Kinetická energia rotačného pohybu. Kinetická energia rotácie

Kinetická energia– množstvo je aditívne. Preto sa kinetická energia tela pohybujúceho sa ľubovoľným spôsobom rovná súčtu kinetických energií všetkých n hmotné body, na ktoré možno toto telo mentálne rozdeliť:

Ak sa teleso otáča okolo stacionárnej osi z uhlovou rýchlosťou, potom lineárna rýchlosť i-tý bod , Ri – vzdialenosť k osi otáčania. teda

Pri porovnaní môžeme vidieť, že moment zotrvačnosti telesa I je mierou zotrvačnosti počas rotačného pohybu, rovnako ako hmotnosť m je mierou zotrvačnosti počas translačného pohybu.

IN všeobecný prípad pohyb tuhého telesa možno znázorniť ako súčet dvoch pohybov - translačného s rýchlosťou vc a rotačného s uhlovou rýchlosťou ω okolo okamžitej osi prechádzajúcej stredom zotrvačnosti. Potom celková kinetická energia tohto telesa

Tu Ic je moment zotrvačnosti okolo okamžitej osi rotácie prechádzajúcej stredom zotrvačnosti.

Základný zákon dynamiky rotačného pohybu.

Dynamika rotačného pohybu

Základný zákon dynamiky rotačného pohybu:

alebo M=Je, kde M je moment sily M = [ r · F ] , J - moment zotrvačnosti je moment hybnosti telesa.

ak M(vonkajšia)=0 - zákon zachovania momentu hybnosti. - kinetická energia rotujúceho telesa.

pracovať v rotačnom pohybe.

Zákon zachovania momentu hybnosti.

Moment hybnosti (hybnosť) hmotného bodu A vzhľadom na pevný bod O je fyzikálna veličina určená vektorovým súčinom:

kde r je vektor polomeru nakreslený z bodu O do bodu A, p=mv je hybnosť hmotného bodu (obr. 1); L je pseudovektor, ktorého smer sa zhoduje so smerom translačného pohybu pravej vrtule pri jej otáčaní z r do r.

Modul vektora momentu hybnosti

kde α je uhol medzi vektormi r a p, l je rameno vektora p vzhľadom na bod O.

Moment hybnosti vo vzťahu k pevnej osi z je skalárna veličina Lz, ktorá sa rovná priemetu vektora momentu hybnosti definovaného vzhľadom na ľubovoľný bod O tejto osi na túto os. Moment hybnosti Lz nezávisí od polohy bodu O na osi z.

Keď sa absolútne tuhé teleso otáča okolo pevnej osi z, každý bod telesa sa pohybuje po kružnici s konštantným polomerom ri rýchlosťou vi. Rýchlosť vi a hybnosť mivi sú kolmé na tento polomer, t.j. polomer je ramenom vektorového mivi. To znamená, že môžeme napísať, že moment hybnosti jednotlivej častice je rovný

a smeruje pozdĺž osi v smere určenom pravidlom pravej skrutky.

Hybnosť pevného telesa vzhľadom na os je súčtom momentov hybnosti jednotlivých častíc:

Pomocou vzorca vi = ωri dostaneme

Moment hybnosti tuhého telesa okolo osi sa teda rovná momentu zotrvačnosti telesa okolo tej istej osi vynásobenému uhlovou rýchlosťou. Rozlišujme rovnicu (2) vzhľadom na čas:

Tento vzorec je ďalšou formou rovnice pre dynamiku rotačného pohybu tuhého telesa vzhľadom na pevnú os: derivácia momentu hybnosti tuhého telesa vzhľadom na os sa rovná momentu sily vzhľadom na to isté. os.

Dá sa ukázať, že existuje vektorová rovnosť

V uzavretom systéme je moment vonkajších síl M = 0 a odkiaľ

Výraz (4) predstavuje zákon zachovania momentu hybnosti: moment hybnosti systému s uzavretou slučkou je zachovaný, to znamená, že sa v priebehu času nemení.

Zákon zachovania momentu hybnosti, ako aj zákon zachovania energie, je základným zákonom prírody. Je spojená s vlastnosťou symetrie priestoru - jeho izotropie, t.j. s nemennosťou fyzikálnych zákonov vzhľadom na voľbu smeru súradnicových osí referenčného systému (vzhľadom na rotáciu uzavretého systému v priestore pri ľubovoľnom uhol).

