Холимог тооны бутархайг үржүүлэх. Өөр өөр хуваагчтай энгийн ба холимог бутархайг үржүүлэх

Хоёрдогч сургалтын явцад болон ахлах сургуульОюутнууд "Бутархай" сэдвийг судалсан. Гэсэн хэдий ч энэ ойлголт нь сургалтын үйл явцад өгөгдсөнөөс хамаагүй өргөн юм. Өнөөдөр бутархай гэсэн ойлголт маш олон удаа тулгардаг бөгөөд хүн бүр ямар ч илэрхийлэл, жишээлбэл, бутархайг үржүүлэхийг тооцоолж чаддаггүй.

Бутархай гэж юу вэ?

Түүхийн хувьд бутархай тоо нь хэмжих хэрэгцээ шаардлагаас үүдэн бий болсон. Дадлагаас харахад сегментийн урт ба тэгш өнцөгт тэгш өнцөгтийн эзэлхүүнийг тодорхойлох жишээнүүд ихэвчлэн байдаг.

Эхний ээлжинд оюутнуудад хувьцааны тухай ойлголт өгдөг. Жишээлбэл, хэрэв та тарвасыг 8 хэсэгт хуваавал хүн бүр тарвасны наймны нэгийг авна. Энэ наймны нэг хэсгийг хувьцаа гэж нэрлэдэг.

Аливаа үнийн дүнгийн ½-тэй тэнцэх хувьцааг тал гэж нэрлэдэг; ⅓ - гурав дахь; ¼ - дөрөвний нэг. 5/8, 4/5, 2/4 хэлбэрийн бичлэгүүдийг дуудна энгийн бутархай. Энгийн бутархайг тоологч ба хуваагч гэж хуваана. Тэдний хооронд бутархай мөр буюу бутархай мөр байна. Бутархай шугамыг хэвтээ эсвэл ташуу шугамаар зурж болно. Энэ тохиолдолд хуваах тэмдгийг илэрхийлнэ.

Хуваагч нь хэмжигдэхүүн эсвэл объектыг хэдэн тэнцүү хэсэгт хуваахыг илэрхийлдэг; хэчнээн ижил хувьцаа авсан нь тоологч юм. Тоолуурыг бутархай шугамын дээгүүр, хуваагчийг доор нь бичнэ.

Энгийн бутархайг координатын цацраг дээр харуулах нь хамгийн тохиромжтой. Хэрэв нэг сегментийг 4 тэнцүү хэсэгт хувааж, хэсэг бүрийг латин үсгээр тэмдэглэвэл үр дүн нь маш сайн харааны тусламж болно. Тиймээс, А цэг нь бүх нэгжийн сегментийн 1/4-тэй тэнцэх хувийг харуулж, В цэг нь өгөгдсөн сегментийн 2/8-ийг тэмдэглэнэ.

Бутархайн төрлүүд

Бутархай нь энгийн, аравтын бутархай, холимог тоо байж болно. Үүнээс гадна бутархайг зөв ба буруу гэж хувааж болно. Энэ ангилал нь энгийн фракцуудад илүү тохиромжтой.

Тохиромжтой бутархай нь хуваагчаас бага тоо юм. Үүний дагуу буруу бутархай гэдэг нь хуваагч нь хуваагчаас их тоо юм. Хоёр дахь төрлийг ихэвчлэн холимог тоогоор бичдэг. Энэ илэрхийлэл нь бүхэл тоо ба бутархай хэсгээс бүрдэнэ. Жишээлбэл, 1½. 1 нь бүхэл тоо, ½ нь бутархай хэсэг юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та илэрхийлэлтэй зарим заль мэхийг хийх шаардлагатай бол (бутархайг хуваах, үржүүлэх, багасгах эсвэл хөрвүүлэх) холимог тоо нь буруу бутархай болж хувирдаг.

