Na internete nájdete viac ako 10 vzorcov na výpočet plochy trojuholníka známe strany a uhly trojuholníka. Existuje však množstvo komplexné príklady kde je podľa podmienok zadania známa len jedna strana a uhly trojuholníka, prípadne polomer kružnice opísanej alebo vpísanej a ešte jedna charakteristika. V takýchto prípadoch nie je možné použiť jednoduchý vzorec.

Vzorce uvedené nižšie vám umožnia vyriešiť 95 percent problémov, v ktorých musíte nájsť oblasť trojuholníka.
Prejdime k vzorcom spoločnej oblasti.
Zvážte trojuholník zobrazený na obrázku nižšie

Na obrázku a nižšie vo vzorcoch sú zavedené klasické označenia všetkých jeho charakteristík.
a,b,c – strany trojuholníka,
R – polomer kružnice opísanej,
r – polomer vpísanej kružnice,
h[b],h[a],h[c] – výšky nakreslené podľa strán a,b,c.
alfa, beta, hamma – uhly v blízkosti vrcholov.

Základné vzorce pre oblasť trojuholníka

1. Plocha sa rovná polovici súčinu strany trojuholníka a výšky zníženej na túto stranu. V jazyku vzorcov možno túto definíciu zapísať nasledovne

Ak je teda známa strana a výška, každý študent nájde oblasť.
Mimochodom, z tohto vzorca možno odvodiť jeden užitočný vzťah medzi výškami

2. Ak vezmeme do úvahy, že výška trojuholníka cez susednú stranu je vyjadrená závislosťou

Potom po prvom plošnom vzorci nasledujú druhé rovnakého typu

Pozrite sa pozorne na vzorce - sú ľahko zapamätateľné, pretože práca zahŕňa dve strany a uhol medzi nimi. Ak správne označíme strany a uhly trojuholníka (ako na obrázku vyššie), dostaneme dva strany a, b a uhol je spojený s tretím S (hamma).

3. Pre uhly trojuholníka platí vzťah

Závislosť vám umožňuje vo výpočtoch použiť nasledujúce vzorce pre oblasť trojuholníka:

Príklady tejto závislosti sú extrémne zriedkavé, ale musíte si uvedomiť, že existuje taký vzorec.

4. Ak je známa strana a dva susedné uhly, potom sa plocha nájde podľa vzorca

5. Vzorec pre plochu z hľadiska strany a kotangens susedných uhlov je nasledujúci

Preskupením indexov môžete získať závislosti pre iné strany.

6. Plošný vzorec uvedený nižšie sa používa v problémoch, keď sú vrcholy trojuholníka špecifikované v rovine súradnicami. V tomto prípade sa plocha rovná polovici determinantu prijatého modulo.

7. Heronov vzorec použité v príkladoch so známymi stranami trojuholníka.
Najprv nájdite polobvod trojuholníka

A potom určte oblasť pomocou vzorca

alebo

Pomerne často sa používa v kóde programov kalkulačky.

8. Ak sú známe všetky výšky trojuholníka, potom je plocha určená vzorcom

Je ťažké vypočítať na kalkulačke, ale v balíkoch MathCad, Mathematica, Maple je oblasť „čas dva“.

9. Nasledujúce vzorce používajú známe polomery vpísaných a opísaných kružníc.

Najmä, ak sú známe polomer a strany trojuholníka alebo jeho obvod, potom sa plocha vypočíta podľa vzorca

10. V príkladoch, kde sú uvedené strany a polomer alebo priemer opísanej kružnice, sa plocha zistí pomocou vzorca

11. Nasledujúci vzorec určuje plochu trojuholníka z hľadiska strany a uhlov trojuholníka.

A nakoniec - špeciálne prípady:
Oblasť pravouhlého trojuholníka s nohami a a b sa rovná polovici ich produktu

Vzorec pre oblasť rovnostranného (pravidelného) trojuholníka=

= jedna štvrtina súčinu druhej mocniny strany a odmocniny z troch.

Oblasť trojuholníka - vzorce a príklady riešenia problémov

Nižšie sú uvedené vzorce na nájdenie oblasti ľubovoľného trojuholníka ktoré sú vhodné na nájdenie oblasti akéhokoľvek trojuholníka bez ohľadu na jeho vlastnosti, uhly alebo veľkosti. Vzorce sú prezentované vo forme obrázka s vysvetlením ich použitia alebo odôvodnením ich správnosti. Na samostatnom obrázku je tiež znázornená zhoda medzi písmenovými symbolmi vo vzorcoch a grafickými symbolmi na výkrese.