Tu si ukážeme zákon zachovania momentu hybnosti pomocou Zhukovského lavice. Muž sediaci na lavičke, ktorý sa otáča okolo zvislej osi a drží sa vystreté rukyčinky (obr. 2), otáča sa vonkajším mechanizmom s uhlovou rýchlosťou ω1. Ak si človek pritlačí činky k telu, zníži sa moment zotrvačnosti systému. Moment vonkajších síl je však nulový, moment hybnosti sústavy je zachovaný a uhlová rýchlosť rotácie ω2 sa zvyšuje. Podobne počas skoku nad hlavou gymnasta tlačí ruky a nohy k telu, aby znížil moment zotrvačnosti a tým zvýšil uhlovú rýchlosť rotácie.

Tlak v kvapaline a plyne.

Molekuly plynu, vykonávajúce chaotický, chaotický pohyb, nie sú spojené alebo skôr slabo spojené interakčnými silami, preto sa pohybujú takmer voľne a v dôsledku zrážok sa rozptyľujú na všetky strany, pričom vyplňujú celý im poskytnutý objem. t.j. objem plynu je určený objemom nádoby obsadenej plynom.

A kvapalina, ktorá má určitý objem, má tvar nádoby, v ktorej je uzavretá. Ale na rozdiel od plynov v kvapalinách zostáva priemerná vzdialenosť medzi molekulami v priemere konštantná, takže kvapalina má prakticky nezmenený objem.

Vlastnosti kvapalín a plynov sú v mnohých smeroch veľmi rozdielne, ale vo viacerých mechanických javoch sú ich vlastnosti určené rovnakými parametrami a rovnakými rovnicami. Z tohto dôvodu je hydroaeromechanika odvetvím mechaniky, ktoré študuje rovnováhu a pohyb plynov a kvapalín, interakciu medzi nimi a medzi tuhými telesami, ktoré ich obklopujú, t.j. uplatňuje sa jednotný prístup k štúdiu kvapalín a plynov.

Kvapaliny a plyny sa v mechanike považujú s vysokou presnosťou za pevné látky, ktoré sú súvisle rozložené v časti priestoru, ktorú zaberajú. Pri plynoch hustota výrazne závisí od tlaku. Bola stanovená na základe skúseností. že stlačiteľnosť kvapaliny a plynu možno často zanedbávať a je vhodné použiť jednotný pojem - nestlačiteľnosť kvapaliny - kvapaliny všade s rovnakou hustotou, ktorá sa v čase nemení.

Tenkú dosku položíme v pokoji, v dôsledku čoho sa časti kvapaliny nachádzajú pozdĺž rôzne strany z platne, bude pôsobiť na každý jej prvok ΔS silami ΔF, ktoré budú mať rovnakú veľkosť a budú smerovať kolmo na platňu ΔS, bez ohľadu na orientáciu platne, inak by prítomnosť tangenciálnych síl spôsobila, že častice tekutiny pohyb (obr. 1)

Fyzikálna veličina určená normálovou silou pôsobiacou na časť kvapaliny (alebo plynu) na jednotku plochy sa nazýva tlak p/ kvapaliny (alebo plynu): p=ΔF/ΔS.

Jednotkou tlaku je pascal (Pa): 1 Pa sa rovná tlaku vytvorenému silou 1 N, ktorá je rovnomerne rozložená po ploche k nej kolmej s plochou 1 m2 (1 Pa = 1 N/ m2).

Tlak v rovnováhe kvapalín (plynov) sa riadi Pascalovým zákonom: tlak v ktoromkoľvek mieste kvapaliny v pokoji je rovnaký vo všetkých smeroch a tlak sa rovnako prenáša celým objemom, ktorý kvapalina v pokoji zaberá.

Pozrime sa na vplyv hmotnosti kvapaliny na rozloženie tlaku vo vnútri stacionárnej nestlačiteľnej kvapaliny. Keď je tekutina v rovnováhe, tlak pozdĺž akejkoľvek horizontálnej čiary je vždy rovnaký, inak by rovnováha nebola. To znamená, že voľný povrch kvapaliny v pokoji je vždy vodorovný (neberieme do úvahy príťažlivosť kvapaliny stenami nádoby). Ak je tekutina nestlačiteľná, potom hustota tekutiny nezávisí od tlaku. Potom s prierezom S stĺpca kvapaliny, jeho výškou h a hustotou ρ, hmotnosťou P=ρgSh, pričom tlak na spodnú základňu: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

to znamená, že tlak sa mení lineárne s nadmorskou výškou. Tlak ρgh sa nazýva hydrostatický tlak.

Podľa vzorca (1) bude tlaková sila na spodné vrstvy kvapaliny väčšia ako na horné vrstvy, preto na teleso ponorené v kvapaline pôsobí sila určená Archimedovým zákonom: teleso ponorené do na kvapalinu (plyn) pôsobí usmernená sila tejto kvapaliny smerom nahor vztlaková sila rovnajúca sa hmotnosti kvapaliny (plynu) vytlačenej telesom: FA = ρgV, kde ρ je hustota kvapaliny, V je objem tela ponoreného do kvapaliny.