Зөв бутархай илэрхийлэл нь үргэлж нэгээс бага, буруу нь 1-ээс их буюу тэнцүү байна.

Энэ илэрхийллийн хувьд бид дурын тоог илэрхийлсэн бичлэгийг хэлнэ, бутархай илэрхийллийн хуваагч нь хэд хэдэн тэгтэй нэгээр илэрхийлэгдэх боломжтой. Хэрэв бутархай зөв бол бүхэл хэсэг нь байна аравтын тэмдэглэгээтэгтэй тэнцүү байх болно.

Аравтын бутархай бичихийн тулд эхлээд бүхэл хэсгийг бичиж, таслал ашиглан бутархайгаас салгаж, дараа нь бутархайн илэрхийллийг бичих хэрэгтэй. Аравтын бутархайны дараа тоологч нь хуваарьт тэгтэй ижил тооны тоон тэмдэгт агуулсан байх ёстой гэдгийг санах нь зүйтэй.

Жишээ. 7 21 / 1000 бутархайг аравтын тоогоор илэрхийлнэ.

Бутархай бутархайг холимог тоо болон эсрэгээр нь хувиргах алгоритм

Бодлогын хариултанд буруу бутархай бичих нь буруу тул холимог тоо руу хөрвүүлэх шаардлагатай.

• тоологчийг одоо байгаа хуваагчаар хуваах;
• тодорхой жишээнд, бүрэн бус хэсэг нь бүхэл юм;
• үлдэгдэл нь бутархай хэсгийн хуваагч бөгөөд хуваагч өөрчлөгдөхгүй.

Жишээ. Бутархай бутархайг холимог тоо болгон хөрвүүлэх: 47/5.

Шийдэл. 47: 5. Хэсэгчилсэн хэсэг нь 9, үлдсэн нь = 2. Тэгэхээр 47/5 = 9 2/5.

Заримдаа та холимог тоог буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Дараа нь та дараах алгоритмыг ашиглах хэрэгтэй.

• бүхэл хэсэг нь бутархай илэрхийллийн хуваагчаар үржүүлсэн;
• үүссэн бүтээгдэхүүнийг тоологч дээр нэмнэ;
• үр дүн нь тоологч дээр бичигдсэн, хуваагч өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Жишээ. Холимог тоог буруу бутархай хэлбэрээр үзүүл: 9 8 / 10.

Шийдэл. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 нь тоологч юм.

Хариулах: 98 / 10.

Бутархайг үржүүлэх

Энгийн бутархай дээр янз бүрийн алгебрийн үйлдлүүдийг хийж болно. Хоёр тоог үржүүлэхийн тулд тоологчийг хуваагчтай, хуваагчийг хуваагчтай үржүүлэх хэрэгтэй. Түүнээс гадна бутархайг үржүүлэх өөр өөр хуваагч-тэй бутархай тооны үржвэрээс ялгаагүй ижил хуваагч.

Үр дүнг олсны дараа та фракцыг багасгах хэрэгтэй болдог. Үүссэн илэрхийлэлийг аль болох хялбарчлах нь зайлшгүй чухал юм. Мэдээжийн хэрэг, хариултын буруу бутархайг алдаа гэж хэлж болохгүй, гэхдээ үүнийг зөв хариулт гэж нэрлэхэд хэцүү байдаг.

Жишээ. ½ ба 20/18 гэсэн хоёр энгийн бутархайн үржвэрийг ол.

Жишээнээс харахад бүтээгдэхүүнийг олсны дараа бууруулж болох бутархай тэмдэглэгээг олж авсан. Энэ тохиолдолд тоологч ба хуваагч хоёулаа 4-т хуваагдсан бөгөөд үр дүн нь 5/9 гэсэн хариулт юм.

Аравтын бутархайг үржүүлэх

Аравтын бутархайн үржвэр нь зарчмын хувьд энгийн бутархайн үржвэрээс эрс ялгаатай. Тиймээс бутархайг үржүүлэх нь дараах байдалтай байна.