Poznámka . Ak má trojuholník špeciálne vlastnosti (rovnomerný, pravouhlý, rovnostranný), môžete použiť nižšie uvedené vzorce, ako aj ďalšie špeciálne vzorce, ktoré sú platné len pre trojuholníky s týmito vlastnosťami:

• "Vzorce pre oblasť rovnostranného trojuholníka"

Vzorce oblasti trojuholníka

Vysvetlivky k vzorcom:
a, b, c- dĺžky strán trojuholníka, ktorého obsah chceme nájsť
r- polomer kružnice vpísanej do trojuholníka
R- polomer kružnice opísanej trojuholníku
h- výška trojuholníka spusteného do strany
p- polobvod trojuholníka, 1/2 súčtu jeho strán (obvod)
α - uhol oproti strane a trojuholníka
β - uhol oproti strane b trojuholníka
γ - uhol oproti strane c trojuholníka
h a, h b , h c- výška trojuholníka zníženého na strany a, b, c

Upozorňujeme, že vyššie uvedené zápisy zodpovedajú obrázku vyššie, takže pri riešení skutočný problémčo sa týka geometrie, bolo pre vás vizuálne jednoduchšie zastupovať tie správne miesta vzorce sú správne hodnoty.

• Plocha trojuholníka je polovica súčinu výšky trojuholníka a dĺžky strany, o ktorú je táto výška znížená(Formula 1). Správnosť tohto vzorca možno pochopiť logicky. Výška znížená na základňu rozdelí ľubovoľný trojuholník na dva pravouhlé. Ak každý z nich postavíte do obdĺžnika s rozmermi b a h, potom sa plocha týchto trojuholníkov bude samozrejme rovnať presne polovici plochy obdĺžnika (Spr = bh)
• Plocha trojuholníka je polovičný súčin jeho dvoch strán a sínus uhla medzi nimi(Vzorec 2) (pozri príklad riešenia problému pomocou tohto vzorca nižšie). Napriek tomu, že sa zdá byť iná ako tá predchádzajúca, dá sa na ňu ľahko premeniť. Ak znížime výšku z uhla B na stranu b, ukáže sa, že súčin strany a a sínusu uhla γ sa podľa vlastností sínusu v pravouhlom trojuholníku rovná výške trojuholníka, ktorý sme nakreslili. , čo nám dáva predchádzajúci vzorec
• Je možné nájsť oblasť ľubovoľného trojuholníka cez práce polovica polomeru kružnice do nej vpísanej súčtom dĺžok všetkých jej strán(Vzorec 3), jednoducho povedané, musíte vynásobiť polobvod trojuholníka polomerom vpísanej kružnice (to je ľahšie zapamätateľné)
• Oblasť ľubovoľného trojuholníka možno nájsť vydelením súčinu všetkých jeho strán 4 polomermi kružnice opísanej okolo neho (vzorec 4)
• Formula 5 hľadá obsah trojuholníka cez dĺžky jeho strán a jeho polobvod (polovičný súčet všetkých jeho strán)
• Heronov vzorec(6) je znázornením rovnakého vzorca bez použitia pojmu polobvod, len cez dĺžky strán
• Plocha ľubovoľného trojuholníka sa rovná súčinu štvorca strany trojuholníka a sínusov uhlov susediacich s touto stranou vydeleného dvojitým sínusom uhla oproti tejto strane (vzorec 7)
• Oblasť ľubovoľného trojuholníka možno nájsť ako súčin dvoch štvorcov kruhu, ktorý je opísaný okolo neho sínusom každého z jeho uhlov. (Formula 8)
• Ak je známa dĺžka jednej strany a hodnoty dvoch susedných uhlov, potom plochu trojuholníka možno nájsť ako druhú mocninu tejto strany vydelenú dvojitým súčtom kotangens týchto uhlov (vzorec 9)
• Ak je známa iba dĺžka každej z výšok trojuholníka (vzorec 10), potom je plocha takéhoto trojuholníka nepriamo úmerná dĺžkam týchto výšok, ako podľa Heronovho vzorca
• Vzorec 11 vám umožňuje vypočítať oblasť trojuholníka na základe súradníc jeho vrcholov, ktoré sú špecifikované ako (x;y) hodnoty pre každý z vrcholov. Upozorňujeme, že výsledná hodnota sa musí brať modulo, pretože súradnice jednotlivých (alebo dokonca všetkých) vrcholov môžu byť v oblasti záporných hodnôt

Poznámka. Nasledujú príklady riešenia problémov s geometriou na nájdenie oblasti trojuholníka. Ak potrebujete vyriešiť problém s geometriou, ktorý tu nie je podobný, napíšte o ňom do fóra. V riešeniach namiesto symbolu " druhá odmocnina" možno použiť funkciu sqrt(), v ktorej sqrt je symbol druhej odmocniny a radikálny výraz je uvedený v zátvorkách.Niekedy pre tých jednoduchých radikálne prejavy možno použiť symbol √

Úloha. Nájdite oblasť, ktorú majú dve strany, a uhol medzi nimi

Strany trojuholníka sú 5 a 6 cm, uhol medzi nimi je 60 stupňov. Nájdite oblasť trojuholníka.