Kinetická energia rotácie

Prednáška 3. Dynamika tuhého telesa

Osnova prednášky

3.1. Moment sily.

3.2. Základné rovnice rotačného pohybu. Moment zotrvačnosti.

3.3. Kinetická energia rotácie.

3.4. Moment impulzu. Zákon zachovania momentu hybnosti.

3.5. Analógia medzi translačným a rotačným pohybom.

moment sily

Uvažujme pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi. Nech má tuhé teleso pevnú os otáčania OO ( Obr.3.1) a pôsobí naň ľubovoľná sila.

Ryža. 3.1

Rozložme silu na dve zložky sily, sila leží v rovine rotácie a sila je rovnobežná s osou rotácie. Potom silu rozložíme na dve zložky: – pôsobiace pozdĺž vektora polomeru a – kolmo naň.

Nie každá sila pôsobiaca na teleso ho otočí. Sily vytvárajú tlak na ložiská, ale neotáčajú ich.

Sila môže alebo nemusí vyviesť telo z rovnováhy v závislosti od toho, kde vo vektore polomeru pôsobí. Preto sa zavádza pojem moment sily okolo osi. Okamih sily vzhľadom na os rotácie sa nazýva vektorový súčin vektora polomeru a sily.

Vektor je nasmerovaný pozdĺž osi otáčania a je určený krížovým súčinovým pravidlom alebo pravou skrutkou alebo gimletovým pravidlom.

Modul momentu sily

kde α je uhol medzi vektormi a .

Z obr. 3.1. to je jasné .

r 0– najkratšia vzdialenosť od osi otáčania k pôsobisku sily sa nazýva rameno sily. Potom je možné zapísať moment sily

M = Fr 0 . (3.3)

Z obr. 3.1.

Kde F– premietanie vektora do smeru kolmého na vektor polomeru. V tomto prípade sa moment sily rovná

. (3.4)

Ak na teleso pôsobí viacero síl, potom sa výsledný moment sily rovná vektorovému súčtu momentov jednotlivých síl, ale keďže všetky momenty smerujú pozdĺž osi, možno ich nahradiť algebraickým súčtom. Moment sa bude považovať za pozitívny, ak sa otáča telom v smere hodinových ručičiek a negatívny, ak sa otáča proti smeru hodinových ručičiek. Ak sú všetky momenty síl () rovné nule, teleso bude v rovnováhe.

Koncept krútiaceho momentu možno demonštrovať pomocou „rozmarnej cievky“. Cievka nite sa ťahá za voľný koniec nite ( ryža. 3.2).

Ryža. 3.2

V závislosti od smeru napätia nite sa cievka odvaľuje jedným alebo druhým smerom. Ak je ťahaný pod uhlom α , potom moment sily okolo osi O(kolmo na obrázok) otáča cievkou proti smeru hodinových ručičiek a otáča sa späť. V prípade napätia pod uhlom β krútiaci moment smeruje proti smeru hodinových ručičiek a navijak sa otáča dopredu.

Pomocou podmienky rovnováhy () môžeme zostrojiť jednoduché mechanizmy, ktoré sú „transformátormi“ sily, t.j. Použitím menšej sily môžete zdvíhať a presúvať bremená rôznej hmotnosti. Na tomto princípe sú založené páky, fúriky a rôzne typy blokov, ktoré sú v stavebníctve široko používané. Na udržanie rovnovážneho stavu v stavebných žeriavoch na kompenzáciu momentu sily spôsobeného hmotnosťou bremena je vždy systém protizávaží, ktorý vytvára moment sily opačného znamienka.

3.2. Základná rovnica rotácie
pohyby. Moment zotrvačnosti

Predstavte si absolútne tuhé teleso otáčajúce sa okolo pevnej osi OO(Obr.3.3). Rozdeľme mentálne toto telo na prvky s hmotnosťou Δ m 1, Δ m 2, …, Δ m n. Pri otáčaní budú tieto prvky opisovať kruhy s polomermi r 1,r 2 , …,r n. Sily pôsobia na každý prvok zodpovedajúcim spôsobom F 1,F 2 , …,Fn. Rotácia telesa okolo osi OO dochádza pod vplyvom plného krútiaceho momentu M.

M = M1 + M2 + ... + Mn (3.4)

Kde M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Podľa Newtonovho II zákona každá sila F pôsobiace na prvok hmoty D m, spôsobuje zrýchlenie tohto prvku a, t.j.