• хоёр аравтын бутархайг нэг дор бичсэн байх ёстой бөгөөд ингэснээр хамгийн баруун талын цифрүүд нэг дор байх ёстой;
• та таслалыг үл харгалзан бичсэн тоог, өөрөөр хэлбэл натурал тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй;
• тоо бүрийн аравтын бутархайн дараах цифрүүдийн тоог тоолох;
• үржүүлсний дараа олж авсан үр дүнд аравтын бутархайн дараах хоёр хүчин зүйлийн нийлбэрт байгаа тоон тэмдгийг баруун талаас нь тоолж, тусгаарлах тэмдэг тавих хэрэгтэй;
• Хэрэв бүтээгдэхүүнд цөөн тооны тоо байгаа бол энэ тоог нөхөхийн тулд тэдгээрийн өмнө аль болох олон тэг бичиж, таслал тавьж, бүхэл хэсгийг тэгтэй тэнцүүлэх шаардлагатай.

Жишээ. Хоёр аравтын бутархайн үржвэрийг тооцоол: 2.25 ба 3.6.

Шийдэл.

Холимог бутархайг үржүүлэх

Хоёрын үржвэрийг тооцоолохын тулд холимог бутархай, та бутархайг үржүүлэх дүрмийг ашиглах хэрэгтэй:

• холимог тоонуудыг буруу бутархай болгон хувиргах;
• тоологчдын үржвэрийг олох;
• хуваагчийн үржвэрийг олох;
• үр дүнг бичих;
• илэрхийллийг аль болох хялбарчлах.

Жишээ. 4½ ба 6 2/5-ын үржвэрийг ол.

Тоог бутархайгаар үржүүлэх (бутархайг тоогоор)

Хоёр бутархай ба холимог тооны үржвэрийг олохоос гадна бутархайгаар үржүүлэх шаардлагатай даалгавар байдаг.

Тиймээс аравтын бутархай ба натурал тооны үржвэрийг олохын тулд танд дараахь зүйл хэрэгтэй болно.

• хамгийн баруун талын цифрүүд нөгөөгөөсөө дээгүүр байхаар тоог бутархайн доор бичнэ үү;
• таслалыг үл харгалзан бүтээгдэхүүнийг олох;
• үр дүнд нь бутархайн аравтын бутархайн дараа байрлах цифрүүдийн тоог баруун талаас нь тоолж, таслал ашиглан бүхэл хэсгийг бутархай хэсгээс тусгаарлана.

Энгийн бутархайг тоогоор үржүүлэхийн тулд тоологч ба байгалийн хүчин зүйлийн үржвэрийг олох хэрэгтэй. Хэрэв хариулт нь багасгаж болох бутархай гарвал түүнийг хөрвүүлэх хэрэгтэй.

Жишээ. 5/8 ба 12-ын үржвэрийг тооцоол.

Шийдэл. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Хариулах: 7 1 / 2.

Өмнөх жишээнээс харахад үр дүнг бууруулж, буруу бутархай илэрхийлэлийг холимог тоо болгон хувиргах шаардлагатай байв.

Бутархайг үржүүлэх нь холимог болон байгалийн хүчин зүйл дэх тооны үржвэрийг олоход хамаарна. Эдгээр хоёр тоог үржүүлэхийн тулд та холимог хүчин зүйлийн бүх хэсгийг тоогоор үржүүлж, тоологчийг ижил утгаар үржүүлж, хуваагчийг өөрчлөхгүй байх ёстой. Шаардлагатай бол үр дүнгийн үр дүнг аль болох хялбарчлах хэрэгтэй.

Жишээ. 9 5/6 ба 9-ийн үржвэрийг ол.

