Aký je uhol medzi priamkou a rovinou. Uhol medzi priamkou a rovinou. Kolmosť priamky a roviny

Článok začína definíciou uhla medzi priamkou a rovinou. Tento článok vám ukáže, ako nájsť uhol medzi priamkou a rovinou pomocou súradnicovej metódy. Riešenia príkladov a problémov budú podrobne prediskutované.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najprv je potrebné zopakovať pojem priamka v priestore a pojem rovina. Na určenie uhla medzi priamkou a rovinou, niekoľko pomocné definície. Pozrime sa na tieto definície podrobne.

Definícia 1

Priamka a rovina sa pretínajú v prípade, že ho majú spoločný bod, to znamená, že je to priesečník priamky a roviny.

Priamka pretínajúca rovinu môže byť kolmá na rovinu.

Definícia 2

Priamka je kolmá na rovinu keď je kolmá na akúkoľvek priamku umiestnenú v tejto rovine.

Definícia 3

Priemet bodu M na rovinuγ je samotný bod, ak leží v danej rovine, alebo je priesečníkom roviny s priamkou kolmou na rovinu γ prechádzajúcou bodom M za predpokladu, že nepatrí do roviny γ.

Definícia 4

Priemet priamky a na rovinuγ je množina priemetov všetkých bodov danej priamky do roviny.

Z toho dostaneme, že priemet priamky kolmej na rovinu γ má priesečník. Zistíme, že priemet priamky a je priamka patriaca do roviny γ a prechádzajúca priesečníkom priamky a a roviny. Pozrime sa na obrázok nižšie.

Zapnuté momentálne máme všetky potrebné informácie a údaje na formulovanie definície uhla medzi priamkou a rovinou

Definícia 5

Uhol medzi priamkou a rovinou uhol medzi touto priamkou a jej priemetom do tejto roviny sa nazýva a priamka nie je na ňu kolmá.

Vyššie uvedená definícia uhla pomáha dospieť k záveru, že uhol medzi priamkou a rovinou je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami, teda danou priamkou spolu s jej priemetom do roviny. To znamená, že uhol medzi nimi bude vždy ostrý. Poďme sa pozrieť na obrázok nižšie.

Uhol medzi priamkou a rovinou sa považuje za pravý, to znamená 90 stupňov, ale uhol medzi rovnobežnými priamkami nie je definovaný. Existujú prípady, keď sa jeho hodnota rovná nule.

Úlohy, kde je potrebné nájsť uhol medzi priamkou a rovinou, majú veľa variácií riešenia. Priebeh samotného riešenia závisí od dostupných údajov o stave. Častými spoločníkmi riešenia sú znaky podobnosti alebo rovnosti obrazcov, kosínusy, sínusy, tangenty uhlov. Nájdenie uhla je možné pomocou súradnicovej metódy. Pozrime sa na to podrobnejšie.

Ak je v trojrozmernom priestore zavedený pravouhlý súradnicový systém O x y z, potom je v ňom určená priamka a, pretínajúca rovinu γ v bode M a nie je na rovinu kolmá. Je potrebné nájsť uhol α nachádzajúci sa medzi danou priamkou a rovinou.

Najprv musíte použiť definíciu uhla medzi priamkou a rovinou pomocou súradnicovej metódy. Potom dostaneme nasledovné.

V súradnicovom systéme O x y z je určená priamka a, ktorá zodpovedá rovnicam priamky v priestore a smerovému vektoru priamky v priestore pre rovinu γ zodpovedá rovnica roviny a normály; vektor roviny. Potom a → = (a x , a y , a z) je smerový vektor danej priamky a a n → (n x , n y , n z) je normálový vektor pre rovinu γ. Ak si predstavíme, že máme súradnice smerového vektora priamky a a normálového vektora roviny γ, tak ich rovnice sú známe, teda sú špecifikované podmienkou, potom je možné určiť vektory a → a n → na základe rovnice.

Na výpočet uhla je potrebné transformovať vzorec na získanie hodnoty tohto uhla pomocou existujúcich súradníc smerového vektora priamky a normálového vektora.

Je potrebné nakresliť vektory a → a n →, začínajúc od priesečníka priamky a s rovinou γ. Existujú 4 možnosti umiestnenia týchto vektorov vzhľadom na dané čiary a roviny. Pozrite sa na obrázok nižšie, ktorý zobrazuje všetky 4 varianty.