F i = D m ja a i (3.5)

Nahradením zodpovedajúcich hodnôt do (3.4) dostaneme

Ryža. 3.3

Poznať vzťah medzi lineárnym uhlovým zrýchlením ε () a že uhlové zrýchlenie je rovnaké pre všetky prvky, vzorec (3.6) bude mať tvar

M = (3.7)

=ja (3.8)

ja– moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na pevnú os.

Potom dostaneme

M = Ie (3.9)

Alebo vo vektorovej forme

(3.10)

Táto rovnica je základnou rovnicou pre dynamiku rotačného pohybu. Formou je podobná rovnici II Newtonovho zákona. Z (3.10) sa moment zotrvačnosti rovná

Moment zotrvačnosti daného telesa je teda pomer momentu sily k uhlovému zrýchleniu, ktoré spôsobuje. Z (3.11) je zrejmé, že moment zotrvačnosti je mierou zotrvačnosti telesa vzhľadom na rotačný pohyb. Moment zotrvačnosti hrá rovnakú úlohu ako hmotnosť v translačných pohyboch. jednotka SI [ ja] = kg m2. Zo vzorca (3.7) vyplýva, že moment zotrvačnosti charakterizuje rozloženie hmotností častíc telesa vzhľadom na os rotácie.

Moment zotrvačnosti prvku s hmotnosťou ∆m pohybujúceho sa po kružnici s polomerom r sa teda rovná

I = r 2 D m (3.12)

ja= (3.13)

V prípade nepretržitá distribúcia hmotnostný súčet možno nahradiť integrálom

I = ∫ r 2 dm (3.14)

kde sa integrácia vykonáva cez celú telesnú hmotu.

To ukazuje, že moment zotrvačnosti telesa závisí od hmotnosti a jej rozloženia vzhľadom na os rotácie. Dá sa to dokázať experimentálne ( Obr.3.4).

Ryža. 3.4

Dva okrúhle valce, jeden dutý (napríklad kovový), druhý plný (drevený) s rovnakými dĺžkami, polomermi a hmotnosťami sa začnú valiť súčasne. Za pevným bude zaostávať dutý valec, ktorý má veľký moment zotrvačnosti.

Moment zotrvačnosti možno vypočítať, ak je známa hmotnosť m a jeho rozloženie vzhľadom na os otáčania. Najjednoduchším prípadom je krúžok, keď sú všetky prvky hmoty umiestnené rovnako od osi otáčania ( ryža. 3.5):

Ja = (3.15)

Ryža. 3.5

Uveďme výrazy pre momenty zotrvačnosti rôznych symetrických hmotných telies m.

1. Moment zotrvačnosti krúžky, dutý tenkostenný valec vzhľadom na os rotácie zhodnú s osou symetrie.

, (3.16)

r– polomer krúžku alebo valca

2. Pre pevný valec a disk moment zotrvačnosti okolo osi symetrie

(3.17)

3. Moment zotrvačnosti lopty okolo osi prechádzajúcej stredom

(3.18)

r– polomer lopty

4. Moment zotrvačnosti tenkej tyče s dlhou dĺžkou l vzhľadom k osi kolmej na tyč a prechádzajúcej jej stredom

(3.19)

l- dĺžka tyče.

Ak os rotácie neprechádza cez ťažisko, potom moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na túto os je určený Steinerovou vetou.

(3.20)

Podľa tejto vety moment zotrvačnosti okolo ľubovoľnej osi O'O' ( ) sa rovná momentu zotrvačnosti okolo rovnobežnej osi prechádzajúcej ťažiskom telesa ( ) plus súčin telesnej hmotnosti krát druhá mocnina vzdialenosti A medzi osami ( ryža. 3.6).

Ryža. 3.6

Kinetická energia rotácie

Uvažujme rotáciu absolútne tuhého telesa okolo pevnej osi OO s uhlovou rýchlosťou ω (ryža. 3.7). Rozbijeme pevné telo n elementárne hmotnosti ∆ m i. Každý prvok hmoty rotuje pozdĺž kruhu s polomerom r i s lineárnou rýchlosťou (). Kinetická energia sa skladá z kinetických energií jednotlivých prvkov.

(3.21)

Ryža. 3.7

Pripomeňme si to z (3.13). – moment zotrvačnosti vzhľadom na os OO.

Teda kinetická energia rotujúceho telesa

E k = (3.22)

Uvažovali sme o kinetickej energii rotácie okolo pevnej osi. Ak je teleso zapojené do dvoch pohybov: translačného a rotačného pohybu, potom kinetická energia telesa pozostáva z kinetickej energie translačného pohybu a kinetickej energie rotácie.

Napríklad guľa hmoty m rolky; ťažisko lopty sa pohybuje translačne rýchlosťou u (ryža. 3.8).

