Čo sa nazýva sklon dotyčnice. Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie. Komplexný sprievodca (2019)

Téme „Uhlový koeficient dotyčnice ako dotyčnica uhla sklonu“ je v certifikačnej skúške zadaných niekoľko úloh. V závislosti od ich stavu môže byť absolvent požiadaný o poskytnutie úplnej alebo krátkej odpovede. V príprave na zloženie jednotnej štátnej skúšky V matematike by si mal študent určite zopakovať úlohy, v ktorých je potrebné vypočítať uhlový koeficient dotyčnice.

Pomôže vám to urobiť vzdelávací portál"Školkovo". Naši špecialisti pripravili a prezentovali teoretický a praktický materiál čo najdostupnejším spôsobom. Po oboznámení sa s ním budú absolventi akejkoľvek úrovne vzdelania schopní úspešne riešiť problémy súvisiace s deriváciami, v ktorých je potrebné nájsť tangens tangensového uhla.

Zvýraznenie

Ak chcete nájsť správne a racionálne rozhodnutie Pri podobných úlohách v Jednotnej štátnej skúške si musíte zapamätať základnú definíciu: derivácia predstavuje rýchlosť zmeny funkcie; rovná sa dotyčnici dotyčnicového uhla nakresleného ku grafu funkcie v určitom bode. Rovnako dôležité je dokončiť výkres. Umožní vám nájsť správne riešenie problémov USE na derivácii, v ktorej musíte vypočítať tangens tangensového uhla. Pre prehľadnosť je najlepšie vykresliť graf na rovine OXY.

Ak ste sa už zoznámili so základným materiálom na tému derivácií a ste pripravení začať riešiť úlohy o výpočte dotyčnice uhla dotyčnice, ako napr. Zadania jednotnej štátnej skúšky, môžete to urobiť online. Ku každej úlohe, napríklad úlohám na tému „Vzťah derivácie s rýchlosťou a zrýchlením telesa“, sme zapísali správnu odpoveď a algoritmus riešenia. Študenti si zároveň môžu precvičiť vykonávanie úloh rôznej úrovne zložitosti. V prípade potreby je možné cvičenie uložiť do časti „Obľúbené“, aby ste neskôr mohli prediskutovať riešenie s učiteľom.

Už ste oboznámení s pojmom dotyčnica ku grafu funkcie. Graf funkcie f diferencovateľnej v bode x 0 blízko x 0 sa prakticky nelíši od dotyčnicového segmentu, čo znamená, že je blízko sečnice l prechádzajúcej bodmi (x 0 ; f (x 0)) a ( x 0 + Ax f ( x 0 + Ax)). Ktorýkoľvek z týchto sečencov prechádza bodom A (x 0 ; f (x 0)) grafu (obr. 1). Na jednoznačné definovanie priamky prechádzajúcej daným bodom A stačí uviesť jej sklon. Uhlový koeficient Δy/Δx sečny ako Δх→0 smeruje k číslu f ‘(x 0) (budeme to brať ako uhlový koeficient dotyčnice) Hovoria, že dotyčnica je hraničná poloha sečnice pri Δх→0.

Ak f'(x 0) neexistuje, potom dotyčnica buď neexistuje (ako funkcia y = |x| v bode (0; 0), pozri obrázok) alebo je vertikálna (ako graf funkcie v bode bod (0; 0), obr. 2).

Existencia derivácie funkcie f v bode xo je teda ekvivalentná existencii (nezvislej) dotyčnice v bode (x 0, f (x 0)) grafu, pričom dotyčnicový sklon sa rovná f" (x 0). Toto je geometrický význam derivácie

Dotyčnica ku grafu funkcie f diferencovateľnej v bode xo je priamka prechádzajúca bodom (x 0 ; f (x 0)) a má uhlový koeficient f ‘(x 0).

Nakreslíme dotyčnice ku grafu funkcie f v bodoch x 1, x 2, x 3 (obr. 3) a všimnime si uhly, ktoré zvierajú s osou x. (Toto je uhol nameraný v kladnom smere od kladného smeru osi k priamke.) Vidíme, že uhol α 1 je ostrý, uhol α 3 je tupý a uhol α 2 je nula, pretože priamka l je rovnobežne s osou Ox. Tangenta ostrý uhol je kladné, tupé je záporné, tg 0 = 0. Preto

F"(x 1)>0, f'(x 2)=0, f'(x 3)
Konštrukcia dotyčníc v jednotlivých bodoch umožňuje presnejšie načrtnúť grafy. Aby sme napríklad zostrojili náčrt grafu funkcie sínus, najskôr zistíme, že v bodoch 0; π/2 a π derivácia sínusu sa rovná 1; 0 a -1. Zostrojme priamky prechádzajúce bodmi (0; 0), (π/2,1) a (π, 0) s uhlovými koeficientmi 1, 0 a -1 (obr. 4). výsledný lichobežník tvorený týmito priamkami a priamkou Ox, graf sínusu tak, že pre x rovné 0, π/2 a π sa dotýka zodpovedajúcich priamok.