Шийдэл. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Хариулах: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 эсвэл 0.1-ийн хүчин зүйлээр үржүүлэх; 0.01; 0.001

Өмнөх догол мөрөөс дараах дүрмийг баримтална. Аравтын бутархайг 10, 100, 1000, 10000 гэх мэтээр үржүүлэхийн тулд аравтын бутархайг баруун тийш, нэгийн араас олон тооны тэг байгаа тоогоор шилжүүлэх шаардлагатай.

Жишээ 1. 0.065 ба 1000-ын үржвэрийг ол.

Шийдэл. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

Хариулах: 65.

Жишээ 2. 3.9 ба 1000-ын үржвэрийг ол.

Шийдэл. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

Хариулах: 3900.

Хэрэв та натурал тоо болон 0.1-ийг үржүүлэх шаардлагатай бол; 0.01; 0.001; 0.0001 гэх мэт тохиолдолд та гарсан үржвэрийн таслалыг зүүн тийш нэгээс өмнө тэг байхын хэрээр олон оронтой тэмдэгтээр зөөх хэрэгтэй. Шаардлагатай бол натурал тооны өмнө хангалттай тооны тэг бичнэ.

Жишээ 1. 56 ба 0.01-ийн үржвэрийг ол.

Шийдэл. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

Хариулах: 0,56.

Жишээ 2. 4 ба 0.001-ийн үржвэрийг ол.

Шийдэл. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

Хариулах: 0,004.

Тиймээс өөр өөр бутархайн үржвэрийг олох нь үр дүнг тооцоолохоос бусад тохиолдолд хүндрэл учруулах ёсгүй; Энэ тохиолдолд та тооцоолуургүйгээр хийх боломжгүй.

) ба хуваагчийг хуваах (бид бүтээгдэхүүний хуваагчийг авдаг).

Бутархайг үржүүлэх томъёо:

Жишээ нь:

Тоолуур ба хуваагчийг үржүүлж эхлэхээсээ өмнө бутархайг багасгах боломжтой эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Хэрэв та бутархайг багасгаж чадвал цаашдын тооцоолол хийхэд хялбар байх болно.

Энгийн бутархайг бутархайд хуваах.

Натурал тоо агуулсан бутархайг хуваах.

Энэ нь харагдаж байгаа шигээ аймшигтай биш юм. Нэмэх үеийн нэгэн адил бид бүхэл тоог хуваарьт нэгтэй бутархай болгон хувиргадаг. Жишээ нь:

Холимог бутархайг үржүүлэх.

Бутархайг үржүүлэх дүрэм (холимог):

• холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргах;
• бутархайн тоо ба хуваагчийг үржүүлэх;
• фракцыг багасгах;
• Хэрэв та буруу бутархай авах юм бол бид буруу бутархайг холимог бутархай болгон хувиргадаг.

Анхаар!Холимог бутархайг өөр холимог бутархайгаар үржүүлэхийн тулд эхлээд тэдгээрийг буруу бутархай хэлбэрт шилжүүлж, дараа нь энгийн бутархайг үржүүлэх дүрмийн дагуу үржүүлэх хэрэгтэй.

Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэх хоёр дахь арга.

Энгийн бутархайг тоогоор үржүүлэх хоёр дахь аргыг ашиглах нь илүү тохиромжтой байж болох юм.

Анхаар!Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэхийн тулд бутархайн хуваагчийг энэ тоонд хувааж, тоологчийг өөрчлөхгүй байх ёстой.

Дээрх жишээнээс харахад бутархайн хуваагчийг үлдэгдэлгүйгээр натурал тоонд хуваахад энэ сонголтыг ашиглахад илүү тохиромжтой болох нь тодорхой байна.

Олон давхар бутархай.

Ахлах сургуульд гурван давхар (эсвэл түүнээс дээш) фракцууд ихэвчлэн тулгардаг. Жишээ:

Ийм бутархайг ердийн хэлбэрт оруулахын тулд 2 цэгээр хуваахыг ашиглана.