Odtiaľto zistíme, že uhol medzi vektormi a → a n → je označený ako a → , n → ^ a je ostrý, potom sa požadovaný uhol α nachádzajúci sa medzi priamkou a rovinou dopĺňa, to znamená, že dostaneme výraz tvaru a → , n → ^ = 90 ° - α. Keď podľa podmienky a →, n → ^ > 90 °, potom máme a →, n → ^ = 90 ° + α.

Odtiaľto máme, že kosínusy rovnakých uhlov sú rovnaké, potom sú posledné rovnosti zapísané vo forme systému

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°

Na zjednodušenie výrazov je potrebné použiť redukčné vzorce. Potom dostaneme rovnosti tvaru cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°

Po vykonaní transformácií má systém tvar sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

Z toho dostaneme, že sínus uhla medzi priamkou a rovinou sa rovná modulu kosínusu uhla medzi smerovým vektorom priamky a normálovým vektorom danej roviny.

Časť o nájdení uhla vytvoreného dvoma vektormi odhalila, že tento uhol má hodnotu bodkový produkt vektory a súčin týchto dĺžok. Proces výpočtu sínusu uhla získaného priesečníkom priamky a roviny sa vykonáva podľa vzorca

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

To znamená, že vzorec na výpočet uhla medzi priamkou a rovinou so súradnicami smerového vektora priamky a normálového vektora roviny po transformácii je v tvare

α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Nájdenie kosínusu pre známy sínus je možné použitím základnej goniometrickej identity. Priesečník priamky a roviny tvorí ostrý uhol. To naznačuje, že jeho hodnota bude kladné číslo a jeho výpočet sa vykoná zo vzorca cos α = 1 - sin α.

Poďme vyriešiť niekoľko podobných príkladov na konsolidáciu materiálu.

Príklad 1

Nájdite uhol, sínus, kosínus uhla, ktorý zviera priamka x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 a rovina 2 x + z - 1 = 0.

Riešenie

Na získanie súradníc smerového vektora je potrebné zvážiť kanonické rovnice priamky v priestore. Potom dostaneme, že a → = (3, - 2, 6) je smerový vektor priamky x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6.

Na nájdenie súradníc normálneho vektora je potrebné zvážiť všeobecnú rovnicu roviny, pretože ich prítomnosť je určená koeficientmi dostupnými pred premenné rovnice. Potom zistíme, že pre rovinu 2 x + z - 1 = 0 má normálový vektor tvar n → = (2, 0, 1).

Je potrebné pristúpiť k výpočtu sínusu uhla medzi priamkou a rovinou. K tomu je potrebné dosadiť súradnice vektorov a → a b → do daného vzorca. Dostaneme vyjadrenie formy

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

Odtiaľ nájdeme hodnotu kosínusu a hodnotu samotného uhla. Získame:

cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

odpoveď: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.

Príklad 2

Existuje pyramída postavená pomocou hodnôt vektorov A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1. Nájdite uhol medzi priamkou A D a rovinou A B C.

Riešenie

Na výpočet požadovaného uhla je potrebné mať súradnice smerového vektora priamky a normálového vektora roviny. pre priamku A D má smerový vektor súradnice A D → = 4, 1, 1.

Normálový vektor n → patriaci rovine A B C je kolmý na vektor A B → a A C →. To znamená, že je možné uvažovať normálový vektor roviny A B C vektorový produkt vektory A B → a A C → . Vypočítame to pomocou vzorca a dostaneme:

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )

Na výpočet požadovaného uhla vytvoreného priesečníkom priamky a roviny je potrebné nahradiť súradnice vektorov. dostaneme výraz v tvare:

α = ac sin A D → , n → ^ A D → · n → = a rc sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a rc sin 23 21 2

odpoveď: a r c hriech 23 21 2 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Definícia uhla medzi priamkou a rovinou je založená na koncepte šikmého premietania. Definícia. Uhol medzi priamkou a rovinou je uhol medzi touto priamkou a jej priemetom do danej roviny.

Na obr. 341 ukazuje uhol a medzi nakloneným AM a jeho priemetom do roviny K.

Poznámka. Ak je priamka rovnobežná s rovinou alebo v nej leží, potom sa jej uhol s rovinou považuje za rovný nule. Ak je kolmý na rovinu, potom je uhol deklarovaný ako pravý (predchádzajúca definícia je tu doslova nepoužiteľná!). V iných prípadoch sa predpokladá ostrý uhol medzi priamkou a jej priemetom. Preto uhol medzi priamkou a rovinou nikdy nepresahuje pravý uhol. Všimnime si tiež, že tu je správnejšie hovoriť o mieri uhla, a nie o uhle (v skutočnosti hovoríme o miere sklonu priamky k rovine, ale o koncepte uhla ako plochá postava ohraničená dvoma lúčmi tu nemá priamy vzťah).