Všimnite si, že graf sínusu v blízkosti nuly je prakticky nerozoznateľný od priamky y = x. Nech je napríklad mierka pozdĺž osí zvolená tak, aby jednotka zodpovedala segmentu 1 cm. Máme sin 0,5 ≈ 0,479425, t.j. |sin 0,5 - 0,5| ≈ 0,02 a na zvolenej mierke to zodpovedá segmentu dlhému 0,2 mm. Preto sa graf funkcie y = sin x v intervale (-0,5; 0,5) bude odchyľovať (vo vertikálnom smere) od priamky y = x najviac o 0,2 mm, čo približne zodpovedá hrúbke nakreslená čiara.

Pokyny

Určíme uhlový koeficient dotyčnice ku krivke v bode M.
Krivka predstavujúca graf funkcie y = f(x) je spojitá v určitom okolí bodu M (vrátane samotného bodu M).

Ak hodnota f‘(x0) neexistuje, potom buď neexistuje dotyčnica, alebo prebieha vertikálne. Z tohto hľadiska je prítomnosť derivácie funkcie v bode x0 spôsobená existenciou nevertikálnej dotyčnice ku grafu funkcie v bode (x0, f(x0)). V tomto prípade sa uhlový koeficient dotyčnice bude rovnať f "(x0). Tým sa objasní geometrický význam derivácie - výpočet uhlového koeficientu dotyčnice.

Nájdite hodnotu abscisy dotyčnicového bodu, ktorý je označený písmenom „a“. Ak sa zhoduje s daným dotykovým bodom, potom „a“ bude jeho x-ová súradnica. Určte hodnotu funkcie f(a) dosadením do rovnice funkcie abscisa hodnota.

Určte prvú deriváciu rovnice funkcie f’(x) a dosaďte doň hodnotu bodu „a“.

Vezmite všeobecná rovnica dotyčnicu, ktorá je definovaná ako y = f(a) = f (a)(x – a), a dosaďte do nej nájdené hodnoty a, f(a), f "(a). nájde sa riešenie grafu a dotyčnice.

Vyriešte úlohu iným spôsobom, ak sa daný dotykový bod nezhoduje s dotykovým bodom. V tomto prípade je potrebné namiesto čísel v tangentovej rovnici dosadiť „a“. Potom namiesto písmen „x“ a „y“ nahraďte hodnotu súradnice daný bod. Vyriešte výslednú rovnicu, v ktorej „a“ je neznáma. Vložte výslednú hodnotu do rovnice dotyčnice.

Napíšte rovnicu pre dotyčnicu s písmenom „a“, ak problém špecifikuje rovnicu funkcie a rovnicu rovnobežky vzhľadom k požadovanej dotyčnici. Potom potrebujeme deriváciu funkcie, na súradnicu v bode „a“. Dosaďte príslušnú hodnotu do rovnice dotyčnice a vyriešte funkciu.

Priamka y = f(x) sa bude dotýkať grafu znázorneného na obrázku v bode x0 za predpokladu, že prechádza týmto bodom so súradnicami (x0; f(x0)) a má uhlový koeficient f"(x0). Nájsť tento koeficient, berúc do úvahy vlastnosti dotyčnice, nie je ťažké.

Budete potrebovať

• - matematická referenčná kniha;
• - notebook;
• - jednoduchá ceruzka;
• - pero;
• - uhlomer;
• - kompas.

