Čo znamenajú susedné uhly v trojuholníku? Susedné uhly

Ako nájsť susedný uhol?

Matematika je najstaršia presná veda, ktorá sa povinne študuje na školách, vysokých školách, ústavoch a univerzitách. Základné vedomosti sú však vždy položené v škole. Niekedy dieťa dostane dosť zložité úlohy, ale rodičia mu nevedia pomôcť, pretože niektoré veci z matematiky jednoducho zabudli. Napríklad, ako nájsť susedný uhol na základe veľkosti hlavného uhla atď. Problém je jednoduchý, ale môže spôsobiť ťažkosti pri riešení kvôli neznalosti toho, ktoré uhly sa nazývajú susedné a ako ich nájsť.

Uvažujme viac definície a vlastnosti priľahlé rohy, ako aj spôsob ich výpočtu z údajov v úlohe.

Definícia a vlastnosti susedných uhlov

Dva lúče vychádzajúce z jedného bodu vytvárajú obrazec nazývaný „rovinný uhol“. V tomto prípade sa tento bod nazýva vrchol uhla a lúče sú jeho strany. Ak pokračujete v jednom z lúčov za počiatočný bod v priamke, vytvorí sa ďalší uhol, ktorý sa nazýva susedný. Každý uhol má v tomto prípade dva susedné uhly, pretože strany uhla sú ekvivalentné. To znamená, že vždy existuje susedný uhol 180 stupňov.

Medzi hlavné vlastnosti susedných uhlov patrí

Susedné uhly majú spoločný vrchol a jednu stranu;
Súčet susedných uhlov sa vždy rovná 180 stupňom alebo číslu Pi, ak sa výpočet vykonáva v radiánoch;
Sínusy susedných uhlov sú vždy rovnaké;
Kosínusy a dotyčnice susedných uhlov sú rovnaké, ale majú opačné znamienka.

Ako nájsť susedné uhly

Na nájdenie veľkosti susedných uhlov sa zvyčajne uvádzajú tri varianty problémov

Udáva sa hodnota hlavného uhla;
Udáva sa pomer hlavného a susedného uhla;
Udáva sa hodnota zvislého uhla.

Každá verzia problému má svoje vlastné riešenie. Pozrime sa na ne.

Udáva sa hodnota hlavného uhla

Ak problém špecifikuje hodnotu hlavného uhla, nájdenie susedného uhla je veľmi jednoduché. Ak to chcete urobiť, stačí odpočítať hodnotu hlavného uhla od 180 stupňov a získate hodnotu susedného uhla. Toto rozhodnutie pochádza z vlastnosti susedného uhla - súčet susedných uhlov sa vždy rovná 180 stupňom.

Ak je hodnota hlavného uhla udávaná v radiánoch a problém vyžaduje nájsť susedný uhol v radiánoch, potom je potrebné od čísla Pi odčítať hodnotu hlavného uhla, keďže hodnota plného rozvinutého uhla 180 stupňov sa rovná číslu Pi.

Udáva sa pomer hlavného a susedného uhla

Problém môže dať pomer hlavného a susedného uhla namiesto stupňov a radiánov hlavného uhla. V tomto prípade bude riešenie vyzerať ako proporčná rovnica:

Podiel hlavného uhla označujeme ako premennú „Y“.
Zlomok súvisiaci so susedným uhlom je označený ako premenná „X“.
Počet stupňov, ktoré pripadajú na každý podiel, bude označený napríklad „a“.
Všeobecný vzorec bude vyzerať takto - a*X+a*Y=180 alebo a*(X+Y)=180.
Spoločný faktor rovnice „a“ nájdeme pomocou vzorca a=180/(X+Y).
Potom vynásobíme výslednú hodnotu spoločného faktora „a“ zlomkom uhla, ktorý je potrebné určiť.

Takto môžeme zistiť hodnotu susedného uhla v stupňoch. Ak však potrebujete nájsť hodnotu v radiánoch, potom jednoducho musíte previesť stupne na radiány. Ak to chcete urobiť, vynásobte uhol v stupňoch Pi a rozdeľte všetko o 180 stupňov. Výsledná hodnota bude v radiánoch.