Ryža. 3.8

Celková kinetická energia lopty sa bude rovnať

(3.23)

3.4. Moment impulzu. Zákon o ochrane prírody
moment hybnosti

Fyzikálne množstvo rovná súčinu momentu zotrvačnosti ja na uhlovú rýchlosť ω , sa nazýva uhlová hybnosť (uhlová hybnosť) L vzhľadom na os otáčania.

– moment hybnosti je vektorová veličina a jej smer sa zhoduje so smerom uhlovej rýchlosti.

Diferenciačná rovnica (3.24) vzhľadom na čas dostaneme

kde, M– celkový moment vonkajších síl. V izolovanom systéme neexistuje krútiaci moment vonkajších síl ( M=0) a

Výraz pre kinetickú energiu rotujúceho telesa, berúc do úvahy, že lineárna rýchlosť ľubovoľného hmotného bodu tvoriaceho teleso je rovná osi rotácie, má tvar

kde je moment zotrvačnosti telesa voči zvolenej osi rotácie, jeho uhlová rýchlosť voči tejto osi a moment hybnosti telesa voči osi rotácie.

Ak teleso prechádza translačným rotačným pohybom, potom výpočet kinetickej energie závisí od výberu pólu, vzhľadom na ktorý je pohyb telesa opísaný. Konečný výsledok bude rovnaký. Takže, ak pre okrúhle teleso valiace sa rýchlosťou v bez skĺznutia s polomerom R a koeficientom zotrvačnosti k, pól sa vezme v jeho CM, v bode C, potom jeho moment zotrvačnosti je , a uhlová rýchlosť otáčania okolo osi C je . Potom je kinetická energia telesa .

Ak je pól zachytený v bode O kontaktu medzi telesom a povrchom, cez ktorý prechádza okamžitá os rotácie telesa, potom sa jeho moment zotrvačnosti vzhľadom na os O rovná. . Potom sa kinetická energia telesa, berúc do úvahy, že uhlové rýchlosti otáčania telesa sú rovnaké vzhľadom na rovnobežné osi a teleso vykonáva čistú rotáciu okolo osi O, rovná . Výsledok je rovnaký.

Veta o kinetickej energii telesa vykonávajúceho zložitý pohyb bude mať rovnakú formu ako jeho translačný pohyb: .

Príklad 1 Teleso s hmotnosťou m je priviazané ku koncu vlákna navinutého okolo valcového bloku s polomerom R a hmotnosťou M. Telo sa zdvihne do výšky h a uvoľní (obr. 65). Po nepružnom trhnutí nite sa telo a blok okamžite začnú pohybovať spolu. Koľko tepla sa uvoľní počas trhnutia? Aké bude zrýchlenie tela a napnutie nite po trhnutí? Aká bude rýchlosť telesa a vzdialenosť, ktorú prejde po trhnutí závitu po čase t?

Dané: M, R, m, h, g, t. Nájsť: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Riešenie: Rýchlosť tela pred trhnutím nite. Po trhnutí závitu sa blok a teleso dostanú do rotačného pohybu vzhľadom na os bloku O a budú sa správať ako telesá s momentmi zotrvačnosti vzhľadom na túto os rovnými a . Ich celkový moment zotrvačnosti okolo osi rotácie.

Trhanie nite je rýchly proces a pri trhnutí dochádza k zákonu zachovania momentu hybnosti sústavy blok-telo, ktorý vďaka tomu, že sa telo a blok ihneď po trhnutí začnú pohybovať spolu, má tvar : . Odkiaľ pochádza počiatočná uhlová rýchlosť otáčania bloku? a počiatočná lineárna rýchlosť telesa .

Kinetická energia sústavy je vďaka zachovaniu momentu hybnosti bezprostredne po trhnutí závitu rovná . Teplo uvoľnené pri trhnutí podľa zákona zachovania energie

Dynamické pohybové rovnice telies sústavy po trhnutí závitu nezávisia od ich počiatočnej rýchlosti. Pre blok má tvar alebo, a pre telo. Sčítaním týchto dvoch rovníc dostaneme . Odkiaľ pochádza zrýchlenie pohybu tela? Napätie nite

Kinematické rovnice pohybu tela po trhnutí budú mať tvar , kde sú známe všetky parametre.

odpoveď: . .

Príklad 2. Dve okrúhle telesá s koeficientmi zotrvačnosti (dutý valec) a (guľa) umiestnené na základni naklonenej roviny s uhlom sklonu α vykazujú rovnaké počiatočné rýchlosti smerujúce nahor pozdĺž naklonenej roviny. Do akej výšky a za aký čas vystúpia telesá do tejto výšky? Aké sú zrýchlenia stúpajúcich telies? Koľkokrát sa líšia výšky, časy a zrýchlenia telies? Telesá sa pohybujú po naklonenej rovine bez skĺznutia.

