүхэн шийдэл, Хэрэв системийн матрицын зэрэглэл(энэ тохиолдолд 3) нь хувьсагчийн тоотой тэнцүү (энэ тохиолдолд - 3 ширхэг).

Радиогоо дулаацуулж, энгийн өөрчлөлтийн давалгаанд тохируулцгаая.

Жишээ 2

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг шийд

Алгоритмыг нэгтгэхийн тулд эцсийн даалгаврыг задлан шинжилье:

Жишээ 7

Нэг төрлийн системийг шийдэж, хариултыг вектор хэлбэрээр бичнэ үү.

Шийдэл: системийн матрицыг бичээд энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя:

(1) Эхний мөрийн тэмдэг өөрчлөгдсөн. Дахин нэг удаа би олон удаа тулгарч байсан арга барилд анхаарлаа хандуулж, дараагийн үйлдлийг ихээхэн хялбаршуулах боломжийг олгодог.

(1) Эхний мөрийг 2, 3-р мөрөнд нэмсэн. 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг 4-р мөрөнд нэмэв.

(3) Сүүлийн гурван мөр нь пропорциональ, хоёрыг нь хассан.

Үүний үр дүнд стандарт алхамын матрицыг олж авах бөгөөд шийдэл нь нугасан замын дагуу үргэлжилнэ.

- үндсэн хувьсагч;
- чөлөөт хувьсагч.

Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье. 2-р тэгшитгэлээс:

- 1-р тэгшитгэлд орлуулах:

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Харж буй жишээнд гурван чөлөөт хувьсагч байгаа тул үндсэн систем нь гурван векторыг агуулна.

Гурвалсан утгыг орлуулъя ерөнхий шийдэлд оруулж, координат нь нэгэн төрлийн системийн тэгшитгэл бүрийг хангадаг векторыг олж авна. Дахин хэлэхэд, хүлээн авсан вектор бүрийг шалгахыг зөвлөж байна - энэ нь их цаг хугацаа шаардахгүй, гэхдээ энэ нь таныг алдаанаас бүрэн хамгаалах болно.

Гурвалсан утгын төлөө векторыг ол

Тэгээд эцэст нь гурвын хувьд Бид гурав дахь векторыг авна.

Хариулах: , Хаана

Бутархай утгуудаас зайлсхийхийг хүсч буй хүмүүс гурвалсан гэж үзэж болно мөн ижил төстэй хэлбэрээр хариулт аваарай:

Бутархайн тухай ярьж байна. Бодлогод олж авсан матрицыг харцгаая Тэгээд өөрөөсөө асууя: цаашдын шийдлийг хялбарчлах боломжтой юу? Эцсийн эцэст, бид эхлээд үндсэн хувьсагчийг бутархайгаар илэрхийлсэн, дараа нь үндсэн хувьсагчийг бутархайгаар илэрхийлсэн бөгөөд энэ үйл явц нь хамгийн энгийн бөгөөд тийм ч таатай биш байсан гэдгийг би хэлэх ёстой.

Хоёр дахь шийдэл:

Санаа нь оролдоод үз л дээ бусад суурь хувьсагчийг сонгох. Матрицыг харцгаая, гурав дахь баганад хоёрыг нь анзааръя. Тэгвэл яагаад дээд талд тэг байж болохгүй гэж? Өөр нэг энгийн өөрчлөлтийг хийцгээе:

Бүх чөлөөт гишүүд нь тэгтэй тэнцүү байх шугаман тэгшитгэлийн системийг гэнэ нэгэн төрлийн :

Аливаа нэгэн төрлийн систем үргэлж тууштай байдаг тул үргэлж байдаг тэг (өчүүхэн ) шийдэл. Нэг төрлийн систем ямар нөхцөлд энгийн шийдэлтэй байх вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Теорем 5.2.Нэг төрлийн систем нь үндсэн матрицын зэрэглэл нь түүний үл мэдэгдэх тооноос бага тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байдаг.

Үр дагавар. Дөрвөлжин нэгэн төрлийн систем нь тодорхойлогч нь суурь бол чухал биш шийдэлтэй байдаг матрицуудсистем нь тэг биш юм.

Жишээ 5.6.Системд чухал бус шийдлүүд байгаа l параметрийн утгыг тодорхойлж, эдгээр шийдлүүдийг ол.

Шийдэл. Үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх үед энэ систем нь чухал биш шийдэлтэй байх болно.