Udáva sa hodnota zvislého uhla

Ak úloha neudáva hodnotu hlavného uhla, ale je daná hodnota vertikálneho uhla, potom je možné susedný uhol vypočítať pomocou rovnakého vzorca ako v prvom odseku, kde je uvedená hodnota hlavného uhla.

Vertikálny uhol je uhol, ktorý vychádza z rovnakého bodu ako hlavný, ale smeruje presne opačným smerom. Výsledkom je zrkadlový obraz. To znamená, že vertikálny uhol sa rovná veľkosti hlavného uhla. Na druhej strane, susedný uhol vertikálneho uhla sa rovná susednému uhla hlavného uhla. Vďaka tomu je možné vypočítať susedný uhol hlavného uhla. Ak to chcete urobiť, jednoducho odpočítajte vertikálnu hodnotu od 180 stupňov a získajte hodnotu susedného uhla hlavného uhla v stupňoch.

Ak je hodnota uvedená v radiánoch, potom je potrebné od čísla Pi odčítať hodnotu vertikálneho uhla, pretože hodnota plného rozvinutého uhla 180 stupňov sa rovná číslu Pi.

Môžete si tiež prečítať naše užitočné články a.

Známa hodnota hlavného uhla α1 = α2 = 180°-α.

Z tohto sú . Ak sú dva uhly susedné a rovnaké, potom sú to pravé uhly. Ak je jeden zo susedných uhlov pravý, teda 90 stupňov, potom je pravý aj druhý uhol. Ak je jeden zo susedných uhlov ostrý, druhý bude tupý. Podobne, ak je jeden z uhlov tupý, potom bude druhý ostrý.

Ostrý uhol je taký, ktorého miera stupňov je menšia ako 90 stupňov, ale väčšia ako 0. Tupý uhol má mieru väčšiu ako 90 stupňov, ale menšiu ako 180.

Ďalšia vlastnosť susedných uhlov je formulovaná nasledovne: ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj uhly, ktoré k nim priliehajú. To znamená, že ak existujú dva uhly, pre ktoré je miera stupňov rovnaká (napríklad je 50 stupňov) a zároveň jeden z nich má susedný uhol, potom sa hodnoty týchto susedných uhlov tiež zhodujú ( v tomto príklade sa ich miera stupňov bude rovnať 130 stupňom).

Zdroje:

Veľký encyklopedický slovník - Priľahlé uhly
uhol 180 stupňov

Slovo "" má rôzne interpretácie. V geometrii je uhol časť roviny ohraničená dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu - vrcholu. Keď hovoríme o pravých, ostrých a rozvinutých uhloch, máme na mysli geometrické uhly.

Ako všetky tvary v geometrii, aj uhly možno porovnávať. Rovnosť uhlov sa určuje pomocou pohybu. Je ľahké rozdeliť uhol na dve rovnaké časti. Rozdelenie na tri časti je trochu náročnejšie, ale aj tak sa to dá pomocou pravítka a kružidla. Mimochodom, táto úloha sa zdala dosť náročná. Popísať, že jeden uhol je väčší alebo menší ako iný, je geometricky jednoduché.

Jednotkou merania uhlov je 1/180 rozvinutého uhla. Veľkosť uhla je číslo označujúce, do akej miery uhol zvolený ako merná jednotka zapadá do príslušného čísla.

Každý uhol má mieru väčšiu ako nula. Priamy uhol je 180 stupňov. Miera stupňov uhla sa považuje za rovnú súčtu mier stupňov uhlov, na ktoré je rozdelený ľubovoľným lúčom v rovine ohraničenej jeho stranami.

Z akéhokoľvek lúča dovnútra danej rovine môžete vykresliť uhol s mierou určitého stupňa nepresahujúcou 180. Navyše bude existovať iba jeden takýto uhol. Miera rovinného uhla, ktorý je súčasťou polroviny, je miera uhla s podobnými stranami. Mierou roviny uhla obsahujúceho polrovinu je hodnota 360 – α, kde α je miera stupňa doplnkového rovinného uhla.