Dané: . Nájsť:

Riešenie: Na teleso pôsobí: gravitácia m g, reakcia naklonenej roviny N a trecia sila spojky (obr. 67). Práca normálnej reakcie a adhézna trecia sila (nedochádza k skĺznutiu a neuvoľňuje sa žiadne teplo v mieste adhézie telesa a roviny.) sú rovné nule: , preto na opis pohybu telies možno použiť zákon zachovania energie: . Kde .

Časy a zrýchlenia pohybu telies nájdeme z kinematických rovníc . Kde , . Pomer výšok, časov a zrýchlení stúpajúcich telies:

Odpoveď: , , , .

Príklad 3. Guľka s hmotnosťou letiaca rýchlosťou narazí do stredu gule s hmotnosťou M a polomerom R, pripevnenej ku koncu tyče s hmotnosťou m a dĺžky l, zavesenej v bode O za jej druhý koniec, a vyletí z nej. s rýchlosťou (obr. 68). Nájdite uhlovú rýchlosť otáčania systému tyč-guľa bezprostredne po dopade a uhol vychýlenia tyče po dopade strely.

Dané: . Nájsť:

Riešenie: Momenty zotrvačnosti tyče a gule vzhľadom na závesný bod O tyče podľa Steinerovej vety: a . Celkový moment zotrvačnosti systému tyč-guľa . Náraz strely je rýchly proces a platí zákon zachovania momentu hybnosti systému strela-tyč-guľa (telesá po zrážke vstúpia do rotačného pohybu): . Odkiaľ pochádza uhlová rýchlosť pohybu systému tyč-guľa bezprostredne po náraze?

Poloha CM systému tyč-guľa vzhľadom na závesný bod O: . Zákon zachovania energie pre CM systému po náraze, berúc do úvahy zákon zachovania momentu hybnosti systému pri náraze, má tvar . Odkiaľ stúpa výška CM systému po náraze? . Uhol vychýlenia tyče po dopade je daný stavom .

odpoveď: , , .

Príklad 4. Blok sa silou N pritlačí na okrúhle teleso s hmotnosťou m a polomerom R s koeficientom zotrvačnosti k, ktoré sa otáča uhlovou rýchlosťou . Ako dlho bude trvať, kým sa valec zastaví a koľko tepla sa uvoľní, keď sa podložka počas tejto doby otiera o valec? Koeficient trenia medzi blokom a valcom je .

Dané: Nájsť:

Riešenie: Práca vykonaná trecou silou pred zastavením telesa podľa vety o kinetickej energii sa rovná . Teplo uvoľnené počas otáčania .

Rovnica rotačného pohybu telesa má tvar . Odkiaľ pochádza uhlové zrýchlenie jeho pomalého otáčania? . Čas, ktorý telo potrebuje na otáčanie, kým sa nezastaví.

Odpoveď: , .

Príklad 5. Kruhové teleso s hmotnosťou m a polomerom R s koeficientom zotrvačnosti k sa roztočí na uhlovú rýchlosť proti smeru hodinových ručičiek a umiestni sa na vodorovnú plochu pri zvislej stene (obr. 70). Ako dlho bude trvať, kým sa telo zastaví a koľko otáčok urobí, kým sa zastaví? Aké množstvo tepla sa uvoľní, keď sa telo počas tejto doby trie o povrch? Koeficient trenia telesa na povrchu sa rovná .

Dané: . Nájsť:

Riešenie: Teplo uvoľnené pri otáčaní telesa až do jeho zastavenia sa rovná práci trecích síl, ktoré možno nájsť pomocou vety o kinetickej energii telesa. máme.

Reakcia v horizontálnej rovine. Trecie sily pôsobiace na teleso z vodorovných a zvislých plôch sú rovnaké: a .Zo sústavy týchto dvoch rovníc získame a .

Ak vezmeme do úvahy tieto vzťahy, rovnica rotačného pohybu telesa má tvar (. Odkiaľ sa uhlové zrýchlenie otáčania telesa rovná. Potom čas otáčania telesa pred jeho zastavením a počet otáčok robí.

Odpoveď: , , , .

Príklad 6. Kruhové teleso s koeficientom zotrvačnosti k sa bez skĺznutia valí nadol z vrchnej časti pologule s polomerom R stojacej na vodorovnej ploche (obr. 71). V akej výške a akou rýchlosťou sa odtrhne od pologule a akou rýchlosťou dopadne na vodorovnú plochu?