Riešenie.

Na vyriešenie tohto problému použijeme vzorec číslo dva z teoretickej časti lekcie.
Oblasť trojuholníka možno nájsť prostredníctvom dĺžok dvoch strán a sínusu uhla medzi nimi a bude sa rovnať
S = 1/2 ab sin γ

Keďže máme všetky potrebné údaje na riešenie (podľa vzorca), môžeme do vzorca dosadiť iba hodnoty z problémových podmienok:
S = 1/2 * 5 * 6 * hriech 60

V tabuľke hodnôt goniometrické funkcie Nájdeme a dosadíme do výrazu hodnotu sínus 60 stupňov. Bude sa rovnať odmocninu trikrát dva.
S = 15 √3 / 2

Odpoveď: 7,5 √3 (v závislosti od požiadaviek učiteľa pravdepodobne môžete nechať 15 √3/2)

Úloha. Nájdite obsah rovnostranného trojuholníka

Nájdite obsah rovnostranného trojuholníka so stranou 3 cm.

Riešenie .

Oblasť trojuholníka možno nájsť pomocou Heronovho vzorca:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Pretože a = b = c, vzorec pre oblasť rovnostranného trojuholníka má tvar:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Odpoveď: 9 √3 / 4.

Úloha. Zmena plochy pri zmene dĺžky strán

Koľkokrát sa plocha trojuholníka zväčší, ak sa strany zväčšia 4-krát?

Riešenie.

Keďže rozmery strán trojuholníka sú nám neznáme, na vyriešenie problému budeme predpokladať, že dĺžky strán sú rovnaké ľubovoľné čísla a, b, c. Potom, aby sme odpovedali na otázku problému, nájdeme plochu daného trojuholníka a potom nájdeme plochu trojuholníka, ktorého strany sú štyrikrát väčšie. Pomer plôch týchto trojuholníkov nám dá odpoveď na problém.

Nižšie uvádzame textové vysvetlenie riešenia problému krok za krokom. Na samom konci je však toto isté riešenie prezentované vo vhodnejšej grafickej podobe. Záujemcovia môžu okamžite prejsť na riešenia.

Na riešenie používame Heronov vzorec (pozri vyššie v teoretickej časti lekcie). Vyzerá to takto:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pozri prvý riadok na obrázku nižšie)

Dĺžky strán ľubovoľného trojuholníka sú určené premennými a, b, c.
Ak sa strany zväčšia 4-krát, potom bude plocha nového trojuholníka c:

S2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pozri druhý riadok na obrázku nižšie)

Ako vidíte, 4 je spoločný faktor, ktorý možno vyňať zo zátvoriek zo všetkých štyroch výrazov podľa všeobecné pravidlá matematiky.
Potom

S2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c)) - v treťom riadku obrázku
S2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c)) - štvrtý riadok

Druhá odmocnina čísla 256 je dokonale extrahovaná, takže ju vyberieme spod odmocniny
S2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c))
S2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pozri piaty riadok na obrázku nižšie)

Aby sme odpovedali na otázku položenú v probléme, stačí rozdeliť plochu výsledného trojuholníka plochou pôvodného trojuholníka.
Stanovme plošné pomery tak, že výrazy rozdelíme navzájom a výsledný zlomok zredukujeme.

Trojuholník je najjednoduchší geometrický útvar, ktorý sa skladá z troch strán a troch vrcholov. Trojuholník sa vďaka svojej jednoduchosti používa už od staroveku na rôzne merania a dnes môže byť figúrka užitočná pri riešení praktických a každodenných problémov.

Vlastnosti trojuholníka

Obrázok sa používa na výpočty už od staroveku, napríklad geodeti a astronómovia pracujú s vlastnosťami trojuholníkov na výpočet plôch a vzdialeností. Je ľahké vyjadriť plochu akéhokoľvek n-uholníka cez plochu tohto obrázku a túto vlastnosť používali starovekí vedci na odvodenie vzorcov pre oblasti polygónov. Neustála práca s trojuholníkmi, najmä pravouhlým, sa stala základom pre celé odvetvie matematiky – trigonometriu.