Overme si ešte jednu vlastnosť ostrého uhla medzi priamkou a rovinou.

Zo všetkých uhlov, ktoré zviera daná priamka a všetky možné priamky v rovine, je uhol s priemetom danej priamky najmenší.

Dôkaz. Obráťme sa na Obr. 342. Nech a je daná priamka, jej priemet do roviny nech je ľubovoľná iná priamka v rovine K (pre prehľadnosť sme ju nakreslili cez bod A priesečníka priamky a s rovinou). Položme to na rovný segment, t.j. rovný základni nakloneného MA, kde je priemet jedného z bodov nakloneného a.

Potom v trojuholníkoch sú dve strany rovnaké: strana AM je spoločná, v konštrukcii sú rovnaké. Ale tretia strana trojuholníka je väčšia ako tretia strana trojuholníka (naklonená strana je väčšia ako kolmica). To znamená, že opačný uhol b je väčší ako zodpovedajúci uhol a b (pozri odsek 217): , čo je potrebné dokázať.

Uhol medzi priamkou a rovinou je najmenší z uhlov medzi danou priamkou a všetkými možnými priamkami v rovine.

Spravodlivé a tak

Veta. Ostrý uhol medzi priamkou ležiacou v rovine a priemetom naklonenej na túto rovinu je menší ako uhol medzi touto priamkou a naklonenou čiarou.

Dôkaz. Nech je priamka ležiaca v rovine (obr. 342), a je naklonená k rovine, t je jej priemet do roviny. Priamku budeme považovať za naklonenú k rovine, potom to bude jej priemet na naznačenú rovinu a pomocou predchádzajúcej vlastnosti zistíme: čo sme potrebovali dokázať. Z vety o troch kolmiciach je zrejmé, že v prípade, keď je priamka v rovine kolmá na, priemet šikmej (prípad nie je ostrý, ale pravý uhol), priamka je tiež kolmá na najviac naklonenú; v tomto prípade sú oba uhly, o ktorých hovoríme, pravé uhly, a preto sú si navzájom rovné.

Nech je daný nejaký pravouhlý súradnicový systém a priamka . Nechaj A - dve rôzne roviny pretínajúce sa v priamke a podľa toho dané rovnicami. Tieto dve rovnice spoločne definujú priamku vtedy a len vtedy, ak nie sú rovnobežné a navzájom sa nezhodujú, teda normálne vektory
A
tieto roviny nie sú kolineárne.

Definícia. Ak sú koeficienty rovníc

nie sú proporcionálne, potom sa tieto rovnice nazývajú všeobecné rovnice priamka, definovaná ako priesečník rovín.

Definícia. Volá sa akýkoľvek nenulový vektor rovnobežný s priamkou vodiaci vektor túto priamku.

Odvoďme rovnicu priamky prechádza cez daný bod
priestor a majúci daný smerový vektor
.

Nechajte bod
- ľubovoľný bod na priamke . Tento bod leží na priamke práve vtedy, ak je vektor
so súradnicami
, kolineárne so smerovým vektorom
priamy. Podľa (2.28) podmienka kolinearity vektorov
A vyzerá ako

. (3.18)

Rovnice (3.18) sa nazývajú kanonické rovnice priamka prechádzajúca bodom
a majúci smerový vektor
.

Ak rovno je daný všeobecnými rovnicami (3.17), potom smerovým vektorom táto čiara je ortogonálna k normálovým vektorom
A
roviny špecifikované rovnicami. Vektor
podľa vlastnosti vektorového súčinu je ortogonálny ku každému z vektorov A . Podľa definície ako smerový vektor priamy môžete vziať vektor
, t.j.
.

Aby som našiel pointu
zvážiť sústavu rovníc
. Keďže roviny definované rovnicami nie sú rovnobežné a nezhodujú sa, potom aspoň jedna z rovníc neplatí
. To vedie k tomu, že aspoň jeden z determinantov ,
,
odlišný od nuly. Pre istotu to budeme predpokladať
. Potom vezmite ľubovoľnú hodnotu , získame sústavu rovníc pre neznáme A :

Podľa Cramerovej vety má tento systém jedinečné riešenie definované vzorcami

,
. (3.19)

Ak vezmete
, potom bodom prechádza priamka daná rovnicami (3.17).
.

Teda pre prípad, keď
, kanonické rovnice priamky (3.17) majú tvar

Kanonické rovnice priamky (3.17) sa píšu podobne pre prípad, keď je determinant nenulový.
alebo
.

Ak čiara prechádza cez dva rôzne body
A
, potom jeho kanonické rovnice majú tvar

. (3.20)

Vyplýva to z toho, že priamka prechádza bodom
a má smerový vektor.

Uvažujme kanonické rovnice (3.18) priamky. Zoberme si každý zo vzťahov ako parameter , t.j.
. Jeden z menovateľov týchto zlomkov je nenulový a zodpovedajúci čitateľ môže mať akúkoľvek hodnotu, takže parameter môže nadobudnúť akékoľvek skutočné hodnoty. Vzhľadom na to, že každý z pomerov je rovnaký , dostaneme parametrické rovnice priamo:

,
,
. (3.21)

Nechajte lietadlo je daná všeobecnou rovnicou a priamkou - parametrické rovnice
,
,
. Bodka
priesečník priamky a lietadlá musí súčasne patriť k rovine a priamke. To je možné iba v prípade, že parameter spĺňa rovnicu, t.j.
. Priesečník priamky a roviny má teda súradnice

Príklad 32. Napíšte parametrické rovnice pre priamku prechádzajúcu bodmi
A
.

Riešenie. Za smerovací vektor priamky berieme vektor

. Bodom prechádza priamka , preto podľa vzorca (3.21) majú požadované priamkové rovnice tvar
,
,
.

Príklad 33. Vrcholy trojuholníka
mať súradnice
,
A
resp. Zostavte parametrické rovnice pre medián nakreslený z vrcholu .

Riešenie. Nechaj
- stred strany
, Potom
,
,
. Ako vodiaci vektor mediánu berieme vektor
. Potom majú parametrické rovnice mediánu tvar
,
,
.

Príklad 34. Zostavte kanonické rovnice priamky prechádzajúcej bodom
rovnobežne s čiarou
.

Riešenie. Priamka je definovaná ako priesečník rovín s normálovými vektormi
A
. Ako vodiaci vektor vziať vektor tejto čiary
, t.j.
. Podľa (3.18) má požadovaná rovnica tvar
alebo
.

3.8. Uhol medzi priamymi čiarami v priestore. Uhol medzi priamkou a rovinou

Nechajte dve rovné čiary A v priestore sú dané ich kanonickými rovnicami
A
. Potom jeden z rohov medzi týmito čiarami sa rovná uhlu medzi ich smerovými vektormi
A
. Na určenie uhla použite vzorec (2.22). dostaneme vzorec

. (3.22)

Druhý roh medzi týmito riadkami je rovnaký
A
.

Podmienka pre paralelné čiary A je ekvivalentná podmienke kolinearity vektorov
A
a spočíva v úmernosti ich súradníc, teda podmienka pre rovnobežky má tvar

. (3.23)

Ak rovno A sú kolmé, potom sú ich smerové vektory ortogonálne, t.j. podmienka kolmosti je určená rovnosťou

. (3.24)

Predstavte si lietadlo , daný všeobecnou rovnicou a priamkou , dané kanonickými rovnicami
.

Rohový medzi priamkou a lietadlo je doplnková k uhlu medzi usmerňovacím vektorom priamky a normálovým vektorom roviny, t.j.
A
, alebo

. (3.24)

Podmienka rovnobežnosti priamky a lietadlá je ekvivalentné podmienke, že smerový vektor priamky a normálový vektor roviny sú kolmé, t.j. skalárny súčin týchto vektorov sa musí rovnať nule:

Ak je priamka kolmá na rovinu, potom smerový vektor priamky a normálový vektor roviny musia byť kolineárne. V tomto prípade sú súradnice vektorov proporcionálne, t.j.

. (3.26)

Príklad 35. Nájsť tupý uhol medzi rovnými čiarami
,
,
A
,
,
.

Riešenie. Smerové vektory týchto čiar majú súradnice
A
. Preto jeden roh medzi priamkami sa určuje pomerom, t.j.
. Preto podmienku úlohy spĺňa druhý uhol medzi čiarami, rovný
.

3.9. Vzdialenosť od bodu k čiare v priestore

Nechaj
 bod v priestore so súradnicami
, priamka daná kanonickými rovnicami
. Poďme nájsť vzdialenosť z bodu
na priamku .

Aplikujme vodiaci vektor
k veci
. Vzdialenosť z bodu
na priamku je výška rovnobežníka postaveného na vektoroch A
. Nájdite oblasť rovnobežníka pomocou krížového produktu:

Na druhej strane, . Z rovnosti pravých strán posledných dvoch vzťahov vyplýva, že

. (3.27)

3.10. elipsoidný

Definícia. elipsoidný je povrch druhého rádu, ktorý je v niektorom súradnicovom systéme definovaný rovnicou

. (3.28)

Rovnica (3.28) sa nazýva kanonická rovnica elipsoidu.

