Разложение функций в степенные ряды. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов
Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.
Ряд Фурье позволяет изучать периодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.
Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):
Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
где a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - действительные константы, т.е.
Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:
Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье , и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,
Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Где a o - константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n .
Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой и так далее.
Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.
Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.
Разложение непериодических функций.
Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.
Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .
Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.
Четные и нечетные функции.
Говорят, функция y=f(x) четная , если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.
Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.
Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.
Разложение в ряд Фурье по косинусам.
Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,
где коэффициенты ряда Фурье,
Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).
Следовательно,
где коэффициенты ряда Фурье,
Ряд Фурье на полупериоде.
Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.
Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n
Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b
Ряд Фурье для произвольного интервала.
Разложение периодической функции с периодом L.
Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.
Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид
(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)
Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.
Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде .
Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид
Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n
– так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.
Правила ввода функций :
Если для некоторого значения х
r n
→0 при n
→∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора
:
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.
При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена
:
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции
Логарифмические функции
, -1
Биномиальные ряды
.
Пример №1
. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=
2 x
.
Решение
. Найдем значения функции и ее производных при х
=0
f(x)
= 2 x
, f(0)
= 2 0
=1;
f"(x)
= 2 x
ln2, f"(0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x)
= 2 x
ln 2 2, f""(0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
f (n) (x)
= 2 x
ln n
2, f (n) (0)
= 2 0
ln n
2= ln n
2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:
Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞<x
<+∞.
Пример №2
. Написать ряд Тейлора по степеням (х
+4) для функции f(x)=
e x
.
Решение
. Находим производные функции e x
и их значения в точке х
=-4.
f(x)
= е x
, f(-4)
= е -4
;
f"(x)
= е x
, f"(-4)
= е -4
;
f""(x)
= е x
, f""(-4)
= е -4
;
…
f (n) (x)
= е x
, f (n) ( -4)
= е -4
.
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:
Данное разложение также справедливо для -∞<x
<+∞.
Пример №3
. Разложить функцию f(x)
=lnx
в ряд по степеням (х-
1),
(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х
=1).
Решение
. Находим производные данной функции.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(-1) n-1 (n-1)!
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:
С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1 . Действительно,
Ряд сходится, если ½х-
1½<1, т.е. при 0<x
<2. При х
=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].
Пример №4
. Разложить в степенной ряд функцию .
Пример №5
. Разложить в ряд Маклорена функцию Замечание
.
Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось. Пример №5а
. Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.
Дробь 3/(1-3x) можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем 3x, если |3x| < 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Пример №6
. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.
Пример №7
. Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции ln(x+2) .
Пример №8
. Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x =2.
Пример №1
. Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.
Пример №2
. Вычислить с точностью до 0,0001.
Пример №3
. Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 sin (x) x с точностью до 10 -5 .
Пример №4
. Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 e x 2 с точностью до 0,001.
Если функция f(x)
имеет на некотором интервале, содержащем точку а
, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора: где r n
– так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа: Если для некоторого значения х r n
®0 при n
®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора
: Таким образом, функция f(x)
может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х
, если: 1) она имеет производные всех порядков; 2) построенный ряд сходится в этой точке. При а
=0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена
: Пример 1
f(x)=
2 x
. Решение
. Найдем значения функции и ее производных при х
=0 f(x)
= 2 x
, f(0)
= 2 0
=1; f¢(x)
= 2 x
ln2, f¢(0)
= 2 0
ln2= ln2; f¢¢(x)
= 2 x
ln 2 2, f¢¢(0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2; f (n) (x)
= 2 x
ln n
2, f (n) (0)
= 2 0
ln n
2= ln n
2. Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим: Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥<x
<+¥. Пример 2
х
+4) для функции f(x)=
e x
. Решение
. Находим производные функции e x
и их значения в точке х
=-4. f(x)
= е x
, f(-4)
= е -4
; f¢(x)
= е x
, f¢(-4)
= е -4
; f¢¢(x)
= е x
, f¢¢(-4)
= е -4
; f (n) (x)
= е x
, f (n) ( -4)
= е -4
. Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид: Данное разложение также справедливо для -¥<x
<+¥. Пример 3
. Разложить функцию f(x)
=lnx
в ряд по степеням (х-
1), (т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х
=1). Решение
. Находим производные данной функции. Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора: С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-
1½<1. Действительно, Ряд сходится, если ½х-
1½<1, т.е. при 0<x
<2. При х
=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х
=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2]. Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х
=0) для некоторых элементарных функций: (2) (3) (последнее разложение называют биномиальным рядом)
Пример 4
. Разложить в степенной ряд функцию Решение
. В разложении (1) заменяем х
на –х
2 , получаем: Пример 5
. Разложить в ряд Маклорена функцию Решение
. Имеем Пользуясь формулой (4), можем записать: подставляя вместо х
в формулу –х
, получим: Отсюда находим: Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале. Замечание
. Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а
). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х
стоит k(х-а
) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t
=х-а
и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена. Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось. Пример 6
. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х
=3. Решение
. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х
=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5): Полученный ряд сходится при Пример 7
. Написать ряд Тейлора по степеням (х
-1) функции Решение
. Ряд сходится при В теории функциональных
рядов центральное место занимает раздел,
посвященный разложению функции в ряд. Таким образом,
ставится задача: по заданной функции
требуется
найти такой степенной ряд который на некотором
интервале сходился и его сумма была
равна
Эта задача называется
задачей
разложения функции в степенной ряд.