Geometria trojuholníka

Vlastnosti geometrický obrazec boli študované od staroveku: najstaršie informácie o trojuholníku sa našli v egyptských papyroch spred 4000 rokov. Potom bola postava študovaná v r Staroveké Grécko a najväčšie príspevky ku geometrii trojuholníka mali Euclid, Pytagoras a Heron. Štúdium trojuholníka nikdy neprestalo a v 18. storočí Leonhard Euler zaviedol koncept ortocentra obrazca a Eulerovho kruhu. Na prelome 19. a 20. storočia, keď sa zdalo, že o trojuholníku je známe úplne všetko, Frank Morley sformuloval vetu o uhlových trisektoroch a Waclaw Sierpinski navrhol fraktálny trojuholník.

Poznáme niekoľko typov plochých trojuholníkov školský kurz geometria:

• akútne - všetky rohy postavy sú akútne;
• tupý - postava má jeden tupý uhol(viac ako 90 stupňov);
• obdĺžnikový - obrázok obsahuje jeden pravý uhol rovný 90 stupňom;
• rovnoramenný - trojuholník s dvoma rovnakými stranami;
• rovnostranný - trojuholník so všetkými rovnakými stranami.
• IN skutočný život Existujú všetky druhy trojuholníkov a v niektorých prípadoch možno budeme musieť vypočítať plochu geometrického útvaru.

Oblasť trojuholníka

Plocha je odhad toho, akú veľkú časť roviny obrázok obklopuje. Oblasť trojuholníka možno nájsť šiestimi spôsobmi, pomocou strán, výšky, uhlov, polomeru vpísanej alebo opísanej kružnice, ako aj pomocou Heronovho vzorca alebo výpočtom dvojitého integrálu pozdĺž čiar ohraničujúcich rovinu. Najviac jednoduchý vzorec Výpočet plochy trojuholníka vyzerá takto:

kde a je strana trojuholníka, h je jeho výška.

V praxi však nie je vždy vhodné nájsť výšku geometrického útvaru. Algoritmus našej kalkulačky vám umožňuje vypočítať plochu s vedomím:

• tri strany;
• dve strany a uhol medzi nimi;
• jedna strana a dva rohy.

Na určenie plochy cez tri strany používame Heronov vzorec:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

kde p je polobvod trojuholníka.

Plocha na dvoch stranách a uhol sa vypočítajú pomocou klasického vzorca:

S = a × b × sin(alfa),

kde alfa je uhol medzi stranami a a b.

Na určenie plochy z hľadiska jednej strany a dvoch uhlov používame vzťah, že:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Pomocou jednoduchého pomeru určíme dĺžku druhej strany, po ktorej vypočítame plochu pomocou vzorca S = a × b × sin(alfa). Tento algoritmus je plne automatizovaný a stačí zadať špecifikované premenné a získať výsledok. Pozrime sa na pár príkladov.

Príklady zo života

Dlažobné dosky

Povedzme, že chcete vydláždiť podlahu trojuholníkovými dlaždicami a určiť množstvo požadovaný materiál, mali by ste zistiť plochu jednej dlaždice a plochu podlahy. Predpokladajme, že potrebujete spracovať 6 metrov štvorcových povrchu pomocou dlaždice, ktorej rozmery sú a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm Je zrejmé, že na výpočet plochy trojuholníka kalkulačka používa Heronov vzorec a dáva výsledok:

Plocha jedného prvku dlaždice bude teda 0,021 štvorcový meter, a na úpravu podlahy budete potrebovať 6/0,021 = 285 trojuholníkov. Čísla 20, 21 a 29 tvoria pytagorejské trojčísla, ktoré spĺňajú . A je to tak, naša kalkulačka vypočítala aj všetky uhly trojuholníka a uhol gama je presne 90 stupňov.

Školská úloha

V školskom probléme musíte nájsť oblasť trojuholníka s vedomím, že strana a = 5 cm a uhly alfa a beta sú 30 a 50 stupňov. Aby sme tento problém vyriešili manuálne, najprv by sme pomocou pomeru pomeru strán a sínusov opačných uhlov našli hodnotu strany b a potom určili plochu pomocou jednoduchého vzorca S = a × b × sin(alfa). Ušetrime čas, zadajte údaje do formulára kalkulačky a získajte okamžitú odpoveď

Pri používaní kalkulačky je dôležité správne uviesť uhly a strany, inak bude výsledok nesprávny.

Záver

Trojuholník je jedinečná postava, ktorá sa nachádza v reálnom živote aj v abstraktných výpočtoch. Použite našu online kalkulačku na určenie oblasti trojuholníkov akéhokoľvek druhu.

Na určenie plochy trojuholníka môžete použiť rôzne vzorce. Zo všetkých metód je najjednoduchšie a najčastejšie používané vynásobenie výšky dĺžkou základne a následné vydelenie výsledku dvomi. Avšak túto metódu zďaleka nie jediný. Nižšie si môžete prečítať, ako nájsť oblasť trojuholníka pomocou rôznych vzorcov.

Samostatne sa pozrieme na spôsoby výpočtu plochy konkrétnych typov trojuholníkov - pravouhlých, rovnoramenných a rovnostranných. Každý vzorec sprevádzame krátkym vysvetlením, ktoré vám pomôže pochopiť jeho podstatu.

Univerzálne metódy na nájdenie oblasti trojuholníka

Vzorce uvedené nižšie používajú špeciálnu notáciu. Rozlúštime každý z nich:

• a, b, c – dĺžky troch strán obrazca, ktoré uvažujeme;
• r je polomer kruhu, ktorý možno vpísať do nášho trojuholníka;
• R je polomer kružnice, ktorú možno okolo nej opísať;
• α je veľkosť uhla, ktorý zvierajú strany b a c;
• β je veľkosť uhla medzi a a c;
• γ je veľkosť uhla, ktorý zvierajú strany a a b;
• h je výška nášho trojuholníka zníženého z uhla α na stranu a;
• p – polovica súčtu strán a, b a c.

Je logicky jasné, prečo môžete týmto spôsobom nájsť oblasť trojuholníka. Trojuholník sa dá ľahko doplniť do rovnobežníka, v ktorom jedna strana trojuholníka bude pôsobiť ako uhlopriečka. Plocha rovnobežníka sa zistí vynásobením dĺžky jednej z jeho strán hodnotou výšky, ktorá je k nemu nakreslená. Uhlopriečka rozdeľuje tento podmienený rovnobežník na 2 rovnaké trojuholníky. Preto je celkom zrejmé, že plocha nášho pôvodného trojuholníka sa musí rovnať polovici plochy tohto pomocného rovnobežníka.

S = ½ a b sin γ

Podľa tohto vzorca sa plocha trojuholníka zistí vynásobením dĺžok jeho dvoch strán, to znamená a a b, sínusom uhla, ktorý tvoria. Tento vzorec je logicky odvodený od predchádzajúceho. Ak znížime výšku z uhla β na stranu b, potom podľa vlastností pravouhlého trojuholníka, keď vynásobíme dĺžku strany a sínusom uhla γ, dostaneme výšku trojuholníka, teda h .

Oblasť predmetného obrázku sa zistí vynásobením polovice polomeru kruhu, ktorý je možné do neho vpísať, jeho obvodom. Inými slovami, nájdeme súčin polobvodu a polomeru spomínanej kružnice.

S = abc/4R

Podľa tohto vzorca možno hodnotu, ktorú potrebujeme, nájsť vydelením súčinu strán obrázku 4 polomermi kruhu opísaného okolo neho.

Tieto vzorce sú univerzálne, pretože umožňujú určiť plochu akéhokoľvek trojuholníka (scalene, rovnoramenný, rovnostranný, obdĺžnikový). Dá sa to urobiť aj pomocou viacerých zložité výpočty, ktorým sa nebudeme podrobne venovať.

Plochy trojuholníkov so špecifickými vlastnosťami

Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka? Zvláštnosťou tohto obrázku je, že jeho dve strany sú súčasne jeho výškami. Ak a a b sú nohy a c sa stane preponou, potom nájdeme oblasť takto:

Ako nájsť oblasť rovnoramenný trojuholník? Má dve strany s dĺžkou a a jednu stranu s dĺžkou b. V dôsledku toho môže byť jeho plocha určená vydelením 2 súčinu druhej mocniny strany a sínusom uhla γ.

Ako nájsť oblasť rovnostranného trojuholníka? V ňom sa dĺžka všetkých strán rovná a a veľkosť všetkých uhlov je α. Jeho výška sa rovná polovici súčinu dĺžky strany a a druhej odmocniny z 3. Ak chcete nájsť obsah pravidelného trojuholníka, musíte vynásobiť druhú mocninu strany a druhou odmocninou z 3 a vydeliť 4.