Dané: k, g, R. Nájsť:

Riešenie: Na telo pôsobia sily . Práca a 0, (nedochádza k šmýkaniu a neuvoľňuje sa teplo v mieste priľnutia pologule a gule), preto na popis pohybu telesa je možné použiť zákon zachovania energie. Druhý Newtonov zákon pre CM telesa v bode jeho oddelenia od pologule, berúc do úvahy, že v tomto bode má tvar , odkiaľ . Zákon zachovania energie pre počiatočný bod a bod oddelenia telesa má tvar . Odtiaľ výška a rýchlosť oddelenia tela od pologule sú rovnaké, .

Po oddelení telesa od pologule sa mení iba jeho translačná kinetická energia, preto má zákon zachovania energie pre body oddelenia a pádu telesa na zem tvar . Kam sa s prihliadnutím dostaneme . Pre teleso kĺzajúce po povrchu pologule bez trenia platí k=0 a , , .

odpoveď: , , .

Začnime uvažovaním rotácie telesa okolo nehybnej osi, ktorú budeme nazývať os z (obr. 41.1). Lineárna rýchlosť elementárnej hmoty sa rovná kde je vzdialenosť hmoty od osi. Preto pre kinetickú energiu elementárnej hmoty dostaneme výraz

Kinetická energia telesa sa skladá z kinetických energií jeho častí:

Súčet na pravej strane tohto vzťahu predstavuje moment zotrvačnosti telesa 1 vzhľadom na os rotácie. Kinetická energia telesa rotujúceho okolo pevnej osi sa teda rovná

Nech na hmotu pôsobí vnútorná sila a vonkajšia sila (pozri obr. 41.1). Podľa (20.5) tieto sily vykonajú prácu včas

Po vykonaní v zmiešané diela vektory cyklická permutácia faktorov (pozri (2.34)), získame:

kde N je moment vnútornej sily vzhľadom na bod O, N je podobný moment vonkajšej sily.

Po sčítaní výrazu (41.2) cez všetky elementárne hmotnosti dostaneme elementárnu prácu vykonanú na telese za čas dt:

Súčet momentov vnútorných síl sa rovná nule (pozri (29.12)). V dôsledku toho, keď označíme celkový moment vonkajších síl N, dostaneme sa k výrazu

(použili sme vzorec (2.21)).

Nakoniec, ak vezmeme do úvahy, že existuje uhol, pod ktorým sa telo v priebehu času otáča, získame:

Znamienko diela závisí od znamienka, t.j. od znamienka priemetu vektora N na smer vektora.

Takže, keď sa telo otáča vnútorné sily nevykonávajú žiadnu prácu, ale práca vonkajších síl je určená vzorcom (41.4).

Vzorec (41.4) možno dospieť tak, že využijeme skutočnosť, že práca vykonaná všetkými silami pôsobiacimi na teleso smeruje k zvýšeniu jeho kinetickej energie (pozri (19.11)). Ak vezmeme diferenciál z oboch strán rovnosti (41.1), dostaneme sa k vzťahu

Podľa rovnice (38.8) teda nahradením cez sa dostaneme k vzorcu (41.4).

Tabuľka 41.1

V tabuľke 41.1 sa porovnávajú vzorce mechaniky rotačného pohybu s podobnými vzorcami mechaniky translačného pohybu (mechanika bodov). Z tohto porovnania je ľahké usúdiť, že vo všetkých prípadoch zohráva úlohu hmotnosti moment zotrvačnosti, úlohu sily moment sily, úlohu hybnosti hrá moment hybnosti atď.

Vzorec. (41.1) sme dostali pre prípad, keď sa teleso otáča okolo stacionárnej osi upevnenej v telese. Teraz predpokladajme, že teleso sa otáča ľubovoľným spôsobom vzhľadom na pevný bod, ktorý sa zhoduje s jeho ťažiskom.

S telesom pevne spojíme karteziánsky súradnicový systém, ktorého počiatok bude umiestnený v ťažisku telesa. Rýchlosť i-ta elementárna hmotnosť sa rovná Preto pre kinetickú energiu telesa môžeme napísať výraz

kde je uhol medzi vektormi Nahradením priechodu a berúc do úvahy, že dostaneme:

Poďme si to zapísať bodkové produkty prostredníctvom projekcií vektorov na osi súradnicového systému spojeného s telom:

Nakoniec spojením členov s identickými súčinmi zložiek uhlovej rýchlosti a odstránením týchto súčinov zo súčtových znamienok dostaneme: takže vzorec (41.7) má tvar (porovnaj (41.1)). Keď sa ľubovoľné teleso otáča okolo jednej z hlavných osí zotrvačnosti, povedzme os a vzorec (41.7) sa zmení na (41.10.