Тиймээс l=3 эсвэл l=2 үед систем нь чухал биш юм. l=3-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 1. Дараа нь зөвхөн нэг тэгшитгэл үлдээж, гэж үзвэл. y=аТэгээд z=б, бид авдаг x=b-a, өөрөөр хэлбэл

l=2-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл 2. Дараа нь минорыг суурь болгон сонговол:

Бид хялбаршуулсан системийг авдаг

Эндээс бид үүнийг олж мэднэ x=z/4, y=z/2. Итгэж байна z=4а, бид авдаг

Нэг төрлийн системийн бүх шийдлүүдийн багц нь маш чухал ач холбогдолтой юм шугаман шинж чанар : X баганууд бол 1 болон X 2 - нэгэн төрлийн системийн шийдлүүд AX = 0, дараа нь тэдгээрийн дурын шугаман хослола X 1 + б X 2 мөн энэ системийн шийдэл байх болно. Үнэхээр тэр цагаас хойш AX 1 = 0 Тэгээд AX 2 = 0 , Тэр А(а X 1 + б X 2) = a AX 1 + б AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Шугаман систем нэгээс олон шийдтэй бол эдгээр шийдлүүдийн тоо хязгааргүй байх болно гэдэг нь энэ шинж чанараас үүдэлтэй юм.

Шугаман бие даасан баганууд Э 1 , Э 2 , Э к, нэг төрлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг шийдлийн үндсэн систем Хэрэв энэ системийн ерөнхий шийдийг эдгээр баганын шугаман хослолоор бичиж чадвал шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем:

Хэрэв нэгэн төрлийн систем байвал nхувьсагч ба системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь тэнцүү байна r, Тэр к = n-r.

Жишээ 5.7.Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг ол.

Шийдэл. Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг олцгооё.

Иймээс энэхүү тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багц нь хэмжээсийн шугаман дэд орон зайг бүрдүүлдэг n-r= 5 - 2 = 3. Минорыг суурь болгон сонгоцгооё

.

Дараа нь зөвхөн үндсэн тэгшитгэлүүд (үлдсэн хэсэг нь эдгээр тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол байх болно) болон үндсэн хувьсагчдыг (бид үлдсэн хэсгийг нь баруун тийш шилжүүлж, чөлөөт хувьсагч гэж нэрлэдэг) үлдээж, тэгшитгэлийн хялбаршуулсан системийг олж авна.

Итгэж байна x 3 = а, x 4 = б, x 5 = в, бид олдог

, .

Итгэж байна а= 1, b = c= 0, бид эхний үндсэн шийдлийг олж авна; итгэх б= 1, a = c= 0, бид хоёр дахь үндсэн шийдлийг олж авна; итгэх в= 1, a = b= 0, бид гурав дахь үндсэн шийдлийг олж авна. Үүний үр дүнд шийдлүүдийн ердийн суурь систем хэлбэр болно

Үндсэн системийг ашиглан нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. а

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүдийн зарим шинж чанарыг тэмдэглэе AX=Bба тэдгээрийн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системтэй хамаарал AX = 0.

Нэг төрлийн бус системийн ерөнхий шийдэлхаргалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийд AX = 0 ба нэгэн төрлийн бус системийн дурын тусгай шийдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.. Нээрээ л байя Ю 0 нь нэгэн төрлийн бус системийн дурын тодорхой шийдэл юм. AY 0 = Б, Мөн Ю- гетероген системийн ерөнхий шийдэл, i.e. AY=B. Нэг тэгшитгэлийг нөгөөгөөсөө хасвал бид олж авна
А(Ө-Ө 0) = 0, өөрөөр хэлбэл. Ө-Ө 0 нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл юм AX=0. Тиймээс, Ө-Ө 0 = X, эсвэл Y = Y 0 + X. Q.E.D.

Нэг төрлийн бус системийг AX = B хэлбэртэй болго 1 + Б 2 . Тэгвэл ийм системийн ерөнхий шийдлийг X = X гэж бичиж болно 1 + X 2 , хаана AX 1 = Б 1 болон AX 2 = Б 2. Энэ өмч нь бүх нийтийн өмчийг илэрхийлдэг шугаман системүүд(алгебрийн, дифференциал, функциональ гэх мэт). Физикийн хувьд энэ өмчийг нэрлэдэг суперпозиция зарчим, цахилгаан ба радио инженерчлэлийн чиглэлээр - суперпозиция зарчим. Жишээлбэл, шугаман онолын хувьд цахилгаан хэлхээАливаа хэлхээн дэх гүйдлийг эрчим хүчний эх үүсвэр тус бүрээс үүссэн гүйдлийн алгебрийн нийлбэрээр авч болно.