Анхаар!Бутархайг хуваахдаа хуваах дараалал нь маш чухал юм. Болгоомжтой байгаарай, энд төөрөлдөх нь амархан.

Анхаарна уу Жишээ нь:

Нэгийг дурын бутархайд хуваахад үр дүн нь ижил бутархай байх болно, зөвхөн урвуу:

Бутархайг үржүүлэх, хуваах практик зөвлөмжүүд:

1. Бутархай илэрхийлэлтэй ажиллахад хамгийн чухал зүйл бол нарийвчлал, анхааралтай байх явдал юм. Бүх тооцоог анхааралтай, үнэн зөв, төвлөрч, тодорхой хий. Оюуны тооцоонд төөрч байснаас төсөлдөө хэдэн мөр нэмж бичсэн нь дээр.

2. Даалгавруудад янз бүрийн төрөлбутархай - энгийн бутархай хэлбэрт шилжих.

3. Бид бүх бутархайг багасгах боломжгүй болтол нь багасгадаг.

4. Бид олон түвшний бутархай илэрхийллийг 2 цэгээр хуваах замаар энгийн болгон хувиргадаг.

5. Нэгжийг толгойдоо бутархайгаар хуваагаад зүгээр л бутархайг эргүүл.

Бутархайг бутархай, бутархайг тоогоор зөв үржүүлэхийн тулд та мэдэх хэрэгтэй энгийн дүрэм. Одоо бид эдгээр дүрмийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Энгийн бутархайг бутархайгаар үржүүлэх.

Бутархайг бутархайгаар үржүүлэхийн тулд тоологчдын үржвэр ба эдгээр бутархайн хуваагчийн үржвэрийг тооцоолох хэрэгтэй.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Нэг жишээг харцгаая:
Бид эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайтай үржүүлж, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайтай үржүүлнэ.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ дахин 3) (7 \ дахин 3) = \ frac (4) (7) \\\)

\(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) бутархайг 3-аар бууруулсан.

Бутархайг тоогоор үржүүлэх.

Эхлээд дүрмийг санацгаая, дурын тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Үржүүлэхдээ энэ дүрмийг ашиглая.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Буруу бутархай \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\)-ийг холимог бутархай болгон хувиргав.

Өөрөөр хэлбэл, Тоог бутархайгаар үржүүлэхдээ бид тоог тоологчоор үржүүлж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээнэ.Жишээ:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Холимог бутархайг үржүүлэх.

Холимог бутархайг үржүүлэхийн тулд эхлээд холимог бутархай бүрийг буруу бутархайгаар төлөөлж, дараа нь үржүүлэх дүрмийг ашиглана. Бид хуваагчийг хуваагчаар үржүүлж, хуваагчийг хуваагчаар үржүүлнэ.

Жишээ:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Харилцан бутархай ба тоог үржүүлэх.

\(\bf \frac(a)(b)\) бутархай нь a≠0,b≠0 өгөгдсөн \(\bf \frac(b)(a)\) бутархайн урвуу хэсэг юм.
\(\bf \frac(a)(b)\) ба \(\bf \frac(b)(a)\) бутархайг харилцан бутархай гэж нэрлэдэг. Харилцан бутархайн үржвэр нь 1-тэй тэнцүү байна.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Жишээ:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Холбогдох асуултууд:
Бутархайг бутархайгаар хэрхэн үржүүлэх вэ?
Хариулт: Энгийн бутархайн үржвэр нь хүртэгчийг хуваагчтай, хуваагчийг хуваагчтай үржүүлэх явдал юм. Холимог бутархайн бүтээгдэхүүнийг авахын тулд тэдгээрийг буруу бутархай болгон хувиргаж, дүрмийн дагуу үржүүлэх хэрэгтэй.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хэрхэн үржүүлэх вэ?
Хариулт: Бутархай нь ижил эсвэл өөр хуваагчтай байх нь хамаагүй, үржүүлгийн үржвэр нь хуваагчтай хуваагч, хуваагчтай хуваарийн үржвэрийг олох дүрмийн дагуу явагдана.