Teda. kinetická energia rotujúceho telesa sa rovná polovici súčinu momentu zotrvačnosti a druhej mocniny uhlovej rýchlosti v troch prípadoch: 1) pre teleso rotujúce okolo pevnej osi; 2) pre teleso rotujúce okolo jednej z hlavných osí zotrvačnosti; 3) na plesový top. V iných prípadoch sa kinetická energia určuje jasnejšie zložité vzorce(41,5) alebo (41,7).

Uvažujme absolútne tuhé teleso otáčajúce sa okolo pevnej osi. Poďme mentálne rozbiť toto telo na nekonečne malé kúsky s nekonečne malými rozmermi a hmotnosťami mv t., t 3,... umiestnené vo vzdialenostiach RvR°, R 3,... od osi. Kinetická energia rotujúceho telesa nájdeme ho ako súčet kinetických energií jeho malých častí:

- moment zotrvačnosti tuhého telesa vzhľadom k danej osi 00,. Z porovnania vzorcov pre kinetickú energiu translačných a rotačných pohybov je zrejmé, že moment zotrvačnosti pri rotačnom pohybe je analogický s hmotnosťou pri translačnom pohybe. Vzorec (4.14) je vhodný na výpočet momentu zotrvačnosti sústav pozostávajúcich z jednotlivých hmotných bodov. Ak chcete vypočítať moment zotrvačnosti pevných telies, pomocou definície integrálu ho môžete transformovať do tvaru

Je ľahké si všimnúť, že moment zotrvačnosti závisí od výberu osi a mení sa s jej paralelným posunom a rotáciou. Nájdite hodnoty momentov zotrvačnosti pre niektoré homogénne telesá.

Zo vzorca (4.14) je zrejmé, že moment zotrvačnosti hmotného bodu rovná sa

Kde T - hmotnosť bodu; R- vzdialenosť k osi otáčania.

Je ľahké vypočítať moment zotrvačnosti pre dutý tenkostenný valec(alebo špeciálny prípad valca s nízkou výškou - tenký krúžok) polomer R vzhľadom na os symetrie. Vzdialenosť k osi otáčania všetkých bodov pre takéto teleso je rovnaká, rovná sa polomeru a možno ju vybrať pod znamienkom súčtu (4.14):

Ryža. 4.5

Pevný valec(alebo špeciálny prípad valca s nízkou výškou - disk) polomer R na výpočet momentu zotrvačnosti vzhľadom na os symetrie je potrebný výpočet integrálu (4.15). Vopred môžete pochopiť, že hmotnosť je v tomto prípade v priemere sústredená o niečo bližšie k osi ako v prípade dutého valca a vzorec bude podobný (4.17), ale bude obsahovať koeficient menší ako jednota. Poďme nájsť tento koeficient. Pevný valec nech má hustotu p a výšku A. Rozdeľme ho na duté valce (tenké valcové plochy) tl. Dr(Na obrázku 4.5 je projekcia kolmá na os symetrie). Objem takéhoto dutého valca s polomerom r rovná ploche povrch vynásobený hrúbkou: dV = 2nrhdr, hmotnosť: dm = 2nphrdr, a moment zotrvačnosti podľa vzorca (4.17): dj =

= r 2 dm = 2lr/?g Wr. Celkový moment zotrvačnosti plného valca sa získa integráciou (sčítaním) momentov zotrvačnosti dutých valcov:

Hľadajte rovnakým spôsobom moment zotrvačnosti tenkej tyče dĺžka L a omše T, ak je os otáčania kolmá na tyč a prechádza jej stredom. Poďme si to rozobrať

Berúc do úvahy skutočnosť, že hmotnosť pevného valca súvisí s hustotou podľa vzorca t = nR 2 hp, konečne máme moment zotrvačnosti pevného valca:

Ryža. 4.6

tyč v súlade s obr. Hrúbka 4,6 kusov dl. Hmotnosť takéhoto kusu sa rovná dm = mdl/L, a moment zotrvačnosti podľa vzorca (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L. Celkový moment zotrvačnosti tenkej tyče sa získa integráciou (sčítaním) momentov zotrvačnosti kusov:

Ak vezmeme elementárny integrál, dostaneme moment zotrvačnosti tenkej tyče dĺžky L a omše T

Ryža. 4.7

Pri hľadaní je o niečo zložitejšie zobrať integrál moment zotrvačnosti homogénnej gule polomer R a hmotnosť /77 vzhľadom na os symetrie. Nech má pevná guľa hustotu p. Rozoberme si to podľa obr. 4,7 pre duté tenké valce tl dr, ktorého os symetrie sa zhoduje s osou rotácie lopty. Objem takéhoto dutého valca s polomerom G rovná ploche vynásobenej hrúbkou:

kde je výška valca h nájdené pomocou Pytagorovej vety: