Неравномерное движение. Скорость при неравномерном движении

Рассматривая криволинейное движение тела, мы увидим, что его скорость в разные моменты различна. Даже в том случае, когда модуль скорости не меняется, все же имеет место изменение направления скорости. В общем случае меняются и модуль и направление скорости.

Таким образом, при криволинейном движении скорость непрерывно изменяется, так что это движение происходит с ускорением. Для определения этого ускорения (по модулю и направлению) требуется найти изменение скорости как вектора, т. е. найти приращение модуля скорости и изменение ее направления.

Рис. 49. Изменение скорости при криволинейном движении

Пусть, например, точка, двигаясь криволинейно (рис. 49), имела в некоторый момент скорость а через малый промежуток времени - скорость . Приращение скорости есть разность между векторами и . Так как эти векторы имеют различное направление, то нужно взять их векторную разность. Приращение скорости выразится вектором , изображаемым стороной параллелограмма с диагональю и другой стороной . Ускорением называется отношение приращения скорости к промежутку времени , за который это приращение произошло. Значит, ускорение

По направлению совпадает с вектором .

Выбирая достаточно малым, придем к понятию мгновенного ускорения (ср. § 16); при произвольном вектор будет представлять среднее ускорение за промежуток времени .

Направление ускорения при криволинейном движении не совпадает с направлением скорости, в то время как для прямолинейного движения эти направления совпадают (или противоположны). Чтобы найти направление ускорения при криволинейном движении, достаточно сопоставить направления скоростей в двух близких точках траектории. Так как скорости направлены по касательным к траектории, то по виду самой траектории можно сделать заключение, в какую сторону от траектории направлено ускорение. Действительно, так как разность скоростей в двух близких точках траектории всегда направлена в ту сторону, куда искривляется траектория, то, значит, и ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории. Например, когда шарик катится по изогнутому желобу (рис. 50), его ускорение на участках и направлено так, как показывают стрелки, причем это не зависит от того, катится шарик от к или в обратном направлении.

Рис. 50. Ускорения при криволинейном движении всегда направлены в сторону вогнутости траектории

Рис. 51. К выводу формулы для центростремительного ускорения

Рассмотрим равномерное движение точки по криволинейной траектории. Мы уже знаем, что это - ускоренное движение. Найдем ускорение. Для этого достаточно рассмотреть ускорение для частного случая равномерного движения по окружности. Возьмем два близких положения и движущейся точки, разделенных малым промежутком времени (рис. 51, а). Скорости движущейся точки в и равны по модулю, но различны по направлению. Найдем разность этих скоростей, пользуясь правилом треугольника (рис. 51, б). Треугольники и подобны, как равнобедренные треугольники с равными углами при вершине. Длину стороны , изображающей приращение скорости за промежуток времени , можно положить равной , где - модуль искомого ускорения. Сходственная ей сторона есть хорда дуги ; вследствие малости дуги длина ее хорды может быть приближенно принята равной длине дуги, т.е. . Далее, ; , где - радиус траектории. Из подобия треугольников следует, что отношения сходственных сторон в них равны:

откуда находим модуль искомого ускорения:

Направление ускорения перпендикулярно к хорде . Для достаточно малых промежутков времени можно считать, что касательная к дуге практически совпадает с ее хордой. Значит, ускорение можно считать направленным перпендикулярно (нормально) к касательной к траектории, т. е. по радиусу к центру окружности. Поэтому такое ускорение называют нормальным или центростремительным ускорением.

Если траектория - не окружность, а произвольная кривая линия, то в формуле (27.1) следует взять радиус окружности, ближе всего подходящей к кривой в данной точке. Направление нормального ускорения и в этом случае будет перпендикулярно к касательной к траектории в данной точке. Если при криволинейном движении ускорение постоянно по модулю и направлению, его можно найти как отношение приращения скорости к промежутку времени, за который это приращение произошло, каков бы ни был этот промежуток времени. Значит, в этом случае ускорение можно найти по формуле

аналогичной формуле (17.1) для прямолинейного движения с постоянным ускорением. Здесь - скорость тела в начальный момент, a - скорость в момент времени .

В зависимости от формы траектории движение можно подразделять на прямолинейное и криволинейное. Чаще всего можно столкнуться с криволинейными движениями, когда траектория представлена в виде кривой. Примером такого вида движения является путь тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца, планет и так далее.

Рисунок 1 . Траектория и перемещение при криволинейном движении

Определение 1

Криволинейным движением называют движение, траектория которого представляет собой кривую линию. Если тело движется по криволинейной траектории, то вектор перемещения s → направлен по хорде, как показано на рисунке 1 , а l является длиной траектории. Направление мгновенной скорости движения тела идет по касательной в той же точке траектории, где в данный момент располагается движущийся объект, как показано на рисунке 2 .

Рисунок 2 . Мгновенная скорость при криволинейном движении

Определение 2

Криволинейное движение материальной точки называют равномерным тогда, когда модуль скорости постоянный (движение по окружности), и равноускоренным при изменяющемся направлении и модуле скорости (движение брошенного тела).

Криволинейное движение всегда ускоренное. Это объясняется тем, что даже при неизмененном модуле скорости, а измененном направлении, всегда присутствует ускорение.

Для того чтобы исследовать криволинейное движение материальной точки, применяют два метода.

Путь разбивается на отдельные участки, на каждом из которых его можно считать прямолинейным, как показано на рисунке 3 .

Рисунок 3 . Разбиение криволинейного движения на поступательные

Теперь для каждого участка можно применять закон прямолинейного движения. Такой принцип допускается.

Самым удобным методом решения считается представление пути в качестве совокупности нескольких движений по дугам окружностей, как показано на рисунке 4 . Количество разбиений будет намного меньше, чем в предыдущем методе, кроме того, движение по окружности уже является криволинейным.

Рисунок 4 . Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Замечание 1

Для записи криволинейного движения необходимо уметь описывать движение по окружности, произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам этих окружностей.

Исследование криволинейного движения включает в себя составление кинематического уравнения, которое описывает это движение и позволяет по имеющимся начальным условиям определить все характеристики движения.

Пример 1

Дана материальная точка, движущаяся по кривой, как показано на рисунке 4 . Центры окружностей O 1 , O 2 , O 3 располагаются на одной прямой. Необходимо найти перемещение
s → и длину пути l во время движения из точки А в В.

Решение

По условию имеем, что центры окружности принадлежат одной прямой, отсюда:

s → = R 1 + 2 R 2 + R 3 .

Так как траектория движения – это сумма полуокружностей, то:

l ~ A B = π R 1 + R 2 + R 3 .

Ответ: s → = R 1 + 2 R 2 + R 3 , l ~ A B = π R 1 + R 2 + R 3 .

Пример 2

Дана зависимость пройденного телом пути от времени, представленная уравнением s (t) = A + B t + C t 2 + D t 3 (C = 0 , 1 м / с 2 , D = 0 , 003 м / с 3) . Вычислить, через какой промежуток времени после начала движения ускорение тела будет равно 2 м / с 2

Решение

Ответ: t = 60 с.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Вам хорошо известно, что в зависимости от формы траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное . С прямолинейным движением мы научились работать на предыдущих уроках, а именно решать главную задачу механики для такого вида движения.

Однако ясно, что в реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца и даже траектория движения ваших глаз, следящих сейчас за этим конспектом.

Вопросу о том, как решается главная задача механики в случае криволинейного движения, и будет посвящен этот урок.

Для начала определимся, какие принципиальные отличия есть у криволинейного движения (рис. 1) относительно прямолинейного и к чему эти отличия приводят.

Рис. 1. Траектория криволинейного движения

Поговорим о том, как удобно описывать движение тела при криволинейном движении.

Можно разбить движение на отдельные участки, на каждом из которых движение можно считать прямолинейным (рис. 2).

Рис. 2. Разбиение криволинейного движения на участки прямолинейного движения

Однако более удобным является следующий подход. Мы представим это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (рис. 3). Обратите внимание, что таких разбиений меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности является криволинейным. К тому же примеры движения по окружности в природе встречается очень часто. Из этого можно сделать вывод:

Для того чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.

Рис. 3. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Итак, начнем изучение криволинейного движения с изучения равномерного движения по окружности. Давайте разберемся, каковы принципиальные отличия криволинейного движения от прямолинейного. Для начала вспомним, что в девятом классе мы изучили тот факт, что скорость тела при движении по окружности направлена по касательной к траектории (рис. 4). Кстати, этот факт вы можете пронаблюдать на опыте, если посмотрите, как движутся искры при использовании точильного камня.

Рассмотрим движение тела по дуге окружности (рис. 5).

Рис. 5. Скорость тела при движении по окружности

Обратите внимание, что в данном случае модуль скорости тела в точке равен модулю скорости тела в точке :

Однако вектор не равен вектору . Итак, у нас появляется вектор разности скоростей (рис. 6):

Рис. 6. Вектор разности скоростей

Причем изменение скорости произошло через некоторое время . Таким образом, мы получаем знакомую комбинацию:

Это не что иное, как изменение скорости за промежуток времени, или ускорение тела. Можно сделать очень важный вывод:

Движение по криволинейной траектории является ускоренным. Природа этого ускорения – непрерывное изменение направление вектора скорости.

Еще раз отметим, что, даже если говорится, что тело равномерно движется по окружности, имеется в виду, что модуль скорости тела не изменяется. Однако такое движение всегда является ускоренным, поскольку изменяется направление скорости.

В девятом классе вы изучали, чему равно такое ускорение и как оно направлено (рис. 7). Центростремительное ускорение всегда направлено к центру окружности, по которой движется тело.

Рис. 7. Центростремительное ускорение

Модуль центростремительного ускорения может быть рассчитан по формуле:

Переходим к описанию равномерного движения тела по окружности. Договоримся, что скорость , которой вы пользовались по время описания поступательного движения, теперь будет называться линейной скоростью. И под линейной скоростью мы будем понимать мгновенную скорость в точке траектории вращающегося тела.

Рис. 8. Движение точек диска

Рассмотрим диск, который для определенности вращается по часовой стрелке. На его радиусе отметим две точки и (рис. 8). Рассмотрим их движение. За некоторое время эти точки переместятся по дугам окружности и станут точками и . Очевидно, что точка совершила большее перемещение, чем точка . Из этого можно сделать вывод, что чем дальше от оси вращения находится точка, тем с большей линейной скоростью она движется

Однако если внимательно посмотреть на точки и , можно сказать, что неизменным остался угол , на который они повернулись относительно оси вращения . Именно угловые характеристики мы и будем использовать для описания движения по окружности. Отметим, что для описания движения по окружности можно использовать угловые характеристики.

Начнем рассмотрение движения по окружности с самого простого случая – равномерного движения по окружности. Напомним, что равномерным поступательным движением называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения. По аналогии можно дать определение равномерного движения по окружности.

Равномерным движением по окружности называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы.

Аналогично понятию линейной скорости вводится понятие угловой скорости.

Угловой скоростью равномерного движения ( называется физическая величина, равная отношению угла, на который повернулось тело, ко времени, за которое произошел этот поворот.

В физике чаще всего используется радианная мера угла. Например, угол в равен радиан. Измеряется угловая скорость в радианах в секунду:

Найдем связь между угловой скоростью вращения точки и линейной скоростью этой точки.

Рис. 9. Связь между угловой и линейной скоростью

Точка проходит при вращении дугу длиной , поворачиваясь при этом на угол . Из определения радианной меры угла можно записать:

Разделим левую и правую части равенства на промежуток времени , за который было совершено перемещение, затем воспользуемся определением угловой и линейной скоростей:

Обратим внимание, что чем дальше точка находится от оси вращения, тем выше ее линейная скорость. А точки, расположенные на самой оси вращения, неподвижны. Примером этого может служить карусель: чем ближе вы находитесь к центру карусели, тем легче вам на ней удержаться.

Такая зависимость линейной и угловой скоростей используется в геостационарных спутниках (спутники, которые всегда находятся над одной и той же точкой земной поверхности). Благодаря таким спутникам мы имеем возможность получать телевизионные сигналы.

Вспомним, что ранее мы вводили понятия периода и частоты вращения.

Период вращения – время одного полного оборота. Период вращения обозначается буквой и измеряется в секундах в СИ:

Частота вращения – физическая величина, равная количеству оборотов, которое тело совершает за единицу времени.

Частота обозначается буквой и измеряется в обратных секундах:

Они связаны соотношением:

Существует связь между угловой скоростью и частотой вращения тела. Если вспомнить, что полный оборот равен , легко увидеть, что угловая скорость:

Подставляя эти выражения в зависимость между угловой и линейной скоростью, можно получить зависимость линейной скорости от периода или частоты:

Запишем также связь между центростремительным ускорением и этими величинами:

Таким образом, мы знаем связь между всеми характеристиками равномерного движения по окружности.

Подытожим. На этом уроке мы начали описывать криволинейное движение. Мы поняли, каким образом можно связать криволинейное движение с движением по окружности. Движение по окружности всегда является ускоренным, а наличие ускорения обуславливает тот факт, что скорость всегда меняет свое направление. Такое ускорение называется центростремительным. Наконец, мы вспомнили некоторые характеристики движения по окружности (линейную скорость, угловую скорость, период и частоту вращения) и нашли соотношения между ними.

Список литературы

1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. - М.: Просвещение, 2008.
2. А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. - М.: Дрофа, 2006.
3. О.Я. Савченко. Задачи по физике. - М.: Наука, 1988.
4. А.В. Перышкин, В.В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. - М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

1. Аyp.ru ().
2. Википедия ().

Домашнее задание

Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 ЕГЭ.

1. Задачи 92, 94, 98, 106, 110 - сб. задач А.П. Рымкевич, изд. 10
2. Вычислите угловую скорость движения минутной, секундной и часовой стрелок часов. Вычислите центростремительное ускорение, действующее на кончики этих стрелок, если радиус каждой из них равен одному метру.

При криволинейном движении у вектора скорости изменяется направление. При этом может меняться и его модуль, т. е. длина. В этом случае вектор ускорения раскладывается на две составляющие: касательную к траектории и перпендикулярную к траектории (рис. 10). Составляющая называется тангенциальным (касательным) ускорением, составляющая –нормальным (центростремительным) ускорением.

Ускорение при криволинейном движении

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения линейной скорости, а нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления движения.

Полное ускорение равно векторной сумме тангенциального и нормального ускорений:

(15)

Модуль полного ускорения равен:

.

Рассмотрим равномерное движение точки по окружности. При этом и . Пусть в рассматриваемый момент времени t точка находится в положении 1 (рис. 11). Спустя время Δt точка окажется в положении 2, пройдя путь Δs , равный дуге 1-2. При этом скорость точки v получает приращение Δv , в результате чего вектор скорости, оставаясь неизменным по величине, повернется на угол Δφ , совпадающий по величине с центральным углом, опирающимся на дугу длиной Δs :

(16)

где R-радиус окружности, по которой движется точка. Найдем приращение вектора скорости Для этого перенесем вектор так, чтобы его начало совпадало с началом вектора . Тогда вектор изобразится отрезком, проведенным из конца вектора в конец вектора . Этот отрезок служит основанием равнобедренного треугольника со сторонами и и углом Δφ при вершине. Если угол Δφ невелик (что выполняется для малых Δt), для сторон этого треугольника можно приближенно написать:

.

Подставляя сюда Δφ из (16), получаем выражение для модуля вектора :

.

Разделив обе части уравнения на Δt и сделав предельный переход, получим величину центростремительного ускорения:

Здесь величины v и R постоянные, поэтому их можно вынести за знак предела. Предел отношения – это модуль скорости Его также называют линейной скоростью.

Радиус кривизны

Радиус окружности R называется радиусом кривизны траектории. Величина, обратная R, называется кривизной траектории:

.

где R - радиус рассматриваемой окружности. Если α есть центральный угол, соответствующий дуге окружности s, то, как известно, между R, α и s имеет место соотношение:

s = Rα . (18)

Понятие радиуса кривизны применимо не только к окружности, но и любой кривой линии. Радиус кривизны (или обратная ему величина – кривизна) характеризует степень изогнутости линии. Чем меньше радиус кривизны (соответственно, чем больше кривизна), тем сильнее изогнута линия. Рассмотрим это понятие подробнее.

Кругом кривизны плоской линии в некоторой точке A называется предельное положение окружности, проходящей через точку А и две другие точки В 1 и В 2 при их бесконечном приближении к точке А (на рис. 12 кривая проведена сплошной линией, а круг кривизны - пунктирной). Радиус круга кривизны дает радиус кривизны рассматриваемой кривой в точке A, а центр этого круга - центр кривизны кривой для той же точки А.

Проведем в точках B 1 и В 2 касательные B 1 D и В 2 Е к окружности, проходящей через точки В 1 , А и B 2 . Нормали к этим касательным B 1 С и В 2 С представят собой радиусы R окружности и пересекутся в ее центре С. Введем угол Δα между нормалями В1С и В 2 С; очевидно, он равен углу между касательными В 1 D и В 2 E. Обозначим участок кривой между точками B 1 и В 2 как Δs. Тогда по формуле (18):

.

Круг кривизны плоской кривой линии

Определение кривизны плоской кривой в разных точках

На рис. 13 изображены круги кривизны плоской линии в разных точках. В точке A 1 , где кривая является более пологой, радиус кривизны больше, чем в точке A 2 , соответственно, кривизна линии в точке A 1 будет меньше, чем в точке A 2 . В точке A 3 кривая является еще более пологой, чем в точках A 1 и A 2 , поэтому радиус кривизны в этой точке будет больше, а кривизна меньше. Кроме того, круг кривизны в точке A 3 лежит по другую сторону кривой. Поэтому величине кривизны в этой точке приписывают знак, противоположный знаку кривизны в точках A 1 и A 2: если кривизну в точках A 1 и A 2 будем считать положительной, то кривизна в точке A 3 будет отрицательной.