Необходимым
условием разложимости функции в степенной
ряд
является
её дифференцируемость бесконечное
число раз – это следует из свойств
сходящихся степенных рядов. Такое
условие выполняется, как правило, для
элементарных функций в их области
определения. Итак, предположим,
что функция
Допустим, что
функцию где а
0 ,а
1 ,а
2 ,...,а
п
,...
– неопределенные
(пока) коэффициенты. Положим в равенстве
(*) значение х
= х
0 ,
тогда получим Продифференцируем
степенной ряд (*) почленно и полагая здесь
х = х
0 ,
получим При следующем
дифференцировании получим ряд полагая х
= х
0 ,
получим После п
-кратного
дифференцирования получим Полагая в последнем
равенстве х
= х
0 ,
получим
Итак, коэффициенты
найдены подставляя которые
в ряд (*), получим Полученный
ряд называется рядом
Тейлора
для функции
Таким образом, мы
установили, что если
функцию можно разложить в степенной
ряд по степеням (х - х
0 ),
то это разложение единственно и полученный
ряд обязательно является рядом Тейлора.
Заметим,
что ряд Тейлора можно получить для любой
функции, имеющей производные любого
порядка в точке х
= х
0 .
Но это еще
не означает, что между функцией и
полученным рядом можно поставить знак
равенства, т.е. что сумма ряда равна
исходной функции. Во-первых, такое
равенство может иметь смысл только в
области сходимости, а полученный для
функции ряд Тейлора может и расходиться,
во-вторых, если ряд Тейлора будет
сходиться, то его сумма может не совпадать
с исходной функцией. Сформулируем
утверждение, с помощью которого будет
решена поставленная задача. Если функция
где
R
n
(х
)-остаточный
член формулы Тейлора – имеет вид (форма
Лагранжа)
где
точка
ξ
лежит между
х и х
0 . Отметим, что между
рядом Тейлора и формулой Тейлора имеется
различие: формула Тейлора представляет
собой конечную сумму, т.е. п
-
фиксированное
число. Напомним, что сумма
ряда S
(x
)
может быть
определена как предел функциональной
последовательности частичных сумм
S
п
(x
)
на некотором
промежутке Х
: Согласно этому,
разложить функцию в ряд Тейлора означает
найти такой ряд, что для любого х
X
Запишем формулу
Тейлора в виде,
где Заметим, что Если
Тем самыммы доказали
критерий
разложимости функции в ряд Тейлора.
Для того, чтобы
в некотором промежутке функция
f
(х)
разлагалась в ряд Тейлора, необходимо
и достаточно, чтобы на этом промежутке
С помощью
сформулированного критерия можно
получить достаточные
условия
разложимости функции в ряд Тейлора.
Если в
некоторой
окрестности точки х
0
абсолютные величины всех производных
функции ограничены одним и тем же числом
М
≥ 0,
т.е.
Из вышеизложенного
следует алгоритм
разложения
функции
f
(x
)
в ряд Тейлора
в
окрестности точки х
0 :
1.
Находим
производные функции f
(x
):
f(x),
f’(x), f”(x), f’”(x), f
(n)
(x),…
2. Вычисляем значение
функции и значения её производных в
точке х
0 f(x
0
),
f’(x
0
),
f”(x
0
),
f’”(x
0
),
f
(n)
(x
0
),…
3. Формально
записываем ряд Тейлора и находим область
сходимости полученного степенного
ряда. 4. Проверяем
выполнение достаточных условий, т.е.
устанавливаем, для каких х
из области
сходимости, остаточный член R
n
(x
)
стремится
к нулю при
Разложение функций
в ряд Тейлора по данному алгоритму
называют разложением
функции в ряд Тейлора по определению
или
непосредственным
разложением.
Решение
. В разложении (1) заменяем х на -х 2 , получаем:
, -∞.
Решение
. Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:
подставляя вместо х в формулу –х, получим:
Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а
). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х
стоит k(х-а
) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t
=х-а
и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.
Решение. Сначала найдем 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
на элементарные:
с областью сходимости |x| < 1/3.
Решение
. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х
=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
=
Полученный ряд сходится при или –3
Решение
.
Ряд сходится при , или -2 < x < 5.
Решение
. Сделаем замену t=х-2:
Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим π / 4 t, получим:
Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Приближенные вычисления с помощью степенных рядов
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:
Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х
, принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n
членов (n
– конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:
Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x) . Для этого применяют следующие приемы:
Решение
. Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем
Решение
. Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.
так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.
Решение
. Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx
на x
, получим:
Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:
Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.
Решение
.
. Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
≈0.0001<0.001. Следовательно, .
, где число x заключено между х
и а
.
,
,
или –3<x-
3<3, 0<x
< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
.
, или -2 < x
£ 5.
,
т.е.
=
..
имеет производные любого порядка. Можно
ли её разложить в степенной ряд, если
можно, то как найти этот ряд? Проще
решается вторая часть задачи, с неё и
начнем.
можно представить в виде суммы степенного
ряда, сходящегося в интервале, содержащем
точкух
0 :
=
..
(*)
.
=
..
.
=
..
,
откуда
.
,
откуда
,
,
,
…,
,….,
.
3.2. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора
в некоторой
окрестности точки х
0
имеет производные до (n
+
1)-го
порядка включительно, то в этой окрестности
имеет место
формула
Тейлора
.
определяет ту
ошибку, которую мы получаем, заменяй
функцию f
(x
)
многочленом
S
n
(x
).
,
то
,т.е. функция
разлагается в ряд
Тейлора. Инаоборот,
если
,
то
.
,
где
R
n
(x
)
- остаточный член ряда Тейлора.
,
т
о в этой
окрестности функция разлагается в ряд
Тейлора.
или
.
Рекомендуем также