Холимог бутархайг хэрхэн үржүүлэх вэ?
Хариулт: Юуны өмнө та холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь үржүүлэх дүрмийг ашиглан бүтээгдэхүүнийг олох хэрэгтэй.

Хэрхэн тоог бутархайгаар үржүүлэх вэ?
Хариулт: бид тоог тоологчтой үржүүлдэг, харин хуваагчийг хэвээр үлдээдэг.

Жишээ №1:
Бүтээгдэхүүнийг тооцоол: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Шийдэл:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
б) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( улаан) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Жишээ №2:
Тоон ба бутархайн үржвэрийг тооцоол: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Шийдэл:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\)
б) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Жишээ №3:
\(\frac(1)(3)\) бутархайн эсрэг бичнэ үү?
Хариулт: \(\frac(3)(1) = 3\)

Жишээ №4:
Хоёр харилцан бутархайн үржвэрийг тооцоол: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Шийдэл:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Жишээ №5:
Харилцан бутархай байж болно:
а) зохих бутархайтай нэгэн зэрэг;
б) нэгэн зэрэг буруу бутархай;
в) нэгэн зэрэг натурал тоо?

Шийдэл:
a) эхний асуултанд хариулахын тулд жишээ хэлье. \(\frac(2)(3)\) бутархай нь зөв, урвуу бутархай нь \(\frac(3)(2)\) - буруу бутархайтай тэнцүү байна. Хариулт: үгүй.

б) бараг бүх бутархай тооллогод энэ нөхцөл хангагдаагүй боловч нэгэн зэрэг буруу бутархай байх нөхцлийг хангасан тоонууд байдаг. Жишээлбэл, буруу бутархай нь \(\frac(3)(3)\), урвуу бутархай нь \(\frac(3)(3)\)-тэй тэнцүү байна. Бид хоёр буруу бутархай авдаг. Хариулт: Тоолуур ба хуваагч тэнцүү байх үед тодорхой нөхцөлд үргэлж байдаггүй.

в) натурал тоонууд нь бидний тоолохдоо ашигладаг тоонууд юм, жишээлбэл, 1, 2, 3, .... Хэрэв бид \(3 = \frac(3)(1)\) тоог авбал урвуу бутархай нь \(\frac(1)(3)\) болно. \(\frac(1)(3)\) бутархай нь натурал тоо биш юм. Хэрэв бид бүх тоогоор дамжвал 1-ээс бусад тооны эсрэг тал нь үргэлж бутархай байна. Хэрэв бид 1-ийн тоог авбал түүний эсрэг бутархай нь \(\frac(1)(1) = \frac(1) болно. )(1) = 1\). 1-р тоо бол натурал тоо юм. Хариулт: Хэрэв энэ нь 1 тоо бол тэдгээр нь зөвхөн нэг тохиолдолд нэгэн зэрэг натурал тоо байж болно.

Жишээ №6:
Холимог бутархайн үржвэрийг хий: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Шийдэл:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
б) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Жишээ №7:
Хоёр эсрэг тоо нь нэгэн зэрэг холимог тоо байж болох уу?

Нэг жишээ авч үзье. Холимог бутархай \(1\frac(1)(2)\ авч, урвуу бутархайг олъё, үүний тулд бид буруу бутархай болгон хувиргана \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Үүний урвуу бутархай нь \(\frac(2)(3)\) -тэй тэнцүү байх болно. \(\frac(2)(3)\) бутархай нь зөв бутархай байна. Хариулт: Харилцан урвуу хоёр бутархай нь нэгэн зэрэг холимог тоо байж болохгүй.

Энгийн бутархай тоо нь 5-р ангийн сурагчидтай анх уулзаж, амьдралынхаа туршид дагалддаг, учир нь өдөр тутмын амьдралд объектыг бүхэлд нь биш, харин тусдаа хэсэг болгон авч үзэх, ашиглах шаардлагатай байдаг. Энэ сэдвийг судалж эхлэх - хувьцаа. Хувьцаа нь тэнцүү хэсэг юм, үүнд энэ эсвэл тэр объект хуваагдана. Эцсийн эцэст, жишээлбэл, бүтээгдэхүүний урт эсвэл үнийг бүхэлд нь тоогоор илэрхийлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. "Хуваах" - хэсэг болгон хуваах үйл үгнээс үүссэн, араб үндэстэй "бутархай" гэдэг үг нь өөрөө 8-р зуунд орос хэл дээр гарч ирэв.

Бутархай илэрхийлэл нь математикийн хамгийн хэцүү салбар гэж эрт дээр үеэс үздэг. 17-р зуунд математикийн анхны сурах бичгүүд гарч ирэхэд тэдгээрийг "эвдэрсэн тоо" гэж нэрлэдэг байсан нь хүмүүст ойлгоход маш хэцүү байсан.

Хэсэг нь хэвтээ шугамаар тусгаарлагдсан энгийн бутархай үлдэгдлийн орчин үеийн хэлбэрийг анх Фибоначчи - Пизагийн Леонардо дэвшүүлсэн. Түүний бүтээлүүд 1202 онтой холбоотой. Гэхдээ энэ нийтлэлийн зорилго нь уншигчдад янз бүрийн хуваарьтай холимог бутархайг хэрхэн үржүүлдэгийг энгийн бөгөөд ойлгомжтой тайлбарлах явдал юм.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг үржүүлэх

Эхэндээ үүнийг тодорхойлох нь зүйтэй бутархайн төрлүүд:

• зөв;
• буруу;
• холимог.

Дараа нь та ижил хуваагчтай бутархай тоог хэрхэн үржүүлж байгааг санах хэрэгтэй. Энэ үйл явцын дүрэм нь бие даан боловсруулахад хялбар байдаг: үржүүлгийн үр дүн энгийн бутархайижил хуваагчтай нь бутархай илэрхийлэл бөгөөд түүний хуваагч нь тоонуудын үржвэр, хуваагч нь эдгээр бутархайн хуваагчдын үржвэр юм. Энэ нь үнэн хэрэгтээ шинэ хуваагч нь одоо байгаа нэгнийх нь квадрат юм.

Үржүүлэх үед өөр өөр хуваарьтай энгийн бутархайХоёр ба түүнээс дээш хүчин зүйлийн хувьд дүрэм өөрчлөгдөхгүй:

а/б * в/г = a*c / б*д.

Цорын ганц ялгаа нь бутархай шугамын доор үүссэн тоо нь өөр өөр тоонуудын үржвэр байх бөгөөд мэдээжийн хэрэг үүнийг нэг тоон илэрхийллийн квадрат гэж нэрлэх боломжгүй юм.

Жишээнүүдийг ашиглан өөр өөр хуваагчтай бутархайг үржүүлэх талаар авч үзэх нь зүйтэй.

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Жишээ нь бутархай илэрхийллийг багасгах аргыг ашигладаг. Та зөвхөн хуваагчийн тоонуудыг бутархайн шугамаас дээш эсвэл доор байгаа зэргэлдээх хүчин зүйлүүдээр багасгаж болно.

Энгийн хамт бутархай тоо, холимог бутархай гэсэн ойлголт байдаг. Холимог тоо нь бүхэл ба бутархай хэсгээс бүрдэх бөгөөд энэ нь эдгээр тоонуудын нийлбэр юм.

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Үржүүлэх нь хэрхэн ажилладаг вэ?

Хэд хэдэн жишээг авч үзэх зорилгоор өгсөн.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Жишээ нь тоог үржүүлэх аргыг ашигладаг энгийн бутархай хэсэг, энэ үйлдлийн дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.