Miera stupňa uhla umožňuje prejsť od geometrického popisu k číselnému. Takže pravý uhol je uhol rovný 90 stupňom, tupý uhol je uhol menší ako 180 stupňov, ale väčší ako 90, ostrý uhol nepresahuje 90 stupňov.

Okrem stupňov existuje aj radiánová miera uhla. V planimetrii je dĺžka L, polomer r a príslušné stredový uhol– α. Navyše tieto parametre sú spojené vzťahom α = L/r. Toto je základ radiánovej miery uhlov. Ak L=r, potom sa uhol α bude rovnať jednému radiánu. Radiánová miera uhla je teda pomer dĺžky oblúka nakresleného s ľubovoľným polomerom a uzavretého medzi stranami tohto uhla k polomeru oblúka. Úplná rotácia v stupňoch (360 stupňov) zodpovedá 2π v radiánoch. Jedna je 57,2958 stupňov.

Video k téme

Zdroje:

stupeň miera uhlov vzorec

Uhly, v ktorých jedna strana je spoločná a ostatné strany ležia na rovnakej priamke (na obrázku sú uhly 1 a 2 priľahlé). Ryža. k čl. Priľahlé rohy... Veľká sovietska encyklopédia

PRIľahlé ROHY- uhly, ktoré majú spoločný vrchol a jednu spoločnú stranu a ich ďalšie dve strany ležia na tej istej priamke... Veľká polytechnická encyklopédia

Pozri uhol... Veľký Encyklopedický slovník

ADJACENT ANGLES, dva uhly, ktorých súčet je 180°. Každý z týchto uhlov dopĺňa druhý do celého uhla... Vedecko-technický encyklopedický slovník

Pozri Uhol. * * * PRIDAJÚCE ROHY PRIDAJÚCE ROHY, pozri Uhol (pozri UHOL) ... Encyklopedický slovník

- (Uhly susediace) tie, ktoré majú spoločný vrchol a spoločnú stranu. Väčšinou sa týmto názvom označujú také C. uhly, ktorých ďalšie dve strany ležia v opačných smeroch jednej priamky vedenej cez vrchol ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

Pozri uhol... Prírodná veda. Encyklopedický slovník

Dve priame čiary sa pretínajú a vytvárajú pár vertikálnych uhlov. Jeden pár pozostáva z uhlov A a B, druhý z C a D. V geometrii sa dva uhly nazývajú vertikálne, ak sú vytvorené priesečníkom dvoch ... Wikipedia

Dvojica komplementárnych uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú do 90 stupňov Doplnkové uhly sú dvojice uhlov, ktoré sa dopĺňajú do 90 stupňov. Ak susedia dva komplementárne uhly (t. j. majú spoločný vrchol a sú oddelené iba... ... Wikipedia

Dvojica doplnkových uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú až do 90 stupňov Komplementárne uhly sú dvojice uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú až do 90 stupňov. Ak sú dva komplementárne uhly s... Wikipedia

knihy

O dôkaze v geometrii, A.I. Fetisov Táto kniha bude vyrobená v súlade s vašou objednávkou pomocou technológie Print-on-Demand.
Komplexný notebook na sledovanie vedomostí. Geometria. 7. trieda. Federálny štátny vzdelávací štandard, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Príručka predstavuje kontrolné a meracie materiály (CMM) v geometrii na vykonávanie bežnej, tematickej a výstupnej kontroly kvality vedomostí žiakov 7. ročníka. Obsah návodu...

V tejto lekcii sa pozrieme na koncept susedných uhlov a pochopíme ich. Zoberme si vetu, ktorá sa ich týka. Predstavme si pojem „vertikálne uhly“. Pozrime sa na niekoľko podporných faktov o týchto uhloch. Ďalej sformulujeme a dokážeme dva dôsledky o uhle medzi osami vertikálnych uhlov. Na konci lekcie sa pozrieme na niekoľko problémov na túto tému.