Pokyny

• Upozorňujeme, že graf diferencovateľnej funkcie f(x) v bode x0 sa nelíši od dotyčnicového segmentu. Preto je celkom blízko úsečky l, prechádza cez body (x0; f(x0)) a (x0+Δx; f(x0 + Δx)). Ak chcete určiť priamku prechádzajúcu bodom A s koeficientmi (x0; f(x0)), uveďte jej sklon. Navyše sa rovná Δy/Δx sečnovej dotyčnici (Δх→0) a tiež smeruje k číslu f‘(x0).
• Ak neexistujú žiadne hodnoty pre f‘(x0), potom možno neexistuje žiadna dotyčnica alebo možno prebieha vertikálne. Na základe toho sa prítomnosť derivácie funkcie v bode x0 vysvetľuje existenciou nevertikálnej dotyčnice, ktorá je v kontakte s grafom funkcie v bode (x0, f(x0)). V tomto prípade sa uhlový koeficient dotyčnice rovná f "(x0). Geometrický význam derivácie je jasný, to znamená výpočet uhlového koeficientu dotyčnice.
• To znamená, že ak chcete nájsť sklon dotyčnice, musíte nájsť hodnotu derivácie funkcie v bode dotyčnice. Príklad: nájdite uhlový koeficient dotyčnice ku grafu funkcie y = x³ v bode s os X0 = 1. Riešenie: Nájdite deriváciu tejto funkcie y΄(x) = 3x²; nájdite hodnotu derivácie v bode X0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Uhlový koeficient dotyčnice v bode X0 = 1 je 3.
• Nakreslite ďalšie dotyčnice na obrázku tak, aby sa dotýkali grafu funkcie v nasledujúcich bodoch: x1, x2 a x3. Označte uhly, ktoré tvoria tieto dotyčnice, s osou x (uhol sa počíta v kladnom smere - od osi k priamke dotyčnice). Napríklad prvý uhol a1 bude ostrý, druhý (a2) tupý a tretí (a3) ​​sa bude rovnať nule, pretože nakreslená dotyčnica je rovnobežná s osou OX. V tomto prípade dotyčnica tupý uhol je záporná hodnota a dotyčnica ostrého uhla je kladná s tg0 a výsledok je nula.

Naučte sa brať derivácie funkcií. Derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom bode ležiacom na grafe tejto funkcie. V tomto prípade môže byť graf rovný alebo zakrivený. To znamená, že derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom časovom bode. Pamätajte všeobecné pravidlá, pomocou ktorého sa berú deriváty, a až potom prejdite na ďalší krok.

• Prečítajte si článok.
• Ako vziať najjednoduchšie deriváty, napríklad derivát exponenciálna rovnica, popísané. Výpočty uvedené v nasledujúcich krokoch budú založené na metódach opísaných v nich.

Naučte sa rozlišovať problémy, v ktorých je potrebné vypočítať koeficient sklonu pomocou derivácie funkcie. Problémy nie vždy vyžadujú, aby ste našli sklon alebo deriváciu funkcie. Môžete byť napríklad požiadaní, aby ste našli rýchlosť zmeny funkcie v bode A(x,y). Môžete byť tiež požiadaní, aby ste našli sklon dotyčnice v bode A(x,y). V oboch prípadoch je potrebné vziať deriváciu funkcie.

Vezmite deriváciu funkcie, ktorú ste dostali. Tu nie je potrebné vytvárať graf - potrebujete iba rovnicu funkcie. V našom príklade vezmite deriváciu funkcie. Vezmite derivát podľa metód uvedených v článku vyššie:

• odvodený:

Na výpočet sklonu dosaďte súradnice bodu, ktorý ste dostali, do nájdenej derivácie. Derivácia funkcie sa rovná sklonu v určitom bode. Inými slovami, f"(x) je sklon funkcie v ľubovoľnom bode (x,f(x)). V našom príklade:

• Nájdite sklon funkcie f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) v bode A(4,2).
• Derivácia funkcie:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Dosaďte hodnotu súradnice „x“ tohto bodu:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Nájdite svah:
• Funkcia sklonu f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) v bode A(4,2) sa rovná 22.

Ak je to možné, skontrolujte svoju odpoveď v grafe. Pamätajte, že sklon nemožno vypočítať v každom bode. Diferenciálny počet zvažuje komplexné funkcie a komplexné grafy, kde nie je možné vypočítať sklon v každom bode a v niektorých prípadoch body na grafoch vôbec neležia. Ak je to možné, použite grafickú kalkulačku, aby ste skontrolovali, či je sklon zadanej funkcie správny. V opačnom prípade nakreslite dotyčnicu ku grafu v bode, ktorý vám bol daný, a porozmýšľajte, či sa nájdená hodnota sklonu zhoduje s tým, čo vidíte na grafe.

• Dotyčnica bude mať v určitom bode rovnaký sklon ako graf funkcie. Ak chcete nakresliť dotyčnicu v danom bode, posuňte sa doľava/doprava na osi X (v našom príklade 22 hodnôt doprava) a potom o jednu nahor na osi Y označte bod a potom ho pripojte k bod, ktorý ste dostali. V našom príklade spojte body so súradnicami (4,2) a (26,3).