а* б/в = a*b /в.

Үнэн хэрэгтээ ийм бүтээгдэхүүн нь ижил бутархай үлдэгдлүүдийн нийлбэр бөгөөд нэр томъёоны тоо нь энэ натурал тоог илэрхийлдэг. Онцгой тохиолдол:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Тоог бутархай үлдэгдлээр үржүүлэх өөр нэг шийдэл бий. Та зөвхөн хуваагчийг энэ тоогоор хуваах хэрэгтэй:

г* д/е = д/f: d.

Энэ техникийг хуваагчийг үлдэгдэлгүй натурал тоо эсвэл тэдний хэлснээр бүхэл тоонд хуваахад ашиглах нь ашигтай байдаг.

Холимог тоог буруу бутархай болгон хувиргаж, өмнө нь тайлбарласан аргаар бүтээгдэхүүнийг гарга.

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Энэ жишээ нь холимог бутархайг буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх аргыг багтаасан бөгөөд үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. ерөнхий томъёо:

а бв = a*b+ c / c, энд шинэ бутархайн хуваагч нь бүхэл хэсгийг хуваагчтай үржүүлж, анхны бутархай үлдэгдлийн хүртэгчтэй нэмэх замаар үүсэх ба хуваагч нь ижил хэвээр байна.

Энэ процесс бас ажилладаг урвуу тал. Бүхэл хэсэг ба бутархай үлдэгдлийг салгахын тулд та "булан" ашиглан буруу бутархайн хуваагчийг хуваах хэрэгтэй.

Бутархай бутархайг үржүүлэхнийтээр хүлээн зөвшөөрсөн аргаар үйлдвэрлэсэн. Нэг бутархай шугамын доор бичихдээ энэ аргыг ашиглан тоог багасгаж, үр дүнг тооцоолоход хялбар болгохын тулд шаардлагатай бол бутархайг багасгах хэрэгтэй.

Математикийн нарийн төвөгтэй асуудлыг ч гэсэн янз бүрийн хувилбараар шийдэх олон туслахууд Интернет дээр байдаг. Хангалттай тооны ийм үйлчилгээ нь бутархайг үржүүлэхэд туслах болно өөр өөр тоохуваагчаар - бутархайг тооцоолох онлайн тооцоолуур гэж нэрлэгддэг. Тэд зөвхөн үржүүлээд зогсохгүй энгийн бутархай болон холимог тоонуудтай бусад бүх энгийн арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх чадвартай. Та вэбсайтын хуудсан дээрх тохирох талбаруудыг бөглөж, математик үйлдлийн тэмдгийг сонгоод "тооцоолох" дээр дарна уу. Програм нь автоматаар тооцоолдог.

Бутархайтай арифметик үйлдлийн сэдэв нь дунд, ахлах ангийн сурагчдын боловсролд хамаатай. Ахлах сургуульд байхдаа тэд хамгийн энгийн зүйлүүдийг авч үзэхээ больсон, гэхдээ бүхэл бутархай илэрхийллүүд, гэхдээ урьд өмнө олж авсан хувиргах дүрэм, тооцооллын талаархи мэдлэгийг анхны хэлбэрээр нь ашигладаг. Сайн эзэмшсэн суурь мэдлэг нь хамгийн төвөгтэй асуудлыг амжилттай шийдвэрлэх бүрэн итгэлийг өгдөг.

Эцэст нь хэлэхэд, Лев Николаевич Толстойн "Хүн бол бутархай хэсэг юм. Өөрийн тоологч - гавьяаг нэмэгдүүлэх нь хүний ​​мэдэлд байдаггүй ч хэн ч өөрийн хуваагч - өөрийнхөө талаарх үзэл бодлыг бууруулж чаддаг бөгөөд энэ бууралтаар түүний төгс төгөлдөрт ойртдог.