Z rovnice (3.28) vyplýva, že súradnicové roviny sú rovinami symetrie elipsoidu a počiatkom súradníc je stred symetrie. čísla
sa nazývajú poloosi elipsoidu a predstavujú dĺžky segmentov od začiatku po priesečník elipsoidu so súradnicovými osami. Elipsoid je ohraničený povrch uzavretý v rovnobežnostene
,
,
.

Stanovme geometrický tvar elipsoidu. Aby sme to urobili, zistime tvar priesečníkov jeho rovín rovnobežných so súradnicovými osami.

Ak chcete byť konkrétny, zvážte priesečníky elipsoidu s rovinami
, rovnobežne s rovinou
. Rovnica pre premietanie priesečníka na rovinu
sa získa z (3.28), ak doň vložíme
. Rovnica tejto projekcie je

. (3.29)

Ak
, potom (3.29) je rovnica imaginárnej elipsy a priesečníkov elipsoidu s rovinou
Nie Z toho vyplýva
. Ak
, potom sa priamka (3.29) zvrhne na body, teda roviny
bodovo sa dotýkajte elipsoidu
A
. Ak
, To
a môžete zaviesť notáciu

,
. (3.30)

Potom rovnica (3.29) nadobúda tvar

, (3.31)

teda premietanie do roviny
priesečníky elipsoidu a roviny
je elipsa s poloosami, ktoré sú určené rovnosťami (3.30). Pretože priesečník povrchu s rovinami rovnobežnými s rovinami súradníc je projekcia „zdvihnutá“ do výšky , potom samotná priesečník je elipsa.

Pri znižovaní hodnoty nápravové hriadele A zvýšiť a dosiahnuť svoju najväčšiu hodnotu pri
, teda v reze elipsoidom súradnicovou rovinou
získa sa najväčšia elipsa s poloosami
A
.

Myšlienku elipsoidu možno získať iným spôsobom. Zvážte v lietadle
rodina elips (3.31) s poloosmi A , definovaný vzťahmi (3.30) a v závislosti od . Každá takáto elipsa je úrovňová čiara, to znamená čiara v každom bode, ktorej hodnota to isté. „Zdvihnite“ každú takúto elipsu do výšky , získame priestorový pohľad na elipsoid.

Podobný obraz sa získa, keď daný povrch pretínajú roviny rovnobežné s rovinami súradníc
A
.

Elipsoid je teda uzavretá eliptická plocha. V prípade
Elipsoid je guľa.

Priesečník elipsoidu s ľubovoľnou rovinou je elipsa, pretože takáto čiara je obmedzená čiara druhého rádu a jediná obmedzená čiara druhého rádu je elipsa.

To znamená nájsť uhol medzi touto čiarou a jej priemetom do danej roviny.

Priestorový model ilustrujúci úlohu je uvedený na obrázku.

Plán riešenia problému:
1. Z ľubovoľného bodu A∈a znížte kolmicu na rovinu α ;
2. Určte bod stretnutia tejto kolmice s rovinou α . Bodka A α- ortogonálne premietanie A do lietadla α ;
3. Nájdite priesečník čiary a s lietadlom α . Bodka a α- rovná stopa a v lietadle α ;
4. Vykonávame ( A α a α) - projekcia priamky a do lietadla α ;
5. Určte skutočnú hodnotu ∠ Aa α A α, t.j. ∠ φ .

Riešenie problému nájdite uhol medzi priamkou a rovinou možno značne zjednodušiť, ak nedefinujeme ∠ φ medzi priamkou a rovinou a doplnkové k 90° ∠ γ . V tomto prípade nie je potrebné určovať priemet bodu A a priamkové projekcie a do lietadla α . Poznanie veľkosti γ , vypočítané podľa vzorca:

$ φ = 90° - γ $

a a lietadlo α , definované rovnobežnými čiarami m A n.

a α
Otáčaním okolo vodorovnej čiary špecifikovanej bodmi 5 a 6 určíme prirodzenú veľkosť ∠ γ . Poznanie veľkosti γ , vypočítané podľa vzorca:

$ φ = 90° - γ $

Určenie uhla medzi priamkou a a lietadlo α , definovaný trojuholníkom BCD.

Z ľubovoľného bodu na priamke a znížte kolmicu na rovinu α
Otáčaním okolo vodorovnej čiary špecifikovanej bodmi 3 a 4 určíme prirodzenú veľkosť ∠ γ . Poznanie veľkosti γ , vypočítané pomocou vzorca.