Začnime našu lekciu konceptom „susedných uhlov“. Obrázok 1 ukazuje rozvinutý uhol ∠AOC a lúč OB, ktorý rozdeľuje tento uhol na 2 uhly.

Ryža. 1. Uhol ∠AOC

Uvažujme uhly ∠AOB a ∠BOC. Je celkom zrejmé, že majú spoločnú stranu VO a strany AO a OS sú opačné. Lúče OA a OS sa navzájom dopĺňajú, čo znamená, že ležia na rovnakej priamke. Uhly ∠AOB a ∠BOC susedia.

Definícia: Ak majú dva uhly spoločnú stranu a ostatné dve strany sú komplementárne lúče, potom sa tieto uhly nazývajú priľahlé.

Veta 1: Súčet susedných uhlov je 180 o.

Ryža. 2. Kreslenie pre vetu 1

∠MOL + ∠LON = 180 o. Toto tvrdenie je pravdivé, keďže lúč OL rozdeľuje rozvinutý uhol ∠MON na dva susedné uhly. To znamená, že nepoznáme miery žiadneho zo susedných uhlov, ale poznáme iba ich súčet – 180 stupňov.

Zvážte priesečník dvoch čiar. Obrázok ukazuje priesečník dvoch čiar v bode O.

Ryža. 3. Vertikálne uhly ∠ВОА a ∠СOD

Definícia: Ak sú strany jedného uhla pokračovaním druhého uhla, potom sa takéto uhly nazývajú vertikálne. To je dôvod, prečo obrázok ukazuje dva páry vertikálnych uhlov: ∠AOB a ∠COD, ako aj ∠AOD a ∠BOC.

Veta 2: Vertikálne uhly sú rovnaké.

Použijeme obrázok 3. Uvažujme uhol natočenia ∠AOC. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180 o - β. Uvažujme rozvinutý uhol ∠BOD. ∠COD = ∠BОD - ∠BOC = 180 o - β.

Z týchto úvah usudzujeme, že ∠AOB = ∠COD = α. Podobne ∠AOD = ∠BOS = β.

Dôsledok 1: Uhol medzi osami susedných uhlov je 90°.

Ryža. 4. Nákres pre záver 1

Keďže OL je osou uhla ∠BOA, potom uhol ∠LOB = , podobne ako ∠BOA = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Súčet uhlov α + β sa rovná 180°, pretože tieto uhly susedia.

Dôsledok 2: Uhol medzi osami vertikálnych uhlov sa rovná 180°.

Ryža. 5. Nákres pre záver 2

KO je os ∠AOB, LO je os ∠COD. Je zrejmé, že ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o. Súčet uhlov α + β sa rovná 180°, pretože tieto uhly susedia.

Uvažujme o niektorých úlohách:

Nájdite uhol susediaci s ∠AOC, ak ∠AOC = 111 o.

Urobme nákres pre úlohu:

Ryža. 6. Kreslenie napríklad 1

Pretože ∠AOC = β a ∠COD = α sú susedné uhly, potom α + β = 180 o. To znamená, že 111 o + β = 180 o.

To znamená β = 69 o.

Tento typ úlohy využíva vetu o súčte susedných uhlov.

Jeden zo susedných uhlov je pravý, aký je druhý uhol (ostrý, tupý alebo pravý)?

Ak je jeden z uhlov pravý a súčet týchto dvoch uhlov je 180°, potom je aj druhý uhol pravý. Tento problém testuje znalosti o súčte susedných uhlov.

Je pravda, že ak sú susedné uhly rovnaké, potom sú to pravé uhly?

Zostavme rovnicu: α + β = 180 o, ale keďže α = β, potom β + β = 180 o, čo znamená β = 90 o.

Odpoveď: Áno, tvrdenie je pravdivé.

Sú dané dva rovnaké uhly. Je pravda, že uhly susediace s nimi budú tiež rovnaké?

Ryža. 7. Kreslenie napríklad 4

Ak sa dva uhly rovnajú α, potom ich zodpovedajúce susedné uhly budú 180 o - α. To znamená, že si budú navzájom rovní.

Odpoveď: Výrok je pravdivý.

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. a iné Geometria 7. - M.: Vzdelávanie.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. a iné Geometria 7. 5. vyd. - M.: Osveta.
\Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzová, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov, spracoval V.A. Sadovnichigo. - M.: Vzdelávanie, 2010.

Meranie segmentov ().
Všeobecná lekcia o geometrii v 7. ročníku ().
Rovná čiara, segment ().

č.13, 14. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzová, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolov, spracoval V.A. Sadovnichigo. - M.: Vzdelávanie, 2010.
Nájdite dva susedné uhly, ak je jeden 4-krát väčší ako druhý.
Vzhľadom na uhol. Zostrojte pre ňu susedné a vertikálne uhly. Koľko takýchto uhlov možno zostrojiť?
* V akom prípade sa získa viac párov vertikálnych uhlov: keď sa tri priamky pretínajú v jednom bode alebo v troch bodoch?

1. Susedné uhly.

Ak predĺžime stranu ľubovoľného uhla za jeho vrchol, dostaneme dva uhly (obr. 72): ∠ABC a ∠CBD, v ktorých je jedna strana BC spoločná a ďalšie dva, AB a BD, tvoria priamku.

Dva uhly, v ktorých je jedna strana spoločná a ďalšie dve tvoria priamku, sa nazývajú susedné uhly.

Susedné uhly môžeme získať aj týmto spôsobom: ak nakreslíme lúč z nejakého bodu na priamke (neleží na danej priamke), získame susedné uhly.

Napríklad ∠ADF a ∠FDB sú susedné uhly (obr. 73).

Susedné uhly môžu mať rôzne polohy (obr. 74).

Susedné uhly sa sčítavajú do priameho uhla, takže súčet dvoch susedných uhlov je 180°

Pravý uhol teda možno definovať ako uhol rovný jeho susednému uhlu.

Keď poznáme veľkosť jedného zo susedných uhlov, môžeme nájsť veľkosť druhého uhla, ktorý k nemu susedí.

Napríklad, ak jeden zo susedných uhlov je 54°, potom sa druhý uhol bude rovnať:

180° - 54° = 126°.

2. Vertikálne uhly.

Ak predĺžime strany uhla za jeho vrchol, dostaneme zvislé uhly. Na obrázku 75 sú uhly EOF a AOC vertikálne; uhly AOE a COF sú tiež vertikálne.

Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú pokračovaním strán druhého uhla.

Nech ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(obr. 76). ∠2 susediace s ním sa budú rovnať 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, t.j. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Rovnakým spôsobom môžete vypočítať, čomu sa rovnajú ∠3 a ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (obr. 77).

Vidíme, že ∠1 = ∠3 a ∠2 = ∠4.

Môžete vyriešiť niekoľko ďalších rovnakých problémov a zakaždým dostanete rovnaký výsledok: vertikálne uhly sú rovnaké.

Aby sme sa však uistili, že vertikálne uhly sú vždy rovnaké, nestačí zvážiť jednotlivé číselné príklady, pretože závery vyvodené z konkrétnych príkladov môžu byť niekedy chybné.

Platnosť vlastností zvislých uhlov je potrebné overiť dôkazom.

Dôkaz možno vykonať nasledovne (obr. 78):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(keďže súčet susedných uhlov je 180°).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(pretože ľavá strana tejto rovnosti sa rovná 180° a jej pravá strana sa tiež rovná 180°).

Táto rovnosť zahŕňa rovnaký uhol s.

Ak odpočítame rovnaké množstvá od rovnakých množstiev, zostanú rovnaké množstvá. Výsledkom bude: ∠a = ∠b t.j. vertikálne uhly sú si navzájom rovné.

3. Súčet uhlov, ktoré majú spoločný vrchol.

Na výkrese 79 sú ∠1, ∠2, ∠3 a ∠4 umiestnené na jednej strane priamky a na tejto priamke majú spoločný vrchol. V súhrne tieto uhly tvoria priamy uhol, t.j.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.